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Ministerio del Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sede Barcelona-Edo. Anzoátegui
Profesor:
Pedro Beltrán
Alumna:
Romina Méndez
Arquitectura-3er semestre
C.I: 28.649.607
Ecuaciones
Paramétricas
INTRODUCCIÓN
2
Es bien sabido que una de las ramas de las matemáticas que
estudia vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales ,
con un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus
transformaciones, es el álgebra lineal . Sin embargo a través
de este medio se desarrollara como el álgebra vectorial utiliza
ecuaciones paramétricas para representar una curva o
superficie en el espacio. Además se tocaran temas como
transformar ecuaciones paramétricas a cartesianas y como
encontrar la longitud del arco de una curva
Generalidades del
álgebra vectorial
Primero que todo debemos explicar el significado de álgebra
vectorial , la cual es una rama de las matemáticas encargada de
estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices,
espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se
relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones
diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones,
gráficas computacionales, entre otras.
1
Fundamentos
El álgebra vectorial se estudia a través de tres fundamentos:
Geométricamente: Los vectores son representados por rectas que tienen una
orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son
definidas a través de métodos geométricos.
Analíticamente: La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con
números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una
representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas.
Axiomáticamente: Se hace una descripción de los vectores, independientemente del
sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica
4
📌
📌
📌
Vectores
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un
punto y su extremo en el otro. El origen de un vector es también conocido como el
punto de aplicación.
En otras palabras es un segmento de línea con dirección y sentido, que representa
una magnitud física. Su representación gráfica consiste en una flecha, cuya punta va
dirigida en dirección a la magnitud del estudio.
En matemática avanzada, el vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el
estudio de funciones y la resolución de problemas en los que se busca la
representación numérica y grafica de una función.
5
Elementos de un vector
6
1.- Módulo
Es la distancia que hay desde el
origen hasta el extremo de un
vector, representada por un
número real junto con una
unidad. Por ejemplo:
|OM| = |A| = A = 6 cm
2.- Dirección
Es la medida del ángulo que
existe entre el eje x (a partir del
positivo) y el vector, así como
también se utilizan los puntos
cardinales (norte, sur, este y
oeste).
3.- Sentido
Es dado por la punta de
flecha ubicada en el extremo
del vector, indicando hacia
dónde se dirige este.
7
Clasificación de los vectores
Los vectores se clasifican en:
Libres
Deslizantes
Fijos
Unitarios
Esta es la clasificación más generalizada que reconocen las
matemáticas como ciencia exacta y que de forma primaria estudia
estos elementos de medición, sobre un espacio abstracto en el
cual se establecen las medidas entre un punto y otro.
Concurrentes
Opuestos
Colineales
Paralelos
Coplanares
8
Tipos de vectores
 Vector fijo: Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es fijo; es
decir, que se mantiene ligado a un punto del espacio, por lo que no
puede desplazarse en este.
 Vector libre: Puede moverse libremente en el espacio porque su
origen se traslada a cualquier punto sin cambiar su módulo, sentido o
dirección.
 Vector deslizante: Es aquel que puede trasladar su origen a lo largo
de su línea de acción sin cambiar su módulo, sentido o dirección.
Ecuaciones Paramétricas
En matemática, un sistema de ecuaciones paramétricas permite
representar una curva o superficie en el plano o en el espacio,
mediante valores que recorren un intervalo de números reales,
mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada
coordenada de un punto como una función dependiente del
parámetro.
9
2
10
Ecuaciones paramétricas
Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una
separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto,
designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas
ecuaciones se representan en la siguiente forma general:
x = F (z)
y = F (z)
Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola
curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos
Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas.
En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las
ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a x, y, que
representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos así
determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las ecuaciones
paramétricas.
11
 La ecuación se calcula a partir de la ecuación vectorial:
𝑥, 𝑦 = 𝑥0, 𝑦0 + 𝑡 𝑎, 𝑏
 Primero multiplicamos el numero t por las coordenadas del vector
𝑥, 𝑦 = 𝑥0, 𝑦0 + (𝑡𝑎, 𝑡𝑏)
 Luego sumamos los vectores para expresarlas en un solo vector
𝑥, 𝑦 = 𝑥0 + 𝑡𝑎, 𝑦0 + 𝑡𝑏
En estas 𝑥0 𝑦 𝑦0 son las coordenadas del punto por donde pasa la recta y 𝑎 y 𝑏 son
las coordenadas del vector de dirección
Ahora Podemos escribir una ecuación para cada coordenada que obtuvimos para
obtener nuestras ecuaciones paramétricas de la recta.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏
Ecuaciones paramétricas
Gráfica de ecuaciones
paramétricas
12
3
Para definir en forma vectorial
una recta en R3, es suficiente
conocer un punto de la recta y
un vector director que indique la
dirección de la misma, o sea un
vector paralelo a la recta.
Gráfica de ecuaciones paramétricas
13
CIRCUNFERENCIA
Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M (x , y) un punto
de la curva y Θ=ángXOM.
Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia: 𝑥=𝑎cos𝜃 𝑦=𝑎sin𝜃
Gráfica de ecuaciones paramétricas
14
Trazado de una curva
Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas
Solución Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones
paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla.
Gráfica de ecuaciones paramétricas
15
Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad
de f y de g se obtiene la curva C como se observa en la grafica. Hay que observar
las flechas sobre la curva que indican su orientación conforme t aumenta de 2 a 3.
Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de
y =1- 𝑥2
usando cada uno de los parámetros siguientes.
16
Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada
Solución:
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b)Para expresar x y y en términos del parámetro m, se puede
obtener como sigue
Como se obtiene una ecuación paramétrica para x. Para obtener una ecuación
paramétrica para y, en la ecuación original se sustituye x por –m/2
17
Continuación
Por tanto las ecuaciones paramétricas son
18
Continuación
En la grafica se puede observar que la orientación de la curva resultante
es de derecha a izquierda, determinada por la dirección de los valores
crecientes de la pendiente m. En el apartado a), la curva puede haber
tenido la orientación opuesta
19
Transformar las ecuaciones
paramétricas a las cartesianas
4
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está
escrita en ecuación paramétrica:
1.Se igualan las coordenadas
2.Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente
3.Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación
lineal en variables x, y, z
Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta
a cada valor del parámetro en la recta numérica.
x= x + λp + μq
y= y + λp + μq
z= z + λp + μq
Plano Cartesiano
El plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del
sistema.
Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la
unión de 2 rectas perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes
conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de manera horizontal,
identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de manera
vertical y, representado con la letra Y.
20
21
Comparar la gráfica de ecuaciones paramétricas con la gráfica
de la ecuación cartesiana.
En matemática, la longitud de arco, también
llamada rectificación de una curva, es la medida de
la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o
dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar
esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron
usados varios métodos para curvas específicas. La
llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para
obtener soluciones cerradas para algunos casos.
Longitud de arco en
ecuaciones paramétricas
.
22
5
Longitud de una curva parametrizada
Una curva se considera parametrizada por las siguientes
ecuaciones
X(t)=t – t
Y(t)=2e
Si dejamos que t varíe de -1,5 a 1,5 la curva resultante
se ve así
23
3
−𝒕 𝟐
Longitud de arco de una curva
 Para encontrar la longitud de arco de una curva,
construimos una integral de la forma
 (𝐝𝐱) 𝟐+(𝐝𝐲) 𝟐
 Los términos dx y dy representan el pequeño cambio
en los valores de X e Y desde el principio hasta el final
del segmento
24
Longitud de arco de una curva
 Ahora trabajaremos el caso en el que la curva esta dada en forma
paramétrica; es decir, cuando X y Y son funciones de una nueva
variable, el parámetro t. Para poder usar la integral de longitud de
arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y
obtenemos dx y dy en términos de dt
 𝒅𝒙 =
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝒅𝒕
 𝒅𝒚 =
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒕
 Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el termino 𝑑𝑡2
fuera del radical
25
26
Ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de
las características cinemáticas de una partícula en movimiento.
Ejemplo:
Conclusión
En el algebra lineal se dice que un espacio vectorial es el objeto
básico de estudio y a través de este medio se logro profundizar en las
distintas formas de representarlo. Se demostró que las ecuaciones
paramétricas sirven como una herramienta para demostrar eventos de
la vida real para el beneficio del desarrollo de tecnología humana. En
vez de visualizar una curva como la gráfica de una función o de una
ecuación, se considero desde un modo más general para representar
una curva: como si se tratara de la trayectoria de una partícula en
movimiento, cuya posición cambia con el tiempo. Así, cada una de las
coordenadas X y Y de la posición de la partícula se convierte en una
función de una tercera variable t.
27
Anexos
 https://www.youtube.com/watch?v=D_4l1pQawdk
 https://www.youtube.com/watch?v=5-sdxGwDY-M
 https://www.youtube.com/watch?v=9RW8oAb_eJ0
28
Bibliografía
 https://es.slideshare.net/nmanaure/algebra-vectorial-power-
point#:~:text=El%20%C3%A1lgebra%20vectorial%20es%20una,vectoriales%20y
%20sus%20transformaciones%20lineales.&text=Este%20tipo%20de%20descripci
%C3%B3n%20es,utiliza%20un%20sistema%20de%20coordenadas.
 http://www.pearsonenespanol.com/docs/librariesprovider5/files_recursosmcc/thom
as_una_variable_13e_cap11.pdf?sfvrsn=4
 http://math.kendallhunt.com/documents/daa1/CondensedLessonPlansSpanish/DA
A_CLPS_08.pdf
 https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-
functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length-part-2-parametric-
curve
 https://www.ck12.org/book/ck-12-conceptos-de-c%c3%a1lculo-en-
espa%c3%b1ol/section/10.7/
 https://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco 29

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Ecuaciones Paramétricas

  • 1. República Bolivariana De Venezuela Ministerio del Poder Popular para la Educación Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño” Sede Barcelona-Edo. Anzoátegui Profesor: Pedro Beltrán Alumna: Romina Méndez Arquitectura-3er semestre C.I: 28.649.607 Ecuaciones Paramétricas
  • 2. INTRODUCCIÓN 2 Es bien sabido que una de las ramas de las matemáticas que estudia vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales , con un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones, es el álgebra lineal . Sin embargo a través de este medio se desarrollara como el álgebra vectorial utiliza ecuaciones paramétricas para representar una curva o superficie en el espacio. Además se tocaran temas como transformar ecuaciones paramétricas a cartesianas y como encontrar la longitud del arco de una curva
  • 3. Generalidades del álgebra vectorial Primero que todo debemos explicar el significado de álgebra vectorial , la cual es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales, entre otras. 1
  • 4. Fundamentos El álgebra vectorial se estudia a través de tres fundamentos: Geométricamente: Los vectores son representados por rectas que tienen una orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por números reales son definidas a través de métodos geométricos. Analíticamente: La descripción de los vectores y sus operaciones es realizada con números, llamados componentes. Este tipo de descripción es resultado de una representación geométrica porque se utiliza un sistema de coordenadas. Axiomáticamente: Se hace una descripción de los vectores, independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo de representación geométrica 4 📌 📌 📌
  • 5. Vectores Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro. El origen de un vector es también conocido como el punto de aplicación. En otras palabras es un segmento de línea con dirección y sentido, que representa una magnitud física. Su representación gráfica consiste en una flecha, cuya punta va dirigida en dirección a la magnitud del estudio. En matemática avanzada, el vector tiene gran importancia, ya que se utiliza para el estudio de funciones y la resolución de problemas en los que se busca la representación numérica y grafica de una función. 5
  • 6. Elementos de un vector 6 1.- Módulo Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un vector, representada por un número real junto con una unidad. Por ejemplo: |OM| = |A| = A = 6 cm 2.- Dirección Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del positivo) y el vector, así como también se utilizan los puntos cardinales (norte, sur, este y oeste). 3.- Sentido Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del vector, indicando hacia dónde se dirige este.
  • 7. 7 Clasificación de los vectores Los vectores se clasifican en: Libres Deslizantes Fijos Unitarios Esta es la clasificación más generalizada que reconocen las matemáticas como ciencia exacta y que de forma primaria estudia estos elementos de medición, sobre un espacio abstracto en el cual se establecen las medidas entre un punto y otro. Concurrentes Opuestos Colineales Paralelos Coplanares
  • 8. 8 Tipos de vectores  Vector fijo: Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es fijo; es decir, que se mantiene ligado a un punto del espacio, por lo que no puede desplazarse en este.  Vector libre: Puede moverse libremente en el espacio porque su origen se traslada a cualquier punto sin cambiar su módulo, sentido o dirección.  Vector deslizante: Es aquel que puede trasladar su origen a lo largo de su línea de acción sin cambiar su módulo, sentido o dirección.
  • 9. Ecuaciones Paramétricas En matemática, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable, llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. 9 2
  • 10. 10 Ecuaciones paramétricas Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general: x = F (z) y = F (z) Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramétricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramétricas. En forma directa se le asignan valores ordenados al parámetro con lo cual las ecuaciones paramétricas determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos así determinados resulta una curva, que es la representación gráfica de las ecuaciones paramétricas.
  • 11. 11  La ecuación se calcula a partir de la ecuación vectorial: 𝑥, 𝑦 = 𝑥0, 𝑦0 + 𝑡 𝑎, 𝑏  Primero multiplicamos el numero t por las coordenadas del vector 𝑥, 𝑦 = 𝑥0, 𝑦0 + (𝑡𝑎, 𝑡𝑏)  Luego sumamos los vectores para expresarlas en un solo vector 𝑥, 𝑦 = 𝑥0 + 𝑡𝑎, 𝑦0 + 𝑡𝑏 En estas 𝑥0 𝑦 𝑦0 son las coordenadas del punto por donde pasa la recta y 𝑎 y 𝑏 son las coordenadas del vector de dirección Ahora Podemos escribir una ecuación para cada coordenada que obtuvimos para obtener nuestras ecuaciones paramétricas de la recta. 𝑥 = 𝑥0 + 𝑡𝑎 𝑦 = 𝑦0 + 𝑡𝑏 Ecuaciones paramétricas
  • 12. Gráfica de ecuaciones paramétricas 12 3 Para definir en forma vectorial una recta en R3, es suficiente conocer un punto de la recta y un vector director que indique la dirección de la misma, o sea un vector paralelo a la recta.
  • 13. Gráfica de ecuaciones paramétricas 13 CIRCUNFERENCIA Sea la circunferencia de centro en O y radio a. sean además M (x , y) un punto de la curva y Θ=ángXOM. Se tiene, como ecuaciones paramétricas de la circunferencia: 𝑥=𝑎cos𝜃 𝑦=𝑎sin𝜃
  • 14. Gráfica de ecuaciones paramétricas 14 Trazado de una curva Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas Solución Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla.
  • 15. Gráfica de ecuaciones paramétricas 15 Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y de g se obtiene la curva C como se observa en la grafica. Hay que observar las flechas sobre la curva que indican su orientación conforme t aumenta de 2 a 3.
  • 16. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y =1- 𝑥2 usando cada uno de los parámetros siguientes. 16 Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada Solución: a)Haciendo x=t se obtienen las ecuaciones paramétricas b)Para expresar x y y en términos del parámetro m, se puede obtener como sigue
  • 17. Como se obtiene una ecuación paramétrica para x. Para obtener una ecuación paramétrica para y, en la ecuación original se sustituye x por –m/2 17 Continuación Por tanto las ecuaciones paramétricas son
  • 18. 18 Continuación En la grafica se puede observar que la orientación de la curva resultante es de derecha a izquierda, determinada por la dirección de los valores crecientes de la pendiente m. En el apartado a), la curva puede haber tenido la orientación opuesta
  • 19. 19 Transformar las ecuaciones paramétricas a las cartesianas 4 Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación paramétrica: 1.Se igualan las coordenadas 2.Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente 3.Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables x, y, z Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada valor del parámetro en la recta numérica. x= x + λp + μq y= y + λp + μq z= z + λp + μq
  • 20. Plano Cartesiano El plano cartesiano se conoce como 2 rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otro vertical, que se cortan en un punto llamado origen o cero del sistema. Un plano cartesiano está formado por 4 cuadrantes o áreas producto de la unión de 2 rectas perpendiculares u coordenadas ortogonales y, 2 ejes conocidos como: el eje de las abscisas, ubicado de manera horizontal, identificado con la letra X y, el eje de las ordenadas, situado de manera vertical y, representado con la letra Y. 20
  • 21. 21 Comparar la gráfica de ecuaciones paramétricas con la gráfica de la ecuación cartesiana.
  • 22. En matemática, la longitud de arco, también llamada rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares; aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas. La llegada del cálculo trajo consigo la fórmula general para obtener soluciones cerradas para algunos casos. Longitud de arco en ecuaciones paramétricas . 22 5
  • 23. Longitud de una curva parametrizada Una curva se considera parametrizada por las siguientes ecuaciones X(t)=t – t Y(t)=2e Si dejamos que t varíe de -1,5 a 1,5 la curva resultante se ve así 23 3 −𝒕 𝟐
  • 24. Longitud de arco de una curva  Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una integral de la forma  (𝐝𝐱) 𝟐+(𝐝𝐲) 𝟐  Los términos dx y dy representan el pequeño cambio en los valores de X e Y desde el principio hasta el final del segmento 24
  • 25. Longitud de arco de una curva  Ahora trabajaremos el caso en el que la curva esta dada en forma paramétrica; es decir, cuando X y Y son funciones de una nueva variable, el parámetro t. Para poder usar la integral de longitud de arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos dx y dy en términos de dt  𝒅𝒙 = 𝒅𝒙 𝒅𝒕 𝒅𝒕  𝒅𝒚 = 𝒅𝒚 𝒅𝒕 𝒅𝒕  Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el termino 𝑑𝑡2 fuera del radical 25
  • 26. 26 Ecuaciones vectoriales paramétricas para la determinación de las características cinemáticas de una partícula en movimiento. Ejemplo:
  • 27. Conclusión En el algebra lineal se dice que un espacio vectorial es el objeto básico de estudio y a través de este medio se logro profundizar en las distintas formas de representarlo. Se demostró que las ecuaciones paramétricas sirven como una herramienta para demostrar eventos de la vida real para el beneficio del desarrollo de tecnología humana. En vez de visualizar una curva como la gráfica de una función o de una ecuación, se considero desde un modo más general para representar una curva: como si se tratara de la trayectoria de una partícula en movimiento, cuya posición cambia con el tiempo. Así, cada una de las coordenadas X y Y de la posición de la partícula se convierte en una función de una tercera variable t. 27
  • 29. Bibliografía  https://es.slideshare.net/nmanaure/algebra-vectorial-power- point#:~:text=El%20%C3%A1lgebra%20vectorial%20es%20una,vectoriales%20y %20sus%20transformaciones%20lineales.&text=Este%20tipo%20de%20descripci %C3%B3n%20es,utiliza%20un%20sistema%20de%20coordenadas.  http://www.pearsonenespanol.com/docs/librariesprovider5/files_recursosmcc/thom as_una_variable_13e_cap11.pdf?sfvrsn=4  http://math.kendallhunt.com/documents/daa1/CondensedLessonPlansSpanish/DA A_CLPS_08.pdf  https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable- functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length-part-2-parametric- curve  https://www.ck12.org/book/ck-12-conceptos-de-c%c3%a1lculo-en- espa%c3%b1ol/section/10.7/  https://es.wikipedia.org/wiki/Longitud_de_arco 29