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Ecuaciones Diferenciales




             Universidad Autónoma del Estado de Morelos




               Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería




                         Ecuaciones Diferenciales



                                 Grupo B



                                Ejercicios




                         Leonidez Sánchez Mateo




Leonidez Sánchez Mateo                                             Página 1
Ecuaciones Diferenciales


ECUACION DIFERENCIALES

    1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES.

EJERCICIOS:

Del ejerció 1 al 16, establezca si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal, y de su
orden.

         1.                  . Segundo orden, no lineal, parcial.

         2.                      . Segundo orden, no lineal, parcial.

         3.                            . Primer Orden, no lineal, ordinaria.
         4.                    . Primer orden, lineal, ordinaria
         5.                    . Tercer orden, lineal, ordinaria.
         6.          . Segundo orden, no lineal, ordinaria.
         7.                       .Segundo orden, no lineal, parcial.

         8.               . Cuarto orden, no lineal, parcial.

         9. x                   . Segundo orden, no lineal, parcial.
         10.                . Primer orden, lineal, parcial.
         11.                                  . Primer orden, lineal, ordinaria.
         12.                           . Segundo orden, no lineal, ordinaria
         13.                              . Cuarto orden, no lineal, parcial.
         14.                    . Primer orden, no lineal, ordinaria.
         15.                                 . Segundo orden, lineal, ordinaria.
         16.                   . Primer orden, no lineal, ordinaria.



Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales del 1 al 5.

    1.                .



    2.          .




Leonidez Sánchez Mateo                                                                    Página 2
Ecuaciones Diferenciales


    3.                          .




    4.                  .



    5.                  .




Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales 6 a la 10.

    6.                                     .




    7.                                     .


            =

                            =




    8.                                         .


                =                   =

                    =


    9.                                             .




    10.                                                 .


Leonidez Sánchez Mateo                                                       Página 3
Ecuaciones Diferenciales




ECUACIONES DE PRIMER ORDEN:

Obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada.

    1.



    2.


    3.

                                                           =

                                                       =




    4.


                      =               =                        =


             =



En siguientes ejercicios obtenga la solución general.

    1.

    Se resuelve por variables separables:

Donde:

                     .

Simplificando:


Leonidez Sánchez Mateo                                                                   Página 4
Ecuaciones Diferenciales




Se divide en ambos lados          :




Se integra en ambos lados con respecto a x:




Se evalúan las dos integrales:




Se resuelve para y(x):




Se simplifica la constante arbitraria:

Respuesta:

   2.

Se resuelve por variables separables                           :

Se resuelve para




Se divide en ambos lados por             :




Se integran ambas partes con respecto a x:


Leonidez Sánchez Mateo                                       Página 5
Ecuaciones Diferenciales




Igualando las integrales:



Resolviendo por f(x):



Simplificando la constante arbitraria:

La respuesta es:                         .

   3.

Resolviendo por variables separables

Se resuelve para        :




Se divide en ambos lados por         :




Integrando ambas partes con x:




Igualando las integrales:




Resolviendo por y(x):




Leonidez Sánchez Mateo                                      Página 6
Ecuaciones Diferenciales


Simplificando arbitrariamente las constantes:


La respuesta es:


   4.

Se resuelve para        :




Integrando ambas partes con respecto a x:

La respuesta es:

   5.

Resolviendo por variables separables            :

Resolviendo para            :




Se dividen ambas partes por     :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:



Resolviendo por f(x):




Leonidez Sánchez Mateo                                             Página 7
Ecuaciones Diferenciales


Simplificando la constante arbitraria:

La respuesta es:



   6.

Resolviendo por variables separables la ecuación

Y dividiendo ambas partes por            :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:




Resolviendo por y(x):




Simplificando la constante arbitraria:

La respuesta es:




   7.

Resolviendo la ecuación por variables separables   :

Dividiendo ambas partes por V (P):




Leonidez Sánchez Mateo                                                Página 8
Ecuaciones Diferenciales




Integrando ambas partes con respecto a P:




Igualando ambas integrales:



Resolviendo por V (P):




Simplificando la constante arbitraria:

La respuesta es:



   8.

Resolviendo por variables separables la ecuación         :

Resolviendo para         :




Dividiendo ambas partes por y(x):




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:


Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 9
Ecuaciones Diferenciales




Resolviendo por y(x):



Simplificando la constante arbitraria:

La respuesta es:



   9.

Resolviendo por variables separables la ecuación

Resolviendo por         :




Simplificando:




Dividiendo ambas partes con                        :




Integrando ambas partes con respecto a r:




Igualando las integrales:



Resolviendo con         :



Leonidez Sánchez Mateo                                               Página 10
Ecuaciones Diferenciales




Simplificando la constante arbitraria:

La respuesta es:




   10.

Resolviendo:

Factorizando:

Resolviendo              y                         y separándola:

Se resuelve por variables separables la ecuación                           :

Se resuelve con      :




Integrando ambas partes con respecto a x:




   11.

   Resolviendo por variables separables la ecuación                              .

   Resolviendo con




Integrando ambas partes con respecto a x:


Leonidez Sánchez Mateo                                                               Página 11
Ecuaciones Diferenciales




Simplificando la constante arbitraria:

La respuesta es:



   12.

Se resuelve por variables separables la ecuación

Resolviendo con       :




Resolviendo ambas partes con                :




Integrando ambas partes con respecto a r:




Igualando ambas integrales:



Resolviendo con       :



Simplificando las constantes arbitrarias:

La respuesta es:



   13.

Resolviendo por variables separable                              :



Leonidez Sánchez Mateo                                           Página 12
Ecuaciones Diferenciales


Resolviendo con         :




Factorizando:




Dividiendo ambas partes con




Integrando ambas partes con respecto x:




Igualando las integrales:

La respuesta es:



   14.

Resolviendo por variables separable la ecuación      .

Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Resolviendo con y(x):




Leonidez Sánchez Mateo                                          Página 13
Ecuaciones Diferenciales




Simplificando las constantes arbitrarias:


La respuesta es:



   15.

Resolviendo por variables separable la ecuación    .

Resolviendo con         :




Dividiendo ambas partes con        :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Resolviendo con y(x):

La respuesta es:

   16.




Leonidez Sánchez Mateo                                          Página 14
Ecuaciones Diferenciales




Resolviendo por variables separable la siguiente ecuación                      .

Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:

La repuesta es:



   17.

Resolviendo por variables separable la ecuación                     .

Dividiendo ambas partes con               :




Integrando ambas partes con respecto x:




Igualando ambas integrales:

La respuesta es:




   18.

Resolviendo por variables separable la ecuación               .

Dividiendo ambas partes con y(x):




Leonidez Sánchez Mateo                                                    Página 15
Ecuaciones Diferenciales


Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:




Resolviendo con y(x):




Igualando ambas integrales:

La respuesta es:

   19.

Resolviendo por variables separables la ecuación             .

Dividiendo ambas partes por             :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:

La respuesta es:



   20.

Resolviendo por variables separables la ecuación

Resolviendo con         :

Leonidez Sánchez Mateo                                           Página 16
Ecuaciones Diferenciales




Dividiendo ambas partes con y(x):




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:




Resolviendo con y(x):




Simplificando la constante arbitraria:

La respuesta es:



   21.

Resolviendo con :



Dividiendo ambas partes por la constante arbitraria la ecuación se simplifica.

Dividiendo ambas partes por      :




Resolviendo cada termino por separado.

Leonidez Sánchez Mateo                                                             Página 17
Ecuaciones Diferenciales


Divididas en dos ecuaciones:



Viendo la segunda ecuación y resolviendo con :

Restando 3         en ambas partes:

La respuesta es:



   22.

Resolviendo por variables separables la ecuación

Resolviendo con        :




Multiplicando ambas lados por                 :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:



Resolviendo con respecto a y(x):

La respuesta es:




   23.

Resolviendo por variables separables la ecuación



Leonidez Sánchez Mateo                                           Página 18
Ecuaciones Diferenciales


Resolviendo con      :




Integrando ambas partes con respecto a x:




   24.

Resolviendo por variables separables la ecuación

Resolviendo con      :




Integrando ambas partes con respecto a x:

La respuesta es: -



   25.

Resolviendo por variables separables la ecuación



Resolviendo con      :




Integrando ambas partes con respecto a x:

La respuesta es:



   26.



Leonidez Sánchez Mateo                                           Página 19
Ecuaciones Diferenciales


Resolviendo por variables separables la ecuación



Resolviendo con       :




Dividiendo ambas partes con                  :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:



Resolviendo con respecto a y(x):



Simplificando la constante arbitraria:

La respuesta es:

Determine en cada ejercicio si la función es o no homogénea.

FUNCIONES HOMOGENEAS

   1.




                                            Función Homogénea 2do grado



   2.



Leonidez Sánchez Mateo                                                         Página 20
Ecuaciones Diferenciales



                               )
                                               Función no homogénea




   3.




                             Función homogénea 1er grado



   4.



                                       Función no homogénea




   5.

                                       Función no homogénea



En las siguientes ecuaciones encuentre la solución.

   1.

Solución de la ecuación diferencial:

Resolviendo:




Dejando                  , queda                        :



Leonidez Sánchez Mateo                                                              Página 21
Ecuaciones Diferenciales




Se simplifica a:




Resolviendo con      :




Dividiendo ambas partes con          :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:




Sustituyen con                :




   2.




Resolviendo por la ecuación de Bernoulli              .

Reescribiendo la ecuación:

Leonidez Sánchez Mateo                                    Página 22
Ecuaciones Diferenciales




Dividiendo ambas partes con




Dejando                  ,quedando como         :




Dejando

Multiplicando ambas partes por




Sustituyendo                :




Aplicando la regla de la inversa del producto       donde la parte de la
izquierda queda:




Integrando ambas partes con respectó x:




Igualando las integrales:




Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 23
Ecuaciones Diferenciales


Dividiendo ambas partes con          :



Resolviendo con y(x) en              :




   3.

Resolviendo                                     .

Dejando y(x)=        , quedando                     .




Simplificando:




Resolviendo con




Dividiendo ambas partes con          :




Integrando ambas integrales con respecto a x:




Igualando las integrales:


Leonidez Sánchez Mateo                                                Página 24
Ecuaciones Diferenciales




Resolviendo con v(x):




Simplificando las constantes arbitrarias:




Regresando y sustituyendo con y(x)=




   4.                             .

Resolviendo

Dejando y(x)=xv(x), quedando                    :




Simplificando:




Resolviendo con




Dividiendo ambas partes con                 :




Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 25
Ecuaciones Diferenciales


Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Resolviendo por v(x):




Sustituyendo antes por y(x)=     :




   5.

Resolviendo                                 :

Dando y(x)=xv(x), quedando                      :




Simplificando:




Resolviendo por         :




Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 26
Ecuaciones Diferenciales


Dividiendo ambas partes con             :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Sustituyendo antes por y(x)=xv(x):




   6.

Resolviendo                                         .

Dando y(x)=xv(x), quedando                      :




Simplificando:




Resolviendo por




Dividiendo ambas partes por                 :


Leonidez Sánchez Mateo                                                Página 27
Ecuaciones Diferenciales




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Resolviendo por




Sustituyendo antes por y(x)=




   7.

Resolviendo                                 .




Dando v(u)=uw(u), quedando                      :




Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 28
Ecuaciones Diferenciales


Simplificando:




Resolviendo por         :




Dividiendo ambas partes por                 :




Integrando ambas partes con respecto a u:




Igualando las integrales:



Resolviendo por w(v):




Sustituyendo por v(u)=uw(u):




Leonidez Sánchez Mateo                                        Página 29
Ecuaciones Diferenciales




   8.

Resolviendo

Dejando y(x)=           , quedando              :




Simplificando:




Resolviendo por         :




Dividiendo ambas partes por                 :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:



Resolviendo por v(x):




Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 30
Ecuaciones Diferenciales




Sustituyendo antes por y(x)=




Resolviendo por la ecuación de Bernoulli           .

Empleando en ambas partes




Dividiendo en ambas partes por :




Empleando                 , quedando       :




Dando                              :

Multiplicando en ambas partes por      :




Leonidez Sánchez Mateo                                       Página 31
Ecuaciones Diferenciales


Sustituyendo 2x=            :




Aplicando la inversa del producto                en la izquierda:




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Dividiendo ambas partes por              :




Resolviendo por y(x) en              :




   9.

Resolviendo                                  :

Dejando y(x)=        , quedando                  :




Leonidez Sánchez Mateo                                                     Página 32
Ecuaciones Diferenciales


Resolviendo por       :




Factorizando:




Dividiendo ambas partes por             :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Sustituyendo antes con y(x)=




   10.

Resolviendo la ecuación                         .

Dejando y(x)=        , quedando             :




Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 33
Ecuaciones Diferenciales




Resolviendo por       :




Factorizando:




Dividiendo ambas partes por             :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Sustituyendo antes con y(x)=      :




   11.

Resolviendo

Dejando y(x)=        , quedando             :




Leonidez Sánchez Mateo                                        Página 34
Ecuaciones Diferenciales


Simplificando:




Resolviendo por         :




Dividiendo ambas partes por                 :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:



Resolviendo por v(x):



Simplificando las constantes arbitrarías:



Sustituyendo antes por y(x)=




     12.


Resolviendo
 .

Dejando y(x)=           , quedando              :


Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 35
Ecuaciones Diferenciales




Simplificando:




Resolviendo por          :




Multiplicando ambas partes por              :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:



Resolviendo por v(x):




Sustituyendo antes con y(x)=       :




   13.

         Resolviendo                                     :

         Dejando y(x)=       , quedando         :


Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 36
Ecuaciones Diferenciales




         Simplificando:



         Resolviendo por       :



         Multiplicando ambos partes por                  :


         Integrando ambas partes con respecto a x:


         Igualando las integrales:


         Sustituyendo antes por y(x)=      :




   14.

Resolviendo                                          .

Dejando y(x)=          , quedando                            :




Resolviendo por           :




Factorizando:




Leonidez Sánchez Mateo                                                         Página 37
Ecuaciones Diferenciales




Dividiendo ambas partes por             :




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Sustituyendo antes por y(x)=




   15.

Resolviendo                                     :

Dando t(s)=       , quedando                :




Simplificando:




Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 38
Ecuaciones Diferenciales




Resolviendo por         :




Dividiendo ambas partes por            :




Integrando ambas partes con respecto s:




Igualando las integrales:




Resolviendo por v(s):




Simplificando la constante arbitraria:




Sustituyendo antes por t(s)=       :




Leonidez Sánchez Mateo                                   Página 39
Ecuaciones Diferenciales




Analice cada una de las ecuaciones siguientes para saber si son exactas y resuélvalas. Las
que no lo sean podrán resolverse con los métodos estudiados en las secciones anteriores.

   1.                                   .

Resolviendo                                        .

Dando                      ,y                 .

Esta es una ecuación exacta, por que                              ;y                     :

Se define f(x,y),por lo tanto                     ,y

Entonces la solución estará dada por                   , cuando        sea la constante arbitraria.

Integramos           con respecto a x en un orden para encontrar                   :

                                            , cuando g(y) es arbitraria función de y.

Se deriva         , con respecto a y para encontrar g(y):




Sustituyendo en                    :




Resolviendo por        :




Integrando        , con respecto a y:


g(y)=




Leonidez Sánchez Mateo                                                                       Página 40
Ecuaciones Diferenciales


Sustituyendog(y) en f(x,y):




La solución es f(x,y)= .




Resolviendo para y:



Simplificando la constante arbitraria:




     2.                                  .

Resolviendo                                                       .

Dando                      ,y                           .

Esta es una ecuación exacta, por que                              .

Se define f(x,y),por lo tanto                    ,y                        .

Entonces la solución estará dada por                   , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando          con respecto a x         .

                                                      , cuando         es arbitraria con la función
y.

Se deriva         con respecto a                             :




Sustituyendo en                    .



Leonidez Sánchez Mateo                                                                       Página 41
Ecuaciones Diferenciales




Resolviendo con         :




Integrando         , con respecto a :




Sustituyendo                    :



La solución en f(x,y)




   3.         −3

Resolviendo                                            .

Dando                           y                .

Esta es una ecuación exacta, por que                            .

Se define f(x,y),por lo tanto               ,y                           .

Entonces la solución estará dada por                 , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x   .

                                                      , cuando          es arbitraria con la
función y.

Se deriva          con respecto a                          :




Leonidez Sánchez Mateo                                                                     Página 42
Ecuaciones Diferenciales


Sustituyendo en                     :




Sustituyendo en                     .




Resolviendo con         :




Integrando        , con respecto a :




Sustituyendo                    :




La solución en f(x,y)       :




Resolviendo por y:




Simplificando la constante arbitraria:




Leonidez Sánchez Mateo                                 Página 43
Ecuaciones Diferenciales




   4.

Resolviendo por variables separable               .

Resolviendo con




Simplificando:




Dividiendo ambas partes con y(x):




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:



Resolviendo por y(x):




Simplificando la constante arbitraria:




Leonidez Sánchez Mateo                                    Página 44
Ecuaciones Diferenciales




     5.

Resolviendo                                      .

Dando                       y                .

Esta es una ecuación exacta, por que                     .

Entonces la solución estará dada por        , cuando         sea la constante arbitraria.

Integrando          con respecto a x    .

                                            , cuando           es arbitraria con la función
y.

Se deriva         con respecto a                     :




Sustituyendo en                     :




Resolviendo por        :




Integrando        , con respecto a :



Sustituyendo                    :




Leonidez Sánchez Mateo                                                            Página 45
Ecuaciones Diferenciales




La solución en f(x,y)     :




Resolviendo por y:




     6.

Resolviendo                                            .

Esta es una ecuación exacta, por que                            .

Dando                         ,y                 .

Esta es una ecuación exacta, por que                            .

Se define f(x,y),por lo tanto               ,y                           .

Entonces la solución estará dada por                 , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x   .

                                                 , cuando             es arbitraria con la función
y.

Se deriva         con respecto a                           :




Sustituyendo en                    :




Leonidez Sánchez Mateo                                                                     Página 46
Ecuaciones Diferenciales


Resolviendo por         :




Integrando        , con respecto a :



Sustituyendo                    :




La solución en f(x,y)       :




Resolviendo por y:




Simplificando la constante arbitraria:




   7.

Resolviendo                                              .

Rescribiendo la ecuación:




Dando                               ,y   .

Esta es una ecuación exacta, por que         .


Leonidez Sánchez Mateo                                         Página 47
Ecuaciones Diferenciales


Se define f(x,y),por lo tanto                 ,y                       .

Entonces la solución estará dada por               , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x en un orden de          .

                                                                           , cuando       es
arbitraria con la función y.

Se deriva         con respecto a                         :




Sustituyendo en                     :




Resolviendo por         :




Integrando        , con respecto a :




Sustituyendo                    :



La solución en f(x,y)       :



Resolviendo por y:




Leonidez Sánchez Mateo                                                                   Página 48
Ecuaciones Diferenciales




Simplificando la constante arbitraria:




    8.

Resolviendo                                                                  .

Dando                            ,y                              .

Esta es una ecuación exacta, por lo tanto                                .

Definiendo          , por lo tanto               ,y                      :

Entonces la solución estará dada por             , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando          con respecto a x en un orden de         .

                                                      , cuando g(v) , es una constante
arbitraria de v.

Se deriva          con respecto a                      :




Sustituyendo en                       :




Resolviendo con        :




Leonidez Sánchez Mateo                                                               Página 49
Ecuaciones Diferenciales




Integrando        , con respecto a v:



Sustituyendo g(v) en            :



La solución es              :




   9.



   10.

Resolviendo por variables separables                  .

Resolviendo por         :




Dividiendo ambas partes con             :

Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Resolviendo con y(x):




Leonidez Sánchez Mateo                                    Página 50
Ecuaciones Diferenciales


Simplificando la constante arbitraria:




   11.

Resolviendo con la ecuación de Bernoulli


Rescribiendo la ecuación:




Dividiendo ambas partes con                      :




Dando v(x)=        , que da                              :




Dando                                                :

Multiplicando ambas partes por           :




Sustituyendo                                 :




Aplicando la inversa del producto                            en la izquierda.




Leonidez Sánchez Mateo                                                                 Página 51
Ecuaciones Diferenciales


Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:



Dividiendo ambas partes                       :




Resolviendo con y(x) en                   :




   12.

Resolviendo                                                                        .

Dando                                ,y                               .

Esta ecuación es exacta, por que                                  .

Definiendo          , por lo tanto                    y                       .

Entonces la solución estará dada por              , cuando        sea la constante arbitraria.

Integrando          con respecto a x en un orden de           .




Se deriva         con respecto a                          :




Leonidez Sánchez Mateo                                                                  Página 52
Ecuaciones Diferenciales




Sustituyendo en                          :




Resolviendo con        :




Integrando         con respecto a z:




Sustituyendo con           en        :




La solución es                  :




   13.

Resolviendo                                                                   .

Dando                               ,y                               .

Esta es una ecuación exacta, por que                                              .

Se define f(x,y),por lo tanto                 ,y                         .

Entonces la solución estará dada por               , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x en un orden de          .




Leonidez Sánchez Mateo                                                                     Página 53
Ecuaciones Diferenciales




                                                       , cuando                es arbitraria
con la función y.

Se deriva           con respecto a                 :




Sustituyendo en                      :




Resolviendo con




Integrando          , con respecto a x:



Sustituyendo



La solución es                  :




   14.

Resolviendo                                                            .

Dando                                     y                        .

Esta es una ecuación exacta, por que                                       .

Se define f(x,y),por lo tanto                 ,y          .


Leonidez Sánchez Mateo                                                             Página 54
Ecuaciones Diferenciales




Entonces la solución estará dada por              , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x en un orden de         .

                                                                                          ,
cuando         es arbitraria con la función y.

Se deriva          con respecto a                       :




Sustituyendo en                        :




Resolviendo con         :




Integrando         con respecto a x:



Sustituyendo



La solución es               :



Resolviendo con y:




Leonidez Sánchez Mateo                                                                Página 55
Ecuaciones Diferenciales




   15.

Resolviendo                                                                            .

Dando                                    ,y                                     .

Esta ecuación es exacta, por que                                        .

Definiendo          , por lo tanto               ,y                         :

Entonces la solución estará dada por              , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando          con respecto a r en un orden de          .

                                                                                    , cuando
      es arbitraria con la función .

Se deriva          con respecto a                       :




Sustituyendo en




Resolviendo con        :




Integrando        , con respecto



Sustituyendo




Leonidez Sánchez Mateo                                                               Página 56
Ecuaciones Diferenciales


La solución en                 :




Resolviendo por :




   16.

Resolviendo

Dando                               ,y

Esta es una ecuación exacta, por que                                         .

Se define f(x,y),por lo tanto                ,y                       .

Entonces la solución estará dada por              , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando          con respecto a x en un orden de          .

                                                                          , cuando       es
arbitraria con la función y.

Se deriva         con respecto a                        :




Leonidez Sánchez Mateo                                                                  Página 57
Ecuaciones Diferenciales


Sustituyendo en                     :




Resolviendo con




Integrando




Sustituyendo



La solución es              :




   17.

Resolviendo                                                                                 .

Dando                                   ,y                                     .

Esta ecuación es exacta, por que                                                   .

Definiendo         , por lo tanto               ,y                      :

Entonces la solución estará dada por             , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando         con respecto a r en un orden de          .

                                                                             , cuando
es arbitraria con la función .




Leonidez Sánchez Mateo                                                                 Página 58
Ecuaciones Diferenciales




Se deriva          con respecto a   :




Sustituyendo en




Resolviendo con        :




Integrando        , con respecto



Sustituyendo



La solución en              :



Resolviendo con




Leonidez Sánchez Mateo                                Página 59
Ecuaciones Diferenciales




   18.

Resolviendo

Dando                              ,y

Esta es una ecuación exacta, por que                                                       .

Se define f(x,y),por lo tanto                ,y                        .

Entonces la solución estará dada por              , cuando        sea la constante arbitraria.



Integrando          con respecto a x en un orden de           .

                                                             , cuando            es arbitraria con
la función y.

Se deriva         con respecto a                        :




Sustituyendo en                    :




Resolviendo con        :




Integrando




Leonidez Sánchez Mateo                                                                   Página 60
Ecuaciones Diferenciales




Sustituyendo       , en



La solución



Resolviendo con y:




Simplificando la constante arbitraria:




   19.

Resolviendo                                     .

Dando                  ,y                   .

Esta es una ecuación exacta, por que                            .

Se define f(x,y),por lo tanto                   ,y                       .

Entonces la solución estará dada por                 , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x en un orden de            .

                                    , cuando         es arbitraria con la función y.

Se deriva         con respecto a                            :




Leonidez Sánchez Mateo                                                                     Página 61
Ecuaciones Diferenciales




Sustituyendo en                   :




Resolviendo con          :




Integrando




Sustituyendo      , en




La solución es               :




   20.

Resolviendo                           .

Dando                , quedando           :




Simplificando:




Leonidez Sánchez Mateo                                      Página 62
Ecuaciones Diferenciales


Resolviendo con       :




                               –
Dividiendo ambas partes con




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Resolviendo con




Sustituyendo antes con y(x)=




   21.

Resolviendo

Dando                              ,y       .




Leonidez Sánchez Mateo                                        Página 63
Ecuaciones Diferenciales




Esta es una ecuación exacta, por que                                  .

Se define f(x,y),por lo tanto                 ,y                          .

Entonces la solución estará dada por               , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x en un orden de          .

                                                                  , cuando            es arbitraria
con la función y.

Se deriva           con respecto a                       :




Sustituyendo en                      :




Resolviendo con            :




Integrando



Sustituyendo        , en




La solución es                  :




Leonidez Sánchez Mateo                                                                      Página 64
Ecuaciones Diferenciales




Resolviendo con y:




Simplificando las constantes arbitrarias:




   22.

Resolviendo                                                             .

Dando                           ,y                             .

Esta es una ecuación exacta, por que                                            .

Se define f(x,y),por lo tanto                 ,y                            .

Entonces la solución estará dada por               , cuando            sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x en un orden de               .

                                                       , cuando             es arbitraria con la
función y.

Se deriva         con respecto a                           :




Sustituyendo en                      :




Leonidez Sánchez Mateo                                                                            Página 65
Ecuaciones Diferenciales


Resolviendo con




Integrando        con respecto a y:



Sustituyendo      , en



La solución es              :



Resolviendo con y:




Simplificando las constantes arbitrarias:




   23.

Resolviendo                                                      .

Dando                                  ,y         .




Leonidez Sánchez Mateo                                    Página 66
Ecuaciones Diferenciales




Esta es una ecuación exacta, por que                                              .

Se define f(x,y),por lo tanto                    ,y                       .

Entonces la solución estará dada por                  , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x en un orden de             .




                                                                                             ,
cuando         es arbitraria con la función y.

Se deriva          con respecto a                           :




Sustituyendo en                        :




Resolviendo con




Integrando         con respecto a y:



Sustituyendo        , en




Leonidez Sánchez Mateo                                                                      Página 67
Ecuaciones Diferenciales




La solución es                  :




Resolviendo con y:




   24.

Resolviendo                                                                                .

Dando                                      ,y                                       .

Esta es una ecuación exacta, por que                                            .

Se define f(x,y),por lo tanto                   ,y                       .

Entonces la solución estará dada por                 , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando           con respecto a x en un orden de            .

                                                                                        , cuando
es arbitraria con la función y.

Se deriva         con respecto a                           :




Sustituyendo en                     :




Leonidez Sánchez Mateo                                                                         Página 68
Ecuaciones Diferenciales




Resolviendo con




Integrando       con respecto a y:



Sustituyendo       , en




La solución es                  :




   25.

Resolviendo                                                                            .

Rescribiendo la ecuación:




Dando                                  ,y                                    .

Esta es una ecuación exacta, por que                                 .

Se define f(x,y),por lo tanto                ,y                          .

Entonces la solución estará dada por              , cuando       sea la constante arbitraria.

Integrando          con respecto a x en un orden de          .




Leonidez Sánchez Mateo                                                                     Página 69
Ecuaciones Diferenciales




                                                     , cuando        es
arbitraria con la función y.

Se deriva         con respecto a            :




Sustituyendo en                       :




Resolviendo con




Integrando        con respecto a y:




La solución es                 :




Resolviendo con y:




Simplificando las constantes arbitrarias:




Leonidez Sánchez Mateo                                        Página 70
Ecuaciones Diferenciales




Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones.

   1.                            .

Resolviendo la ecuación lineal                           .

Sustrayendo     de ambas partes y dividiendo con –x:




Dando                                :

Y multiplicando ambas partes por         :




Sustituyendo               :




Aplicando la inversa del producto                      , en la parte izquierda:




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:




Leonidez Sánchez Mateo                                                            Página 71
Ecuaciones Diferenciales




Dividiendo ambas partes con           :




   2. y'=x-2y

Resolviendo la ecuación lineal              :

Añadiendo         en ambas partes:




Dando

Y multiplicando ambas partes por     :




Sustituyendo                  :




Aplicando la inversa del producto               , en la parte izquierda:




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando ambas integrales:




Leonidez Sánchez Mateo                                                     Página 72
Ecuaciones Diferenciales




Dividiendo ambas partes con                :




   3. (y+1)dx+(4x-y)dy=0.

Resolviendo

Dando                    ,y                    .

Esta no es una ecuación exacta, por que                  .

Encontrando un factor integrante          por lo tanto
es exacta.

Esto significa




Quedando solo        de la parte izquierda:




Integrando ambas partes con respecto a y:



Tomando la exponencial de ambas partes:



Y multiplicando ambas partes por                              con          :




Leonidez Sánchez Mateo                                                     Página 73
Ecuaciones Diferenciales




Dando                       ,y                               .

Esta es una ecuación exacta, por que                                          .

Se define f(x,y),por lo tanto                ,y                           .

Entonces la solución estará dada por              , cuando           sea la constante arbitraria.

Integrando          con respecto a x en un orden de              .

                                              , cuando               es arbitraria con la función y.

Se deriva         con respecto a                         :




Sustituyendo en                     :




Resolviendo con




Integrando        respecto a y:




Sustituyendo        en f(x, y):




La solución es                  :




Leonidez Sánchez Mateo                                                                          Página 74
Ecuaciones Diferenciales


   4. y'=x-4xy.

Resolviendo por variables separables               :

Simplificando:




Dividiendo ambas partes con




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Resolviendo con        :




Simplificando las constantes arbitrarias:




   5. y'=cscx+ycot x

Resolviendo la ecuación lineal                         :

Extrayendo                  en ambas partes:




Dando                                          :

Leonidez Sánchez Mateo                                                   Página 75
Ecuaciones Diferenciales


Multiplicando ambas partes con          :




Sustituyendo                                :




Aplicando la inversa del producto                   , con la parte de la izquierda:




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:



Dividiendo ambas partes con                     :




   6. y'=csc x-y cot x

Resolviendo la ecuación lineal                               .

Añadiendo                   en ambas partes:




Dando                                           :

Multiplicando       en ambas partes:




Leonidez Sánchez Mateo                                                         Página 76
Ecuaciones Diferenciales


Sustituyendo                  :




Aplicando la inversa del producto                       , en la parte de la izquierda:




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:



Dividiendo ambas partes con




   7. (y-cos2 x)dx+cos x dy=0.

Resolviendo la ecuación lineal                                     .

Extrayendo         ) en ambas partes y dividiendo con




Dando                                            :

Multiplicando       en ambas partes:




Sustituyendo



Leonidez Sánchez Mateo                                                               Página 77
Ecuaciones Diferenciales




Aplicando la inversa del producto               en la parte de la izquierda:




Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:




Dividiendo ambas partes con                 :




   8.                       .

Resolviendo por variables separables

Simplificando:




Dividiendo ambas partes con




Integrando ambas partes con respecto a x:



Leonidez Sánchez Mateo                                                   Página 78
Ecuaciones Diferenciales




Igualando las integrales:




Resolviendo con y(x):




Simplificando las constantes arbitrarias.




   9. (y-x+xycot x)dx+ x dy=0.

Resolviendo la ecuación lineal                                  .

Añadiendo x en ambas partes y dividiéndolo con x:




Dando

Multiplicando ambas partes con         :




Sustituyendo




Aplicando la propiedad de la inversa                , en la parte de la izquierda:




Leonidez Sánchez Mateo                                                      Página 79
Ecuaciones Diferenciales


Integrando ambas partes con respecto a x:




Igualando las integrales:



Dividiendo ambas parte con                  :




   10.                                          .

Resolviendo la ecuación lineal

Rescribiendo la ecuación:




Dando                                  .

Multiplicando ambas partes con




Sustituyendo                      :




Aplicando la propiedad de la inversa                , en la parte de la izquierda:




Integrando ambas partes con respecto a x:


Leonidez Sánchez Mateo                                                      Página 80
Ecuaciones Diferenciales




Dividiendo ambas parte con                 :




   11.                                             .

Resolviendo la ecuación lineal                                          .

Rescribiendo la ecuación:




Dando                                          .

Multiplicando ambas partes con         :




Sustituyendo




Aplicando la propiedad de la inversa                   , en la parte de la izquierda:




Integrando ambas partes con respecto a x:




Leonidez Sánchez Mateo                                                         Página 81
Ecuaciones Diferenciales


Igualando las integrales:




Dividiendo ambas partes con        :




Factor integrante

1.-

Se resuelve por Bernoulli




Rescribiendo:




Dividiendo por




Dejando:              nos queda:




Dejando:

Y multiplicando por




Sustituyendo:


Leonidez Sánchez Mateo                               Página 82
Ecuaciones Diferenciales




Integrando:




2.-

Como:

La ecuación no es exacta

Encontrando el factor integral:




Tomando el exponentes en ambos lados

Y multiplicando por         quedando




Asiéndola exacta:


Integrando:

Derivando:


Leonidez Sánchez Mateo                               Página 83
Ecuaciones Diferenciales


Igualando:

             Integrando:


Sustituyendo:


=



3.-

                              Por lo que no es exacta. Encontrando el

factor:


                           Multiplicándolo:



Es exacta:

Integrando:




Derivando:


Sustituyendo:




Sustituyendo:



4.-



Leonidez Sánchez Mateo                                            Página 84
Ecuaciones Diferenciales




Por lo tanto es exacta: integrando y diferenciando




Sustituyendo:

Resolviendo:




Sustituyendo:




5.-

                               no es exacta

Encontrando el factor integrante:




Multiplicando:



Leonidez Sánchez Mateo                                             Página 85
Ecuaciones Diferenciales


                    es exacta


Integrando:

Derivando:




Sustituyendo:




Sustituyendo:

La solución es:




6.-

Como:

No es exacta


Encontrando el factor integrante:




Se hace exacta:




Leonidez Sánchez Mateo                            Página 86
Ecuaciones Diferenciales




Integrando:


derivando:

Sustituyendo:




Sustituyendo:


Solución:




7.-

No es exacta por:




Sacando el factor integrante:

                         Multlipicandolo



                .



Se integra:



Se deriva:

Leonidez Sánchez Mateo                                   Página 87
Ecuaciones Diferenciales




Sustituye:



Integrando:




Sustituyendo:


Solución


8.-

Haciendo que:

                                           Simplificando

x                                        resolviendo




El factor:               y dividiendo:




Leonidez Sánchez Mateo                                 Página 88
Ecuaciones Diferenciales


9.-

                         Encontrando el factor:




Multiplicándolo:




Integrando:

Derivando:

Sustituyendo:




Sustituyendo:




10.-



                                                  no es exacta: encontrando el factor
integrante.




Multiplicándolo
                                                                              es exacta:




Leonidez Sánchez Mateo                                                          Página 89
Ecuaciones Diferenciales


Integrando:




Derivando:



Sustituyendo:                         y resolviendo:



Sustituyendo:


Respuesta:




11.-

Dejando:




Simplificando:

resolviendo




                         Dividiendo


                   Integrando:        evaluando:



Resolviendo:


Simplificándolo:


Leonidez Sánchez Mateo                                  Página 90
Ecuaciones Diferenciales




 12.-




 No es exacta. Encontrando el factor integrante




 Multiplicando:




Integrando:




 Derivando:




 Sustituyendo:




 Encontrando:                  ,




 Sustituyendo




 Leonidez Sánchez Mateo                                         Página 91
Ecuaciones Diferenciales


13.-

Dejando:




Resolviendo:


                                        Integrando:




14.-




                         No es exacta

Factor integrante




Multiplicando:

Es exacta:




Integrando:

Derivando:

Leonidez Sánchez Mateo                                        Página 92
Ecuaciones Diferenciales


Sus.




Encontrando:




15.-




No es exacta. Encontrando factor integral:




Multiplicándolo:

Se hace exacta:




Integrando:


Derivando:


Sustituyendo:




Encontrando


Leonidez Sánchez Mateo                                     Página 93
Ecuaciones Diferenciales


Sustituyendo:


16.-




No es exacta: Encontrando factor integrante

Multiplicándolo:

                                        Es exacta Integramos:




Derivando:



Sustituyendo:

Encontrando

Sustituyendo:



17.-

Resolviendo:

Dividiendo por:     :                            Sea               queda:



Dejando que


Multiplicando da:




Leonidez Sánchez Mateo                                                        Página 94
Ecuaciones Diferenciales



Sustituyendo:

Integrando

Dividiendo:


Resolviendo:



18.-




Dividiendo entre:


Dejando:            queda:

Sustituyendo:




Integrando:

Dividiendo entre:




19.-


Leonidez Sánchez Mateo                     Página 95
Ecuaciones Diferenciales




Dividiendo entre:




Integrando.




20.-

Como:


No es exacta por lo que se encuentra el factor integrante:           ;




Multiplicando:                                       se convierten una exacta:



Integramos una de las funciones:




Después derivamos:




Leonidez Sánchez Mateo                                                           Página 96
Ecuaciones Diferenciales


Sustituimos:




Encontrando la cte:




Sustituyendo:




21.-

Rescribiendo:

Dividiendo por:


                      Dejar             queda:


Dejar:                             y multiplicando:


Sustituyendo:                 queda:




Integrando:                                           Y dividiendo por:




22.-

Rescribiendo la ecuación:




Dividiendo por:


Leonidez Sánchez Mateo                                                           Página 97
Ecuaciones Diferenciales




Dejando:                   nos queda:




Dejando a u como:                             y multiplicando queda:




Sustituyendo:




Integrando:

                            Dividiendo por:




23.-                               como:                         no es exacta


Encontrando el factor;




Y multiplicándolo queda:



Se hace exacta:




Leonidez Sánchez Mateo                                                          Página 98
Ecuaciones Diferenciales


Integrando una de las funciones:




Derivando:

Sustituyendo:

Y encontrando

Sustituyendo en la ecuación:       =

24.-

Rescribiendo:




Dividiendo por:                    queda




Dejando:




Dejando:

Multiplicándolo:




Sustituyendo:




Leonidez Sánchez Mateo                                   Página 99
Ecuaciones Diferenciales




Integrando:




25.-

Rescribiendo:

Dividiendo por:




Dejando:            queda:




Como:                        multiplicándolo:




Sustituyendo:




Leonidez Sánchez Mateo                                       Página 100
Ecuaciones Diferenciales




Integrando:

                 Dividiendo entre:




26.-

Como:




Esta ecuación es exacta

        Integramos:

                                         +x

        Derivando:




        Sustituyendo




Integrando:

Leonidez Sánchez Mateo                            Página 101
Ecuaciones Diferenciales


Sustituyendo:




Leonidez Sánchez Mateo                Página 102

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Ecuaciones difererenciales- leonidez sanchez mateo

  • 1. Ecuaciones Diferenciales Universidad Autónoma del Estado de Morelos Facultad de Ciencias Químicas e Ingeniería Ecuaciones Diferenciales Grupo B Ejercicios Leonidez Sánchez Mateo Leonidez Sánchez Mateo Página 1
  • 2. Ecuaciones Diferenciales ECUACION DIFERENCIALES 1. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES. EJERCICIOS: Del ejerció 1 al 16, establezca si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal, y de su orden. 1. . Segundo orden, no lineal, parcial. 2. . Segundo orden, no lineal, parcial. 3. . Primer Orden, no lineal, ordinaria. 4. . Primer orden, lineal, ordinaria 5. . Tercer orden, lineal, ordinaria. 6. . Segundo orden, no lineal, ordinaria. 7. .Segundo orden, no lineal, parcial. 8. . Cuarto orden, no lineal, parcial. 9. x . Segundo orden, no lineal, parcial. 10. . Primer orden, lineal, parcial. 11. . Primer orden, lineal, ordinaria. 12. . Segundo orden, no lineal, ordinaria 13. . Cuarto orden, no lineal, parcial. 14. . Primer orden, no lineal, ordinaria. 15. . Segundo orden, lineal, ordinaria. 16. . Primer orden, no lineal, ordinaria. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales del 1 al 5. 1. . 2. . Leonidez Sánchez Mateo Página 2
  • 3. Ecuaciones Diferenciales 3. . 4. . 5. . Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales 6 a la 10. 6. . 7. . = = 8. . = = = 9. . 10. . Leonidez Sánchez Mateo Página 3
  • 4. Ecuaciones Diferenciales ECUACIONES DE PRIMER ORDEN: Obtenga la solución particular que satisfaga la condición inicial dada. 1. 2. 3. = = 4. = = = = En siguientes ejercicios obtenga la solución general. 1. Se resuelve por variables separables: Donde: . Simplificando: Leonidez Sánchez Mateo Página 4
  • 5. Ecuaciones Diferenciales Se divide en ambos lados : Se integra en ambos lados con respecto a x: Se evalúan las dos integrales: Se resuelve para y(x): Se simplifica la constante arbitraria: Respuesta: 2. Se resuelve por variables separables : Se resuelve para Se divide en ambos lados por : Se integran ambas partes con respecto a x: Leonidez Sánchez Mateo Página 5
  • 6. Ecuaciones Diferenciales Igualando las integrales: Resolviendo por f(x): Simplificando la constante arbitraria: La respuesta es: . 3. Resolviendo por variables separables Se resuelve para : Se divide en ambos lados por : Integrando ambas partes con x: Igualando las integrales: Resolviendo por y(x): Leonidez Sánchez Mateo Página 6
  • 7. Ecuaciones Diferenciales Simplificando arbitrariamente las constantes: La respuesta es: 4. Se resuelve para : Integrando ambas partes con respecto a x: La respuesta es: 5. Resolviendo por variables separables : Resolviendo para : Se dividen ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: Resolviendo por f(x): Leonidez Sánchez Mateo Página 7
  • 8. Ecuaciones Diferenciales Simplificando la constante arbitraria: La respuesta es: 6. Resolviendo por variables separables la ecuación Y dividiendo ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: Resolviendo por y(x): Simplificando la constante arbitraria: La respuesta es: 7. Resolviendo la ecuación por variables separables : Dividiendo ambas partes por V (P): Leonidez Sánchez Mateo Página 8
  • 9. Ecuaciones Diferenciales Integrando ambas partes con respecto a P: Igualando ambas integrales: Resolviendo por V (P): Simplificando la constante arbitraria: La respuesta es: 8. Resolviendo por variables separables la ecuación : Resolviendo para : Dividiendo ambas partes por y(x): Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Leonidez Sánchez Mateo Página 9
  • 10. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo por y(x): Simplificando la constante arbitraria: La respuesta es: 9. Resolviendo por variables separables la ecuación Resolviendo por : Simplificando: Dividiendo ambas partes con : Integrando ambas partes con respecto a r: Igualando las integrales: Resolviendo con : Leonidez Sánchez Mateo Página 10
  • 11. Ecuaciones Diferenciales Simplificando la constante arbitraria: La respuesta es: 10. Resolviendo: Factorizando: Resolviendo y y separándola: Se resuelve por variables separables la ecuación : Se resuelve con : Integrando ambas partes con respecto a x: 11. Resolviendo por variables separables la ecuación . Resolviendo con Integrando ambas partes con respecto a x: Leonidez Sánchez Mateo Página 11
  • 12. Ecuaciones Diferenciales Simplificando la constante arbitraria: La respuesta es: 12. Se resuelve por variables separables la ecuación Resolviendo con : Resolviendo ambas partes con : Integrando ambas partes con respecto a r: Igualando ambas integrales: Resolviendo con : Simplificando las constantes arbitrarias: La respuesta es: 13. Resolviendo por variables separable : Leonidez Sánchez Mateo Página 12
  • 13. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo con : Factorizando: Dividiendo ambas partes con Integrando ambas partes con respecto x: Igualando las integrales: La respuesta es: 14. Resolviendo por variables separable la ecuación . Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo con y(x): Leonidez Sánchez Mateo Página 13
  • 14. Ecuaciones Diferenciales Simplificando las constantes arbitrarias: La respuesta es: 15. Resolviendo por variables separable la ecuación . Resolviendo con : Dividiendo ambas partes con : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo con y(x): La respuesta es: 16. Leonidez Sánchez Mateo Página 14
  • 15. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo por variables separable la siguiente ecuación . Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: La repuesta es: 17. Resolviendo por variables separable la ecuación . Dividiendo ambas partes con : Integrando ambas partes con respecto x: Igualando ambas integrales: La respuesta es: 18. Resolviendo por variables separable la ecuación . Dividiendo ambas partes con y(x): Leonidez Sánchez Mateo Página 15
  • 16. Ecuaciones Diferenciales Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: Resolviendo con y(x): Igualando ambas integrales: La respuesta es: 19. Resolviendo por variables separables la ecuación . Dividiendo ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: La respuesta es: 20. Resolviendo por variables separables la ecuación Resolviendo con : Leonidez Sánchez Mateo Página 16
  • 17. Ecuaciones Diferenciales Dividiendo ambas partes con y(x): Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: Resolviendo con y(x): Simplificando la constante arbitraria: La respuesta es: 21. Resolviendo con : Dividiendo ambas partes por la constante arbitraria la ecuación se simplifica. Dividiendo ambas partes por : Resolviendo cada termino por separado. Leonidez Sánchez Mateo Página 17
  • 18. Ecuaciones Diferenciales Divididas en dos ecuaciones: Viendo la segunda ecuación y resolviendo con : Restando 3 en ambas partes: La respuesta es: 22. Resolviendo por variables separables la ecuación Resolviendo con : Multiplicando ambas lados por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: Resolviendo con respecto a y(x): La respuesta es: 23. Resolviendo por variables separables la ecuación Leonidez Sánchez Mateo Página 18
  • 19. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo con : Integrando ambas partes con respecto a x: 24. Resolviendo por variables separables la ecuación Resolviendo con : Integrando ambas partes con respecto a x: La respuesta es: - 25. Resolviendo por variables separables la ecuación Resolviendo con : Integrando ambas partes con respecto a x: La respuesta es: 26. Leonidez Sánchez Mateo Página 19
  • 20. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo por variables separables la ecuación Resolviendo con : Dividiendo ambas partes con : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: Resolviendo con respecto a y(x): Simplificando la constante arbitraria: La respuesta es: Determine en cada ejercicio si la función es o no homogénea. FUNCIONES HOMOGENEAS 1. Función Homogénea 2do grado 2. Leonidez Sánchez Mateo Página 20
  • 21. Ecuaciones Diferenciales ) Función no homogénea 3. Función homogénea 1er grado 4. Función no homogénea 5. Función no homogénea En las siguientes ecuaciones encuentre la solución. 1. Solución de la ecuación diferencial: Resolviendo: Dejando , queda : Leonidez Sánchez Mateo Página 21
  • 22. Ecuaciones Diferenciales Se simplifica a: Resolviendo con : Dividiendo ambas partes con : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: Sustituyen con : 2. Resolviendo por la ecuación de Bernoulli . Reescribiendo la ecuación: Leonidez Sánchez Mateo Página 22
  • 23. Ecuaciones Diferenciales Dividiendo ambas partes con Dejando ,quedando como : Dejando Multiplicando ambas partes por Sustituyendo : Aplicando la regla de la inversa del producto donde la parte de la izquierda queda: Integrando ambas partes con respectó x: Igualando las integrales: Leonidez Sánchez Mateo Página 23
  • 24. Ecuaciones Diferenciales Dividiendo ambas partes con : Resolviendo con y(x) en : 3. Resolviendo . Dejando y(x)= , quedando . Simplificando: Resolviendo con Dividiendo ambas partes con : Integrando ambas integrales con respecto a x: Igualando las integrales: Leonidez Sánchez Mateo Página 24
  • 25. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo con v(x): Simplificando las constantes arbitrarias: Regresando y sustituyendo con y(x)= 4. . Resolviendo Dejando y(x)=xv(x), quedando : Simplificando: Resolviendo con Dividiendo ambas partes con : Leonidez Sánchez Mateo Página 25
  • 26. Ecuaciones Diferenciales Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo por v(x): Sustituyendo antes por y(x)= : 5. Resolviendo : Dando y(x)=xv(x), quedando : Simplificando: Resolviendo por : Leonidez Sánchez Mateo Página 26
  • 27. Ecuaciones Diferenciales Dividiendo ambas partes con : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Sustituyendo antes por y(x)=xv(x): 6. Resolviendo . Dando y(x)=xv(x), quedando : Simplificando: Resolviendo por Dividiendo ambas partes por : Leonidez Sánchez Mateo Página 27
  • 28. Ecuaciones Diferenciales Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo por Sustituyendo antes por y(x)= 7. Resolviendo . Dando v(u)=uw(u), quedando : Leonidez Sánchez Mateo Página 28
  • 29. Ecuaciones Diferenciales Simplificando: Resolviendo por : Dividiendo ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a u: Igualando las integrales: Resolviendo por w(v): Sustituyendo por v(u)=uw(u): Leonidez Sánchez Mateo Página 29
  • 30. Ecuaciones Diferenciales 8. Resolviendo Dejando y(x)= , quedando : Simplificando: Resolviendo por : Dividiendo ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo por v(x): Leonidez Sánchez Mateo Página 30
  • 31. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo antes por y(x)= Resolviendo por la ecuación de Bernoulli . Empleando en ambas partes Dividiendo en ambas partes por : Empleando , quedando : Dando : Multiplicando en ambas partes por : Leonidez Sánchez Mateo Página 31
  • 32. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo 2x= : Aplicando la inversa del producto en la izquierda: Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Dividiendo ambas partes por : Resolviendo por y(x) en : 9. Resolviendo : Dejando y(x)= , quedando : Leonidez Sánchez Mateo Página 32
  • 33. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo por : Factorizando: Dividiendo ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Sustituyendo antes con y(x)= 10. Resolviendo la ecuación . Dejando y(x)= , quedando : Leonidez Sánchez Mateo Página 33
  • 34. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo por : Factorizando: Dividiendo ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Sustituyendo antes con y(x)= : 11. Resolviendo Dejando y(x)= , quedando : Leonidez Sánchez Mateo Página 34
  • 35. Ecuaciones Diferenciales Simplificando: Resolviendo por : Dividiendo ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo por v(x): Simplificando las constantes arbitrarías: Sustituyendo antes por y(x)= 12. Resolviendo . Dejando y(x)= , quedando : Leonidez Sánchez Mateo Página 35
  • 36. Ecuaciones Diferenciales Simplificando: Resolviendo por : Multiplicando ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo por v(x): Sustituyendo antes con y(x)= : 13. Resolviendo : Dejando y(x)= , quedando : Leonidez Sánchez Mateo Página 36
  • 37. Ecuaciones Diferenciales Simplificando: Resolviendo por : Multiplicando ambos partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Sustituyendo antes por y(x)= : 14. Resolviendo . Dejando y(x)= , quedando : Resolviendo por : Factorizando: Leonidez Sánchez Mateo Página 37
  • 38. Ecuaciones Diferenciales Dividiendo ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Sustituyendo antes por y(x)= 15. Resolviendo : Dando t(s)= , quedando : Simplificando: Leonidez Sánchez Mateo Página 38
  • 39. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo por : Dividiendo ambas partes por : Integrando ambas partes con respecto s: Igualando las integrales: Resolviendo por v(s): Simplificando la constante arbitraria: Sustituyendo antes por t(s)= : Leonidez Sánchez Mateo Página 39
  • 40. Ecuaciones Diferenciales Analice cada una de las ecuaciones siguientes para saber si son exactas y resuélvalas. Las que no lo sean podrán resolverse con los métodos estudiados en las secciones anteriores. 1. . Resolviendo . Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que ;y : Se define f(x,y),por lo tanto ,y Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integramos con respecto a x en un orden para encontrar : , cuando g(y) es arbitraria función de y. Se deriva , con respecto a y para encontrar g(y): Sustituyendo en : Resolviendo por : Integrando , con respecto a y: g(y)= Leonidez Sánchez Mateo Página 40
  • 41. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendog(y) en f(x,y): La solución es f(x,y)= . Resolviendo para y: Simplificando la constante arbitraria: 2. . Resolviendo . Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en . Leonidez Sánchez Mateo Página 41
  • 42. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo con : Integrando , con respecto a : Sustituyendo : La solución en f(x,y) 3. −3 Resolviendo . Dando y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Leonidez Sánchez Mateo Página 42
  • 43. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo en : Sustituyendo en . Resolviendo con : Integrando , con respecto a : Sustituyendo : La solución en f(x,y) : Resolviendo por y: Simplificando la constante arbitraria: Leonidez Sánchez Mateo Página 43
  • 44. Ecuaciones Diferenciales 4. Resolviendo por variables separable . Resolviendo con Simplificando: Dividiendo ambas partes con y(x): Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo por y(x): Simplificando la constante arbitraria: Leonidez Sánchez Mateo Página 44
  • 45. Ecuaciones Diferenciales 5. Resolviendo . Dando y . Esta es una ecuación exacta, por que . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo por : Integrando , con respecto a : Sustituyendo : Leonidez Sánchez Mateo Página 45
  • 46. Ecuaciones Diferenciales La solución en f(x,y) : Resolviendo por y: 6. Resolviendo . Esta es una ecuación exacta, por que . Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Leonidez Sánchez Mateo Página 46
  • 47. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo por : Integrando , con respecto a : Sustituyendo : La solución en f(x,y) : Resolviendo por y: Simplificando la constante arbitraria: 7. Resolviendo . Rescribiendo la ecuación: Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que . Leonidez Sánchez Mateo Página 47
  • 48. Ecuaciones Diferenciales Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo por : Integrando , con respecto a : Sustituyendo : La solución en f(x,y) : Resolviendo por y: Leonidez Sánchez Mateo Página 48
  • 49. Ecuaciones Diferenciales Simplificando la constante arbitraria: 8. Resolviendo . Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por lo tanto . Definiendo , por lo tanto ,y : Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando g(v) , es una constante arbitraria de v. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo con : Leonidez Sánchez Mateo Página 49
  • 50. Ecuaciones Diferenciales Integrando , con respecto a v: Sustituyendo g(v) en : La solución es : 9. 10. Resolviendo por variables separables . Resolviendo por : Dividiendo ambas partes con : Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo con y(x): Leonidez Sánchez Mateo Página 50
  • 51. Ecuaciones Diferenciales Simplificando la constante arbitraria: 11. Resolviendo con la ecuación de Bernoulli Rescribiendo la ecuación: Dividiendo ambas partes con : Dando v(x)= , que da : Dando : Multiplicando ambas partes por : Sustituyendo : Aplicando la inversa del producto en la izquierda. Leonidez Sánchez Mateo Página 51
  • 52. Ecuaciones Diferenciales Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Dividiendo ambas partes : Resolviendo con y(x) en : 12. Resolviendo . Dando ,y . Esta ecuación es exacta, por que . Definiendo , por lo tanto y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . Se deriva con respecto a : Leonidez Sánchez Mateo Página 52
  • 53. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo en : Resolviendo con : Integrando con respecto a z: Sustituyendo con en : La solución es : 13. Resolviendo . Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . Leonidez Sánchez Mateo Página 53
  • 54. Ecuaciones Diferenciales , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo con Integrando , con respecto a x: Sustituyendo La solución es : 14. Resolviendo . Dando y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Leonidez Sánchez Mateo Página 54
  • 55. Ecuaciones Diferenciales Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo con : Integrando con respecto a x: Sustituyendo La solución es : Resolviendo con y: Leonidez Sánchez Mateo Página 55
  • 56. Ecuaciones Diferenciales 15. Resolviendo . Dando ,y . Esta ecuación es exacta, por que . Definiendo , por lo tanto ,y : Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a r en un orden de . , cuando es arbitraria con la función . Se deriva con respecto a : Sustituyendo en Resolviendo con : Integrando , con respecto Sustituyendo Leonidez Sánchez Mateo Página 56
  • 57. Ecuaciones Diferenciales La solución en : Resolviendo por : 16. Resolviendo Dando ,y Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Leonidez Sánchez Mateo Página 57
  • 58. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo en : Resolviendo con Integrando Sustituyendo La solución es : 17. Resolviendo . Dando ,y . Esta ecuación es exacta, por que . Definiendo , por lo tanto ,y : Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a r en un orden de . , cuando es arbitraria con la función . Leonidez Sánchez Mateo Página 58
  • 59. Ecuaciones Diferenciales Se deriva con respecto a : Sustituyendo en Resolviendo con : Integrando , con respecto Sustituyendo La solución en : Resolviendo con Leonidez Sánchez Mateo Página 59
  • 60. Ecuaciones Diferenciales 18. Resolviendo Dando ,y Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo con : Integrando Leonidez Sánchez Mateo Página 60
  • 61. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo , en La solución Resolviendo con y: Simplificando la constante arbitraria: 19. Resolviendo . Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Leonidez Sánchez Mateo Página 61
  • 62. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo en : Resolviendo con : Integrando Sustituyendo , en La solución es : 20. Resolviendo . Dando , quedando : Simplificando: Leonidez Sánchez Mateo Página 62
  • 63. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo con : – Dividiendo ambas partes con Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo con Sustituyendo antes con y(x)= 21. Resolviendo Dando ,y . Leonidez Sánchez Mateo Página 63
  • 64. Ecuaciones Diferenciales Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo con : Integrando Sustituyendo , en La solución es : Leonidez Sánchez Mateo Página 64
  • 65. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo con y: Simplificando las constantes arbitrarias: 22. Resolviendo . Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Leonidez Sánchez Mateo Página 65
  • 66. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo con Integrando con respecto a y: Sustituyendo , en La solución es : Resolviendo con y: Simplificando las constantes arbitrarias: 23. Resolviendo . Dando ,y . Leonidez Sánchez Mateo Página 66
  • 67. Ecuaciones Diferenciales Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo con Integrando con respecto a y: Sustituyendo , en Leonidez Sánchez Mateo Página 67
  • 68. Ecuaciones Diferenciales La solución es : Resolviendo con y: 24. Resolviendo . Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Leonidez Sánchez Mateo Página 68
  • 69. Ecuaciones Diferenciales Resolviendo con Integrando con respecto a y: Sustituyendo , en La solución es : 25. Resolviendo . Rescribiendo la ecuación: Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . Leonidez Sánchez Mateo Página 69
  • 70. Ecuaciones Diferenciales , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo con Integrando con respecto a y: La solución es : Resolviendo con y: Simplificando las constantes arbitrarias: Leonidez Sánchez Mateo Página 70
  • 71. Ecuaciones Diferenciales Encuentre la solución de las siguientes ecuaciones. 1. . Resolviendo la ecuación lineal . Sustrayendo de ambas partes y dividiendo con –x: Dando : Y multiplicando ambas partes por : Sustituyendo : Aplicando la inversa del producto , en la parte izquierda: Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: Leonidez Sánchez Mateo Página 71
  • 72. Ecuaciones Diferenciales Dividiendo ambas partes con : 2. y'=x-2y Resolviendo la ecuación lineal : Añadiendo en ambas partes: Dando Y multiplicando ambas partes por : Sustituyendo : Aplicando la inversa del producto , en la parte izquierda: Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando ambas integrales: Leonidez Sánchez Mateo Página 72
  • 73. Ecuaciones Diferenciales Dividiendo ambas partes con : 3. (y+1)dx+(4x-y)dy=0. Resolviendo Dando ,y . Esta no es una ecuación exacta, por que . Encontrando un factor integrante por lo tanto es exacta. Esto significa Quedando solo de la parte izquierda: Integrando ambas partes con respecto a y: Tomando la exponencial de ambas partes: Y multiplicando ambas partes por con : Leonidez Sánchez Mateo Página 73
  • 74. Ecuaciones Diferenciales Dando ,y . Esta es una ecuación exacta, por que . Se define f(x,y),por lo tanto ,y . Entonces la solución estará dada por , cuando sea la constante arbitraria. Integrando con respecto a x en un orden de . , cuando es arbitraria con la función y. Se deriva con respecto a : Sustituyendo en : Resolviendo con Integrando respecto a y: Sustituyendo en f(x, y): La solución es : Leonidez Sánchez Mateo Página 74
  • 75. Ecuaciones Diferenciales 4. y'=x-4xy. Resolviendo por variables separables : Simplificando: Dividiendo ambas partes con Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Resolviendo con : Simplificando las constantes arbitrarias: 5. y'=cscx+ycot x Resolviendo la ecuación lineal : Extrayendo en ambas partes: Dando : Leonidez Sánchez Mateo Página 75
  • 76. Ecuaciones Diferenciales Multiplicando ambas partes con : Sustituyendo : Aplicando la inversa del producto , con la parte de la izquierda: Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Dividiendo ambas partes con : 6. y'=csc x-y cot x Resolviendo la ecuación lineal . Añadiendo en ambas partes: Dando : Multiplicando en ambas partes: Leonidez Sánchez Mateo Página 76
  • 77. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo : Aplicando la inversa del producto , en la parte de la izquierda: Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Dividiendo ambas partes con 7. (y-cos2 x)dx+cos x dy=0. Resolviendo la ecuación lineal . Extrayendo ) en ambas partes y dividiendo con Dando : Multiplicando en ambas partes: Sustituyendo Leonidez Sánchez Mateo Página 77
  • 78. Ecuaciones Diferenciales Aplicando la inversa del producto en la parte de la izquierda: Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Dividiendo ambas partes con : 8. . Resolviendo por variables separables Simplificando: Dividiendo ambas partes con Integrando ambas partes con respecto a x: Leonidez Sánchez Mateo Página 78
  • 79. Ecuaciones Diferenciales Igualando las integrales: Resolviendo con y(x): Simplificando las constantes arbitrarias. 9. (y-x+xycot x)dx+ x dy=0. Resolviendo la ecuación lineal . Añadiendo x en ambas partes y dividiéndolo con x: Dando Multiplicando ambas partes con : Sustituyendo Aplicando la propiedad de la inversa , en la parte de la izquierda: Leonidez Sánchez Mateo Página 79
  • 80. Ecuaciones Diferenciales Integrando ambas partes con respecto a x: Igualando las integrales: Dividiendo ambas parte con : 10. . Resolviendo la ecuación lineal Rescribiendo la ecuación: Dando . Multiplicando ambas partes con Sustituyendo : Aplicando la propiedad de la inversa , en la parte de la izquierda: Integrando ambas partes con respecto a x: Leonidez Sánchez Mateo Página 80
  • 81. Ecuaciones Diferenciales Dividiendo ambas parte con : 11. . Resolviendo la ecuación lineal . Rescribiendo la ecuación: Dando . Multiplicando ambas partes con : Sustituyendo Aplicando la propiedad de la inversa , en la parte de la izquierda: Integrando ambas partes con respecto a x: Leonidez Sánchez Mateo Página 81
  • 82. Ecuaciones Diferenciales Igualando las integrales: Dividiendo ambas partes con : Factor integrante 1.- Se resuelve por Bernoulli Rescribiendo: Dividiendo por Dejando: nos queda: Dejando: Y multiplicando por Sustituyendo: Leonidez Sánchez Mateo Página 82
  • 83. Ecuaciones Diferenciales Integrando: 2.- Como: La ecuación no es exacta Encontrando el factor integral: Tomando el exponentes en ambos lados Y multiplicando por quedando Asiéndola exacta: Integrando: Derivando: Leonidez Sánchez Mateo Página 83
  • 84. Ecuaciones Diferenciales Igualando: Integrando: Sustituyendo: = 3.- Por lo que no es exacta. Encontrando el factor: Multiplicándolo: Es exacta: Integrando: Derivando: Sustituyendo: Sustituyendo: 4.- Leonidez Sánchez Mateo Página 84
  • 85. Ecuaciones Diferenciales Por lo tanto es exacta: integrando y diferenciando Sustituyendo: Resolviendo: Sustituyendo: 5.- no es exacta Encontrando el factor integrante: Multiplicando: Leonidez Sánchez Mateo Página 85
  • 86. Ecuaciones Diferenciales es exacta Integrando: Derivando: Sustituyendo: Sustituyendo: La solución es: 6.- Como: No es exacta Encontrando el factor integrante: Se hace exacta: Leonidez Sánchez Mateo Página 86
  • 87. Ecuaciones Diferenciales Integrando: derivando: Sustituyendo: Sustituyendo: Solución: 7.- No es exacta por: Sacando el factor integrante: Multlipicandolo . Se integra: Se deriva: Leonidez Sánchez Mateo Página 87
  • 88. Ecuaciones Diferenciales Sustituye: Integrando: Sustituyendo: Solución 8.- Haciendo que: Simplificando x resolviendo El factor: y dividiendo: Leonidez Sánchez Mateo Página 88
  • 89. Ecuaciones Diferenciales 9.- Encontrando el factor: Multiplicándolo: Integrando: Derivando: Sustituyendo: Sustituyendo: 10.- no es exacta: encontrando el factor integrante. Multiplicándolo es exacta: Leonidez Sánchez Mateo Página 89
  • 90. Ecuaciones Diferenciales Integrando: Derivando: Sustituyendo: y resolviendo: Sustituyendo: Respuesta: 11.- Dejando: Simplificando: resolviendo Dividiendo Integrando: evaluando: Resolviendo: Simplificándolo: Leonidez Sánchez Mateo Página 90
  • 91. Ecuaciones Diferenciales 12.- No es exacta. Encontrando el factor integrante Multiplicando: Integrando: Derivando: Sustituyendo: Encontrando: , Sustituyendo Leonidez Sánchez Mateo Página 91
  • 92. Ecuaciones Diferenciales 13.- Dejando: Resolviendo: Integrando: 14.- No es exacta Factor integrante Multiplicando: Es exacta: Integrando: Derivando: Leonidez Sánchez Mateo Página 92
  • 93. Ecuaciones Diferenciales Sus. Encontrando: 15.- No es exacta. Encontrando factor integral: Multiplicándolo: Se hace exacta: Integrando: Derivando: Sustituyendo: Encontrando Leonidez Sánchez Mateo Página 93
  • 94. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo: 16.- No es exacta: Encontrando factor integrante Multiplicándolo: Es exacta Integramos: Derivando: Sustituyendo: Encontrando Sustituyendo: 17.- Resolviendo: Dividiendo por: : Sea queda: Dejando que Multiplicando da: Leonidez Sánchez Mateo Página 94
  • 95. Ecuaciones Diferenciales Sustituyendo: Integrando Dividiendo: Resolviendo: 18.- Dividiendo entre: Dejando: queda: Sustituyendo: Integrando: Dividiendo entre: 19.- Leonidez Sánchez Mateo Página 95
  • 96. Ecuaciones Diferenciales Dividiendo entre: Integrando. 20.- Como: No es exacta por lo que se encuentra el factor integrante: ; Multiplicando: se convierten una exacta: Integramos una de las funciones: Después derivamos: Leonidez Sánchez Mateo Página 96
  • 97. Ecuaciones Diferenciales Sustituimos: Encontrando la cte: Sustituyendo: 21.- Rescribiendo: Dividiendo por: Dejar queda: Dejar: y multiplicando: Sustituyendo: queda: Integrando: Y dividiendo por: 22.- Rescribiendo la ecuación: Dividiendo por: Leonidez Sánchez Mateo Página 97
  • 98. Ecuaciones Diferenciales Dejando: nos queda: Dejando a u como: y multiplicando queda: Sustituyendo: Integrando: Dividiendo por: 23.- como: no es exacta Encontrando el factor; Y multiplicándolo queda: Se hace exacta: Leonidez Sánchez Mateo Página 98
  • 99. Ecuaciones Diferenciales Integrando una de las funciones: Derivando: Sustituyendo: Y encontrando Sustituyendo en la ecuación: = 24.- Rescribiendo: Dividiendo por: queda Dejando: Dejando: Multiplicándolo: Sustituyendo: Leonidez Sánchez Mateo Página 99
  • 100. Ecuaciones Diferenciales Integrando: 25.- Rescribiendo: Dividiendo por: Dejando: queda: Como: multiplicándolo: Sustituyendo: Leonidez Sánchez Mateo Página 100
  • 101. Ecuaciones Diferenciales Integrando: Dividiendo entre: 26.- Como: Esta ecuación es exacta Integramos: +x Derivando: Sustituyendo Integrando: Leonidez Sánchez Mateo Página 101