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Ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicos                                                                                   Bachillerato Internacional Nivel Medio


Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales monómicas:
1. 32 x −1 = 9                                            2.                                   2 x −3
                                                                                                        2 x −3 = 8
Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales polinómicas:
3. 2 x + 2 x +1 = 24                   4. 2 x−1 + 2 x + 2 x +1 = 7                        5. 2 2 x − 3 ⋅ 2 x + 2 = 0                     6. 2 − 3− x + 3 x +1 = 0
7. 2 x+1 + 4 x−1 = 96                                                                     9. 52 x − 6 ⋅ 5 x + 5 = 0                      10. 32 x+ 2 − 28 ⋅ 3x + 3 = 0
                                                           1             1
                                                      x−            x+
                                       8. 4 x − 3          2
                                                               =3        2
                                                                             − 2 2x −1
Resolver las siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales:
     5 x + y = 253
                                   3 x + 3 y = 36
                                                                 2x + 3y = 7
                                                                                                                                             2 2x + 2 2 y = 85
                                                                                                                                             
11.  x − y                   12.  x + y                    13.  x +1 y +1                                                             14.  2( x+ y )
     5 = 25
                                   3 = 243
                                                                  2 − 3 = −1
                                                                                                                                            2
                                                                                                                                                        = 324
Resolver las siguientes ecuaciones utilizando logaritmos si es necesario:
15. 2 x = 5             Sol.2,32        16. 3 x = 7                  Sol.1,77            17. 9 x = 28                    Sol.1,52        18. 12 x = 5           Sol.0,65

19. 4 x = 212          Sol.3,86         20. 5 x = 63                 Sol.2,57            21. 7 x = 4                     Sol.0,71        22. 19 x = 2           Sol.0,24

23. 4 2 x = 9           Sol.0,79        24. 53x = 29                 Sol.0,7             25. 35x = 40                    Sol.0,67        26. 2 x+1 = 15          Sol.2,91
27. 6 x −2 = 4          Sol.2,77        28. 9 x +3 = 78                  Sol.-1,02       29. 2 3x −2 = 53                Sol.2,58        30. 52 x +1 = 10        Sol.0,22

31. 3 ⋅ 2 x = 7         Sol.1,22        32. 5 ⋅ 3x = 2                   Sol.-0,83       33. 7 ⋅ 4 x = 20                Sol.0,76        34. 9 ⋅ 5 x = 4         Sol.-0,5
Resolver en función de x
35. 2 x−1 = 3x +1       Sol.-4,42       36. 5 x− 2 = 2 x +3               Sol.5,78       37. 32 x −1 = 5 x                Sol.1,87       38. 61− x = 23x +1        Sol.0,28
Resolver las ecuaciones exponenciales polinómicas:
39. 2 ⋅ 2 2x − 11 ⋅ 2 x + 5 = 0 Sol.-1,2.32 40. 2 2 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0                                       Sol.0, 2     41. 32 x − 30 ⋅ 3x + 81 = 0                  Sol.1, 3
42. 4 2 x − 5 ⋅ 4 x + 6 = 0 Sol.0.79, 0.5 43. 2 ⋅ 2 2 x + 9 ⋅ 2 x − 5 = 0                                       Sol.-1     44. 3 ⋅ 52 x − 14 ⋅ 5 x + 8 = 0         -1/4, 0.86
Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas:
45. 2 log x = 2 + log x        Sol 100.
                                        46. log x = log 2 + 2 log (x − 3)                                                  47. log (5 − x ) − log (4 − x ) = log 2
                                                     Sol.2, 9/2                                                            Sol.3

48. log 4 x3 − log 10 =
                                   1
                                                     49. 2 log x − log (x − 16 ) = 2                                       50.
                                                                                                                                                (
                                                                                                                                     log 2 + log 11 − x 2  )
                                                                                                                                                          =2
                                                                                                                                          log (5 − x )
                                           Sol.10                                                       Sol.                                                     Sol.
                                   4
51. Sabiendo que log a b = 0.25 , calcular log b a
Resolver los sistemas:
                                              log x = log 2 y + log 2                                   log x ( y + 8) = 2                        3x− 5y = 243
       2 log x − log y = 5
52.                                   53. 
                                                                                            54. 
                                                                                                                                          55. 
                                                                                                                                               
                                                                                                         log y ( x − 4) = 2
                                                                                                                           1
       log xy = 4                            log x 2 = 3log y − log y 2
                                                                                                                                                   log x + log y = 2
                                                                                                                                                    
Sol. x=100, y=10                                                                                        
                                       Sol. x=1/4, y=1/16                                    Sol.x=3, y=1                                  Sol.x=25, y=4

56. El crecimiento de un bosque viene dado por la fórmula F = A(1 + i ) donde F es la madera que habrá dentro de t
                                                                                                          t

    años, A la madera actual e i la tasa de crecimiento anual. Si esta tasa se mantiene, calcular el tiempo que tardará
    en duplicarse la madera del bosque siendo i=0,02.                                                             Sol.t=35 años
57. El crecimiento de un capital viene dado por la fórmula F = C (1 + i ) donde F es el capital que habrá dentro de t
                                                                           t

    años, C el capital inicial e i la tasa de crecimiento anual o interés. Si esta tasa se mantiene, calcular el tiempo que
    tardará en duplicarse el capital siendo el interés del 12% anual.                                     Sol.t=6 años y 44 días
58. Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 5% anual. Actualmente, uno de sus productos vale 18
    €. Encontrar la función que dé el precio del producto en función de los años transcurridos. A partir de ésta,
    contestar a las siguie ntes cuestiones:
        a)       ¿Cuánto costará el producto dentro de 4 años?                                    Sol.P=1,8.1,05 x P021,879 €
        b)       ¿Cuánto costaba hace 4 años?                                                                       Sol.P=14,81
        c)       ¿Cuántos años han de pasar para que el precio actual del producto se duplique?                Sol.x=22,52 años

59. La expresión P( x ) =
                                          22,5
                                                       proporciona la población de un país, desde el año 1860, en millones de
                                   1 + 0,5e − 0,01981x
      personas. Determinar:
         a)      La población existente en los años 1860, 1895, 1930 y 2000. Sol.P=15 millones, 18, 20, 218.187
         b)      Representar estos y otros valores obtenidos, comprueba que con este modelo de población el número
                 de personas siempre aumenta, pero nunca llega a alcanzar el valor límite.
                                                                         -Página 1-                                                                            A.G.Onandía

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  • 1. Ecuaciones y sistemas exponenciales y logarítmicos Bachillerato Internacional Nivel Medio Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales monómicas: 1. 32 x −1 = 9 2. 2 x −3 2 x −3 = 8 Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales polinómicas: 3. 2 x + 2 x +1 = 24 4. 2 x−1 + 2 x + 2 x +1 = 7 5. 2 2 x − 3 ⋅ 2 x + 2 = 0 6. 2 − 3− x + 3 x +1 = 0 7. 2 x+1 + 4 x−1 = 96 9. 52 x − 6 ⋅ 5 x + 5 = 0 10. 32 x+ 2 − 28 ⋅ 3x + 3 = 0 1 1 x− x+ 8. 4 x − 3 2 =3 2 − 2 2x −1 Resolver las siguientes sistemas de ecuaciones exponenciales: 5 x + y = 253  3 x + 3 y = 36  2x + 3y = 7   2 2x + 2 2 y = 85  11.  x − y 12.  x + y 13.  x +1 y +1 14.  2( x+ y ) 5 = 25  3 = 243   2 − 3 = −1  2  = 324 Resolver las siguientes ecuaciones utilizando logaritmos si es necesario: 15. 2 x = 5 Sol.2,32 16. 3 x = 7 Sol.1,77 17. 9 x = 28 Sol.1,52 18. 12 x = 5 Sol.0,65 19. 4 x = 212 Sol.3,86 20. 5 x = 63 Sol.2,57 21. 7 x = 4 Sol.0,71 22. 19 x = 2 Sol.0,24 23. 4 2 x = 9 Sol.0,79 24. 53x = 29 Sol.0,7 25. 35x = 40 Sol.0,67 26. 2 x+1 = 15 Sol.2,91 27. 6 x −2 = 4 Sol.2,77 28. 9 x +3 = 78 Sol.-1,02 29. 2 3x −2 = 53 Sol.2,58 30. 52 x +1 = 10 Sol.0,22 31. 3 ⋅ 2 x = 7 Sol.1,22 32. 5 ⋅ 3x = 2 Sol.-0,83 33. 7 ⋅ 4 x = 20 Sol.0,76 34. 9 ⋅ 5 x = 4 Sol.-0,5 Resolver en función de x 35. 2 x−1 = 3x +1 Sol.-4,42 36. 5 x− 2 = 2 x +3 Sol.5,78 37. 32 x −1 = 5 x Sol.1,87 38. 61− x = 23x +1 Sol.0,28 Resolver las ecuaciones exponenciales polinómicas: 39. 2 ⋅ 2 2x − 11 ⋅ 2 x + 5 = 0 Sol.-1,2.32 40. 2 2 x − 5 ⋅ 2 x + 4 = 0 Sol.0, 2 41. 32 x − 30 ⋅ 3x + 81 = 0 Sol.1, 3 42. 4 2 x − 5 ⋅ 4 x + 6 = 0 Sol.0.79, 0.5 43. 2 ⋅ 2 2 x + 9 ⋅ 2 x − 5 = 0 Sol.-1 44. 3 ⋅ 52 x − 14 ⋅ 5 x + 8 = 0 -1/4, 0.86 Resolver las siguientes ecuaciones logarítmicas: 45. 2 log x = 2 + log x Sol 100. 46. log x = log 2 + 2 log (x − 3) 47. log (5 − x ) − log (4 − x ) = log 2 Sol.2, 9/2 Sol.3 48. log 4 x3 − log 10 = 1 49. 2 log x − log (x − 16 ) = 2 50. ( log 2 + log 11 − x 2 ) =2 log (5 − x ) Sol.10 Sol. Sol. 4 51. Sabiendo que log a b = 0.25 , calcular log b a Resolver los sistemas: log x = log 2 y + log 2  log x ( y + 8) = 2 3x− 5y = 243  2 log x − log y = 5 52.  53.   54.   55.    log y ( x − 4) = 2 1  log xy = 4 log x 2 = 3log y − log y 2  log x + log y = 2  Sol. x=100, y=10  Sol. x=1/4, y=1/16 Sol.x=3, y=1 Sol.x=25, y=4 56. El crecimiento de un bosque viene dado por la fórmula F = A(1 + i ) donde F es la madera que habrá dentro de t t años, A la madera actual e i la tasa de crecimiento anual. Si esta tasa se mantiene, calcular el tiempo que tardará en duplicarse la madera del bosque siendo i=0,02. Sol.t=35 años 57. El crecimiento de un capital viene dado por la fórmula F = C (1 + i ) donde F es el capital que habrá dentro de t t años, C el capital inicial e i la tasa de crecimiento anual o interés. Si esta tasa se mantiene, calcular el tiempo que tardará en duplicarse el capital siendo el interés del 12% anual. Sol.t=6 años y 44 días 58. Un empresario incrementa el precio de sus productos en un 5% anual. Actualmente, uno de sus productos vale 18 €. Encontrar la función que dé el precio del producto en función de los años transcurridos. A partir de ésta, contestar a las siguie ntes cuestiones: a) ¿Cuánto costará el producto dentro de 4 años? Sol.P=1,8.1,05 x P021,879 € b) ¿Cuánto costaba hace 4 años? Sol.P=14,81 c) ¿Cuántos años han de pasar para que el precio actual del producto se duplique? Sol.x=22,52 años 59. La expresión P( x ) = 22,5 proporciona la población de un país, desde el año 1860, en millones de 1 + 0,5e − 0,01981x personas. Determinar: a) La población existente en los años 1860, 1895, 1930 y 2000. Sol.P=15 millones, 18, 20, 218.187 b) Representar estos y otros valores obtenidos, comprueba que con este modelo de población el número de personas siempre aumenta, pero nunca llega a alcanzar el valor límite. -Página 1- A.G.Onandía