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Universidad de Santiago de Chile           Autores:         Miguel Martínez Concha
            Facultad de Ciencia                                   Carlos Silva Cornejo
      Departamento de Matemática y CC                             Emilio Villalobos Marín



1     Ejercicios Resueltos
(ejemplar de prueba)

           Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los es-
       tudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para bus-
       car, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de
       información, decodi…cando y traduciendo la información contenida
       en las funciones, grá…cos, series de Fourier, integrales de Fourier y
       sus propiedades.

1.1     Problema 1.
i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 .Representar
gra…camente y estudiar la convergencia de la serie en R:

                                     0 si            x   0
                          f (x) =
                                     x   si 0    x

    Solución:
    i) Calculo de los coe…cientes de Fourier.
                              "                    #
          1
             R              1
                                R
                                0          R                  1
                                                                  R
    a0 = 2       f (x)dx = 2      f (x)dx + f (x)dx =        2        xdx
                                           0                      0
            h 2i
          1   x
    a0 = 2     2     = 4
                   0
            R                        R
    an = 1     f (x) cos(nx)dx = 1 x cos(nx)dx
                                     0
    Usando hel método de integración h partes se tiene: i
                               i     por
                                                  n
         1 x cos(nx)   cos(nx)
    an =        n    + n2        = 1
                                      0 0 + ( n1)
                                               2
                                                     1
                                                     n2
                                 0
           ( 1)n 1         0     para n par
    an =     n2      =     2
                          n2    para n impar
    así:
    a2n = 0        8n
    a2n 1 = (2n 21)2 8 n:
            R                         R
    bn = 1      f (x) sin(nx)dx = 1 x sin(nx)dx
                                      0
         h                       i
           x cos(nx)     sin(nx)
    =  1
               n      + n2           = cos(n )
                                          n
                                   0
    luego el coe…ciente es:
              n+1
    bn = ( 1)n



                                         1
Por lo tanto, la serie de Fourier será:
               1
                   "                                                              #
              X             2                                     ( 1)
                                                                      n+1
            +                   2 cos ((2n                1) x) +           sin(nx)
          4 n=1          (2n 1)                                      n

   En todos los puntos de continuidad la serie converge a f (x) y en los puntos
de discontinuidad del tipo x = + 2n con n 2 Z, la serie converge a 2 :

   ii) A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie:
                                     1
                                     X              1
                                     n=1
                                           (2n           1)2

   Solución.(ii)
   Evaluando en x = 0 se tiene

                                     2     1    1   1
                       0=                     + 2 + 2 + :::
                             4             12  3   5
   de donde
                                 2       1     1   1
                             =             2
                                             + 2 + 2 + :::
                         4               1    3   5
   y de aquí
                                 1
                                 X                             2
                                               1
                                                         =
                                 n=1
                                         (2n       1)2         8

1.2    Problema 2
i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 , de…nida
por:

                          f (x) = x2 ;                         x
   ii) A partir del resultado obtenido calcular la suma de:
                                            1
                                           X 1

                                           n=1
                                               n2
                                                              1
                                                             X 1
   iiI) Determine la convergencia de la serie
                                                             n=1
                                                                 n4
    Solución:
    i) La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que
tiene la forma:
                                   1
                                   X
                             a0 +     an cos (nx)
                                          n=1




                                                2
R                      R                          h           i
          1                      1                          1       x3                   2
   a0 =           f (x)dx =               x2 dx =                   3               =    3
              0                      0                                          0

          2
              R                                 2
                                                        R
   an =           f (x) cos(nx)dx =                         x2 cos(nx)dx
          h 0                                   i       0
           x2 sin(nx)                                                                    4( 1)n
   an =         n   + 2x cos(nx)
                          n2                            =       4 cos(n )
                                                                    n2              =      n2
                                                    0
   Luego, la serie es:
                                           2                 1
                                                            X ( 1)n
                                                +4                  cos (nx)
                                           3                n=1
                                                                n2
   Como la función es continua en R ,entonces:
                                   2            1
                                               X ( 1)n
                        x2 =             +4            cos (nx) ; todo x real.
                                 3             n=1
                                                   n2



   Solución (ii)

                                                                                                                     2
   La serie numérica se puede obtener haciendo x =                                                      y f( ) =         ;
                                           2
                               2                                    1               1        1
                                     =                  4                                             :::
                                           3                        12              22       32

   de donde
                                          1
                                         X 1                                         2            2
                                                  1
                                                =                                            =
                                         n=1
                                             n2   4                                 3             6

    iii) Como la función f es seccionalmente suave para       x     y f(                                                     )=
f ( ) se cumplen
    las condiciones de su…ciencia de la identidad de Parseval entonces
                        Z                                               2            1
                                                                                    X 4 ( 1)n               2
                    1                2
                            x2           dx =               2                   +                               =)
                                                                    3               n=1
                                                                                         n2
                                                                                 1
                                                                                X 16
                         1 x5                               2       4
                                                =                       +              =)
                           5                                9                   n=1
                                                                                    n4
                             1
                            X 1                                 4
                                                =
                            n=1
                                n2                          90

1.3    Problema 3

Sea f (x) = x(sin x); si                   < x < ; entonces:


   i) Determine la serie de esta función.

                                                                        3
ii) Pruebe la convergencia de la serie:
                                          1
                                         X ( 1)n    1
                                                  =
                                         n=1
                                             n2 1   4

   Solución:
   i) La función f (x) es par, es decir f (x) = f ( x) 8 x 2 ( ; ); entonces:
   bn = 0
           R             R                               R
   a0 = 1 f (x)dx = 1 x sin xdx = 1 [x ( cos x)]0 + cos xdx = 1
              0              0                                              0
          2
              R                          2
                                             R
   an =           f (x) cos(nx)dx =              x sin x cos(nx)dx
              0                              0
   Para n 6= 1
           R                                                           2( 1)n+1
   an = 1 x [sin ((n + 1) x)             sin ((n         1) x)] dx =     n2 1
              0
   Para n = 1
          R                              R
   a1 = 2 x sin x cos xdx =          1
                                              x sin(2x)dx =       1
                                                                  2
              0                          0
   Por lo tanto, la serie es:
                                                   1
                                                  X ( 1)n+1
                                      1
                     x sin x = 1        cos x + 2           cos (nx)
                                      2           n=2
                                                      n2 1


   ii) En x = 0 hay un punto de continuidad de la función, entonces la serie
converge a f (0)
                                                          1
                                                         X ( 1)n+1
                                             1
                     f (0) = 0 = 1             cos 0 + 2           cos (0)
                                             2           n=2
                                                             n2 1
   Finalmente
                                       1
                                      X ( 1)n+1   1
                                                =
                                      n=2
                                          n2 1    4



1.4    Problema 4
i) Para f (x) = e [x] , 0 x 2 obtener su serie de Fourier en cosenos, periódica
de período 4.
    ii) Del resultado determinar la convergencia de:
                                              1
                                             X ( 1)n 1

                                             n=1
                                                 2n 1


   Solución: Evaluando la función parte entera tenemos

                                                     4
8
              <
              1   si 0 x < 1
   f (x) =   e 1 si 1 x < 2
          :
             e 2 si      x=2
   Con extensión par fp (x) de f (x) se obtiene la serie:
                                                                   1
                                                                   X                             n x
                                                       a0 +              an cos
                                                                   n=1
                                                                                                  2

          1
                  R
                  1           R
                              2
                                         1                     1                     1
   a0 =   2           1dx +          e       dx =              2   1+e
                  0            1
              R
              1                          R
                                         2
                                                                                                 sin   n x
                                                                                                                        1 sin
                                                                                                                                n x
   an =           cos n2 x dx +                  e     1
                                                           cos n2 x dx =                           n
                                                                                                        2
                                                                                                               j1 + e
                                                                                                                0           n
                                                                                                                                 2
                                                                                                                                      j2
                                                                                                                                       1
                                                                                                    2                        2
            0                                1
        sin n                1 sin n             sin   n
                                                                     sin n                                 1
   =2     n
             2
                      + 2e                   n
                                                        2
                                                                =2     n
                                                                          2
                                                                                         1             e

   Finalmente, la serie es:
                                                 1                                1
                                                                                 X sin n
                             1+e                                         1              2     n x
                                                     + 2(1          e        )            cos
                               2                                                 n=1
                                                                                     n         2
                                                                                                                                           1
    ii) Convergencia de x0 = 2 punto de discontinuidad con límites laterales e
se tiene convergencia:
                                                           1                                      1
                                                                                                 X sin n
                             1           1+e                                             1              2
                         e       =                             + 2(1         e               )            cos n
                                           2                                                     n=1
                                                                                                     n
                                     1                                                1
                                                                                     X sin n
                                 e               1                           1              2
                                                     = 2(1           e           )            cos n
                                         2                                           n=1
                                                                                         n
                                                               1
                                                               X         1
                                                                                         =
                                                               n=1
                                                                   2n            1                4



1.5     Problema 5

Utilice la serie de Fourier para demostrar la identidad trigonométrica
                                                                   3                              1
                                         sin3 (x) =                  sin(x)                         sin(3x)
                                                                   4                              4
   Solución:
   Se calcula la serie de Fourier de f (x) = sin3 (x) en [                                                               ; ] : Como f (x) es
impar la serie será:
                         1
                         X                                                               Z
                                                                                 2
                                 bn sin n                  con bn =                              sin3 (x) sin(nx)dx
                         n=1                                                             0


                                                                         5
En primer lugar, calculemos la integral para n 6= 1
   R                                          R
     sin3 x sin nxdx =   sin3 x cos nx j0 + n sin2 x cos x cos nxdx
                                  n
                                            3
   0                                                                0
   Usando la identidad trigométrica: cos x cos nx = cos(n                           1)x
                                                                                            2
                                                                                                cos(n+11)x

        R
   = 2n sin2 x [cos(n 1)x cos(n + 1)x] dx
      3
                                                     (1)
          0


    En segundo lugar, calculemos el valor del coe…ciente b1 para n = 1 en (1)
             R                       R                            R
   b1 = 1 3 sin2 x cos 2xdx = 43 (1 cos 2x) cos 2xdx = 43 1 cos 4x dx
           2                                                           2
                    0                                    0                                         0
          23            3
   b1 =   4 2      =    4

   En tercer lugar, para n > 1 en (1)
                                  sin(n+1)x       sin(n 1)x             R   sin(n+1)x       sin(n 1)x
   bn =    3
          2n       sin2 x            n+1      +      n 1       j0              n+1      +      n 1      sin 2xdx
                                                                        0
               3
                   R        sin(n+1)x       sin(n 1)x
   bn =       2n               n+1      +      n 1       sin 2xdx
                   0
   Usando la identidad trigonometrica
          3 1 1
                  R
   bn = 2n n+1 2 (cos(n + 1)x cos(n + 3)x) dx
                              0
        3 1 1
                        R
       2n n 1 2             (cos(n      3)x       cos(n + 1)x)dx = 0;              8 n 6= 3
                        0

   Para n = 3 el cálculo directo, produce:
   b3 = 2 3 2 2 2 = 1
            3
                        4
   Por lo tanto, la serie de Fourier resultante es:
                                              3               1
                                                sin(x)          sin(3x)
                                              4               4
    Luego, por el teorema de la convergencia dada la continuidad de f se tiene
lo requerido.

1.6    Problema 6

Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (t) = e at si
t > 0 considerando una extensión par de f (t) y estudie la convergencia en R:
   Solución:
                  e at si t > 0
   Sea fp (t) =                 ;así de…nida es una función par, luego:
                   eat si t < 0




                                                         6
Z1                                       Z1
                                                                         au
      A(w) = 2              f (u) cos(wu)du = 2                      e        cos(wu)du
                       0                                        0
                                Zb
                                           au
              = 2 lim                 e         cos(wu)du
                       b!1
                                0
                                           au                                                     b
                                      e
              = 2 lim                               ( a cos(wu) + w sin(wu))
                       b!1          a2 + w2                                                       0
                                           ab
                                      e                                                                    a
              = 2 lim                               ( a cos(wb) + w sin(wb)) +
                       b!1          a2    +   w2                                                      a2   + w2
                      2a
              =
                   a2 + w2
   Entonces la integral de Fourier de f (t) es:
                       Z1                                                Z1
                  1            2a               2a                             cos(wx)
                                    cos(wx)dw =                                        dw
                            a2 + w2                                            a2 + w2
                       0                                                 0
    Como la funcion es continua en R;aplicando el criterio de la convergencia, la
integral converge a f (t):
                                      Z1
                                           cos(wx)                            ax
                                                   dw =    e
                                           a2 + w2      2a
                                      0




1.7    Problema 7
                                                                                                                  jxj
Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (x) = xe                                              si
x 2 ( 1; 1) y estudie su convergencia en R:

   Solución:
   Se tiene que f (x) es una función impar. Examinemos, si se cumplen las
condiciones de existencia de integral de Fourier.
   En primer lugar

                  Z1                                      Z1
                                jxj                                 x
                           xe         dx =            2        xe       dx
                  1                                       0
                                                          2                                      3
                                                                                   Z1

                                                =     2 4 xe         x 1
                                                                      j0      +         e   x
                                                                                                dx5
                                                                                   0
                                                =     2 1=2

                                                          7
Además, f es continua y diferenciable 8x.
   Los coe…cientes de Fourier de f son:


                       A(w) =              0 ya que f es una función impar
                                           Z1
                                                                     4w
                       B(w) =                  ue juj sin(wu)du =          2
                                                                  (1 + w2 )
                                           1

   Entonces, para todo x la integral de Fourier converje a:
                                                  Z1
                                      x       4            w
                              xe          =                         2   sin(wx)dw
                                                       (1 + w2 )
                                                  0


1.8    Problema 8
   Sea f la función pulso rectangular unitario de período 2 de…nida
                   1
                   2    si             <x<
por f (x) =                                                a) Representar gra…ca-
                   0 si       1 x<       ó    <x 1
mente f (x)
   b) Obtener la serie de Fourier de f (x) .
   c) Si an ( ) es el coe…ciente n-ésimo de la serie anterior, calcular los límites:

                            lim ( lim+ (an ( )) ;              lim+ ( lim (an ( )))
                            n!1       !0                       !0       n!1



   Solución:
   b) Como f es una función par de período 2 ,entonces :


           Z1                   Z
                                      1      1
 a0   =         f (x) dx =              dx =
                                      2      2
           0                      0
            Z1                                         Z
                                                           1                1 sen(n          )
 an   = 2           f (x) cos(n x)dx = 2                     cos (n x) dx =                      = an ( )
                                                           2                     n
                0                                      0
 bn   = 0 8n

   Luego, se tiene que:
                                   1
                              1 1 X sen(n                      )
                    f (x)       +                                  cos (n x) ; x 2 [ 1; 1]
                              2   n=1
                                       n

   c) En primer lugar calculemos:



                                                           8
1 sen(n   )
         lim+ ( lim (an ( ))) = lim+ ( lim                  ) = lim+ (0) = 0
         !0    n!1              !0    n!1          n             !0
                                              n!1


   En segundo lugar

                                              1 sen(n   )
        lim ( lim+ (ak ( )) = lim ( lim+                     ) = lim (1) = 1
       n!1     !0            n!1     !0            n             n!1




1.9   Problema 9.

Dada la función f (x) = xe x con x > 0;
  a) Veri…que que considerando las extensiones par e impar de la función f :
          Z 1                           Z 1
                  1 w2                          2w
                       2 )2
                            cos wx dw =                 senwx dw
           0    (1 + w                   0  (1 + w2 )2
   b) Estudiar la convergencia de la IF parar deducir que:
                 Z 1                     Z 1
                           1                      w2
                                   dw =                   dw
                   0   (1 + w2 )2         0    (1 + w2 )2
   Solución
   Consideremos para f (x) = xex con x > 0 la extensión par


                       xe x si x > 0
      fp (x) =                           =)
                        xex si x < 0
                      Z
                      1                              Z
                                                     1
                    1                                              x
      fp (x)             A (w) cos wxdw con A (w) = 2 xe               cos wx dx
                      0                                      0



   Ahora, consideremos la extensión impar de f


                      xe x si x > 0
      fi (x) =                        =)
                       xex si x < 0
                      Z
                      1                            Z
                                                   1
                    1                                              x
      fi (x)            B (w) senwxdw con B (w) = 2 xe                 senwx dx
                      0                                      0

   Podemos calcular los coe…cientes A (w) y B (w) integrando por partes:




                                          9
Z
               1
                                x
A (w) = 2             xe            cos wx dx =)
                  0
               "                                                                                                  #1
                                                                         x
                      xe    x
                                ( cos wx + wsenwx)                   e       ( 1   w2 cos wx           2wsenwx)
A (w) = 2                                                                                      2
                                   (1 + w2 )                                           (1 + w2 )                  0
                                    2
                    1 w
A(w) = 2
                   (1 + w2 )2


               Z
               1
                                x
B (w) = 2              xe           senwx dx =)
                  0
               "                                                                                                  #1
                                                                         x
                      xe    x
                                ( senwx w cos wx)                    e       ( 1   w2 senwx + 2w cos wx)
B (w) = 2                                                                                          2
                                   (1 + w2 )                                           (1 + w2 )                   0
            2w
B(w) = 2
         (1 + w2 )2

    Construyendo las respectivas integrales de Fourier y aplicando el teorema
de la convergencia , puesto que f es una función seccionalmente 8x > 0 ,se tiene
que :

                                                    Z
                                                    1
                                        x       2            1 w2
                                xe          =                          cos wxdw
                                                            (1 + w2 )2
                                                    0
                                                    Z
                                                    1
                                        x       2              2w
                                xe          =                          senwxdw
                                                            (1 + w2 )2
                                                    0

   Por lo tanto, las extensiones son iguales:
              Z
              1                                                  Z
                                                                 1
                        1 w2                                            2w
                                  cos wx dw =                                   senwx dw
                       (1 + w2 )2                                    (1 + w2 )2
              0                                                  0

  b) En x = 0 se tiene un punto en que estas extensiones son continuas, luego
ambas integrales convergen a f (0) = 0
        Z
        1                                           Z
                                                    1                              Z
                                                                                   1
              1 w2                                              1                         w2
                        dw = 0 =)                                      dw =                       dw
             (1 + w2 )2                                     (1 + w2 )2                 (1 + w2 )2
         0                                              0                          0




                                                            10
1.10   Problema 10.
                                                                                                       Z
                                                                                                       1
                                                                                                   1
  Si f (x)es una función par ,con integral de Fourier f (x) =                                              A (w) cos(wx)dw,
                                                                                                       0
                                                         Z
                                                         1
                                                     1                                                      dA(w)
demuestre que:              a) xf (x) =                      A (w) cos(wx)dw; donde A (w) =                  dw
                                                         0
                        Z
                        1
                    1                                                                    d2 A(w)
  b) x2 f (x) =                 A (w) cos(wx)dw; donde A (w) =                             dw2
                            0
  Solución
                                                     Z
                                                     1
                                                 1
  a) Se tiene que xf (x) =                               A (w) sen(wx)dw; es una función impar,
                                                     0
                                        Z
                                        1

  entonces A (w) = 2                        v f (v) sen(wv)dv (1):
                                        0
                            Z
                            1                                                       Z
                                                                                    1
                        1
  Como f (x) =                      A (w) cos(wx)dw con              A (w) = 2          f (v) cos(wv)dv:
                                0                                                   0
                                                                                    Z
                                                                                    1
                                                                    dA(w)
  Entonces, derivando el coe…ciente queda                            dw     =   2       vf (v) sen(wv)dv (2)
                                                                                    0
  Por lo tanto, comparando (1) y (2) se tiene dA(w) = A (w)
                                               dw
                       Z
                       1

  b) Como x2 f (x) = 1   A (w) cos(wx)dw; es una función par,
                                            0
                                        Z
                                        1
                                    2
  entonces A (w) =                              v 2 f (v) cos(wv)dv (1)
                                        0
                                Z
                                1                                                   Z
                                                                                    1
                        1
  Como, f (x) =                     A (w) cos(wx)dw con               A (w) = 2         f (v) cos(wv)dv:
                                0                                                   0
                                                         Z
                                                         1
                                dA(w)
  Por consiguiente               dw             =    2       vf (v) sen(wv)dv =)
                                                         0
                    Z
                    1
   2
   d A(w)
     dw2    =   2       v 2 f (v) cos(wv)dv (2)
                    0
                                                                       2
  Por lo tanto, comparando (1) y (2)se tiene d dw2 =
                                               A(w)
                                                                                    A (w) :




                                                               11

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  • 1. Universidad de Santiago de Chile Autores: Miguel Martínez Concha Facultad de Ciencia Carlos Silva Cornejo Departamento de Matemática y CC Emilio Villalobos Marín 1 Ejercicios Resueltos (ejemplar de prueba) Mediante la inclusión de ejercicios resueltos se espera que los es- tudiantes tengan portunidad de movilizar sus capacidades para bus- car, analizar, procesar, representar y comunicar diferentes tipos de información, decodi…cando y traduciendo la información contenida en las funciones, grá…cos, series de Fourier, integrales de Fourier y sus propiedades. 1.1 Problema 1. i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 .Representar gra…camente y estudiar la convergencia de la serie en R: 0 si x 0 f (x) = x si 0 x Solución: i) Calculo de los coe…cientes de Fourier. " # 1 R 1 R 0 R 1 R a0 = 2 f (x)dx = 2 f (x)dx + f (x)dx = 2 xdx 0 0 h 2i 1 x a0 = 2 2 = 4 0 R R an = 1 f (x) cos(nx)dx = 1 x cos(nx)dx 0 Usando hel método de integración h partes se tiene: i i por n 1 x cos(nx) cos(nx) an = n + n2 = 1 0 0 + ( n1) 2 1 n2 0 ( 1)n 1 0 para n par an = n2 = 2 n2 para n impar así: a2n = 0 8n a2n 1 = (2n 21)2 8 n: R R bn = 1 f (x) sin(nx)dx = 1 x sin(nx)dx 0 h i x cos(nx) sin(nx) = 1 n + n2 = cos(n ) n 0 luego el coe…ciente es: n+1 bn = ( 1)n 1
  • 2. Por lo tanto, la serie de Fourier será: 1 " # X 2 ( 1) n+1 + 2 cos ((2n 1) x) + sin(nx) 4 n=1 (2n 1) n En todos los puntos de continuidad la serie converge a f (x) y en los puntos de discontinuidad del tipo x = + 2n con n 2 Z, la serie converge a 2 : ii) A partir del resultado anterior obtenga la suma de la serie: 1 X 1 n=1 (2n 1)2 Solución.(ii) Evaluando en x = 0 se tiene 2 1 1 1 0= + 2 + 2 + ::: 4 12 3 5 de donde 2 1 1 1 = 2 + 2 + 2 + ::: 4 1 3 5 y de aquí 1 X 2 1 = n=1 (2n 1)2 8 1.2 Problema 2 i) Desarrollar en serie de Fourier la función periódica de período 2 , de…nida por: f (x) = x2 ; x ii) A partir del resultado obtenido calcular la suma de: 1 X 1 n=1 n2 1 X 1 iiI) Determine la convergencia de la serie n=1 n4 Solución: i) La función f es par por lo cual obtendremos una serie de cosenos, que tiene la forma: 1 X a0 + an cos (nx) n=1 2
  • 3. R R h i 1 1 1 x3 2 a0 = f (x)dx = x2 dx = 3 = 3 0 0 0 2 R 2 R an = f (x) cos(nx)dx = x2 cos(nx)dx h 0 i 0 x2 sin(nx) 4( 1)n an = n + 2x cos(nx) n2 = 4 cos(n ) n2 = n2 0 Luego, la serie es: 2 1 X ( 1)n +4 cos (nx) 3 n=1 n2 Como la función es continua en R ,entonces: 2 1 X ( 1)n x2 = +4 cos (nx) ; todo x real. 3 n=1 n2 Solución (ii) 2 La serie numérica se puede obtener haciendo x = y f( ) = ; 2 2 1 1 1 = 4 ::: 3 12 22 32 de donde 1 X 1 2 2 1 = = n=1 n2 4 3 6 iii) Como la función f es seccionalmente suave para x y f( )= f ( ) se cumplen las condiciones de su…ciencia de la identidad de Parseval entonces Z 2 1 X 4 ( 1)n 2 1 2 x2 dx = 2 + =) 3 n=1 n2 1 X 16 1 x5 2 4 = + =) 5 9 n=1 n4 1 X 1 4 = n=1 n2 90 1.3 Problema 3 Sea f (x) = x(sin x); si < x < ; entonces: i) Determine la serie de esta función. 3
  • 4. ii) Pruebe la convergencia de la serie: 1 X ( 1)n 1 = n=1 n2 1 4 Solución: i) La función f (x) es par, es decir f (x) = f ( x) 8 x 2 ( ; ); entonces: bn = 0 R R R a0 = 1 f (x)dx = 1 x sin xdx = 1 [x ( cos x)]0 + cos xdx = 1 0 0 0 2 R 2 R an = f (x) cos(nx)dx = x sin x cos(nx)dx 0 0 Para n 6= 1 R 2( 1)n+1 an = 1 x [sin ((n + 1) x) sin ((n 1) x)] dx = n2 1 0 Para n = 1 R R a1 = 2 x sin x cos xdx = 1 x sin(2x)dx = 1 2 0 0 Por lo tanto, la serie es: 1 X ( 1)n+1 1 x sin x = 1 cos x + 2 cos (nx) 2 n=2 n2 1 ii) En x = 0 hay un punto de continuidad de la función, entonces la serie converge a f (0) 1 X ( 1)n+1 1 f (0) = 0 = 1 cos 0 + 2 cos (0) 2 n=2 n2 1 Finalmente 1 X ( 1)n+1 1 = n=2 n2 1 4 1.4 Problema 4 i) Para f (x) = e [x] , 0 x 2 obtener su serie de Fourier en cosenos, periódica de período 4. ii) Del resultado determinar la convergencia de: 1 X ( 1)n 1 n=1 2n 1 Solución: Evaluando la función parte entera tenemos 4
  • 5. 8 < 1 si 0 x < 1 f (x) = e 1 si 1 x < 2 : e 2 si x=2 Con extensión par fp (x) de f (x) se obtiene la serie: 1 X n x a0 + an cos n=1 2 1 R 1 R 2 1 1 1 a0 = 2 1dx + e dx = 2 1+e 0 1 R 1 R 2 sin n x 1 sin n x an = cos n2 x dx + e 1 cos n2 x dx = n 2 j1 + e 0 n 2 j2 1 2 2 0 1 sin n 1 sin n sin n sin n 1 =2 n 2 + 2e n 2 =2 n 2 1 e Finalmente, la serie es: 1 1 X sin n 1+e 1 2 n x + 2(1 e ) cos 2 n=1 n 2 1 ii) Convergencia de x0 = 2 punto de discontinuidad con límites laterales e se tiene convergencia: 1 1 X sin n 1 1+e 1 2 e = + 2(1 e ) cos n 2 n=1 n 1 1 X sin n e 1 1 2 = 2(1 e ) cos n 2 n=1 n 1 X 1 = n=1 2n 1 4 1.5 Problema 5 Utilice la serie de Fourier para demostrar la identidad trigonométrica 3 1 sin3 (x) = sin(x) sin(3x) 4 4 Solución: Se calcula la serie de Fourier de f (x) = sin3 (x) en [ ; ] : Como f (x) es impar la serie será: 1 X Z 2 bn sin n con bn = sin3 (x) sin(nx)dx n=1 0 5
  • 6. En primer lugar, calculemos la integral para n 6= 1 R R sin3 x sin nxdx = sin3 x cos nx j0 + n sin2 x cos x cos nxdx n 3 0 0 Usando la identidad trigométrica: cos x cos nx = cos(n 1)x 2 cos(n+11)x R = 2n sin2 x [cos(n 1)x cos(n + 1)x] dx 3 (1) 0 En segundo lugar, calculemos el valor del coe…ciente b1 para n = 1 en (1) R R R b1 = 1 3 sin2 x cos 2xdx = 43 (1 cos 2x) cos 2xdx = 43 1 cos 4x dx 2 2 0 0 0 23 3 b1 = 4 2 = 4 En tercer lugar, para n > 1 en (1) sin(n+1)x sin(n 1)x R sin(n+1)x sin(n 1)x bn = 3 2n sin2 x n+1 + n 1 j0 n+1 + n 1 sin 2xdx 0 3 R sin(n+1)x sin(n 1)x bn = 2n n+1 + n 1 sin 2xdx 0 Usando la identidad trigonometrica 3 1 1 R bn = 2n n+1 2 (cos(n + 1)x cos(n + 3)x) dx 0 3 1 1 R 2n n 1 2 (cos(n 3)x cos(n + 1)x)dx = 0; 8 n 6= 3 0 Para n = 3 el cálculo directo, produce: b3 = 2 3 2 2 2 = 1 3 4 Por lo tanto, la serie de Fourier resultante es: 3 1 sin(x) sin(3x) 4 4 Luego, por el teorema de la convergencia dada la continuidad de f se tiene lo requerido. 1.6 Problema 6 Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (t) = e at si t > 0 considerando una extensión par de f (t) y estudie la convergencia en R: Solución: e at si t > 0 Sea fp (t) = ;así de…nida es una función par, luego: eat si t < 0 6
  • 7. Z1 Z1 au A(w) = 2 f (u) cos(wu)du = 2 e cos(wu)du 0 0 Zb au = 2 lim e cos(wu)du b!1 0 au b e = 2 lim ( a cos(wu) + w sin(wu)) b!1 a2 + w2 0 ab e a = 2 lim ( a cos(wb) + w sin(wb)) + b!1 a2 + w2 a2 + w2 2a = a2 + w2 Entonces la integral de Fourier de f (t) es: Z1 Z1 1 2a 2a cos(wx) cos(wx)dw = dw a2 + w2 a2 + w2 0 0 Como la funcion es continua en R;aplicando el criterio de la convergencia, la integral converge a f (t): Z1 cos(wx) ax dw = e a2 + w2 2a 0 1.7 Problema 7 jxj Halle la representación de la integral de Fourier de la función f (x) = xe si x 2 ( 1; 1) y estudie su convergencia en R: Solución: Se tiene que f (x) es una función impar. Examinemos, si se cumplen las condiciones de existencia de integral de Fourier. En primer lugar Z1 Z1 jxj x xe dx = 2 xe dx 1 0 2 3 Z1 = 2 4 xe x 1 j0 + e x dx5 0 = 2 1=2 7
  • 8. Además, f es continua y diferenciable 8x. Los coe…cientes de Fourier de f son: A(w) = 0 ya que f es una función impar Z1 4w B(w) = ue juj sin(wu)du = 2 (1 + w2 ) 1 Entonces, para todo x la integral de Fourier converje a: Z1 x 4 w xe = 2 sin(wx)dw (1 + w2 ) 0 1.8 Problema 8 Sea f la función pulso rectangular unitario de período 2 de…nida 1 2 si <x< por f (x) = a) Representar gra…ca- 0 si 1 x< ó <x 1 mente f (x) b) Obtener la serie de Fourier de f (x) . c) Si an ( ) es el coe…ciente n-ésimo de la serie anterior, calcular los límites: lim ( lim+ (an ( )) ; lim+ ( lim (an ( ))) n!1 !0 !0 n!1 Solución: b) Como f es una función par de período 2 ,entonces : Z1 Z 1 1 a0 = f (x) dx = dx = 2 2 0 0 Z1 Z 1 1 sen(n ) an = 2 f (x) cos(n x)dx = 2 cos (n x) dx = = an ( ) 2 n 0 0 bn = 0 8n Luego, se tiene que: 1 1 1 X sen(n ) f (x) + cos (n x) ; x 2 [ 1; 1] 2 n=1 n c) En primer lugar calculemos: 8
  • 9. 1 sen(n ) lim+ ( lim (an ( ))) = lim+ ( lim ) = lim+ (0) = 0 !0 n!1 !0 n!1 n !0 n!1 En segundo lugar 1 sen(n ) lim ( lim+ (ak ( )) = lim ( lim+ ) = lim (1) = 1 n!1 !0 n!1 !0 n n!1 1.9 Problema 9. Dada la función f (x) = xe x con x > 0; a) Veri…que que considerando las extensiones par e impar de la función f : Z 1 Z 1 1 w2 2w 2 )2 cos wx dw = senwx dw 0 (1 + w 0 (1 + w2 )2 b) Estudiar la convergencia de la IF parar deducir que: Z 1 Z 1 1 w2 dw = dw 0 (1 + w2 )2 0 (1 + w2 )2 Solución Consideremos para f (x) = xex con x > 0 la extensión par xe x si x > 0 fp (x) = =) xex si x < 0 Z 1 Z 1 1 x fp (x) A (w) cos wxdw con A (w) = 2 xe cos wx dx 0 0 Ahora, consideremos la extensión impar de f xe x si x > 0 fi (x) = =) xex si x < 0 Z 1 Z 1 1 x fi (x) B (w) senwxdw con B (w) = 2 xe senwx dx 0 0 Podemos calcular los coe…cientes A (w) y B (w) integrando por partes: 9
  • 10. Z 1 x A (w) = 2 xe cos wx dx =) 0 " #1 x xe x ( cos wx + wsenwx) e ( 1 w2 cos wx 2wsenwx) A (w) = 2 2 (1 + w2 ) (1 + w2 ) 0 2 1 w A(w) = 2 (1 + w2 )2 Z 1 x B (w) = 2 xe senwx dx =) 0 " #1 x xe x ( senwx w cos wx) e ( 1 w2 senwx + 2w cos wx) B (w) = 2 2 (1 + w2 ) (1 + w2 ) 0 2w B(w) = 2 (1 + w2 )2 Construyendo las respectivas integrales de Fourier y aplicando el teorema de la convergencia , puesto que f es una función seccionalmente 8x > 0 ,se tiene que : Z 1 x 2 1 w2 xe = cos wxdw (1 + w2 )2 0 Z 1 x 2 2w xe = senwxdw (1 + w2 )2 0 Por lo tanto, las extensiones son iguales: Z 1 Z 1 1 w2 2w cos wx dw = senwx dw (1 + w2 )2 (1 + w2 )2 0 0 b) En x = 0 se tiene un punto en que estas extensiones son continuas, luego ambas integrales convergen a f (0) = 0 Z 1 Z 1 Z 1 1 w2 1 w2 dw = 0 =) dw = dw (1 + w2 )2 (1 + w2 )2 (1 + w2 )2 0 0 0 10
  • 11. 1.10 Problema 10. Z 1 1 Si f (x)es una función par ,con integral de Fourier f (x) = A (w) cos(wx)dw, 0 Z 1 1 dA(w) demuestre que: a) xf (x) = A (w) cos(wx)dw; donde A (w) = dw 0 Z 1 1 d2 A(w) b) x2 f (x) = A (w) cos(wx)dw; donde A (w) = dw2 0 Solución Z 1 1 a) Se tiene que xf (x) = A (w) sen(wx)dw; es una función impar, 0 Z 1 entonces A (w) = 2 v f (v) sen(wv)dv (1): 0 Z 1 Z 1 1 Como f (x) = A (w) cos(wx)dw con A (w) = 2 f (v) cos(wv)dv: 0 0 Z 1 dA(w) Entonces, derivando el coe…ciente queda dw = 2 vf (v) sen(wv)dv (2) 0 Por lo tanto, comparando (1) y (2) se tiene dA(w) = A (w) dw Z 1 b) Como x2 f (x) = 1 A (w) cos(wx)dw; es una función par, 0 Z 1 2 entonces A (w) = v 2 f (v) cos(wv)dv (1) 0 Z 1 Z 1 1 Como, f (x) = A (w) cos(wx)dw con A (w) = 2 f (v) cos(wv)dv: 0 0 Z 1 dA(w) Por consiguiente dw = 2 vf (v) sen(wv)dv =) 0 Z 1 2 d A(w) dw2 = 2 v 2 f (v) cos(wv)dv (2) 0 2 Por lo tanto, comparando (1) y (2)se tiene d dw2 = A(w) A (w) : 11