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2
3
4
5
6
−4𝑥 = −8
𝑥 =
−8
−4
7
Ver ejemplo #2 𝟏
𝒙 − 𝟐
+
𝟑
𝟒
=
𝟑𝒙 + 𝟏
𝟒𝒙 − 𝟐
El MCM de los denominadores: es 𝟒(𝒙 − 𝟐 )(𝟒𝒙 − 𝟐)
𝟏 ×
𝒙 − 𝟐
+
𝟑 ×
𝟒
=
𝟑𝒙 + 𝟏 ×
𝟒𝒙 − 𝟐
8
Ejemplo #3
Sea 𝒙 la cierta cantidad de dinero distribuida
Hijo #1=𝟏𝟎𝟎𝟎 +
𝟏
𝟏𝟎
𝒙 − 𝟏𝟎𝟎𝟎
Hijo #2= 𝟐𝟎𝟎𝟎 +
𝟏
𝟏𝟎
𝒙 −
𝟏
𝟏𝟎
𝒙 − 𝟗𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎
Hijo #2 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 +
𝟗
𝟏𝟎𝟎
𝒙 − 𝟐𝟗𝟎 =
El señor tiene un total de 9 hijos
y repartió RD$81,000.
9
Ejemplo #4
10
Inversión al 25 %
11
12
13
𝟐𝒙
𝟏
14
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16
17
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20
Modelos Lineales
21
Dos conceptos importantes: Oferta y
demanda
 Para abordar aplicaciones de este tipo es necesario tener en cuenta
los siguientes conceptos:
 Oferta: Cantidad máxima de bienes o servicios que un productor
está dispuesto a vender en el mercado a un precio dado por unidad
de tiempo. Cuanto mayor sea el precio en el mercado, mayor será la
cantidad ofrecida de bienes y servicios.
 Demanda: Cantidad máxima de un bien o servicio que un individuo o
grupo de ellos está dispuesto a adquirir a un determinado precio, por
unidad de tiempo.
22
23
24
25
26
Un confeccionista de ropa produce 𝑥 cantidad de camisetas a la semana. Los costos
por materiales y mano de obra son de $3,000 por cada unidad; además, tiene costos
fijos de mantenimiento por $ 50,000. ¿Cuántas camisetas debe confeccionar a la
semana para obtener utilidades por $ 200,000, si vende cada camiseta a $ 8,000?
Si 𝑥 es el número de unidades a producir para vender, y 𝑈 = 𝑅 − 𝐶,
𝐶𝑡 = 3000𝑥 + 50,000
𝑈 = 200,000 𝑅 = 8000𝑥
200,000 = 8000𝑥 − 3000𝑥 − 50000 200,000 + 50000 = 5000𝑥
𝑥 =
250,000
5000
5000𝑥 = 250,000 𝑥 = 50
Se deben producir y vender semanalmente 50 camisetas
27
Un laboratorio farmacéutico fabrica un tipo específico de droga. Los costos variables
por caja de 20 unidades cada una es de $2000. Si los costos fijos son de $500,000 a
la semana y la caja puede venderse a $ 2,800 . ¿Cuántas cajas de la sustancia deberá
producir para vender el laboratorio semanalmente para no tener pérdidas ni
ganancias, es decir estar en el punto de equilibrio.
𝑥 = Número de unidades a fabricar y vender.
Solución:
𝑅 = 𝐶 2800𝑥 = 2000𝑥 + 50000
𝑅 = 2800𝑥 𝐶 = 2000𝑥 + 50000
800𝑥 = 50000
𝑥 =
50000
800
𝑥 = 625 cajas
28
29
A un precio P, un fabricante ofrece 𝑷𝟐 − 𝟓𝑷 − 𝟏𝟎𝟎 unidades de un producto;
si la demanda es (𝟓𝑷 + 𝟓𝟎𝟎) unidades, ¿cuál será el precio del artículo, para
que su mercado se encuentre en el punto de equilibrio? ¿Cuál es el número de
unidades ofrecidas
30
 A un precio P en pesos por unidad, un fabricante ofrece (5𝑃 − 4) unidades, si la
demanda es (500 − 2𝑃) unidades. ¿Cuál será el valor de 𝑃 para que la oferta sea
igual a la demanda. ¿Cuál será la cantidad de unidades que el fabricante ofrece?
5𝑃 − 4 = 500 − 2𝑃 7𝑃 = 504 𝑃 =
504
7
Luego 𝑃 = 72 y el fabricante ofrece :
5𝑃 − 4 = 5 72 = 356 unidades.
 Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer tipo
requiere de 2 horas de máquina y cada unidad del segundo tipo requiere de 5 horas
de máquina. Hay disponibles 280 horas de máquina a la semana.
a) Si a la semana se fabrican 𝑥 unidades del primer tipo y 𝑦 unidades del
segundo, encuentre la relación entre 𝑥 y 𝑦 si se utilizan todas las horas de
máquina.
b) ¿Cuál es la pendiente de la ecuación en la parte a)? ¿Qué representa?
𝑚 = −
2
5
2𝑥 + 5𝑦 = 280 𝑦 =
−2𝑥 + 280
5
𝑦 = −
2
5
𝑥 +
280
5
 Cada incremento de 5 unidades en el primer tipo resultará en una disminución
de 2 unidades en el segundo tipo.
31
Ejemplo #10
c) ¿Cuántas unidades del primer tipo pueden fabricarse si 40 unidades del segundo
tipo se fabrican en una semana particular?
2𝑥 + 5𝑦 = 280 2𝑥 + 5(40) = 280 2𝑥 = 280 − 200
2𝑥 = 80 𝑥 =
80
2 𝑥 = 40 unidades
32
Continuación
 Un comerciante puede vender diariamente 200 unidades de cierto bien en $30 por
unidad y 250 unidades en $27 por unidad. La ecuación de oferta para ese bien es
6𝑝 = 𝑥 + 48.
a) Determine la ecuación de demanda para el bien, suponga que es lineal.
𝐴 200, $30 𝐵 250, $27 𝑚 =
27 − 30
250 − 200
𝑚 = −0.06
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 30 = −0.06 𝑥 − 200 𝑦 − 30 = −0.06𝑥 + 12
𝑦 = −0.06𝑥 + 42
= −
3
50
33
Ejemplo #11
b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio.
6𝑃 = 𝑥 + 48 𝑃 =
𝑥 + 48
6
𝑥 + 48
6
= −0.06𝑥 + 42 𝑥 + 48 = 6 −0.06𝑥 + 42 𝑥 + 48 = −0.36𝑥 + 252
𝑥 + 0.36𝑥 = 252 − 48 1.36𝑥 = 204 𝑥 =
204
1.36
𝑥 = 150
𝑃 =
150 + 48
6
𝑃 = 33
𝑃 =
𝑥 + 48
6
Hagamos 𝑃 = 𝑦
34
c) Determine el precio y la cantidad de equilibrio, si se cobra un impuesto de
$3.40 por unidad del bien. ¿Cuál es el aumento en el precio y cuál la disminución
en la cantidad demandada?
𝑃𝑐 =
𝑥 + 48
6
+ 3.4
𝑦 = −0.06𝑥 + 42
Sustituyendo 𝑃𝑐 = 𝑦 en la ecuación de la demanda
𝑥 + 48
6
+ 3.4 = −0.06𝑥 + 42 𝑥 + 68.4 = −0.36𝑥 + 252
1.36𝑥 = 183.6 𝑥 = 135
𝑃𝑐 = 33.90
𝑃𝑐 =
135 + 68.4
6
 El precio inicial era 𝑃 = 33 y con el gravamen es 𝑃𝑐 = 33.90.
 La demanda inicial era de 𝑥 = 150 y después del gravamen es de 135.
En consecuencia:
35
d) ¿Qué subsidio por unidad aumentará la demanda en 24 unidades?
e) ¿Qué impuesto aditivo por unidad debe cobrarse en el bien, de modo que el
precio de equilibrio por unidad aumente en $1.08?
𝑃𝑐 = −0.06𝑥 + 42 𝑃𝑐 = −0.06 150 + 24 + 42
𝑃𝑠 =
𝑥 + 48
6
𝑃𝑐 = $ 31.56
𝑃𝑠 = $ 37
=
174 + 48
6
∆𝑃 = 𝑃𝑠 − 𝑃𝑐 ∆𝑃 = 37 − 31.56 ∆𝑃 = $5.44
36
𝑃0 − 1.08 =
𝑥 + 48
6
Como 𝑥 = 150 𝑃0 − 1.08 = 33 𝑃0 = $34.08
37
 Suponga que el auto va a recorrer 𝑥 millas. Entonces, la primer agencia cobrará 𝐶1(𝑥) = 25 + 0.60𝑥
dólares y la segunda agencia cobrará 𝐶2(𝑥) = 30 + 0.50𝑥 dólares. Si se igualan esas dos
expresiones y se resuelve para 𝑥, se obtiene
Ver ejemplo#12: Una agencia de renta de autos cobra $25, más 60 centavos por
milla. Una segunda agencia cobra $30, más 50 centavos por milla. ¿Cuál
agencia ofrece la mejor oferta?
Solución
 La respuesta depende del número de millas que se recorra. Para viajes cortos la primera agencia
cobra menos que la segunda, pero para viajes largos la segunda agencia cobra menos. Puede
utilizar un análisis de equilibrio para hallar el número de millas en las que las dos agencias cobran
lo mismo.
 Esto implica que las dos agencias cobran la misma cantidad si el carro recorre 50 millas. Para
distancias más cortas, la primera agencia ofrece la mejor oferta, y para distancias más largas la
segunda agencia es mejor. La situación se ilustra en la figura
0.1𝑥 = 5
25 + 0.60𝑥 = 30 + 0.50𝑥 𝑥 = 50
0.60𝑥 − 0.50𝑥 = 30 − 25
38
Gráfico del problema anterior
39
Un fabricante puede vender cierto producto en $110 por unidad. El costo total consiste de un
costo fijo indirecto de $7500 más los costos de producción de $60 por unidad.
Solución
a)¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para llegar al equilibrio?
b)¿Cuál es la utilidad del fabricante o la pérdida si se venden 100 unidades?
c)¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para tener una utilidad de $1250?
 Si 𝑥 es el número de unidades fabricadas y vendidas, el ingreso total está dado por 𝑅(𝑥) = 110𝑥 y el
costo total por 𝐶(𝑥) = 7500 + 60𝑥.
𝑥 = 150
50𝑥 = 7500
110𝑥 = 7500 + 60𝑥
a) Para hallar el punto de equilibrio, iguale 𝑅(𝑥) a 𝐶(𝑥)
y resuelva:
 De ahí que el fabricante tendrá que vender 150
unidades para llegar al punto de equilibrio
(véase la figura).
Ver ejemplo #13
40
b) La utilidad 𝑃(𝑥) es el ingreso menos el costo. Por tanto,
 El signo menos indica una utilidad negativa (o pérdida), que era de esperarse, pues
100 unidades es menos que 150 unidades que es la cantidad en el punto de
equilibrio. De este modo, si se venden 100 unidades el fabricante perderá $2 500.
 La utilidad de la venta de 100 unidades es = −2500
𝑃(100) = 50(100) − 7500
𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 110𝑥 − (7,500 + 60𝑥) = 50𝑥 − 7500
c) Para determinar el número de unidades que se debe vender para generar una
utilidad de $1250, se iguala la fórmula para la utilidad 𝑃(𝑥) a 1250 y se resuelve
para 𝑥. Así se tiene que
𝑃(𝑥) = 1250 50𝑥 − 7500 = 1250 50𝑥 = 8750 𝑥 =
8750
50
𝑥 = 175
 Se concluye que se deben vender 175 unidades para generar la utilidad deseada.
41
42
43
44
Modelos Funcionales
45
 Una práctica común para analizarlos es hacer suposiciones acerca de las variables a
fin de simplificarlos y poder hacer una descripción matemática apropiada.
 Los modelos matemáticos son sólo aproximaciones de la realidad, y en ocasiones,
un modelo particular no es muy exacto, por lo que las suposiciones en las que se
basa se van ajustando para hacer el modelo más real, pero sin introducir demasiada
complejidad matemática.
 Con frecuencia, los problemas prácticos en Negocios, Economía o en la vida
cotidiana son demasiado complicados para ser descritos con precisión mediante
fórmulas simples.
 Este proceso se denomina Modelación Matemática y al problema modificado con
base en las suposiciones de simplificación se le llama Modelo matemático. Una vez
que se han elegido las suposiciones del problema, se usan métodos matemáticos
apropiados, como el cálculo, para analizar el modelo.
Generalidades sobre los modelos matemáticos
46
Una compañía produce y vende 𝑥 unidades de uno de sus productos al mes a un
precio 𝑃 = 4𝑥 − 1000. ¿Cuántas unidades debe producir y vender mensualmente la
compañía para obtener ingresos de $ 360,000. ¿A qué precio debe vender cada
unidad?
𝑥 = Número de unidades a producir y vender al mes.
𝑃 = 4𝑥 − 1000 𝑅 = $ 360,000 𝑅 = 𝑥𝑃
360,000 = 𝑥 4𝑥 − 1000 360,000 = 4𝑥2 − 1000𝑥 𝑥2 − 250𝑥 − 90000 = 0
𝑥 − 450 𝑥 + 200 = 0 𝑥 = 450 𝑃 = 4(450) − 1000 𝑃 = $800
47
El departamento de mercadotecnia en Texas Instruments ha encontrado que ,cuando
ciertas calculadoras se venden a un precio unitario de p dólares , el ingreso 𝑅(en
dólares) como función de 𝑝 es 𝑅(𝑝) = −150𝑝2 + 21,000𝑝
Modelación Matemática usando la función cuadrática
 La función 𝑅 es una función cuadrática
con 𝑎 = −150, 𝑏 = 21000 y 𝑐 = 0.
 Como 𝑎 < 0, el vértice es el punto más alto
de la parábola. El ingreso 𝑅 es entonces
un máximo cuando 𝑝 es
= $70
𝑅 70 = −150 70 2 + 21,000 70
 Luego el ingreso máximo es:
𝑝 = −
𝑏
2𝑎
= −
21000
2 −150
= −
21000
−300
= $735,000
Ver gráfico
Ejemplo #15
48
c) Use la gráfica del inciso a ) para determinar el precio de mercado que genera el
mayor gasto de consumo total mensual. Determine el mayor consumo mensual.
 Suponga que 𝑥 = −200𝑝 + 12000 unidades de un artículo en particular se
venden cada mes cuando el precio del mercado es 𝑝 dólares por unidad.
 El gasto de consumo total mensual, 𝐸, es la cantidad total de dinero gastada por
los consumidores durante cada mes.
a) Exprese el gasto de consumo total mensual, 𝐸, como una función del precio
unitario 𝑝, 𝑦 dibuje la gráfica de 𝐸(𝑝).
b) Analice el significado económico de las intersecciones con el eje 𝑝 de la función de
gasto 𝐸(𝑝)
El gasto de consumo total mensual
Ejemplo#16
49
𝑥 = −200𝑝 + 12000 𝐸 𝑝 = 𝑝𝑥
 a) Exprese el gasto de consumo total
mensual, 𝐸, como una función del precio
unitario 𝑝, 𝑦 dibuje la gráfica de 𝐸(𝑝).
 b) Analice el significado económico de las
intersecciones con el eje 𝑝 de la función de
gasto 𝐸(𝑝)
 c) Use la gráfica del inciso a) para
determinar el precio de mercado que genera
el mayor gasto de consumo total
mensual.Determine el mayor consumo
mensual.
𝑝 = −
𝑏
2𝑎
𝑝 = −
12000
2 −200
Dado de que 𝑎 = −200, 𝑏 = 12000, entonces
𝐸 30 = −200 30 2
+ 12000 30
 Las intersecciones representan los
precios del mercado para los cuales no se
genera consumo mensual.
50
 El precio 𝑝 y la cantidad vendida 𝑥 de cierto producto obedecen la ecuación de la
demanda 𝑝 = −
1
6
𝑥 + 100, 0 ≤ 𝑥 ≤ 600.
e) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para maximizar el ingreso?
Ecuación de Demanda :Ver ejemplo #17:
a) Exprese el ingreso 𝑅 como función de 𝑥. (Recuerde que 𝑅 = 𝑥𝑝. )
b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 300 unidades?
c) Grafique la función del ingreso usando un dispositivo de graficación.
d) ¿Qué cantidad 𝑥 maximiza el ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo?
51
𝑅 𝑥 = 𝑥 −
1
6
𝑥 + 100
𝑝 = −
1
6
𝑥 + 100, 0 ≤ 𝑥 ≤ 600 𝑅 = 𝑥𝑝
 a) Exprese el ingreso 𝑅 como función de 𝑥. (Recuerde que 𝑅 = 𝑥𝑝. )
b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 200 unidades?
𝑅 200 = −
1
6
200 2
+ 100 200 𝑅 200 = $13,333.33
 c) Grafique la función del ingreso usando un
dispositivo de graficación.
 d) ¿Qué cantidad 𝑥 maximiza el ingreso? ¿Cuál
es el ingreso máximo?
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
𝑎 = −
1
6
𝑏 = 100 = −
100
2 −
1
6
𝑅 300 = −
1
6
300 2
+ 100 300
 e) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para
maximizar el ingreso?
𝑝 = −
1
6
300 + 100 = −50 + 100
52
 Cuando se venden licuadoras a 𝑝 dólares la unidad, los fabricantes ofrecerán
𝑝2
10
licuadoras a los vendedores locales, mientras que la demanda local será de 60 − 𝑝
licuadoras. ¿A qué precio de mercado será igual la oferta de licuadoras de los
fabricantes a la demanda de licuadoras de los consumidores? ¿Cuántas licuadoras
se venderán a este precio?
𝑝2
10
= 60 − 𝑝 𝑝2 = 10 60 − 𝑝 𝑝2
= 600 − 10𝑝 𝑝2 + 10𝑝 − 600 = 0
𝑝 + 30 𝑝 − 20 = 0 𝑝 = $20
𝑝 − 20 = 0
 Luego se venderán 60 − 20 = 40 licuadoras.
Ver ejemplo #18 sobre la interacción de la oferta y la demanda
 En este problema claramente se pide buscar el punto de equilibrio. En efecto
53
c) ¿Dónde cruza el eje 𝑦 la curva de oferta? Describa el significado económico de
este punto.
 Los productores ofertarán 𝑥 unidades de un artículo en el mercado cuando el
precio es 𝑝 = 𝑆(𝑥) dólares por unidad; mientras que los consumidores
demandarán (comprarán) 𝑥 unidades cuando el precio es 𝑝 = 𝐷(𝑥) por unidad,
donde
𝑆(𝑥) = 2𝑥 + 15 𝐷(𝑥) =
385
𝑥 + 1
a) Encuentre el nivel de producción de equilibrio 𝑥𝑒 y el precio de equilibrio 𝑝𝑒.
b) Dibuje las curvas de oferta y demanda en la misma gráfica.
Ver ejemplo #19 sobre la interacción de la oferta y la demanda
54
 a) Encuentre el nivel de producción de
equilibrio 𝑥𝑒 y el precio de equilibrio 𝑝𝑒.
𝑆(𝑥) = 2𝑥 + 15 𝐷(𝑥) =
385
𝑥 + 1
 El punto de equilibrio se presenta cuando
𝑆 𝑥 = 𝐷 𝑥 .
2𝑥 + 15 =
385
𝑥 + 1
𝑥 + 1 2𝑥 + 15 = 385
2𝑥2
+ 15𝑥 + 2𝑥 + 15 = 385 2𝑥2 + 17𝑥 − 370 = 0
2𝑥 + 37 𝑥 − 10 = 0 𝑥 − 10 = 0
𝑃𝑒 = 2 10 + 15
 b) Dibuje las curvas de oferta y demanda en
la misma gráfica.
c) ¿Dónde cruza el eje 𝑦 la curva de oferta? Describa el significado económico de este punto.
 El eje 𝑦 cruza la curva de la oferta en 𝑆 0 = 15. Esto significa que no se producirán unidades
hasta que el precio sea de al menos $𝟏𝟓.
55
e) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para maximizar el ingreso?
Otra ecuación de demanda #20
 El precio 𝑝 y la cantidad 𝑥 vendida de cierto producto obedecen a la ecuación de
demanda 𝑥 = −5𝑝 + 100, 0 ≤ 𝑝 ≤ 20.
a) Exprese el ingreso 𝑅 como función de 𝑥.
b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 15 unidades?
c) Grafique la función del ingreso con una aplicación de gráficas.
d) ¿Cuál es la cantidad 𝑥 que maximiza el ingreso?¿Cuál es el máximo ingreso?
56
Dado que 𝑥 = −5𝑝 + 100, 0 ≤ 𝑝 ≤ 20
𝑝 =
𝑥 − 100
−5
𝑝 = −
1
5
𝑥 + 20 𝑅 𝑥 = 𝑥 −
1
5
𝑥 + 20
 a) Exprese el ingreso 𝑅 como función de 𝑥.
 b) ¿Cuál es el ingreso si se venden
15 unidades?
𝑅 15 = −
1
5
15 2 + 20 15
 c) Grafique la función del ingreso con una
aplicación de gráficas.
 d) ¿Cuál es la cantidad 𝑥 que maximiza el
ingreso?¿Cuál es el máximo ingreso?
𝑎 = −
1
5
𝑏 = 20
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
= −
20
2 −
1
5
Dado que
𝑅 50 = −
1
5
50 2 + 20 50
 e) ¿Qué precio debe cobrar la compañía
para maximizar el ingreso?
𝑝 = −
1
5
50 + 20 = −10 + 20
57
Otros Modelos
58
Suponga que el costo en dólares de fabricar q unidades de un cierto
producto está dado 𝐶 𝑞 = 𝑞3
− 30𝑞2
+ 500𝑞 + 200.
Ejemplo #21
a) Calcule el costo de fabricar 10 unidades del producto.
b) Calcule el costo de fabricar la 10 unidad.
59
Un estudio de eficiencia en el turno de la mañana de cierta fabrica indica
que un trabajador promedio que llega a las 8:00 am. Habrá ensamblado .
Ejemplo #22
televisores 𝒙 horas después.
a) ¿Cuántos televisores habrá ensamblado un trabajador a las 10: 00
a.m.?
b) ¿Cuántos televisores habrá ensamblado un trabajador entre las 9:00 y
las 10:00 a.m
60
c) ¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para distribuir los directorios
telefónicos al primer 50 % de las viviendas ?
61
d)¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para distribuir los directorios
telefónicos a toda la comunidad?
e) ¿Qué porcentaje de viviendas de la comunidad recibió los nuevos
directorios telefónicos después después de 150 horas-trabajador?
Continuación
62
 Mercado: Conjunto de transacciones que se realizan entre los compradores y
vendedores de un bien o servicio. El mercado se define con relación a las fuerzas
de la oferta y la demanda.
 Punto de equilibrio del mercado. Es un punto hipotético donde la oferta es igual
a la demanda.
Otros Conceptos importantes
 Los precios en una economía son una consecuencia de la interacción entre la
oferta y la demanda de bienes y servicios.
 Sin embargo los bancos centrales a través de la Política Monetaria (buscando
cumplir con la meta de inflación) influyen en el proceso de determinación de los
precios.
63
 Hay varias funciones básicas que aparecen con frecuencia en aplicaciones
relacionadas con la economía. Una función demanda 𝑝 = 𝐷(𝑥) es una función que
relaciona el precio unitario 𝑝 de un artículo en particular con el número de unidades
𝑥 demandadas por los consumidores a ese precio.
Funciones utilizadas en Economía y Negocios
 El ingreso total está dado por el producto 𝑅(𝑥) = (número de artículos
vendidos)(precio por artículo) = 𝑥𝑝 = 𝑥𝐷(𝑥).
 Si 𝐶(𝑥) es el costo total de producir 𝑥 unidades, entonces la utilidad derivada de su
venta al precio unitario 𝑝 está dada por la función
𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 𝑥𝐷(𝑥) − 𝐶(𝑥)
 Si 𝑃 𝑥 > 0, entonces decimos que la producción es redituable.
64
La investigación de mercado indica que los consumidores comprarán 𝑥 miles de unidades de un
tipo particular de productor de café cuando el precio unitario es 𝑝 = −0.27𝑥 + 51 dólares. El
costo de producir las 𝑥 miles unidades es 𝐶(𝑥) = 2.23𝑥2
+ 3.5𝑥 + 85 miles de dólares.
a) ¿Cuáles son las funciones de ingreso y de utilidad, 𝑅(𝑥) y 𝑃(𝑥) de este proceso de producción?
b) ¿Para qué valores de 𝑥 es redituable la producción de los fabricantes de café?
a) La función demanda es 𝑫(𝒙) = −𝟎. 𝟐𝟕𝒙 + 𝟓𝟏, de manera que el ingreso es
Solución
 𝑅(𝑥) = 𝑥𝐷(𝑥) = −0.27𝑥2 + 51𝑥 miles de dólares, y la utilidad es 𝑃 𝑥 = 𝑅(𝑥) − 𝐶 𝑥 . Luego
𝑃 𝑥 = −0.27𝑥2 + 51𝑥 − 2.23𝑥2 + 3.5𝑥 + 85 = −2.5𝑥2
+ 47.5𝑥 − 85 miles de dólares.
Ver ejemplo #24
𝑃 𝑥 = −2.5𝑥2 + 47.5𝑥 − 85
b) La producción es redituable cuando 𝑷(𝒙) > 𝟎. Se calcula que
= −2.5 𝑥2 − 19𝑥 + 34 = −2.5(𝑥 − 2)(𝑥 − 17) > 0
 Como el coeficiente −2.5 es negativo, se deduce que 𝑃(𝑥) > 0 sólo si los términos (𝑥 − 2) y (𝑥 − 17)
tienen signos diferentes; esto es, cuando 𝑥 − 2 > 0 y 𝑥 − 17 < 0. Por tanto. la producción es
redituable para 2 < 𝑥 < 17.
65
A continuación se dan las funciones de oferta 𝑦 demanda, 𝑆 𝑥 = 𝑥2
+ 14 y 𝐷 𝑥 = 174 − 6𝑥,
se dan para un artículo en particular en términos del nivel de producción 𝑥.
a) Encuentre el valor de 𝑥𝑒 para el cual se alcanza el equilibrio y el correspondiente precio de equilibrio
𝑝𝑒.
b) Dibuje las curvas de oferta y demanda, 𝑝 = 𝑆(𝑥) y 𝑝 = 𝐷(𝑥), en la misma gráfica.
c) ¿Para qué valores de 𝑥 hay escasez en el mercado? ¿Y abundancia en el mercado?
Solución a) 𝑆 𝑥 = 𝐷 𝑥 𝑥2
+ 14 = 174 − 6𝑥 𝑥2 + 6𝑥 + 14 − 174 = 0
𝑥2
+ 6𝑥 − 160 = 0 𝑥 + 16 𝑥 − 10 = 0 𝑥1 = −16 𝑥2 = 10
𝑝𝑒 = 𝐷(10) = 174 − 6(10) = 114
 Como sólo los valores positivos del nivel de producción 𝒙 tienen sentido, se desecha 𝒙 = −𝟏𝟔 y se
concluye que el equilibrio ocurre cuando 𝒙𝒆 = 𝟏𝟎. El precio de equilibrio correspondiente puede ser
obtenido sustituyendo 𝒙 = 𝟏𝟎 en cualquiera de las funciones de oferta o demanda. De esta manera,
66
c)
 La curva de oferta es una parábola y la curva de demanda es una recta, tal como se muestra en la
figura. Observe que no se ofertan unidades al mercado hasta que los precios llegan a $14 por unidad
y que 174 unidades son demandadas cuando el precio es 0 . Para 0 ≤ 𝑥 < 10, hay una escasez en el
mercado ya que la curva de oferta está por debajo de la curva de demanda. La curva de oferta cruza
la curva de demanda en el punto de equilibrio (10,114), y para 10 < 𝑥 ≤ 29, hay abundancia en el
mercado.
67
Análisis de Equilibrio
 Las intersecciones de gráficas aparecen en los negocios en el contexto del
análisis de equilibrio. En una situación típica, un fabricante desea determinar
cuántas unidades de cierto artículo tienen que venderse para que el ingreso total
sea igual al costo. Suponga que 𝑥 denota el número de unidades fabricadas y
vendidas, y sean 𝐶(𝑥) y 𝑅(𝑥) el costo total y el ingreso total, respectivamente. En
la figura siguiente se ilustran un par de curvas de costo e ingreso.
68
 Debido a los gastos fijos, la curva de costo total al inicio está por encima de la curva
de ingreso. Por tanto, a bajos niveles de producción, el fabricante sufre una pérdida.
Sin embargo, a altos niveles de producción la curva de ingreso total es la que está
por encima y el fabricante tiene una utilidad.
 Al punto en el cual las dos curvas se cruzan se le llama punto de equilibrio, ya que
cuando el ingreso total iguala al costo total, el fabricante queda en equilibrio; no
tiene ni utilidad ni pérdida.
Dos observaciones importantes
69
 Los bancos centrales la desarrollan usualmente en el mercado del dinero, a través
de las operaciones de mercado abierto que consisten en comprar o vender activos
financieros para actuar sobre la cantidad de dinero en circulación y sobre el tipo de
interés.
 La Política Monetaria, en términos generales, se refiere al mecanismo con que
cuenta el Banco Central de un país para alcanzar y mantener una tasa de inflación
baja y estable, logrando un crecimiento sostenido de la economía que genere
empleos y mejore el nivel de vida de la población.
70
simplificando queda: 𝑖 = 𝑟 + 𝜋 + 𝜋𝑟, donde 𝜋 es la tasa de inflación porcentual del
índice de precios al consumidor i en el período (𝒕𝟏, 𝒕𝟐) y se calcula utilizando la
fórmula 𝜋 =
𝑖2
𝑖1
− 1 𝑥100.
 Los valores 𝒊𝟐 e 𝒊𝟏 representan respectivamente los índices de
precios al consumidor final e inicial del período (𝒕𝟏, 𝒕𝟐).
 En forma más rigurosa la ecuación de Fisher puede escribirse como
71
 El tipo de interés nominal en una economía se refiere a la tasa de
interés en la unidad monetaria a la cual los individuos y empresas en
la economía pueden endeudarse y pedir prestado.
 El tipo de interés real en una economía se define como el tipo de
interés esperado en el mercado teniendo en cuenta la pérdida del
poder adquisitivo del dinero a causa de la inflación.
 Se llama interés a la cantidad que se paga por el dinero invertido
o tomado en préstamos.
72
 Matemáticamente los tipos de interés real y nominal se relacionan con la inflación
a través de la ecuación de Fisher, la cual establece que la tasa nominal 𝑖 en un
período (𝒕𝟏, 𝒕𝟐) es igual al valor de la tasa real 𝑟 más la tasa de inflación 𝝅
esperada en dicho período:
 Puede observarse en la ecuación de Fisher que si la tasa nominal sube por más
de lo que sube la tasa de inflación entonces la tasa real aumenta.
73
Una aplicación interesante de las funciones
lineales para el estudio de la rentabilidad real de
los fondos de pensiones en función de la
inflación.
y = -1.061x + 0.1275
R² = 0.73502
-5.00%
0.00%
5.00%
10.00%
15.00%
20.00%
-4.00% -2.00% 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00% 12.00% 14.00%
Inflación vs Rentabilidad Real
(mensual de octubre 2008 a agosto 2017)
Fuente:Superintendencia de Pensiones de la RD.
 Se aprecia la tendencia lineal marcada por la gran magnitud del coeficiente de
correlación lineal, lo que permite pronosticar que un eventual crecimiento de la
inflación en la República Dominicana sería potencialmente agresivo para el Sistema
de Pensiones, pues en el corto plazo absorbería todos los beneficios reales de las
inversiones de los fondos.
Una explicación potencial del gráfico
 El gráfico evidencia una fuerte relación lineal negativa entre la inflación y la
rentabilidad real de los fondos de pensiones. Se observa que por cada punto
porcentual que crece la tasa de inflación, los retornos reales decrecen a razón del
1.06%.
 Se visualiza además, que tasas de inflación inferiores al 5% (tasas coherentes con
la meta de inflación de BCRD) tienen un bajo nivel de impacto sobre los retornos
reales de los fondos de pensiones.
76
77
 El dueño de una tienda de frutas y verduras compró 450 kilogramos de naranja a
RD$80 el kilogramo. Su utilidad bruta es 60% del costo total de la compra. Por
experiencia sabe que alrededor de 15% de la naranja se fermentara y tendrá que
tirarse. ¿Qué precio por kilogramo dará la utilidad bruta requerida?
78
 ¿Cuál es el precio de venta de un artículo, si el precio de costo es
RD$4000 y la utilidad bruta es de 50% del precio de venta?
79

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  • 2. 2
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  • 5. 5
  • 7. 7 Ver ejemplo #2 𝟏 𝒙 − 𝟐 + 𝟑 𝟒 = 𝟑𝒙 + 𝟏 𝟒𝒙 − 𝟐 El MCM de los denominadores: es 𝟒(𝒙 − 𝟐 )(𝟒𝒙 − 𝟐) 𝟏 × 𝒙 − 𝟐 + 𝟑 × 𝟒 = 𝟑𝒙 + 𝟏 × 𝟒𝒙 − 𝟐
  • 8. 8 Ejemplo #3 Sea 𝒙 la cierta cantidad de dinero distribuida Hijo #1=𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟏 𝟏𝟎 𝒙 − 𝟏𝟎𝟎𝟎 Hijo #2= 𝟐𝟎𝟎𝟎 + 𝟏 𝟏𝟎 𝒙 − 𝟏 𝟏𝟎 𝒙 − 𝟗𝟎𝟎 − 𝟐𝟎𝟎𝟎 Hijo #2 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 + 𝟗 𝟏𝟎𝟎 𝒙 − 𝟐𝟗𝟎 = El señor tiene un total de 9 hijos y repartió RD$81,000.
  • 11. 11
  • 12. 12
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  • 21. 21 Dos conceptos importantes: Oferta y demanda  Para abordar aplicaciones de este tipo es necesario tener en cuenta los siguientes conceptos:  Oferta: Cantidad máxima de bienes o servicios que un productor está dispuesto a vender en el mercado a un precio dado por unidad de tiempo. Cuanto mayor sea el precio en el mercado, mayor será la cantidad ofrecida de bienes y servicios.  Demanda: Cantidad máxima de un bien o servicio que un individuo o grupo de ellos está dispuesto a adquirir a un determinado precio, por unidad de tiempo.
  • 22. 22
  • 23. 23
  • 24. 24
  • 25. 25
  • 26. 26 Un confeccionista de ropa produce 𝑥 cantidad de camisetas a la semana. Los costos por materiales y mano de obra son de $3,000 por cada unidad; además, tiene costos fijos de mantenimiento por $ 50,000. ¿Cuántas camisetas debe confeccionar a la semana para obtener utilidades por $ 200,000, si vende cada camiseta a $ 8,000? Si 𝑥 es el número de unidades a producir para vender, y 𝑈 = 𝑅 − 𝐶, 𝐶𝑡 = 3000𝑥 + 50,000 𝑈 = 200,000 𝑅 = 8000𝑥 200,000 = 8000𝑥 − 3000𝑥 − 50000 200,000 + 50000 = 5000𝑥 𝑥 = 250,000 5000 5000𝑥 = 250,000 𝑥 = 50 Se deben producir y vender semanalmente 50 camisetas
  • 27. 27 Un laboratorio farmacéutico fabrica un tipo específico de droga. Los costos variables por caja de 20 unidades cada una es de $2000. Si los costos fijos son de $500,000 a la semana y la caja puede venderse a $ 2,800 . ¿Cuántas cajas de la sustancia deberá producir para vender el laboratorio semanalmente para no tener pérdidas ni ganancias, es decir estar en el punto de equilibrio. 𝑥 = Número de unidades a fabricar y vender. Solución: 𝑅 = 𝐶 2800𝑥 = 2000𝑥 + 50000 𝑅 = 2800𝑥 𝐶 = 2000𝑥 + 50000 800𝑥 = 50000 𝑥 = 50000 800 𝑥 = 625 cajas
  • 28. 28
  • 29. 29 A un precio P, un fabricante ofrece 𝑷𝟐 − 𝟓𝑷 − 𝟏𝟎𝟎 unidades de un producto; si la demanda es (𝟓𝑷 + 𝟓𝟎𝟎) unidades, ¿cuál será el precio del artículo, para que su mercado se encuentre en el punto de equilibrio? ¿Cuál es el número de unidades ofrecidas
  • 30. 30  A un precio P en pesos por unidad, un fabricante ofrece (5𝑃 − 4) unidades, si la demanda es (500 − 2𝑃) unidades. ¿Cuál será el valor de 𝑃 para que la oferta sea igual a la demanda. ¿Cuál será la cantidad de unidades que el fabricante ofrece? 5𝑃 − 4 = 500 − 2𝑃 7𝑃 = 504 𝑃 = 504 7 Luego 𝑃 = 72 y el fabricante ofrece : 5𝑃 − 4 = 5 72 = 356 unidades.
  • 31.  Una compañía fabrica dos tipos de cierto producto. Cada unidad del primer tipo requiere de 2 horas de máquina y cada unidad del segundo tipo requiere de 5 horas de máquina. Hay disponibles 280 horas de máquina a la semana. a) Si a la semana se fabrican 𝑥 unidades del primer tipo y 𝑦 unidades del segundo, encuentre la relación entre 𝑥 y 𝑦 si se utilizan todas las horas de máquina. b) ¿Cuál es la pendiente de la ecuación en la parte a)? ¿Qué representa? 𝑚 = − 2 5 2𝑥 + 5𝑦 = 280 𝑦 = −2𝑥 + 280 5 𝑦 = − 2 5 𝑥 + 280 5  Cada incremento de 5 unidades en el primer tipo resultará en una disminución de 2 unidades en el segundo tipo. 31 Ejemplo #10
  • 32. c) ¿Cuántas unidades del primer tipo pueden fabricarse si 40 unidades del segundo tipo se fabrican en una semana particular? 2𝑥 + 5𝑦 = 280 2𝑥 + 5(40) = 280 2𝑥 = 280 − 200 2𝑥 = 80 𝑥 = 80 2 𝑥 = 40 unidades 32 Continuación
  • 33.  Un comerciante puede vender diariamente 200 unidades de cierto bien en $30 por unidad y 250 unidades en $27 por unidad. La ecuación de oferta para ese bien es 6𝑝 = 𝑥 + 48. a) Determine la ecuación de demanda para el bien, suponga que es lineal. 𝐴 200, $30 𝐵 250, $27 𝑚 = 27 − 30 250 − 200 𝑚 = −0.06 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 30 = −0.06 𝑥 − 200 𝑦 − 30 = −0.06𝑥 + 12 𝑦 = −0.06𝑥 + 42 = − 3 50 33 Ejemplo #11
  • 34. b) Encuentre el precio y la cantidad de equilibrio. 6𝑃 = 𝑥 + 48 𝑃 = 𝑥 + 48 6 𝑥 + 48 6 = −0.06𝑥 + 42 𝑥 + 48 = 6 −0.06𝑥 + 42 𝑥 + 48 = −0.36𝑥 + 252 𝑥 + 0.36𝑥 = 252 − 48 1.36𝑥 = 204 𝑥 = 204 1.36 𝑥 = 150 𝑃 = 150 + 48 6 𝑃 = 33 𝑃 = 𝑥 + 48 6 Hagamos 𝑃 = 𝑦 34
  • 35. c) Determine el precio y la cantidad de equilibrio, si se cobra un impuesto de $3.40 por unidad del bien. ¿Cuál es el aumento en el precio y cuál la disminución en la cantidad demandada? 𝑃𝑐 = 𝑥 + 48 6 + 3.4 𝑦 = −0.06𝑥 + 42 Sustituyendo 𝑃𝑐 = 𝑦 en la ecuación de la demanda 𝑥 + 48 6 + 3.4 = −0.06𝑥 + 42 𝑥 + 68.4 = −0.36𝑥 + 252 1.36𝑥 = 183.6 𝑥 = 135 𝑃𝑐 = 33.90 𝑃𝑐 = 135 + 68.4 6  El precio inicial era 𝑃 = 33 y con el gravamen es 𝑃𝑐 = 33.90.  La demanda inicial era de 𝑥 = 150 y después del gravamen es de 135. En consecuencia: 35
  • 36. d) ¿Qué subsidio por unidad aumentará la demanda en 24 unidades? e) ¿Qué impuesto aditivo por unidad debe cobrarse en el bien, de modo que el precio de equilibrio por unidad aumente en $1.08? 𝑃𝑐 = −0.06𝑥 + 42 𝑃𝑐 = −0.06 150 + 24 + 42 𝑃𝑠 = 𝑥 + 48 6 𝑃𝑐 = $ 31.56 𝑃𝑠 = $ 37 = 174 + 48 6 ∆𝑃 = 𝑃𝑠 − 𝑃𝑐 ∆𝑃 = 37 − 31.56 ∆𝑃 = $5.44 36 𝑃0 − 1.08 = 𝑥 + 48 6 Como 𝑥 = 150 𝑃0 − 1.08 = 33 𝑃0 = $34.08
  • 37. 37  Suponga que el auto va a recorrer 𝑥 millas. Entonces, la primer agencia cobrará 𝐶1(𝑥) = 25 + 0.60𝑥 dólares y la segunda agencia cobrará 𝐶2(𝑥) = 30 + 0.50𝑥 dólares. Si se igualan esas dos expresiones y se resuelve para 𝑥, se obtiene Ver ejemplo#12: Una agencia de renta de autos cobra $25, más 60 centavos por milla. Una segunda agencia cobra $30, más 50 centavos por milla. ¿Cuál agencia ofrece la mejor oferta? Solución  La respuesta depende del número de millas que se recorra. Para viajes cortos la primera agencia cobra menos que la segunda, pero para viajes largos la segunda agencia cobra menos. Puede utilizar un análisis de equilibrio para hallar el número de millas en las que las dos agencias cobran lo mismo.  Esto implica que las dos agencias cobran la misma cantidad si el carro recorre 50 millas. Para distancias más cortas, la primera agencia ofrece la mejor oferta, y para distancias más largas la segunda agencia es mejor. La situación se ilustra en la figura 0.1𝑥 = 5 25 + 0.60𝑥 = 30 + 0.50𝑥 𝑥 = 50 0.60𝑥 − 0.50𝑥 = 30 − 25
  • 39. 39 Un fabricante puede vender cierto producto en $110 por unidad. El costo total consiste de un costo fijo indirecto de $7500 más los costos de producción de $60 por unidad. Solución a)¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para llegar al equilibrio? b)¿Cuál es la utilidad del fabricante o la pérdida si se venden 100 unidades? c)¿Cuántas unidades debe vender el fabricante para tener una utilidad de $1250?  Si 𝑥 es el número de unidades fabricadas y vendidas, el ingreso total está dado por 𝑅(𝑥) = 110𝑥 y el costo total por 𝐶(𝑥) = 7500 + 60𝑥. 𝑥 = 150 50𝑥 = 7500 110𝑥 = 7500 + 60𝑥 a) Para hallar el punto de equilibrio, iguale 𝑅(𝑥) a 𝐶(𝑥) y resuelva:  De ahí que el fabricante tendrá que vender 150 unidades para llegar al punto de equilibrio (véase la figura). Ver ejemplo #13
  • 40. 40 b) La utilidad 𝑃(𝑥) es el ingreso menos el costo. Por tanto,  El signo menos indica una utilidad negativa (o pérdida), que era de esperarse, pues 100 unidades es menos que 150 unidades que es la cantidad en el punto de equilibrio. De este modo, si se venden 100 unidades el fabricante perderá $2 500.  La utilidad de la venta de 100 unidades es = −2500 𝑃(100) = 50(100) − 7500 𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 110𝑥 − (7,500 + 60𝑥) = 50𝑥 − 7500 c) Para determinar el número de unidades que se debe vender para generar una utilidad de $1250, se iguala la fórmula para la utilidad 𝑃(𝑥) a 1250 y se resuelve para 𝑥. Así se tiene que 𝑃(𝑥) = 1250 50𝑥 − 7500 = 1250 50𝑥 = 8750 𝑥 = 8750 50 𝑥 = 175  Se concluye que se deben vender 175 unidades para generar la utilidad deseada.
  • 41. 41
  • 42. 42
  • 43. 43
  • 45. 45  Una práctica común para analizarlos es hacer suposiciones acerca de las variables a fin de simplificarlos y poder hacer una descripción matemática apropiada.  Los modelos matemáticos son sólo aproximaciones de la realidad, y en ocasiones, un modelo particular no es muy exacto, por lo que las suposiciones en las que se basa se van ajustando para hacer el modelo más real, pero sin introducir demasiada complejidad matemática.  Con frecuencia, los problemas prácticos en Negocios, Economía o en la vida cotidiana son demasiado complicados para ser descritos con precisión mediante fórmulas simples.  Este proceso se denomina Modelación Matemática y al problema modificado con base en las suposiciones de simplificación se le llama Modelo matemático. Una vez que se han elegido las suposiciones del problema, se usan métodos matemáticos apropiados, como el cálculo, para analizar el modelo. Generalidades sobre los modelos matemáticos
  • 46. 46 Una compañía produce y vende 𝑥 unidades de uno de sus productos al mes a un precio 𝑃 = 4𝑥 − 1000. ¿Cuántas unidades debe producir y vender mensualmente la compañía para obtener ingresos de $ 360,000. ¿A qué precio debe vender cada unidad? 𝑥 = Número de unidades a producir y vender al mes. 𝑃 = 4𝑥 − 1000 𝑅 = $ 360,000 𝑅 = 𝑥𝑃 360,000 = 𝑥 4𝑥 − 1000 360,000 = 4𝑥2 − 1000𝑥 𝑥2 − 250𝑥 − 90000 = 0 𝑥 − 450 𝑥 + 200 = 0 𝑥 = 450 𝑃 = 4(450) − 1000 𝑃 = $800
  • 47. 47 El departamento de mercadotecnia en Texas Instruments ha encontrado que ,cuando ciertas calculadoras se venden a un precio unitario de p dólares , el ingreso 𝑅(en dólares) como función de 𝑝 es 𝑅(𝑝) = −150𝑝2 + 21,000𝑝 Modelación Matemática usando la función cuadrática  La función 𝑅 es una función cuadrática con 𝑎 = −150, 𝑏 = 21000 y 𝑐 = 0.  Como 𝑎 < 0, el vértice es el punto más alto de la parábola. El ingreso 𝑅 es entonces un máximo cuando 𝑝 es = $70 𝑅 70 = −150 70 2 + 21,000 70  Luego el ingreso máximo es: 𝑝 = − 𝑏 2𝑎 = − 21000 2 −150 = − 21000 −300 = $735,000 Ver gráfico Ejemplo #15
  • 48. 48 c) Use la gráfica del inciso a ) para determinar el precio de mercado que genera el mayor gasto de consumo total mensual. Determine el mayor consumo mensual.  Suponga que 𝑥 = −200𝑝 + 12000 unidades de un artículo en particular se venden cada mes cuando el precio del mercado es 𝑝 dólares por unidad.  El gasto de consumo total mensual, 𝐸, es la cantidad total de dinero gastada por los consumidores durante cada mes. a) Exprese el gasto de consumo total mensual, 𝐸, como una función del precio unitario 𝑝, 𝑦 dibuje la gráfica de 𝐸(𝑝). b) Analice el significado económico de las intersecciones con el eje 𝑝 de la función de gasto 𝐸(𝑝) El gasto de consumo total mensual Ejemplo#16
  • 49. 49 𝑥 = −200𝑝 + 12000 𝐸 𝑝 = 𝑝𝑥  a) Exprese el gasto de consumo total mensual, 𝐸, como una función del precio unitario 𝑝, 𝑦 dibuje la gráfica de 𝐸(𝑝).  b) Analice el significado económico de las intersecciones con el eje 𝑝 de la función de gasto 𝐸(𝑝)  c) Use la gráfica del inciso a) para determinar el precio de mercado que genera el mayor gasto de consumo total mensual.Determine el mayor consumo mensual. 𝑝 = − 𝑏 2𝑎 𝑝 = − 12000 2 −200 Dado de que 𝑎 = −200, 𝑏 = 12000, entonces 𝐸 30 = −200 30 2 + 12000 30  Las intersecciones representan los precios del mercado para los cuales no se genera consumo mensual.
  • 50. 50  El precio 𝑝 y la cantidad vendida 𝑥 de cierto producto obedecen la ecuación de la demanda 𝑝 = − 1 6 𝑥 + 100, 0 ≤ 𝑥 ≤ 600. e) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para maximizar el ingreso? Ecuación de Demanda :Ver ejemplo #17: a) Exprese el ingreso 𝑅 como función de 𝑥. (Recuerde que 𝑅 = 𝑥𝑝. ) b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 300 unidades? c) Grafique la función del ingreso usando un dispositivo de graficación. d) ¿Qué cantidad 𝑥 maximiza el ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo?
  • 51. 51 𝑅 𝑥 = 𝑥 − 1 6 𝑥 + 100 𝑝 = − 1 6 𝑥 + 100, 0 ≤ 𝑥 ≤ 600 𝑅 = 𝑥𝑝  a) Exprese el ingreso 𝑅 como función de 𝑥. (Recuerde que 𝑅 = 𝑥𝑝. ) b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 200 unidades? 𝑅 200 = − 1 6 200 2 + 100 200 𝑅 200 = $13,333.33  c) Grafique la función del ingreso usando un dispositivo de graficación.  d) ¿Qué cantidad 𝑥 maximiza el ingreso? ¿Cuál es el ingreso máximo? 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 𝑎 = − 1 6 𝑏 = 100 = − 100 2 − 1 6 𝑅 300 = − 1 6 300 2 + 100 300  e) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para maximizar el ingreso? 𝑝 = − 1 6 300 + 100 = −50 + 100
  • 52. 52  Cuando se venden licuadoras a 𝑝 dólares la unidad, los fabricantes ofrecerán 𝑝2 10 licuadoras a los vendedores locales, mientras que la demanda local será de 60 − 𝑝 licuadoras. ¿A qué precio de mercado será igual la oferta de licuadoras de los fabricantes a la demanda de licuadoras de los consumidores? ¿Cuántas licuadoras se venderán a este precio? 𝑝2 10 = 60 − 𝑝 𝑝2 = 10 60 − 𝑝 𝑝2 = 600 − 10𝑝 𝑝2 + 10𝑝 − 600 = 0 𝑝 + 30 𝑝 − 20 = 0 𝑝 = $20 𝑝 − 20 = 0  Luego se venderán 60 − 20 = 40 licuadoras. Ver ejemplo #18 sobre la interacción de la oferta y la demanda  En este problema claramente se pide buscar el punto de equilibrio. En efecto
  • 53. 53 c) ¿Dónde cruza el eje 𝑦 la curva de oferta? Describa el significado económico de este punto.  Los productores ofertarán 𝑥 unidades de un artículo en el mercado cuando el precio es 𝑝 = 𝑆(𝑥) dólares por unidad; mientras que los consumidores demandarán (comprarán) 𝑥 unidades cuando el precio es 𝑝 = 𝐷(𝑥) por unidad, donde 𝑆(𝑥) = 2𝑥 + 15 𝐷(𝑥) = 385 𝑥 + 1 a) Encuentre el nivel de producción de equilibrio 𝑥𝑒 y el precio de equilibrio 𝑝𝑒. b) Dibuje las curvas de oferta y demanda en la misma gráfica. Ver ejemplo #19 sobre la interacción de la oferta y la demanda
  • 54. 54  a) Encuentre el nivel de producción de equilibrio 𝑥𝑒 y el precio de equilibrio 𝑝𝑒. 𝑆(𝑥) = 2𝑥 + 15 𝐷(𝑥) = 385 𝑥 + 1  El punto de equilibrio se presenta cuando 𝑆 𝑥 = 𝐷 𝑥 . 2𝑥 + 15 = 385 𝑥 + 1 𝑥 + 1 2𝑥 + 15 = 385 2𝑥2 + 15𝑥 + 2𝑥 + 15 = 385 2𝑥2 + 17𝑥 − 370 = 0 2𝑥 + 37 𝑥 − 10 = 0 𝑥 − 10 = 0 𝑃𝑒 = 2 10 + 15  b) Dibuje las curvas de oferta y demanda en la misma gráfica. c) ¿Dónde cruza el eje 𝑦 la curva de oferta? Describa el significado económico de este punto.  El eje 𝑦 cruza la curva de la oferta en 𝑆 0 = 15. Esto significa que no se producirán unidades hasta que el precio sea de al menos $𝟏𝟓.
  • 55. 55 e) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para maximizar el ingreso? Otra ecuación de demanda #20  El precio 𝑝 y la cantidad 𝑥 vendida de cierto producto obedecen a la ecuación de demanda 𝑥 = −5𝑝 + 100, 0 ≤ 𝑝 ≤ 20. a) Exprese el ingreso 𝑅 como función de 𝑥. b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 15 unidades? c) Grafique la función del ingreso con una aplicación de gráficas. d) ¿Cuál es la cantidad 𝑥 que maximiza el ingreso?¿Cuál es el máximo ingreso?
  • 56. 56 Dado que 𝑥 = −5𝑝 + 100, 0 ≤ 𝑝 ≤ 20 𝑝 = 𝑥 − 100 −5 𝑝 = − 1 5 𝑥 + 20 𝑅 𝑥 = 𝑥 − 1 5 𝑥 + 20  a) Exprese el ingreso 𝑅 como función de 𝑥.  b) ¿Cuál es el ingreso si se venden 15 unidades? 𝑅 15 = − 1 5 15 2 + 20 15  c) Grafique la función del ingreso con una aplicación de gráficas.  d) ¿Cuál es la cantidad 𝑥 que maximiza el ingreso?¿Cuál es el máximo ingreso? 𝑎 = − 1 5 𝑏 = 20 𝑥 = − 𝑏 2𝑎 = − 20 2 − 1 5 Dado que 𝑅 50 = − 1 5 50 2 + 20 50  e) ¿Qué precio debe cobrar la compañía para maximizar el ingreso? 𝑝 = − 1 5 50 + 20 = −10 + 20
  • 58. 58 Suponga que el costo en dólares de fabricar q unidades de un cierto producto está dado 𝐶 𝑞 = 𝑞3 − 30𝑞2 + 500𝑞 + 200. Ejemplo #21 a) Calcule el costo de fabricar 10 unidades del producto. b) Calcule el costo de fabricar la 10 unidad.
  • 59. 59 Un estudio de eficiencia en el turno de la mañana de cierta fabrica indica que un trabajador promedio que llega a las 8:00 am. Habrá ensamblado . Ejemplo #22 televisores 𝒙 horas después. a) ¿Cuántos televisores habrá ensamblado un trabajador a las 10: 00 a.m.? b) ¿Cuántos televisores habrá ensamblado un trabajador entre las 9:00 y las 10:00 a.m
  • 60. 60 c) ¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para distribuir los directorios telefónicos al primer 50 % de las viviendas ?
  • 61. 61 d)¿Cuántas horas-trabajador se necesitaron para distribuir los directorios telefónicos a toda la comunidad? e) ¿Qué porcentaje de viviendas de la comunidad recibió los nuevos directorios telefónicos después después de 150 horas-trabajador? Continuación
  • 62. 62  Mercado: Conjunto de transacciones que se realizan entre los compradores y vendedores de un bien o servicio. El mercado se define con relación a las fuerzas de la oferta y la demanda.  Punto de equilibrio del mercado. Es un punto hipotético donde la oferta es igual a la demanda. Otros Conceptos importantes  Los precios en una economía son una consecuencia de la interacción entre la oferta y la demanda de bienes y servicios.  Sin embargo los bancos centrales a través de la Política Monetaria (buscando cumplir con la meta de inflación) influyen en el proceso de determinación de los precios.
  • 63. 63  Hay varias funciones básicas que aparecen con frecuencia en aplicaciones relacionadas con la economía. Una función demanda 𝑝 = 𝐷(𝑥) es una función que relaciona el precio unitario 𝑝 de un artículo en particular con el número de unidades 𝑥 demandadas por los consumidores a ese precio. Funciones utilizadas en Economía y Negocios  El ingreso total está dado por el producto 𝑅(𝑥) = (número de artículos vendidos)(precio por artículo) = 𝑥𝑝 = 𝑥𝐷(𝑥).  Si 𝐶(𝑥) es el costo total de producir 𝑥 unidades, entonces la utilidad derivada de su venta al precio unitario 𝑝 está dada por la función 𝑃(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥) = 𝑥𝐷(𝑥) − 𝐶(𝑥)  Si 𝑃 𝑥 > 0, entonces decimos que la producción es redituable.
  • 64. 64 La investigación de mercado indica que los consumidores comprarán 𝑥 miles de unidades de un tipo particular de productor de café cuando el precio unitario es 𝑝 = −0.27𝑥 + 51 dólares. El costo de producir las 𝑥 miles unidades es 𝐶(𝑥) = 2.23𝑥2 + 3.5𝑥 + 85 miles de dólares. a) ¿Cuáles son las funciones de ingreso y de utilidad, 𝑅(𝑥) y 𝑃(𝑥) de este proceso de producción? b) ¿Para qué valores de 𝑥 es redituable la producción de los fabricantes de café? a) La función demanda es 𝑫(𝒙) = −𝟎. 𝟐𝟕𝒙 + 𝟓𝟏, de manera que el ingreso es Solución  𝑅(𝑥) = 𝑥𝐷(𝑥) = −0.27𝑥2 + 51𝑥 miles de dólares, y la utilidad es 𝑃 𝑥 = 𝑅(𝑥) − 𝐶 𝑥 . Luego 𝑃 𝑥 = −0.27𝑥2 + 51𝑥 − 2.23𝑥2 + 3.5𝑥 + 85 = −2.5𝑥2 + 47.5𝑥 − 85 miles de dólares. Ver ejemplo #24 𝑃 𝑥 = −2.5𝑥2 + 47.5𝑥 − 85 b) La producción es redituable cuando 𝑷(𝒙) > 𝟎. Se calcula que = −2.5 𝑥2 − 19𝑥 + 34 = −2.5(𝑥 − 2)(𝑥 − 17) > 0  Como el coeficiente −2.5 es negativo, se deduce que 𝑃(𝑥) > 0 sólo si los términos (𝑥 − 2) y (𝑥 − 17) tienen signos diferentes; esto es, cuando 𝑥 − 2 > 0 y 𝑥 − 17 < 0. Por tanto. la producción es redituable para 2 < 𝑥 < 17.
  • 65. 65 A continuación se dan las funciones de oferta 𝑦 demanda, 𝑆 𝑥 = 𝑥2 + 14 y 𝐷 𝑥 = 174 − 6𝑥, se dan para un artículo en particular en términos del nivel de producción 𝑥. a) Encuentre el valor de 𝑥𝑒 para el cual se alcanza el equilibrio y el correspondiente precio de equilibrio 𝑝𝑒. b) Dibuje las curvas de oferta y demanda, 𝑝 = 𝑆(𝑥) y 𝑝 = 𝐷(𝑥), en la misma gráfica. c) ¿Para qué valores de 𝑥 hay escasez en el mercado? ¿Y abundancia en el mercado? Solución a) 𝑆 𝑥 = 𝐷 𝑥 𝑥2 + 14 = 174 − 6𝑥 𝑥2 + 6𝑥 + 14 − 174 = 0 𝑥2 + 6𝑥 − 160 = 0 𝑥 + 16 𝑥 − 10 = 0 𝑥1 = −16 𝑥2 = 10 𝑝𝑒 = 𝐷(10) = 174 − 6(10) = 114  Como sólo los valores positivos del nivel de producción 𝒙 tienen sentido, se desecha 𝒙 = −𝟏𝟔 y se concluye que el equilibrio ocurre cuando 𝒙𝒆 = 𝟏𝟎. El precio de equilibrio correspondiente puede ser obtenido sustituyendo 𝒙 = 𝟏𝟎 en cualquiera de las funciones de oferta o demanda. De esta manera,
  • 66. 66 c)  La curva de oferta es una parábola y la curva de demanda es una recta, tal como se muestra en la figura. Observe que no se ofertan unidades al mercado hasta que los precios llegan a $14 por unidad y que 174 unidades son demandadas cuando el precio es 0 . Para 0 ≤ 𝑥 < 10, hay una escasez en el mercado ya que la curva de oferta está por debajo de la curva de demanda. La curva de oferta cruza la curva de demanda en el punto de equilibrio (10,114), y para 10 < 𝑥 ≤ 29, hay abundancia en el mercado.
  • 67. 67 Análisis de Equilibrio  Las intersecciones de gráficas aparecen en los negocios en el contexto del análisis de equilibrio. En una situación típica, un fabricante desea determinar cuántas unidades de cierto artículo tienen que venderse para que el ingreso total sea igual al costo. Suponga que 𝑥 denota el número de unidades fabricadas y vendidas, y sean 𝐶(𝑥) y 𝑅(𝑥) el costo total y el ingreso total, respectivamente. En la figura siguiente se ilustran un par de curvas de costo e ingreso.
  • 68. 68  Debido a los gastos fijos, la curva de costo total al inicio está por encima de la curva de ingreso. Por tanto, a bajos niveles de producción, el fabricante sufre una pérdida. Sin embargo, a altos niveles de producción la curva de ingreso total es la que está por encima y el fabricante tiene una utilidad.  Al punto en el cual las dos curvas se cruzan se le llama punto de equilibrio, ya que cuando el ingreso total iguala al costo total, el fabricante queda en equilibrio; no tiene ni utilidad ni pérdida. Dos observaciones importantes
  • 69. 69  Los bancos centrales la desarrollan usualmente en el mercado del dinero, a través de las operaciones de mercado abierto que consisten en comprar o vender activos financieros para actuar sobre la cantidad de dinero en circulación y sobre el tipo de interés.  La Política Monetaria, en términos generales, se refiere al mecanismo con que cuenta el Banco Central de un país para alcanzar y mantener una tasa de inflación baja y estable, logrando un crecimiento sostenido de la economía que genere empleos y mejore el nivel de vida de la población.
  • 70. 70 simplificando queda: 𝑖 = 𝑟 + 𝜋 + 𝜋𝑟, donde 𝜋 es la tasa de inflación porcentual del índice de precios al consumidor i en el período (𝒕𝟏, 𝒕𝟐) y se calcula utilizando la fórmula 𝜋 = 𝑖2 𝑖1 − 1 𝑥100.  Los valores 𝒊𝟐 e 𝒊𝟏 representan respectivamente los índices de precios al consumidor final e inicial del período (𝒕𝟏, 𝒕𝟐).  En forma más rigurosa la ecuación de Fisher puede escribirse como
  • 71. 71  El tipo de interés nominal en una economía se refiere a la tasa de interés en la unidad monetaria a la cual los individuos y empresas en la economía pueden endeudarse y pedir prestado.  El tipo de interés real en una economía se define como el tipo de interés esperado en el mercado teniendo en cuenta la pérdida del poder adquisitivo del dinero a causa de la inflación.  Se llama interés a la cantidad que se paga por el dinero invertido o tomado en préstamos.
  • 72. 72  Matemáticamente los tipos de interés real y nominal se relacionan con la inflación a través de la ecuación de Fisher, la cual establece que la tasa nominal 𝑖 en un período (𝒕𝟏, 𝒕𝟐) es igual al valor de la tasa real 𝑟 más la tasa de inflación 𝝅 esperada en dicho período:  Puede observarse en la ecuación de Fisher que si la tasa nominal sube por más de lo que sube la tasa de inflación entonces la tasa real aumenta.
  • 73. 73 Una aplicación interesante de las funciones lineales para el estudio de la rentabilidad real de los fondos de pensiones en función de la inflación.
  • 74. y = -1.061x + 0.1275 R² = 0.73502 -5.00% 0.00% 5.00% 10.00% 15.00% 20.00% -4.00% -2.00% 0.00% 2.00% 4.00% 6.00% 8.00% 10.00% 12.00% 14.00% Inflación vs Rentabilidad Real (mensual de octubre 2008 a agosto 2017) Fuente:Superintendencia de Pensiones de la RD.
  • 75.  Se aprecia la tendencia lineal marcada por la gran magnitud del coeficiente de correlación lineal, lo que permite pronosticar que un eventual crecimiento de la inflación en la República Dominicana sería potencialmente agresivo para el Sistema de Pensiones, pues en el corto plazo absorbería todos los beneficios reales de las inversiones de los fondos. Una explicación potencial del gráfico  El gráfico evidencia una fuerte relación lineal negativa entre la inflación y la rentabilidad real de los fondos de pensiones. Se observa que por cada punto porcentual que crece la tasa de inflación, los retornos reales decrecen a razón del 1.06%.  Se visualiza además, que tasas de inflación inferiores al 5% (tasas coherentes con la meta de inflación de BCRD) tienen un bajo nivel de impacto sobre los retornos reales de los fondos de pensiones.
  • 76. 76
  • 77. 77  El dueño de una tienda de frutas y verduras compró 450 kilogramos de naranja a RD$80 el kilogramo. Su utilidad bruta es 60% del costo total de la compra. Por experiencia sabe que alrededor de 15% de la naranja se fermentara y tendrá que tirarse. ¿Qué precio por kilogramo dará la utilidad bruta requerida?
  • 78. 78  ¿Cuál es el precio de venta de un artículo, si el precio de costo es RD$4000 y la utilidad bruta es de 50% del precio de venta?
  • 79. 79