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FEBRERO 2017
ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS
Fenómenos de Transporte
Ejercicios del Capitulo 3 del Bird
M.C. Raúl del Ángel Santos Serena
Actividad. Resolución de ejercicios del capítulo 3
LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS.
Ejemplo 3.5-1. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos
concéntricos.
Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo
laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos
cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad
angular 𝛺0. Los efectos finales pueden despreciarse.
Flujo laminar de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos
cilindros coaxiales, el exterior de los cuales gira con una velocidad angular 𝛺0.
Solución:
En el flujo laminar en estado estacionario, el fluido sigue un movimiento circular, y
los componentes vr y vz de la velocidad son cero. No existe gradiente de presión en
la dirección θ. Estas afirmaciones se basan en principios físicos. Para este sistema,
todos los términos de la ecuación de continuidad, expresados en coordenadas
cilíndricas, son cero y las ecuaciones de movimiento se reducen.
En esta sección haremos uso de las tablas 3.4-1 y 3.4-3 del Bird.
De la Tabla 3.4-1 Ecuación de continuidad en distintos sistemas coordenados.
Utilizamos la (B) Coordenadas cilíndricas (r,θ,z)
𝜕𝑝
𝑑𝑡
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝜌𝑟𝑣𝑟) +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
( 𝜌𝑣 𝜃) +
𝜕
𝜕𝑧
( 𝜌𝑣𝑧) = 0
Aplicando la condición del movimiento circular en estado estacionario tenemos que:
𝜕𝑝
𝑑𝑡
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝜌𝑟𝑣𝑟) +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
( 𝜌𝑣 𝜃) +
𝜕
𝜕𝑧
( 𝜌𝑣𝑧) = 0
𝜕𝑝
𝑑𝑡
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝜌𝑟𝑣𝑟) +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
( 𝜌𝑣 𝜃) +
𝜕
𝜕𝑧
( 𝜌𝑣𝑧) = 0
Lo que quiere decir: vθ = constante.
Utilizando la tabla 3.4-3 ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS
CILINDRICAS (r,θ,z), en función de los gradientes de velocidad para un fluido
newtoniano.
Componente r
𝜌 (
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
−
𝑣 𝜃
2
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑧
)
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
+ 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣𝑟)) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝑟
A pesar que se tiene una velocidad en θ, en la
figura se especifica que es función de r no de θ
Componente θ
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝑣𝑟 𝑣 𝜃
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑧
)
= −
1
𝑟
𝜕𝑝
𝜕𝜃
+ 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃)) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝜃2
+
2
𝑟2
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝜃
Componente z
𝜌 (
𝜕𝑣𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝑑𝑧
) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 [
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝑧
Se procede a cumplir con las siguientes condiciones: componentes vr y vz de la
velocidad son cero y es un régimen permanente:
Componente r
𝜌 (
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
−
𝑣 𝜃
2
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑧
)
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
+ 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣𝑟)) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝑟
Componente θ
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝑣𝑟 𝑣 𝜃
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑧
)
= −
1
𝑟
𝜕𝑝
𝜕𝜃
+ 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃)) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝜃2
+
2
𝑟2
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝜃
Componente z
𝜌 (
𝜕𝑣𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝑑𝑧
) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 [
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝑧
Tenemos como resultado del análisis de los componentes:
Componente r
−𝜌
𝑣 𝜃
2
𝑟
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
Componente θ
0 = 𝜇
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃))
Componente z
0 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜌𝑔 𝑧
Condiciones Frontera:
𝑣 𝜃 = 0 ; 𝑟 = 𝑘𝑅
𝑣 𝜃 = 𝛺0 𝑅 ; 𝑟 = 𝑅
Sustituyendo estas dos condiciones fronteras en la ecuación de
la velocidad en θ:
0 =
𝐶1 𝑘𝑅
2
+
𝐶2
𝑘𝑅
… 𝐸𝑐. 1
𝛺0 𝑅 =
𝐶1 𝑅
2
+
𝐶2
𝑅
… 𝐸𝑐 2
Con este sistema de dos ecuaciones podemos
encontrar C1 y C2:
𝑪 𝟏 = −
2𝐶2
𝑘2 𝑅2
𝛺0 𝑅 = −
𝑪 𝟏 𝑅
2
+
𝐶2
𝑅
𝛺0 𝑅 = −
2𝐶2
𝑘
2
𝑅2 𝑅
2
+
𝐶2
𝑅
= −
2𝐶2
𝑘
2
𝑅
2
+
𝐶2
𝑅
= −
𝐶2
𝑘
2
𝑅
+
𝐶2
𝑅
= −𝐶2 (
1
𝑘
2
𝑅
−
1
𝑅
)
𝑪 𝟐 = −
𝛺0 𝑅
(
1
𝑘
2
𝑅
−
1
𝑅)
= −
𝛺0 𝑅
(
1 − 𝑘2
𝑘
2
𝑅
)
= −
𝛺0 𝑅𝑘2
𝑅
1 − 𝑘2
= −
𝛺0 𝑘2
𝑅2
1 − 𝑘2
𝑪 𝟏 =
2
𝛺0 𝑘2
𝑅2
1 − 𝑘2
𝑘2 𝑅2
=
2 𝛺0 𝑘2
𝑅2
(1 − 𝑘2
)𝑘2 𝑅2
=
2 𝛺0
(1 − 𝑘2
)
Sustituye en la Ec. de la velocidad en θ:
𝒗 𝜽 =
2 𝛺0
(1 − 𝑘2
)
𝑟
2
−
𝛺0 𝑘2
𝑅2
1 − 𝑘2
1
𝑟
𝒗 𝜽 =
𝑟 𝛺0
(1 − 𝑘2
)
−
𝛺0 𝑘2
𝑅2
(1 − 𝑘2
) 𝑟
Se Integra el Componente θ
0 = 𝜇
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃))
0 =
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃))
∫ 0 = ∫
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃))
𝐶1 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2
Despejamos:
𝑟𝐶1 𝑑𝑟 = 𝑑( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2
Integramos por segunda vez:
𝐶1 ∫ 𝑟𝑑𝑟 = ∫ 𝑑( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2
𝐶1 𝑟2
2
+ 𝐶3 = 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 + 𝐶4
𝐶1 𝑟2
2
= 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 + 𝐶4 − 𝐶3
𝐶1 𝑟2
2
= 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2
Se despeja vθ
𝐶1 𝑟2
2
= 𝑟𝒗 𝜽 + 𝐶2
𝒗 𝜽 =
𝐶1 𝑟2
2𝑟
+
𝐶2
𝑟
𝒗 𝜽 =
𝐶1 𝑟
2
+
𝐶2
𝑟
Condiciones Frontera:
𝑣 𝜃 = 0 ; 𝑟 = 𝑘𝑅
𝑣 𝜃 = 𝛺0 𝑅 ; 𝑟 = 𝑅
𝒗 𝜽 =
𝑟 𝛺0
(1 − 𝑘2
)
−
𝛺0 𝑘2
𝑅2
(1 − 𝑘2
) 𝑟
𝒗 𝜽 = 𝛺0 𝑅 (
𝑟
(1 − 𝑘2
)𝑅
−
𝑘2
𝑅
(1 − 𝑘2
) 𝑟
) = 𝛺0 𝑅 (
𝑟2(1 − 𝑘2
) − (1 − 𝑘2
) 𝑘2
𝑅2
(1 − 𝑘2
)
2
𝑅𝑟
)
𝒗 𝜽 = 𝛺0 𝑅
(
𝑟2(1 − 𝑘2
) − (1 − 𝑘2
) 𝑘2
𝑅2
𝑅𝑟(1 − 𝑘2
)
(1 − 𝑘2
)
2
𝑅𝑟
𝑅𝑟(1 − 𝑘2
) )
= 𝛺0 𝑅 (
𝑟
𝑅
−
𝑘2
𝑅
𝑟
(1 − 𝑘2
)
) = 𝛺0 𝑅 (
𝑘2
𝑅
𝑟
−
𝑟
𝑅
( 𝑘2
− 1)
)
𝒗 𝜽 = 𝛺0 𝑅 (
𝑘2
𝑅
𝑘𝑟
−
𝑟
𝑘𝑅
(
𝑘2
− 1
𝑘
)
) = 𝛺0 𝑅 (
𝑘𝑅
𝑟
−
𝑟
𝑘𝑅
(𝑘 −
1
𝑘
)
)
Ahora con la tabla 3.4-6 se tiene la distribución del esfuerzo cortante.
Se analiza en la tabla, que la velocidad de θ está en función de r.
𝜏 𝑟𝜃 = 𝜏 𝜃𝑟 = −𝜇 [𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝑣 𝜃
𝑟
) +
1
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
]
𝜏 𝑟𝜃 = 𝜏 𝜃𝑟 = −𝜇 [𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝑣 𝜃
𝑟
) +
1
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
]
Se sustituye la Ec. de la velocidad de θ:
𝜏 𝜃𝑟 = −𝜇 [𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝒗 𝜽
𝑟
)] = −𝜇
[
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝛺0 𝑅 (
𝑘𝑅
𝑟
−
𝑟
𝑘𝑅
(𝑘 −
1
𝑘
)
)
𝑟
)]
= −𝜇 [𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝛺0 𝑅 (
𝑘𝑅
𝑟
−
𝑟
𝑘𝑅
)
(𝑘 −
1
𝑘
) 𝑟
)]
𝜏 𝜃𝑟 = −𝜇 [𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(
𝛺0 𝑅
(𝑘 −
1
𝑘
)
(
𝑘𝑅
𝑟
−
𝑟
𝑘𝑅
)
𝑟
)] = −𝜇 [
𝛺0 𝑅𝑟
(𝑘 −
1
𝑘
)
𝜕
𝜕𝑟
((
𝑘𝑅
𝑟2
−
1
𝑘𝑅
))]
𝜏 𝜃𝑟 = −
𝜇 𝛺0 𝑅𝑟
(𝑘 −
1
𝑘
)
[
𝜕
𝜕𝑟
(
𝑘𝑅
𝑟2
−
1
𝑘𝑅
)] = −
𝜇 𝛺0 𝑅𝑟
(𝑘 −
1
𝑘
)
(−2
𝑘𝑅
𝑟3
− 0) =
2𝜇 𝛺0 𝑅𝑟
(𝑘 −
1
𝑘
)
(
𝑘𝑅
𝑟3
)
𝒗 𝜽 = 𝛺0 𝑅 (
𝑘𝑅
𝑟
−
𝑟
𝑘𝑅
(𝑘 −
1
𝑘
)
)
Ec. 3.5-11 del Bird
Reacomodando los términos:
𝜏 𝜃𝑟 = 2𝜇 𝛺0 𝑅2 (
1
𝑟2
)
𝑘
(𝑘 −
1
𝑘
)
= 2𝜇 𝛺0 𝑅2 (
1
𝑟2
)
𝑘
(
𝑘 −
1
𝑘
𝑘
)
= 2𝜇 𝛺0 𝑅2 (
1
𝑟2
)
𝑘2
𝑘2 − 1
𝜏 𝜃𝑟 = −2𝜇 𝛺0 𝑅2 (
1
𝑟2
)
𝑘2
1 − 𝑘2
También puede calcularse fácilmente el par F necesario para hacer girar el eje
exterior, como producto de la fuerza por el brazo de palanca:
𝐹 = 2𝜋𝑅𝐿 (−𝜏 𝑟𝜃)| 𝑟=𝑅 𝑅
𝐹 = 2𝜋𝑅𝐿 (2𝜇 𝛺0 𝑅2 (
1
𝑟2
)
𝑘2
1 − 𝑘2
) 𝑅 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 = 𝑅
𝐹 = 4𝜋𝜇𝐿𝑅 (2 𝛺0 𝑅2 (
1
𝑅2)
𝑘2
1 − 𝑘2
) 𝑅
𝐹 = 4𝜋𝜇𝐿 𝛺0 𝑅2
(
𝑘2
1 − 𝑘2
)
𝜏 𝜃𝑟 = −2𝜇 𝛺0 𝑅2 (
1
𝑟2
)
𝑘2
1 − 𝑘2
Ec. 3.5-12 del Bird
Ejemplo 3.5-2. Forma de la superficie de un líquido que gira.
Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente
cilíndrico de radio R, tal como se indica en la siguiente figura. El recipiente rota
alrededor de su eje con una velocidad angular Ω. El eje del cilindro es vertical, de
forma que gr=g0=0 y gz=-g. Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado
el estado estacionario.
Superficie libre de un líquido que gira, cuya forma es la de un paraboloide de
revolución.
Este sistema se describe más fácilmente en coordenadas cilíndricas y por lo tanto
vamos a utilizar las ecuaciones de variación en este sistema coordenado. Sabemos
que en el estado estacionario vr = vz =0 y que la velocidad en la dirección θ es
función de r .
En este ejercicio tenemos las mismas condiciones que el ejercicio anterior sabemos
que la ecuación de continuidad
En esta sección haremos uso de las tablas 3.4-1 y 3.4-3 del Bird.
De la Tabla 3.4-1 Ecuación de continuidad en distintos sistemas coordenados.
Utilizamos la (B) Coordenadas cilíndricas (r,θ,z)
𝜕𝑝
𝑑𝑡
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝜌𝑟𝑣𝑟) +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
( 𝜌𝑣 𝜃) +
𝜕
𝜕𝑧
( 𝜌𝑣𝑧) = 0
Aplicando la condición del movimiento circular en estado estacionario tenemos que:
𝜕𝑝
𝑑𝑡
+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝜌𝑟𝑣𝑟) +
1
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
( 𝜌𝑣 𝜃) +
𝜕
𝜕𝑧
( 𝜌𝑣𝑧) = 0
Lo que quiere decir: vθ = constante.
Utilizando la tabla 3.4-3 ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS
CILINDRICAS (r,θ,z), en función de los gradientes de velocidad para un fluido
newtoniano.
Componente r
𝜌 (
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
−
𝑣 𝜃
2
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑧
)
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
+ 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣𝑟)) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝑟
Componente θ
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝑣𝑟 𝑣 𝜃
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑧
)
= −
1
𝑟
𝜕𝑝
𝜕𝜃
+ 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃)) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝜃2
+
2
𝑟2
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝜃
Componente z
𝜌 (
𝜕𝑣𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝑑𝑧
) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 [
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝑧
Se procede a cumplir con las siguientes condiciones: componentes vr y vz de la
velocidad son cero y es un régimen permanente:
Componente r
𝜌 (
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
−
𝑣 𝜃
2
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑧
)
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
+ 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣𝑟)) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝜃2
−
2
𝑟2
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝑟
Componente θ
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝑣𝑟 𝑣 𝜃
𝑟
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑧
)
= −
1
𝑟
𝜕𝑝
𝜕𝜃
+ 𝜇 [
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃)) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝜃2
+
2
𝑟2
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
+
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝜃
Componente z
𝜌 (
𝜕𝑣𝑧
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝜃
+ 𝑣𝑧
𝜕𝑣𝑧
𝑑𝑧
) = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜇 [
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟
𝜕𝑣𝑧
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝜃2
+
𝜕2
𝑣𝑧
𝜕𝑧2
] + 𝜌𝑔 𝑧
Tenemos como resultado del análisis de los componentes:
Componente r
−𝜌
𝑣 𝜃
2
𝑟
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
Componente θ
0 = 𝜇
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃))
Componente z
0 = −
𝜕𝑝
𝜕𝑧
+ 𝜌𝑔 𝑧
Sustituyendo estas dos condiciones fronteras en la ecuación de
la velocidad en θ:
0 =
𝐶1(0)
2
+
𝐶2
𝑟
… 𝐸𝑐. 1
0 =
𝐶1(0)
2
+ 𝐶2 … 𝐸𝑐. 1
𝛺𝑅 =
𝐶1 𝑅
2
+
𝐶2
𝑅
… 𝐸𝑐 2
Con este sistema de dos ecuaciones podemos
encontrar C1 y C2:
𝑪 𝟐 = 0
Para la ecuación 2, tenemos:
𝛺𝑅 =
𝑪 𝟏 𝑅
2
+
𝑪 𝟐
𝑅
𝛺𝑅 =
𝑪 𝟏 𝑅
2
+
(𝟎)
𝑅
𝑪 𝟏 =
2𝛺𝑅
𝑅
= 2𝛺
Sustituye en la Ec. de la velocidad en θ:
𝒗 𝜽 =
𝐶1 𝑟
2
+
𝐶2
𝑟
𝒗 𝜽 =
2𝛺 𝑟
2
= 𝛺 𝑟
Se Integra el Componente θ
0 = 𝜇
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃))
0 =
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃))
∫ 0 = ∫
𝜕
𝜕𝑟
(
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃))
𝐶1 =
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟
( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2
Despejamos:
𝑟𝐶1 𝑑𝑟 = 𝑑( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2
Integramos por segunda vez:
𝐶1 ∫ 𝑟𝑑𝑟 = ∫ 𝑑( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2
𝐶1 𝑟2
2
+ 𝐶3 = 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 + 𝐶4
𝐶1 𝑟2
2
= 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 + 𝐶4 − 𝐶3
𝐶1 𝑟2
2
= 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2
Se despeja vθ
𝐶1 𝑟2
2
= 𝑟𝒗 𝜽 + 𝐶2
𝒗 𝜽 =
𝐶1 𝑟2
2𝑟
+
𝐶2
𝑟
𝒗 𝜽 =
𝐶1 𝑟
2
+
𝐶2
𝑟
Condiciones Frontera:
𝑣 𝜃 = 0 ; 𝑟 = 0
𝑣 𝜃 = 𝛺𝑅 ; 𝑟 = 𝑅
𝒗 𝜽 = 𝛺 𝑟
Ec. 3.5-19 del Bird
Como p=p(r,z)
𝑑𝑝 = (
𝜕𝑝
𝜕𝑟
)
𝑧
𝑑𝑟 + (
𝜕𝑝
𝜕𝑧
)
𝑟
𝑑𝑧
𝑑𝑝 = (
𝜕𝑝
𝜕𝑟
)
𝑧
𝑑𝑟 + (
𝜕𝑝
𝜕𝑧
)
𝑟
𝑑𝑧
𝑑𝑝 = 𝜌𝛺2
𝑟 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔 𝑑𝑧
∫ 𝑑𝑝 = 𝜌𝛺2 ∫ 𝑟𝑑𝑟 − 𝜌𝑔 ∫ 𝑑𝑧
𝑝 = 𝜌𝛺2
𝑟2
2
− 𝜌𝑔𝑧 + 𝑐
𝑧 = 𝑧0 , 𝑝 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 , 𝑟 = 0
𝑐 = 𝑝 𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑧0
𝑝 = 𝜌𝛺2
𝑟2
2
− 𝜌𝑔𝑧 + 𝑐
𝑝 = 𝜌𝛺2
𝑟2
2
− 𝜌𝑔(𝑧 − 𝑧0) + 𝑝 𝑎𝑡𝑚
𝑝 − 𝑝 𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝛺2
𝑟2
2
− 𝜌𝑔(𝑧 − 𝑧0)
En la superficie p=patm
0 = 𝜌𝛺2
𝑟2
2
− 𝜌𝑔(𝑧 − 𝑧0)
0 = 𝛺2
𝑟2
2
− 𝑔(𝑧 − 𝑧0)
Despejamos:
𝑧 − 𝑧0 = 𝛺2
𝑟2
2𝑔
𝜕𝑝
𝜕𝑟
= 𝜌𝛺2
𝑟
𝜕𝑝
𝜕𝑧
= −𝜌𝑔
𝑧 − 𝑧0 = (
𝛺2
2𝑔
) 𝑟2
Ec. 3.5-27 del Bird
Ejemplo 3.5-3. Relaciones del par y distribución de velocidad en el
viscosímetro de plato y cono.
El viscosímetro de plato y cono, que se representa esquemáticamente en la
siguiente figura consta esencialmente de una lámina plana estacionaria. Sobre la
que se coloca el líquido o pasta a ensayar, y un cono invertido, que se introduce en
la substancia problema hasta que la punta toca a la lámina. El cono se hace girar a
una velocidad angular conocida Ω, y la viscosidad del fluido se determina midiendo
el par que se necesita para hacer girar el cono. En la práctica, el ángulo θ0,
comprendido entre las superficies cónica y plana, es muy pequeño, del orden de
medio grado. Este tipo de aparato presenta algunas ventajas importantes,
especialmente en el caso de fluidos no-newtonianos.
a. Solamente es importante el componente del esfuerzo 𝜏 𝜃∅.
b. El valor de 𝜏 𝜃∅ es muy aproximadamente constante en todo el fluido.
c. Los efectos finales pueden eliminarse casi totalmente.
Corte del viscosímetro de plato y cono.
Analizar el sistema de la siguiente forma:
(i) Demostrar que solamente es importante 𝜏 𝜃𝜙
(ii) determinar 𝜏 𝜃𝜙 en función r y 𝜃
(iii) Utilizar los resultados de (i) e (ii) con el fin de determinar 𝑣 𝜙(𝑟, 𝜃) para el flujo
estacionario de un fluido newtoniano con 𝜌 y μ constantes (esta expresión deberá
contener el par ℱ)
(iv) Obtener otra expresión para 𝑣 𝜙(𝑟, 𝜃) que contenga la velocidad angular en vez
del par.
En esta sección haremos uso de las tablas 3.4-1 y 3.4-3 del Bird.
De la Tabla 3.4-1 Ecuación de continuidad en distintos sistemas coordenados.
Utilizamos la (C) Coordenadas cilíndricas (r,θ,𝜙):
𝜕𝑝
𝑑𝑡
+
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
( 𝜌𝑟2
𝑣𝑟) +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
( 𝜌𝑣 𝜃 sin 𝜃) +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜙
(𝜌𝑣 𝜙) = 0
𝒗 𝜽 = 𝒗 𝒓 = 𝟎 ; 𝒗 𝝓 𝒆𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒓 𝒚 𝜽 , en estado estacionario.
𝜕𝑝
𝑑𝑡
+
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
( 𝜌𝑟2
𝑣𝑟) +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
( 𝜌𝑣 𝜃 sin 𝜃) +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜙
(𝜌𝑣 𝜙) = 0
𝜕𝑝
𝑑𝑡
+
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
( 𝜌𝑟2
𝑣𝑟) +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
( 𝜌𝑣 𝜃 sin 𝜃) +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜙
(𝜌𝑣 𝜙) = 0
0 = 0
Lo que quiere decir: 𝑣 𝜙 = constante.
Utilizando la tabla 3.4-4 ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS
ESFERICAS (r,θ,𝜙), en función de los gradientes de velocidad para un fluido
newtoniano.
Componente r
𝜌 (
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
+
𝑣 𝜙
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜙
−
𝑣 𝜃
2
+ 𝑣 𝜙
2
𝑟
)
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
+ 𝜇 [
1
𝑟2
𝜕2
𝜕𝑟2
(𝑟2
𝑣𝑟) +
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(sin 𝜃
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
) +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝜙2
] + 𝜌𝑔 𝑟
A pesar que se tiene una velocidad en 𝜙, en la
figura se especifica que es función de r no de θ
Componente θ
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝑣 𝜙
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜙
−
𝑣𝑟 𝑣 𝜃 − 𝑣 𝜙
2
cot 𝜃
𝑟
)
= −
1
𝑟
𝜕𝑝
𝜕𝜃
+ 𝜇 [
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝜃
(
1
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(𝑣 𝜃 sin 𝜃)) +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝜙2
+
2
𝑟2
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
−
2
𝑟2
cot 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜙
] + 𝜌𝑔 𝜃
Componente 𝝓
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜙
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜃
+
𝑣 𝜙
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜙
−
𝑣𝑟 𝑣 𝜙 + 𝑣 𝜃 𝑣 𝜙 cot 𝜃
𝑟
)
= −
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑝
𝜕𝜙
+ 𝜇 [
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝜃
(
1
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(𝑣 𝜙 sin 𝜃)) +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝑣 𝜙
𝜕𝜙2
+
2
𝑟2 sin 𝜃
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜙
+
2
𝑟2
cot 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜙
] + 𝜌𝑔 𝜙
Se procede a cumplir con las siguientes condiciones: componentes vr y vθ de la
velocidad son cero, 𝑣 𝜙 = 𝑣 𝜙(𝑟, 𝜃), y es un régimen permanente:
Componente r
𝜌 (
𝜕𝑣𝑟
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
+
𝑣 𝜙
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜙
−
𝑣 𝜃
2
+ 𝑣 𝜙
2
𝑟
)
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
+ 𝜇 [
1
𝑟2
𝜕2
𝜕𝑟2
(𝑟2 𝑣𝑟) +
1
𝑟2 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(sin 𝜃
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
) +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝑣𝑟
𝜕𝜙2
] + 𝜌𝑔 𝑟
Componente θ
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜃
+
𝑣 𝜙
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜙
−
𝑣𝑟 𝑣 𝜃 − 𝑣 𝜙
2
cot 𝜃
𝑟
)
= −
1
𝑟
𝜕𝑝
𝜕𝜃
+ 𝜇 [
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝜃
(
1
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(𝑣 𝜃 sin 𝜃)) +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝑣 𝜃
𝜕𝜙2
+
2
𝑟2
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜃
−
2
𝑟2
cot 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜙
] + 𝜌𝑔 𝜃
Componente 𝝓
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜙
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜃
+
𝑣 𝜙
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜙
−
𝑣𝑟 𝑣 𝜙 + 𝑣 𝜃 𝑣 𝜙 cot 𝜃
𝑟
)
= −
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑝
𝜕𝜙
+ 𝜇 [
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝜃
(
1
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(𝑣 𝜙 sin 𝜃)) +
1
𝑟2 sin2 𝜃
𝜕2
𝑣 𝜙
𝜕𝜙2
+
2
𝑟2 sin 𝜃
𝜕𝑣𝑟
𝜕𝜙
+
2
𝑟2
cot 𝜃
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜙
] + 𝜌𝑔 𝜙
Reduciendo términos:
Componente r
−𝜌
𝑣 𝜙
2
𝑟
= −
𝜕𝑝
𝜕𝑟
Componente θ
−𝜌 cot 𝜃 (
𝑣 𝜙
2
𝑟
) = −
1
𝑟
𝜕𝑝
𝜕𝜃
Componente 𝝓
0 = −
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑝
𝜕𝜙
+ 𝜇 [
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
) +
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝜃
(
1
sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(𝑣 𝜙 sin 𝜃)) ]
𝑣 𝜙 = 𝑟 𝑓(𝜃) →
𝑣 𝜙
𝑟
= 𝑓(𝜃)
𝜏 𝑟𝜙 = 0
Condiciones Frontera:
𝑣 𝜙 = 𝛺𝑅 cos 𝜃0 ; 𝜃 = 𝜃1
𝑣 𝜙 = 𝛺𝑅 cos 𝜃0 ; 𝜃 =
𝜋
2
INCISO ii)
Componente 𝝓
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜙
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜃
+
𝑣 𝜙
𝑟 sen 𝜃
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜙
−
𝑣𝑟 𝑣 𝜙 + 𝑣 𝜃 𝑣 𝜙 cot 𝜃
𝑟
)
= −
1
𝑟 sen 𝜃
𝜕𝑝
𝜕𝜙
− (
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜏 𝑟𝜙) +
1
𝑟
𝜕𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜃
+
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑧 𝜙𝜙
𝜕𝜙
+
𝜏 𝑟𝜙
𝑟
+
2𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑟
𝜏 𝜃𝜙)
+ 𝜌𝑔 𝜙
Componente 𝝓
𝜌 (
𝜕𝑣 𝜙
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑟
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝑟
+
𝑣 𝜃
𝑟
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜃
+
𝑣 𝜙
𝑟 sen 𝜃
𝜕𝑣 𝜙
𝜕𝜙
−
𝑣𝑟 𝑣 𝜙 + 𝑣 𝜃 𝑣 𝜙 cot 𝜃
𝑟
)
= −
1
𝑟 sen 𝜃
𝜕𝑝
𝜕𝜙
− (
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟
(𝑟2
𝜏 𝑟𝜙) +
1
𝑟
𝜕𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜃
+
1
𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝜕𝑧 𝜙𝜙
𝜕𝜙
+
𝜏 𝑟𝜙
𝑟
+
2𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑟
𝜏 𝜃𝜙)
+ 𝜌𝑔 𝜙
Componente 𝝓
0 =
1
𝑟
𝜕𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜃
+
2𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑟
𝜏 𝜃𝜙
0 =
1
𝑟
𝜕𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜃
+
2𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑟
𝜏 𝜃𝜙
Reacomodando términos en la ecuación diferencial:
1
𝑟
𝜕𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜃
= −
2𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑟
𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜃
= −
𝑟2𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑟
𝜏 𝜃𝜙 = −2𝑐𝑜𝑡𝜃𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜃
= −2𝑐𝑜𝑡𝜃𝜏 𝜃𝜙
𝜕𝜏 𝜃𝜙
𝜏 𝜃𝜙
= −2𝑐𝑜𝑡𝜃𝜕𝜃
Integrando:
∫
𝑑𝜏 𝜃𝜙
𝜏 𝜃𝜙
= ∫ −2 𝑐𝑜𝑡 𝜃 𝑑𝜃
∫
𝑑𝜏 𝜃𝜙
𝜏 𝜃𝜙
= −2 ∫ cot 𝜃 𝑑𝜃
En este caso utilizaremos las siguientes fórmulas de integración para cada una de
las partes:
∫
𝑑𝜏 𝜃𝜙
𝜏 𝜃𝜙
= −2 ∫ cot 𝜃 𝑑𝜃
Aplicando las formulas anteriores tenemos:
ln 𝜏 𝜃𝜙 + 𝑐 = −2 ∫
cos 𝜃
sin 𝜃
𝑑𝜃
Aplicando la integración por sustitución
ln 𝜏 𝜃𝜙 = −2 ∫
cos 𝜃
𝑢
𝑑𝜃 → 𝑢 = sin 𝜃 ; 𝑑𝑢 = cos 𝜃 𝑑𝜃
ln 𝜏 𝜃𝜙 = −2 ∫
𝑑𝑢
𝑢
El resultado de la integración es:
ln 𝜏 𝜃𝜙 = −2 ln(sin 𝜃 ) + 𝐶1
𝜏 𝜃𝜙 = 𝑒(−2 ln(sin 𝜃 )+ 𝐶1)
Por propiedades de los exponentes
𝜏 𝜃𝜙 = 𝑒−2 ln(sin 𝜃 )
𝑒 𝐶1
𝜏 𝜃𝜙 = (sin 𝜃 )−2
𝐶1
𝜏 𝜃𝜙 =
𝐶1
sin2 𝜃
Ahora si podemos continuar con el análisis manipulando al tensor de esfuerzo 𝜏 𝜃𝜙
con las variables originales, 𝜃. La condición límite es que:
∫
𝑑𝑥
𝑥
= ln 𝑥 + 𝐶
Identidad trigonométrica:
cot 𝜃 =
cos 𝜃
sin 𝜃
∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
cos 𝑥
sin 𝑥
𝑑𝑥 + 𝐶
𝜃 =
𝜋
2
𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟 𝓕 = 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐
el tensor de esfuerzo 𝜏 𝜃𝜙 por el área diferencial 𝒓𝒅𝒓𝒅𝝓 y por el brazo de
la palanca 𝒓
dℱ = 𝜏 𝜃𝜙|
𝜃=𝜋/2
𝒓𝒅𝒓𝒅𝝓 𝒓
dℱ = 𝜏 𝜃𝜙|
𝜃=𝜋/2
𝒓 𝟐
𝒅𝒓𝒅𝝓
∫ dℱ = ∬𝜏 𝜃𝜙|
𝜃=𝜋/2
𝒓 𝟐
𝒅𝒓𝒅𝝓
Esta integración se llevará a cabo entre los límites de nuestro sistema, es decir:
0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅
Entonces la integral doble se lleva a cabo como:
∫ dℱ = ∫ ∫ 𝜏 𝜃𝜙|
𝜃=𝜋/2
𝒓 𝟐
𝒅𝒓𝒅𝝓
R
0
2π
0
Resolviendo
ℱ = ∫ ∫
𝐶1
sin2 𝜋
2
𝒓 𝟐
𝒅𝒓𝒅𝝓
R
0
2π
0
ℱ = ∫
𝐶1
sin2 𝜋
2
𝑅3
3
𝒅𝝓
2π
0
ℱ =
𝐶1
sin2 𝜋
2
𝑅3
3
∫ 𝒅𝝓
π/2
0
ℱ =
𝐶1
sin2 𝜋
2
𝑅3
3
2𝜋
Es posible expresar este par de torsión en términos del tensor de esfuerzo, para
esto despejaremos de un solo lado 𝜏 𝜃𝜙
3ℱ
2𝜋𝑅3
=
𝑪 𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝝅
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝝅
𝟐
= (sin 𝜋
2
)
2
= 1
𝑪 𝟏 =
3ℱ
2𝜋𝑅3
Sustituimos en la ecuación 𝜏 𝜃𝜙
𝜏 𝜃𝜙 =
𝑪 𝟏
sin2 𝜃
→ 𝑪 𝟏 = 𝜏 𝜃𝜙 sin2
𝜃
Por lo tanto
3ℱ
2𝜋𝑅3
= 𝜏 𝜃𝜙 sin2
𝜃
Finalmente
𝜏 𝜃𝜙 =
3ℱ
2𝜋𝑅3 sin2 𝜃
INCISO iii)
𝜏 𝜃𝜙 = −𝜇 [
sin 𝜃
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
(
𝑣 𝜙
sin 𝜃
) +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜙
]
Sustituyendo en el tensor:
3ℱ
2𝜋𝑅3 sin2 𝜃
= −𝜇 [
sin 𝜃
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
(
𝑣 𝜙
sin 𝜃
) +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜙
]
Eliminando algunos términos como:
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜙
= 0
3ℱ
2𝜋𝑅3 sin2 𝜃
= −𝜇 [
sin 𝜃
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
(
𝑣 𝜙
sin 𝜃
) +
1
𝑟 sin 𝜃
𝜕𝑣 𝜃
𝜕𝜙
]
Resulta en:
3ℱ
2𝜋𝑅3 sin2 𝜃
= −𝜇
sin 𝜃
𝑟
𝜕
𝜕𝜃
(
𝑣 𝜙
sin 𝜃
)
Como el término de velocidad angular que se va a manejar es 𝑣 𝜙/𝑟 entonces:
3ℱ
2𝜋𝑅3 sin2 𝜃
= −𝜇 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
)
Separando variables e integrando, se obtiene la distribución de velocidad angular,
es decir, hay que integrar la expresión anterior para obtener una función de 𝑣 𝜙/𝑟 ,
esto se obtendrá despejando la ecuación:
3ℱ
2𝜋𝑅3 sin2 𝜃
= −𝜇 sin 𝜃
𝜕
𝜕𝜃
(
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
)
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3 sin3 𝜃
=
𝜕
𝜕𝜃
(
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
)
𝜏 𝜃𝜙 =
3ℱ
2𝜋𝑅3 sin2 𝜃
Ec. 3.5-32 del Bird
𝜕 (
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
) =
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3 sin3 𝜃
𝜕𝜃
𝜕 (
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
) =
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
𝜕𝜃
sin3 𝜃
∫ 𝜕 (
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
) = ∫
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
𝜕𝜃
sin3 𝜃
Algunos términos son independientes de 𝜃 por lo que salen del término de la integral
∫ 𝜕 (
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
) =
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
∫
𝜕𝜃
sin3 𝜃
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
=
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
∫
𝜕𝜃
sin3 𝜃
Debido a las igualdades trigonométricas podemos escribir la integral del lado
derecho
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
=
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
∫ csc3
𝜃 𝜕𝜃
La fórmula para evaluar al derivada anterior:
∫ csc3
𝜃 𝜕𝜃 = −
1
2
csc 𝜃 cot 𝜃 +
1
2
ln|csc 𝜃 − cot 𝜃| + 𝐶
𝑣 𝜙/𝑟
sin 𝜃
=
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
(−
1
2
csc 𝜃 cot 𝜃 +
1
2
ln|csc 𝜃 − cot 𝜃| + 𝐶)
Reordenando la ecuación anterior tenemos:
𝑣 𝜙
𝑟
=
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
sin 𝜃 (−
1
2
csc 𝜃 cot 𝜃 +
1
2
ln|csc 𝜃 − cot 𝜃| + 𝐶)
𝑣 𝜙
𝑟
=
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
sin 𝜃 (−
1
2
csc 𝜃 cot 𝜃 +
1
2
ln|csc 𝜃 − cot 𝜃|) + 𝐶2
Recordando que:
csc 𝜃 =
1
sin 𝜃
; cot 𝜃 =
cos 𝜃
sin 𝜃
Tenemos que expresar todos los términos trigonométricos a sus expresiones más
sencillas sin 𝜃 y cos 𝜃:
𝑣 𝜙
𝑟
=
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
sin 𝜃 (−
1
2
1
sin 𝜃
cos 𝜃
sin 𝜃
+
1
2
ln |
1
sin 𝜃
−
cos 𝜃
sin 𝜃
|) + 𝐶2
Llevando a cabo las multiplicaciones llegaremos a:
𝑣 𝜙
𝑟
=
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
(−
1
2
1
sin 𝜃
cos 𝜃
sin 𝜃
sin 𝜃 +
sin 𝜃
2
ln |
1
sin 𝜃
−
cos 𝜃
sin 𝜃
|) + 𝐶2
𝑣 𝜙
𝑟
=
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
(−
1
2
cos 𝜃
sin 𝜃
+
sin 𝜃
2
ln |
1
sin 𝜃
−
cos 𝜃
sin 𝜃
|) + 𝐶2
Factorizando "
1
2
":
𝑣 𝜙
𝑟
= (−
1
2
)
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
(
cos 𝜃
sin 𝜃
− sin 𝜃 ln |
1
sin 𝜃
−
cos 𝜃
sin 𝜃
|) + 𝐶2
Simplificando, llevando a cabo la suma de fracciones en el término logarítmico y
reescribiendo la función cot 𝜃:
𝑣 𝜙
𝑟
= (−
1
2
)
−3ℱ
𝜇2𝜋𝑅3
(cot 𝜃 − sin 𝜃 ln |
1 − cos 𝜃
sin 𝜃
|) + 𝐶2
𝑣 𝜙
𝑟
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜃 − sin 𝜃 ln |
1 − cos 𝜃
sin 𝜃
|) + 𝐶2
Por último, antes de llegar a la solución final, haremos uso de la siguiente identidad
trigonométrica:
sin2
𝜃 + cos2
𝜃 = 1 → sin 𝜃 = √1 − cos2 𝜃
Por lo tanto al sustituir en la expresión anterior:
𝑣 𝜙
𝑟
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜃 − sin 𝜃 ln |
1 − cos 𝜃
√1 − cos2 𝜃
|) + 𝐶2
También es posible, mediante sencillas manipulaciones algebraicas, expresar el
numerador y el denominador del argumento del logaritmo natural como una
diferencia de cuadrados:
1 − cos 𝜃 = √1 − cos 𝜃 √1 − cos 𝜃 𝑦 √1 − cos2 𝜃 = √1 − cos 𝜃 √1 + cos 𝜃
Entonces:
𝑣 𝜙
𝑟
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜃 − sin 𝜃 ln |
√1 − cos 𝜃 √1 − cos 𝜃
√1 − cos 𝜃 √1 + cos 𝜃
|) + 𝐶2
Cancelando términos semejantes
𝑣 𝜙
𝑟
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜃 − sin 𝜃 ln |
√1 − cos 𝜃 √1 − cos 𝜃
√1 − cos 𝜃 √1 + cos 𝜃
|) + 𝐶2
𝑣 𝜙
𝑟
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜃 − sin 𝜃 ln |
√1 − cos 𝜃
√1 + cos 𝜃
|) + 𝐶2
Por propiedades de los logaritmos es posible escribir el exponente del argumento
como coeficiente del término logaritmo. El signo negativo servirá para invertir el
numerador y denominador
𝑣 𝜙
𝑟
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜃 + sin 𝜃 ln |
1 + cos 𝜃
1 − cos 𝜃
|
1
2
) + 𝐶2
La constante de integración se calcula a partir de la condición limite que:
𝜃 =
𝜋
2
→ 𝑣 𝜙 = 0
Al sustituir estos valores en la ecuación anterior encontraremos el valor de la
constante 𝐶2
𝒗 𝝓
𝑟
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜽 +
1
2
sin 𝜽 ln |
1 + cos 𝜽
1 − cos 𝜽
|) + 𝐶2
𝟎
𝑟
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot
𝝅
𝟐
+
1
2
sin
𝝅
𝟐
ln |
1 + cos
𝝅
𝟐
1 − cos
𝝅
𝟐
|) + 𝐶2
De la geométrica encontramos que:
cos
𝝅
𝟐
= 0 𝑦 sin
𝝅
𝟐
= 1
Entonces:
𝟎 =
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(𝟎 +
1
2
ln |
1
1
|) + 𝐶2
𝟎 =
1
2
( 𝟎) + 𝐶2
𝐶2 = 0
Entonces al final concluimos que
𝑣 𝜙
𝑟
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜃 +
1
2
sin 𝜃 ln |
1 + cos 𝜃
1 − cos 𝜃
|)
INCISO iv)
Podemos escribir ahora la ecuación anterior para
𝑣 𝜙
𝑟
para el caso especial de que
𝜃 = 𝜃1 =
𝜋
2
− 𝜃0 y 𝑣 𝜙 = 𝛺𝑟 sin 𝜃1
𝛺𝒓 sin 𝜽 𝟏
𝒓
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜽 𝟏 +
1
2
sin 𝜽 𝟏 ln |
1 + cos 𝜽 𝟏
1 − cos 𝜽 𝟏
|)
𝛺 sin 𝜽 𝟏 =
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3
(cot 𝜽 𝟏 +
1
2
sin 𝜽 𝟏 ln |
1 + cos 𝜽 𝟏
1 − cos 𝜽 𝟏
|)
Dividiendo la ecuación anterior por la ecuación para
𝑣 𝜙
𝑟
se obtiene:
𝑣 𝜙
𝑟
𝛺 sin 𝜽 𝟏
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 +
1
2 sin 𝜃 ln |
1 + cos 𝜃
1 − cos 𝜃
|)
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜽 𝟏 +
1
2
sin 𝜽 𝟏 ln |
1 + cos 𝜽 𝟏
1 − cos 𝜽 𝟏
|)
Se cancelan los términos semejantes llegaremos a:
𝑣 𝜙
𝑟
𝛺 sin 𝜽 𝟏
=
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 +
1
2
sin 𝜃 ln |
1 + cos 𝜃
1 − cos 𝜃
|)
3ℱ
4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜽 𝟏 +
1
2
sin 𝜽 𝟏 ln |
1 + cos 𝜽 𝟏
1 − cos 𝜽 𝟏
|)
Rearreglando
𝑣 𝜙
𝑟
= 𝛺 sin 𝜽 𝟏
(cot 𝜃 +
1
2
sin 𝜃 ln |
1 + cos 𝜃
1 − cos 𝜃
|)
(cot 𝜽 𝟏 +
1
2
sin 𝜽 𝟏 ln |
1 + cos 𝜽 𝟏
1 − cos 𝜽 𝟏
|)
Para valores de 𝜃 𝑦 𝜽 𝟏 prácticamente iguales
𝜋
2
:
𝑣 𝜙
𝑟
= 𝛺
cos 𝜃
cos 𝜽 𝟏
= 𝛺
(
𝜋
2
− 𝜃)
(
𝜋
2
− 𝜃1)

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Ejercicios de fenomenos de transporte bird

  • 1. FEBRERO 2017 ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS Fenómenos de Transporte Ejercicios del Capitulo 3 del Bird M.C. Raúl del Ángel Santos Serena
  • 2. Actividad. Resolución de ejercicios del capítulo 3 LAS ECUACIONES DE VARIACIÓN PARA SISTEMAS ISOTÉRMICOS. Ejemplo 3.5-1. Flujo tangencial de un fluido newtoniano en tubos concéntricos. Determinar las distribuciones de velocidad y de esfuerzo cortante, para el flujo laminar tangencial de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros verticales coaxiales, cuando el cilindro exterior gira con una velocidad angular 𝛺0. Los efectos finales pueden despreciarse. Flujo laminar de un fluido incompresible en el espacio comprendido entre dos cilindros coaxiales, el exterior de los cuales gira con una velocidad angular 𝛺0. Solución:
  • 3. En el flujo laminar en estado estacionario, el fluido sigue un movimiento circular, y los componentes vr y vz de la velocidad son cero. No existe gradiente de presión en la dirección θ. Estas afirmaciones se basan en principios físicos. Para este sistema, todos los términos de la ecuación de continuidad, expresados en coordenadas cilíndricas, son cero y las ecuaciones de movimiento se reducen. En esta sección haremos uso de las tablas 3.4-1 y 3.4-3 del Bird. De la Tabla 3.4-1 Ecuación de continuidad en distintos sistemas coordenados. Utilizamos la (B) Coordenadas cilíndricas (r,θ,z) 𝜕𝑝 𝑑𝑡 + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝜌𝑟𝑣𝑟) + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝜌𝑣 𝜃) + 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝜌𝑣𝑧) = 0 Aplicando la condición del movimiento circular en estado estacionario tenemos que: 𝜕𝑝 𝑑𝑡 + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝜌𝑟𝑣𝑟) + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝜌𝑣 𝜃) + 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝜌𝑣𝑧) = 0 𝜕𝑝 𝑑𝑡 + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝜌𝑟𝑣𝑟) + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝜌𝑣 𝜃) + 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝜌𝑣𝑧) = 0 Lo que quiere decir: vθ = constante. Utilizando la tabla 3.4-3 ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS CILINDRICAS (r,θ,z), en función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano. Componente r 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 − 𝑣 𝜃 2 𝑟 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑟 + 𝜇 [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣𝑟)) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝜃2 − 2 𝑟2 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝑟 A pesar que se tiene una velocidad en θ, en la figura se especifica que es función de r no de θ
  • 4. Componente θ 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑣𝑟 𝑣 𝜃 𝑟 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑧 ) = − 1 𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝜃 + 𝜇 [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝜃2 + 2 𝑟2 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 + 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝜃 Componente z 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑧 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝜃 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝑑𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜇 [ 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣𝑧 𝜕𝜃2 + 𝜕2 𝑣𝑧 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝑧 Se procede a cumplir con las siguientes condiciones: componentes vr y vz de la velocidad son cero y es un régimen permanente: Componente r 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 − 𝑣 𝜃 2 𝑟 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑟 + 𝜇 [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣𝑟)) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝜃2 − 2 𝑟2 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝑟 Componente θ 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑣𝑟 𝑣 𝜃 𝑟 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑧 ) = − 1 𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝜃 + 𝜇 [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝜃2 + 2 𝑟2 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 + 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝜃 Componente z 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑧 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝜃 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝑑𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜇 [ 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣𝑧 𝜕𝜃2 + 𝜕2 𝑣𝑧 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝑧 Tenemos como resultado del análisis de los componentes: Componente r −𝜌 𝑣 𝜃 2 𝑟 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑟 Componente θ 0 = 𝜇 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) Componente z 0 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜌𝑔 𝑧 Condiciones Frontera: 𝑣 𝜃 = 0 ; 𝑟 = 𝑘𝑅 𝑣 𝜃 = 𝛺0 𝑅 ; 𝑟 = 𝑅
  • 5. Sustituyendo estas dos condiciones fronteras en la ecuación de la velocidad en θ: 0 = 𝐶1 𝑘𝑅 2 + 𝐶2 𝑘𝑅 … 𝐸𝑐. 1 𝛺0 𝑅 = 𝐶1 𝑅 2 + 𝐶2 𝑅 … 𝐸𝑐 2 Con este sistema de dos ecuaciones podemos encontrar C1 y C2: 𝑪 𝟏 = − 2𝐶2 𝑘2 𝑅2 𝛺0 𝑅 = − 𝑪 𝟏 𝑅 2 + 𝐶2 𝑅 𝛺0 𝑅 = − 2𝐶2 𝑘 2 𝑅2 𝑅 2 + 𝐶2 𝑅 = − 2𝐶2 𝑘 2 𝑅 2 + 𝐶2 𝑅 = − 𝐶2 𝑘 2 𝑅 + 𝐶2 𝑅 = −𝐶2 ( 1 𝑘 2 𝑅 − 1 𝑅 ) 𝑪 𝟐 = − 𝛺0 𝑅 ( 1 𝑘 2 𝑅 − 1 𝑅) = − 𝛺0 𝑅 ( 1 − 𝑘2 𝑘 2 𝑅 ) = − 𝛺0 𝑅𝑘2 𝑅 1 − 𝑘2 = − 𝛺0 𝑘2 𝑅2 1 − 𝑘2 𝑪 𝟏 = 2 𝛺0 𝑘2 𝑅2 1 − 𝑘2 𝑘2 𝑅2 = 2 𝛺0 𝑘2 𝑅2 (1 − 𝑘2 )𝑘2 𝑅2 = 2 𝛺0 (1 − 𝑘2 ) Sustituye en la Ec. de la velocidad en θ: 𝒗 𝜽 = 2 𝛺0 (1 − 𝑘2 ) 𝑟 2 − 𝛺0 𝑘2 𝑅2 1 − 𝑘2 1 𝑟 𝒗 𝜽 = 𝑟 𝛺0 (1 − 𝑘2 ) − 𝛺0 𝑘2 𝑅2 (1 − 𝑘2 ) 𝑟 Se Integra el Componente θ 0 = 𝜇 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) 0 = 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) ∫ 0 = ∫ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) 𝐶1 = 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2 Despejamos: 𝑟𝐶1 𝑑𝑟 = 𝑑( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2 Integramos por segunda vez: 𝐶1 ∫ 𝑟𝑑𝑟 = ∫ 𝑑( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2 𝐶1 𝑟2 2 + 𝐶3 = 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 + 𝐶4 𝐶1 𝑟2 2 = 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 + 𝐶4 − 𝐶3 𝐶1 𝑟2 2 = 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 Se despeja vθ 𝐶1 𝑟2 2 = 𝑟𝒗 𝜽 + 𝐶2 𝒗 𝜽 = 𝐶1 𝑟2 2𝑟 + 𝐶2 𝑟 𝒗 𝜽 = 𝐶1 𝑟 2 + 𝐶2 𝑟 Condiciones Frontera: 𝑣 𝜃 = 0 ; 𝑟 = 𝑘𝑅 𝑣 𝜃 = 𝛺0 𝑅 ; 𝑟 = 𝑅
  • 6. 𝒗 𝜽 = 𝑟 𝛺0 (1 − 𝑘2 ) − 𝛺0 𝑘2 𝑅2 (1 − 𝑘2 ) 𝑟 𝒗 𝜽 = 𝛺0 𝑅 ( 𝑟 (1 − 𝑘2 )𝑅 − 𝑘2 𝑅 (1 − 𝑘2 ) 𝑟 ) = 𝛺0 𝑅 ( 𝑟2(1 − 𝑘2 ) − (1 − 𝑘2 ) 𝑘2 𝑅2 (1 − 𝑘2 ) 2 𝑅𝑟 ) 𝒗 𝜽 = 𝛺0 𝑅 ( 𝑟2(1 − 𝑘2 ) − (1 − 𝑘2 ) 𝑘2 𝑅2 𝑅𝑟(1 − 𝑘2 ) (1 − 𝑘2 ) 2 𝑅𝑟 𝑅𝑟(1 − 𝑘2 ) ) = 𝛺0 𝑅 ( 𝑟 𝑅 − 𝑘2 𝑅 𝑟 (1 − 𝑘2 ) ) = 𝛺0 𝑅 ( 𝑘2 𝑅 𝑟 − 𝑟 𝑅 ( 𝑘2 − 1) ) 𝒗 𝜽 = 𝛺0 𝑅 ( 𝑘2 𝑅 𝑘𝑟 − 𝑟 𝑘𝑅 ( 𝑘2 − 1 𝑘 ) ) = 𝛺0 𝑅 ( 𝑘𝑅 𝑟 − 𝑟 𝑘𝑅 (𝑘 − 1 𝑘 ) ) Ahora con la tabla 3.4-6 se tiene la distribución del esfuerzo cortante. Se analiza en la tabla, que la velocidad de θ está en función de r. 𝜏 𝑟𝜃 = 𝜏 𝜃𝑟 = −𝜇 [𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑣 𝜃 𝑟 ) + 1 𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 ] 𝜏 𝑟𝜃 = 𝜏 𝜃𝑟 = −𝜇 [𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑣 𝜃 𝑟 ) + 1 𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 ] Se sustituye la Ec. de la velocidad de θ: 𝜏 𝜃𝑟 = −𝜇 [𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝒗 𝜽 𝑟 )] = −𝜇 [ 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝛺0 𝑅 ( 𝑘𝑅 𝑟 − 𝑟 𝑘𝑅 (𝑘 − 1 𝑘 ) ) 𝑟 )] = −𝜇 [𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝛺0 𝑅 ( 𝑘𝑅 𝑟 − 𝑟 𝑘𝑅 ) (𝑘 − 1 𝑘 ) 𝑟 )] 𝜏 𝜃𝑟 = −𝜇 [𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝛺0 𝑅 (𝑘 − 1 𝑘 ) ( 𝑘𝑅 𝑟 − 𝑟 𝑘𝑅 ) 𝑟 )] = −𝜇 [ 𝛺0 𝑅𝑟 (𝑘 − 1 𝑘 ) 𝜕 𝜕𝑟 (( 𝑘𝑅 𝑟2 − 1 𝑘𝑅 ))] 𝜏 𝜃𝑟 = − 𝜇 𝛺0 𝑅𝑟 (𝑘 − 1 𝑘 ) [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑘𝑅 𝑟2 − 1 𝑘𝑅 )] = − 𝜇 𝛺0 𝑅𝑟 (𝑘 − 1 𝑘 ) (−2 𝑘𝑅 𝑟3 − 0) = 2𝜇 𝛺0 𝑅𝑟 (𝑘 − 1 𝑘 ) ( 𝑘𝑅 𝑟3 ) 𝒗 𝜽 = 𝛺0 𝑅 ( 𝑘𝑅 𝑟 − 𝑟 𝑘𝑅 (𝑘 − 1 𝑘 ) ) Ec. 3.5-11 del Bird
  • 7. Reacomodando los términos: 𝜏 𝜃𝑟 = 2𝜇 𝛺0 𝑅2 ( 1 𝑟2 ) 𝑘 (𝑘 − 1 𝑘 ) = 2𝜇 𝛺0 𝑅2 ( 1 𝑟2 ) 𝑘 ( 𝑘 − 1 𝑘 𝑘 ) = 2𝜇 𝛺0 𝑅2 ( 1 𝑟2 ) 𝑘2 𝑘2 − 1 𝜏 𝜃𝑟 = −2𝜇 𝛺0 𝑅2 ( 1 𝑟2 ) 𝑘2 1 − 𝑘2 También puede calcularse fácilmente el par F necesario para hacer girar el eje exterior, como producto de la fuerza por el brazo de palanca: 𝐹 = 2𝜋𝑅𝐿 (−𝜏 𝑟𝜃)| 𝑟=𝑅 𝑅 𝐹 = 2𝜋𝑅𝐿 (2𝜇 𝛺0 𝑅2 ( 1 𝑟2 ) 𝑘2 1 − 𝑘2 ) 𝑅 𝑒𝑛 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑟 = 𝑅 𝐹 = 4𝜋𝜇𝐿𝑅 (2 𝛺0 𝑅2 ( 1 𝑅2) 𝑘2 1 − 𝑘2 ) 𝑅 𝐹 = 4𝜋𝜇𝐿 𝛺0 𝑅2 ( 𝑘2 1 − 𝑘2 ) 𝜏 𝜃𝑟 = −2𝜇 𝛺0 𝑅2 ( 1 𝑟2 ) 𝑘2 1 − 𝑘2 Ec. 3.5-12 del Bird
  • 8. Ejemplo 3.5-2. Forma de la superficie de un líquido que gira. Un fluido de densidad y viscosidad constantes está contenido en un recipiente cilíndrico de radio R, tal como se indica en la siguiente figura. El recipiente rota alrededor de su eje con una velocidad angular Ω. El eje del cilindro es vertical, de forma que gr=g0=0 y gz=-g. Hallar la forma de la superficie libre, una vez alcanzado el estado estacionario. Superficie libre de un líquido que gira, cuya forma es la de un paraboloide de revolución. Este sistema se describe más fácilmente en coordenadas cilíndricas y por lo tanto vamos a utilizar las ecuaciones de variación en este sistema coordenado. Sabemos que en el estado estacionario vr = vz =0 y que la velocidad en la dirección θ es función de r . En este ejercicio tenemos las mismas condiciones que el ejercicio anterior sabemos que la ecuación de continuidad En esta sección haremos uso de las tablas 3.4-1 y 3.4-3 del Bird.
  • 9. De la Tabla 3.4-1 Ecuación de continuidad en distintos sistemas coordenados. Utilizamos la (B) Coordenadas cilíndricas (r,θ,z) 𝜕𝑝 𝑑𝑡 + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝜌𝑟𝑣𝑟) + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝜌𝑣 𝜃) + 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝜌𝑣𝑧) = 0 Aplicando la condición del movimiento circular en estado estacionario tenemos que: 𝜕𝑝 𝑑𝑡 + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝜌𝑟𝑣𝑟) + 1 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝜌𝑣 𝜃) + 𝜕 𝜕𝑧 ( 𝜌𝑣𝑧) = 0 Lo que quiere decir: vθ = constante. Utilizando la tabla 3.4-3 ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS CILINDRICAS (r,θ,z), en función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano. Componente r 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 − 𝑣 𝜃 2 𝑟 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑟 + 𝜇 [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣𝑟)) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝜃2 − 2 𝑟2 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝑟 Componente θ 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑣𝑟 𝑣 𝜃 𝑟 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑧 ) = − 1 𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝜃 + 𝜇 [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝜃2 + 2 𝑟2 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 + 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝜃 Componente z 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑧 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝜃 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝑑𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜇 [ 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣𝑧 𝜕𝜃2 + 𝜕2 𝑣𝑧 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝑧 Se procede a cumplir con las siguientes condiciones: componentes vr y vz de la velocidad son cero y es un régimen permanente: Componente r 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 − 𝑣 𝜃 2 𝑟 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑟 + 𝜇 [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣𝑟)) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝜃2 − 2 𝑟2 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝑟
  • 10. Componente θ 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑣𝑟 𝑣 𝜃 𝑟 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑧 ) = − 1 𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝜃 + 𝜇 [ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝜃2 + 2 𝑟2 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 + 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝜃 Componente z 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑧 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝜃 + 𝑣𝑧 𝜕𝑣𝑧 𝑑𝑧 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜇 [ 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟 𝜕𝑣𝑧 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2 𝜕2 𝑣𝑧 𝜕𝜃2 + 𝜕2 𝑣𝑧 𝜕𝑧2 ] + 𝜌𝑔 𝑧 Tenemos como resultado del análisis de los componentes: Componente r −𝜌 𝑣 𝜃 2 𝑟 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑟 Componente θ 0 = 𝜇 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) Componente z 0 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑧 + 𝜌𝑔 𝑧
  • 11. Sustituyendo estas dos condiciones fronteras en la ecuación de la velocidad en θ: 0 = 𝐶1(0) 2 + 𝐶2 𝑟 … 𝐸𝑐. 1 0 = 𝐶1(0) 2 + 𝐶2 … 𝐸𝑐. 1 𝛺𝑅 = 𝐶1 𝑅 2 + 𝐶2 𝑅 … 𝐸𝑐 2 Con este sistema de dos ecuaciones podemos encontrar C1 y C2: 𝑪 𝟐 = 0 Para la ecuación 2, tenemos: 𝛺𝑅 = 𝑪 𝟏 𝑅 2 + 𝑪 𝟐 𝑅 𝛺𝑅 = 𝑪 𝟏 𝑅 2 + (𝟎) 𝑅 𝑪 𝟏 = 2𝛺𝑅 𝑅 = 2𝛺 Sustituye en la Ec. de la velocidad en θ: 𝒗 𝜽 = 𝐶1 𝑟 2 + 𝐶2 𝑟 𝒗 𝜽 = 2𝛺 𝑟 2 = 𝛺 𝑟 Se Integra el Componente θ 0 = 𝜇 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) 0 = 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) ∫ 0 = ∫ 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃)) 𝐶1 = 1 𝑟 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2 Despejamos: 𝑟𝐶1 𝑑𝑟 = 𝑑( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2 Integramos por segunda vez: 𝐶1 ∫ 𝑟𝑑𝑟 = ∫ 𝑑( 𝑟𝑣 𝜃) + 𝐶2 𝐶1 𝑟2 2 + 𝐶3 = 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 + 𝐶4 𝐶1 𝑟2 2 = 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 + 𝐶4 − 𝐶3 𝐶1 𝑟2 2 = 𝑟𝑣 𝜃 + 𝐶2 Se despeja vθ 𝐶1 𝑟2 2 = 𝑟𝒗 𝜽 + 𝐶2 𝒗 𝜽 = 𝐶1 𝑟2 2𝑟 + 𝐶2 𝑟 𝒗 𝜽 = 𝐶1 𝑟 2 + 𝐶2 𝑟 Condiciones Frontera: 𝑣 𝜃 = 0 ; 𝑟 = 0 𝑣 𝜃 = 𝛺𝑅 ; 𝑟 = 𝑅 𝒗 𝜽 = 𝛺 𝑟 Ec. 3.5-19 del Bird
  • 12. Como p=p(r,z) 𝑑𝑝 = ( 𝜕𝑝 𝜕𝑟 ) 𝑧 𝑑𝑟 + ( 𝜕𝑝 𝜕𝑧 ) 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑝 = ( 𝜕𝑝 𝜕𝑟 ) 𝑧 𝑑𝑟 + ( 𝜕𝑝 𝜕𝑧 ) 𝑟 𝑑𝑧 𝑑𝑝 = 𝜌𝛺2 𝑟 𝑑𝑟 − 𝜌𝑔 𝑑𝑧 ∫ 𝑑𝑝 = 𝜌𝛺2 ∫ 𝑟𝑑𝑟 − 𝜌𝑔 ∫ 𝑑𝑧 𝑝 = 𝜌𝛺2 𝑟2 2 − 𝜌𝑔𝑧 + 𝑐 𝑧 = 𝑧0 , 𝑝 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 , 𝑟 = 0 𝑐 = 𝑝 𝑎𝑡𝑚 + 𝜌𝑔𝑧0 𝑝 = 𝜌𝛺2 𝑟2 2 − 𝜌𝑔𝑧 + 𝑐 𝑝 = 𝜌𝛺2 𝑟2 2 − 𝜌𝑔(𝑧 − 𝑧0) + 𝑝 𝑎𝑡𝑚 𝑝 − 𝑝 𝑎𝑡𝑚 = 𝜌𝛺2 𝑟2 2 − 𝜌𝑔(𝑧 − 𝑧0) En la superficie p=patm 0 = 𝜌𝛺2 𝑟2 2 − 𝜌𝑔(𝑧 − 𝑧0) 0 = 𝛺2 𝑟2 2 − 𝑔(𝑧 − 𝑧0) Despejamos: 𝑧 − 𝑧0 = 𝛺2 𝑟2 2𝑔 𝜕𝑝 𝜕𝑟 = 𝜌𝛺2 𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝑧 = −𝜌𝑔 𝑧 − 𝑧0 = ( 𝛺2 2𝑔 ) 𝑟2 Ec. 3.5-27 del Bird
  • 13. Ejemplo 3.5-3. Relaciones del par y distribución de velocidad en el viscosímetro de plato y cono. El viscosímetro de plato y cono, que se representa esquemáticamente en la siguiente figura consta esencialmente de una lámina plana estacionaria. Sobre la que se coloca el líquido o pasta a ensayar, y un cono invertido, que se introduce en la substancia problema hasta que la punta toca a la lámina. El cono se hace girar a una velocidad angular conocida Ω, y la viscosidad del fluido se determina midiendo el par que se necesita para hacer girar el cono. En la práctica, el ángulo θ0, comprendido entre las superficies cónica y plana, es muy pequeño, del orden de medio grado. Este tipo de aparato presenta algunas ventajas importantes, especialmente en el caso de fluidos no-newtonianos. a. Solamente es importante el componente del esfuerzo 𝜏 𝜃∅. b. El valor de 𝜏 𝜃∅ es muy aproximadamente constante en todo el fluido. c. Los efectos finales pueden eliminarse casi totalmente. Corte del viscosímetro de plato y cono. Analizar el sistema de la siguiente forma: (i) Demostrar que solamente es importante 𝜏 𝜃𝜙 (ii) determinar 𝜏 𝜃𝜙 en función r y 𝜃
  • 14. (iii) Utilizar los resultados de (i) e (ii) con el fin de determinar 𝑣 𝜙(𝑟, 𝜃) para el flujo estacionario de un fluido newtoniano con 𝜌 y μ constantes (esta expresión deberá contener el par ℱ) (iv) Obtener otra expresión para 𝑣 𝜙(𝑟, 𝜃) que contenga la velocidad angular en vez del par. En esta sección haremos uso de las tablas 3.4-1 y 3.4-3 del Bird. De la Tabla 3.4-1 Ecuación de continuidad en distintos sistemas coordenados. Utilizamos la (C) Coordenadas cilíndricas (r,θ,𝜙): 𝜕𝑝 𝑑𝑡 + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝜌𝑟2 𝑣𝑟) + 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝜌𝑣 𝜃 sin 𝜃) + 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜙 (𝜌𝑣 𝜙) = 0 𝒗 𝜽 = 𝒗 𝒓 = 𝟎 ; 𝒗 𝝓 𝒆𝒔 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒓 𝒚 𝜽 , en estado estacionario. 𝜕𝑝 𝑑𝑡 + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝜌𝑟2 𝑣𝑟) + 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝜌𝑣 𝜃 sin 𝜃) + 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜙 (𝜌𝑣 𝜙) = 0 𝜕𝑝 𝑑𝑡 + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 ( 𝜌𝑟2 𝑣𝑟) + 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝜌𝑣 𝜃 sin 𝜃) + 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜙 (𝜌𝑣 𝜙) = 0 0 = 0 Lo que quiere decir: 𝑣 𝜙 = constante. Utilizando la tabla 3.4-4 ECUACION DE MOVIMIENTO EN COORDENADAS ESFERICAS (r,θ,𝜙), en función de los gradientes de velocidad para un fluido newtoniano. Componente r 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 + 𝑣 𝜙 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜙 − 𝑣 𝜃 2 + 𝑣 𝜙 2 𝑟 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑟 + 𝜇 [ 1 𝑟2 𝜕2 𝜕𝑟2 (𝑟2 𝑣𝑟) + 1 𝑟2 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 ) + 1 𝑟2 sin2 𝜃 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝜙2 ] + 𝜌𝑔 𝑟 A pesar que se tiene una velocidad en 𝜙, en la figura se especifica que es función de r no de θ
  • 15. Componente θ 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑣 𝜙 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜙 − 𝑣𝑟 𝑣 𝜃 − 𝑣 𝜙 2 cot 𝜃 𝑟 ) = − 1 𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝜃 + 𝜇 [ 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝜃 ( 1 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (𝑣 𝜃 sin 𝜃)) + 1 𝑟2 sin2 𝜃 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝜙2 + 2 𝑟2 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 − 2 𝑟2 cot 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜙 ] + 𝜌𝑔 𝜃 Componente 𝝓 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜙 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜃 + 𝑣 𝜙 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜙 − 𝑣𝑟 𝑣 𝜙 + 𝑣 𝜃 𝑣 𝜙 cot 𝜃 𝑟 ) = − 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑝 𝜕𝜙 + 𝜇 [ 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝜃 ( 1 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (𝑣 𝜙 sin 𝜃)) + 1 𝑟2 sin2 𝜃 𝜕2 𝑣 𝜙 𝜕𝜙2 + 2 𝑟2 sin 𝜃 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜙 + 2 𝑟2 cot 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜙 ] + 𝜌𝑔 𝜙 Se procede a cumplir con las siguientes condiciones: componentes vr y vθ de la velocidad son cero, 𝑣 𝜙 = 𝑣 𝜙(𝑟, 𝜃), y es un régimen permanente: Componente r 𝜌 ( 𝜕𝑣𝑟 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 + 𝑣 𝜙 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜙 − 𝑣 𝜃 2 + 𝑣 𝜙 2 𝑟 ) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑟 + 𝜇 [ 1 𝑟2 𝜕2 𝜕𝑟2 (𝑟2 𝑣𝑟) + 1 𝑟2 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (sin 𝜃 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 ) + 1 𝑟2 sin2 𝜃 𝜕2 𝑣𝑟 𝜕𝜙2 ] + 𝜌𝑔 𝑟 Componente θ 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜃 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜃 + 𝑣 𝜙 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜙 − 𝑣𝑟 𝑣 𝜃 − 𝑣 𝜙 2 cot 𝜃 𝑟 ) = − 1 𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝜃 + 𝜇 [ 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝜃 ( 1 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (𝑣 𝜃 sin 𝜃)) + 1 𝑟2 sin2 𝜃 𝜕2 𝑣 𝜃 𝜕𝜙2 + 2 𝑟2 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜃 − 2 𝑟2 cot 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜙 ] + 𝜌𝑔 𝜃
  • 16. Componente 𝝓 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜙 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜃 + 𝑣 𝜙 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜙 − 𝑣𝑟 𝑣 𝜙 + 𝑣 𝜃 𝑣 𝜙 cot 𝜃 𝑟 ) = − 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑝 𝜕𝜙 + 𝜇 [ 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝜃 ( 1 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (𝑣 𝜙 sin 𝜃)) + 1 𝑟2 sin2 𝜃 𝜕2 𝑣 𝜙 𝜕𝜙2 + 2 𝑟2 sin 𝜃 𝜕𝑣𝑟 𝜕𝜙 + 2 𝑟2 cot 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜙 ] + 𝜌𝑔 𝜙 Reduciendo términos: Componente r −𝜌 𝑣 𝜙 2 𝑟 = − 𝜕𝑝 𝜕𝑟 Componente θ −𝜌 cot 𝜃 ( 𝑣 𝜙 2 𝑟 ) = − 1 𝑟 𝜕𝑝 𝜕𝜃 Componente 𝝓 0 = − 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑝 𝜕𝜙 + 𝜇 [ 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝜃 ( 1 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (𝑣 𝜙 sin 𝜃)) ] 𝑣 𝜙 = 𝑟 𝑓(𝜃) → 𝑣 𝜙 𝑟 = 𝑓(𝜃) 𝜏 𝑟𝜙 = 0 Condiciones Frontera: 𝑣 𝜙 = 𝛺𝑅 cos 𝜃0 ; 𝜃 = 𝜃1 𝑣 𝜙 = 𝛺𝑅 cos 𝜃0 ; 𝜃 = 𝜋 2
  • 17. INCISO ii) Componente 𝝓 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜙 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜃 + 𝑣 𝜙 𝑟 sen 𝜃 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜙 − 𝑣𝑟 𝑣 𝜙 + 𝑣 𝜃 𝑣 𝜙 cot 𝜃 𝑟 ) = − 1 𝑟 sen 𝜃 𝜕𝑝 𝜕𝜙 − ( 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜏 𝑟𝜙) + 1 𝑟 𝜕𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜃 + 1 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝑧 𝜙𝜙 𝜕𝜙 + 𝜏 𝑟𝜙 𝑟 + 2𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑟 𝜏 𝜃𝜙) + 𝜌𝑔 𝜙 Componente 𝝓 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜙 𝑑𝑡 + 𝑣𝑟 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝑟 + 𝑣 𝜃 𝑟 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜃 + 𝑣 𝜙 𝑟 sen 𝜃 𝜕𝑣 𝜙 𝜕𝜙 − 𝑣𝑟 𝑣 𝜙 + 𝑣 𝜃 𝑣 𝜙 cot 𝜃 𝑟 ) = − 1 𝑟 sen 𝜃 𝜕𝑝 𝜕𝜙 − ( 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜏 𝑟𝜙) + 1 𝑟 𝜕𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜃 + 1 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜕𝑧 𝜙𝜙 𝜕𝜙 + 𝜏 𝑟𝜙 𝑟 + 2𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑟 𝜏 𝜃𝜙) + 𝜌𝑔 𝜙 Componente 𝝓 0 = 1 𝑟 𝜕𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜃 + 2𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑟 𝜏 𝜃𝜙 0 = 1 𝑟 𝜕𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜃 + 2𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑟 𝜏 𝜃𝜙 Reacomodando términos en la ecuación diferencial: 1 𝑟 𝜕𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜃 = − 2𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑟 𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜃 = − 𝑟2𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑟 𝜏 𝜃𝜙 = −2𝑐𝑜𝑡𝜃𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜃 = −2𝑐𝑜𝑡𝜃𝜏 𝜃𝜙 𝜕𝜏 𝜃𝜙 𝜏 𝜃𝜙 = −2𝑐𝑜𝑡𝜃𝜕𝜃 Integrando: ∫ 𝑑𝜏 𝜃𝜙 𝜏 𝜃𝜙 = ∫ −2 𝑐𝑜𝑡 𝜃 𝑑𝜃 ∫ 𝑑𝜏 𝜃𝜙 𝜏 𝜃𝜙 = −2 ∫ cot 𝜃 𝑑𝜃
  • 18. En este caso utilizaremos las siguientes fórmulas de integración para cada una de las partes: ∫ 𝑑𝜏 𝜃𝜙 𝜏 𝜃𝜙 = −2 ∫ cot 𝜃 𝑑𝜃 Aplicando las formulas anteriores tenemos: ln 𝜏 𝜃𝜙 + 𝑐 = −2 ∫ cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃 Aplicando la integración por sustitución ln 𝜏 𝜃𝜙 = −2 ∫ cos 𝜃 𝑢 𝑑𝜃 → 𝑢 = sin 𝜃 ; 𝑑𝑢 = cos 𝜃 𝑑𝜃 ln 𝜏 𝜃𝜙 = −2 ∫ 𝑑𝑢 𝑢 El resultado de la integración es: ln 𝜏 𝜃𝜙 = −2 ln(sin 𝜃 ) + 𝐶1 𝜏 𝜃𝜙 = 𝑒(−2 ln(sin 𝜃 )+ 𝐶1) Por propiedades de los exponentes 𝜏 𝜃𝜙 = 𝑒−2 ln(sin 𝜃 ) 𝑒 𝐶1 𝜏 𝜃𝜙 = (sin 𝜃 )−2 𝐶1 𝜏 𝜃𝜙 = 𝐶1 sin2 𝜃 Ahora si podemos continuar con el análisis manipulando al tensor de esfuerzo 𝜏 𝜃𝜙 con las variables originales, 𝜃. La condición límite es que: ∫ 𝑑𝑥 𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 Identidad trigonométrica: cot 𝜃 = cos 𝜃 sin 𝜃 ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
  • 19. 𝜃 = 𝜋 2 𝑒𝑙 𝑝𝑎𝑟 𝓕 = 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐 el tensor de esfuerzo 𝜏 𝜃𝜙 por el área diferencial 𝒓𝒅𝒓𝒅𝝓 y por el brazo de la palanca 𝒓 dℱ = 𝜏 𝜃𝜙| 𝜃=𝜋/2 𝒓𝒅𝒓𝒅𝝓 𝒓 dℱ = 𝜏 𝜃𝜙| 𝜃=𝜋/2 𝒓 𝟐 𝒅𝒓𝒅𝝓 ∫ dℱ = ∬𝜏 𝜃𝜙| 𝜃=𝜋/2 𝒓 𝟐 𝒅𝒓𝒅𝝓 Esta integración se llevará a cabo entre los límites de nuestro sistema, es decir: 0 ≤ 𝜙 ≤ 2𝜋 ; 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑅 Entonces la integral doble se lleva a cabo como: ∫ dℱ = ∫ ∫ 𝜏 𝜃𝜙| 𝜃=𝜋/2 𝒓 𝟐 𝒅𝒓𝒅𝝓 R 0 2π 0 Resolviendo ℱ = ∫ ∫ 𝐶1 sin2 𝜋 2 𝒓 𝟐 𝒅𝒓𝒅𝝓 R 0 2π 0 ℱ = ∫ 𝐶1 sin2 𝜋 2 𝑅3 3 𝒅𝝓 2π 0 ℱ = 𝐶1 sin2 𝜋 2 𝑅3 3 ∫ 𝒅𝝓 π/2 0 ℱ = 𝐶1 sin2 𝜋 2 𝑅3 3 2𝜋 Es posible expresar este par de torsión en términos del tensor de esfuerzo, para esto despejaremos de un solo lado 𝜏 𝜃𝜙 3ℱ 2𝜋𝑅3 = 𝑪 𝟏 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝝅 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝝅 𝟐 = (sin 𝜋 2 ) 2 = 1 𝑪 𝟏 = 3ℱ 2𝜋𝑅3
  • 20. Sustituimos en la ecuación 𝜏 𝜃𝜙 𝜏 𝜃𝜙 = 𝑪 𝟏 sin2 𝜃 → 𝑪 𝟏 = 𝜏 𝜃𝜙 sin2 𝜃 Por lo tanto 3ℱ 2𝜋𝑅3 = 𝜏 𝜃𝜙 sin2 𝜃 Finalmente 𝜏 𝜃𝜙 = 3ℱ 2𝜋𝑅3 sin2 𝜃 INCISO iii) 𝜏 𝜃𝜙 = −𝜇 [ sin 𝜃 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝑣 𝜙 sin 𝜃 ) + 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜙 ] Sustituyendo en el tensor: 3ℱ 2𝜋𝑅3 sin2 𝜃 = −𝜇 [ sin 𝜃 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝑣 𝜙 sin 𝜃 ) + 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜙 ] Eliminando algunos términos como: 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜙 = 0 3ℱ 2𝜋𝑅3 sin2 𝜃 = −𝜇 [ sin 𝜃 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝑣 𝜙 sin 𝜃 ) + 1 𝑟 sin 𝜃 𝜕𝑣 𝜃 𝜕𝜙 ] Resulta en: 3ℱ 2𝜋𝑅3 sin2 𝜃 = −𝜇 sin 𝜃 𝑟 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝑣 𝜙 sin 𝜃 ) Como el término de velocidad angular que se va a manejar es 𝑣 𝜙/𝑟 entonces: 3ℱ 2𝜋𝑅3 sin2 𝜃 = −𝜇 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 ) Separando variables e integrando, se obtiene la distribución de velocidad angular, es decir, hay que integrar la expresión anterior para obtener una función de 𝑣 𝜙/𝑟 , esto se obtendrá despejando la ecuación: 3ℱ 2𝜋𝑅3 sin2 𝜃 = −𝜇 sin 𝜃 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 ) −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 sin3 𝜃 = 𝜕 𝜕𝜃 ( 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 ) 𝜏 𝜃𝜙 = 3ℱ 2𝜋𝑅3 sin2 𝜃 Ec. 3.5-32 del Bird
  • 21. 𝜕 ( 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 ) = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 sin3 𝜃 𝜕𝜃 𝜕 ( 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 ) = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 𝜕𝜃 sin3 𝜃 ∫ 𝜕 ( 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 ) = ∫ −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 𝜕𝜃 sin3 𝜃 Algunos términos son independientes de 𝜃 por lo que salen del término de la integral ∫ 𝜕 ( 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 ) = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 ∫ 𝜕𝜃 sin3 𝜃 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 ∫ 𝜕𝜃 sin3 𝜃 Debido a las igualdades trigonométricas podemos escribir la integral del lado derecho 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 ∫ csc3 𝜃 𝜕𝜃 La fórmula para evaluar al derivada anterior: ∫ csc3 𝜃 𝜕𝜃 = − 1 2 csc 𝜃 cot 𝜃 + 1 2 ln|csc 𝜃 − cot 𝜃| + 𝐶 𝑣 𝜙/𝑟 sin 𝜃 = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 (− 1 2 csc 𝜃 cot 𝜃 + 1 2 ln|csc 𝜃 − cot 𝜃| + 𝐶) Reordenando la ecuación anterior tenemos: 𝑣 𝜙 𝑟 = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 sin 𝜃 (− 1 2 csc 𝜃 cot 𝜃 + 1 2 ln|csc 𝜃 − cot 𝜃| + 𝐶) 𝑣 𝜙 𝑟 = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 sin 𝜃 (− 1 2 csc 𝜃 cot 𝜃 + 1 2 ln|csc 𝜃 − cot 𝜃|) + 𝐶2 Recordando que: csc 𝜃 = 1 sin 𝜃 ; cot 𝜃 = cos 𝜃 sin 𝜃 Tenemos que expresar todos los términos trigonométricos a sus expresiones más sencillas sin 𝜃 y cos 𝜃:
  • 22. 𝑣 𝜙 𝑟 = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 sin 𝜃 (− 1 2 1 sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 + 1 2 ln | 1 sin 𝜃 − cos 𝜃 sin 𝜃 |) + 𝐶2 Llevando a cabo las multiplicaciones llegaremos a: 𝑣 𝜙 𝑟 = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 (− 1 2 1 sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝜃 sin 𝜃 + sin 𝜃 2 ln | 1 sin 𝜃 − cos 𝜃 sin 𝜃 |) + 𝐶2 𝑣 𝜙 𝑟 = −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 (− 1 2 cos 𝜃 sin 𝜃 + sin 𝜃 2 ln | 1 sin 𝜃 − cos 𝜃 sin 𝜃 |) + 𝐶2 Factorizando " 1 2 ": 𝑣 𝜙 𝑟 = (− 1 2 ) −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 ( cos 𝜃 sin 𝜃 − sin 𝜃 ln | 1 sin 𝜃 − cos 𝜃 sin 𝜃 |) + 𝐶2 Simplificando, llevando a cabo la suma de fracciones en el término logarítmico y reescribiendo la función cot 𝜃: 𝑣 𝜙 𝑟 = (− 1 2 ) −3ℱ 𝜇2𝜋𝑅3 (cot 𝜃 − sin 𝜃 ln | 1 − cos 𝜃 sin 𝜃 |) + 𝐶2 𝑣 𝜙 𝑟 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 − sin 𝜃 ln | 1 − cos 𝜃 sin 𝜃 |) + 𝐶2 Por último, antes de llegar a la solución final, haremos uso de la siguiente identidad trigonométrica: sin2 𝜃 + cos2 𝜃 = 1 → sin 𝜃 = √1 − cos2 𝜃 Por lo tanto al sustituir en la expresión anterior: 𝑣 𝜙 𝑟 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 − sin 𝜃 ln | 1 − cos 𝜃 √1 − cos2 𝜃 |) + 𝐶2 También es posible, mediante sencillas manipulaciones algebraicas, expresar el numerador y el denominador del argumento del logaritmo natural como una diferencia de cuadrados: 1 − cos 𝜃 = √1 − cos 𝜃 √1 − cos 𝜃 𝑦 √1 − cos2 𝜃 = √1 − cos 𝜃 √1 + cos 𝜃 Entonces: 𝑣 𝜙 𝑟 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 − sin 𝜃 ln | √1 − cos 𝜃 √1 − cos 𝜃 √1 − cos 𝜃 √1 + cos 𝜃 |) + 𝐶2 Cancelando términos semejantes 𝑣 𝜙 𝑟 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 − sin 𝜃 ln | √1 − cos 𝜃 √1 − cos 𝜃 √1 − cos 𝜃 √1 + cos 𝜃 |) + 𝐶2 𝑣 𝜙 𝑟 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 − sin 𝜃 ln | √1 − cos 𝜃 √1 + cos 𝜃 |) + 𝐶2
  • 23. Por propiedades de los logaritmos es posible escribir el exponente del argumento como coeficiente del término logaritmo. El signo negativo servirá para invertir el numerador y denominador 𝑣 𝜙 𝑟 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 + sin 𝜃 ln | 1 + cos 𝜃 1 − cos 𝜃 | 1 2 ) + 𝐶2 La constante de integración se calcula a partir de la condición limite que: 𝜃 = 𝜋 2 → 𝑣 𝜙 = 0 Al sustituir estos valores en la ecuación anterior encontraremos el valor de la constante 𝐶2 𝒗 𝝓 𝑟 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜽 + 1 2 sin 𝜽 ln | 1 + cos 𝜽 1 − cos 𝜽 |) + 𝐶2 𝟎 𝑟 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝝅 𝟐 + 1 2 sin 𝝅 𝟐 ln | 1 + cos 𝝅 𝟐 1 − cos 𝝅 𝟐 |) + 𝐶2 De la geométrica encontramos que: cos 𝝅 𝟐 = 0 𝑦 sin 𝝅 𝟐 = 1 Entonces: 𝟎 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (𝟎 + 1 2 ln | 1 1 |) + 𝐶2 𝟎 = 1 2 ( 𝟎) + 𝐶2 𝐶2 = 0 Entonces al final concluimos que 𝑣 𝜙 𝑟 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 + 1 2 sin 𝜃 ln | 1 + cos 𝜃 1 − cos 𝜃 |) INCISO iv) Podemos escribir ahora la ecuación anterior para 𝑣 𝜙 𝑟 para el caso especial de que 𝜃 = 𝜃1 = 𝜋 2 − 𝜃0 y 𝑣 𝜙 = 𝛺𝑟 sin 𝜃1
  • 24. 𝛺𝒓 sin 𝜽 𝟏 𝒓 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜽 𝟏 + 1 2 sin 𝜽 𝟏 ln | 1 + cos 𝜽 𝟏 1 − cos 𝜽 𝟏 |) 𝛺 sin 𝜽 𝟏 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜽 𝟏 + 1 2 sin 𝜽 𝟏 ln | 1 + cos 𝜽 𝟏 1 − cos 𝜽 𝟏 |) Dividiendo la ecuación anterior por la ecuación para 𝑣 𝜙 𝑟 se obtiene: 𝑣 𝜙 𝑟 𝛺 sin 𝜽 𝟏 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 + 1 2 sin 𝜃 ln | 1 + cos 𝜃 1 − cos 𝜃 |) 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜽 𝟏 + 1 2 sin 𝜽 𝟏 ln | 1 + cos 𝜽 𝟏 1 − cos 𝜽 𝟏 |) Se cancelan los términos semejantes llegaremos a: 𝑣 𝜙 𝑟 𝛺 sin 𝜽 𝟏 = 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜃 + 1 2 sin 𝜃 ln | 1 + cos 𝜃 1 − cos 𝜃 |) 3ℱ 4𝜇𝜋𝑅3 (cot 𝜽 𝟏 + 1 2 sin 𝜽 𝟏 ln | 1 + cos 𝜽 𝟏 1 − cos 𝜽 𝟏 |) Rearreglando 𝑣 𝜙 𝑟 = 𝛺 sin 𝜽 𝟏 (cot 𝜃 + 1 2 sin 𝜃 ln | 1 + cos 𝜃 1 − cos 𝜃 |) (cot 𝜽 𝟏 + 1 2 sin 𝜽 𝟏 ln | 1 + cos 𝜽 𝟏 1 − cos 𝜽 𝟏 |) Para valores de 𝜃 𝑦 𝜽 𝟏 prácticamente iguales 𝜋 2 : 𝑣 𝜙 𝑟 = 𝛺 cos 𝜃 cos 𝜽 𝟏 = 𝛺 ( 𝜋 2 − 𝜃) ( 𝜋 2 − 𝜃1)