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FUNCIONES EXPONENCIALES    Y LOGARÍTMICAS
Definición de función. X  Función f(x)
Una  f unción  f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x  de un conjunto llamado  dominio  un valor único  f (x)  de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama  rango  de la función.
Notación funcional :  Se usa una sola letra como  f  o g  o F  para  denominar una función. Entonces , f (x) que se lee “f de x” o  “  f en x” , designa el valor que f asinga a x.
Las funciones Reales: Definición:   Se  llama  función  real  a  toda función  D—IR, siendo  D  un subconjunto  de  IR.
1. Funciones exponenciales.   Una función exponencial es una función cuya expresión es  siendo la base a un número real positivo y distinto de 1. Distinguimos dos casos:
Propiedades de f(x) = a x , a>0, a diferente de uno:   1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). 2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. 3)  El eje de x es la asíntota horizontal. 4)  Si  a > 1 ( a , base), entonces a x  aumenta conforme aumenta x. 5)  Si  0 < a < 1, entonces a x  disminuye conforme aumenta x. 6)  La función f es una función uno a uno.  
Propiedades de las funciones exponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales: 1) Leyes de los exponentes:     
2)  a x  = a y   si y sól 3)  Para x diferente de cero, entonces a x  = b x   si y sólo si  a = b.   Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:   1)  2 x  = 8 2)  10 x  = 100 3)  4  x - 3  = 8 4)  5  2 - x  = 125  
Ejercicio de práctica:  Halla el valor de x:   1)  2 x  = 64 2)  27  x + 1  = 9
x y -4 0,2 -3 0,3 -2 0,44 -1 0,67 0 1 1 1,5 2 2,25 3 3,375 4 5,06
x y -4 0,0625 -3 0,125 -2 0,25 -1 0,5 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16
x y -4 0,012 -3 0,037 -2 0,11 -1 0,3 0 1 1 3 2 9 3 27 4 81
x y -4 39,1 -3 15,625 -2 6,25 -1 2,5 0 1 1 0,4 2 0,16 3 0,064 4 0,0256
x y -4 16 -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 0,5 2 0,25 3 0,125 4 0,0625
x y -4 5,06 -3 3,375 -2 2,25 -1 1,5 0 1 1 0,67 2 0,44 3 0,3 4 0,2
En general si  Dominio:    R Recorrido Monotonía   Estrictamente creciente Acotación   Acotada inferiormente por 0 Puntos de corte con los ejes  Y  (0,1)   X   ninguno
En general si  Dominio   R Recorrido Monotonía   Estrictamente decreciente Acotación   Acotada inferiormente por 0 Puntos de corte con los ejes  Y  (0,1)   X   ninguno
Función exponencial natural: Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828… La notación  e  para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).  Definici ó n:    Para un n ú mero real x,    la ecuaci ó n   f(x) = e x    define a la   funci ó n exponencial de base e .   x e x -2 0.14 -1 0.37 0 1 1 2.72 2 7.39 3 20.01
El  dominio  es el conjunto de los números reales y el  rango  es el conjunto de los números reales positivos. La función   f(x) = e x    es una   función exponencial natural .  Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = e x   está entre f(x) = 2 x   y  f(x) = 3 x , como se ilustra a continuación:
En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base  e  usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base  b.   Ejemplos:  Simplifica.     Ejemplo:  Halla el valor de x en  e  x + 1   =  e  3x - 1   Práctica:   1)  Simplifica:  (e  3x + 1 ) (e  2x – 5 ) 2)  Halla el valor de x en  e 3x – 4  =  e 2x  
2. Funciones logarítmicas.   Definición de logaritmo Una función logarítmica es una función cuya expresión es: siendo la base a un número real positivo y distinto de 1. Distinguimos dos casos:
x y 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 16 4
x y 1/27 -3 1/9 -2 1/3 -1 1 0 3 1 9 2 27 3
x y 1/8 3 1/4 2 1/2 1 1 0 2 -1 4 -2 8 -3 16 -4
x y 8/27 3 4/9 2 2/3 1 1 0 3/2 -1 9/4 -2 27/8 -3
En general si  Dominio Recorrido  R Monotonía   Estrictamente creciente Acotación   No está acotada  Puntos de corte con los ejes  Y  (1,0)   X   ninguno
En general si  Dominio Recorrido  R Monotonía   Estrictamente decreciente Acotación   No está acotada  Puntos de corte con los ejes  Y  (1,0)   X   ninguno
 
 
3. Logaritmo de un número.   El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado: Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de log 10  , es decir: Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln o L en vez de log e  , es decir:
Ejemplos.
Calcular por la definición de logaritmo el valor de y :
Propiedades.   El logaritmo de la unidad es cero: El logaritmo de la base es uno: Ejemplos :  log 10 = 1 ,  ln e = 1 El logaritmo de una potencia de la base es el exponente: Ejemplo  El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores:
Casos especiales:
Propiedades.   El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor: El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia: El logaritmo en base a de un número se transforma en el logaritmo en otra base mediante:
4. Ecuaciones exponenciales.   Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Nos podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones exponenciales: - Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias de igual base. - Ecuaciones resolubles por cambio de variable.
Ejemplos.   Se busca una base común para todos los números que aparecen: Se opera: Se igualan los exponentes: Se resuelve:
Ejemplos.   Se hace un cambio de variable: Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar: Queda: Se opera: Se deshace el cambio: Se resuelve:
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5. Sistemas de ecuaciones exponenciales.   Un sistema de ecuaciones es exponencial si al menos una de sus ecuaciones es exponencial. Nos podemos encontrar distintos tipos de sistemas de ecuaciones exponenciales:   - Sistemas en los que una o más ecuaciones son reducibles a una igualdad de potencias con la misma base. - Sistemas en los que una o más ecuaciones son resolubles por cambio de variable.
Ejemplos.   Se reducen las igualdades a potencias de la misma base Se opera con las potencias: Se resuelve el sistema por alguno de los métodos conocidos:
Ejemplos.   Se hacen los cambios de variable: Se resuelve el sistema (por reducción por ejemplo): Se deshace el cambio de variable efectuado al principio:
6. Ecuaciones logarítmicas.   Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita aparece afectada por un logaritmo.   Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.
Ejemplos.   2 log x – log (x-16) = 2 Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
Ejemplos.   log (x+1) = log (5x-13) – log (x-3) Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que x 2 =2 no es válida, ya que aparece el logaritmo de un número negativo que no existe. Por tanto la única solución es x = 5.
Ejemplos.   Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
7. Sistemas de ecuaciones logarítmicas.   Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos, una de sus ecuaciones es logarítmica.  Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmica. Se resuelven convirtiendo la ecuación logarítmica en algebraica. Sistemas en los que las dos ecuaciones son logarítmicas. Se pueden resolver por reducción o convirtiendo cada ecuación logarítmica en algebraica.  Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.
Ejemplos.   Resolviendo: Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
Ejemplos.   Resolviendo: Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
Ejemplos.   Resolviendo: Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
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Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

  • 1. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
  • 2. Definición de función. X Función f(x)
  • 3. Una f unción f es una regla de correspondencia que asocia a cada objeto x de un conjunto llamado dominio un valor único f (x) de un segundo conjunto. El conjunto de valores así obtenidos se llama rango de la función.
  • 4. Notación funcional : Se usa una sola letra como f o g o F para denominar una función. Entonces , f (x) que se lee “f de x” o “ f en x” , designa el valor que f asinga a x.
  • 5. Las funciones Reales: Definición: Se llama función real a toda función D—IR, siendo D un subconjunto de IR.
  • 6. 1. Funciones exponenciales. Una función exponencial es una función cuya expresión es siendo la base a un número real positivo y distinto de 1. Distinguimos dos casos:
  • 7. Propiedades de f(x) = a x , a>0, a diferente de uno:   1)  Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1). 2)  Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos. 3)  El eje de x es la asíntota horizontal. 4)  Si  a > 1 ( a , base), entonces a x  aumenta conforme aumenta x. 5)  Si  0 < a < 1, entonces a x  disminuye conforme aumenta x. 6)  La función f es una función uno a uno.  
  • 8. Propiedades de las funciones exponenciales:  Para a  y  b positivos, donde a y b son diferentes de uno y  x, y  reales: 1) Leyes de los exponentes:     
  • 9. 2)  a x  = a y   si y sól 3)  Para x diferente de cero, entonces a x  = b x   si y sólo si  a = b.   Ejemplo para discusión:  Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:   1)  2 x  = 8 2)  10 x  = 100 3)  4  x - 3  = 8 4)  5  2 - x  = 125  
  • 10. Ejercicio de práctica:  Halla el valor de x:   1)  2 x  = 64 2)  27  x + 1  = 9
  • 11. x y -4 0,2 -3 0,3 -2 0,44 -1 0,67 0 1 1 1,5 2 2,25 3 3,375 4 5,06
  • 12. x y -4 0,0625 -3 0,125 -2 0,25 -1 0,5 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16
  • 13. x y -4 0,012 -3 0,037 -2 0,11 -1 0,3 0 1 1 3 2 9 3 27 4 81
  • 14. x y -4 39,1 -3 15,625 -2 6,25 -1 2,5 0 1 1 0,4 2 0,16 3 0,064 4 0,0256
  • 15. x y -4 16 -3 8 -2 4 -1 2 0 1 1 0,5 2 0,25 3 0,125 4 0,0625
  • 16. x y -4 5,06 -3 3,375 -2 2,25 -1 1,5 0 1 1 0,67 2 0,44 3 0,3 4 0,2
  • 17. En general si Dominio: R Recorrido Monotonía Estrictamente creciente Acotación Acotada inferiormente por 0 Puntos de corte con los ejes Y (0,1) X ninguno
  • 18. En general si Dominio R Recorrido Monotonía Estrictamente decreciente Acotación Acotada inferiormente por 0 Puntos de corte con los ejes Y (0,1) X ninguno
  • 19. Función exponencial natural: Es la función exponencial cuya base es igual a “e”, donde e = 2.71828… La notación  e  para este número fue dada por Leonhard Euler (1727).  Definici ó n:    Para un n ú mero real x,    la ecuaci ó n   f(x) = e x    define a la   funci ó n exponencial de base e .   x e x -2 0.14 -1 0.37 0 1 1 2.72 2 7.39 3 20.01
  • 20. El  dominio  es el conjunto de los números reales y el  rango  es el conjunto de los números reales positivos. La función   f(x) = e x    es una   función exponencial natural .  Como 2<e<3, la gráfica de f(x) = e x   está entre f(x) = 2 x   y  f(x) = 3 x , como se ilustra a continuación:
  • 21. En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones exponenciales con base  e  usamos las mismas propiedades de las ecuaciones exponenciales con base  b.   Ejemplos:  Simplifica.     Ejemplo:  Halla el valor de x en  e  x + 1   =  e  3x - 1   Práctica:   1)  Simplifica:  (e  3x + 1 ) (e  2x – 5 ) 2)  Halla el valor de x en  e 3x – 4  =  e 2x  
  • 22. 2. Funciones logarítmicas. Definición de logaritmo Una función logarítmica es una función cuya expresión es: siendo la base a un número real positivo y distinto de 1. Distinguimos dos casos:
  • 23. x y 1/8 -3 1/4 -2 1/2 -1 1 0 2 1 4 2 8 3 16 4
  • 24. x y 1/27 -3 1/9 -2 1/3 -1 1 0 3 1 9 2 27 3
  • 25. x y 1/8 3 1/4 2 1/2 1 1 0 2 -1 4 -2 8 -3 16 -4
  • 26. x y 8/27 3 4/9 2 2/3 1 1 0 3/2 -1 9/4 -2 27/8 -3
  • 27. En general si Dominio Recorrido R Monotonía Estrictamente creciente Acotación No está acotada Puntos de corte con los ejes Y (1,0) X ninguno
  • 28. En general si Dominio Recorrido R Monotonía Estrictamente decreciente Acotación No está acotada Puntos de corte con los ejes Y (1,0) X ninguno
  • 29.  
  • 30.  
  • 31. 3. Logaritmo de un número. El logaritmo de un número, m, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado: Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales y se expresan por log en vez de log 10 , es decir: Cuando la base es a = e, se llaman logaritmos neperianos y se expresan por ln o L en vez de log e , es decir:
  • 33. Calcular por la definición de logaritmo el valor de y :
  • 34. Propiedades. El logaritmo de la unidad es cero: El logaritmo de la base es uno: Ejemplos : log 10 = 1 , ln e = 1 El logaritmo de una potencia de la base es el exponente: Ejemplo El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores:
  • 36. Propiedades. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor: El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia: El logaritmo en base a de un número se transforma en el logaritmo en otra base mediante:
  • 37. 4. Ecuaciones exponenciales. Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una potencia. Nos podemos encontrar distintos tipos de ecuaciones exponenciales: - Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias de igual base. - Ecuaciones resolubles por cambio de variable.
  • 38. Ejemplos. Se busca una base común para todos los números que aparecen: Se opera: Se igualan los exponentes: Se resuelve:
  • 39. Ejemplos. Se hace un cambio de variable: Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar: Queda: Se opera: Se deshace el cambio: Se resuelve:
  • 40. Ejemplos. Se hace un cambio de variable: Se opera con la ecuación para que aparezca el cambio de variable que vamos a realizar: Queda: Se resuelve: Se deshace el cambio:
  • 41. 5. Sistemas de ecuaciones exponenciales. Un sistema de ecuaciones es exponencial si al menos una de sus ecuaciones es exponencial. Nos podemos encontrar distintos tipos de sistemas de ecuaciones exponenciales: - Sistemas en los que una o más ecuaciones son reducibles a una igualdad de potencias con la misma base. - Sistemas en los que una o más ecuaciones son resolubles por cambio de variable.
  • 42. Ejemplos. Se reducen las igualdades a potencias de la misma base Se opera con las potencias: Se resuelve el sistema por alguno de los métodos conocidos:
  • 43. Ejemplos. Se hacen los cambios de variable: Se resuelve el sistema (por reducción por ejemplo): Se deshace el cambio de variable efectuado al principio:
  • 44. 6. Ecuaciones logarítmicas. Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.
  • 45. Ejemplos. 2 log x – log (x-16) = 2 Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
  • 46. Ejemplos. log (x+1) = log (5x-13) – log (x-3) Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que x 2 =2 no es válida, ya que aparece el logaritmo de un número negativo que no existe. Por tanto la única solución es x = 5.
  • 47. Ejemplos. Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que ambas son válidas.
  • 48. 7. Sistemas de ecuaciones logarítmicas. Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos, una de sus ecuaciones es logarítmica. Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmica. Se resuelven convirtiendo la ecuación logarítmica en algebraica. Sistemas en los que las dos ecuaciones son logarítmicas. Se pueden resolver por reducción o convirtiendo cada ecuación logarítmica en algebraica. Para resolverlas aplicamos las propiedades vistas anteriormente de los logaritmos.
  • 49. Ejemplos. Resolviendo: Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
  • 50. Ejemplos. Resolviendo: Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
  • 51. Ejemplos. Resolviendo: Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.
  • 52. Ejemplos. Se sustituyen en la ecuación inicial y se ve que la solución es válida.