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Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 1
Docente: Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer orden
Temas a trabajar:
• Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
• Ecuaciones Separables
o Modelo de Crecimiento Poblacional y Desintegración Radioactiva
o Ley de Enfriamiento o Calentamiento de Newton
• Ecuaciones Lineales
o Modelo de Mezclas
• Ecuaciones Exactas
• Soluciones por sustitución
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Anteriormente, se trabajó el concepto y las generalidades de las ecuaciones diferenciales, así como la verificación
de si una función es solución a la ecuación diferencial o verificar si una ecuación con parámetros desconocidos
cumple algunas condiciones iniciales y a su vez es solución a la ecuación diferencial, a continuación, trabajaremos
los diferentes métodos para solucionar una ecuación diferencial y algunas de sus aplicaciones como lo son los
modelos de crecimiento y enfriamiento, nos concentraremos en una ecuación diferencial de primer orden.
Un método para solucionar una ecuación diferencial es el método de las ecuaciones separables
Ecuaciones Separables
Se define una ecuación diferencial como una ecuación separable cuando se pueden expresar en factores las dos
variables por aparte, de forma general:
= ( ) ∙ ( )
Ejemplo 1: La ecuación diferencial de primer orden
+ 3 = 0
Es una ecuación separable, puesto que, si despejamos / , se obtiene:
= − ∙
1
3
Se puede observar, que quedan separadas en dos factores, un factor con la variable y el otro factor solo en
función de .
Ejemplo 2: Verificar si la siguiente ecuación diferencial de primer orden es separable:
=
+ 2
Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 2
Solución: Aplicando propiedades de los exponentes = , de esta forma podríamos separar en dos
factores de la siguiente forma:
=
+ 2
→ =
+ 2
∙
Al quedar dos factores, cada factor con su respectiva variable concluimos que si es una ecuación separable.
Ejemplo 3: Verificar si la siguiente ecuación diferencial de primer orden es separable:
´
+ 1
= 2
Solución: Primero debemos recordar que ´ = / , luego despejamos:
+ 1
= 2 → =
2
∙ ( + 1)
Si es una ecuación separable.
Ejercicio 1: Verificar si la siguiente ecuación diferencial de primer orden es separable:
= +
Solución de una ecuación diferencial separable
Al ser una ecuación separable, se puede despejar la ecuación de tal forma que en cada lado quede el diferencial
con su respectiva variable, en el ejemplo 1:
= − ∙
1
3
→ 3 = −
Para solucionar la ecuación, podemos integrar en ambos lados de la ecuación
3 = −
3
2
= −
3
+
Luego, despejamos la variable dependiente
= −
2
9
+ → = −
2
9
+
Para encontrar la solución particular, necesitamos encontrar la constante y para ello necesitamos una condición
inicial.
Ejercicio 2: Encuentre la solución general a la siguiente ecuación diferencial:
( + 4) =
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 3
Solución Particular
Ejemplo 4: Solucione la ecuación diferencial que pasa por el punto (0,0)
cos ( − ) = $ % 2
Solución: primero vamos a separar las variables, para ello dividimos por cos y multiplicamos por en ambos
lados
−
=
$ % 2
cos
Antes de integrar en ambos lados, aplicaremos propiedades de los exponentes en el lado izquierdo de la ecuación
y utilizamos la identidad trigonométrica $ % 2 = 2 $ % cos
− =
2 $ % cos
cos
→ − = 2 $ %
Ahora sí, integrando en ambos lados
− = 2 $ % → + = 2 $ %
Para la segunda integral del lado izquierdo debemos aplicar integración por partes
−
& = ' = − & = ' =
= − = +
La integral completa:
+ + = −2 cos +
Como la curva debe pasar por el punto (0,0), hallamos el valor de C
(
+ 0 (
+ (
= −2 cos 0 + → 1 + 1 = −2 + → = 4
Por lo tanto, una solución a la ecuación diferencial es:
+ + = −2 cos + 4
Ejercicio 3: Encuentre la solución particular a la siguiente ecuación diferencial dada la condición inicial
(0) = 1:
+
)
( − 1) = 0
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 4
Modelo de Crecimiento Poblacional y Desintegración Radioactiva
En muchos modelos matemáticos, la velocidad de cambio de una variable es proporcional al valor de . Si
esta dada en función del tiempo, la proporción se puede expresar de la siguiente forma:
+
= ,
La ecuación diferencial anterior es separable y se puede solucionar, primero separamos las variables:
= , +
Integrando en ambos lados
= , + → ln = ,+ + /0
Despejando la ecuación resultante
12
= 34 56 → = 34 56
Como /0 es una constante 56 la podemos definir como otra constante 56 = de esta forma
= 34
Uno de los problemas que se modelan con la ecuación anterior es el crecimiento de una población
7
+
= ,7 → 7(+) = 34
Si se utiliza la condición inicial 7(+() = 7(, donde +( es el tiempo inicial y 7( la población en ese momento, la
ecuación quedaría:
7(+() = 348 = 7(
Despejando
= 7(
348
De esta forma, la solución al problema de valor inicial se expresa de la siguiente forma
7(+) = 7(
348 34
7(+) = 7(
3(4 49)
Un caso particular es trabajar +( = 0, el tiempo de inicio, entonces la solución queda de la siguiente forma:
7(+) = 7(
34
Ejemplo 5: Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de
personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial 7( se duplicó en 5 años, ¿en cuánto tiempo se
triplicará?
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 5
Solución: En este caso tenemos un problema de valor inicial que se puede modelar con:
7
+
= ,7 7(5) = 27(
El problema nos pide encontrar cuando 7(+) $ ; &<= < 37(, para ello debemos encontrar la ecuación solución
a la ecuación diferencial que cumpla con la condición inicial. Sabemos que si 7(0) = 7(, la solución sería:
7(+) = 7(
34
La condición inicial nos indica 7(5) = 27(, reemplazamos en la ecuación
27( = 7(
>3
Dividimos por 7( en ambos lados y despejamos ,
2 = >3
→ ln 2 = 5, → , =
ln 2
5
≈ 0.1386
La solución particular queda:
7(+) = 7(
(.0 BC4
Ahora debemos encontrar el valor + que triplique la población inicial 7(+) = 37(
37( = 7(
(.0 BC4
Dividimos por 7( en ambos lados y despejamos +
3 = (.0 BC4
→ ln 3 = 0.1386+ → + =
ln 3
0.1386
≈ 7.93 <ñF$
En conclusión, al pasar 7.93 años la población inicial se triplicará.
Ejercicio 4: La población de una ciudad aumenta con un coeficiente de variación que es proporcional al
número de sus habitantes en cualquier instante +. Si la población de la ciudad era 30000 en 1960 y
35000 en 1970, ¿Cuál será su población en 1990?
Ejemplo 6: Si la mitad de cierta cantidad de radio se desintegra en 1600 años, ¿qué porcentaje de la cantidad
original quedará al cabo de 2400 años?
Solución: Al ser la tasa de desintegración proporcional a la cantidad presente, se puede utilizar la fórmula de
crecimiento o decrecimiento
+
= , → = 34
Del problema podemos suponer la condición inicial (0) = 100, cuando el tiempo es cero representa el 100%
de la cantidad de radio, reemplazando en la fórmula:
100 = 3(()
→ = 100
De esta forma:
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 6
(+) = 100 34
El problema también nos indica que, al pasar 1600 años, la cantidad de radio es la mitad o el 50%,
reemplazando:
50 = 100 3(0C(()
Despejando k
50
100
= 3(0C(()
→
1
2
= 3(0C(()
→ ln
1
2
= ,(1600) → , =
ln
1
2
1600
≈ −4.33 × 10 H
Quedando la ecuación de la forma:
(+) = 100 H. ×0(IJ4
Ahora hallamos el valor de cuando + es igual a 2400
(2400) = 100 H. ×0(IJ( H(()
≈ 35.36%
En conclusión, al cabo de 2400 años quedará 35.36% de la cantidad original de radio.
Ejemplo 7: Inicialmente había 400 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 4 horas la masa
disminuyó 12%, determine la cantidad que queda después de 12 horas.
Solución: En este caso nos dan la cantidad inicial (0) = 400, por lo tanto:
(+) = 400 34
Hallamos el 12% de 400 para conocer el valor de la otra condición,
400 ∗
12
100
= 48
Sabemos entonces que cuando + = 4 la cantidad de sustancia es 400 − 48 = 352, reemplazando en la formula,
podemos hallar ,
352 = 400 3(H)
→
352
400
= 3(H)
→ ln
22
25
= ,(4) → , =
ln
22
25
4
≈ −0.031958
Llegando a la ecuación
(+) = 400 (.( 0M>B4
Ahora reemplazamos + = 12
(12) = 400 (.( 0M>B(0 )
≈ 272.59
Al pasar 12 horas, quedaran 272.59 miligramos de la sustancia radioactiva.
Ejercicio 5: El Radio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si la mitad de
la cantidad original desaparece en 1600 años, hallar el porcentaje de pérdida en 100 años.
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 7
Ley de Enfriamiento o Calentamiento de Newton
De acuerdo con la ley empírica de enfriamiento o calentamiento de Newton, la velocidad con que la temperatura
de un cuerpo cambia es proporcional a la diferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la temperatura
del medio que lo rodea, conocida como la temperatura ambiental. Si N(+) representa la temperatura de un cuerpo
en el momento +, NO la temperatura del medio que lo rodea y N/ + es la velocidad a la que cambia la temperatura
del cuerpo, la ley de Newton de enfriamiento y calentamiento se traduce matemáticamente como:
N
+
= ,(N − NO)
Donde , es la constante de proporcionalidad, la cual debe ser negativa, sea para calentamiento o enfriamiento
después de que NO sea constante.
Al solucionar la ecuación diferencial, debemos separar las variables:
N
N − NO
= , +
Integramos en ambos lados
1
N − NO
N = , + → ln(N − NO) = ,+ + 0
Usamos el exponencial Euler en ambos lados
N − NO = 34 P6 → N − NO = 34
∙ P6 → N = 34
+ NO
Quedando la ecuación solución como:
N(+) = 34
+ NO
Ejemplo 8: Cuando un objeto se extrae del horno y se coloca en un entorno con una temperatura constante de
80° R, la temperatura en el centro es 1500° R. Una hora después de extraerlo, la temperatura del centro es
1120° R. Encontrar la temperatura del centro 5 horas después de extraer el objeto del horno.
Solución: De la información podemos extraer la temperatura del medio que lo rodea, es decir, NO = 80, el
enunciado nos da una condición inicial, N(0) = 1500 y condición, que es N(1) = 1120, con esas dos condiciones,
podremos hallar las constantes y ,, comenzamos con la primera condición:
1500 = 3(()
+ 80 → = 1500 − 80 → = 1420
Con el valor de y la segunda condición podremos hallar ,.
1120 = 1420 3(0)
+ 80
Despejando ,
1120 − 80
1420
= 3
→ ln
52
71
= , → , ≈ −0.311436
La ecuación que modela el enfriamiento del objeto quedaría:
N(+) = 1420 (. 00H C4
+ 80
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 8
Ahora, para encontrar la temperatura del centro del objeto al pasar 5 horas, debemos reemplazar en la ecuación
+ = 5:
N(5) = 1420 (. 00H C(>)
+ 80 → N(5) ≈ 379.24 °R
Al pasar 5 horas la temperatura del centro del objeto será de 379.24 °R.
Ejercicio 6: Un cuerpo se enfría de 60℃ a 50℃ en 15 min, encontrándose sumergido en aire que se
mantiene a 30℃. ¿Cuánto tiempo tardará este cuerpo en enfriarse de 100℃ a 80℃ en aire que se
mantiene a 50℃ ?
Ejemplo 9: Un termómetro se saca de una habitación donde la temperatura del aire es de 70 °F a una habitación
exterior donde la temperatura es de 10 °F. Después de medio minuto la lectura del termómetro es de 50 °F.
¿Cuánto tiempo es necesario para que el termómetro llegue a 15 °F?
Solución: Podemos definir la temperatura del medio que lo rodea como NO = 10, condición inicial N(0) = 70
70 = 3(()
+ 10 → = 70 − 10 → = 60
Reemplazamos la siguiente condición N T
0
U = 50
50 = 60 3(0/ )
+ 10 →
50 − 10
60
=
0
3
→ ln
2
3
=
1
2
, → , = 2 ln
2
3
≈ −0.81093
La ecuación que modela el problema sería:
N(+) = 60 (.B0(M 4
+ 10
Ahora, para responder a la pregunta, necesitamos reemplazar N por 15 y despejar la variable +, de la siguiente
forma:
15 = 60 (.B0(M 4
+ 10 →
15 − 10
60
= (.B0(M 4
ln
1
12
= −0.81093+
+ =
ln
1
12
−0.81093
≈ 3.06
Deben pasar 3.06 minutos, para que la temperatura del termómetro sea de 15 °F
Ejercicio 7: Un contenedor de líquido caliente se coloca en un congelador que se mantiene a una
temperatura constante de 20° F. La temperatura inicial del líquido es 160° F. Después de 5 minutos, la
temperatura del líquido es 60° F. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que su temperatura disminuya a 30°
F?
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 9
Ecuaciones Diferenciales Lineales
Las ecuaciones diferenciales son lineales cuando de forma generales se pueden escribir como:
<V( )
V
V
+ <V 0( )
V 0
V 0
+ ⋯ + <0( ) + <(( ) = ( )
De esta forma, una ecuación diferencial de primero orden estaría determinada como:
<0( ) + <(( ) = ( )
Al dividir la ecuación por <0( ), se obtiene la ecuación en su forma estándar
+
<(( )
<0( )
=
( )
<0( )
Si definimos 7( ) =
X9( )
X6( )
y Y( ) =
Z( )
X6( )
, podemos escribir la ecuación anterior como
+ 7( ) ∙ = Y( )
Para resolver la ecuación diferencial, multiplicaremos por el factor de integrante, en ambos lados de la ecuación
[ ( ) ]
R</+F^ _%+ ^<%+
La ecuación quedaría
[ ( ) ]
∙ ` + 7( ) ∙ a = Y( ) ∙ [ ( )]
Al hacer ley distributiva en el miembro izquierdo
[ ( ) ]
+ [ ( ) ]
∙ 7( ) ∙ = Y( ) ∙ [ ( )]
Para el siguiente paso debemos recordar regla de la cadena y el producto en la derivada:
Por regla de la cadena:
[ 7( ) = [ 7( ) ∙ 7( )
Por regla del producto:
b [ 7( )
c = [ 7( )
+ [ 7( ) ∙ 7( ) ∙
Se puede observar que, esta regla del producto es igual al miembro izquierdo de la ecuación lineal en la forma
estándar multiplicada por el factor integrante, por lo tanto, se puede escribir
b [ 7( )
c = Y( ) ∙ [ 7( )
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 10
Ahora, integramos en ambos lados de la ecuación anterior:
b [ 7( )
c = Y( ) ∙ [ 7( )
[ ( ) ]
= Y( ) ∙ [ ( )]
+
Al despejar la variable
=
[ Y( ) ∙ [ ( )]
+
[ ( ) ]
Quedando de esta forma la solución a la ecuación diferencial lineal de primer orden.
Ejemplo 10: Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:
− 4 = C
Solución: Primero debemos llevar la ecuación diferencial lineal a la forma estándar, para ello dividimos la ecuación
por :
−
4
= >
De esta forma, podremos identificar
7( ) = −
4
Y( ) = >
El factor integrante sería entonces
[
H
]
= H 12
= 12 IJ
= H
Multiplicamos ambos lados por el factor integrante
H
` −
4
a = > H
( H ) =
Al integrar en ambos lados
H
=
La integral del miembro derecho de la ecuación se debe solucionar por partes
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 11
& = → & =
' = → ' =
= − = − +
Reemplazando en la ecuación diferencial
H
= − +
Despejando
= H
( − + )
Haciendo la ley distributiva
= >
− H
+ H
La anterior ecuación, es la solución general a la ecuación diferencial dada.
Ejemplo 11: Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:
$ % + (cos ) = $ /
Solución: Al igual que el caso anterior, debemos llevar la ecuación a la forma estándar, en este caso debemos
dividir por $ % en ambos miembros de la ecuación
+
cos
$ %
=
$ /
$ %
Ahora definimos
7( ) =
cos
$ %
Y( ) =
$ /
$ %
El factor integrante
[
cos
$ %
]
= 12 deV
= $ %
Multiplicamos ahora en ambos miembros de la ecuación estándar por el factor integrante
$ % ` +
cos
$ %
a =
$ /
$ %
$ %
(($ % ) ) = $ /
Integramos en ambos lados
($ % ) = $ /
($ % ) = tan +
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 12
Despejamos
=
tan +
$ %
Ejercicio 8: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales
a)
]
]
+ 4 = −
b) h
+ ( + 2) =
Modelo de Mezclas
La cantidad de sal contenida en la mezcla de dos soluciones salinas de distintas concentraciones se puede modelar
con una ecuación diferencial lineal de primer orden
i
+
= (j<kó% %+^< < =< $&$+<%/;<) − (j<kó% $<=; < =< $&$+<%/;<) = jeV4OX]X − jdXmn]X
La Razón de entrada jeV4OX]X con la que ingresa la sal al tanque es el producto de la concentración de sal del flujo
de entrada y la velocidad del fluido de entrada.
jeV4OX]X = ( F%/ %+^</;ó% %+^< < =< $<=) ∙ (o =F/; < %+^< <)
La Razón de salida jdXmn]X con la que sale la sal del tanque es el producto de la concentración de sal del flujo de
salida y la velocidad del fluido de salida.
jdXmn]X = ( F%/ %+^</;ó% $<=; < =< $<=) ∙ (o =F/; < $<=; <)
Cuando la velocidad de entrada y de salida de las soluciones son diferentes, se puede presentar dos posibilidades,
que se desaloje el tanque o que se acumule la solución en el tanque, para los dos casos se puede expresar la
cantidad como:
o(+) = oF=&p % = +<%q& + (^eV4OX]X − ^dXmn]X)+
Ejemplo 12: Un tanque contiene 420 litros de un líquido en el que se han disuelto 50 g de sal. A la salmuera entra
1 g de sal por litro a una razón (velocidad) de 6 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma
razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.
Solución: Primero calcularemos las razones de entrada y de salida de la sustancia:
jeV4OX]X = `
1
r
a `6
r
p;%
a = 6
p;%
Para la razón de salida tenemos en cuenta que la solución bien mezclada sake con la misma razón que entra, por
lo tanto la concentración del flujo de entrar estará determinado por d = i(+)/420
jdXmn]X = s
i(+)
420 r
t `6
r
p;%
a =
i(+)
70 p;%
El problema se modela entonces con la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden
i
+
= 6 −
i
70
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 13
Escrita de forma estándar
i
+
+
i
70
= 6
El enunciado nos indica un problema de valor inicial, puesto que en el tiempo + = 0 deben haber i = 50 de sal.
i
+
+
i
70
= 6, i(0) = 50
Solucionando la ecuación diferencial, definimos
7(+) =
1
70
Y(+) = 6
Utilizando la fórmula de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
i(+) =
[ [ (4)]4
∙ Y(+) + +
[(4)]4
Reemplazamos
[ (4)]4
= [
0
u(
]4
=
0
u(
4
i(+) =
[
0
u(
4
∙ 6 + +
0
u(
4
=
6 [
0
u(
4
+ +
0
u(
4
La integral se resuelve por sustitución
0
u(
4
+ = 70 ∙
0
u(
4
i(+) =
420 ∙
0
u(
4
+
0
u(
4
=
420 ∙
0
u(
4
0
u(
4
+ 0
u(
4
= 420 +
0
u(
4
i(+) = 420 +
0
u(
4
Utilizando la condición inicial
50 = 420 +
0
u(
(()
→ 50 − 420 = → = −370
De esta forma la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.
i(+) = 420 − 370
0
u(
4
Ejemplo 13: Un gran tanque contiene 100 gal de un fluido en el cual se han disuelto 10 lb de sal. Salmuera que
contiene ½ lb de sal por galón se bombea hacia el tanque a razón de 6 gal/min. Luego, la solución bien mezclada
se bombea hacia fuera a una razón más lenta de 4 gal/min. Encuentre el número de libras de sal que hay en el
tanque después de 30 min.
Solución: La razón de entrada de la sal es
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 14
jeV4OX]X = `
1
2
=w
<=
a `6
<=
p;%
a = 3
=w
p;%
Al ser la razón de salida menor a la entrada, entonces el tanque acumulara la solución con una razón
^eV4OX]X − ^dXmn]X = 6
gal
min
− 4
gal
min
= 2
gal
min
Al pasar + minutos se acumularan (^eV4OX]X − ^dXmn]X) ∙ + = 2+ galones, de esta forma en el tanque habrá
100 + 2+
La razón de salida es
jdXmn]X = s
i(+)
100 + 2+
=w
<=
t `4
<=
p;%
a =
2i(+)
50 + +
=w
p;%
La ecuación diferencial a solucionar sería:
i
+
= 3 −
2
50 + +
i
De forma estándar
i
+
+
2
50 + +
i = 3
Ahora solucionamos la ecuación diferencial, teniendo en cuenta la condición inicial i(0) = 10
7(+) =
2
50 + +
Y(+) = 3
El factor integrante es
[ (4)]4
= [>( 4
]4
= ∙12>( 4
= 12(>( 4))
= (50 + +)
Reemplazando en la formula
i(+) =
[ [ (4)]4
∙ Y(+) + +
[(4)]4
i(+) =
[(50 + +) ∙ 3 + +
(50 + +)
Solucionando la integral por sustitución
3 (50 + +) + = (50 + +)
i(+) =
(50 + +) +
(50 + +)
=
(50 + +)
(50 + +)
+
(50 + +)
= (50 + +) +
(50 + +)
i(+) = (50 + +) +
(50 + +)
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 15
Reemplazando la condición inicial
10 = (50 + (0)) +
(50 + (0))
Despejando
10 − 50 =
(50)
→ = (50) ∙ −40 = −100000
La solución particular reemplazando es
i(+) = (50 + +) −
100000
(50 + +)
Para hallar el número de libras en el tanque después de 30 minutos, debemos reemplazar entonces + por 30.
i(+) = (50 + 30) −
100000
(50 + 30)
= 64.375 =w
Ejercicio 9: Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30 g de sal. A la salmuera
entra 1 g de sal por litro a una razón (velocidad) de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con
la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t.
Ecuaciones Diferenciales Exactas
Las ecuaciones diferenciales de la siguiente forma
{( , ) + |( , ) = 0
Son ecuaciones exactas si la derivada parcial de { con respecto a es igual a la derivada parcial de | con
respecto a , es decir
}{
}
=
}|
}
Ejemplo 14: Determine si la siguiente ecuación diferencial es exacta
(2 − 3) + (4 − 8 ) = 0
Solución: En este caso vemos que
{( , ) = 2 − 3 |( , ) = 4 − 8
Recordar que, al derivar de forma parcial, nos concentramos en la variable con respecto a la cual estamos
derivando y la otra variable se vuelve una constante, de esta forma
}{
}
= 4
}|
}
= 4
Al ser
4 ≠ 4 →
}{
}
≠
}|
}
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Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 16
La ecuación diferencial no es exacta.
Ejemplo 15: Determine si la siguiente ecuación diferencial es exacta
( cos − 3 − 2 ) + (2 $ % − + ln ) = 0
Solución: Definimos { |
{( , ) = cos − 3 − 2 |( , ) = 2 $ % − + ln
Ahora, hallamos sus respectivas derivadas parciales
}{
}
= 2 cos − 3
}|
}
= 2 cos − 3
Al ser iguales las derivadas parciales, la ecuación diferencial es exacta.
Ejemplo 16: Determine si la siguiente ecuación diferencial es exacta
`1 −
3
+ a + =
3
− 1
Solución: En este caso, no podemos definir { |, debemos organizar la ecuación a la forma
{( , ) + |( , ) = 0
`1 −
3
+ a =
3
− 1 − → `1 −
3
+ a = `
3
− 1 − a
− `
3
− 1 − a + `1 −
3
+ a = 0 → `−
3
+ 1 + a + `1 −
3
+ a = 0
Ahora si definimos { |
{( , ) = −
3
+ 1 + |( , ) = 1 −
3
+
Hallamos sus respectivas derivadas parciales
}{
}
= 1
}|
}
= 1
La ecuación diferencial es exacta.
Ejercicio 10: Determinar si las siguientes ecuaciones son exactas
a) ($;% − $;% ) + (/F$ + /F$ − ) = 0
b) (1 − 2 − 2 )
]
]
= 4 + 4
Solución de Ecuaciones Diferenciales Exactas
Si la ecuación diferencial
{( , ) + |( , ) = 0
Es una ecuación diferencial exacta, existe una función tal que
Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 17
{( , ) + |( , ) =
}
}
+
}
}
Por lo tanto
{( , ) =
}
}
|( , ) =
}
}
En este caso, podremos encontrar si integramos en ambos lados, es decir
}
}
= {( , )
( , ) = {( , ) + ( )
Donde ( ) es la constante de integración de la integral, ahora si derivamos con respecto a
}
}
=
}
}
{( , ) + h( )
Sabemos que
•€
•
= |( , ), entonces
|( , ) =
}
}
{( , ) + h( )
Despejando ´( )
h( ) = |( , ) −
}
}
{( , )
Si integramos con respecto a , podemos determinar ( )
( ) = `|( , ) −
}
}
{( , ) a
Ahora si reemplazamos ( ) en la ecuación inicial ( , )
( , ) = {( , ) + `|( , ) −
}
}
{( , ) a
La solución implícita de la ecuación es ( , ) = /, de esta forma
{( , ) + `|( , ) −
}
}
{( , ) a = /
Ejemplo 17: Solucione la siguiente ecuación diferencial
(2 − 3) + (2 + 4) = 0
Solución: Primero debemos verificar si la ecuación diferencial es exacta
{( , ) = 2 − 3 |( , ) = 2 + 4
Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 18
}{
}
= 4
}|
}
= 4
Al ser exacta, existe una función tal que
}
}
= {( , )
}
}
= |( , )
}
}
= 2 − 3
}
}
= 2 + 4
De la primera ecuación, integrando con respecto a se obtiene
}
}
= 2 − 3 → ( , ) = − 3 + ( )
Si hallamos la derivada parcial con respecto a
}
}
= 2 + ´( )
Reemplazando
•€
•
= 2 + 4
2 + 4 = 2 + ´( )
Despejando ´( )
2 + 4 − 2 = ´( ) → ´( ) = 4
Integrando en ambos lados con respecto a , se obtiene
´( ) = 4 → ( ) = 4
De esta forma es
( , ) = − 3 + 4
La solución de forma explícita sería
/ = − 3 + 4
Para despejar podemos despejar la ecuación y hacer completación de cuadrados
/ + 3 = + 4
Añadimos el término (2/ ) en ambos miembros de la ecuación y factorizamos
/ + 3 +
4
= + 4 + `
2
a → / + 3 +
4
= ` +
2
a
Sacamos raíz cuadrada en ambos miembros y despejamos
Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 19
/ + 3 +
4
= +
2
→ =
•/ + 3 +
4
−
2
La ecuación anterior es la solución general a la ecuación diferencial del inicio.
Ejemplo 18: Solucione la siguiente ecuación diferencial
2 + ( − 1) = 0
Solución: Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta
{( , ) = 2 |( , ) = − 1
}{
}
= 2
}|
}
= 2
Entonces existe una tal que
}
}
= 2
}
}
= − 1
Integramos la primera ecuación con respecto a
( , ) = + ( )
Derivamos con respecto a
}
}
= + ´( )
Reemplazamos
•€
•
− 1 = + ´( )
Despejamos ´( ) e integramos con respecto a
´( ) = −1 → ( ) = −1 → ( ) = −
Reemplazamos ( ) en la ecuación ( , )
( , ) = −
En forma implícita
− = /
Despejando
( − 1) = / → =
/
− 1
Ejercicio 11: Resolver el problema de valor inicial
a) ( + ) + (2 + − 1) = 0, (1) = 1.
Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 20
Soluciones por Sustitución
Hasta el momento, hemos visto algunos métodos para solucionar ecuaciones diferenciales lineales, en muchos
casos tendremos ecuaciones diferenciales que debemos sustituir o transformar para poder llegar a una solución,
antes de realizar la sustitución, debemos verificar si la ecuación diferencial es homogénea
Ecuaciones Diferenciales Homogéneas
Una función es homogénea si cumple la propiedad
(+ , + ) = +∝
( , )
En este caso ( , ) es homogénea de grado ∝.
Ejemplo 19: Determinar si la siguiente función es homogénea y hallar el grado de ∝
( , ) = 2 − 3
Solución: Reemplazamos (+ , + ) y solucionamos potencias
(+ , + ) = 2(+ ) (+ ) − 3(+ )(+ ) → (+ , + ) = 2+ + − 3+ +
Aplicando propiedades de los exponentes, multiplicamos las bases iguales, luego sacamos factor común
(+ , + ) = 2+ − 3+ → (+ , + ) = + (2 − 3 )
Se puede observar que dentro del factor común vuelve a quedar la función ( , ) por lo tanto, la función es
homogénea, se cumple que (+ , + ) = +∝
( , ) y su grado ∝= 3.
Saber identificar una función homogénea nos servirá para verificar si una ecuación diferencial es también
homogénea, puesto que, una dada una ecuación diferencial
{( , ) + |( , ) = 0
Es una ecuación diferencial homogénea si se cumple que {( , ) y |( , ), sean funciones homogéneas con el
mismo grado.
Ejemplo 20: Determinar si la siguiente ecuación diferencial es homogénea
( + ) + ( − ) = 0
Solución: En este caso hallamos {(+ , + ) y |(+ , + )
{(+ , + ) = + + + = + ( + )
|(+ , + ) = + − + + = + − + = + ( − )
Tanto { como | son funciones homogéneas y de grado ∝= 2, por lo tanto la ecuación diferencial es homogénea.
Ejercicio 12: Determine si la siguiente ecuación diferencial es homogénea e identifique su grado de
homogeneidad.
− + b + ƒ c = 0
Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 21
Solución de una Ecuación Diferencial Homogénea
Luego de identificar que una ecuación diferencial es homogénea, realizamos el proceso de sustitución o
transformación de nuestra ecuación definiendo:
= &
Y sería la derivada del producto entre & y
= & + &
Luego sustituimos y en nuestra ecuación diferencial, las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer
orden al realizar el proceso de sustitución se lleva a una ecuación separable.
Ejemplo 21: Encontrar la solución general a la siguiente ecuación diferencial
( + ) =
Solución: Primero organizamos la ecuación diferencial de la forma {( , ) + |( , ) = 0
( + ) − = 0
Ahora verificamos si las funciones { y | son homogéneas y si tienen el mismo grado
{(+ , + ) = + + + + = + + + = + ( + )
|(+ , + ) = −+ = + (− )
Son homogéneas del mismo grado ∝= 2, ahora vamos a sustituir
= & → = & + & → = &
Reemplazando en la ecuación diferencial
((& ) + (& ) ) − ( & + & ) = 0
Realizando la ley distributiva en ambos paréntesis
& + & − & − & = 0
Sumando términos semejantes
& − & = 0
Esta nueva ecuación diferencial, es separable, solucionando la ecuación separable
& = & →
&
&
=
&
& →
1
=
1
&
&
Ahora integramos en ambos miembros de la ecuación
1
=
1
&
& → ln + = −
1
&
Despejando &
Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 22
& = −
1
ln +
Recordemos que se había definido = & , por lo tanto & = / , reemplazando en la ecuación anterior
= −
1
ln +
→ = −
ln +
Llegamos a la solución explicita de la ecuación diferencial.
Ejemplo 22: Resuelva el problema de valor inicial
T + U − = 0, (1) = 0
Solución: Verificamos si la ecuación es homogénea
{(+ , + ) = + + +
4
4 = + T + U
|(+ , + ) = −+
4
4 = + T− U
Las funciones son homogéneas de grado 1, realizamos el proceso de sustitución
= & = & + &
De esta forma
` + (& )
(„ )
a −
(„ )
( & + & ) = 0
Simplificamos
( + & „) − „
( & + & ) = 0
Realizando la ley distributiva
+ & „
− „
& − & „
= 0
Sumando términos semejantes
− „
& = 0
Separando las variables
= „
& →
1
= „
&
Integramos en ambos miembros de la ecuación
1
= „
&
ln + = „
Despejando &
Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 23
ln(ln + ) = &
Reemplazando & por /
ln(ln + ) =
La solución es
= (ln(ln + ))
Utilizando la condición inicial (1) = 0
0 = ln(ln 1 + ) → 0 = ln → (
= → = 1
La solución particular a la ecuación diferencial es
= (ln(ln + 1))
Ejercicio 13: Resolver el problema de valor inicial
= − , (1) = 2
Ecuación de Bernoulli
La ecuación de la forma
+ 7( ) = Y( ) V
Es una ecuación de Bernoulli, en las ecuaciones de este tipo se puede utilizar la sustitución & = 0 V
, si derivamos
& con respecto a se obtiene:
&
= (1 − %) V
Al despejar
]
]
=
V
1 − %
&
Se puede deducir que V
= &
…
6I…, por lo tanto
=
&
V
0 V
1 − %
&
Para sustituir en la ecuación de Bernoulli, necesitamos también = &
6
6I…
&
V
0 V
1 − %
&
+ 7( )&
0
0 V = Y( )&
V
0 V
Llevando la ecuación anterior a la forma estándar
Brian Bastidas
Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
PÁG. 24
&
+ (1 − %)7( )& = (1 − %)Y( )
En conclusión, cualquier ecuación diferencial de Bernoulli, se puede transformar en una ecuación diferencial lineal
de primer orden.
Ejemplo 23: Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli, resolver
+ =
Solución: Llevando la ecuación anterior a la ecuación de Bernoulli
+
1
=
Identificamos que % = 2, por lo tanto la sustitución que debemos hacer es & = 0
= −&
&
Necesitamos también sustituir = & 0
y = & , sustituimos en la ecuación
`−&
&
a +
1
& 0
= &
Llevando la ecuación a la forma estándar
&
−
1
& = −
Ahora solucionamos la ecuación anterior como una ecuación lineal
7( ) = −
1
Y( ) = −
El factor integrante es
[
0
]
= 12
= 12 I6
=
1
Utilizando la formula solución de la ecuación diferencial lineal
& =
[ − ∙
1
+
1
= → & = ∙ −1 + → & = (− + ) → & = − +
Inicialmente habíamos sustituido & = 0
, entonces
1
= − + → =
1
− +
Ejercicio 14: Resuelva la siguiente ecuación diferencial
+
+
+ = +

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Ecuaciones diferenciales de primer orden

  • 1. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 1 Docente: Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer orden Temas a trabajar: • Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden • Ecuaciones Separables o Modelo de Crecimiento Poblacional y Desintegración Radioactiva o Ley de Enfriamiento o Calentamiento de Newton • Ecuaciones Lineales o Modelo de Mezclas • Ecuaciones Exactas • Soluciones por sustitución Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden Anteriormente, se trabajó el concepto y las generalidades de las ecuaciones diferenciales, así como la verificación de si una función es solución a la ecuación diferencial o verificar si una ecuación con parámetros desconocidos cumple algunas condiciones iniciales y a su vez es solución a la ecuación diferencial, a continuación, trabajaremos los diferentes métodos para solucionar una ecuación diferencial y algunas de sus aplicaciones como lo son los modelos de crecimiento y enfriamiento, nos concentraremos en una ecuación diferencial de primer orden. Un método para solucionar una ecuación diferencial es el método de las ecuaciones separables Ecuaciones Separables Se define una ecuación diferencial como una ecuación separable cuando se pueden expresar en factores las dos variables por aparte, de forma general: = ( ) ∙ ( ) Ejemplo 1: La ecuación diferencial de primer orden + 3 = 0 Es una ecuación separable, puesto que, si despejamos / , se obtiene: = − ∙ 1 3 Se puede observar, que quedan separadas en dos factores, un factor con la variable y el otro factor solo en función de . Ejemplo 2: Verificar si la siguiente ecuación diferencial de primer orden es separable: = + 2
  • 2. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 2 Solución: Aplicando propiedades de los exponentes = , de esta forma podríamos separar en dos factores de la siguiente forma: = + 2 → = + 2 ∙ Al quedar dos factores, cada factor con su respectiva variable concluimos que si es una ecuación separable. Ejemplo 3: Verificar si la siguiente ecuación diferencial de primer orden es separable: ´ + 1 = 2 Solución: Primero debemos recordar que ´ = / , luego despejamos: + 1 = 2 → = 2 ∙ ( + 1) Si es una ecuación separable. Ejercicio 1: Verificar si la siguiente ecuación diferencial de primer orden es separable: = + Solución de una ecuación diferencial separable Al ser una ecuación separable, se puede despejar la ecuación de tal forma que en cada lado quede el diferencial con su respectiva variable, en el ejemplo 1: = − ∙ 1 3 → 3 = − Para solucionar la ecuación, podemos integrar en ambos lados de la ecuación 3 = − 3 2 = − 3 + Luego, despejamos la variable dependiente = − 2 9 + → = − 2 9 + Para encontrar la solución particular, necesitamos encontrar la constante y para ello necesitamos una condición inicial. Ejercicio 2: Encuentre la solución general a la siguiente ecuación diferencial: ( + 4) =
  • 3. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 3 Solución Particular Ejemplo 4: Solucione la ecuación diferencial que pasa por el punto (0,0) cos ( − ) = $ % 2 Solución: primero vamos a separar las variables, para ello dividimos por cos y multiplicamos por en ambos lados − = $ % 2 cos Antes de integrar en ambos lados, aplicaremos propiedades de los exponentes en el lado izquierdo de la ecuación y utilizamos la identidad trigonométrica $ % 2 = 2 $ % cos − = 2 $ % cos cos → − = 2 $ % Ahora sí, integrando en ambos lados − = 2 $ % → + = 2 $ % Para la segunda integral del lado izquierdo debemos aplicar integración por partes − & = ' = − & = ' = = − = + La integral completa: + + = −2 cos + Como la curva debe pasar por el punto (0,0), hallamos el valor de C ( + 0 ( + ( = −2 cos 0 + → 1 + 1 = −2 + → = 4 Por lo tanto, una solución a la ecuación diferencial es: + + = −2 cos + 4 Ejercicio 3: Encuentre la solución particular a la siguiente ecuación diferencial dada la condición inicial (0) = 1: + ) ( − 1) = 0
  • 4. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 4 Modelo de Crecimiento Poblacional y Desintegración Radioactiva En muchos modelos matemáticos, la velocidad de cambio de una variable es proporcional al valor de . Si esta dada en función del tiempo, la proporción se puede expresar de la siguiente forma: + = , La ecuación diferencial anterior es separable y se puede solucionar, primero separamos las variables: = , + Integrando en ambos lados = , + → ln = ,+ + /0 Despejando la ecuación resultante 12 = 34 56 → = 34 56 Como /0 es una constante 56 la podemos definir como otra constante 56 = de esta forma = 34 Uno de los problemas que se modelan con la ecuación anterior es el crecimiento de una población 7 + = ,7 → 7(+) = 34 Si se utiliza la condición inicial 7(+() = 7(, donde +( es el tiempo inicial y 7( la población en ese momento, la ecuación quedaría: 7(+() = 348 = 7( Despejando = 7( 348 De esta forma, la solución al problema de valor inicial se expresa de la siguiente forma 7(+) = 7( 348 34 7(+) = 7( 3(4 49) Un caso particular es trabajar +( = 0, el tiempo de inicio, entonces la solución queda de la siguiente forma: 7(+) = 7( 34 Ejemplo 5: Se sabe que la población de una comunidad crece con una razón proporcional al número de personas presentes en el tiempo t. Si la población inicial 7( se duplicó en 5 años, ¿en cuánto tiempo se triplicará?
  • 5. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 5 Solución: En este caso tenemos un problema de valor inicial que se puede modelar con: 7 + = ,7 7(5) = 27( El problema nos pide encontrar cuando 7(+) $ ; &<= < 37(, para ello debemos encontrar la ecuación solución a la ecuación diferencial que cumpla con la condición inicial. Sabemos que si 7(0) = 7(, la solución sería: 7(+) = 7( 34 La condición inicial nos indica 7(5) = 27(, reemplazamos en la ecuación 27( = 7( >3 Dividimos por 7( en ambos lados y despejamos , 2 = >3 → ln 2 = 5, → , = ln 2 5 ≈ 0.1386 La solución particular queda: 7(+) = 7( (.0 BC4 Ahora debemos encontrar el valor + que triplique la población inicial 7(+) = 37( 37( = 7( (.0 BC4 Dividimos por 7( en ambos lados y despejamos + 3 = (.0 BC4 → ln 3 = 0.1386+ → + = ln 3 0.1386 ≈ 7.93 <ñF$ En conclusión, al pasar 7.93 años la población inicial se triplicará. Ejercicio 4: La población de una ciudad aumenta con un coeficiente de variación que es proporcional al número de sus habitantes en cualquier instante +. Si la población de la ciudad era 30000 en 1960 y 35000 en 1970, ¿Cuál será su población en 1990? Ejemplo 6: Si la mitad de cierta cantidad de radio se desintegra en 1600 años, ¿qué porcentaje de la cantidad original quedará al cabo de 2400 años? Solución: Al ser la tasa de desintegración proporcional a la cantidad presente, se puede utilizar la fórmula de crecimiento o decrecimiento + = , → = 34 Del problema podemos suponer la condición inicial (0) = 100, cuando el tiempo es cero representa el 100% de la cantidad de radio, reemplazando en la fórmula: 100 = 3(() → = 100 De esta forma:
  • 6. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 6 (+) = 100 34 El problema también nos indica que, al pasar 1600 años, la cantidad de radio es la mitad o el 50%, reemplazando: 50 = 100 3(0C(() Despejando k 50 100 = 3(0C(() → 1 2 = 3(0C(() → ln 1 2 = ,(1600) → , = ln 1 2 1600 ≈ −4.33 × 10 H Quedando la ecuación de la forma: (+) = 100 H. ×0(IJ4 Ahora hallamos el valor de cuando + es igual a 2400 (2400) = 100 H. ×0(IJ( H(() ≈ 35.36% En conclusión, al cabo de 2400 años quedará 35.36% de la cantidad original de radio. Ejemplo 7: Inicialmente había 400 miligramos de una sustancia radiactiva. Después de 4 horas la masa disminuyó 12%, determine la cantidad que queda después de 12 horas. Solución: En este caso nos dan la cantidad inicial (0) = 400, por lo tanto: (+) = 400 34 Hallamos el 12% de 400 para conocer el valor de la otra condición, 400 ∗ 12 100 = 48 Sabemos entonces que cuando + = 4 la cantidad de sustancia es 400 − 48 = 352, reemplazando en la formula, podemos hallar , 352 = 400 3(H) → 352 400 = 3(H) → ln 22 25 = ,(4) → , = ln 22 25 4 ≈ −0.031958 Llegando a la ecuación (+) = 400 (.( 0M>B4 Ahora reemplazamos + = 12 (12) = 400 (.( 0M>B(0 ) ≈ 272.59 Al pasar 12 horas, quedaran 272.59 miligramos de la sustancia radioactiva. Ejercicio 5: El Radio se descompone a una velocidad proporcional a la cantidad presente. Si la mitad de la cantidad original desaparece en 1600 años, hallar el porcentaje de pérdida en 100 años.
  • 7. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 7 Ley de Enfriamiento o Calentamiento de Newton De acuerdo con la ley empírica de enfriamiento o calentamiento de Newton, la velocidad con que la temperatura de un cuerpo cambia es proporcional a la diferencia que hay entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio que lo rodea, conocida como la temperatura ambiental. Si N(+) representa la temperatura de un cuerpo en el momento +, NO la temperatura del medio que lo rodea y N/ + es la velocidad a la que cambia la temperatura del cuerpo, la ley de Newton de enfriamiento y calentamiento se traduce matemáticamente como: N + = ,(N − NO) Donde , es la constante de proporcionalidad, la cual debe ser negativa, sea para calentamiento o enfriamiento después de que NO sea constante. Al solucionar la ecuación diferencial, debemos separar las variables: N N − NO = , + Integramos en ambos lados 1 N − NO N = , + → ln(N − NO) = ,+ + 0 Usamos el exponencial Euler en ambos lados N − NO = 34 P6 → N − NO = 34 ∙ P6 → N = 34 + NO Quedando la ecuación solución como: N(+) = 34 + NO Ejemplo 8: Cuando un objeto se extrae del horno y se coloca en un entorno con una temperatura constante de 80° R, la temperatura en el centro es 1500° R. Una hora después de extraerlo, la temperatura del centro es 1120° R. Encontrar la temperatura del centro 5 horas después de extraer el objeto del horno. Solución: De la información podemos extraer la temperatura del medio que lo rodea, es decir, NO = 80, el enunciado nos da una condición inicial, N(0) = 1500 y condición, que es N(1) = 1120, con esas dos condiciones, podremos hallar las constantes y ,, comenzamos con la primera condición: 1500 = 3(() + 80 → = 1500 − 80 → = 1420 Con el valor de y la segunda condición podremos hallar ,. 1120 = 1420 3(0) + 80 Despejando , 1120 − 80 1420 = 3 → ln 52 71 = , → , ≈ −0.311436 La ecuación que modela el enfriamiento del objeto quedaría: N(+) = 1420 (. 00H C4 + 80
  • 8. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 8 Ahora, para encontrar la temperatura del centro del objeto al pasar 5 horas, debemos reemplazar en la ecuación + = 5: N(5) = 1420 (. 00H C(>) + 80 → N(5) ≈ 379.24 °R Al pasar 5 horas la temperatura del centro del objeto será de 379.24 °R. Ejercicio 6: Un cuerpo se enfría de 60℃ a 50℃ en 15 min, encontrándose sumergido en aire que se mantiene a 30℃. ¿Cuánto tiempo tardará este cuerpo en enfriarse de 100℃ a 80℃ en aire que se mantiene a 50℃ ? Ejemplo 9: Un termómetro se saca de una habitación donde la temperatura del aire es de 70 °F a una habitación exterior donde la temperatura es de 10 °F. Después de medio minuto la lectura del termómetro es de 50 °F. ¿Cuánto tiempo es necesario para que el termómetro llegue a 15 °F? Solución: Podemos definir la temperatura del medio que lo rodea como NO = 10, condición inicial N(0) = 70 70 = 3(() + 10 → = 70 − 10 → = 60 Reemplazamos la siguiente condición N T 0 U = 50 50 = 60 3(0/ ) + 10 → 50 − 10 60 = 0 3 → ln 2 3 = 1 2 , → , = 2 ln 2 3 ≈ −0.81093 La ecuación que modela el problema sería: N(+) = 60 (.B0(M 4 + 10 Ahora, para responder a la pregunta, necesitamos reemplazar N por 15 y despejar la variable +, de la siguiente forma: 15 = 60 (.B0(M 4 + 10 → 15 − 10 60 = (.B0(M 4 ln 1 12 = −0.81093+ + = ln 1 12 −0.81093 ≈ 3.06 Deben pasar 3.06 minutos, para que la temperatura del termómetro sea de 15 °F Ejercicio 7: Un contenedor de líquido caliente se coloca en un congelador que se mantiene a una temperatura constante de 20° F. La temperatura inicial del líquido es 160° F. Después de 5 minutos, la temperatura del líquido es 60° F. ¿Cuánto tiempo se necesitará para que su temperatura disminuya a 30° F?
  • 9. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 9 Ecuaciones Diferenciales Lineales Las ecuaciones diferenciales son lineales cuando de forma generales se pueden escribir como: <V( ) V V + <V 0( ) V 0 V 0 + ⋯ + <0( ) + <(( ) = ( ) De esta forma, una ecuación diferencial de primero orden estaría determinada como: <0( ) + <(( ) = ( ) Al dividir la ecuación por <0( ), se obtiene la ecuación en su forma estándar + <(( ) <0( ) = ( ) <0( ) Si definimos 7( ) = X9( ) X6( ) y Y( ) = Z( ) X6( ) , podemos escribir la ecuación anterior como + 7( ) ∙ = Y( ) Para resolver la ecuación diferencial, multiplicaremos por el factor de integrante, en ambos lados de la ecuación [ ( ) ] R</+F^ _%+ ^<%+ La ecuación quedaría [ ( ) ] ∙ ` + 7( ) ∙ a = Y( ) ∙ [ ( )] Al hacer ley distributiva en el miembro izquierdo [ ( ) ] + [ ( ) ] ∙ 7( ) ∙ = Y( ) ∙ [ ( )] Para el siguiente paso debemos recordar regla de la cadena y el producto en la derivada: Por regla de la cadena: [ 7( ) = [ 7( ) ∙ 7( ) Por regla del producto: b [ 7( ) c = [ 7( ) + [ 7( ) ∙ 7( ) ∙ Se puede observar que, esta regla del producto es igual al miembro izquierdo de la ecuación lineal en la forma estándar multiplicada por el factor integrante, por lo tanto, se puede escribir b [ 7( ) c = Y( ) ∙ [ 7( )
  • 10. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 10 Ahora, integramos en ambos lados de la ecuación anterior: b [ 7( ) c = Y( ) ∙ [ 7( ) [ ( ) ] = Y( ) ∙ [ ( )] + Al despejar la variable = [ Y( ) ∙ [ ( )] + [ ( ) ] Quedando de esta forma la solución a la ecuación diferencial lineal de primer orden. Ejemplo 10: Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden: − 4 = C Solución: Primero debemos llevar la ecuación diferencial lineal a la forma estándar, para ello dividimos la ecuación por : − 4 = > De esta forma, podremos identificar 7( ) = − 4 Y( ) = > El factor integrante sería entonces [ H ] = H 12 = 12 IJ = H Multiplicamos ambos lados por el factor integrante H ` − 4 a = > H ( H ) = Al integrar en ambos lados H = La integral del miembro derecho de la ecuación se debe solucionar por partes
  • 11. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 11 & = → & = ' = → ' = = − = − + Reemplazando en la ecuación diferencial H = − + Despejando = H ( − + ) Haciendo la ley distributiva = > − H + H La anterior ecuación, es la solución general a la ecuación diferencial dada. Ejemplo 11: Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden: $ % + (cos ) = $ / Solución: Al igual que el caso anterior, debemos llevar la ecuación a la forma estándar, en este caso debemos dividir por $ % en ambos miembros de la ecuación + cos $ % = $ / $ % Ahora definimos 7( ) = cos $ % Y( ) = $ / $ % El factor integrante [ cos $ % ] = 12 deV = $ % Multiplicamos ahora en ambos miembros de la ecuación estándar por el factor integrante $ % ` + cos $ % a = $ / $ % $ % (($ % ) ) = $ / Integramos en ambos lados ($ % ) = $ / ($ % ) = tan +
  • 12. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 12 Despejamos = tan + $ % Ejercicio 8: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales a) ] ] + 4 = − b) h + ( + 2) = Modelo de Mezclas La cantidad de sal contenida en la mezcla de dos soluciones salinas de distintas concentraciones se puede modelar con una ecuación diferencial lineal de primer orden i + = (j<kó% %+^< < =< $&$+<%/;<) − (j<kó% $<=; < =< $&$+<%/;<) = jeV4OX]X − jdXmn]X La Razón de entrada jeV4OX]X con la que ingresa la sal al tanque es el producto de la concentración de sal del flujo de entrada y la velocidad del fluido de entrada. jeV4OX]X = ( F%/ %+^</;ó% %+^< < =< $<=) ∙ (o =F/; < %+^< <) La Razón de salida jdXmn]X con la que sale la sal del tanque es el producto de la concentración de sal del flujo de salida y la velocidad del fluido de salida. jdXmn]X = ( F%/ %+^</;ó% $<=; < =< $<=) ∙ (o =F/; < $<=; <) Cuando la velocidad de entrada y de salida de las soluciones son diferentes, se puede presentar dos posibilidades, que se desaloje el tanque o que se acumule la solución en el tanque, para los dos casos se puede expresar la cantidad como: o(+) = oF=&p % = +<%q& + (^eV4OX]X − ^dXmn]X)+ Ejemplo 12: Un tanque contiene 420 litros de un líquido en el que se han disuelto 50 g de sal. A la salmuera entra 1 g de sal por litro a una razón (velocidad) de 6 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. Solución: Primero calcularemos las razones de entrada y de salida de la sustancia: jeV4OX]X = ` 1 r a `6 r p;% a = 6 p;% Para la razón de salida tenemos en cuenta que la solución bien mezclada sake con la misma razón que entra, por lo tanto la concentración del flujo de entrar estará determinado por d = i(+)/420 jdXmn]X = s i(+) 420 r t `6 r p;% a = i(+) 70 p;% El problema se modela entonces con la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden i + = 6 − i 70
  • 13. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 13 Escrita de forma estándar i + + i 70 = 6 El enunciado nos indica un problema de valor inicial, puesto que en el tiempo + = 0 deben haber i = 50 de sal. i + + i 70 = 6, i(0) = 50 Solucionando la ecuación diferencial, definimos 7(+) = 1 70 Y(+) = 6 Utilizando la fórmula de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden i(+) = [ [ (4)]4 ∙ Y(+) + + [(4)]4 Reemplazamos [ (4)]4 = [ 0 u( ]4 = 0 u( 4 i(+) = [ 0 u( 4 ∙ 6 + + 0 u( 4 = 6 [ 0 u( 4 + + 0 u( 4 La integral se resuelve por sustitución 0 u( 4 + = 70 ∙ 0 u( 4 i(+) = 420 ∙ 0 u( 4 + 0 u( 4 = 420 ∙ 0 u( 4 0 u( 4 + 0 u( 4 = 420 + 0 u( 4 i(+) = 420 + 0 u( 4 Utilizando la condición inicial 50 = 420 + 0 u( (() → 50 − 420 = → = −370 De esta forma la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. i(+) = 420 − 370 0 u( 4 Ejemplo 13: Un gran tanque contiene 100 gal de un fluido en el cual se han disuelto 10 lb de sal. Salmuera que contiene ½ lb de sal por galón se bombea hacia el tanque a razón de 6 gal/min. Luego, la solución bien mezclada se bombea hacia fuera a una razón más lenta de 4 gal/min. Encuentre el número de libras de sal que hay en el tanque después de 30 min. Solución: La razón de entrada de la sal es
  • 14. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 14 jeV4OX]X = ` 1 2 =w <= a `6 <= p;% a = 3 =w p;% Al ser la razón de salida menor a la entrada, entonces el tanque acumulara la solución con una razón ^eV4OX]X − ^dXmn]X = 6 gal min − 4 gal min = 2 gal min Al pasar + minutos se acumularan (^eV4OX]X − ^dXmn]X) ∙ + = 2+ galones, de esta forma en el tanque habrá 100 + 2+ La razón de salida es jdXmn]X = s i(+) 100 + 2+ =w <= t `4 <= p;% a = 2i(+) 50 + + =w p;% La ecuación diferencial a solucionar sería: i + = 3 − 2 50 + + i De forma estándar i + + 2 50 + + i = 3 Ahora solucionamos la ecuación diferencial, teniendo en cuenta la condición inicial i(0) = 10 7(+) = 2 50 + + Y(+) = 3 El factor integrante es [ (4)]4 = [>( 4 ]4 = ∙12>( 4 = 12(>( 4)) = (50 + +) Reemplazando en la formula i(+) = [ [ (4)]4 ∙ Y(+) + + [(4)]4 i(+) = [(50 + +) ∙ 3 + + (50 + +) Solucionando la integral por sustitución 3 (50 + +) + = (50 + +) i(+) = (50 + +) + (50 + +) = (50 + +) (50 + +) + (50 + +) = (50 + +) + (50 + +) i(+) = (50 + +) + (50 + +)
  • 15. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 15 Reemplazando la condición inicial 10 = (50 + (0)) + (50 + (0)) Despejando 10 − 50 = (50) → = (50) ∙ −40 = −100000 La solución particular reemplazando es i(+) = (50 + +) − 100000 (50 + +) Para hallar el número de libras en el tanque después de 30 minutos, debemos reemplazar entonces + por 30. i(+) = (50 + 30) − 100000 (50 + 30) = 64.375 =w Ejercicio 9: Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30 g de sal. A la salmuera entra 1 g de sal por litro a una razón (velocidad) de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. Ecuaciones Diferenciales Exactas Las ecuaciones diferenciales de la siguiente forma {( , ) + |( , ) = 0 Son ecuaciones exactas si la derivada parcial de { con respecto a es igual a la derivada parcial de | con respecto a , es decir }{ } = }| } Ejemplo 14: Determine si la siguiente ecuación diferencial es exacta (2 − 3) + (4 − 8 ) = 0 Solución: En este caso vemos que {( , ) = 2 − 3 |( , ) = 4 − 8 Recordar que, al derivar de forma parcial, nos concentramos en la variable con respecto a la cual estamos derivando y la otra variable se vuelve una constante, de esta forma }{ } = 4 }| } = 4 Al ser 4 ≠ 4 → }{ } ≠ }| }
  • 16. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 16 La ecuación diferencial no es exacta. Ejemplo 15: Determine si la siguiente ecuación diferencial es exacta ( cos − 3 − 2 ) + (2 $ % − + ln ) = 0 Solución: Definimos { | {( , ) = cos − 3 − 2 |( , ) = 2 $ % − + ln Ahora, hallamos sus respectivas derivadas parciales }{ } = 2 cos − 3 }| } = 2 cos − 3 Al ser iguales las derivadas parciales, la ecuación diferencial es exacta. Ejemplo 16: Determine si la siguiente ecuación diferencial es exacta `1 − 3 + a + = 3 − 1 Solución: En este caso, no podemos definir { |, debemos organizar la ecuación a la forma {( , ) + |( , ) = 0 `1 − 3 + a = 3 − 1 − → `1 − 3 + a = ` 3 − 1 − a − ` 3 − 1 − a + `1 − 3 + a = 0 → `− 3 + 1 + a + `1 − 3 + a = 0 Ahora si definimos { | {( , ) = − 3 + 1 + |( , ) = 1 − 3 + Hallamos sus respectivas derivadas parciales }{ } = 1 }| } = 1 La ecuación diferencial es exacta. Ejercicio 10: Determinar si las siguientes ecuaciones son exactas a) ($;% − $;% ) + (/F$ + /F$ − ) = 0 b) (1 − 2 − 2 ) ] ] = 4 + 4 Solución de Ecuaciones Diferenciales Exactas Si la ecuación diferencial {( , ) + |( , ) = 0 Es una ecuación diferencial exacta, existe una función tal que
  • 17. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 17 {( , ) + |( , ) = } } + } } Por lo tanto {( , ) = } } |( , ) = } } En este caso, podremos encontrar si integramos en ambos lados, es decir } } = {( , ) ( , ) = {( , ) + ( ) Donde ( ) es la constante de integración de la integral, ahora si derivamos con respecto a } } = } } {( , ) + h( ) Sabemos que •€ • = |( , ), entonces |( , ) = } } {( , ) + h( ) Despejando ´( ) h( ) = |( , ) − } } {( , ) Si integramos con respecto a , podemos determinar ( ) ( ) = `|( , ) − } } {( , ) a Ahora si reemplazamos ( ) en la ecuación inicial ( , ) ( , ) = {( , ) + `|( , ) − } } {( , ) a La solución implícita de la ecuación es ( , ) = /, de esta forma {( , ) + `|( , ) − } } {( , ) a = / Ejemplo 17: Solucione la siguiente ecuación diferencial (2 − 3) + (2 + 4) = 0 Solución: Primero debemos verificar si la ecuación diferencial es exacta {( , ) = 2 − 3 |( , ) = 2 + 4
  • 18. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 18 }{ } = 4 }| } = 4 Al ser exacta, existe una función tal que } } = {( , ) } } = |( , ) } } = 2 − 3 } } = 2 + 4 De la primera ecuación, integrando con respecto a se obtiene } } = 2 − 3 → ( , ) = − 3 + ( ) Si hallamos la derivada parcial con respecto a } } = 2 + ´( ) Reemplazando •€ • = 2 + 4 2 + 4 = 2 + ´( ) Despejando ´( ) 2 + 4 − 2 = ´( ) → ´( ) = 4 Integrando en ambos lados con respecto a , se obtiene ´( ) = 4 → ( ) = 4 De esta forma es ( , ) = − 3 + 4 La solución de forma explícita sería / = − 3 + 4 Para despejar podemos despejar la ecuación y hacer completación de cuadrados / + 3 = + 4 Añadimos el término (2/ ) en ambos miembros de la ecuación y factorizamos / + 3 + 4 = + 4 + ` 2 a → / + 3 + 4 = ` + 2 a Sacamos raíz cuadrada en ambos miembros y despejamos
  • 19. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 19 / + 3 + 4 = + 2 → = •/ + 3 + 4 − 2 La ecuación anterior es la solución general a la ecuación diferencial del inicio. Ejemplo 18: Solucione la siguiente ecuación diferencial 2 + ( − 1) = 0 Solución: Verificamos que la ecuación diferencial sea exacta {( , ) = 2 |( , ) = − 1 }{ } = 2 }| } = 2 Entonces existe una tal que } } = 2 } } = − 1 Integramos la primera ecuación con respecto a ( , ) = + ( ) Derivamos con respecto a } } = + ´( ) Reemplazamos •€ • − 1 = + ´( ) Despejamos ´( ) e integramos con respecto a ´( ) = −1 → ( ) = −1 → ( ) = − Reemplazamos ( ) en la ecuación ( , ) ( , ) = − En forma implícita − = / Despejando ( − 1) = / → = / − 1 Ejercicio 11: Resolver el problema de valor inicial a) ( + ) + (2 + − 1) = 0, (1) = 1.
  • 20. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 20 Soluciones por Sustitución Hasta el momento, hemos visto algunos métodos para solucionar ecuaciones diferenciales lineales, en muchos casos tendremos ecuaciones diferenciales que debemos sustituir o transformar para poder llegar a una solución, antes de realizar la sustitución, debemos verificar si la ecuación diferencial es homogénea Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Una función es homogénea si cumple la propiedad (+ , + ) = +∝ ( , ) En este caso ( , ) es homogénea de grado ∝. Ejemplo 19: Determinar si la siguiente función es homogénea y hallar el grado de ∝ ( , ) = 2 − 3 Solución: Reemplazamos (+ , + ) y solucionamos potencias (+ , + ) = 2(+ ) (+ ) − 3(+ )(+ ) → (+ , + ) = 2+ + − 3+ + Aplicando propiedades de los exponentes, multiplicamos las bases iguales, luego sacamos factor común (+ , + ) = 2+ − 3+ → (+ , + ) = + (2 − 3 ) Se puede observar que dentro del factor común vuelve a quedar la función ( , ) por lo tanto, la función es homogénea, se cumple que (+ , + ) = +∝ ( , ) y su grado ∝= 3. Saber identificar una función homogénea nos servirá para verificar si una ecuación diferencial es también homogénea, puesto que, una dada una ecuación diferencial {( , ) + |( , ) = 0 Es una ecuación diferencial homogénea si se cumple que {( , ) y |( , ), sean funciones homogéneas con el mismo grado. Ejemplo 20: Determinar si la siguiente ecuación diferencial es homogénea ( + ) + ( − ) = 0 Solución: En este caso hallamos {(+ , + ) y |(+ , + ) {(+ , + ) = + + + = + ( + ) |(+ , + ) = + − + + = + − + = + ( − ) Tanto { como | son funciones homogéneas y de grado ∝= 2, por lo tanto la ecuación diferencial es homogénea. Ejercicio 12: Determine si la siguiente ecuación diferencial es homogénea e identifique su grado de homogeneidad. − + b + ƒ c = 0
  • 21. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 21 Solución de una Ecuación Diferencial Homogénea Luego de identificar que una ecuación diferencial es homogénea, realizamos el proceso de sustitución o transformación de nuestra ecuación definiendo: = & Y sería la derivada del producto entre & y = & + & Luego sustituimos y en nuestra ecuación diferencial, las ecuaciones diferenciales homogéneas de primer orden al realizar el proceso de sustitución se lleva a una ecuación separable. Ejemplo 21: Encontrar la solución general a la siguiente ecuación diferencial ( + ) = Solución: Primero organizamos la ecuación diferencial de la forma {( , ) + |( , ) = 0 ( + ) − = 0 Ahora verificamos si las funciones { y | son homogéneas y si tienen el mismo grado {(+ , + ) = + + + + = + + + = + ( + ) |(+ , + ) = −+ = + (− ) Son homogéneas del mismo grado ∝= 2, ahora vamos a sustituir = & → = & + & → = & Reemplazando en la ecuación diferencial ((& ) + (& ) ) − ( & + & ) = 0 Realizando la ley distributiva en ambos paréntesis & + & − & − & = 0 Sumando términos semejantes & − & = 0 Esta nueva ecuación diferencial, es separable, solucionando la ecuación separable & = & → & & = & & → 1 = 1 & & Ahora integramos en ambos miembros de la ecuación 1 = 1 & & → ln + = − 1 & Despejando &
  • 22. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 22 & = − 1 ln + Recordemos que se había definido = & , por lo tanto & = / , reemplazando en la ecuación anterior = − 1 ln + → = − ln + Llegamos a la solución explicita de la ecuación diferencial. Ejemplo 22: Resuelva el problema de valor inicial T + U − = 0, (1) = 0 Solución: Verificamos si la ecuación es homogénea {(+ , + ) = + + + 4 4 = + T + U |(+ , + ) = −+ 4 4 = + T− U Las funciones son homogéneas de grado 1, realizamos el proceso de sustitución = & = & + & De esta forma ` + (& ) („ ) a − („ ) ( & + & ) = 0 Simplificamos ( + & „) − „ ( & + & ) = 0 Realizando la ley distributiva + & „ − „ & − & „ = 0 Sumando términos semejantes − „ & = 0 Separando las variables = „ & → 1 = „ & Integramos en ambos miembros de la ecuación 1 = „ & ln + = „ Despejando &
  • 23. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 23 ln(ln + ) = & Reemplazando & por / ln(ln + ) = La solución es = (ln(ln + )) Utilizando la condición inicial (1) = 0 0 = ln(ln 1 + ) → 0 = ln → ( = → = 1 La solución particular a la ecuación diferencial es = (ln(ln + 1)) Ejercicio 13: Resolver el problema de valor inicial = − , (1) = 2 Ecuación de Bernoulli La ecuación de la forma + 7( ) = Y( ) V Es una ecuación de Bernoulli, en las ecuaciones de este tipo se puede utilizar la sustitución & = 0 V , si derivamos & con respecto a se obtiene: & = (1 − %) V Al despejar ] ] = V 1 − % & Se puede deducir que V = & … 6I…, por lo tanto = & V 0 V 1 − % & Para sustituir en la ecuación de Bernoulli, necesitamos también = & 6 6I… & V 0 V 1 − % & + 7( )& 0 0 V = Y( )& V 0 V Llevando la ecuación anterior a la forma estándar
  • 24. Brian Bastidas Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden PÁG. 24 & + (1 − %)7( )& = (1 − %)Y( ) En conclusión, cualquier ecuación diferencial de Bernoulli, se puede transformar en una ecuación diferencial lineal de primer orden. Ejemplo 23: Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli, resolver + = Solución: Llevando la ecuación anterior a la ecuación de Bernoulli + 1 = Identificamos que % = 2, por lo tanto la sustitución que debemos hacer es & = 0 = −& & Necesitamos también sustituir = & 0 y = & , sustituimos en la ecuación `−& & a + 1 & 0 = & Llevando la ecuación a la forma estándar & − 1 & = − Ahora solucionamos la ecuación anterior como una ecuación lineal 7( ) = − 1 Y( ) = − El factor integrante es [ 0 ] = 12 = 12 I6 = 1 Utilizando la formula solución de la ecuación diferencial lineal & = [ − ∙ 1 + 1 = → & = ∙ −1 + → & = (− + ) → & = − + Inicialmente habíamos sustituido & = 0 , entonces 1 = − + → = 1 − + Ejercicio 14: Resuelva la siguiente ecuación diferencial + + + = +