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PROBLEMAS 6.1



     1. Sean


A=                         B=                       C=             D=



E=                         F=             G=        H=                    J=


     a) Establezca el tamaño de la matriz:2x3

A es 2 × 3
B es 3 × 3
C es 3 × 2
D es 2 × 2
E es 4 × 4
F es 1 × 2
G es 3 × 1
H es 3 × 3
J es 1 × 1

     b) ¿Cuáles matrices son cuadradas?

Las matrices cuadradas son B, D, E, H y J.

     c) ¿Cuáles matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores?

H y J son matrices triangular superior.
D y J son matrices triangular inferior.

     d) ¿Cuáles son vectores renglón?

F y J son vectores fila.

     e) ¿Cuáles son vector columna?

G y J son vectores columna.
En los problemas 2 a 9 sean




                                    A=       =


    2. ¿Cuáles es el orden de A?

A tiene 4 filas y 4 columnas. Así que el orden de A es 4.


Encuentre las entradas siguientes:

    3. a21
                es 6

    4. a14
                es 6

    5. a32
                es 4

    6. a34
                es 0

    7. a44
                es 0

    8. a55
                A tiene sólo 4 filas y 4 columnas. Así que a55 no existe

    9. ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal?

Las entradas de la diagonal principal son 7, 2, 1, 0.

    10. Escriba la matriz triangular superior de orden 4, dado que todas las entradas que no
        se requiere que sean 0, son iguales a la suma de los subíndices.




    11. Construya una matriz A=           si A es 3 X 5 y   = -2i+3j.
12. Construya una matriz B=          si B es 2 X 2 y    =




    13. Si A=     es de 12 X 10 ¿Cuántas estradas tiene A? Si      =1para i = j y   = 0 para i
        j, encuentre

12 · 10 = 120, por lo que A tiene 120 entradas.
Por,     i = 3 = j, por lo   = 1. Desde el 5 ≠ 2,    = 0.
Por        , i = 10 = j, así    = 1. Desde el 12 ≠ 10,      = 0.

    14. Liste la diagonal principal de




    (a)                                  (b)



    (a) 1, 0, -5, 2
    (b) x, y, z



    15. escriba la matriz cero de orden (a) 4 y (b) 6




    (a)




    (b)
16. Si A es una matriz de 7 X 9, ¿Cuál es el orden de   ?

Si A es 7 x 9, entonces   es de 9 × 7.

En los problemas 17 a 20 encuentre



    17.




    18.




    19.




    20.
21. Sean




A=                     B=                           C=                     D=




     a) ¿Cuáles son matrices diagonales?

A y C son matrices diagonales.

     b) ¿Cuáles son matrices triangulares?

Todas son matrices triangulares

     22. Una matriz es simétrica si   = A. ¿La matriz del problema 19 es simétrica?




Dado que        A, la matriz del problema 19 no es simétrica

     23. Si

                                         A=

Verifique que la propiedad general de que          = A al encontrar   y después de    .
En los problemas 24 a 27 resuelva la ecuación matricial.



    24.            =

2x = 4, y = 6, z = 0, 3w = 7.

x = 2, y = 6, z = 0, w =




    25.            =




6 = 6, 2 = 2, x = 6, 7 = 7, 3y = 2, 2z = 7

x = 6, y = , z =




    26.                 =


Igualando las entradas en la tercera fila y columna tercera da 7 = 8, que no es verdad, no hay
solución.



    27.            =

2x = y, 7 = 7, 7 = 7, y = y

2y = y

y = 0.

2x = y

2x = 0

x=0

x = 0, y = 0
28. Inventario una tienda de abarrotes vendió 125 latas de sopa de tomate, 275 de frijoles y
        400 de atún. Escriba un vector reglón que proporcione el número de artículos vendidos de
        cada tipo. Si cada uno de ellos se vende a $0.95, $1.03, $1.25, respectivamente, escriba esta
        información como vector columna.




    29. Análisis de ventas La compañía Widget presenta sus reportes de ventas mensuales por
        medio de matrices cuyos reglones representan, en orden, el número de modelos regular, de
        lujo y de súper lujo vendidos, en tanto que las columnas proporcionan el número de
        unidades rojas, blancas, azules, y purpuras que se vendieron. Las matrices para Enero (E) y
        Febrero (F) son




                E=                                F=




    (a) En enero, ¿Cuántas unidades de los modelos de súper lujo se vendieron?

La entrada en la fila 3 (súper lujo) y la columna 2 (blanco) es 7.

En enero, 7 modelos blancos de súper lujo fueron vendidos.

    (b) En febrero, ¿Cuántos modelos de lujo azules se vendieron?

La entrada en la fila 2 (de luje) y la columna 3 (azul) es 3.

En febrero, 3 modelos azules de lujo se han vendido.

    (c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares purpuras?

Las entradas en la fila 1 (regular) y la columna 4 (púrpura) dan el número de modelos púrpura
regulares vendidos. Para la entrada E es 2 y para F la entrada es de 4.

Los modelos más habituales púrpura se vendieron en febrero.
(d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en amos meses?

En enero y febrero, los modelos de lujo azules (fila 2, columna 3) vendieron el mismo número de
unidades, 3.

    (e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo?

En enero, un total de

0 + 1 + 3 + 5 = 9 modelos de lujo se han vendido.

En febrero, un total de

2 + 3 + 3 + 2 = 10 modelos de lujo se han vendido.

Así que, en febrero se vendieron más modelos de lujo.

    (f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos?

En enero, un total de

2 + 0 + 2 = 4 reproductores rojas fueron vendidas

En febrero un total de

0 + 2 + 4 = 6 reproductores rojos fueron vendidos.

Así que, en febrero se vendieron más modelos rojos Widgets.

    (g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?

2+6+1+2+0+1+3+5+2+7+9+0 = 38

Sumando todas las entradas de la matriz E se obtiene que un total de 38 modelos fueron vendidos en
enero.



    30. Matriz de insumo-producto Las matrices de insumo-producto desarrolladas por W.W.
        Leotief indica las interrelaciones que existe entre los diferentes sectores de los diferentes
        sectores de una economía durante algún periodo. Un ejemplo hipotético para una economía
        simplificada consiste en la matriz M que se presenta al final de este problema. Los sectores
        consumidores son los mismos que los productores y pueden considerarse como
        manufactura, gobierno, acero, agricultura, domestica, etc. Cada reglón muestra como
        consumen el producto de un sector dado cada uno de los sectores. Por ejemplo, del total de
        la producción de la industria A, se determinaron 50 unidades para la propia industria A, 70
        para la B, 200 para la C y 360 para todos los demás consumidores. La suma de las entradas
        en el reglón 1 -a saber, 680- informa sobre la producción total de A para un periodo dado.
        Cada columna indica la producción de cada sector, que consume un sector dado. Por
        ejemplo, en la producción de 680 unidades, la industria A consume 50 unidades de A, 90 de
B, 120 de C y 420 de todos los productores. Encuentre la suma de las entradas para cada
         columna. Haga lo mismo con cada reglón. ¿Que observa al comparar estos totales?
         Suponga que el sector A aumenta su producción en 20%, es decir, en 136 unidades. Si se
         supone que esto provoca un aumento uniforme del 20% en todos los insumos, ¿en cuántas
         unidades aumentara su producción el sector B? responda la misma pregunta para C y para
         todos los demás productores.



                                                      CONSUMIDORES




  M=




Suma de las Columnas                                Suma de los Reglones

A= 50+90+120+420                                    A= 50+70+200+360

A= 680                                              A= 680



B= 70+30+240+370                                    B= 90+30+270+320

B= 710                                              B= 710



C= 200+270+100+190                                  C= 120+240+100+1050

C= 1510                                             C= 1510



D= 360+320+1050+4960                                D= 420+370+940+4960

D= 6690                                             D= 6690
La cantidad que la industria consume es igual a la cantidad de su producción.

El sector B tiene que aumentar la salida de 20% X 90 = 18 unidades.

El sector C industria tiene que aumentar la producción en 20% X 120 = 24 unidades.

Todos los demás productores tienen que aumentar en 20% X 420 = 84 unidades.

    31. Encuentre los valores de x para los cuales

                                                 =




            =2001

  +2000x-2001=0




                                                      0=0



                                                                    2000x

                                                        +2000x-2001=0




x= 1

x= -2001




x–x=0
                                                      x=1
0=0
                                                      x = -2001
En los problemas 32 y 33 encuentre

   32.




   33.




Programas utilizados:

Algebrator v6.0

Sismas

Universal Math Solver v7.0.0.5

Paginas Utilizadas:

   1. http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix
PROBLEMAS 6.2

En los problemas del 1 al 12, realice las operaciones indicadas:

   1.




   2.
3.




4.
5.




   6. [ 7 7] +66

NO ES DEFINIDA NO TIENE EL MISMO TAMAÑO




   7.




NO ES DEFINIDA NO TIENE EL MISMO TAMAÑO.



   8.
9.




10.

 1    -1      -6   9
 2     0       2   6
 3    -6   -3 1    -2
 4     9       4    5
11.

  1 -5 0     10 0 30
 -2 7 0 +1/5 0 5 0
 4 6 10     5 20 25




 12.

  1 0 0    1 2 0     4 -2 2
3 0 1 0 -3 0 -2 1 - -3 21 -9
  0 0 1   0 0 1    0 1 0




  1 0 0
3 0 1 0 -3
   0 0 1
En los problemas 13 a 24 calcule las matrices requeridas si



A= 2 1          B= -6   -5        C= -2 -1   O= 0   0

     3 -3          2    -3           -3 3      0    0



    13. -B




    14.     - (A - B)



-     2 1          -    -6 -5

      3     3           2    -3
15. 2O




    16. A - B + C

2 1      -        -6       -5       +    -2   -1

3 -3               2 -3                   -3 -3



2   1   + 6            5        +   -2 -1

3 -3         -2        3            -3   -3
17. 3 (2A - 3B)




   18. 0(A + B)

0 2   1    +     -6 -5

  3   -3          2   -3




   19. 3(A - C) + 6

NO ES DEFINIDA
20. A + (C + B)




21. 2B - 3A + 2C




22. 3C - 2B
23. 1/2A - 2(B + 2C)




24. 1/2A - 5(B + C)
En los problemas del 25 a 28, verifique las ecuaciones para las anteriores matrices A, B y
C

   25. 3 (A + B) = 3A + 3B

3(A+B)= 3 -4 -4           -12 -12
                   =
           5 -6          15 -18

3A+3B =    6 3          -18 -15         -12 -12
                                    =
            9 -9 +        6 -9          15 -18

Es Verdad 3 (A+ B) = 3A + 3B

   26. (2 + 3) A = 2A + 3A

(2+3) A = 5A = 10 5
               15 -15

2A + 3A = 4 2 + 6 3 = 10 5
          6 -6  9 -9  15 -15

Es verdad (2+3) A=2A+3A

   27. k1 (k2A)= (k1k2) A

k1 (k2A) = k1    2k2 K2        =    2k1k2    k1k2
                3k2 -3k2            3k1k2   -31k2

(k1k2)A=   2k1k2        k1k2
           3k1k2       -31k2

Es verdad k1 (k2A)= (k1k2) A

   28. K (A-2B+C) = kA-2kB+kC




Es verdad k(A-2B+C)= kA-2kB+kC
En los problemas 29 a 34 sean:

    1 2                1 3        1 0         1     2       -1
A = 0 -1           B = 4 -1    C= 1 2      D= 1     0        2
    7 0


Calcule si es posible, las matrices indicadas

   29. 3A + DT




   30. (B - C)T




   31. 2BT - 3CT




   32. 2B + BT




   33. CT – D



                                       Es imposible Hacer
34. (D - 2AT)T




   35. Exprese la ecuación matricial

  3    -4         2
X 2 -Y 7      = 3 4

Como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo




Su equivalente en ecuación:
     3x+4y = 6
     2x-7y = 12


Multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por -3 y obtenemos

   6x+8y = 12
  -6x+ 21y = -36


Y ahora resolvemos la ecuación y despejamos Y:
29y = -24
y = - 24/29
Despejamos X:
3x = 6(-24/29) = 270/29
X = 90/29
La respuesta es: x = (90/29), y= -24/29
X = 3,10; Y= - 0,83

   36. En forma inversa a la que utilizo en el problema 35, escriba el sistema

         2x-4y= 16
         5x+7y=-3

Como una ecuación matricial




En los problemas 37 a 40 resuelva las ecuaciones matriciales

   37.
         3 x    - 3 -2 = 4      6
           y         4         -2




3x + 6 = 24
3x = 18
x=6

3y – 12 = -8
3y = 4
y = 4/3

Respuesta: x = 6; y = 4/3
38.
    3 x        - 4 7 = -x
       2           -y  2y




3x – 28 = -x
4x = 28
x=7

6 + 4y = 2y
2y = -6
y = -3

Respuesta: x = 7, y = -3

   39.
    2           x     -10
     4 +2       y =   -24
     6          4z     14




2 + 2x = -10
2x = -12
x = -6

4 + 2y = -24
2y = -28
y=-14
6 + 8z = 14
8z = 8
z=1

Respuesta x=-6, y=-14, z=1


   40.
          2    -1             0          10
     x    0 +2 0      +y      2   =       6
          2    6             -5       2x+12-5y


           2x-2       =      10
           2y                  6
         2x+12-5y          2x + 12 - 5y

2x – 2 = 10
2x = 12
x=6

2y = 6
y=3

2x + 12 - 5y = 2x + 12 - 5y.
Se Resuelve por la formula general y se coge las respuestas positivas X y Y.
Entones
x=6, y=3


   41. Producción: Una compañía de partes automotrices fabrica distribuidores, bujías y
       magnetos en dos plantas, I y II. La matriz X representa la producción de las plantas
       para el minorista X, y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para
       el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos
       plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son:

                       I       II                       I    II
                 DIS  30      50             DIS       15    25
              X= BUJ 800      720         Y= BUJ       960    800
                 MAG 25        30            MAG       10       5
L a respuesta es:              45   75
                             1760 1520
                              35   35


     42. Ventas Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía
          de juguetes para tres ciudades en 2003, y sea B la matriz que representa las ventas para
          las mismas ciudades en el año 2005, donde A y B están dadas por

A=       Acción      400 350 150                  B = Acción        380    330 150
         Educativo   450 280 850                      Educativo     460    320 750

Si la compañía compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas que consiguió en el
año 2005, ¿Cuál es el cambio de las ventas entre 2003 y 2006?

2B - A

2 380 330 220 - 400 350 150
  460 320 750   450 280 850

= 2(380) 2(330) 2(220)            -   400 350 150
  2(460) 2(320) 2(750)                450 280 850

= 760 660 440            -    400     350   150
  920 640 1500                450     280   850

L a respuesta es         360 310 290
                         470 360 650
43. Suponga que el precio de los productos A, B y C está dado, en ese orden, por el
        vector de precios
                            P = p1 p2 p3

Si los precios se incrementan en 10%, el vector de los nuevos precios puede obtenerse al
multiplicar P, ¿Por qué escalar?




    44. Demuestre que (A - B)T = AT- BT. (Una pista: Utilice la definición de sustracción y
        las propiedades de la operación de transposición).

(A - B)T= [A + (-1) B]T   Definición de sustracción
= At + [(-1) B]T          Transpuesta y suma
= AT+ (-1) BT             Transpuesta y multiplicación del escalar
= AT – BT                 Definición de sustracción



En los problemas 45 a 47 calcule las matrices dadas si

A = 3 -4 5 B = 1 4 2                 C = -1 1 3
    -2 1 6     4 1 2                      2 6 -6


    45. 4A + 3B

12 -16 20         +   3 12       6
-8   4 24             12 3       6

=   15 -4 26
    4 7 30
46. -3(A + 2B) + C

2B = 2 8 4         A + 2B = 5 4 9           -3(A + 2B) =   -15 -12 -27
     8 2 4                  6 3 10                         -18 -9 -30


-3(A + 2B) + C = -16 -11 -24
                 -16 -3 -36



   47. 2(3C-A)+2B

3C - A = -3 3 9           +      -3 4 -5    =   0 7    4
          6 18 -18                2 -1 -6       8 17 -24

2(3C - A) = 0 14 8
           16 34 -48

2B = 2 8 4
     8 2 4

2(3C - A) + 2B =       2 22 12
                      24 36 -44




Programas Utilizados:

Algebrator 6.0

Universal Math Solver v7.0.0.5

Sismas

Paginas Utilizadas:

   1. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
   2. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php
PROBLEMAS 6.3


         1 3 2                  0 -2 3
Si A = - 2 1 -1           B = - 2 4 -2            y AB = C
         0 4 3                  3 1 -1




               C




Encuentre cada uno de los elementos siguientes:

1. C11 = -12
2. C23 = -7
3. C32 = 19
4. C33 = -11
5. C31 = 1
6. C12 = 4

Si A es de 2x3, B de 3x1, C de 2x5, D de 4x3, E de 3x2 y F de 2x3, encuentre el tamaño
y número de entradas en cada uno de los siguientes ejercicios.

7. AE = 2x2; 4
8. DE = 4x2; 8
9. EC = 3x5; 15
10. DB = 4x1; 4
11. FB = 2x1; 2
12. BC = 3x5; 15
13. EET B = 3x1; 3
14. E (AE) = 3x2; 6
15. E (FB) = 3x1; 3
16. (F+A) B = 2x1; 2
Encuentre la matriz identidad que tiene el orden siguiente:

17. 4



I=




18. 6




I=




Realice las operaciones indicadas en los problemas 19 a 36
-2 1
      26. 1 -4          0 1
                        5 0

No es definida, matriz 1x2 y matriz 3x2
En los problemas 37 a 44 calcule las matrices requeridas si

      1 -2          -2 3 0            -1 1            1 0 0      3 0 0
A=    0 3        B= 1 -4 1       C=    0 3         D= 0 1 1   E= 0 6 0
                                       2 4            1 2 1      0 0 3
   1/3 0 0            1 0 0
F= 0 1/6 0         I= 0 1 0
    0  0 1/2          0 0 1


37. D – 1/3 EI




38. DD




39. 3A – 2 BC
40. B (D+E)




41. 3I – 2/3 FE
42. FE (D-I)




43. (DC) A
44. A (BC)




En los problemas 45 a 58, calcule la matriz requerida si existe, dado que.

   1 -1 0   0 0 -1    1 0     1 0 0    0 0 0
A= 0 0 1 B= 2 -1 0 C= 2 -1 I= 0 1 0 O= 0 0 0
            0 0 2     0 1     0 0 1    0 0 0

45. A2

1 -1 0       1 -1 0
0 0 1        0 0 1

Imposible

46. ATA
47. B3




48. A (BT)2 C
49. (AIC) T




50. AT (2CT)




51. (BAT) T
52. (2B) T




53. (AT CT B)0




54. (2I) 2 -2I2
55. A (I-0)




56. IT O




57. (AB) (AB) T
58. B2 -3B+2I




En los problemas 59 a 61, represente el sistema dado por medio de la multiplicación
de matrices.

    3x – y = 9
59. 2x - 9y = 5




       3x + y + z = 2
60.     x–y+z =4
        5x – y + 2z = 12
2r-s+3t=9
61.   5r-s+2t=5
      3r-2s+2t=11




62. Mensajes secretos, los mensajes secretos pueden encriptarse por medio de un código o
una matriz de codificación. Suponga que tiene el código siguiente:

a b c d e f g h i j k l m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

n o p q r s t u v w x y z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

         1 3
Sea E = 2 4 la matriz de codificación. Entonces es posible codificar un mensaje tomando
cada dos letras para crear una matriz de 2x1 y luego multiplicar cada matriz por E. utilice
este código para encriptar este mensaje. “the/ falcon/ has/ landed”. (el/ halcón/ ha/
aterrizado) de je las diagonales para separar las palabras.




                    =
44, 72, 23/ 34, 37, 50, 48, 66, 38/ 60, 58, 78/ 15, 28, 26, 44, 17, 26.
63. Inventario.- Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición.
Si el valor de un gatito es de $55, el de cada perrito es de $150, y el de cada loro es de $35,
por medio de la multiplicación de matrices, encuentre el valor total del inventario de la
tienda de mascotas.




64. Acciones.- Un agente de bolsa vendió a una cliente 200 acciones de tipo A, 300 tipo B,
500 tipo C y 250 tipo D. los precios por acción de A, B, C, D son $100, $150, $200 y
$300respectivamente. Escriba un vector columna que represente el previo por acción de
cada tipo. Con el uso de la multiplicación de matices, encuentre el costo total de las
acciones.
65. Costo de construcción.- Suponga que el contratista del ejemplo que debe construir
siete casas con estilo rustico, tres con estilo moderno, y cinco con estilo moderno. Con el
uso de la multiplicación de matrices, calcule el costo total de la materia prima.




$828.950,00

66. Costos.- suponga que el contratista del ejemplo 9 desea tomar en cuenta el costo de
transportar la materia prima al lugar de la construcción, así como el costo de la compra.
Imagine que los costos están dados en la matriz siguiente.


        Compra Transporte

        3500 50       Acero
        1500 50       Madera
C=      1000 100      Vidrio
         250  10      Pintura
        3500   0      Mano de Obra

(a) A partir del cálculo RC, encuentre una matriz cuyas entradas proporcionen los
costos de compra y de transporte de los materiales para cada tipo de casa.
(b) Encuentre la matriz QRC, cuya primera entrada proporcione el precio de compra
total, y cuya segunda entrada dé el costo total de transporte.
(c) Sea Z = 1/1 calcule QRCZ, que proporcione el costo total de materiales y
transporte para todas las casas que serán construidas.


QRC (C, T) = 2´957.500     61180




67. Realice los siguientes cálculos para el ejemplo 6.

(a) Calcule la cantidad que cada industria y cada consumidor debe pagar por los
bienes que reciben.
68. Si AB=BA demuestre que (A+B) (A-B)= A2 – B2




69. Demuestre que si


   1 2            2 -3
A= 1 2      y B= -1 3/2

Entonces AB=O. Observe que como ni A ni B son matriz cero, la regla algebraica para los
números reales “si ab=0, entonces alguno de a y b es cero “no se cumple para las matrices.
También puede demostrarse que la ley de cancelación tampoco es cierta para las matrices:
es decir, si AB=AC, entonces no necesariamente es cierto que B = C.
70. Sean D1 y D2 dos matrices diagonales de 3x3. Calcule D1, D2 = D2 D1 y demuestre
que

(a) Tomando D1, D2 como D2 D1 son matrices diagonales




(b) D1 y D2 conmutan, lo que significa que D1, D2= D2, D1

De la parte (a), D1D2 = D2D1. Así, D1 y Conmutar D2. [De hecho, todos los n × n
diagonal
Matrices conmutan.]

En el problema 71 a 74 calcule las matrices requeridas dados que:


    3.2 -4.1 5.1            1.1 4.8         -1.2 1.5
A= -2.6 1.2 6.8         B= -2.3 3.2       C= 2.4 6.2
                           4.6 -1.4
71. A (2B)
                        2.2 9.6
 3.2 -4.1 5.1          -4.6 6.4
-2.6 1.2 6.8            9.2 -2.8




72. -3.1 (CA)

        3.2     -4.1    5.1        -1.2 1.5
  -3.1 -2.6     1.2     6.8         2.4 6.2




-3.1


23.99 -20.83      -12.65
26,16 7.43         -168,63
73. 3CA (-B)




3 (-B)




3

15.53          218.4
-775.125       2272.188
74. C3




                                                                    -1.2    1.5
                                                                   2.4     6.2




Programas Utilizados:

Universal Math Solver v7.0.0.5

Algebrator 6.0

Sismas

Paginas Utilizadas:

   1. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php
   2. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html
   3. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
PROBLEMAS 6.4

Determine si la matriz de los problemas 1 a 6 es reducida o no.

     1 3
1.
     5 0

La primera entrada distinta de cero en la fila 2 no es la derecha de la primera entrada
diferente de cero en la fila 1, por lo tanto, no se reduce.

     1 0 0 3
2.
     0 0 1 2

Reducido, porque está reducida hasta la matriz identidad especial



     1 0 0
3.   0 1 0
     0 0 1

Reducido, porque está reducida hasta la matriz identidad



     1 1
     0 1
4.
     0 0
     0 0

En la fila 2, el primer cero de entrada no se encuentra en la columna 2, pero no todas las otras
entradas en la columna 2 son ceros, por lo tanto, no se reduce.



     0 0 0 0
     0 1 0 0
5.
     0 0 1 0
     0 0 0 0

La primera fila se compone enteramente de ceros y no es debajo de cada fila que contiene un
elemento distinto de cero, por lo tanto, no se reduce.
0 0 1
      1 0 3
6.-
      0 1 5
      0 0 0

La primera entrada distinta de cero de la fila 2 está a la izquierda de la primera entrada distinta de
cero de la fila 1, por lo tanto, no se reduce.

Reduzca la matriz dada en los problemas 7 a 12

      1 3
7.
      4 0




      0    3 0 2
8.
      1   5     0 2




      2 4 6
9. 1      2 3
      1 2 3
2    3
      1     6
10.
      4    8
      1    7




      2    0 3 1
      1     4 2 2
11.
          1 3 1 4
      0     2 1 0
0   0   2
      2   0   3
12.
      0   1 0
      0   4   1
Resuelva los sistemas de los problemas 13 a 26 mediante el método de reducción

13.    2x - 7y = 50
         x + 3y = 10




Asi, ;


14.       x - 3y = -11
         4x + 3y =      9




 Asi


15.      3x + y = 4
         12x + 4y = 2




 La última fila indica 0 = 1, que nunca es verdad, así que no hay solución.
16.    x + 2y - 3z = 0
       -2x - 4y + 6z = 1




La última fila indica que 0 = 1, lo cual nunca es cierto. No hay una solución.




17.      x + 2y + z - 4      =0
       3x        + 2z - 5 = 0




   queda




Por lo tanto,




   donde r es cualquier número real.
18.       x + 3y + 2z - 1 = 0
          x + y + 5z - 10 = 0




      Por lo tanto,




      donde r es cualquier número real.




19.       x1   - 3x2 = 0
          2x1 + 2x2 = 3

          5x1 -   x2 = 1




                                 17
A partir de la tercera fila, 0      que nunca es verdad, así que no existe solución.
                                  4
20.      x1 + 4x2 = 9

         3x1 - x2 = 6

         x1 - x2 = 2




      La última fila indica que 0 = 1, que nunca es verdad. No existe una solución.



21.       x - y -3z = -5

         2x - y -4z = -8

          x + y -z = -1




      Por lo tanto,
22.     x +     y -z = 7

       2x - 3y - 2z = 4

        x - y - 5z = 23




Por lo tanto,



23.




          Por lo tanto,
24.




Por lo tanto,          , donde r es un número real



25.




      Por los tanto,                donde r es cualquier número.
26.




      Por lo tanto,

Resuelva los problemas 27 a 33 con el uso de la reducción de matrices

27.




Sea x = impuesto federal; y = impuestos estatales.

Entonces x = 0,25 (312000 - y); y = 0.10 (312 000 - x).

De manera equivalente,
Por lo tanto x = 72.000; y = 24.000, por lo que el impuesto federal es de $ 72.000 y el
impuesto estatal es de $ 24.000.



28.




Por lo tanto x = 2.500; y = 2000, así que 2.500 unidades de A y 2.000 unidades de B debe
ser vendido.

29.




Sea x = número de unidades de A producida, y = número de unidades de B producido, y
z = número de unidades de C producido, entonces

no. de unidades: x + y + z = 11.000

Costo total: 4x + 5y + 7z + 17.000 = 80.000

Beneficio total: x + 2y + 3z = 25.000
De manera equivalente




Por lo tanto x = 2000, y = 4000, y z = 5000, por lo que 2000 unidades de A, 4000 unidades
de B y 5000 unidades de C debe ser producido.

30.




Sea x = número de escritorios que se producirán en la planta de la Costa Este y el número
de mesas y = a producir en la Costa Oeste de la planta.
Entonces x + y = 800 y = 90x 20.000 95Y + 18.000.
De manera equivalente




Así, la orden de producción es de 400 unidades de la central costa este y 400 unidades en la
planta de la Costa Oeste.
31. Vitaminas Por prescripción del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10
unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir entre
tres marcas de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3
unidades de D y 5 de vitamina E; la marca Y tiene 1,3 y 4 unidades, respectivamente; la
marca Z tiene una unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E.




Sea x = número de píldoras de la marca X, y = número de píldoras de marca Y, y Z =
número de píldoras de marca Z

Teniendo en cuenta los requisitos que la unidad le da al sistema




Donde,
Las únicas soluciones para el problema son

z=4                 z=5                 z=6                  z=7

x=3                 x=2                 x=1                  x=0

y=0                 y=1                 y=2                  y=3



Sus costos respectivos (en centavos) son 15, 23, 31, y 39.

a. Las combinaciones posibles son 3 de X, 4 de Z; 2 de X, de Y 1, 5 de Z; 1 de X, de Y 2, 6
de Z; 3 de Y, 7 de Z.

b. La combinación de 3 X 4 de Z cuesta 15 centavos de dólar al día.

c. La combinación menos costosa es de 3 X, 4 de Z; la más cara es de 3 Y, 7 de Z.



32.




La maquina I está disponible 490 horas, la II durante 310 horas y la III durante 560 horas.
Encuentre cuantas unidades de cada articulo deben producirse para utilixar todo el tiempo
disponible de las máquinas.

Sean x, y, y z son los números de unidades de A, B, y C, respectivamente.
Por lo tanto, 98 unidades de A, 76 unidades de B, y 60 unidades de C debe ser producido.



33.




a.- Sea s, d, y g representan el número de unidades de S, D, y G, respectivamente.
Entonces:
Por lo tanto

s = 5 - r, d = 8 - r, y g = r,

donde r = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Las seis posibles combinaciones están dadas por:




b.- Cómo calcular el costo de cada combinación, nos encontramos con que son 4700, 4600,
4500, 4400, 4300, y 4200 dólares, respectivamente. Comprar 3 unidades de lujo y 5
unidades de Gold Star (s = 0, d = 3, g = 5) minimiza el costo.
Programas Utilizados:

Derive 6

Universal Math Solver v7.0.0.5

Sismas

Paginas utilizadas:

   1. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
   2. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html
PROBLEMAS 6.5

En los problemas 1 al 8 resuelva los sistemas por reduccion de matrices



1. w      + x - y - 9z     = -3

   2 w + 3x + 2y + 15z = 12

   2w + x + 2y + 5z = 8




Siendo:

w = -1+7r

x = 2-5r

y = 4-7r

z = r (donde r es cualquier número real)
2.    2w + x + 10 y + 15z      = -5

     w    - 5x + 2y   + 15z   = -10

     w + x + 6y       + 12z = 9




Siendo:

      51 147
w =     r-
      2    2

      21     27
x =      r
      4      4

          57   199
y =          r
          8     8

z = r (donde r es cualquier número real)
3.    3w - x - 3 y - z = -2

     2w - 2x - 6y - 6z     = -4

     2w - x - 3y - 2z      = -2

     3w + x + 3y + 7 z = 2




Siendo:

w = -s

x = -3r - 4s + 2

y = r

z = s (donde r y s son números reales)
4.       w   + x       + 5z   = 1

     w             6y + 2z    = 1

     w - 3x + 4y - 7z         = 1

             x - y + 3z       = 0




Siendo:

w = -r – 2s +1

x = r - 3s

y = r

z = s (donde r y s son números reales)
5.    w + x + 3y - z = 2

     2w + x + 5y - 2z = 0

     2w - x + 3y - 2z = -8

     3w + 2x+ 8y - 3z = 2

     w       + 2y - z = -2




Siendo:

w = -2r + s – 2

x = -r + 4

y = r

z = s (donde r y s son números reales)
6.    w + x + y + 2z = 4

     2w + x + 2y + 2z = 7

     w + 2x + y + 4z = 5

     3w - 2x + 3y - 4z = 5

     4w - 3x + 4y - 6z = 9




Siendo:

w = -r + 3

x    = -2s + 1

y = r

z = s (donde r y s son números reales)
7.   4x1 - 3x2 + 5x3 - 10x4 + 11x5 = -8

     2x1 + x2 + 5x3              + 3x5 = 6




Siendo:

x1 = -2r + s - 2t

x2 = - r – 2s + t + 4

x3 = r

x4 = s

x5 = t (donde r, s y t son números reales).
8.      x1                  + 3x3 + x4    + 4x5 = 1

                x2     + x3     - 2x4            = 0

       2x1 - 2x2       + 3x3 + 10x4 + 15x5       = 10

       x1 + 2x2 + 3x3            -   2x4 + 2x5   = -2




Siendo:

           72        33
x1 =                    r
           7         7

        18 17
x2 =          r
         7  7

          20 15
x3 =            r
          7   7

        19 16
x4 =          r
         7  7

x5 = r ( donde r es un número real).
Para los problemas 9 a 14, determine si el sistema tiene un número infinita de soluciones o
sólo la solución tribial. No resuelva los sistemas



9.    1,06x + 2,3y - 0,05z = 0

     1,055x - 0,6y + 0,09z      = 0



El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas (2 <3), por lo que hay una infinidad
de soluciones.



10. 3w + 5x - 4y + 2z = 0

     7w - 2x + 9y + 3z = 0



El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas (2 <4), por lo que hay una infinidad
de soluciones.



11. 3x - 4y = 0

     x + 5y = 0

     4x - y = 0

A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 2. Así k = n, por lo que el sistema tiene
sólo la solución trivial.



12. 2x + 3y + 12z = 0

     3x - 2y + 5z = 0

     4x + y + 14z = 0

A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 3. Así k <n, por lo que el sistema tiene
infinitas soluciones.
13. x + y + z = 0

      x       - z = 0

      x - 2y - 5z = 0



A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 3. Así k <n, por lo que el sistema tiene
infinitas soluciones.



14. 3x + 2y - 2z = 0

      2x + 2y - 2z = 0

           - 4y + 5z = 0



A tiene k = 3 filas distintas de cero. Número de incógnitas es n = 3. Así k = n, por lo que el sistema
tiene sólo la solución trivial.

Resuelva cada uno de los siguientes sistemas



  15.




x=0

y=0




16.


                    =

x = 5/2r

y=r
17.




x = -6/5r

y = 8/15r

z=r




18.




            =




x=0

y=0




19.




x=0

y=0
20.




x = 0, y = 0, z = 0



21.




x=r

y = -2r

z=r



22.




x=r

y = -2r

z=r
23.




w = -2r

x = -3r

y=r

z=r
24.




w = -r-5s

x = -r-2s

y=r

z=s




Programas Utilizados:

Derive 6

Sismas

Paginas Utilizadas:

      1. http://www.resolvermatrices.com.ar/
      2. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-algebra.php
      3. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
PROBLEMA 6.6

En los problemas 1 a 18, si la matriz dada es invertible, encuentre su inversa


   1.




           RESPUESTA




   2.




                                                      NO ES INVERSA




   3.




NO ES INVERSA
4.




     RESPUESTA




5.




                 R




6.
RESPUESTA




7.




                 NO ES INVERSA
8.




       NO ES INVERSA


9.



      NO ES INVERSA




10.




11.
NO ES INVERSA




12.




                                  R




13.




                      RESPUESTA
14.




      RESPUESTA




15.




       RESPUESTA
16.




      RESPUESTA


17.




                  RESPUESTA
18.




                    RESPUESTA

       19. Resuelva AX=B si

A-1          yB




20. Resuelva AX =B si


A-1.              Y B=
Para los problemas 21 a 34, si la matriz de coeficientes del sistema es invertible,
resuelva el sistema mediante la inversa. Si no es así, resuelva el sistema por el
método de reducción

      1.




      2.




23.
24.




25.

No es inversa se le hace por el método de reducción




X=-3r+1

Y= r

26.



No es inversa se le realiza por el método de reducción




                                    No tiene solución
27.
28.




X=5

Y=

Z=-




29.
30.
31.




No se puede invertir se lo realiza por el método de reducción


32.


No se puede invertir se lo realiza por el método de reducción




33.
34.
En los problemas 35 y 36 encuentre (I -A)-1 para la matriz A dada.

35. A =




                      RESPUESTA

36. A =




                      RESPUESTA

37. Producción de automóviles Resuelva los problemas siguientes con el uso de la
inversa de la matriz implicada

   a) una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere
      una hora de mano de obra para pintarlo y una hora más para pulirlo; El modelo
      B requiere de una hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos .Por
      cada hora que la línea de ensamblado funciona, existen 100 horas de mano de
      obra disponibles para pintura y 80 horas para pulido ¿Cuántos automóviles de
      cada modelo pueden terminarse cada hora si se utiliza todas las horas de mano
      de obra?
b) Supongamos que cada modelo A requiere 10 partes de tipo 1 y 14 de tipo 2,
        mientras que cada modelo B requiere 7 partes tipo 1 y 10 de tipo 2 .La fabrica
        puede obtener 800 partes tipo 1 y 1130 de tipo 2 cada hora ¿Cuántos
        automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes
        disponibles?




     a)                   MODELO A        MODELO B           DISPONIBILIDAD

Mano de obra pintarlo          1h              1h                 100 h

Mano de obra pulirlo           1h              1h                   80h



X= Nº automóviles de modelo A terminar de pintar

Y= Nº automóviles de modelo B al terminar el pulido

X + y =100

x + y=80


                =                    =


                      =

X=40

Y=60 RESPUESTA



b)         MODELO A           MODELO B       DISPONIBLE

Tipo 1          10               7            800

Tipo 2           14             10            1130

10x + 7y = 800

14x + 10y=1130
X=45

Y=50 RESPUESTA


38. Si A =           donde a, b, c 0, demuestra que



              A-1=




39. (a) Si A y B son matrices invertibles con el mismo orden, demuestre que
(AB)-1 =B-1 A-1 “Una pista: demuestre que (B-1 A -1)(AB)=I




Y utilice el hecho de que la inversa es única” (b) Si

                  A -1 =      y B-1=
Encuentre (AB)-1




Desde una matriz invertible tiene exactamente una inversa, B-1 A-1 es la inversa de AB

b.



40. S i A es invertible, puede demostrarse que (AT)-1= (A-1) T

A=




41. Se dice que una matriz P es ortogonal si P-1 = P T ¿La matriz

P=                               ?




           Si es ortogonal
42. Mensaje secreto Un amigo le ha enviado un mensaje secreto que consiste en
3 matrices reglón de números como sigue

R1 = [33 87 70] R2= [57 133 20] R3= [38 90 33]

Entre los dos han diseñado la siguiente matriz (utilizada por su amigo para
codificar el mensaje):


A=


Para descifrar el mensaje proceda de la manera siguiente

a) Calcule los tres productos matriciales R1A-1, R2A-1 Y R3A-1




b) Suponga que las letras del alfabeto corresponden a los números del 1 al 26,
remplace los números en estas tres matrices por letras y determine el mensaje

No hay solución
43. Inversión .-Un grupo de inversionistas decide invertir $500.0000 en las acciones
de tres compañías .La compañía D vende en $60 cada acción y de la cual se espera un
rendimiento 16% anual .La compañía E vende en $80 cada acción y se espera que su
rendimiento alcance el 12%anual .El precio de las acciones de la compañía F
ascienden $30 y su rendimiento esperado es de 9% anual .El grupo planea comprar
cuatro veces más acciones de la compañía F que de la E .Si la meta del grupo es
13.68% de rendimiento anual ¿Cuántas acciones de cada tipo deben comprar los
inversionista ?

      COMPAÑÍA D      COMPAÑÍA E           COMPAÑÍA F

            60              80                  30

           16%             12%                  9%

60X + 80Y +3Z =50.000

0.16 (60x) + 0.12 (80y) + 0.09 (30z) = 0.1368 (60x+80y+30z)

Z=4y

6x+8y+3z=50.000

9.6x+9.6y+2.7z=8.208x+10.944y+4.104z

 1.392x-1.344y-1.404z=0

 1.392x-1.344y-1.404z=0

   116x – 112y-117z =0




         4y- z =0

6x+      8y+ 3z =50.000

116x-112y-117z=0

4y-z=0
1116R1+R




--        R2=           -




 R3



R2+R3           R2+R3




     R3




- R3 +R1



     -R3+R1



     R2 +R1
RESPUESTA

44. INVERSION.-Los inversionistas del problema 43 deciden probar con una nueva
estrategia de inversión con las mismas compañías .Desean comprar el doble de
acciones de la compañía F que la compañía E, y tiene la meta de 14.52% de
rendimiento anual ¿Cuántas acciones de cada tipo deben comprar?

60x +80y+30z=500.0000

9.6x+9.6y+2.7z=8712x+11.616y+4.356z

0.888x-2016y-1.656z=0

888x-2016y-1656z=0

111x-252y-207z=0

2y-z=0

6x+8y+3z=50.000

111x-252y-207z=0

2y-z=0




 R1
-111R1 +R2




R2+R3




- R2 +R1




             RESPUESTA
Utilice la calculadora graficadora en los problemas 45 y 46 para (a) encontrar A -
1, exprese sus entradas en forma decimal, redondee a dos decimales b) Exprese

las entradas de A-1 en forma fraccionaria, si su calculadora tiene esa capacidad
(precaución para el inciso (b) utilice la matriz A-1 de la calculadora para
convertir las entradas a forma fraccionario: no utilice la matriz de valores
redondeados


45. A =                                              46. A =


a)                                              a)




b)                                            b)




47. Si A =                     , encuentre (I -A)-1, donde i es la matriz identidad

de orden 3 .Redondee las entradas a los dos decimales




(I - A)-1




                       Respuesta
En los problemas 48 y 49 utilice una calculadora gráficadora para resolver el
sistema con el uso de la inversa de la matriz de coeficientes


48.




X=4.78

Y=-1.33

Z=-2.70




49.




W=14.44

X=0.03

Y=-0.80

Z=10.33
Programas Utilizados:

Derive 6

Algebrator 6.0

Matlab

Paginas Utilizadas:

   1.    http://www.resolvermatrices.com.ar/
   2.    http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
   3.    http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html
   4.    http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix
PROGRAMAS UTILIZADOS PARA REALIZAR EL TRABAJO

ALGEBRATOR




Link de descarga:

http://www.mediafire.com/?nyna7iyvvm4n8m3

Videos Tutoriales:

http://es.softmath.com/tutoriales/suma-de-matrices/suma-de-matrices.html

http://es.softmath.com/tutoriales/inversa-de-una-matriz/inversa-de-una-matriz.html

http://es.softmath.com/tutorial.html



DERIVE 6
Link de descarga con crack incluido:

http://www.tusoporte.net/2011/09/derive-61-espanol.html

Video Tutoriales:

http://www.youtube.com/watch?v=tD22tgrGxVk



UNIVERSAL MATH SOLVER




Link de descarga con parche incluido:

http://uploading.com/files/214851ed/universal.math.solver.v7.0.0.5.full.zip/

Video tutoriales:

http://www.youtube.com/watch?v=Xeu5ipJ3zZE

http://www.youtube.com/watch?v=yXxDUQ4gWxk&feature=relmfu
SISMA




Link de descarga:

https://rapidshare.com/#!download|614p1|3171688481|SISMA.rar|3345|0|0

Video Tutorial:

http://www.youtube.com/watch?v=oJVmKhYXXWA&feature=related
MATLAB




Link de descarga:

http://depositfiles.com/files/pvczk0edx

Video Tutoriales:

http://www.youtube.com/watch?v=adoAIiA8118

http://www.youtube.com/watch?v=elEIhoLnJr0&feature=related
PAGINAS UTILIZADAS PARA REALIZAR EL TRABAJO



http://www.resolvermatrices.com.ar/




http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/algebra_combinatorics/matrix/matrix_ad
d_sub_mul.php
http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php




http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html




http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix

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Ejercicios de matrices

  • 1.
  • 2. PROBLEMAS 6.1 1. Sean A= B= C= D= E= F= G= H= J= a) Establezca el tamaño de la matriz:2x3 A es 2 × 3 B es 3 × 3 C es 3 × 2 D es 2 × 2 E es 4 × 4 F es 1 × 2 G es 3 × 1 H es 3 × 3 J es 1 × 1 b) ¿Cuáles matrices son cuadradas? Las matrices cuadradas son B, D, E, H y J. c) ¿Cuáles matrices son triangulares superiores? ¿Triangulares inferiores? H y J son matrices triangular superior. D y J son matrices triangular inferior. d) ¿Cuáles son vectores renglón? F y J son vectores fila. e) ¿Cuáles son vector columna? G y J son vectores columna.
  • 3. En los problemas 2 a 9 sean A= = 2. ¿Cuáles es el orden de A? A tiene 4 filas y 4 columnas. Así que el orden de A es 4. Encuentre las entradas siguientes: 3. a21 es 6 4. a14 es 6 5. a32 es 4 6. a34 es 0 7. a44 es 0 8. a55 A tiene sólo 4 filas y 4 columnas. Así que a55 no existe 9. ¿Cuáles son las entradas de la diagonal principal? Las entradas de la diagonal principal son 7, 2, 1, 0. 10. Escriba la matriz triangular superior de orden 4, dado que todas las entradas que no se requiere que sean 0, son iguales a la suma de los subíndices. 11. Construya una matriz A= si A es 3 X 5 y = -2i+3j.
  • 4. 12. Construya una matriz B= si B es 2 X 2 y = 13. Si A= es de 12 X 10 ¿Cuántas estradas tiene A? Si =1para i = j y = 0 para i j, encuentre 12 · 10 = 120, por lo que A tiene 120 entradas. Por, i = 3 = j, por lo = 1. Desde el 5 ≠ 2, = 0. Por , i = 10 = j, así = 1. Desde el 12 ≠ 10, = 0. 14. Liste la diagonal principal de (a) (b) (a) 1, 0, -5, 2 (b) x, y, z 15. escriba la matriz cero de orden (a) 4 y (b) 6 (a) (b)
  • 5. 16. Si A es una matriz de 7 X 9, ¿Cuál es el orden de ? Si A es 7 x 9, entonces es de 9 × 7. En los problemas 17 a 20 encuentre 17. 18. 19. 20.
  • 6. 21. Sean A= B= C= D= a) ¿Cuáles son matrices diagonales? A y C son matrices diagonales. b) ¿Cuáles son matrices triangulares? Todas son matrices triangulares 22. Una matriz es simétrica si = A. ¿La matriz del problema 19 es simétrica? Dado que A, la matriz del problema 19 no es simétrica 23. Si A= Verifique que la propiedad general de que = A al encontrar y después de .
  • 7. En los problemas 24 a 27 resuelva la ecuación matricial. 24. = 2x = 4, y = 6, z = 0, 3w = 7. x = 2, y = 6, z = 0, w = 25. = 6 = 6, 2 = 2, x = 6, 7 = 7, 3y = 2, 2z = 7 x = 6, y = , z = 26. = Igualando las entradas en la tercera fila y columna tercera da 7 = 8, que no es verdad, no hay solución. 27. = 2x = y, 7 = 7, 7 = 7, y = y 2y = y y = 0. 2x = y 2x = 0 x=0 x = 0, y = 0
  • 8. 28. Inventario una tienda de abarrotes vendió 125 latas de sopa de tomate, 275 de frijoles y 400 de atún. Escriba un vector reglón que proporcione el número de artículos vendidos de cada tipo. Si cada uno de ellos se vende a $0.95, $1.03, $1.25, respectivamente, escriba esta información como vector columna. 29. Análisis de ventas La compañía Widget presenta sus reportes de ventas mensuales por medio de matrices cuyos reglones representan, en orden, el número de modelos regular, de lujo y de súper lujo vendidos, en tanto que las columnas proporcionan el número de unidades rojas, blancas, azules, y purpuras que se vendieron. Las matrices para Enero (E) y Febrero (F) son E= F= (a) En enero, ¿Cuántas unidades de los modelos de súper lujo se vendieron? La entrada en la fila 3 (súper lujo) y la columna 2 (blanco) es 7. En enero, 7 modelos blancos de súper lujo fueron vendidos. (b) En febrero, ¿Cuántos modelos de lujo azules se vendieron? La entrada en la fila 2 (de luje) y la columna 3 (azul) es 3. En febrero, 3 modelos azules de lujo se han vendido. (c) ¿En qué mes se vendieron más modelos regulares purpuras? Las entradas en la fila 1 (regular) y la columna 4 (púrpura) dan el número de modelos púrpura regulares vendidos. Para la entrada E es 2 y para F la entrada es de 4. Los modelos más habituales púrpura se vendieron en febrero.
  • 9. (d) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades en amos meses? En enero y febrero, los modelos de lujo azules (fila 2, columna 3) vendieron el mismo número de unidades, 3. (e) ¿En qué mes se vendieron más modelos de lujo? En enero, un total de 0 + 1 + 3 + 5 = 9 modelos de lujo se han vendido. En febrero, un total de 2 + 3 + 3 + 2 = 10 modelos de lujo se han vendido. Así que, en febrero se vendieron más modelos de lujo. (f) ¿En qué mes se vendieron más artículos rojos? En enero, un total de 2 + 0 + 2 = 4 reproductores rojas fueron vendidas En febrero un total de 0 + 2 + 4 = 6 reproductores rojos fueron vendidos. Así que, en febrero se vendieron más modelos rojos Widgets. (g) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? 2+6+1+2+0+1+3+5+2+7+9+0 = 38 Sumando todas las entradas de la matriz E se obtiene que un total de 38 modelos fueron vendidos en enero. 30. Matriz de insumo-producto Las matrices de insumo-producto desarrolladas por W.W. Leotief indica las interrelaciones que existe entre los diferentes sectores de los diferentes sectores de una economía durante algún periodo. Un ejemplo hipotético para una economía simplificada consiste en la matriz M que se presenta al final de este problema. Los sectores consumidores son los mismos que los productores y pueden considerarse como manufactura, gobierno, acero, agricultura, domestica, etc. Cada reglón muestra como consumen el producto de un sector dado cada uno de los sectores. Por ejemplo, del total de la producción de la industria A, se determinaron 50 unidades para la propia industria A, 70 para la B, 200 para la C y 360 para todos los demás consumidores. La suma de las entradas en el reglón 1 -a saber, 680- informa sobre la producción total de A para un periodo dado. Cada columna indica la producción de cada sector, que consume un sector dado. Por ejemplo, en la producción de 680 unidades, la industria A consume 50 unidades de A, 90 de
  • 10. B, 120 de C y 420 de todos los productores. Encuentre la suma de las entradas para cada columna. Haga lo mismo con cada reglón. ¿Que observa al comparar estos totales? Suponga que el sector A aumenta su producción en 20%, es decir, en 136 unidades. Si se supone que esto provoca un aumento uniforme del 20% en todos los insumos, ¿en cuántas unidades aumentara su producción el sector B? responda la misma pregunta para C y para todos los demás productores. CONSUMIDORES M= Suma de las Columnas Suma de los Reglones A= 50+90+120+420 A= 50+70+200+360 A= 680 A= 680 B= 70+30+240+370 B= 90+30+270+320 B= 710 B= 710 C= 200+270+100+190 C= 120+240+100+1050 C= 1510 C= 1510 D= 360+320+1050+4960 D= 420+370+940+4960 D= 6690 D= 6690
  • 11. La cantidad que la industria consume es igual a la cantidad de su producción. El sector B tiene que aumentar la salida de 20% X 90 = 18 unidades. El sector C industria tiene que aumentar la producción en 20% X 120 = 24 unidades. Todos los demás productores tienen que aumentar en 20% X 420 = 84 unidades. 31. Encuentre los valores de x para los cuales = =2001 +2000x-2001=0 0=0 2000x +2000x-2001=0 x= 1 x= -2001 x–x=0 x=1 0=0 x = -2001
  • 12. En los problemas 32 y 33 encuentre 32. 33. Programas utilizados: Algebrator v6.0 Sismas Universal Math Solver v7.0.0.5 Paginas Utilizadas: 1. http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix
  • 13. PROBLEMAS 6.2 En los problemas del 1 al 12, realice las operaciones indicadas: 1. 2.
  • 14. 3. 4.
  • 15. 5. 6. [ 7 7] +66 NO ES DEFINIDA NO TIENE EL MISMO TAMAÑO 7. NO ES DEFINIDA NO TIENE EL MISMO TAMAÑO. 8.
  • 16. 9. 10. 1 -1 -6 9 2 0 2 6 3 -6 -3 1 -2 4 9 4 5
  • 17. 11. 1 -5 0 10 0 30 -2 7 0 +1/5 0 5 0 4 6 10 5 20 25 12. 1 0 0 1 2 0 4 -2 2 3 0 1 0 -3 0 -2 1 - -3 21 -9 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 0 1 0 -3 0 0 1
  • 18. En los problemas 13 a 24 calcule las matrices requeridas si A= 2 1 B= -6 -5 C= -2 -1 O= 0 0 3 -3 2 -3 -3 3 0 0 13. -B 14. - (A - B) - 2 1 - -6 -5 3 3 2 -3
  • 19. 15. 2O 16. A - B + C 2 1 - -6 -5 + -2 -1 3 -3 2 -3 -3 -3 2 1 + 6 5 + -2 -1 3 -3 -2 3 -3 -3
  • 20. 17. 3 (2A - 3B) 18. 0(A + B) 0 2 1 + -6 -5 3 -3 2 -3 19. 3(A - C) + 6 NO ES DEFINIDA
  • 21. 20. A + (C + B) 21. 2B - 3A + 2C 22. 3C - 2B
  • 22. 23. 1/2A - 2(B + 2C) 24. 1/2A - 5(B + C)
  • 23. En los problemas del 25 a 28, verifique las ecuaciones para las anteriores matrices A, B y C 25. 3 (A + B) = 3A + 3B 3(A+B)= 3 -4 -4 -12 -12 = 5 -6 15 -18 3A+3B = 6 3 -18 -15 -12 -12 = 9 -9 + 6 -9 15 -18 Es Verdad 3 (A+ B) = 3A + 3B 26. (2 + 3) A = 2A + 3A (2+3) A = 5A = 10 5 15 -15 2A + 3A = 4 2 + 6 3 = 10 5 6 -6 9 -9 15 -15 Es verdad (2+3) A=2A+3A 27. k1 (k2A)= (k1k2) A k1 (k2A) = k1 2k2 K2 = 2k1k2 k1k2 3k2 -3k2 3k1k2 -31k2 (k1k2)A= 2k1k2 k1k2 3k1k2 -31k2 Es verdad k1 (k2A)= (k1k2) A 28. K (A-2B+C) = kA-2kB+kC Es verdad k(A-2B+C)= kA-2kB+kC
  • 24. En los problemas 29 a 34 sean: 1 2 1 3 1 0 1 2 -1 A = 0 -1 B = 4 -1 C= 1 2 D= 1 0 2 7 0 Calcule si es posible, las matrices indicadas 29. 3A + DT 30. (B - C)T 31. 2BT - 3CT 32. 2B + BT 33. CT – D Es imposible Hacer
  • 25. 34. (D - 2AT)T 35. Exprese la ecuación matricial 3 -4 2 X 2 -Y 7 = 3 4 Como un sistema de ecuaciones lineales y resuélvalo Su equivalente en ecuación: 3x+4y = 6 2x-7y = 12 Multiplicar la primera ecuación por 2 y la segunda ecuación por -3 y obtenemos 6x+8y = 12 -6x+ 21y = -36 Y ahora resolvemos la ecuación y despejamos Y: 29y = -24 y = - 24/29
  • 26. Despejamos X: 3x = 6(-24/29) = 270/29 X = 90/29 La respuesta es: x = (90/29), y= -24/29 X = 3,10; Y= - 0,83 36. En forma inversa a la que utilizo en el problema 35, escriba el sistema 2x-4y= 16 5x+7y=-3 Como una ecuación matricial En los problemas 37 a 40 resuelva las ecuaciones matriciales 37. 3 x - 3 -2 = 4 6 y 4 -2 3x + 6 = 24 3x = 18 x=6 3y – 12 = -8 3y = 4 y = 4/3 Respuesta: x = 6; y = 4/3
  • 27. 38. 3 x - 4 7 = -x 2 -y 2y 3x – 28 = -x 4x = 28 x=7 6 + 4y = 2y 2y = -6 y = -3 Respuesta: x = 7, y = -3 39. 2 x -10 4 +2 y = -24 6 4z 14 2 + 2x = -10 2x = -12 x = -6 4 + 2y = -24 2y = -28 y=-14
  • 28. 6 + 8z = 14 8z = 8 z=1 Respuesta x=-6, y=-14, z=1 40. 2 -1 0 10 x 0 +2 0 +y 2 = 6 2 6 -5 2x+12-5y 2x-2 = 10 2y 6 2x+12-5y 2x + 12 - 5y 2x – 2 = 10 2x = 12 x=6 2y = 6 y=3 2x + 12 - 5y = 2x + 12 - 5y. Se Resuelve por la formula general y se coge las respuestas positivas X y Y. Entones x=6, y=3 41. Producción: Una compañía de partes automotrices fabrica distribuidores, bujías y magnetos en dos plantas, I y II. La matriz X representa la producción de las plantas para el minorista X, y la matriz Y representa la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos minoristas. Las matrices X y Y son: I II I II DIS 30 50 DIS 15 25 X= BUJ 800 720 Y= BUJ 960 800 MAG 25 30 MAG 10 5
  • 29. L a respuesta es: 45 75 1760 1520 35 35 42. Ventas Sea A la matriz que representa las ventas (en miles de dólares) de una compañía de juguetes para tres ciudades en 2003, y sea B la matriz que representa las ventas para las mismas ciudades en el año 2005, donde A y B están dadas por A= Acción 400 350 150 B = Acción 380 330 150 Educativo 450 280 850 Educativo 460 320 750 Si la compañía compra un competidor, y en 2006 duplica las ventas que consiguió en el año 2005, ¿Cuál es el cambio de las ventas entre 2003 y 2006? 2B - A 2 380 330 220 - 400 350 150 460 320 750 450 280 850 = 2(380) 2(330) 2(220) - 400 350 150 2(460) 2(320) 2(750) 450 280 850 = 760 660 440 - 400 350 150 920 640 1500 450 280 850 L a respuesta es 360 310 290 470 360 650
  • 30. 43. Suponga que el precio de los productos A, B y C está dado, en ese orden, por el vector de precios P = p1 p2 p3 Si los precios se incrementan en 10%, el vector de los nuevos precios puede obtenerse al multiplicar P, ¿Por qué escalar? 44. Demuestre que (A - B)T = AT- BT. (Una pista: Utilice la definición de sustracción y las propiedades de la operación de transposición). (A - B)T= [A + (-1) B]T Definición de sustracción = At + [(-1) B]T Transpuesta y suma = AT+ (-1) BT Transpuesta y multiplicación del escalar = AT – BT Definición de sustracción En los problemas 45 a 47 calcule las matrices dadas si A = 3 -4 5 B = 1 4 2 C = -1 1 3 -2 1 6 4 1 2 2 6 -6 45. 4A + 3B 12 -16 20 + 3 12 6 -8 4 24 12 3 6 = 15 -4 26 4 7 30
  • 31. 46. -3(A + 2B) + C 2B = 2 8 4 A + 2B = 5 4 9 -3(A + 2B) = -15 -12 -27 8 2 4 6 3 10 -18 -9 -30 -3(A + 2B) + C = -16 -11 -24 -16 -3 -36 47. 2(3C-A)+2B 3C - A = -3 3 9 + -3 4 -5 = 0 7 4 6 18 -18 2 -1 -6 8 17 -24 2(3C - A) = 0 14 8 16 34 -48 2B = 2 8 4 8 2 4 2(3C - A) + 2B = 2 22 12 24 36 -44 Programas Utilizados: Algebrator 6.0 Universal Math Solver v7.0.0.5 Sismas Paginas Utilizadas: 1. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ 2. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php
  • 32. PROBLEMAS 6.3 1 3 2 0 -2 3 Si A = - 2 1 -1 B = - 2 4 -2 y AB = C 0 4 3 3 1 -1 C Encuentre cada uno de los elementos siguientes: 1. C11 = -12 2. C23 = -7 3. C32 = 19 4. C33 = -11 5. C31 = 1 6. C12 = 4 Si A es de 2x3, B de 3x1, C de 2x5, D de 4x3, E de 3x2 y F de 2x3, encuentre el tamaño y número de entradas en cada uno de los siguientes ejercicios. 7. AE = 2x2; 4 8. DE = 4x2; 8 9. EC = 3x5; 15 10. DB = 4x1; 4 11. FB = 2x1; 2 12. BC = 3x5; 15 13. EET B = 3x1; 3 14. E (AE) = 3x2; 6 15. E (FB) = 3x1; 3 16. (F+A) B = 2x1; 2
  • 33. Encuentre la matriz identidad que tiene el orden siguiente: 17. 4 I= 18. 6 I= Realice las operaciones indicadas en los problemas 19 a 36
  • 34.
  • 35.
  • 36. -2 1 26. 1 -4 0 1 5 0 No es definida, matriz 1x2 y matriz 3x2
  • 37.
  • 38.
  • 39.
  • 40. En los problemas 37 a 44 calcule las matrices requeridas si 1 -2 -2 3 0 -1 1 1 0 0 3 0 0 A= 0 3 B= 1 -4 1 C= 0 3 D= 0 1 1 E= 0 6 0 2 4 1 2 1 0 0 3 1/3 0 0 1 0 0 F= 0 1/6 0 I= 0 1 0 0 0 1/2 0 0 1 37. D – 1/3 EI 38. DD 39. 3A – 2 BC
  • 41. 40. B (D+E) 41. 3I – 2/3 FE
  • 43. 44. A (BC) En los problemas 45 a 58, calcule la matriz requerida si existe, dado que. 1 -1 0 0 0 -1 1 0 1 0 0 0 0 0 A= 0 0 1 B= 2 -1 0 C= 2 -1 I= 0 1 0 O= 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 0 45. A2 1 -1 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 1 Imposible 46. ATA
  • 44. 47. B3 48. A (BT)2 C
  • 45. 49. (AIC) T 50. AT (2CT) 51. (BAT) T
  • 46. 52. (2B) T 53. (AT CT B)0 54. (2I) 2 -2I2
  • 47. 55. A (I-0) 56. IT O 57. (AB) (AB) T
  • 48. 58. B2 -3B+2I En los problemas 59 a 61, represente el sistema dado por medio de la multiplicación de matrices. 3x – y = 9 59. 2x - 9y = 5 3x + y + z = 2 60. x–y+z =4 5x – y + 2z = 12
  • 49. 2r-s+3t=9 61. 5r-s+2t=5 3r-2s+2t=11 62. Mensajes secretos, los mensajes secretos pueden encriptarse por medio de un código o una matriz de codificación. Suponga que tiene el código siguiente: a b c d e f g h i j k l m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 n o p q r s t u v w x y z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 3 Sea E = 2 4 la matriz de codificación. Entonces es posible codificar un mensaje tomando cada dos letras para crear una matriz de 2x1 y luego multiplicar cada matriz por E. utilice este código para encriptar este mensaje. “the/ falcon/ has/ landed”. (el/ halcón/ ha/ aterrizado) de je las diagonales para separar las palabras. =
  • 50. 44, 72, 23/ 34, 37, 50, 48, 66, 38/ 60, 58, 78/ 15, 28, 26, 44, 17, 26.
  • 51. 63. Inventario.- Una tienda de mascotas tiene 6 gatitos, 10 perritos y 7 loros en exhibición. Si el valor de un gatito es de $55, el de cada perrito es de $150, y el de cada loro es de $35, por medio de la multiplicación de matrices, encuentre el valor total del inventario de la tienda de mascotas. 64. Acciones.- Un agente de bolsa vendió a una cliente 200 acciones de tipo A, 300 tipo B, 500 tipo C y 250 tipo D. los precios por acción de A, B, C, D son $100, $150, $200 y $300respectivamente. Escriba un vector columna que represente el previo por acción de cada tipo. Con el uso de la multiplicación de matices, encuentre el costo total de las acciones.
  • 52. 65. Costo de construcción.- Suponga que el contratista del ejemplo que debe construir siete casas con estilo rustico, tres con estilo moderno, y cinco con estilo moderno. Con el uso de la multiplicación de matrices, calcule el costo total de la materia prima. $828.950,00 66. Costos.- suponga que el contratista del ejemplo 9 desea tomar en cuenta el costo de transportar la materia prima al lugar de la construcción, así como el costo de la compra. Imagine que los costos están dados en la matriz siguiente. Compra Transporte 3500 50 Acero 1500 50 Madera C= 1000 100 Vidrio 250 10 Pintura 3500 0 Mano de Obra (a) A partir del cálculo RC, encuentre una matriz cuyas entradas proporcionen los costos de compra y de transporte de los materiales para cada tipo de casa.
  • 53. (b) Encuentre la matriz QRC, cuya primera entrada proporcione el precio de compra total, y cuya segunda entrada dé el costo total de transporte.
  • 54. (c) Sea Z = 1/1 calcule QRCZ, que proporcione el costo total de materiales y transporte para todas las casas que serán construidas. QRC (C, T) = 2´957.500 61180 67. Realice los siguientes cálculos para el ejemplo 6. (a) Calcule la cantidad que cada industria y cada consumidor debe pagar por los bienes que reciben.
  • 55. 68. Si AB=BA demuestre que (A+B) (A-B)= A2 – B2 69. Demuestre que si 1 2 2 -3 A= 1 2 y B= -1 3/2 Entonces AB=O. Observe que como ni A ni B son matriz cero, la regla algebraica para los números reales “si ab=0, entonces alguno de a y b es cero “no se cumple para las matrices. También puede demostrarse que la ley de cancelación tampoco es cierta para las matrices: es decir, si AB=AC, entonces no necesariamente es cierto que B = C.
  • 56. 70. Sean D1 y D2 dos matrices diagonales de 3x3. Calcule D1, D2 = D2 D1 y demuestre que (a) Tomando D1, D2 como D2 D1 son matrices diagonales (b) D1 y D2 conmutan, lo que significa que D1, D2= D2, D1 De la parte (a), D1D2 = D2D1. Así, D1 y Conmutar D2. [De hecho, todos los n × n diagonal Matrices conmutan.] En el problema 71 a 74 calcule las matrices requeridas dados que: 3.2 -4.1 5.1 1.1 4.8 -1.2 1.5 A= -2.6 1.2 6.8 B= -2.3 3.2 C= 2.4 6.2 4.6 -1.4
  • 57. 71. A (2B) 2.2 9.6 3.2 -4.1 5.1 -4.6 6.4 -2.6 1.2 6.8 9.2 -2.8 72. -3.1 (CA) 3.2 -4.1 5.1 -1.2 1.5 -3.1 -2.6 1.2 6.8 2.4 6.2 -3.1 23.99 -20.83 -12.65 26,16 7.43 -168,63
  • 58. 73. 3CA (-B) 3 (-B) 3 15.53 218.4 -775.125 2272.188
  • 59. 74. C3 -1.2 1.5 2.4 6.2 Programas Utilizados: Universal Math Solver v7.0.0.5 Algebrator 6.0 Sismas Paginas Utilizadas: 1. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-multiplication.php 2. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html 3. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
  • 60. PROBLEMAS 6.4 Determine si la matriz de los problemas 1 a 6 es reducida o no. 1 3 1. 5 0 La primera entrada distinta de cero en la fila 2 no es la derecha de la primera entrada diferente de cero en la fila 1, por lo tanto, no se reduce. 1 0 0 3 2. 0 0 1 2 Reducido, porque está reducida hasta la matriz identidad especial 1 0 0 3. 0 1 0 0 0 1 Reducido, porque está reducida hasta la matriz identidad 1 1 0 1 4. 0 0 0 0 En la fila 2, el primer cero de entrada no se encuentra en la columna 2, pero no todas las otras entradas en la columna 2 son ceros, por lo tanto, no se reduce. 0 0 0 0 0 1 0 0 5. 0 0 1 0 0 0 0 0 La primera fila se compone enteramente de ceros y no es debajo de cada fila que contiene un elemento distinto de cero, por lo tanto, no se reduce.
  • 61. 0 0 1 1 0 3 6.- 0 1 5 0 0 0 La primera entrada distinta de cero de la fila 2 está a la izquierda de la primera entrada distinta de cero de la fila 1, por lo tanto, no se reduce. Reduzca la matriz dada en los problemas 7 a 12 1 3 7. 4 0 0 3 0 2 8. 1 5 0 2 2 4 6 9. 1 2 3 1 2 3
  • 62. 2 3 1 6 10. 4 8 1 7 2 0 3 1 1 4 2 2 11. 1 3 1 4 0 2 1 0
  • 63. 0 0 2 2 0 3 12. 0 1 0 0 4 1
  • 64. Resuelva los sistemas de los problemas 13 a 26 mediante el método de reducción 13. 2x - 7y = 50 x + 3y = 10 Asi, ; 14. x - 3y = -11 4x + 3y = 9 Asi 15. 3x + y = 4 12x + 4y = 2 La última fila indica 0 = 1, que nunca es verdad, así que no hay solución.
  • 65. 16. x + 2y - 3z = 0 -2x - 4y + 6z = 1 La última fila indica que 0 = 1, lo cual nunca es cierto. No hay una solución. 17. x + 2y + z - 4 =0 3x + 2z - 5 = 0 queda Por lo tanto, donde r es cualquier número real.
  • 66. 18. x + 3y + 2z - 1 = 0 x + y + 5z - 10 = 0 Por lo tanto, donde r es cualquier número real. 19. x1 - 3x2 = 0 2x1 + 2x2 = 3 5x1 - x2 = 1 17 A partir de la tercera fila, 0 que nunca es verdad, así que no existe solución. 4
  • 67. 20. x1 + 4x2 = 9 3x1 - x2 = 6 x1 - x2 = 2 La última fila indica que 0 = 1, que nunca es verdad. No existe una solución. 21. x - y -3z = -5 2x - y -4z = -8 x + y -z = -1 Por lo tanto,
  • 68. 22. x + y -z = 7 2x - 3y - 2z = 4 x - y - 5z = 23 Por lo tanto, 23. Por lo tanto,
  • 69. 24. Por lo tanto, , donde r es un número real 25. Por los tanto, donde r es cualquier número.
  • 70. 26. Por lo tanto, Resuelva los problemas 27 a 33 con el uso de la reducción de matrices 27. Sea x = impuesto federal; y = impuestos estatales. Entonces x = 0,25 (312000 - y); y = 0.10 (312 000 - x). De manera equivalente,
  • 71. Por lo tanto x = 72.000; y = 24.000, por lo que el impuesto federal es de $ 72.000 y el impuesto estatal es de $ 24.000. 28. Por lo tanto x = 2.500; y = 2000, así que 2.500 unidades de A y 2.000 unidades de B debe ser vendido. 29. Sea x = número de unidades de A producida, y = número de unidades de B producido, y z = número de unidades de C producido, entonces no. de unidades: x + y + z = 11.000 Costo total: 4x + 5y + 7z + 17.000 = 80.000 Beneficio total: x + 2y + 3z = 25.000
  • 72. De manera equivalente Por lo tanto x = 2000, y = 4000, y z = 5000, por lo que 2000 unidades de A, 4000 unidades de B y 5000 unidades de C debe ser producido. 30. Sea x = número de escritorios que se producirán en la planta de la Costa Este y el número de mesas y = a producir en la Costa Oeste de la planta. Entonces x + y = 800 y = 90x 20.000 95Y + 18.000. De manera equivalente Así, la orden de producción es de 400 unidades de la central costa este y 400 unidades en la planta de la Costa Oeste.
  • 73. 31. Vitaminas Por prescripción del doctor, cierta persona debe tomar diariamente 10 unidades de vitamina A, 9 unidades de vitamina D y 19 de vitamina E; y puede elegir entre tres marcas de píldoras vitamínicas. La marca X contiene 2 unidades de vitamina A, 3 unidades de D y 5 de vitamina E; la marca Y tiene 1,3 y 4 unidades, respectivamente; la marca Z tiene una unidad de vitamina A, ninguna de vitamina D y 1 de vitamina E. Sea x = número de píldoras de la marca X, y = número de píldoras de marca Y, y Z = número de píldoras de marca Z Teniendo en cuenta los requisitos que la unidad le da al sistema Donde,
  • 74. Las únicas soluciones para el problema son z=4 z=5 z=6 z=7 x=3 x=2 x=1 x=0 y=0 y=1 y=2 y=3 Sus costos respectivos (en centavos) son 15, 23, 31, y 39. a. Las combinaciones posibles son 3 de X, 4 de Z; 2 de X, de Y 1, 5 de Z; 1 de X, de Y 2, 6 de Z; 3 de Y, 7 de Z. b. La combinación de 3 X 4 de Z cuesta 15 centavos de dólar al día. c. La combinación menos costosa es de 3 X, 4 de Z; la más cara es de 3 Y, 7 de Z. 32. La maquina I está disponible 490 horas, la II durante 310 horas y la III durante 560 horas. Encuentre cuantas unidades de cada articulo deben producirse para utilixar todo el tiempo disponible de las máquinas. Sean x, y, y z son los números de unidades de A, B, y C, respectivamente.
  • 75. Por lo tanto, 98 unidades de A, 76 unidades de B, y 60 unidades de C debe ser producido. 33. a.- Sea s, d, y g representan el número de unidades de S, D, y G, respectivamente. Entonces:
  • 76. Por lo tanto s = 5 - r, d = 8 - r, y g = r, donde r = 0, 1, 2, 3, 4, 5. Las seis posibles combinaciones están dadas por: b.- Cómo calcular el costo de cada combinación, nos encontramos con que son 4700, 4600, 4500, 4400, 4300, y 4200 dólares, respectivamente. Comprar 3 unidades de lujo y 5 unidades de Gold Star (s = 0, d = 3, g = 5) minimiza el costo.
  • 77. Programas Utilizados: Derive 6 Universal Math Solver v7.0.0.5 Sismas Paginas utilizadas: 1. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ 2. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html
  • 78. PROBLEMAS 6.5 En los problemas 1 al 8 resuelva los sistemas por reduccion de matrices 1. w + x - y - 9z = -3 2 w + 3x + 2y + 15z = 12 2w + x + 2y + 5z = 8 Siendo: w = -1+7r x = 2-5r y = 4-7r z = r (donde r es cualquier número real)
  • 79. 2. 2w + x + 10 y + 15z = -5 w - 5x + 2y + 15z = -10 w + x + 6y + 12z = 9 Siendo: 51 147 w = r- 2 2 21 27 x = r 4 4 57 199 y = r 8 8 z = r (donde r es cualquier número real)
  • 80. 3. 3w - x - 3 y - z = -2 2w - 2x - 6y - 6z = -4 2w - x - 3y - 2z = -2 3w + x + 3y + 7 z = 2 Siendo: w = -s x = -3r - 4s + 2 y = r z = s (donde r y s son números reales)
  • 81. 4. w + x + 5z = 1 w 6y + 2z = 1 w - 3x + 4y - 7z = 1 x - y + 3z = 0 Siendo: w = -r – 2s +1 x = r - 3s y = r z = s (donde r y s son números reales)
  • 82. 5. w + x + 3y - z = 2 2w + x + 5y - 2z = 0 2w - x + 3y - 2z = -8 3w + 2x+ 8y - 3z = 2 w + 2y - z = -2 Siendo: w = -2r + s – 2 x = -r + 4 y = r z = s (donde r y s son números reales)
  • 83. 6. w + x + y + 2z = 4 2w + x + 2y + 2z = 7 w + 2x + y + 4z = 5 3w - 2x + 3y - 4z = 5 4w - 3x + 4y - 6z = 9 Siendo: w = -r + 3 x = -2s + 1 y = r z = s (donde r y s son números reales)
  • 84. 7. 4x1 - 3x2 + 5x3 - 10x4 + 11x5 = -8 2x1 + x2 + 5x3 + 3x5 = 6 Siendo: x1 = -2r + s - 2t x2 = - r – 2s + t + 4 x3 = r x4 = s x5 = t (donde r, s y t son números reales).
  • 85. 8. x1 + 3x3 + x4 + 4x5 = 1 x2 + x3 - 2x4 = 0 2x1 - 2x2 + 3x3 + 10x4 + 15x5 = 10 x1 + 2x2 + 3x3 - 2x4 + 2x5 = -2 Siendo: 72 33 x1 = r 7 7 18 17 x2 = r 7 7 20 15 x3 = r 7 7 19 16 x4 = r 7 7 x5 = r ( donde r es un número real).
  • 86. Para los problemas 9 a 14, determine si el sistema tiene un número infinita de soluciones o sólo la solución tribial. No resuelva los sistemas 9. 1,06x + 2,3y - 0,05z = 0 1,055x - 0,6y + 0,09z = 0 El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas (2 <3), por lo que hay una infinidad de soluciones. 10. 3w + 5x - 4y + 2z = 0 7w - 2x + 9y + 3z = 0 El sistema es homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas (2 <4), por lo que hay una infinidad de soluciones. 11. 3x - 4y = 0 x + 5y = 0 4x - y = 0 A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 2. Así k = n, por lo que el sistema tiene sólo la solución trivial. 12. 2x + 3y + 12z = 0 3x - 2y + 5z = 0 4x + y + 14z = 0 A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 3. Así k <n, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones.
  • 87. 13. x + y + z = 0 x - z = 0 x - 2y - 5z = 0 A tiene k = 2 filas no nulas. Número de incógnitas es n = 3. Así k <n, por lo que el sistema tiene infinitas soluciones. 14. 3x + 2y - 2z = 0 2x + 2y - 2z = 0 - 4y + 5z = 0 A tiene k = 3 filas distintas de cero. Número de incógnitas es n = 3. Así k = n, por lo que el sistema tiene sólo la solución trivial. Resuelva cada uno de los siguientes sistemas 15. x=0 y=0 16. = x = 5/2r y=r
  • 88. 17. x = -6/5r y = 8/15r z=r 18. = x=0 y=0 19. x=0 y=0
  • 89. 20. x = 0, y = 0, z = 0 21. x=r y = -2r z=r 22. x=r y = -2r z=r
  • 90. 23. w = -2r x = -3r y=r z=r
  • 91. 24. w = -r-5s x = -r-2s y=r z=s Programas Utilizados: Derive 6 Sismas Paginas Utilizadas: 1. http://www.resolvermatrices.com.ar/ 2. http://es.easycalculation.com/matrix/matrix-algebra.php 3. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/
  • 92. PROBLEMA 6.6 En los problemas 1 a 18, si la matriz dada es invertible, encuentre su inversa 1. RESPUESTA 2. NO ES INVERSA 3. NO ES INVERSA
  • 93. 4. RESPUESTA 5. R 6.
  • 94. RESPUESTA 7. NO ES INVERSA
  • 95. 8. NO ES INVERSA 9. NO ES INVERSA 10. 11.
  • 96. NO ES INVERSA 12. R 13. RESPUESTA
  • 97. 14. RESPUESTA 15. RESPUESTA
  • 98. 16. RESPUESTA 17. RESPUESTA
  • 99. 18. RESPUESTA 19. Resuelva AX=B si A-1 yB 20. Resuelva AX =B si A-1. Y B=
  • 100. Para los problemas 21 a 34, si la matriz de coeficientes del sistema es invertible, resuelva el sistema mediante la inversa. Si no es así, resuelva el sistema por el método de reducción 1. 2. 23.
  • 101. 24. 25. No es inversa se le hace por el método de reducción X=-3r+1 Y= r 26. No es inversa se le realiza por el método de reducción No tiene solución
  • 102. 27.
  • 104. 30.
  • 105. 31. No se puede invertir se lo realiza por el método de reducción 32. No se puede invertir se lo realiza por el método de reducción 33.
  • 106. 34.
  • 107.
  • 108. En los problemas 35 y 36 encuentre (I -A)-1 para la matriz A dada. 35. A = RESPUESTA 36. A = RESPUESTA 37. Producción de automóviles Resuelva los problemas siguientes con el uso de la inversa de la matriz implicada a) una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere una hora de mano de obra para pintarlo y una hora más para pulirlo; El modelo B requiere de una hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos .Por cada hora que la línea de ensamblado funciona, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas para pulido ¿Cuántos automóviles de cada modelo pueden terminarse cada hora si se utiliza todas las horas de mano de obra?
  • 109. b) Supongamos que cada modelo A requiere 10 partes de tipo 1 y 14 de tipo 2, mientras que cada modelo B requiere 7 partes tipo 1 y 10 de tipo 2 .La fabrica puede obtener 800 partes tipo 1 y 1130 de tipo 2 cada hora ¿Cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes disponibles? a) MODELO A MODELO B DISPONIBILIDAD Mano de obra pintarlo 1h 1h 100 h Mano de obra pulirlo 1h 1h 80h X= Nº automóviles de modelo A terminar de pintar Y= Nº automóviles de modelo B al terminar el pulido X + y =100 x + y=80 = = = X=40 Y=60 RESPUESTA b) MODELO A MODELO B DISPONIBLE Tipo 1 10 7 800 Tipo 2 14 10 1130 10x + 7y = 800 14x + 10y=1130
  • 110. X=45 Y=50 RESPUESTA 38. Si A = donde a, b, c 0, demuestra que A-1= 39. (a) Si A y B son matrices invertibles con el mismo orden, demuestre que (AB)-1 =B-1 A-1 “Una pista: demuestre que (B-1 A -1)(AB)=I Y utilice el hecho de que la inversa es única” (b) Si A -1 = y B-1=
  • 111. Encuentre (AB)-1 Desde una matriz invertible tiene exactamente una inversa, B-1 A-1 es la inversa de AB b. 40. S i A es invertible, puede demostrarse que (AT)-1= (A-1) T A= 41. Se dice que una matriz P es ortogonal si P-1 = P T ¿La matriz P= ? Si es ortogonal
  • 112. 42. Mensaje secreto Un amigo le ha enviado un mensaje secreto que consiste en 3 matrices reglón de números como sigue R1 = [33 87 70] R2= [57 133 20] R3= [38 90 33] Entre los dos han diseñado la siguiente matriz (utilizada por su amigo para codificar el mensaje): A= Para descifrar el mensaje proceda de la manera siguiente a) Calcule los tres productos matriciales R1A-1, R2A-1 Y R3A-1 b) Suponga que las letras del alfabeto corresponden a los números del 1 al 26, remplace los números en estas tres matrices por letras y determine el mensaje No hay solución
  • 113. 43. Inversión .-Un grupo de inversionistas decide invertir $500.0000 en las acciones de tres compañías .La compañía D vende en $60 cada acción y de la cual se espera un rendimiento 16% anual .La compañía E vende en $80 cada acción y se espera que su rendimiento alcance el 12%anual .El precio de las acciones de la compañía F ascienden $30 y su rendimiento esperado es de 9% anual .El grupo planea comprar cuatro veces más acciones de la compañía F que de la E .Si la meta del grupo es 13.68% de rendimiento anual ¿Cuántas acciones de cada tipo deben comprar los inversionista ? COMPAÑÍA D COMPAÑÍA E COMPAÑÍA F 60 80 30 16% 12% 9% 60X + 80Y +3Z =50.000 0.16 (60x) + 0.12 (80y) + 0.09 (30z) = 0.1368 (60x+80y+30z) Z=4y 6x+8y+3z=50.000 9.6x+9.6y+2.7z=8.208x+10.944y+4.104z 1.392x-1.344y-1.404z=0 1.392x-1.344y-1.404z=0 116x – 112y-117z =0 4y- z =0 6x+ 8y+ 3z =50.000 116x-112y-117z=0 4y-z=0
  • 114. 1116R1+R -- R2= - R3 R2+R3 R2+R3 R3 - R3 +R1 -R3+R1 R2 +R1
  • 115. RESPUESTA 44. INVERSION.-Los inversionistas del problema 43 deciden probar con una nueva estrategia de inversión con las mismas compañías .Desean comprar el doble de acciones de la compañía F que la compañía E, y tiene la meta de 14.52% de rendimiento anual ¿Cuántas acciones de cada tipo deben comprar? 60x +80y+30z=500.0000 9.6x+9.6y+2.7z=8712x+11.616y+4.356z 0.888x-2016y-1.656z=0 888x-2016y-1656z=0 111x-252y-207z=0 2y-z=0 6x+8y+3z=50.000 111x-252y-207z=0 2y-z=0 R1
  • 116. -111R1 +R2 R2+R3 - R2 +R1 RESPUESTA
  • 117. Utilice la calculadora graficadora en los problemas 45 y 46 para (a) encontrar A - 1, exprese sus entradas en forma decimal, redondee a dos decimales b) Exprese las entradas de A-1 en forma fraccionaria, si su calculadora tiene esa capacidad (precaución para el inciso (b) utilice la matriz A-1 de la calculadora para convertir las entradas a forma fraccionario: no utilice la matriz de valores redondeados 45. A = 46. A = a) a) b) b) 47. Si A = , encuentre (I -A)-1, donde i es la matriz identidad de orden 3 .Redondee las entradas a los dos decimales (I - A)-1 Respuesta
  • 118. En los problemas 48 y 49 utilice una calculadora gráficadora para resolver el sistema con el uso de la inversa de la matriz de coeficientes 48. X=4.78 Y=-1.33 Z=-2.70 49. W=14.44 X=0.03 Y=-0.80 Z=10.33
  • 119. Programas Utilizados: Derive 6 Algebrator 6.0 Matlab Paginas Utilizadas: 1. http://www.resolvermatrices.com.ar/ 2. http://herramientas.educa.madrid.org/wiris/ 3. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/matrix.html 4. http://www.wolframalpha.com/input/?i=matrix
  • 120. PROGRAMAS UTILIZADOS PARA REALIZAR EL TRABAJO ALGEBRATOR Link de descarga: http://www.mediafire.com/?nyna7iyvvm4n8m3 Videos Tutoriales: http://es.softmath.com/tutoriales/suma-de-matrices/suma-de-matrices.html http://es.softmath.com/tutoriales/inversa-de-una-matriz/inversa-de-una-matriz.html http://es.softmath.com/tutorial.html DERIVE 6
  • 121. Link de descarga con crack incluido: http://www.tusoporte.net/2011/09/derive-61-espanol.html Video Tutoriales: http://www.youtube.com/watch?v=tD22tgrGxVk UNIVERSAL MATH SOLVER Link de descarga con parche incluido: http://uploading.com/files/214851ed/universal.math.solver.v7.0.0.5.full.zip/ Video tutoriales: http://www.youtube.com/watch?v=Xeu5ipJ3zZE http://www.youtube.com/watch?v=yXxDUQ4gWxk&feature=relmfu
  • 122. SISMA Link de descarga: https://rapidshare.com/#!download|614p1|3171688481|SISMA.rar|3345|0|0 Video Tutorial: http://www.youtube.com/watch?v=oJVmKhYXXWA&feature=related
  • 123. MATLAB Link de descarga: http://depositfiles.com/files/pvczk0edx Video Tutoriales: http://www.youtube.com/watch?v=adoAIiA8118 http://www.youtube.com/watch?v=elEIhoLnJr0&feature=related
  • 124. PAGINAS UTILIZADAS PARA REALIZAR EL TRABAJO http://www.resolvermatrices.com.ar/ http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/algebra_combinatorics/matrix/matrix_ad d_sub_mul.php