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PROBLEMA 1
Sea X una variable a aleatoria discreta con la siguiente función de probabilidad puntual
𝑃(𝑋 = 𝑖) =
𝑘
4𝑖
, 𝑖 = 1,2, ….
a) Encuentre el valor de la constante k
b) Calcule 𝑃(𝑋 ≥ 3)
c) Calcule 𝑃(𝑋 ≤ 6|𝑋 ≥ 3)
d) Sea Y=2X. Encuentre el Rango y la función de probabilidad puntual de Y.
PROBLEMA 2
Una urna contiene 4 bolas blancas y 6 bolas negras. Se lanza una moneda balanceada. Si la moneda
sale cara, se sacan 3 bolas de la urna. Si la moneda sale sello se sacan 5 bolas. En ambos casos la
extracción es sin reposición. Sea X el número de bolas blancas obtenidas.
a) Encuentre la función de probabilidad puntual de X
b) Calcule el valor esperado y la varianza de X.
c) Calcule el valor esperado de X si se sabe que la moneda fue sello.
d) Calcule el valor esperado de X si sabe que X>3.
e) Sea Y el número de bolas negras obtenidas. Calcule el Valor esperado de Y
PROBLEMA 3
Considere el experimento de lanzar una moneda cargada 3 veces seguidas, luego tantos dados
como el número de caras obtenidas. Se define X como la suma total de los dados. Si se sabe que
existe una probabilidad “p” de que en la moneda cargada salga cara, calcule:
a) Valor esperado de X.
b) Varianza de X.
c) Valor esperado de X si se sabe que en obtuvo al menos 1 cara.
d) Varianza de X si se sabe que se obtuvo al menos 1 cara.
e) Realice los cálculos numéricos en a) a d) con p=0.6
PROBLEMA 4
Una moneda se lanza 5 veces. Si se obtienen dos o más caras, el experimento concluye. En caso
contrario, los lanzamientos continúan hasta que se obtiene la segunda cara.
a) Sea X una v.a. que representa el número de caras obtenidas. Determine el rango y la función
de probabilidad puntual de X
b) Calcule el valor esperado de X
c) Calcule la probabilidad que se realicen exactamente 8 lanzamientos.
d) Calcule la probabilidad que se realicen más de 8 lanzamientos.
e) Sea Y una v.a. que representa el número total de lanzamientos. Determine el rango y la
función de probabilidad puntual de Y.
f) Calcule el valor esperado de Y.
aaağ
PROBLEMA 5
Sea




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

−

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−
0
2
1
1
0
2
1
)
(
x
si
e
x
si
e
x
F
x
x
a) Encuentre la f.d.p. correspondiente
b) Calcule E(X) y V(X)
c) Calcule E(X/-1≤ X ≤ 2}
d) Calcule E(X/X>0)
e) Sea Y=|X|. Encuentre la fdp de Y.
f) Calcule E(Y). Comente.
PROBLEMA 6
Sea X una v.a.c. con f.d.p. dada por f(x)=3e-3x+3
, x>=1, y sea Y=eX
. Encuentre.
a) RY
b) 𝑃(𝑌 ≤ 7.5)
c) 𝑃(𝑌 ≤ 7.5|𝑋 ≥ 1.5)
d) E(Y)
e) V(Y)
f) La f.d.p. de Y.
PROBLEMA 7
El costo unitario de fabricación de un instrumento es de 2 UM y el precio de venta de 6 UM. La
duración del instrumento en años es una variable aleatoria X con función de distribución acumulada
𝐹(𝑥) = {
0 𝑥 < 0
2
3
𝑥 −
1
12
𝑥2
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
1 𝑥 > 2
El fabricante garantiza la devolución total de la compra si el instrumento dura menos de un año.
a) Calcule la probabilidad que un instrumento dure menos de un año.
b) Calcule la probabilidad que un instrumento dure menos de 6 meses, si se sabe que el
fabricante hizo efectiva la garantía.
c) Sea U la utilidad del fabricante por cada unidad vendida. Formule U en función de X.
d) Calcule el valor esperado y la varianza de la Utilidad por unidad.
e) Calcule cuál debiese ser el precio de venta, si el fabricante desea tener una utilidad esperada
por unidad de 1UM, manteniendo la garantía de un año.
aldnthldman
cMahuandaumautuamumummdadadahumnunmundumm
m
M
andtlaMANNunNn
MMaNMMM
M
MaMMMMMMMMMMMM
f) Calcule a cuánto debiese reducir el tiempo de garantía, si el fabricante desea tener una
utilidad esperada de 1 UM, manteniendo el precio de venta.
PROBLEMA 8
Se sabe que el peso en gramos de ciertos de chocolates de navidad es una variable aleatoria X con
distribución de probabilidad 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥2
, 8 ≤ 𝑥 ≤ 12. Los chocolates se depositan en cajas de 50
unidades. El peso neto de la caja vacía puede representarse por una variable aleatoria Y con
distribución Uniforme entre 18 y 22 gramos.
a) Calcule el peso esperado total de una caja llena.
b) Calcule la varianza del peso de una caja llena
c) Suponga que Las normas de calidad requieren que cada chocolate pese a lo menos 9.5
gramos. Calcule la probabilidad que un chocolate cualquiera cumpla con la norma.
d) Calcule la probabilidad que en una caja cualquiera, exactamente 45 chocolates cumplan con
la norma.
e) ¿Cuántos chocolates se espera cumplan con la norma de calidad en cada caja?
Suponga que el peso de distintos chocolates corresponde a v.a. independientes, y que estos a su
vez son independientes del peso de las cajas.
PROBLEMA 9
La demanda diaria (en kilos) por pan fresco en cierta panadería es una variable aleatoria X con
f.d.p. ax
ae
x
f −
=
)
( , x≥0, con
1000
1
=
a . La producción diaria es de 1100 kilos. El dueño de la
panadería envía el pan que no se vende a un hogar de ancianos. Determine:
a) La cantidad de pan que debiera producirse diariamente para asegurar que la demanda se
satisface con un 98% de probabilidad.
b) Sea Y la demanda satisfecha (es decir, la cantidad de pan que efectivamente se vende a los
clientes). Formule Y en función de X y calcule el valor esperado de Y
c) Encuentre la función de distribución acumulada de Y. Discuta si Y es una v.a.d. o una v.a.c.
d) La cantidad esperada de pan que recibe el hogar en aquellos días que la demanda se
satisface completamente.
e) Suponga que el consumo de pan en el hogar es de 80 kilos. Sea Z la cantidad de pan que el
hogar debe comprar diariamente. Formule Z en función de X y calcule el su valor esperado.
PROBLEMA 10
Una línea de buses pasa por cierto paradero exactamente cada 15 minutos, empezando a las 12:00.
Sea X una v.a. que representa el instante de tiempo, medido como el número de minutos a partir
de las 12:00, en que Juan llega al paradero. La Distribución de probabilidades de X está dada por
60
0
,
)
( 

= x
kx
x
f .
n
M
M
M
M
M
m
N
N
N
m
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
a) Calcule la probabilidad que Juan tenga que esperar más de 5 minutos por el bus.
b) Calcule la probabilidad que Juan tenga que esperar más de 5, pero menos de 10 minutos por el
bus.
c) Calcule la probabilidad que Juan tenga que esperar el bus menos de 10 minutos si se sabe que
lleva esperando más de 5 minutos.
d) Sea Y el tiempo que Juan espera por el bus. Formule Y en función de X.
e) Calcule el valor esperado de Y.
f) Calcule la varianza de Y
PROBLEMA 11
En una empresa farmacéutica, cierto excipiente EA01 es usado en la fabricación de varios productos.
El consumo diario de EA01 es una variable aleatoria con ax
ae
x
f −
=
)
( , x≥0, con
90
1
=
a . Cada
día, el jefe de producción solicita a Bodega un lote de 100 kilos. Si el lote se agota durante la jornada,
solicita una reposición (nuevo lote) de 20 kilos. Si la reposición también se agota, simplemente
suspende la producción de los productos que utilizan EA01. Al terminar la jornada, el jefe de
producción revisa la cantidad de EA01 sobrante, y si es mayor a 10 kilos, la retorna a Bodega, en
caso contrario, se descarta.
a) Calcule la probabilidad que un día cualquiera deba suspenderse la producción
b) Calcule la probabilidad que un día cualquiera se retorne más de 10 kilos a la bodega.
c) Se Y la cantidad total de EA01 que se consume en un día cualquiera. Formule Y como función
de X.
d) Calcule El valor esperado de Y.
e) Calcule la varianza de Y.
PROBLEMA 12
La demanda diaria por pan en una panadería es una variable aleatoria con distribución

 


= −
−
x
e
x
f x
,
)
( )
(
. El propietario estima en un día “bueno” 01
.
0
=
 y 100
=
 , mientras
que en un día “malo” 0125
.
0
=
 y 40
=
 . La probabilidad que un día sea “bueno” es de un 60%.
Suponga que el propietario decide fabricar 200 kilos de pan diarios
a) Calcule la probabilidad que un día cualquiera la demanda exceda la producción.
b) Determine qué cantidad se debiese producir de manera de asegurar que la demanda se
satisface completamente con un 80% de probabilidad.
c) Calcule el valor esperado y la varianza de la demanda de pan.
d) Calcule el valor esperado de la cantidad de pan que se vende durante el día. Tenga presente
que, obviamente, no se puede vender más pan del que se fabrica.
e) Calcule el valor esperado de la cantidad de pan que no se vende cada día.
P
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M
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  • 1. PROBLEMA 1 Sea X una variable a aleatoria discreta con la siguiente función de probabilidad puntual 𝑃(𝑋 = 𝑖) = 𝑘 4𝑖 , 𝑖 = 1,2, …. a) Encuentre el valor de la constante k b) Calcule 𝑃(𝑋 ≥ 3) c) Calcule 𝑃(𝑋 ≤ 6|𝑋 ≥ 3) d) Sea Y=2X. Encuentre el Rango y la función de probabilidad puntual de Y. PROBLEMA 2 Una urna contiene 4 bolas blancas y 6 bolas negras. Se lanza una moneda balanceada. Si la moneda sale cara, se sacan 3 bolas de la urna. Si la moneda sale sello se sacan 5 bolas. En ambos casos la extracción es sin reposición. Sea X el número de bolas blancas obtenidas. a) Encuentre la función de probabilidad puntual de X b) Calcule el valor esperado y la varianza de X. c) Calcule el valor esperado de X si se sabe que la moneda fue sello. d) Calcule el valor esperado de X si sabe que X>3. e) Sea Y el número de bolas negras obtenidas. Calcule el Valor esperado de Y PROBLEMA 3 Considere el experimento de lanzar una moneda cargada 3 veces seguidas, luego tantos dados como el número de caras obtenidas. Se define X como la suma total de los dados. Si se sabe que existe una probabilidad “p” de que en la moneda cargada salga cara, calcule: a) Valor esperado de X. b) Varianza de X. c) Valor esperado de X si se sabe que en obtuvo al menos 1 cara. d) Varianza de X si se sabe que se obtuvo al menos 1 cara. e) Realice los cálculos numéricos en a) a d) con p=0.6 PROBLEMA 4 Una moneda se lanza 5 veces. Si se obtienen dos o más caras, el experimento concluye. En caso contrario, los lanzamientos continúan hasta que se obtiene la segunda cara. a) Sea X una v.a. que representa el número de caras obtenidas. Determine el rango y la función de probabilidad puntual de X b) Calcule el valor esperado de X c) Calcule la probabilidad que se realicen exactamente 8 lanzamientos. d) Calcule la probabilidad que se realicen más de 8 lanzamientos. e) Sea Y una v.a. que representa el número total de lanzamientos. Determine el rango y la función de probabilidad puntual de Y. f) Calcule el valor esperado de Y. aaağ
  • 2. PROBLEMA 5 Sea         −  = − 0 2 1 1 0 2 1 ) ( x si e x si e x F x x a) Encuentre la f.d.p. correspondiente b) Calcule E(X) y V(X) c) Calcule E(X/-1≤ X ≤ 2} d) Calcule E(X/X>0) e) Sea Y=|X|. Encuentre la fdp de Y. f) Calcule E(Y). Comente. PROBLEMA 6 Sea X una v.a.c. con f.d.p. dada por f(x)=3e-3x+3 , x>=1, y sea Y=eX . Encuentre. a) RY b) 𝑃(𝑌 ≤ 7.5) c) 𝑃(𝑌 ≤ 7.5|𝑋 ≥ 1.5) d) E(Y) e) V(Y) f) La f.d.p. de Y. PROBLEMA 7 El costo unitario de fabricación de un instrumento es de 2 UM y el precio de venta de 6 UM. La duración del instrumento en años es una variable aleatoria X con función de distribución acumulada 𝐹(𝑥) = { 0 𝑥 < 0 2 3 𝑥 − 1 12 𝑥2 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 1 𝑥 > 2 El fabricante garantiza la devolución total de la compra si el instrumento dura menos de un año. a) Calcule la probabilidad que un instrumento dure menos de un año. b) Calcule la probabilidad que un instrumento dure menos de 6 meses, si se sabe que el fabricante hizo efectiva la garantía. c) Sea U la utilidad del fabricante por cada unidad vendida. Formule U en función de X. d) Calcule el valor esperado y la varianza de la Utilidad por unidad. e) Calcule cuál debiese ser el precio de venta, si el fabricante desea tener una utilidad esperada por unidad de 1UM, manteniendo la garantía de un año. aldnthldman cMahuandaumautuamumummdadadahumnunmundumm m M andtlaMANNunNn MMaNMMM M MaMMMMMMMMMMMM
  • 3. f) Calcule a cuánto debiese reducir el tiempo de garantía, si el fabricante desea tener una utilidad esperada de 1 UM, manteniendo el precio de venta. PROBLEMA 8 Se sabe que el peso en gramos de ciertos de chocolates de navidad es una variable aleatoria X con distribución de probabilidad 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥2 , 8 ≤ 𝑥 ≤ 12. Los chocolates se depositan en cajas de 50 unidades. El peso neto de la caja vacía puede representarse por una variable aleatoria Y con distribución Uniforme entre 18 y 22 gramos. a) Calcule el peso esperado total de una caja llena. b) Calcule la varianza del peso de una caja llena c) Suponga que Las normas de calidad requieren que cada chocolate pese a lo menos 9.5 gramos. Calcule la probabilidad que un chocolate cualquiera cumpla con la norma. d) Calcule la probabilidad que en una caja cualquiera, exactamente 45 chocolates cumplan con la norma. e) ¿Cuántos chocolates se espera cumplan con la norma de calidad en cada caja? Suponga que el peso de distintos chocolates corresponde a v.a. independientes, y que estos a su vez son independientes del peso de las cajas. PROBLEMA 9 La demanda diaria (en kilos) por pan fresco en cierta panadería es una variable aleatoria X con f.d.p. ax ae x f − = ) ( , x≥0, con 1000 1 = a . La producción diaria es de 1100 kilos. El dueño de la panadería envía el pan que no se vende a un hogar de ancianos. Determine: a) La cantidad de pan que debiera producirse diariamente para asegurar que la demanda se satisface con un 98% de probabilidad. b) Sea Y la demanda satisfecha (es decir, la cantidad de pan que efectivamente se vende a los clientes). Formule Y en función de X y calcule el valor esperado de Y c) Encuentre la función de distribución acumulada de Y. Discuta si Y es una v.a.d. o una v.a.c. d) La cantidad esperada de pan que recibe el hogar en aquellos días que la demanda se satisface completamente. e) Suponga que el consumo de pan en el hogar es de 80 kilos. Sea Z la cantidad de pan que el hogar debe comprar diariamente. Formule Z en función de X y calcule el su valor esperado. PROBLEMA 10 Una línea de buses pasa por cierto paradero exactamente cada 15 minutos, empezando a las 12:00. Sea X una v.a. que representa el instante de tiempo, medido como el número de minutos a partir de las 12:00, en que Juan llega al paradero. La Distribución de probabilidades de X está dada por 60 0 , ) (   = x kx x f . n M M M M M m N N N m N N N N N N N N N N N N N
  • 4. a) Calcule la probabilidad que Juan tenga que esperar más de 5 minutos por el bus. b) Calcule la probabilidad que Juan tenga que esperar más de 5, pero menos de 10 minutos por el bus. c) Calcule la probabilidad que Juan tenga que esperar el bus menos de 10 minutos si se sabe que lleva esperando más de 5 minutos. d) Sea Y el tiempo que Juan espera por el bus. Formule Y en función de X. e) Calcule el valor esperado de Y. f) Calcule la varianza de Y PROBLEMA 11 En una empresa farmacéutica, cierto excipiente EA01 es usado en la fabricación de varios productos. El consumo diario de EA01 es una variable aleatoria con ax ae x f − = ) ( , x≥0, con 90 1 = a . Cada día, el jefe de producción solicita a Bodega un lote de 100 kilos. Si el lote se agota durante la jornada, solicita una reposición (nuevo lote) de 20 kilos. Si la reposición también se agota, simplemente suspende la producción de los productos que utilizan EA01. Al terminar la jornada, el jefe de producción revisa la cantidad de EA01 sobrante, y si es mayor a 10 kilos, la retorna a Bodega, en caso contrario, se descarta. a) Calcule la probabilidad que un día cualquiera deba suspenderse la producción b) Calcule la probabilidad que un día cualquiera se retorne más de 10 kilos a la bodega. c) Se Y la cantidad total de EA01 que se consume en un día cualquiera. Formule Y como función de X. d) Calcule El valor esperado de Y. e) Calcule la varianza de Y. PROBLEMA 12 La demanda diaria por pan en una panadería es una variable aleatoria con distribución      = − − x e x f x , ) ( ) ( . El propietario estima en un día “bueno” 01 . 0 =  y 100 =  , mientras que en un día “malo” 0125 . 0 =  y 40 =  . La probabilidad que un día sea “bueno” es de un 60%. Suponga que el propietario decide fabricar 200 kilos de pan diarios a) Calcule la probabilidad que un día cualquiera la demanda exceda la producción. b) Determine qué cantidad se debiese producir de manera de asegurar que la demanda se satisface completamente con un 80% de probabilidad. c) Calcule el valor esperado y la varianza de la demanda de pan. d) Calcule el valor esperado de la cantidad de pan que se vende durante el día. Tenga presente que, obviamente, no se puede vender más pan del que se fabrica. e) Calcule el valor esperado de la cantidad de pan que no se vende cada día. P P M M M M m M M M M M N N M mM M M M M M M M M MmM MM MMM amMMMuML