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Capitulo I
Matemática I
Objetivo 8. Efectuar problemas que involucren límites de funciones.
Ejercicio 1
Calcula el siguiente límite:
2
2 5
lim
3x
x
x x→∞
−
−
Solución
Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para
conocer la forma indeterminada que enfrentamos:
( ) ( ) ( ) ( )2
2 5 2 5 2 5 5
lim lim
3 3 1 3 1 1x x
x x
x x x x→∞ →∞
− − ×∞ − ∞ − ∞ ∞
= = = = =
− − ∞× ×∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞
NOTA 1: En este caso factorice el denominador para que apreciaras
claramente que la expresión 2
3x x− da como resultado ∞ cuando la variable
crece indefinidamente, es decir, cuando se sustituye x por ∞ .
NOTA 2: Recuerda que
0
0
0 0
0 Forma indeterminada
k
k k
si k
si k
si k
 > → ∞ = ∞

∞ = < → ∞ =
 = → ∞ =
Ojo con
ESTO.
Este límite es una forma indeterminada del tipo:
∞
∞
, por lo tanto para
resolverlo, debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 2
x .
Así:
Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado
2
2 5
lim
3x
x
x x→∞
−
−
Límite original
2
2
2
2 5
lim
3x
x
x
x x
x
→∞
−
−
Se divide tanto el numerador como el
denominador entre el término de
mayor grado, en este caso 2
x
2 2
2
2 2
2 5
lim
3x
x
x x
x x
x x
→∞
−
−
Se aplico la propiedad para las
fracciones de igual denominador, a
saber:
a b a b
c c c
+
= +
2
lim
x
x
→∞
2
x
2
2
5
3
x
x
−
2
x
x
− 2
x
Se procede a simplificar la variable x
2
2 5
lim
1
3
x
x x
x
→∞
−
−
Resultado final de simplificar
2
2 5
1
3
−
∞ ∞
−
∞
A esta altura se sustituye el ∞ en la
variable x . FIJATE que no se escribe
lim
x→∞
después de sustituir.
0 0
3 0
−
−
Todo número dividido entre ∞ es igual
a cero. Además 2
∞ = ∞
0
3
Simple suma algebraica
0
Cero entre cualquier número es cero,
excepto el cero, es decir:
{ }( )
0
0 0k
k
= ∈ −ℝ
Respuesta: 2
2 5
lim 0
3x
x
x x→∞
−
=
−
Ejercicio 2
Dada una función :f D ⊆ →ℝ ℝ definida por
2
3
1
( )
x
f x
x
−
= cuya gráfica es:
Que podemos decir acerca de su lim ( )
x
f x
→∞
Solución
Justificación: Gráficamente se observa que a medida que x crece
indefinidamente, la función se acerca a cero. Para comprobar este hecho,
procedemos a calcular el límite de la función dada, cuyo procedimiento es
idéntico al ejercicio anterior. Primero sustituyamos el valor al cual tiende el
límite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos:
2 2
3 3
1 1 1
lim
x
x
x→∞
− ∞ − ∞ − ∞
= = =
∞ ∞ ∞
Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado
2
3
1
lim
x
x
x→∞
−
Límite original
2
3
3
3
1
lim
x
x
x
x
x
→∞
− Se divide tanto el numerador como el
denominador entre el término de
mayor grado, en este caso 3
x
2
3 3
3
3
1
lim
x
x
x x
x
x
→∞
−
Se aplico la propiedad para las
fracciones de igual denominador, a
saber:
a b a b
c c c
+
= +
2
lim
x
x
→∞
3
x
3
3
1
x
x
−
3
x
Se procede a simplificar la variable x
3
1 1
lim
1x
x x
→∞
−
Resultado final de simplificar
3
1 1
1
−
∞ ∞
A esta altura se sustituye el ∞ en la
variable x . FIJATE que no se escribe
lim
x→∞
después de sustituir.
0 0
1
− Todo número dividido entre ∞ es igual
a cero. Además 3
∞ = ∞
0
1
Simple suma algebraica
0
Cero entre cualquier número es cero,
excepto el cero, es decir:
{ }( )
0
0 0k
k
= ∈ −ℝ
De manera que corroboramos lo ya apreciado en la gráfica.
Respuesta: Podemos decir que la función tiende a anularse a medida
que la variable x crece indefinidamente.
Ejercicio 3
Sea la función
3 2
2
3 4 12
( )
6
x x x
f x
x x
− − +
=
− −
entonces al calcular los límites:
( ) ( )xfxf
x -2x3
limylim
→→
resultan:
. 1 4 . 1 4 . 1 4 . 1 4a y b y c y d y− − − −
Sugerencia: Determine el dominio de la función, y trate de factorizar el
numerador y el denominador para simplificar esta expresión.
Solución
Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para
conocer la forma indeterminada que enfrentamos:
Caso 1 ( )3
lim
x
f x
→
( ) ( )3 23 2
2 23 3
3 3 3 4 3 123 4 12 27 27 12 12 0 0
lim ( ) lim
6 3 3 6 9 3 6 6 6 0x x
x x x
f x
x x→ →
− − +− − + − − +
= = = = =
− − − − − − −
Caso 2 ( )2
lim
x
f x
→−
( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 23 2
222 2
2 3 2 4 2 123 4 12 8 12 8 12 0 0
lim ( ) lim
6 4 2 6 6 6 02 2 6x x
x x x
f x
x x→− →−
− − − − − +− − + − − + +
= = = = =
− − + − −− − − −
NOTA: Debes tener especial cuidado al hacer estos cálculos, si tienes
problemas repasa la clase 2 teórica sobre la regla de los signos.
Por lo tanto en ambos casos, estamos en presencia de la forma
indeterminada
0
0
y como la función dada consta de 2 polinomios, se debe
FACTORIZAR.
Para factorizar tanto en el numerador como en el denominador de la
función dada, procederemos de la siguiente manera:
Numerador de ( )f x
Tenemos el polinomio 3 2
3 4 12x x x− − + , como es de grado 3, aplicamos
Ruffini, claro, lee bien lo que a continuación te diré: PARA NO TANTEAR CON LOS
DIVISORES DEL TÉRMINO INDEPENDIENTE, COMENZAREMOS POR EL
VALOR AL CUAL TIENDE EL LÍMITE, YA QUE EN DICHO VALOR SE ANULA
EL POLINOMIO, ES DECIR, COMENZAREMOS A PROBAR POR 3 Y LUEGO
POR 2− , REPITO PORQUE SABEMOS PREVIAMENTE QUE EL POLINOMIO SE
ANULA EN ESTOS VALORES, POR LO TANTO SON RAÍCES DEL MISMO.
Así tenemos que las raíces del polinomio 3 2
3 4 12x x x− − + son
1 2 3, y 23 2x x x−= = = .
Para factorizar cambiamos el signo de las raíces y escribimos:
( )( )( )3 2
3 4 12 23 2x x x x x x−− − = + −+
Denominador de ( )f x
En este caso tenemos el polinomio 2
6x x− − , como es de grado 2,
podríamos aplicar la resolvente
2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
= , pero, y lee bien lo que a
continuación te diré, nos valdremos de lo siguiente: EN LOS VALORES 3 Y 2− , ESTE
POLINOMIO SE ANULO, POR LO TANTO ESTAS SON LAS RAÍCES, así:
1 2 23,x x = −= , factorizando tenemos:
( )( )2
6 23x x x x− − = +−
Como ya factorizamos ambos miembros de ( )f x , procedemos a
recalcular los límites planteados:
Caso 1 ( )3
lim
x
f x
→
( )( )( )
( )( )
( )3 2
23 3 3
33 2 23 4 12
lim lim lim
6 3 2x x x
xx x xx x x
x x x x→ → →
−− + −− − +
= =
− − − +
( )2x + ( )
( )
2
3
x
x
−
− ( )2x +
( )3
lim 2 3 2 1
x
x
→
= − = − =
Caso 2 ( )2
lim
x
f x
→−
( )( )( )
( )( )
( )3 2
22 2 2
33 2 23 4 12
lim lim lim
6 3 2x x x
xx x xx x x
x x x x→− →− →−
−− + −− − +
= =
− − − +
( )2x + ( )
( )
2
3
x
x
−
− ( )2x +
( )2
lim 2 2 2 4
x
x
→−
= − = − − = −
Respuesta: Como
3
lim ( ) 1
x
f x
→
= y
2
lim ( ) 4
x
f x
→−
= − la opción correcta es la c.
Ejercicio 4
Calcule el valor del límite de la siguiente función:
3
2 3
5
lim
4 6x
x x
x x→∞
−
+
Solución
Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para
conocer la forma indeterminada que enfrentamos:
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )
223
2 3 2 3 2 3
1 51 5 15
lim lim
4 6 4 6 4 6x x
x xx x
x x x x→∞ →∞
∞× − ∞− ∞× − ∞ ∞× −∞− ∞
= = = = = −
+ + ∞ + ∞ ∞ ∞∞ + ∞
NOTA 1: En este caso factorice el numerador para que apreciaras claramente
que la expresión 3
5x x− da como resultado −∞ cuando la variable crece
indefinidamente, es decir, cuando se sustituye x por ∞ .
Este límite es una forma indeterminada del tipo:
∞
∞
(el signo menos
adelante no importa ya que es una constante, es decir, el menos es realmente
1− ), por lo tanto para resolverlo, debemos dividir entre el término de mayor
grado, en este caso; 3
x . Así:
Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado
3
2 3
5
lim
4 6x
x x
x x→∞
−
+
Límite original
3
3
2 3
3
5
lim
4 6x
x x
x
x x
x
→∞
−
+
Se divide tanto el numerador como el
denominador entre el término de
mayor grado, en este caso 3
x
3
3 3
2 3
3 3
5
lim
4 6x
x x
x x
x x
x x
→∞
−
+
Se aplico la propiedad para las
fracciones de igual denominador, a
saber:
a b a b
c c c
+
= +
lim
x
x
→∞
3
x
3
5 x
− 3
x
2
4 x
3
x
3
6 x
+ 3
x
Se procede a simplificar la variable x
2
1
5
lim
4
6
x
x
x
→∞
−
+
Resultado final de simplificar
2
1
5
4
6
−
∞
+
∞
A esta altura se sustituye el ∞ en la
variable x . FIJATE que no se escribe
lim
x→∞
después de sustituir.
0 5
0 6
−
+
Todo número dividido entre ∞ es igual
a cero. Además 2
∞ = ∞
5 5
6 6
−
= − Simple suma algebraica
Respuesta:
3
2 3
5 5
lim
4 6 6x
x x
x x→∞
−
= −
+
Ejercicio 5
Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos partes.
Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F
si son falsos:
Justifica tus respuestas
a. Al calcular los límites laterales de una función en un punto, y estos existen
pero son diferentes, podemos afirmar que existe el límite de la función
______.
b. El límite de una función en un punto, si existe, este es único ______.
c. Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que la
función esté definida en ese punto _______.
Solución
Justificación:
a) Esta opción es falsa, ya que existe la siguiente condición de
existencia de límites de funciones:
El límite de una función existe si y solo si los límites laterales son
iguales
b) Es totalmente verdadero, y nos apoyamos en el teorema que dice: Si
el límite de una función existe es único.
c) Esto es falso, porque al calcular límites, nos interesa conocer el
comportamiento de la función tan cerca de un punto como queramos
pero no exactamente en el punto, por ende al acercarnos por la
izquierda y por la derecha podemos perfectamente tener límites
laterales iguales y por lo tanto existir el límite, más no es necesario
que la función este definida en el punto.
Respuesta:
a. F
b. V
c. F
Ejercicio 6
Calcule:
2
21
7 6
lim
3 2x
x x
x x→−
+ +
+ +
Sugerencia: Factorizar el numerador y el denominador del cociente
2
2
7 6
3 2
x x
x x
+ +
+ +
Solución
Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para
conocer la forma indeterminada que enfrentamos:
( ) ( )
( ) ( )
22
221
1 7 1 67 6 1 7 6 7 7 0
lim
3 2 1 3 2 3 3 01 3 1 2x
x x
x x→−
− + − ++ + − + −
= = = =
+ + − + −− + − +
NOTA: Debes tener especial cuidado al hacer estos cálculos, si tienes
problemas repasa la clase 2 teórica sobre la regla de los signos.
Por lo tanto, estamos en presencia de la forma indeterminada
0
0
y como
la función dada consta de 2 polinomios, se debe FACTORIZAR tal como se
sugiere.
Para factorizar tanto en el numerador como en el denominador de la
función dada, procederemos de la siguiente manera:
Numerador de ( )f x
En este caso tenemos el polinomio 2
7 6x x+ + , como es de grado 2,
podríamos aplicar la resolvente
2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
= , pero, y lee bien lo que a
continuación te diré, nos valdremos de lo siguiente: EN EL VALOR 1− , ESTE
POLINOMIO SE ANULA, POR LO TANTO ESTA ES UNA RAÍZ, así: 1 1x = − , y
para hallar la segunda raíz, se aplica Ruffini:
Así, la otra raíz es: 2 6x = − , por lo tanto la factorización del numerador es:
( )( )2
7 6 1 6x x x x+ + = + +
Denominador de ( )f x
En este caso tenemos el polinomio 2
3 2x x+ + , como es de grado 2,
podríamos aplicar la resolvente
2
4
2
b b ac
x
a
− ± −
= , pero, y lee bien lo que a
continuación te diré, nos valdremos de lo siguiente: EN EL VALOR 1− , ESTE
POLINOMIO SE ANULA, POR LO TANTO ESTA ES UNA RAÍZ, así: 1 1x = − , y
para hallar la segunda raíz, se aplica Ruffini:
Así, la otra raíz es: 2 2x = − , por lo tanto la factorización del denominador es:
( )( )2
3 2 1 2x x x x+ + = + +
Como ya factorizamos ambos miembros de ( )f x , procedemos a
recalcular el límite planteado:
( )( )
( )( )
( )2
21 1 1
11 67 6
lim lim lim
3 2 1 2x x x
xx xx x
x x x x→− →− →−
++ ++ +
= =
+ + + +
( )
( )
6
1
x
x
+
+ ( )
( )
( )
( )
( )1
6 1 6 5
lim 5
2 1 2 12 x
x
xx →−
+ − +
= = = =
+ − ++
Respuesta:
2
21
7 6
lim 5
3 2x
x x
x x→−
+ +
=
+ +
Ejercicio 7
Calcule el siguiente límite:
2
0
3 2
lim
x
x x
x→
−
Solución
Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer
la forma indeterminada que enfrentamos:
( ) ( )
( )
22
0
3 0 2 03 2 0 0 0
lim
0 0 0x
x x
x→
−− −
= = =
Como tenemos esta forma indeterminada, y dos polinomios en el
numerador y denominador, procedemos a factorizar:
Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado
2
0
3 2
lim
x
x x
x→
−
Límite original
( )
0
3 2
lim
x
x x
x→
− Se extrajo factor común en el
numerador
0
lim
x
x
→
( )3 2x
x
− Se simplifica los términos semejantes,
en este caso x
( )0
lim 3 2
x
x
→
− Resultado final de simplificar
( )3 0 2−
A esta altura se sustituye el 0 en la
variable x . FIJATE que no se escribe
0
lim
x→
después de sustituir.
0 2 2− = −
Se calculó el producto por cero y la
sencilla suma algebraica
Respuesta:
2
0
3 2
lim 2
x
x x
x→
−
= −
Ejercicio 8
Dada la función :f D ⊆ →ℝ ℝ definida por
3
2
3 6 si 1
( )
2 9 si 1
x x x
f x
x x x
 + + ≤ −
= 
+ + > −
.
¿Existe
1
lim ( )
x
f x
→−
?
Solución
Justificación: En este caso estamos en presencia de una función a
trozos y nos preguntan si el límite existe, en este tipo d situaciones es
recomendable calcular los límites laterales para compararlos y, si son iguales el
límite existe, de lo contrario, es decir, si son diferentes, el límite no existe.
Es bueno que manejes la siguiente terminología:
Entonces en este caso, se tiene:
Límite cuando equis tiende a menos uno por la izquierda
( ) ( ) ( )
33
1 1
lim ( ) lim 3 6 1 3 1 6 1 3 6 6 4 2
x x
f x x x− −
→− →−
= + + = − + − + = − − + = − =
Límite cuando equis tiende a menos uno por la derecha
( ) ( ) ( )
22
1 1
lim ( ) lim 2 9 1 2 1 9 1 2 9 10 2 8
x x
f x x x+ +
→− →−
= + + = − + − + = − + = − =
Como los límites laterales son diferentes, el
1
lim ( )
x
f x
→−
no existe.
Respuesta: El
1
lim ( )
x
f x
→−
no xiste.
Ejercicio 9
Calcule el valor de
4 2
5 3
3 2 1
lim
3n
n n
n n→∞
− +
−
Solución
Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para
conocer la forma indeterminada que enfrentamos:
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )
( )
2 22 24 2
5 3 3 2 3 2
3 2 13 2 1 2 13 2 1 1 1
lim lim
3 33 3n n
n nn n
n n n n→∞ →∞
∞ ∞ − +− + ∞ ∞ − +− + ∞×∞ + ∞ + ∞
= = = = = =
− ∞ ∞ − ∞×∞ ∞ ∞− ∞ ∞ −
Este límite es una forma indeterminada del tipo:
∞
∞
, por lo tanto para resolverlo,
debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 5
n . Así:
Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado
4 2
5 3
3 2 1
lim
3n
n n
n n→∞
− +
−
Límite original
4 2
5
5 3
5
3 2 1
lim
3n
n n
n
n n
n
→∞
− +
−
Se divide tanto el numerador como el
denominador entre el término de
mayor grado, en este caso 5
n
4 2
5 5 5
5 3
5 5
3 2 1
lim
3n
n n
n n n
n n
n n
→∞
− +
−
Se aplico la propiedad para las
fracciones de igual denominador, a
saber:
a b a b
c c c
+
= +
4
3
lim
n
n
→∞
5
n
2
2 n
− 5
n
5
5
1
n
n
+
5
n
3
3n
− 5
n
Se procede a simplificar la variable n
3 5
2
3 2 1
lim
3
1
n
n n n
n
→∞
− +
−
Resultado final de simplificar
3 5
2
3 2 1
3
1
− +
∞ ∞ ∞
−
∞
A esta altura se sustituye el ∞ en la
variable n . FIJATE que no se escribe
lim
n→∞
después de sustituir.
0 0 0
1 0
− +
−
Todo número dividido entre ∞ es igual
a cero. Además:
2
3
5
∞ = ∞

∞ = ∞
∞ = ∞
0
1
Simple suma algebraica
0
Cero entre cualquier número es cero,
excepto el cero, es decir:
{ }( )
0
0 0k
k
= ∈ −ℝ
Respuesta:
4 2
5 3
3 2 1
lim 0
3n
n n
n n→∞
− +
=
−
Ejercicio 10
Calcula el siguiente límite:
4 2
4
4 3 2 3
lim
7 9x
x x x
x x→∞
− + −
− +
.
Solución
Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer
la forma indeterminada que enfrentamos:
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 22 24 2
4 3 3
4 3 2 34 3 2 34 3 2 3
lim lim
7 9 7 1 9 7 1 9
4 3 3 3 3
7 1 9 1 9 9 9
x x
x x xx x x
x x x x→∞ →∞
∞ ∞ − + ∞ −− + −− + −
= = =
− + − + ∞ ∞ − +
∞ ×∞ − + ∞ − ∞ ∞ − + ∞ − ∞ ∞ + ∞ ∞ + ∞ ∞
= = = =
∞ ×∞ − + ∞ ∞ − + ∞ ∞ + ∞ + ∞
Este límite es una forma indeterminada del tipo:
∞
∞
, por lo tanto para
resolverlo, debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 4
x .
Así:
Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado
4 2
4
4 3 2 3
lim
7 9x
x x x
x x→∞
− + −
− +
Límite original
4 2
4
4
4
4 3 2 3
lim
7 9x
x x x
x
x x
x
→∞
− + −
− +
Se divide tanto el numerador como el
denominador entre el término de
mayor grado, en este caso 4
x
4 2
4 4 4 4
4
4 4 4
4 3 2 3
lim
7 9x
x x x
x x x x
x x
x x x
→∞
− + −
− +
Se aplico la propiedad para las
fracciones de igual denominador, a
saber:
a b a b
c c c
+
= +
4
4
lim
x
x
→∞
4
x
2
3 x
− 4
x
2 x
+ 4
x
4
4
3
7
x
x
−
4
x
x
− 4
x
4
9
x
+
Se procede a simplificar la variable x
2 3 4
3 4
3 2 3
4
lim
1 9
7
x
x x x
x x
→∞
− + −
− +
Resultado final de simplificar
2 3 4
3 4
3 2 3
4
1 9
7
− + −
∞ ∞ ∞
− +
∞ ∞
A esta altura se sustituye el ∞ en la
variable x . FIJATE que no se escribe
lim
x→∞
después de sustituir.
2 3 4
3 4
3 2 3
4
1 9
7
− + −
∞ ∞ ∞
− +
∞ ∞
Todo número dividido entre ∞ es igual
a cero. Además 2
∞ = ∞ , 3
∞ = ∞ y
4
∞ = ∞
4 0 0 0 4
7 0 0 7
− + −
=
− +
Simple suma algebraica
Respuesta:
4 2
4
4 3 2 3 4
lim
7 9 7x
x x x
x x→∞
− + −
=
− +
A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos,
¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu
eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura.
Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo
saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en
mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el
estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente
editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o
escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta
a la brevedad posible.
Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura,
justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás
justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante
que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre
dando justificación y luego la respuesta.
EJERCICIOS PROPUESTOS
Ejercicio 1
Calcula el siguiente límite:
22
45
2
lim
2
+
−
→ x
xx
x
Ejercicio 2
Dados p y q números reales tal que 0q ≠ , si:
1
lim n
n
a
p→∞
= y lim n
n
b q
→∞
=
entonces se cumple que: ( )lim n n
n
a b
→∞
+ =
a.
1pq
p
+
b. 1pq
q
+
c.
p q
p
+
d.
p q
q
+
Ejercicio 3
Dada la función :f +
→ℝ ℝ definida por ( ) 1f x x= + . Calcula:
( ) ( )
0
2 2
lim
h
f h f
h→
+ −
Ejercicio 4
Calcule el valor del límite
7
7 3
1 4
lim
12n
n
n n→∞
−
+
.
Ejercicio 5
Dada la función { }: 1f − →ℝ ℝ la función definida por:
2
1
( )
1
x
f x
x
−
=
−
donde denota el valor absoluto, determina si existe límite en 1x = .
Ejercicio 6
Calcule
23
3
lim
9x
x
x
−
→
−
−
.
Ejercicio 7
Calcular el límite 24
2
lim
16x
x
x→
−
−
.
Ejercicio 8
Sea :f +
→ℝ ℝ definida por ( ) 1f x x= + . Calcula:
1
( ) (1)
lim
1x
f x f
x→
−
−
Ejercicio 9
Hallar el valor de la constante “k” para que el límite de la función exista en
0 1x = dada por:
1 si 1
( )
3 si 1
kx x
f x
x x
− ≤
= 
>
Ejercicio 10
Dada la función
2
3
4
( )
4
x
f x
x x
−
=
−
:
a. Calcula el límite de ( )f x , por la izquierda de 2x = .
b. Calcula el límite de ( )f x , por la derecha de 2x = .
c. ¿Existe el límite de f (x) cuando 2x = ? Explica.

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Ejercicios detallados del obj 8 mat i (175 176-177

  • 1. Capitulo I Matemática I Objetivo 8. Efectuar problemas que involucren límites de funciones. Ejercicio 1 Calcula el siguiente límite: 2 2 5 lim 3x x x x→∞ − − Solución Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos: ( ) ( ) ( ) ( )2 2 5 2 5 2 5 5 lim lim 3 3 1 3 1 1x x x x x x x x→∞ →∞ − − ×∞ − ∞ − ∞ ∞ = = = = = − − ∞× ×∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ ∞ NOTA 1: En este caso factorice el denominador para que apreciaras claramente que la expresión 2 3x x− da como resultado ∞ cuando la variable crece indefinidamente, es decir, cuando se sustituye x por ∞ . NOTA 2: Recuerda que 0 0 0 0 0 Forma indeterminada k k k si k si k si k  > → ∞ = ∞  ∞ = < → ∞ =  = → ∞ = Ojo con ESTO. Este límite es una forma indeterminada del tipo: ∞ ∞ , por lo tanto para resolverlo, debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 2 x . Así: Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado 2 2 5 lim 3x x x x→∞ − − Límite original 2 2 2 2 5 lim 3x x x x x x →∞ − − Se divide tanto el numerador como el denominador entre el término de mayor grado, en este caso 2 x 2 2 2 2 2 2 5 lim 3x x x x x x x x →∞ − − Se aplico la propiedad para las fracciones de igual denominador, a saber: a b a b c c c + = +
  • 2. 2 lim x x →∞ 2 x 2 2 5 3 x x − 2 x x − 2 x Se procede a simplificar la variable x 2 2 5 lim 1 3 x x x x →∞ − − Resultado final de simplificar 2 2 5 1 3 − ∞ ∞ − ∞ A esta altura se sustituye el ∞ en la variable x . FIJATE que no se escribe lim x→∞ después de sustituir. 0 0 3 0 − − Todo número dividido entre ∞ es igual a cero. Además 2 ∞ = ∞ 0 3 Simple suma algebraica 0 Cero entre cualquier número es cero, excepto el cero, es decir: { }( ) 0 0 0k k = ∈ −ℝ Respuesta: 2 2 5 lim 0 3x x x x→∞ − = − Ejercicio 2 Dada una función :f D ⊆ →ℝ ℝ definida por 2 3 1 ( ) x f x x − = cuya gráfica es: Que podemos decir acerca de su lim ( ) x f x →∞ Solución
  • 3. Justificación: Gráficamente se observa que a medida que x crece indefinidamente, la función se acerca a cero. Para comprobar este hecho, procedemos a calcular el límite de la función dada, cuyo procedimiento es idéntico al ejercicio anterior. Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos: 2 2 3 3 1 1 1 lim x x x→∞ − ∞ − ∞ − ∞ = = = ∞ ∞ ∞ Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado 2 3 1 lim x x x→∞ − Límite original 2 3 3 3 1 lim x x x x x →∞ − Se divide tanto el numerador como el denominador entre el término de mayor grado, en este caso 3 x 2 3 3 3 3 1 lim x x x x x x →∞ − Se aplico la propiedad para las fracciones de igual denominador, a saber: a b a b c c c + = + 2 lim x x →∞ 3 x 3 3 1 x x − 3 x Se procede a simplificar la variable x 3 1 1 lim 1x x x →∞ − Resultado final de simplificar 3 1 1 1 − ∞ ∞ A esta altura se sustituye el ∞ en la variable x . FIJATE que no se escribe lim x→∞ después de sustituir. 0 0 1 − Todo número dividido entre ∞ es igual a cero. Además 3 ∞ = ∞ 0 1 Simple suma algebraica 0 Cero entre cualquier número es cero, excepto el cero, es decir:
  • 4. { }( ) 0 0 0k k = ∈ −ℝ De manera que corroboramos lo ya apreciado en la gráfica. Respuesta: Podemos decir que la función tiende a anularse a medida que la variable x crece indefinidamente. Ejercicio 3 Sea la función 3 2 2 3 4 12 ( ) 6 x x x f x x x − − + = − − entonces al calcular los límites: ( ) ( )xfxf x -2x3 limylim →→ resultan: . 1 4 . 1 4 . 1 4 . 1 4a y b y c y d y− − − − Sugerencia: Determine el dominio de la función, y trate de factorizar el numerador y el denominador para simplificar esta expresión. Solución Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos: Caso 1 ( )3 lim x f x → ( ) ( )3 23 2 2 23 3 3 3 3 4 3 123 4 12 27 27 12 12 0 0 lim ( ) lim 6 3 3 6 9 3 6 6 6 0x x x x x f x x x→ → − − +− − + − − + = = = = = − − − − − − − Caso 2 ( )2 lim x f x →− ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 23 2 222 2 2 3 2 4 2 123 4 12 8 12 8 12 0 0 lim ( ) lim 6 4 2 6 6 6 02 2 6x x x x x f x x x→− →− − − − − − +− − + − − + + = = = = = − − + − −− − − − NOTA: Debes tener especial cuidado al hacer estos cálculos, si tienes problemas repasa la clase 2 teórica sobre la regla de los signos. Por lo tanto en ambos casos, estamos en presencia de la forma indeterminada 0 0 y como la función dada consta de 2 polinomios, se debe FACTORIZAR. Para factorizar tanto en el numerador como en el denominador de la función dada, procederemos de la siguiente manera:
  • 5. Numerador de ( )f x Tenemos el polinomio 3 2 3 4 12x x x− − + , como es de grado 3, aplicamos Ruffini, claro, lee bien lo que a continuación te diré: PARA NO TANTEAR CON LOS DIVISORES DEL TÉRMINO INDEPENDIENTE, COMENZAREMOS POR EL VALOR AL CUAL TIENDE EL LÍMITE, YA QUE EN DICHO VALOR SE ANULA EL POLINOMIO, ES DECIR, COMENZAREMOS A PROBAR POR 3 Y LUEGO POR 2− , REPITO PORQUE SABEMOS PREVIAMENTE QUE EL POLINOMIO SE ANULA EN ESTOS VALORES, POR LO TANTO SON RAÍCES DEL MISMO. Así tenemos que las raíces del polinomio 3 2 3 4 12x x x− − + son 1 2 3, y 23 2x x x−= = = . Para factorizar cambiamos el signo de las raíces y escribimos: ( )( )( )3 2 3 4 12 23 2x x x x x x−− − = + −+ Denominador de ( )f x En este caso tenemos el polinomio 2 6x x− − , como es de grado 2, podríamos aplicar la resolvente 2 4 2 b b ac x a − ± − = , pero, y lee bien lo que a continuación te diré, nos valdremos de lo siguiente: EN LOS VALORES 3 Y 2− , ESTE POLINOMIO SE ANULO, POR LO TANTO ESTAS SON LAS RAÍCES, así: 1 2 23,x x = −= , factorizando tenemos: ( )( )2 6 23x x x x− − = +−
  • 6. Como ya factorizamos ambos miembros de ( )f x , procedemos a recalcular los límites planteados: Caso 1 ( )3 lim x f x → ( )( )( ) ( )( ) ( )3 2 23 3 3 33 2 23 4 12 lim lim lim 6 3 2x x x xx x xx x x x x x x→ → → −− + −− − + = = − − − + ( )2x + ( ) ( ) 2 3 x x − − ( )2x + ( )3 lim 2 3 2 1 x x → = − = − = Caso 2 ( )2 lim x f x →− ( )( )( ) ( )( ) ( )3 2 22 2 2 33 2 23 4 12 lim lim lim 6 3 2x x x xx x xx x x x x x x→− →− →− −− + −− − + = = − − − + ( )2x + ( ) ( ) 2 3 x x − − ( )2x + ( )2 lim 2 2 2 4 x x →− = − = − − = − Respuesta: Como 3 lim ( ) 1 x f x → = y 2 lim ( ) 4 x f x →− = − la opción correcta es la c. Ejercicio 4 Calcule el valor del límite de la siguiente función: 3 2 3 5 lim 4 6x x x x x→∞ − + Solución Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 223 2 3 2 3 2 3 1 51 5 15 lim lim 4 6 4 6 4 6x x x xx x x x x x→∞ →∞ ∞× − ∞− ∞× − ∞ ∞× −∞− ∞ = = = = = − + + ∞ + ∞ ∞ ∞∞ + ∞ NOTA 1: En este caso factorice el numerador para que apreciaras claramente que la expresión 3 5x x− da como resultado −∞ cuando la variable crece indefinidamente, es decir, cuando se sustituye x por ∞ . Este límite es una forma indeterminada del tipo: ∞ ∞ (el signo menos adelante no importa ya que es una constante, es decir, el menos es realmente 1− ), por lo tanto para resolverlo, debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 3 x . Así: Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado 3 2 3 5 lim 4 6x x x x x→∞ − + Límite original 3 3 2 3 3 5 lim 4 6x x x x x x x →∞ − + Se divide tanto el numerador como el denominador entre el término de mayor grado, en este caso 3 x
  • 7. 3 3 3 2 3 3 3 5 lim 4 6x x x x x x x x x →∞ − + Se aplico la propiedad para las fracciones de igual denominador, a saber: a b a b c c c + = + lim x x →∞ 3 x 3 5 x − 3 x 2 4 x 3 x 3 6 x + 3 x Se procede a simplificar la variable x 2 1 5 lim 4 6 x x x →∞ − + Resultado final de simplificar 2 1 5 4 6 − ∞ + ∞ A esta altura se sustituye el ∞ en la variable x . FIJATE que no se escribe lim x→∞ después de sustituir. 0 5 0 6 − + Todo número dividido entre ∞ es igual a cero. Además 2 ∞ = ∞ 5 5 6 6 − = − Simple suma algebraica Respuesta: 3 2 3 5 5 lim 4 6 6x x x x x→∞ − = − + Ejercicio 5 Para el logro de este objetivo debes responder correctamente dos partes. Responde con una V si los enunciados siguientes son verdaderos o con una F si son falsos: Justifica tus respuestas a. Al calcular los límites laterales de una función en un punto, y estos existen pero son diferentes, podemos afirmar que existe el límite de la función ______. b. El límite de una función en un punto, si existe, este es único ______. c. Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que la función esté definida en ese punto _______.
  • 8. Solución Justificación: a) Esta opción es falsa, ya que existe la siguiente condición de existencia de límites de funciones: El límite de una función existe si y solo si los límites laterales son iguales b) Es totalmente verdadero, y nos apoyamos en el teorema que dice: Si el límite de una función existe es único. c) Esto es falso, porque al calcular límites, nos interesa conocer el comportamiento de la función tan cerca de un punto como queramos pero no exactamente en el punto, por ende al acercarnos por la izquierda y por la derecha podemos perfectamente tener límites laterales iguales y por lo tanto existir el límite, más no es necesario que la función este definida en el punto. Respuesta: a. F b. V c. F Ejercicio 6 Calcule: 2 21 7 6 lim 3 2x x x x x→− + + + + Sugerencia: Factorizar el numerador y el denominador del cociente 2 2 7 6 3 2 x x x x + + + + Solución Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos: ( ) ( ) ( ) ( ) 22 221 1 7 1 67 6 1 7 6 7 7 0 lim 3 2 1 3 2 3 3 01 3 1 2x x x x x→− − + − ++ + − + − = = = = + + − + −− + − + NOTA: Debes tener especial cuidado al hacer estos cálculos, si tienes problemas repasa la clase 2 teórica sobre la regla de los signos.
  • 9. Por lo tanto, estamos en presencia de la forma indeterminada 0 0 y como la función dada consta de 2 polinomios, se debe FACTORIZAR tal como se sugiere. Para factorizar tanto en el numerador como en el denominador de la función dada, procederemos de la siguiente manera: Numerador de ( )f x En este caso tenemos el polinomio 2 7 6x x+ + , como es de grado 2, podríamos aplicar la resolvente 2 4 2 b b ac x a − ± − = , pero, y lee bien lo que a continuación te diré, nos valdremos de lo siguiente: EN EL VALOR 1− , ESTE POLINOMIO SE ANULA, POR LO TANTO ESTA ES UNA RAÍZ, así: 1 1x = − , y para hallar la segunda raíz, se aplica Ruffini: Así, la otra raíz es: 2 6x = − , por lo tanto la factorización del numerador es: ( )( )2 7 6 1 6x x x x+ + = + + Denominador de ( )f x En este caso tenemos el polinomio 2 3 2x x+ + , como es de grado 2, podríamos aplicar la resolvente 2 4 2 b b ac x a − ± − = , pero, y lee bien lo que a continuación te diré, nos valdremos de lo siguiente: EN EL VALOR 1− , ESTE POLINOMIO SE ANULA, POR LO TANTO ESTA ES UNA RAÍZ, así: 1 1x = − , y para hallar la segunda raíz, se aplica Ruffini:
  • 10. Así, la otra raíz es: 2 2x = − , por lo tanto la factorización del denominador es: ( )( )2 3 2 1 2x x x x+ + = + + Como ya factorizamos ambos miembros de ( )f x , procedemos a recalcular el límite planteado: ( )( ) ( )( ) ( )2 21 1 1 11 67 6 lim lim lim 3 2 1 2x x x xx xx x x x x x→− →− →− ++ ++ + = = + + + + ( ) ( ) 6 1 x x + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 6 1 6 5 lim 5 2 1 2 12 x x xx →− + − + = = = = + − ++ Respuesta: 2 21 7 6 lim 5 3 2x x x x x→− + + = + + Ejercicio 7 Calcule el siguiente límite: 2 0 3 2 lim x x x x→ − Solución Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos: ( ) ( ) ( ) 22 0 3 0 2 03 2 0 0 0 lim 0 0 0x x x x→ −− − = = = Como tenemos esta forma indeterminada, y dos polinomios en el numerador y denominador, procedemos a factorizar: Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado 2 0 3 2 lim x x x x→ − Límite original ( ) 0 3 2 lim x x x x→ − Se extrajo factor común en el numerador 0 lim x x → ( )3 2x x − Se simplifica los términos semejantes, en este caso x
  • 11. ( )0 lim 3 2 x x → − Resultado final de simplificar ( )3 0 2− A esta altura se sustituye el 0 en la variable x . FIJATE que no se escribe 0 lim x→ después de sustituir. 0 2 2− = − Se calculó el producto por cero y la sencilla suma algebraica Respuesta: 2 0 3 2 lim 2 x x x x→ − = − Ejercicio 8 Dada la función :f D ⊆ →ℝ ℝ definida por 3 2 3 6 si 1 ( ) 2 9 si 1 x x x f x x x x  + + ≤ − =  + + > − . ¿Existe 1 lim ( ) x f x →− ? Solución Justificación: En este caso estamos en presencia de una función a trozos y nos preguntan si el límite existe, en este tipo d situaciones es recomendable calcular los límites laterales para compararlos y, si son iguales el límite existe, de lo contrario, es decir, si son diferentes, el límite no existe. Es bueno que manejes la siguiente terminología:
  • 12. Entonces en este caso, se tiene: Límite cuando equis tiende a menos uno por la izquierda ( ) ( ) ( ) 33 1 1 lim ( ) lim 3 6 1 3 1 6 1 3 6 6 4 2 x x f x x x− − →− →− = + + = − + − + = − − + = − = Límite cuando equis tiende a menos uno por la derecha ( ) ( ) ( ) 22 1 1 lim ( ) lim 2 9 1 2 1 9 1 2 9 10 2 8 x x f x x x+ + →− →− = + + = − + − + = − + = − = Como los límites laterales son diferentes, el 1 lim ( ) x f x →− no existe. Respuesta: El 1 lim ( ) x f x →− no xiste. Ejercicio 9 Calcule el valor de 4 2 5 3 3 2 1 lim 3n n n n n→∞ − + − Solución Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 22 24 2 5 3 3 2 3 2 3 2 13 2 1 2 13 2 1 1 1 lim lim 3 33 3n n n nn n n n n n→∞ →∞ ∞ ∞ − +− + ∞ ∞ − +− + ∞×∞ + ∞ + ∞ = = = = = = − ∞ ∞ − ∞×∞ ∞ ∞− ∞ ∞ − Este límite es una forma indeterminada del tipo: ∞ ∞ , por lo tanto para resolverlo, debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 5 n . Así: Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado 4 2 5 3 3 2 1 lim 3n n n n n→∞ − + − Límite original 4 2 5 5 3 5 3 2 1 lim 3n n n n n n n →∞ − + − Se divide tanto el numerador como el denominador entre el término de mayor grado, en este caso 5 n 4 2 5 5 5 5 3 5 5 3 2 1 lim 3n n n n n n n n n n →∞ − + − Se aplico la propiedad para las fracciones de igual denominador, a saber: a b a b c c c + = +
  • 13. 4 3 lim n n →∞ 5 n 2 2 n − 5 n 5 5 1 n n + 5 n 3 3n − 5 n Se procede a simplificar la variable n 3 5 2 3 2 1 lim 3 1 n n n n n →∞ − + − Resultado final de simplificar 3 5 2 3 2 1 3 1 − + ∞ ∞ ∞ − ∞ A esta altura se sustituye el ∞ en la variable n . FIJATE que no se escribe lim n→∞ después de sustituir. 0 0 0 1 0 − + − Todo número dividido entre ∞ es igual a cero. Además: 2 3 5 ∞ = ∞  ∞ = ∞ ∞ = ∞ 0 1 Simple suma algebraica 0 Cero entre cualquier número es cero, excepto el cero, es decir: { }( ) 0 0 0k k = ∈ −ℝ Respuesta: 4 2 5 3 3 2 1 lim 0 3n n n n n→∞ − + = − Ejercicio 10 Calcula el siguiente límite: 4 2 4 4 3 2 3 lim 7 9x x x x x x→∞ − + − − + . Solución Justificación: Primero sustituyamos el valor al cual tiende el límite para conocer la forma indeterminada que enfrentamos: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 24 2 4 3 3 4 3 2 34 3 2 34 3 2 3 lim lim 7 9 7 1 9 7 1 9 4 3 3 3 3 7 1 9 1 9 9 9 x x x x xx x x x x x x→∞ →∞ ∞ ∞ − + ∞ −− + −− + − = = = − + − + ∞ ∞ − + ∞ ×∞ − + ∞ − ∞ ∞ − + ∞ − ∞ ∞ + ∞ ∞ + ∞ ∞ = = = = ∞ ×∞ − + ∞ ∞ − + ∞ ∞ + ∞ + ∞
  • 14. Este límite es una forma indeterminada del tipo: ∞ ∞ , por lo tanto para resolverlo, debemos dividir entre el término de mayor grado, en este caso; 4 x . Así: Procedimiento Matemático Procedimiento Explicado 4 2 4 4 3 2 3 lim 7 9x x x x x x→∞ − + − − + Límite original 4 2 4 4 4 4 3 2 3 lim 7 9x x x x x x x x →∞ − + − − + Se divide tanto el numerador como el denominador entre el término de mayor grado, en este caso 4 x 4 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 2 3 lim 7 9x x x x x x x x x x x x x →∞ − + − − + Se aplico la propiedad para las fracciones de igual denominador, a saber: a b a b c c c + = + 4 4 lim x x →∞ 4 x 2 3 x − 4 x 2 x + 4 x 4 4 3 7 x x − 4 x x − 4 x 4 9 x + Se procede a simplificar la variable x 2 3 4 3 4 3 2 3 4 lim 1 9 7 x x x x x x →∞ − + − − + Resultado final de simplificar 2 3 4 3 4 3 2 3 4 1 9 7 − + − ∞ ∞ ∞ − + ∞ ∞ A esta altura se sustituye el ∞ en la variable x . FIJATE que no se escribe lim x→∞ después de sustituir. 2 3 4 3 4 3 2 3 4 1 9 7 − + − ∞ ∞ ∞ − + ∞ ∞ Todo número dividido entre ∞ es igual a cero. Además 2 ∞ = ∞ , 3 ∞ = ∞ y 4 ∞ = ∞ 4 0 0 0 4 7 0 0 7 − + − = − + Simple suma algebraica Respuesta: 4 2 4 4 3 2 3 4 lim 7 9 7x x x x x x→∞ − + − = − +
  • 15. A continuación se te presentaran una serie de ejercicios propuestos, ¿Por qué es importante resolverlos? Por que tú estarás solo en el examen y tu eres quien a las finales debes aprehender para tener éxito en la asignatura. Cualquier duda de los problemas que a continuación se te presentan, déjamelo saber, a través, de mi correo: jorgegranadillomat@gmail.com. Recuerda que en mi página en el apartado “novedades” en la sección “material durante el estudio” se encuentra un programa de nombre Mathype que es un excelente editor de ecuaciones con el cual podrás escribir tus dudas matemáticas, o escanea las páginas de tu cuaderno y envíame las dudas para darte respuesta a la brevedad posible. Por último recuerda resolver cada ejercicio bajo la estructura, justificación y respuesta, ya que en los exámenes de desarrollo deberás justificar todas y cada una de tus respuestas, de manera, que es importante que tomes el hábito de estructurar las soluciones de esta manera, siempre dando justificación y luego la respuesta. EJERCICIOS PROPUESTOS Ejercicio 1 Calcula el siguiente límite: 22 45 2 lim 2 + − → x xx x Ejercicio 2 Dados p y q números reales tal que 0q ≠ , si: 1 lim n n a p→∞ = y lim n n b q →∞ = entonces se cumple que: ( )lim n n n a b →∞ + = a. 1pq p + b. 1pq q + c. p q p + d. p q q + Ejercicio 3 Dada la función :f + →ℝ ℝ definida por ( ) 1f x x= + . Calcula: ( ) ( ) 0 2 2 lim h f h f h→ + −
  • 16. Ejercicio 4 Calcule el valor del límite 7 7 3 1 4 lim 12n n n n→∞ − + . Ejercicio 5 Dada la función { }: 1f − →ℝ ℝ la función definida por: 2 1 ( ) 1 x f x x − = − donde denota el valor absoluto, determina si existe límite en 1x = . Ejercicio 6 Calcule 23 3 lim 9x x x − → − − . Ejercicio 7 Calcular el límite 24 2 lim 16x x x→ − − . Ejercicio 8 Sea :f + →ℝ ℝ definida por ( ) 1f x x= + . Calcula: 1 ( ) (1) lim 1x f x f x→ − − Ejercicio 9 Hallar el valor de la constante “k” para que el límite de la función exista en 0 1x = dada por: 1 si 1 ( ) 3 si 1 kx x f x x x − ≤ =  > Ejercicio 10 Dada la función 2 3 4 ( ) 4 x f x x x − = − : a. Calcula el límite de ( )f x , por la izquierda de 2x = . b. Calcula el límite de ( )f x , por la derecha de 2x = . c. ¿Existe el límite de f (x) cuando 2x = ? Explica.