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BUENOS DIAS
      La confianza se llama FE,
Y no se la puede explicar ni entender.
 Existe sólo porque se cree en ella.
FACTORIZACIÓN
     FACTOR COMÚN
  PRODUCTOS NOTABLES
 TRINOMIOS CUADRADOS
COMBINACIÓN DE MÉTODOS
Factor Común
Factorizar consiste en descomponer un polinomio en factores, o sea, términos
que están separados en forma de producto (multiplicación).

                              FACTOR COMÚN

Consiste en determinar letras o divisores comunes en todos los miembros del
polinomio a factorizar.

EJEMPLO 1:
                − 18a 3bc 4 + 6a 2bc 2 − 3abc 2
                 factor común : 3abc 2
                 factorización completa : 3abc 2 (− 6a 2c 2 + 2a − 1)
                también se puede exp resar : − 3abc 2 (6a 2c 2 − 2a + 1)
•   EJEMPLO 2:          4 3     2 2 2 1 2 2
                          a bc − ab c + a bc
                        5       25     30

•   Entre los numeradores: 4, 2, 1 NO HAY un factor en común, por lo que,
    es necesario poner un 1.

 Entre 5, 25, 30 el divisor común es el 5.

 Entre la parte literal el factor común es:   abc
                                             RECUERDE: SE
  TOMAN LAS LETRAS QUE ESTÁN EN TODOS LOS TÉRMINOS CON
  EL MENOR EXPONENTE.

                                    1
                   factor común :     abc
                                    5
                                           1          2    1
                   factorización completa : abc(4a 2 − bc + ac)
                                           5          5    6
El factor común también puede ser una expresión más grande, como un paréntesis.

•     EJEMPLO 3: Ejercicio 9.         ( x − 3) ( x − 4 ) + ( x − 3) ( x + 4 )
                                  factor común



                   factorización completa : ( x − 3) ( ( x − 4 ) + ( x + 4 ) )
                                                  = ( x − 3) ( x − 4 + x + 4 )
                                                 = ( x − 3) ( 2 x )
                                                 = 2 x ( x − 3)
x
                             ( a − 3b ) − y 2 ( 3b − a )
                                                         2
•   EJEMPLO 4:
                           3
    Observe que el paréntesis no está completamente igual, por lo que es
         necesario lograr que ambos sean iguales, aunque con diferente
                                  exponente.
    La forma de lograrlo es cambiando el signo de la expresión que está
                       antes de uno de los paréntesis.
                      x
                        ( x −3b ) −y 2 ( 3b −x )
                                                 2

                      3
                     − x
                         ( 3b −x ) −y 2 ( 3b −x )
                                                  2
                   =
                      3
                              −  x            
                   =( 3b −x )      −( 3b −x ) ÷
                               3              
                              − x        
                   =( 3b −x )     −3b +x ÷
                               3         
                              2 x     
                   =( 3b −x )     −3b ÷
                               3      
PRÁCTICA ADICIONAL


1) 9a − 24b + 6ab
       2          2


2) 162 x10 − 50 y12
3) 5 x ( 3 x − 2 ) − 3 x + 2
4) ( 1 + 2a ) ( 4a − 1) − ( 4a − 1)
                                      2



5) 9 ( x − 1) − 4 ( − x + 1)
              2



   − x2
6)      ( 1 − x ) − y 2 ( x − 1)
    4
PRODUCTOS NOTABLES
                Expresiones con dos términos


a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) donde : a 2 − b 2 es la exp resión NO factorizada y
( a − b ) ( a + b ) corresponde a la exp resión   factorizada.
EJEMPLO 1:
                    25 x 2 − 36 x 2 y 2
              25 x 2 − 36 x 6 y 4 = ( 5 x − 6 x 3 y 2 ) ( 5 x + 6 x 3 y 2 )
                a          b

     Para determinar los valores de “a” y de “b” se extrae la raiz
        cuadrada de cada uno de los dos términos del polinomio
a10        a 5  a 5 
•   EJEMPLO 2:            − 1 =  − 1÷ + 1÷
                       9         3    3   




                 49 y 2 − ( 2 − 3 y ) = ( 7 y − ( 2 − 3 y ) ) ( 7 y + ( 2 − 3 y ) )
                                     2


•   EJEMPLO 3:
                                         = ( 7 y − 2 + 3y) ( 7 y + 2 − 3y)
                                         = ( 10 y − 2 ) ( 4 y + 2 )
OTRA FÓRMULA NOTABLE CON DOS TÉRMINOS ES LA SUMA O
                  DIFERENCIA DE CUBOS

                        a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 )
                        a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 )


EJEMPLO 1:
                                                      (
             27 x 6 y 3 − 64 y 3 = ( 3 x 2 y − 4 y ) ( 3 x 2 y ) + ( 3 x 2 y ) ( 4 y ) + ( 4 y )
                                                                 2                                 2
                                                                                                       )
                                  = ( 3 x 2 y − 4 y ) ( 9 x 4 y 2 + 12 x 2 y 2 + 16 y 2 )
PRÁCTICA ADICIONAL

1) 25 x − 81x ( x − 3)
           2       2       2



2) 4( x − 2) 2 − 9
3) ( a + x ) − 4
               2



4) 4 x − ( a − 3 y )
       2               2



5) − 1 + ( m + 2n )
                       2



6) x 3 + 64 y 3
7) 8 x 3 + x 6
    1 6
8)      m −1
   27
FACTORIZACIÓN DE LA FORMA:
                            ax 2 + bx + c

                                               2
                                    49       7
EJEMPLO 1:            9 x 2 − 21x +   =  3x − ÷
                                    4        2


•   Paso 1: ordenar el trinomio donde el término x 2 esté positivo.
•   Paso 2: extraer la raíz cuadrada del primer y último termino.
•   Paso 3: colocar las dos raíces de manera que entre ellas esté el
    signo del término “b”.
•   Paso 4: elevar el paréntesis al cuadrado.
• EJEMPLO 2:       −3 x 2 + 11x − 8 = − ( 3 x 2 − 11x + 8 )

Utilizando mode ecuación en la calculadora.
                                  8
                               x=       ⇒   ( 3x − 8 )
                                  3
                               x =1     ⇒   ( x − 1)



De manera que:     − ( 3 x 2 − 11x + 8 ) = − ( 3x − 8 ) ( x − 1)
• EJEMPLO 3:          4ax 2 − a 2 − 4 x 4

• Primero se ordena el trinomio.

   4ax 2 − a 2 − 4 x 4 = − 4 x 4 + 4ax 2 − a 2 se ordena con la var iable " x "

• Como el mayor término es negativo, se transforma en
  positivo
   −4 x 4 + 4ax 2 − a 2 = − ( 4 x 4 − 4ax 2 + a 2 )

• El primer y segundo elemento tienen raíces exactas, por lo
  que se extraen y se realiza como el EJEMPLO 1.

                   − ( 4 x − 4ax + a          ) = − ( 2x       − a)
                          4        2      2                2          2
• EJEMPLO 4:      6a 2 − 6b 2 − 5ab

• Se ordena de acuerdo a la variable x ó y.

               6a 2 − 6b 2 − 5ab = 6a 2 − 5ab − 6b 2

• Como el primer y tercer elemento no tiene raíces exactas,
  entonces, se resuelve con mode ecuación en la calculadora.
                         3
                      x=     ⇒ ( 2 x − 3)
                         2
                         −2
                      x=     ⇒ ( 3x + 2 )
                          3

• Como el término del trinomio son “a” , “b” entonces se le
  incluyen a los factores dados con la calculadora.
              6a 2 − 5ab − 6b 2 = ( 2a − 3b ) ( 3a + 2b )
FACTORIZACIÓN POR MÉTODOS COMBINADOS

         Recomendaciones para la resolución de ejercicios:

       Primero se extrae el factor común, en caso de haberlo.
       Si son dos términos se puede tratar de: a 2 − 2 b
                                                  a3 ± 3
                                                      b
       Si son tres términos, se trata como un trinomio.
       Si son cuatro término hay que agrupar:
          De dos en dos
          Tres y uno
       Si son más de cuatro términos, hay que agrupar de
        acuerdo al número de ellos.
• EJEMPLO 1: ejercicio 77               a 2 + x 2 + 2ax − 4

Se agrupa y ordena de la forma 3 y 1            (a   2
                                                         + 2ax + x 2 ) − 4

Es un trinomio con raíces exactas.     (a   2
                                                + 2ax + x 2 ) − 4 = ( a + x ) − 4
                                                                             2




Hay dos términos de la forma
            a 2 − b2

Se completa la factorización:


                   ( a 2 + 2ax + x 2 ) − 4 = ( a + x ) − 4    2



                                                = ( ( a + x ) − 2) ( ( a + x ) + 2)
                                                = ( a + x − 2) ( a + x + 2)
Práctica adicional

1) x 2 (2 + 3 x) + 4(−3 x − 2) =
   − x2
2)       (1 − x) − y 2 ( x − 1) =
     4
3) 3( x − 1) 2 − 2( x 2 − 1) =
4) ( x 2 − 16) − ( x + 4) =
5) 3 x( x 2 + 5) − 3 x(5 x 2 − 20) =

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Factorización

  • 1. BUENOS DIAS La confianza se llama FE, Y no se la puede explicar ni entender. Existe sólo porque se cree en ella.
  • 2. FACTORIZACIÓN FACTOR COMÚN PRODUCTOS NOTABLES TRINOMIOS CUADRADOS COMBINACIÓN DE MÉTODOS
  • 3. Factor Común Factorizar consiste en descomponer un polinomio en factores, o sea, términos que están separados en forma de producto (multiplicación). FACTOR COMÚN Consiste en determinar letras o divisores comunes en todos los miembros del polinomio a factorizar. EJEMPLO 1: − 18a 3bc 4 + 6a 2bc 2 − 3abc 2 factor común : 3abc 2 factorización completa : 3abc 2 (− 6a 2c 2 + 2a − 1) también se puede exp resar : − 3abc 2 (6a 2c 2 − 2a + 1)
  • 4. EJEMPLO 2: 4 3 2 2 2 1 2 2 a bc − ab c + a bc 5 25 30 • Entre los numeradores: 4, 2, 1 NO HAY un factor en común, por lo que, es necesario poner un 1.  Entre 5, 25, 30 el divisor común es el 5.  Entre la parte literal el factor común es: abc RECUERDE: SE TOMAN LAS LETRAS QUE ESTÁN EN TODOS LOS TÉRMINOS CON EL MENOR EXPONENTE. 1 factor común : abc 5 1 2 1 factorización completa : abc(4a 2 − bc + ac) 5 5 6
  • 5. El factor común también puede ser una expresión más grande, como un paréntesis. • EJEMPLO 3: Ejercicio 9. ( x − 3) ( x − 4 ) + ( x − 3) ( x + 4 ) factor común factorización completa : ( x − 3) ( ( x − 4 ) + ( x + 4 ) ) = ( x − 3) ( x − 4 + x + 4 ) = ( x − 3) ( 2 x ) = 2 x ( x − 3)
  • 6. x ( a − 3b ) − y 2 ( 3b − a ) 2 • EJEMPLO 4: 3 Observe que el paréntesis no está completamente igual, por lo que es necesario lograr que ambos sean iguales, aunque con diferente exponente. La forma de lograrlo es cambiando el signo de la expresión que está antes de uno de los paréntesis. x ( x −3b ) −y 2 ( 3b −x ) 2 3 − x ( 3b −x ) −y 2 ( 3b −x ) 2 = 3 − x  =( 3b −x )  −( 3b −x ) ÷  3  − x  =( 3b −x )  −3b +x ÷  3  2 x  =( 3b −x )  −3b ÷  3 
  • 7. PRÁCTICA ADICIONAL 1) 9a − 24b + 6ab 2 2 2) 162 x10 − 50 y12 3) 5 x ( 3 x − 2 ) − 3 x + 2 4) ( 1 + 2a ) ( 4a − 1) − ( 4a − 1) 2 5) 9 ( x − 1) − 4 ( − x + 1) 2 − x2 6) ( 1 − x ) − y 2 ( x − 1) 4
  • 8. PRODUCTOS NOTABLES Expresiones con dos términos a 2 − b 2 = ( a − b ) ( a + b ) donde : a 2 − b 2 es la exp resión NO factorizada y ( a − b ) ( a + b ) corresponde a la exp resión factorizada. EJEMPLO 1: 25 x 2 − 36 x 2 y 2 25 x 2 − 36 x 6 y 4 = ( 5 x − 6 x 3 y 2 ) ( 5 x + 6 x 3 y 2 ) a b Para determinar los valores de “a” y de “b” se extrae la raiz cuadrada de cada uno de los dos términos del polinomio
  • 9. a10  a 5  a 5  • EJEMPLO 2: − 1 =  − 1÷ + 1÷ 9  3  3  49 y 2 − ( 2 − 3 y ) = ( 7 y − ( 2 − 3 y ) ) ( 7 y + ( 2 − 3 y ) ) 2 • EJEMPLO 3: = ( 7 y − 2 + 3y) ( 7 y + 2 − 3y) = ( 10 y − 2 ) ( 4 y + 2 )
  • 10. OTRA FÓRMULA NOTABLE CON DOS TÉRMINOS ES LA SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS a 3 − b3 = ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 ) a 3 + b3 = ( a + b ) ( a 2 − ab + b 2 ) EJEMPLO 1: ( 27 x 6 y 3 − 64 y 3 = ( 3 x 2 y − 4 y ) ( 3 x 2 y ) + ( 3 x 2 y ) ( 4 y ) + ( 4 y ) 2 2 ) = ( 3 x 2 y − 4 y ) ( 9 x 4 y 2 + 12 x 2 y 2 + 16 y 2 )
  • 11. PRÁCTICA ADICIONAL 1) 25 x − 81x ( x − 3) 2 2 2 2) 4( x − 2) 2 − 9 3) ( a + x ) − 4 2 4) 4 x − ( a − 3 y ) 2 2 5) − 1 + ( m + 2n ) 2 6) x 3 + 64 y 3 7) 8 x 3 + x 6 1 6 8) m −1 27
  • 12. FACTORIZACIÓN DE LA FORMA: ax 2 + bx + c 2 49  7 EJEMPLO 1: 9 x 2 − 21x + =  3x − ÷ 4  2 • Paso 1: ordenar el trinomio donde el término x 2 esté positivo. • Paso 2: extraer la raíz cuadrada del primer y último termino. • Paso 3: colocar las dos raíces de manera que entre ellas esté el signo del término “b”. • Paso 4: elevar el paréntesis al cuadrado.
  • 13. • EJEMPLO 2: −3 x 2 + 11x − 8 = − ( 3 x 2 − 11x + 8 ) Utilizando mode ecuación en la calculadora. 8 x= ⇒ ( 3x − 8 ) 3 x =1 ⇒ ( x − 1) De manera que: − ( 3 x 2 − 11x + 8 ) = − ( 3x − 8 ) ( x − 1)
  • 14. • EJEMPLO 3: 4ax 2 − a 2 − 4 x 4 • Primero se ordena el trinomio. 4ax 2 − a 2 − 4 x 4 = − 4 x 4 + 4ax 2 − a 2 se ordena con la var iable " x " • Como el mayor término es negativo, se transforma en positivo −4 x 4 + 4ax 2 − a 2 = − ( 4 x 4 − 4ax 2 + a 2 ) • El primer y segundo elemento tienen raíces exactas, por lo que se extraen y se realiza como el EJEMPLO 1. − ( 4 x − 4ax + a ) = − ( 2x − a) 4 2 2 2 2
  • 15. • EJEMPLO 4: 6a 2 − 6b 2 − 5ab • Se ordena de acuerdo a la variable x ó y. 6a 2 − 6b 2 − 5ab = 6a 2 − 5ab − 6b 2 • Como el primer y tercer elemento no tiene raíces exactas, entonces, se resuelve con mode ecuación en la calculadora. 3 x= ⇒ ( 2 x − 3) 2 −2 x= ⇒ ( 3x + 2 ) 3 • Como el término del trinomio son “a” , “b” entonces se le incluyen a los factores dados con la calculadora. 6a 2 − 5ab − 6b 2 = ( 2a − 3b ) ( 3a + 2b )
  • 16. FACTORIZACIÓN POR MÉTODOS COMBINADOS Recomendaciones para la resolución de ejercicios:  Primero se extrae el factor común, en caso de haberlo.  Si son dos términos se puede tratar de: a 2 − 2 b a3 ± 3 b  Si son tres términos, se trata como un trinomio.  Si son cuatro término hay que agrupar:  De dos en dos  Tres y uno  Si son más de cuatro términos, hay que agrupar de acuerdo al número de ellos.
  • 17. • EJEMPLO 1: ejercicio 77 a 2 + x 2 + 2ax − 4 Se agrupa y ordena de la forma 3 y 1 (a 2 + 2ax + x 2 ) − 4 Es un trinomio con raíces exactas. (a 2 + 2ax + x 2 ) − 4 = ( a + x ) − 4 2 Hay dos términos de la forma a 2 − b2 Se completa la factorización: ( a 2 + 2ax + x 2 ) − 4 = ( a + x ) − 4 2 = ( ( a + x ) − 2) ( ( a + x ) + 2) = ( a + x − 2) ( a + x + 2)
  • 18. Práctica adicional 1) x 2 (2 + 3 x) + 4(−3 x − 2) = − x2 2) (1 − x) − y 2 ( x − 1) = 4 3) 3( x − 1) 2 − 2( x 2 − 1) = 4) ( x 2 − 16) − ( x + 4) = 5) 3 x( x 2 + 5) − 3 x(5 x 2 − 20) =