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24765431804577715100330titoESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL<br />INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS<br />LABORATORIO DE FISICA B<br />Título de la práctica:<br />Elasticidad<br />Profesor:<br />Ing. José Alexander Ortega Medina<br />Nombre: <br />Robert Roca Figueroa<br />Fecha de entrega del informe:<br />Miércoles, 1 de junio de 2011<br />Paralelo: <br />6<br />Año - Término:                  <br />                <br />I Término 2011<br />RESUMEN:<br />Con la ayuda de un gancho, colocamos varios pesos en el centro de una viga. Anotamos las deformaciones que sufre con cada incremento de masa. Con los datos obtenidos realizamos el gráfico  Ymax vs F , con la pendiente del mismo hallamos E (módulo de Young), por último determinamos el material con el cual trabajamos.<br />OBJETIVO:<br />Calcular experimentalmente el módulo de Young de un material de ingeniería.<br />INTRODUCCIÓN:<br />La relación entre el esfuerzo  σ y la deformación unitaria δ queda establecida por la ley de Hooke que toma la forma<br />σ=E∂   (1)<br />Donde E es el modulo de Young. Esta es una constante propia del material.<br />Una viga sometida a una carga concentrada en su centro, se deforma de manera que se puede considerar que las fibras cercanas a la concavidad se contraen y aquellas que se encuentran próximas al lado convexo se alargan.<br />La fibra A-A’ cuya longitud no se altera es conocida como la fibra neutra.<br />56769035560<br />De acuerdo a la ley de Hooke, la deformación unitaria δ de estas fibras es proporcional al esfuerzo σ. La resultante F de las fuerzas aplicadas a las fibras sobre la fibra neutra debajo de ella crea el momento flexionante M.<br />56769070485<br />El radio de la curvatura R de la fibra neutra, se relaciona con el modulo de Young E de acuerdo a la ecuación:<br />1R=MEI  (2)<br />Donde M es el momento flector e I es el Momento de Inercia del área de la sección transversal<br />I=y2dA <br />Una viga apoyada como se indica en la figura 3, con una carga concentrada F en su centro tiene reacciones en los apoyos; que de acuerdo a las condiciones de equilibrio son. <br />1472565234950R=F2<br />El momento flexionante en una sección transversal de la viga se obtiene de la condición de equilibrio de momentos, para la sección izquierda de la Viga.<br />M-xF2=0<br />De forma que el momento flexionante a una distancia x del extremo será:<br />Mx=F2x  3<br />La flexión de una viga se puede describir con la forma que toma la fibra neutra.<br />Consideremos un sistema de coordenadas como el de la figura.<br />132016535560<br />El radio de curvatura se puede obtener con la formula<br />1R=d2ydx2M1+dydx23/2  (2)<br />Si se considera que la derivada es pequeña, porque la concavidad no es muy pronunciada; el inverso del radio de curvatura puede aproximarse con<br />1R=d2ydx2  (4)<br />Reemplazando en (2) se tiene:<br />d2ydx2=M(x)El  (5)<br />Donde M(x) es el momento flexionante a la distancia x del extremo de la viga. De las ecuaciones (5) y (3) se tiene<br />d2ydx2=F2Elx   6<br />La solución Y=Y(x) de la ecuación diferencial (6) representa el perfil de la viga para las condiciones de carga dada<br />Y=F12El x3-FL216Elx<br />La deflexión máxima ocurre cuando x=L2 de modo que<br />Ymax=L348ElF   7<br />En donde<br />I=bh312    (8)<br />Para una sección transversal rectangular de la varilla de ancho b y altura h.<br />.<br />PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:<br />Aseguramos de cumplir con las normas de seguridad dentro del laboratorio ya que podríamos tener problemas con la realización de la práctica.<br />Medimos la longitud de la platina de metal (L) y con el vernier se toman las  medidas del ancho  (b) y del espesor (h). Recordar que cada una de las mediciones anotadas debe llevar su incertidumbre.<br />Fijamos la platina al soporte y encendemos el equipo de bajo voltaje.<br />Ajustamos el tornillo vernier a la platina hasta que el bombillo esté a punto de encender. Fijamos nuestro nivel de medición en el tornillo, el cual una vez establecido será el que usaremos durante el desarrollo de la práctica. Anotamos la medida que nos dé el tornillo y esta será nuestra medición inicial a la que llamaremos y1.<br />Colocamos un gancho en la mitad de la varilla y con un juego de masas de 0,5 kg, 1,0 kg y 2,0 kg empezamos a ponerlas en él gancho. Se colocan las masas en la mitad de la varilla (en ese punto se da la máxima deflexión para cada carga).<br />Observamos que el bombillo este levemente encendido y empezamos la practica colocando la masa de 0,5 kg la varilla se desplazará hacia abajo cierta distancia. Con el tornillo de Vernier, empezaremos a girarlo hasta que el circuito se cierre, nos daremos cuenta que en ese momento la bombilla se encenderá. Anotamos esta primera medida y la llamaremos y2.<br />El avance vertical de un milímetro en la vertical corresponde a una vuelta del tornillo. La escala horizontal indica la fracción de vuelta y tiene 100 divisiones. Se usara el ajuste de la ecuación (7) para la deflexión máxima (Ymax ) y la carga F para establecer el valor de E del material de la varilla.<br />Después de haber agregado la primera masa, continuamos adicionando mas masas al gancho de tal manera que al final tengamos todas las combinaciones posibles con las masas, así mismo debemos ajustar el vernier hasta que la bombilla se encienda para calcular la deflexión máxima. Esto lo haremos cada vez que se agregue una nueva masa al gancho.<br />Ahora que tenemos todos los datos, hacemos la grafica de Ymax vs F(N), calculamos el valor de la pendiente e igualamos a la ecuación I=bh312 . Aplicamos la fórmula para calcula el E.<br />Presentamos resultados.<br />TABLA DE DATOS:<br />m (kg)F (N)y ± 0,05 x10-3(m)0,50,5* 9,8= 4,94,21,01,0* 9,8=9,89,01,51,5* 9,8= 14,713,12,02,0* 9,8=19,617,22,52,5* 9,8= 24,522,33,03,0* 9,8= 29,426,83,53,5* 9,8= 34,330,7<br />GRÁFICO:<br />22648-1270<br />CÁLCULOS:<br />Determinación de la pendiente con su respectivo error:<br />m=∆y∆x<br />m=15,0-5,0x10-317,0-6,0<br />m=10,0x10-311,0<br />m=0,082 x 10-3<br />m=∆y∆x<br />C=∆y<br />C=15,0-5,0<br />C=10,0x10-3<br />∆C=∆yf+∆y0<br />∆C=0,05+0,05<br />∆C=0,10<br />B=∆x<br />B=17,0-6,0<br />B=11,0<br />∆B=∆Xf+∆X0<br />∆B=0,05+0,05<br />∆B=0,10<br />∂ m=CB<br />∆ m=1B ∂C+ -CB2∂B<br />∆ m=111,0 (0,10)+ -10,0x10-311,020,10<br />∆ m=0,9x10-3<br />m=0,08 ±0,9 x10-3<br />Determinación del momento de inercia:<br />Datos:<br />b=3,11 ±0,05x 10-2<br />h=0,65 ±0,05x 10-2<br />I=bh312    <br />I=3,11 x10-2 x 0,65 x 10-2312<br />I=7,12 x 10-10 Nm<br />∂I=bh312 <br />∆I=h312 ∂b+ 3bh212∂h [Nm]<br />∆I=0,6 x 10-23120,05+3 x 3,1 x 10-2x 0,6 x 10-22120,05<br />∆I=0,01 [Nm]<br />I=7,12 ±0,01x10-10 Nm<br />Encontrar el modulo de Young usando la pendiente:<br />m=L348EI<br />E=L348 EI <br />E=(0,798)348 x 0,08 x10-3x (7,12 x 10-10) <br />E=1,85 x 1011  Nm2<br />∂E=L348 mI  Nm2<br />∆E=3L248 mI ∂L+ -L348mI2∂I+-L348m2I∂m<br />∆E=3 x 0,798248x0,08 x 10-3x7,12 x 10-100,05+-0,798348 x 0,08 x 10-3x(7,12 x 10-10)20,01+-0,798348 x 0,08x10-32x7,12x10-10(0,20)<br />∆E=0,07 x1011 [N/m2]<br />E=(1,85 x 1011 ±0,07) x1011 [N/m2]<br />Porcentajes de Errores<br />Error de la pendiente:<br />% δm=0,90,08100%=10,0%<br />Error del modulo de Young:<br />% δE=2,00-1,852,00100%=3,00%<br />Error del momento de Inercia:<br />% δI=0,017,12100%=0,14%<br />ANÁLISIS:<br />De acuerdo a los resultados obtenidos, ¿de qué metal está hecha la viga? Explique.<br />Con la práctica realizada se concluye que el material utilizado es el “acero”, esto se debe a la aproximación del resultado obtenido.<br />Encuentre la diferencia relativa entre el valor teórico y el valor experimental del módulo de Young. Utilice la diferencia % = (Teo-Exp)(100%)/teo.<br />%E=(2,00-1,85)x1011(2,00)x1011100%=7,5%<br />Tomando en cuenta el aparato que utilizó, señale por qué no se obtuvo una concordancia exacta en la pregunta anterior.<br />Porque las mediciones son tomadas a simple vista y no obtenemos exactitud, por lo que existe un porcentaje de error.<br />Demuestre que la deflexión máxima ocurre cuando x = l/2.<br />Y=F12EIx3-FL216EIx<br />dydx=-Ex24Ex-FL216Ex<br />x2=L24<br />x=±L2<br />     <br />En donde:              I=bh312<br />Esto se debe a que el  centro de masa de la barra está en la mitad de ella.<br />DISCUSIÓN:<br />Tabla de Datos: Cada una de las medidas fue tomada a simple vista, anotando la más correcta posible.<br />Cálculos: Aplicar correctamente las fórmulas y datos fue la clave para que la práctica tenga éxito.<br />Errores: El cálculo de errores siempre se debe hacer de la manera correcta, no podemos suponer ni escribir un error aleatoriamente porque estaríamos dañando todo el trabajo práctico que hicimos. <br />Resultados: Determinamos los valores del modulo de Young (E), la pendiente (m) y la inercia (I). Revisando una tabla con módulos de Young, determinamos que el elemento utilizado en la práctica, era de acero.<br />CONCLUSIONES:<br />Terminada la práctica, hallamos el valor del Módulo de Young y comparado con una tabla de módulos de Young de diferentes elementos, concluimos que el material de práctica fue el “acero”, ya que su valor teórico se aproxima al valor demostrado en la práctica.<br />REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA:<br />Guía de Laboratorio de Física B.<br />Física Universitaria – Sears, Zemansky.<br />
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  • 1. 24765431804577715100330titoESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL<br />INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS<br />LABORATORIO DE FISICA B<br />Título de la práctica:<br />Elasticidad<br />Profesor:<br />Ing. José Alexander Ortega Medina<br />Nombre: <br />Robert Roca Figueroa<br />Fecha de entrega del informe:<br />Miércoles, 1 de junio de 2011<br />Paralelo: <br />6<br />Año - Término: <br /> <br />I Término 2011<br />RESUMEN:<br />Con la ayuda de un gancho, colocamos varios pesos en el centro de una viga. Anotamos las deformaciones que sufre con cada incremento de masa. Con los datos obtenidos realizamos el gráfico Ymax vs F , con la pendiente del mismo hallamos E (módulo de Young), por último determinamos el material con el cual trabajamos.<br />OBJETIVO:<br />Calcular experimentalmente el módulo de Young de un material de ingeniería.<br />INTRODUCCIÓN:<br />La relación entre el esfuerzo σ y la deformación unitaria δ queda establecida por la ley de Hooke que toma la forma<br />σ=E∂ (1)<br />Donde E es el modulo de Young. Esta es una constante propia del material.<br />Una viga sometida a una carga concentrada en su centro, se deforma de manera que se puede considerar que las fibras cercanas a la concavidad se contraen y aquellas que se encuentran próximas al lado convexo se alargan.<br />La fibra A-A’ cuya longitud no se altera es conocida como la fibra neutra.<br />56769035560<br />De acuerdo a la ley de Hooke, la deformación unitaria δ de estas fibras es proporcional al esfuerzo σ. La resultante F de las fuerzas aplicadas a las fibras sobre la fibra neutra debajo de ella crea el momento flexionante M.<br />56769070485<br />El radio de la curvatura R de la fibra neutra, se relaciona con el modulo de Young E de acuerdo a la ecuación:<br />1R=MEI (2)<br />Donde M es el momento flector e I es el Momento de Inercia del área de la sección transversal<br />I=y2dA <br />Una viga apoyada como se indica en la figura 3, con una carga concentrada F en su centro tiene reacciones en los apoyos; que de acuerdo a las condiciones de equilibrio son. <br />1472565234950R=F2<br />El momento flexionante en una sección transversal de la viga se obtiene de la condición de equilibrio de momentos, para la sección izquierda de la Viga.<br />M-xF2=0<br />De forma que el momento flexionante a una distancia x del extremo será:<br />Mx=F2x 3<br />La flexión de una viga se puede describir con la forma que toma la fibra neutra.<br />Consideremos un sistema de coordenadas como el de la figura.<br />132016535560<br />El radio de curvatura se puede obtener con la formula<br />1R=d2ydx2M1+dydx23/2 (2)<br />Si se considera que la derivada es pequeña, porque la concavidad no es muy pronunciada; el inverso del radio de curvatura puede aproximarse con<br />1R=d2ydx2 (4)<br />Reemplazando en (2) se tiene:<br />d2ydx2=M(x)El (5)<br />Donde M(x) es el momento flexionante a la distancia x del extremo de la viga. De las ecuaciones (5) y (3) se tiene<br />d2ydx2=F2Elx 6<br />La solución Y=Y(x) de la ecuación diferencial (6) representa el perfil de la viga para las condiciones de carga dada<br />Y=F12El x3-FL216Elx<br />La deflexión máxima ocurre cuando x=L2 de modo que<br />Ymax=L348ElF 7<br />En donde<br />I=bh312 (8)<br />Para una sección transversal rectangular de la varilla de ancho b y altura h.<br />.<br />PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL:<br />Aseguramos de cumplir con las normas de seguridad dentro del laboratorio ya que podríamos tener problemas con la realización de la práctica.<br />Medimos la longitud de la platina de metal (L) y con el vernier se toman las medidas del ancho (b) y del espesor (h). Recordar que cada una de las mediciones anotadas debe llevar su incertidumbre.<br />Fijamos la platina al soporte y encendemos el equipo de bajo voltaje.<br />Ajustamos el tornillo vernier a la platina hasta que el bombillo esté a punto de encender. Fijamos nuestro nivel de medición en el tornillo, el cual una vez establecido será el que usaremos durante el desarrollo de la práctica. Anotamos la medida que nos dé el tornillo y esta será nuestra medición inicial a la que llamaremos y1.<br />Colocamos un gancho en la mitad de la varilla y con un juego de masas de 0,5 kg, 1,0 kg y 2,0 kg empezamos a ponerlas en él gancho. Se colocan las masas en la mitad de la varilla (en ese punto se da la máxima deflexión para cada carga).<br />Observamos que el bombillo este levemente encendido y empezamos la practica colocando la masa de 0,5 kg la varilla se desplazará hacia abajo cierta distancia. Con el tornillo de Vernier, empezaremos a girarlo hasta que el circuito se cierre, nos daremos cuenta que en ese momento la bombilla se encenderá. Anotamos esta primera medida y la llamaremos y2.<br />El avance vertical de un milímetro en la vertical corresponde a una vuelta del tornillo. La escala horizontal indica la fracción de vuelta y tiene 100 divisiones. Se usara el ajuste de la ecuación (7) para la deflexión máxima (Ymax ) y la carga F para establecer el valor de E del material de la varilla.<br />Después de haber agregado la primera masa, continuamos adicionando mas masas al gancho de tal manera que al final tengamos todas las combinaciones posibles con las masas, así mismo debemos ajustar el vernier hasta que la bombilla se encienda para calcular la deflexión máxima. Esto lo haremos cada vez que se agregue una nueva masa al gancho.<br />Ahora que tenemos todos los datos, hacemos la grafica de Ymax vs F(N), calculamos el valor de la pendiente e igualamos a la ecuación I=bh312 . Aplicamos la fórmula para calcula el E.<br />Presentamos resultados.<br />TABLA DE DATOS:<br />m (kg)F (N)y ± 0,05 x10-3(m)0,50,5* 9,8= 4,94,21,01,0* 9,8=9,89,01,51,5* 9,8= 14,713,12,02,0* 9,8=19,617,22,52,5* 9,8= 24,522,33,03,0* 9,8= 29,426,83,53,5* 9,8= 34,330,7<br />GRÁFICO:<br />22648-1270<br />CÁLCULOS:<br />Determinación de la pendiente con su respectivo error:<br />m=∆y∆x<br />m=15,0-5,0x10-317,0-6,0<br />m=10,0x10-311,0<br />m=0,082 x 10-3<br />m=∆y∆x<br />C=∆y<br />C=15,0-5,0<br />C=10,0x10-3<br />∆C=∆yf+∆y0<br />∆C=0,05+0,05<br />∆C=0,10<br />B=∆x<br />B=17,0-6,0<br />B=11,0<br />∆B=∆Xf+∆X0<br />∆B=0,05+0,05<br />∆B=0,10<br />∂ m=CB<br />∆ m=1B ∂C+ -CB2∂B<br />∆ m=111,0 (0,10)+ -10,0x10-311,020,10<br />∆ m=0,9x10-3<br />m=0,08 ±0,9 x10-3<br />Determinación del momento de inercia:<br />Datos:<br />b=3,11 ±0,05x 10-2<br />h=0,65 ±0,05x 10-2<br />I=bh312 <br />I=3,11 x10-2 x 0,65 x 10-2312<br />I=7,12 x 10-10 Nm<br />∂I=bh312 <br />∆I=h312 ∂b+ 3bh212∂h [Nm]<br />∆I=0,6 x 10-23120,05+3 x 3,1 x 10-2x 0,6 x 10-22120,05<br />∆I=0,01 [Nm]<br />I=7,12 ±0,01x10-10 Nm<br />Encontrar el modulo de Young usando la pendiente:<br />m=L348EI<br />E=L348 EI <br />E=(0,798)348 x 0,08 x10-3x (7,12 x 10-10) <br />E=1,85 x 1011 Nm2<br />∂E=L348 mI Nm2<br />∆E=3L248 mI ∂L+ -L348mI2∂I+-L348m2I∂m<br />∆E=3 x 0,798248x0,08 x 10-3x7,12 x 10-100,05+-0,798348 x 0,08 x 10-3x(7,12 x 10-10)20,01+-0,798348 x 0,08x10-32x7,12x10-10(0,20)<br />∆E=0,07 x1011 [N/m2]<br />E=(1,85 x 1011 ±0,07) x1011 [N/m2]<br />Porcentajes de Errores<br />Error de la pendiente:<br />% δm=0,90,08100%=10,0%<br />Error del modulo de Young:<br />% δE=2,00-1,852,00100%=3,00%<br />Error del momento de Inercia:<br />% δI=0,017,12100%=0,14%<br />ANÁLISIS:<br />De acuerdo a los resultados obtenidos, ¿de qué metal está hecha la viga? Explique.<br />Con la práctica realizada se concluye que el material utilizado es el “acero”, esto se debe a la aproximación del resultado obtenido.<br />Encuentre la diferencia relativa entre el valor teórico y el valor experimental del módulo de Young. Utilice la diferencia % = (Teo-Exp)(100%)/teo.<br />%E=(2,00-1,85)x1011(2,00)x1011100%=7,5%<br />Tomando en cuenta el aparato que utilizó, señale por qué no se obtuvo una concordancia exacta en la pregunta anterior.<br />Porque las mediciones son tomadas a simple vista y no obtenemos exactitud, por lo que existe un porcentaje de error.<br />Demuestre que la deflexión máxima ocurre cuando x = l/2.<br />Y=F12EIx3-FL216EIx<br />dydx=-Ex24Ex-FL216Ex<br />x2=L24<br />x=±L2<br /> <br />En donde: I=bh312<br />Esto se debe a que el centro de masa de la barra está en la mitad de ella.<br />DISCUSIÓN:<br />Tabla de Datos: Cada una de las medidas fue tomada a simple vista, anotando la más correcta posible.<br />Cálculos: Aplicar correctamente las fórmulas y datos fue la clave para que la práctica tenga éxito.<br />Errores: El cálculo de errores siempre se debe hacer de la manera correcta, no podemos suponer ni escribir un error aleatoriamente porque estaríamos dañando todo el trabajo práctico que hicimos. <br />Resultados: Determinamos los valores del modulo de Young (E), la pendiente (m) y la inercia (I). Revisando una tabla con módulos de Young, determinamos que el elemento utilizado en la práctica, era de acero.<br />CONCLUSIONES:<br />Terminada la práctica, hallamos el valor del Módulo de Young y comparado con una tabla de módulos de Young de diferentes elementos, concluimos que el material de práctica fue el “acero”, ya que su valor teórico se aproxima al valor demostrado en la práctica.<br />REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA:<br />Guía de Laboratorio de Física B.<br />Física Universitaria – Sears, Zemansky.<br />