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REGULO SABRERA ALVARADO
RED DE UNIVERSIDADES DE LA UNASUR
Vol.1
Quinta Edición, Marzo 2023
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú
No
2016-0054 (Ley No
26905/D.S. No
017-98-ED)
R.U.C No
20537983542
ISBN : 977-614-4002-11-6
Area : Superior
Diseño de carátula
 Departamento de Edición y Producción ASM
Física III 4000 Problemas Resueltos
Derechos Reservados / Decreto Ley 822
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, su tratamiento
informático la transmisión por ninguna forma ya sea electrónico, me
cánico, por fotocopia, por registro u otros métodos sin permiso previo
y por escrito de los titulares de Copyright. rsabreraa@unmsm.edu.pe
FISICA III
4000
PROBLEMAS RESUELTOS

Colección Tesla
Régulo A. Sabrera Alvarado
Catedrático de Física, Matemática
Computación y SocioFísica
RED DE UNIVERSIDADES
DE LA UNASUR
Vol.1
Dedicatoria
A la juventud estudiosa
y trabajadora, que con
sus ideas y acciones innovadoras
transforman
a diario el mundo
Este libro está dirigido a los estudiantes y profesores que desarrollaran el contenido
del Curso Virtual de Electricidad y Magnetismo, bajo el nuevo esquema conceptual del
aprendizaje mediante la práctica y teoría, con ayuda del hardware y software; la cual viene
sustentada y sostenida por el Método Educativo Vivencial (EDU-VE), en la que el objetivo
principal es la formación de profesionales autodidactas e independientes, característica nue
va que corresponde a los nuevos paradigmas de la educación de nuestro siglo, en la que la hu
manidad esta en una transición en todos los niveles, social, educativo, económico, tecnológi
co, financiero, político, etc....La otra característica principal que debe mencionarse es que en
esta nueva modalidad se maneja gran cantidad de información, la cual, es personalizada.
Dado que la duración del dictado y desarrollo del curso virtual de Electricidad y Mag
netismo en las Universidades Estatales o Privadas es de 16 semanas el contenido de este tex
to se ha distribuido para desarrollarlo en 16 semanas. De otro lado, la obra está dividida en
la forma que el autor cree que es la más conveniente, es decir, los 4000 problemas propues
tos y resueltos que se presentan, se han seleccionado cuidadosamente y organizado de una
manera gradual, según su grado de dificultad. Al final del libro se presenta un apéndice que
contiene equivalencias, constantes físicas, factores de conversión, prefijos del sistema inter
nacional (S.I.), y un formulario completo del curso virtual de Electricidad y Magnetis
mo,...etc.
El objetivo de éste trabajo, que es resultado de la experiencia del autor de haber dicta
do por muchos años en las aulas universitarias, el curso de Electricidad y Magnetismo en las
diferentes Facultades de Ingenierías, tales como: Electrónica, Eléctrica, Sistemas e Informá
tica, Química, Industrial, Robótica y Cibernética, etc, así, como de las Facultades de Cien
cias, es la de servir a la juventud estudiosa, progresista, innovadora y con ansias de supera
ción, que en la actualidad siguen estudios en alguna especialidad de Ciencias ó Ingenierías
en las diferentes Universidades Estatales ó Privadas de la Red de Universidades de la
UNASUR, y que entusiastamente acometen la transformación tecnológica y científica que re
quiere con urgencia nuestras sociedades.
Finalmente, quiero expresar mi mayor agradecimiento a todas aquellas personas que
colaboraron con entusiasmo y dedicación en la edición del presente trabajo, especialmente a
la Srta. Penélope García S., por quién tengo un gran aprecio y estima, se encargo de la digita
ción, diseño y diagramación del texto. Desde ya, me comprometo a superarme y hacer todo
lo necesario para mejorar las futuras ediciones. . rsabreraa@unmsm.edu.pe
 Régulo A Sabrera A
Autor
PROLOGO
964 507 290
Página
Cap.01 problemas de Análisis Vectorial
Cap.02 problemas de Fuerza Eléctrica
Cap.03 problemas de Campo Eléctrico
Cap.04 problemas de Potencial Eléctrico
Apéndice
699
436
412
625
CONTENIDO
040
193
349
533
701
NIKOLA TESLA
EL GENIO DE GENIOS
<<
La ciencia no es sino una perversión
de si misma a menos que tenga como
objetivo final el mejoramiento de la
vida de la humanidad>>
964 507 290
CAP-1
ANALISIS VECTORIAL
 Producto escalar, producto vectorial.
 Productos triples de vectores.
 Proyección y componentes de un vector.
 Operaciones del algebra vectorial.
 Aplicaciones a la Física e Ingeniería
Análisis Vectorial 1
CANTIDADES ESCALARES Y
VECTORIALES
a) Escalar
Es una cantidad cuya determinación sólo
requiere el conocimiento de un número, su
cantidad, respecto de cierta unidad de
medida.
Ejem: 01
La temperatura, la longitud, la masa, el
tiempo, el trabajo, la energía, etc.
b) Vector
1) Definición
Es una cantidad cuya determinación exige
el conocimiento de un módulo, y una di
rección.
Ejem: 02
El desplazamiento, la velocidad, la fuerza,
la aceleración, el ímpetu, etc.
2) Representación de un vector
 Gráfica
Un vector se representa por un segmento
orientado OP la longitud del segmento es
el módulo del vector, siendo los puntos O
y P el origen y extremo del vector, respec
tivamente.
 Analítica
Un vector se representa por una letra con
una flecha encima por ejemplo A , el mó
dulo o magnitud del vector A , se represen
ta como A ó simplemente A .
c) Elementos de un vector
1) Módulo
Indica el valor del vector. Geométricamen
te es el tamaño del vector, así, si Ax, Ay
son las componentes cartesianas del vec
tor A , su módulo se halla así,
2 2 1/ 2
x y
A [A A ]
 
Ejem: 03
En la Figura, el módulo del vector A es,
2 2
A 4 3 5 u
  
2) Dirección
A OP

Es la orientación que tiene el vector, res
pecto al sistema e coordenadas cartesia
nas. En el plano se define mediante el án
P
3
0
A
P Línea
de acción
37o
Y
X
4
ANALISIS
VECTORIAL

0
A
P
CAP-1
O
01
Robótica y Cibernética
2
gulo que forma el vector con el eje X posi
tivo.
d) Tipos de vectores
1) Vectores colineales
Son dos ó más vectores que tienen una
misma línea de acción ó todos ellos están
contenidos en una misma recta.
Los vectores a, b y c son colineales.
2) Vectores paralelos
Son aquellos vectores que tienen sus lí
neas de acción respectivamente paralelos.
Sí, L1 es paralelo con L2, entonces:
a es paralelo con el vector b
a es paralelo con el vector c
3) Vectores opuestos
Dos vectores a y b son opuestos, si y só
lo si, tienen direcciones opuestas, esto es,
el ángulo que forman entre si es de 1800
,
además sus módulos son iguales.
La suma de dos vectores opuestos es igual
al vector nulo.
Si, L1 es paralelo con L2; o son iguales.
4) Vectores iguales
Dos vectores a y b son iguales, si y sólo
si, tienen la misma dirección y el mismo
módulo.
5) Vectores coplanares
Dos o más vectores se denominan coplana
res, cuando todos ellos están contenidos
en un mismo plano.
6) Vectores concurrentes
Si un conjunto de vectores a , b , c ,…
tienen un mismo punto de aplicación o se
intersecan en un mismo punto O, se dice
que son concurrentes.
En la Figura, a, b y c son vectores copla
nares y concurrentes.
SUMA DE VECTORES
a) Vectores colineales
a
b c
a
b
a
b
a b c
1u
1u
a
b
c
+i

L
1
L
2
L
1
L
2
L
1
L
2
a
b
c
O
02
Análisis Vectorial 3
Los vectores sumandos tienen la misma
dirección o dirección opuesta, por lo que,
la suma se realiza algebraicamente tenien
do en consideración los signos, así, si el
vector está a la derecha o hacia arriba se
considera (+), y si esta a la izquierda o ha
cia abajo se considera (-)
Ejem: 04
En los vectores mostrados en la Figura, ha
llar a b
 , y a c
 .
Sol:
 Calculemos los vectores a b
 y a c
 :
ˆ ˆ ˆ
a b 2i 4i 6 i
    
ˆ ˆ ˆ
a c 2i 4( i) 2 ( i)
     
b) Producto de un vector por un esca
lar
El producto de un vector A por un escalar
(m) es otro vector de módulo menor, igual
o mayor que el vector A . Si el escalar (m)
es positivo el vector resultante tiene la mis
ma dirección que A , caso contrario direc
ción opuesta a A así,
A
 es el vector opuesto de A
Ejem: 05
Dado el vector ˆ ˆ
A 3i 4 j
  , y c=2, hallar
el vector cA .
 Sol:
Por propiedad del algebra vectorial, el
vector ccA es:
ˆ ˆ
cA (2)(3i 4 j)
 
ˆ ˆ
cA 6i 8 j
 
c) Método del paralelogramo
1) Procedimiento
Para sumar (ó restar) dos vectores a y b ,
que forman un ángulo  entre sí, se proce
de así:
 Se unen los vectores sumandos a y b por
sus orígenes.
 Se trazan paralelas a los vectores a y b (lí
neas punteadas) formándose el paralelogra
mo.
 Se traza el vector resultante de la suma de
a y b , desde el origen 0 hacia el vértice
opuesto P.
2) Módulo
Utilizando la ley de coseno, se demuestra
que el módulo del vector resultante R ,
viene dado por:
2 2 1/ 2
R [a b 2a b cos ]

  
siendo, a, b los módulos de los vectores a
y b , y  el ángulo formado por estos vec
tores, comprendido entre 00
y 1800
.
 Nota:
 La diferencia de dos vectores a y b , no es
una nueva operación, en realidad la dife
rencia es una suma, así, tenemos:
R a b a ( b)
    
Es decir, la diferencia de a y b , es la su
ma de a y b
 .
 Utilizando la ley de coseno, se demuestra
que el módulo del vector resultante R , de
la diferencia de a con b , viene dado por:

a
b
0
R
P
Robótica y Cibernética
4
2 2 1/ 2
R [a b 2a.b cos ]

  
Ejem: 06
El módulo de la resultante de dos fuerza
de módulos 10 N y 20 N es de 10 N. ¿En
qué intervalo está comprendido el ángulo
entre estas dos fuerzas?
Sol:
 Grafiquemos el paralelogramo formado
por los vectores

a y

b.
Aplicando la fórmula para la resultante
"R" de la suma de dos vectores:
1/2
2 2
R a b 2abcos
 
  
 
2 2 2
R a b
cos
2ab

 

2 2 2
10 10 20
cos 1
(2)(10)(20)

 
  
Entonces: =180o
ó  
 rad.
Por lo tanto, " "
 está comprendido en el
siguiente intervalo,

3 5
4 4
 

 
d) Método del polígono
 Es un método que nos permite sumar dos
ó más vectores, el procedimiento consiste
en unir el origen del segundo vector con
el extremo del primero, el origen del terce
ro con el extremo del segundo, así sucesi
vamente hasta llegar al último vector.
 Los vectores sumandos a , b , c , ..etc, se
desplazan (mueven) manteniéndose cons
tantes sus módulos y direcciones.
 El vector resultante (R ) de la suma, se ob
tiene uniendo el origen del primero con el
extremo del último vector.
 El modulo del vector resultante (R ) de la
suma, se determina utilizando los métodos
geométricos, ya sea, la ley del ley del seno
coseno, Pitágoras, etc.
Ejem: 07
Hallar el vector resultante de la suma de
a , b y c .
Sol:
 El vector resultante R de la suma de los
vectores a , b y c , se halla así:
Ejem: 08
Hallar el vector resultante de la suma de
los vectores mostrados.
b
a
45o
c
a
b
c
R
R=10N
b=20N
a=10N

a
b
d
c
Análisis Vectorial 5
a) 2( )
 
a b
 b) 2( )
 
a c
 c) 2( )
 
a b

d) 2( )
 
a c
 e) 2( )
 
b c

Sol:
 Con los vectores dados formemos el polí
gono cerrado.
En la Figura, como los vectores forman
un polígono cerrado, se cumple:
a b c d 0
   
a c b d
  
Luego, la expresión del vector resultante
es:
R a c b d
   
R a c a c
   
 R 2(a c)
 
e) Polígono Cerrado
Si el polígono vectorial resulta ser cerra
do, entonces el módulo del vector resultan
te es igual a cero, es decir:
a b c d 0
   
Ejem: 09
En el cuadrado ABCD, hallar el módulo
del vector resultante.
a) 2 u b) 4 u c) 6 u
d) 8 u e) 10 u
Sol:
 En la Figura, la resultante de la suma de
los vectores dados y su módulo, son:
R (AB BC CD DA) (AC DB)
     
R 0 (AD DC) (DA AB)
    
R (AD DA) (AB DC)
   
R 2AB R (2) AB
  
 R 4u

f) Ley de Senos
Si los vectores a , b y c forman un trián
gulo cerrado, es decir: a b c 0
  
b
a c



d
c
b
a
a
-b
-d
c
B
2u
2u
A
B C
D
0
B
Robótica y Cibernética
6
Entonces, se cumple la relación entre los
lados a, b y c, y los senos de los ángulos:
a b c
sen sen sen
  
 
Ejem: 10
En la Figura, ¿Cuál deberá ser el coeficien
te de fricción de la barra homogénea con
el piso para que pueda permanecer de la
manera mostrada? La longitud del hilo AB
es igual a la longitud de la barra.
a)1/2 b) 1/3 c) 1/4
d) 2/3 e) 3/4
Sol:
 Representemos las fuerzas que actúan so
bre la barra BC.
En el triángulo CBD, del teorema de Pitá
goras, hallemos el lado CD:
1
2 2 2
5
CD ( / 2)
2
 
  
 
En el triángulo ACD, de la ley de seno,
hallemos el sen , así:
0
sen sen45
/ 2 5 / 2


10
sen
10

 
Luego, como la tg , nos da el coeficiente
de fricción S, entonces:
S
2
sen
tg
1 sen

 

 

S
2 1/2
10 /10
[1 ( 10 /10) ]



 S
1
3
 
g) Ley de coseno
Para el triángulo de lados a, b, c y vértices
A, B, C, se cumple la relación:
2 2 2
c a b 2abcos
  
Ejem: 11
En la circunferencia de radio u
7 , hallar
el módulo de la resultante de los vectores
mostrados.
a) 3 u b) 5 u c) 7 u
d) 9 u e) 11 u
a
b c
A
B

C


A
B
T
R
W
f
C
D

450
B

g
A
B
l
l
Análisis Vectorial 7
Sol:
 La resultante de la suma de los vectores
dados es:
R (a b c) d e
    
R e d e d 2e
    
Ahora, tracemos los vectores

d ,2

e y su
resultante

R .
Luego, el módulo de la resultante R es:
2 2 1/2
1
R [ (2 ) 2( )(2 )( )]
2
  
R 7 ( 7)( 7 u)
 
 R 7u

COMPONENTES RECTANGULA-
RES DE UN VECTOR
a) Componentes rectangulares
Todo vector se puede expresar como la su
ma de dos o más componentes. En el plano
bidimensional, dicho vector se escribe co
mo la suma de dos vectores mutuamente
perpendiculares. Así, las componentes del
vector A , en las direcciones de los ejes X e
Y, son:
x
A Acos
 , y
A Asen

La dirección del vector A , viene dado por
el ángulo " "
 , cuya expresión es:
y
x
A
arc tg( )
A
 
Para determinar la resultante de la suma
de un conjunto de vectores a , b , c …, se
procede del modo siguiente :
1) Cada vector se expresa en sus componen
tes en las direcciones de los ejes X e Y,
respectivamente.
x y
ˆ ˆ
a a i a j
 
x y
ˆ ˆ
b b i b j
 
--------------------
siendo, î , ˆ
j vectores unitarios ortogonales
que definen el sistema de coordenadas
rectangulares X, Y.
2) Se suman las componentes de los vectores
que están en la misma dirección, obtenién
dose las componentes Rx, Ry del vector
resultante en las direcciones de los ejes X
e Y, esto es,
A

X
Y
0

x
A

y
A

a
b
c
d
0
600
e
d
2e
R
600
C
03
Robótica y Cibernética
8
x x x
R a b ...
  
y y y
R a b ...
  
3) El módulo del vector resultante R se halla
aplicando el teorema de Pitágoras.
2 2 1/ 2
x y
R [R R ]
 
4) La dirección del vector resultante R , res
pecto del eje X, viene dado por:
y
x
R
arc tg( )
R
 
Ejem: 12
En la Figura, en el cuadrado de lado p, M
y N son puntos medios. Hallar el módulo
de la resultante si: a 5
 u, b 2 2
 u
y c 5
 u.
a) 7,1 u b) 7,3 u c) 7,5 u
d) 7,7 u e) 7,9 u
Sol:
 Representemos cada uno de los vectores.
Sean, ,  y  los ángulos que forman los
vectores a , b y c con el lado AD, enton
ces, la resultante y su módulo son :
R a b c
  
ˆ ˆ
R 5cos i 5sen j
ˆ ˆ
2 2 cos i 2 2sen j
ˆ ˆ
5cos i 5sen j
 
 
 
  
 

2 5 5
ˆ ˆ
R ( 5)( )i ( 5)( ) j
5 5
2 2
ˆ ˆ
(2 2)( )i (2 2)( ) j
2 2
5 2 5
ˆ ˆ
( 5)( )i ( 5)( ) j
5 5
  
 

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
R 2i 2 j i j 2 i 2 j
     
2 2 1/2
ˆ ˆ
R 5i 5 j R [5 5 ]
    
 R 7,1u

b) Vector unitario
Es todo vector que tiene módulo igual a 1.
Si a es un vector cualquiera, entonces el
vector unitario en la dirección de a , se de
fine, así:
a
a a
u
a a

 
 De modo que, todo vector se puede ex
presar como el producto de su módulo por
a
ua
A D
B C
a
b
c
p/2 p/2
p
5 2
p /
5 2
p /
2p

j

i
M
N
A
B C
A D
a
b
c
M
N
Análisis Vectorial 9
el vector unitario que le corresponde, así:
a
ˆ
a a u

Propiedad:
- Dos vectores paralelos (la misma direc
ción) tienen el mismo vector unitario.
Ejem: 13
En la Figura, hallar B
A


 si: A

=5 u y
B

=3 u.
a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u
d) 6,6 u e) 6,8 u
Sol:
 Introduzcamos el vector auxiliar b en la
dirección del vector B.
En la Figura, los vectores A y b , expresa
dos en forma de pares ordenados, son:
A  (3 ; 0 ; 6) - (0 ; 4 ; 6) = (3 ; -4 ; 0)
b = (0 ; 4 ; 6) - (3 ; 10 ; 0) = (-3 ; -6 ; 6)
Ahora, calculemos el vector unitario en la
dirección de b , y con esto el vector B, así
b 2 2 2 1/2
( 3; 6;6)
û
[( 3) ( 6) 6 ]
 

   
b
1 2 2
û ( ; ; )
3 3 3
  
b
1 2 2
ˆ
B B u (3)( ; ; )
3 3 3
 
 
B ( 1; 2; 2)
  
Luego, la resultante de la suma de A y B,
y su módulo, son:
R (3; 4;0) ( 1; 2;2)
    
R (2; 6;2)
 
2 2 2 1/2
R [(2) ( 6) (2) ]
   
 R 6,6u

PRODUCTO ESCALAR Y VECTO-
RIAL DE DOS VECTORES
a) Leyes del algebra vectorial
Sean A , B y C vectores y "m", "n" esca
lares, se cumple:
1) A B B A
   (conmutativa)
2) A (B C) (A B) C
     (asociativa)
3) m A A m
 (conmutativa)
4) m (n A) (mn) A m A n
  (distributiva)
5) (m n) A m A n A
   (distributiva)
6) m (A B) m A m B
   (distributiva)
A
B
x
y
z
10u
6u
3u
4u
D
A
B
x
y
z
10u
6u
3u
4u
b
04
Robótica y Cibernética
10
b) Producto escalar
1) Definición
Dado dos vectores A y B, su producto es
calar o interno se representa por A B, y
se define como el producto de sus módu
los por el coseno del ángulo " "
 que for
man, esto es,
A B A B cos 

0  
 
el resultado de A B es un escalar, es de
cir, un número real positivo o negativo.
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
escalar, son:
 A B B A

 A (B C) A B A C
  
 m(A B) (mA) B A (mB)
 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i i j j k k 1
  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i j i k j k 0
  
 Dados: 1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
Se verifican las siguientes relaciones:
 1 1 2 2 3 3
A B A B A B A B
  
 2 2 2 2
1 2 3
A A A A A A
   
 2 2 2 2
1 2 3
B B B B B B
   
 Si A B 0
 y ninguno de los vectores es
nulo, entonces, ambos son perpendiculares
entre si.
Ejem: 14
¿Para qué valor de " "
 los vectores (a +
b
 ) y (a b

 ) son perpendiculares entre
sí, sabiendo que a =3 u, b =5 u?
a) 2/3 b) 3/2 c) 3/5
d) 5/3 e) 3/4
Sol:
 Por propiedad, si dos vectores son per
pendiculares entre sí, su producto escalar
es igual a cero así:
(a b) (a b) 0
 
  
2 2 2
a a b b a b 0
  
   
2 2 2
a b 0

 
2
2
2
a a
b
b
 
   

3
5
  
Ejem: 15
Hallar el trabajo realizado por la resultante
de las fuerzas 1
F =(3; -4; 2) (N), 2
F =(2; 3;
-5) (N) y 3
F =(-3; -2; 4) (N), si el punto de
su aplicación se desplaza en un movimien
to rectilíneo de la posición M(5; 3; -7) m a
la posición N(4; -1; -4) m.
a) 11 J b) 13 J c) 15 J
d) 17 J e) 19 J
0
A
B

C
Análisis Vectorial 11
Sol:
 Primero, calculemos la fuerza resultante
de la suma de las tres fuerzas, así:
R 1 2 3
F F F F (2; 3;1)
    
Ahora, calculemos el vector desplazamien
to, así:
d N M ( 1; 4;3)
    
Luego, el trabajo realizado por la fuerza re
sultante es:
R
W F d (2; 3;1).( 1; 4;3)
    
W (2)( 1) ( 3)( 4) (1)(3)
     
W 2 12 3
   
 W 13J

c) Producto vectorial
1) Definición
Dado dos vectores A y B, su producto
vectorial o externo se representa por AxB
y se define como el producto de sus mó
dulos por el seno del ángulo " "
 que for
man, esto es:
ˆ
AxB ABsen u


0  
 
siendo û un vector unitario que indica la
dirección del producto AxB.
Si, A B
 , o bien si A tiene la misma di
rección que B, sen 0
  , con lo que que
da probado AxB 0
 .
2) Propiedades
Algunas de las propiedades del producto
vectorial, son:
 AxB BxA
 
 Ax(B C) AxB AxC
  
 m(AxB) (mA)xB Ax(mB)
 
 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ixi jxj kxk 0
  
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ixj k ; jxk i ; kxi j
  
 Dados: 1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
Se verifica que:
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
i j k
AxB A A A
B B B
 
 
  
 
 
 El módulo de AxB representa el área del
paralelogramo de lados A y B .
 Si AxB 0
 y ninguno de los vectores es
nulo, ambos tienen la misma dirección.
Ejem: 16
Hallar el modulo (en N.m) del momento
de la fuerza F=(2; -4; 5) N aplicada al pun
to A(4; -2; 3) m, con respecto al punto
B(3; 2; -1) m.
a) 5,8 b) 6,0 c) 6,2
d) 6,4 e) 6,8
A
B
C
u

B
Robótica y Cibernética
12
Sol:
 Calculemos el vector de posición r , así:
r A B (4; 2;3) (3; 2; 1)
     
r (1; 4; 4)
 
Con esto, calculemos el vector momento
de la fuerza, respecto del punto B, así:
B
ˆ ˆ ˆ
i j k
M r xF 1 4 4
2 4 5
 
 
  
 
 

 
B
ˆ
M [( 4)(5) ( 4)(4)] i
ˆ
[(1)(5) (2)(4)] j
ˆ
[(1)( 4) (2)( 4)] k
    
 
  
B
ˆ ˆ ˆ
M ( 20 16) i (5 8) j ( 4 8) k
       
B
ˆ ˆ ˆ
M 4 i 3 j 4 k
   
 B
M 6,4 N m

Ejem: 17
El vector c es perpendicular a los vecto
res a y b , el ángulo formado por a y b
es igual a 300
. Además a = 6 u, b =3
u, c =3 u. Hallar (a xb) c.
a) 21 u3
b) 23 u3
c) 25 u3
d) 27 u3
e) 29 u3
Sol:
 En la Figura, primero calculemos el
módu lo de a xb, así:
a xb a b sen

1
a xb (6)(3)( ) 9
2
 
Representación de los vectores a ,b y c ,
con a ,b contenidos en el plano XY.
Calculemos, el producto vectorial de a
por b , y luego el volumen del paralelepí
pedo formado por a , b y c , así:
a x b (9)(0; 0;1)

a x b (0; 0; 9)

(axb) c (0; 0;9) (0; 0;3)

 3
(axb) c 27u

Ejem: 18
Hallar un vector unitario contenido en el
plano definido por los vectores a = (2; 2;
1) y b = (1; 0; 1) que sea perpendicular al
vector c = (1; 1; -4).
a) (2/3; 2/3; 1/3) b) (2/3; 1/3; 2/3)
c) (1/3; 2/3; 2/3) d) (1/3; 1/3; 2/3)
e) (1/3; 2/3; 1/3)
Sol:
 Primero calculemos el producto a xb:
ˆ ˆ ˆ
i j k
a xb 2 2 1
1 0 1
 
 
  
 
 
a xb (2; 1; 2)
  
D
D
a
c
b
300

k 
j
Análisis Vectorial 13
El vector que nos piden debe ser perpen
dicular a a xb y a c . De esto, se deduce
que debe ser colineal al vector (a xb)xc.
ˆ ˆ ˆ
i j k
(a xb)xc 2 1 2
1 1 4
 
 
  
 
 

 
(a xb)xc (6; 6;3)

(a xb)xc (6 ; 6 ; 3)
u
9
(a xb)xc
 

2 2 1
û ( ; ; )
3 3 3

c) Productos triples
Combinando productos escalares y vecto
riales de los vectores A , B y C se forman
productos de la forma:
(A B)C ; A (BxC) y Ax(BxC)
Se cumplen las siguientes relaciones:
 Ax(BxC) (Ax(B)xC

 A (BxC) B (CxA) C (AxB)
 
El módulo de esta expresión representa el
volumen del paralelepípedo de aristas A ,
B y C ; el cual se calcula así,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A A A
A (BxC) B B B
C C C

Siendo:
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
B B i B j B k
  
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
C C i C j C k
  
El producto A (BxC) se llama triple
producto escalar, en tanto, el producto
Ax(BxC) se llama triple vectorial.
 Ax(BxC) (AxB)xC

 Ax(BxC) (AxC)B (A B)C
 
(AxB)xC (AxC)B (B C)A
 

(AxB) (CxD) (A C)(B D)
(A D)(B C)
 

(AxB)x(CxD) (A (BxD))C
(A (BxC))D
 

Ax(Bx(CxD)) (AxC)(B D)
(AxD)(B C)
 
Ejem: 19
Hallar el volumen del paralelepípedo cons
truido sobre los vectores a = (4; 0; 0), b =
(0; 4; 0), c = (0; k; 4) k  R.
a) 60 u3
b) 62 u3
c) 64 u3
d) 66 u3
e) 68 u3
Sol:
 Representemos el paralelepípedo construí
do con los vectores a ,b y c .
X
Z
Y
c
a
b
A
Robótica y Cibernética
14
El producto mixto (a xb) c es igual al vo
lumen del paralelepípedo construido sobre
los vectores a , b y c , esto es:
4 0 0
V (a xb) c 0 4 0
0 k 4
 
V (4)[(4)(4) (k)(0)]
(0)[(0)(4) (0)(0)]
(0)[(0)(k) (0)(4)]
  
 

 3
V 64u

d) Vectores y coordenadas polares
esféricas
La posición de una partícula se expresa en
coordenadas polares esféricas mediante los
valores de "r", " "
 y " "
 , siendo "r" el
módulo del vector r , el cual va del origen
a la posición de la partícula, " "
 el ángulo
comprendido entre r y el eje polar, y " "

el ángulo formado por el eje X y la proyec
ción de r sobre el plano XY. Las coorde
nadas cartesianas rectangulares (x; y; z)
que nos determinan también la posición de
la partícula P en función de la coordenadas
polares (r; ; ), vienen dados por:
x rsen cos
 
 ; y rsen sen
 

z rcos

Por ejemplo, sean 1 1 1 1
r (r ; ; )
 
 , 2
r 
2 2 2
(r ; ; )
  las posiciones de dos partícu
las, ahora si denominamos 12
 al ángulo
que forman 1
r y 2
r , entonces expresando el
producto escalar 1 2 1 2 12
r r r r cos
 , en fun
ción de î , ˆ
j, k̂ se demuestra que se cum
ple que:
12 1 2 1 2
1 2
cos sen sen cos( )
cos cos
    
 
 
Donde se ha utilizado la relación trígono
métrica,
1 2 1 2
1 2
cos( ) cos cos
sen sen
   
 
  
De ahí, la gran importancia de las coorde
nadas polares esféricas y los métodos vec
toriales.
PROYECCION Y COMPONENTES
DE UN VECTOR
a) Cosenos directores
Se denomina así, a los cosenos de los ángu
los que forma el vector A con los tres ejes
de coordenadas X, Y, Z, se cumple:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
donde, ,  y  son los ángulos formados
con los ejes x, y, z.
X
A

Z
Y
 

0
Z
Y
0


X
P
C
05
Análisis Vectorial 15
Ejem: 20
Un vector forma con los ejes OX, OY y
OZ los ángulos =1200
y =450
.¿Qué ángu
lo forma este vector con el eje OY?
a) 300
b) 370
c) 450
d) 530
e) 600
Sol:
 Sustituyendo =1200
, =450
, en la ecua
ción de los cosenos directores, hallemos el
ángulo  , así:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
2 o 2 2 o
cos 120 cos cos 45 1

  
2
1 1 1
cos 1 cos
4 2 2
 
     
 o
1 60
  ó o
2 120
 
Ejem: 21
Hallar la suma de las coordenadas del pun
to M, si su radio vector forma con los ejes
coordenados ángulos iguales y su módulo
es 3 u.
a) 5,0 u b) 5,2 u c) 5,4 u
d) 5,6 u e) 5,8 u
Sol:
 Sustituyendo el dato, ==, en la ecua
ción de los cosenos directores:
2 2 2
cos cos cos 1
  
  
2 3
3cos 1 cos
3
 
   
De otro lado, las coordenadas del punto M,
(Mx ; My ; Mz), vienen dados por:
x y z
M M M M cos 
  
x y z
M M M 3
   
Por tanto, el punto M, tiene coordenadas:
M ( 3 ; 3 ; 3)

ó M ( 3 ; 3 ; 3)
   
b) Proyección de un vector
La proyección ortogonal del vector a sobre
el vector b , viene dado por:
2
b
a b
Proy a ( )b
b
 , b 0

Como se aprecia la proyección de a sobre
b es un vector.
Ejem: 22
Hallar la proyección del vector a =(10; 5)
sobre el vector b = (3; 4).
a) (3 ; 4) b) (4 ; 3) c) (6 ; 8)
d) (8 ; 6) e) (2 ; 6)
Sol:
 Representemos el vector a , y su proyec
ción sobre el vector b .

a
b
Proy a
b
B
E
a
b

Pr oy a
b
 
Robótica y Cibernética
16
La proyección del vector a sobre el vector
b , es un vector que tiene la misma direc
ción del vector b , y viene dado por:
b b
b
Proy a Comp a
b

b
a b b
Proy a
b b

b
(10)(3) (5)(4) (3; 4)
Proy a
5 5


b
(3; 4)
Proy a (10) (6;8)
5
 
 b
ˆ ˆ
Proy a 6 i 8 j
 
c) Componente de un vector
La componente del vector a en la direc
ción del vector b , viene dado por:
b
a b
Comp a
b
 , b 0

La componente de a en la dirección de b
es un escalar.
La relación entre la proyección y la compo
nente de un vector, viene dado po:
b b
b
Proy a Comp a
b

Ejem: 23
Hallar la componente del vector a =(5; 2;
5) sobre el vector b = (2; -1; 2).
a) 4 b) 6 c) 8
d) 10 e) 12
Sol:
 En la Figura, la componente del vector a
sobre el eje del vector b , es un número
real ("m"), el cual, viene dado por:
b
b
Comp a a cos a cos
b
 
 
b
a b cos a b
Comp a
b b

 
b
(5)(2) (2)( 1) (5)(2)
Comp a
3
  

 b
Comp a 6

d) Distancia de un punto a una recta
P
Y
X
d
L
Q
0
n̂
a
a

b
Comp a
b
C
a
b

m
B
Análisis Vectorial 17
En la Figura, la distancia del punto P a la
recta L, cuya dirección es dada por el
vec tor a , viene dada por:
(P Q) n
d
a


Siendo, Q un punto cualesquiera de la rec
ta L, y n un vector normal.
Ejem: 24
Hallar la distancia del punto A(4; 5; -7) a
la recta que pasa por el punto B(-3; 6; 12)
y es paralela al vector ˆ ˆ ˆ
c 4 i j 3 k
   .
a) 19,1 u b) 19,3 u c) 19,5
u d) 19,7 u e) 19,9 u
Sol:
 Representemos la distancia del punto A
a la recta que pasa por B.
El vector que va de B hacia A es igual a:
ˆ ˆ ˆ
e A B 7 i j 19 k
    
La ecuación de la recta (L1) que pasa por
B, y es paralela al vector c es:
x 3 y 6 z 12
4 1 3
  
 

De otro lado, el módulo del vector c , da
do por, ˆ ˆ ˆ
c 4i j 3k
   es:
2 2 2 1/2
c [(4) ( 1) (3) ]
   
c 26

La distancia del punto A a la recta L1,
viene dado por:
exc
d
c

ˆ ˆ ˆ
i j k
1
d 7 1 19
26
4 1 3
  

1 ˆ ˆ ˆ
d 22 i 97 j 3 k
26
   
2 2 2 1/2
[( 22) ( 97) ( 3) ]
d
26
    

9902 99,51
d
5,11
26
 
 d 19,5 u

e) Distancia entre dos rectas
La distancia "d" entre las rectas no para
lelas L 1, L 2 cuyos vectores direccionales
son a y b , viene dado por:
L1
L2
n axb

Q
P
d

Z
Y
X
A
B
c


0

k

i

j d
e
L1
C
Robótica y Cibernética
18
(Q P) (a xb)
d
a xb


siendo,n un vector perpendicular a los vec
tores direccionales a , b ; y "P", "Q" pun
tos cualesquiera de las rectas L1 y L2,
respectivamente.
Ejem: 25
Hallar la distancia mínima entre las rectas
L1: (x+8)/2=(y-10)/3=(z-6)1, y L2: (x-
1)/-1=(y-1)/2=(z-1)/4.
a) 8,17 u b) 8,37 u c) 8,57 u
d) 8,77 u e) 8,97 u
Sol:
 De la ecuación de las rectas dadas, los pun
tos P y Q y los vectores direccionales a , b
de dichas rectas , son:
P ( 8;10;6) ; Q (1;1;1)
  
a (2;3;1) y b ( 1; 2:4)
  
Con esto, calculemos el vector (Q-P) y el
producto vectorial a xb, así:
(Q P) (9; 9; 5)
    
ˆ ˆ ˆ
i j k
a xb 2 3 1
1 2 4
 
 
  
 

 
a xb (10; 9; 7)
  
Luego, de la fórmula para la distancia en
tre dos rectas, tenemos:
(Q P) (a xb)
d
a xb


2 2 2 1/2
(9; 9; 5) (10; 9; 7)
d
[( 10) (9) (7) ]
  

  
136
d
230

 d 8,97u

f) Angulo entre dos rectas
El ángulo " "
 formado por las rectas L1,
L2 de pendientes m1=tg 1 y m2=tg 2,
viene dado por;
2 1
1 2
m m
tg
1 m m




Ejem: 26
Hallar el ángulo agudo entre dos rectas que
pasan por las medianas trazadas desde los
vértices de los ángulos agudos de un trián
gulo rectángulo isósceles.
a) 30,870
b) 32,870
c) 34,870
d) 36,870
e) 38,870
Sol:
 En la Figura, en los triángulos rectángulos,
calculemos tg 1 y tg 2, así:
o
1 1
tg tg(180 )
 
 
o
1
1 o
1
tg180 tg
tg 2
1 tg180 tg




  

L1
L2

0
1
X
2
Y
E
Análisis Vectorial 19
o
2 2
tg tg(180 )
 
 
o
2
1 o
2
tg180 tg 1
tg
2
1 tg180 tg




  

Considerando 2 u los catetos del triángulo
isósceles AOB, tracemos las rectas L 1, L
2 que pasan por las medianas del triángulo
i sosceles, así:
Con esto, a partir de la fórmula de teoría,
calculemos el ángulo entre las rectas, así:
2 1
1 2
m m
tg
1 m m




( 1/ 2) ( 2) 3
tg
1 ( 1/ 2)( 2) 4

  
 
  
 o
36,87
 
g) Distancia de un punto a un plano
siendo, A, B, C los coeficientes de la ecua
ción de plano; n un vector normal al pla
no.
Ejem: 27
Hallar la distancia del punto A(-3; 6; 12) al
plano que pasa por el punto B(4; 5; -7) y es
perpendicular al vector c = (4; -1; 3).
a) 1,51 u b) 1,53 u c) 1,55 u
d) 1,57 u e) 1,59 u
Sol:
 Representemos la distancia (h) del punto A
al plano que pasa por B.
La distancia "h" de un punto A(a1; a2; a3) a
un plano P, cuya ecuación cartesiana es, a
x + b y + c z = d, viene dado por:
d c A
h
c


siendo c un vector normal al plano.
Para hallar la ecuación del plano, conside
remos un punto D(x; y; z) cualesquiera del
plano, entonces, un vector contenido en
dicho plano es,
e D B (x; y; z) (4;5; 7)
    
e (x 4; y 5; z 7)
   
Como, c es  al plano, entonces, es  al
vector e , esto es, e c 0
 , luego, la e
cuación cartesiana del plano es:
n̂
P
a
Q
Z
Y
0
PLANO
D
B e
A
c

h
X
1
1
1 1
0
Y
X
L1
1
A
L2

2
1 2
B
D
Robótica y Cibernética
20
(x 4; y 5; z 7) (4; 1;3) 0
    
4 x y 3 z 10
    
Así, la distancia del punto A al plano es:
2 2 2 1/2
10 (4; 1; 3) ( 3; 6;12)
h
[(4) ( 1) (3) ]
   

  
8 8
h
5,11
26
 
 h 1,57 u

OPERACIONES DEL ALGEBRA
VECTORIAL
a) El gradiente
1) Definición
En matemáticas, el "gradiente" es una gene
ralización multivariable de la derivada. En
tanto, que una derivada se define solo en
funciones de una sola variable, para fun
ciones de varias variables, el gradiente to
ma su lugar.
 Al igual que la derivada, el gradiente repre
senta la pendiente de la línea tangente a la
gráfica de una función. Más precisamente,
el gradiente apunta a los puntos de la gráfi
ca a los cuales la gráfica tiene un mayor
incremento. La magnitud del gradiente es
la pendiente de la gráfica en esa dirección.
 Los componentes del gradiente en coorde
nadas son los coeficientes de las variables
presentes en la ecuación del espacio tangen
te al gráfico. Esta propiedad de caracteri
zación del degradado permite se defina
independientemente de la elección del siste
ma de coordenadas, como un campo vecto
rial cuyos componentes en un sistema de
coordenadas se transformará cuando se pa
se de un sistema de coordenadas a otro.
2) Interpretación del gradiente
De forma geométrica es un vector que se
normal (perpendicular) a la curva de nivel
en el punto P(x, y) en el que se calcula el
gradiente. Por ejemplo, consideremos una
habitación en la cual la temperatura se defi
ne a través de un campo escalar, de tal ma
nera que en cualquier punto (x, y, z), la
temperatura es T(x, y, z). Asumiremos que
la temperatura no varía con respecto al
tiempo "t". Siendo esto así, para cada pun
to de la habitación, el gradiente en ese pun
to nos dará la dirección en la cual la tempe
ratura aumenta más rápido. La magnitud
del gradiente nos dirá que tan rápido au
menta la temperatura en esa dirección.
3) Representación
 El gradiente de un campo escalar "V", o
también conocido como vector gradiente,
se denota como V, donde "" es el opera
dor diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado del gradiente del campo esca
lar "V" es un campo vectorial E , esto es,
V=E .
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación gradiente, son:
 (f+g)= f+g (Distributiva)
 (f)= f, (linealidad del operador )
 El gradiente de una función es ortogonal a
las superficies equiescalares, definidas por
=cte.
 Apunta en la dirección en la que la deriva
da direccional es máxima
 La norma o módulo del gradiente es igual
a la derivada direccional máxima.
 El campo formado por el gradiente en cada
punto es siempre irrotacional, esto es:
 x (V)=0
D
06
Análisis Vectorial 21
4) Expresión matemática general
 La expresión general del gradiente del cam
po escalar "V"en cualquier sistema de coor
denadas ortogonales, viene dada por:
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 V 1 V 1 V
ˆ ˆ ˆ
V e e e
h q h q h q
  
   
  
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas cilíndricas, q1=, q2=, q3=z, y
h=1, h=, hz=1, con lo que:
V 1 V V
ˆ ˆ ˆ
V z
 
   
  
   
  
donde, V=V(x, y, z) es el campo escalar.
 La expresión general del gradiente del cam
po escalar "" en cualquier sistema de cur
vilíneo, viene dada por:
ij
j
i
ˆ
g e
x



 

donde, se ha utilizado el convenio de suma
ción de Einstein.
5) Convenio de sumación de Einstein
Se llama convenio de sumación de Eins
tein a la convención utilizada para abreviar
la escritura de sumatorias, en el que se su
prime el símbolo de sumatoria representa
do por el símbolo griego .
 Este convenio se aplica en matemáticas en
especial a los cálculos realizados en álge
bra lineal destinados a la física. El conve
nio se aplica sólo a sumatorias sobre índice
repetidos.
 El convenio se usa especialmente con ten
sores donde es muy frecuente la operación
de suma sobre índices repetidos, y sería
muy fatigoso escribir explícitamente los
signos de sumatorias.
6) Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclidiano tridimensional, el
concepto de gradiente también puede exten
derse al caso de un campo vectorial, siendo
el gradiente de F un tensor que da el dife
rencial del campo al realizar un desplazami
ento, dado por:
v 0
dF F(r v) F(r)
(v) im
dr v

 

dF
(v) ( F) v
dr
 
 Fijada una base vectorial, este tensor podrá
representarse por una matriz 3x3, que en
coordenadas cartesianas está formada por
las tres derivadas parciales de las tres com
ponentes del campo vectorial.
 El gradiente de deformación estará bien de
finido sólo si el límite anterior existe para
todo v y es una función continua de dicho
vector.
7) Gradiente sesgado
En matemáticas, un gradiente sesgado o
gradiente de sesgo de una función armóni
ca sobre un dominio simplemente conecta
do con dos dimensiones reales en un cam
po vectorial que está en todas partes ortogo
nalmente al gradiente de la función y que
tiene la misma magnitud que el gradiente.
8) Aplicaciones en la física
 El gradiente de una magnitud física, tal co
mo el potencial eléctrico, gravitatorio, etc..
posee innumerables aplicaciones en la físi
ca, especialmente en el electromagnetismo,
astronomía, mecánica de fluidos, etc...
 En particular, existen muchos campos vec
toriales que pueden escribirse como el gra
diente de un potencial escalar, así:
 Por ejemplo el campo electrostático E , se
deriva del potencial eléctrico V.
Robótica y Cibernética
22
E V
 
 Todo campo que pueda escribirse como el
gradiente de un campo escalar, se denomi
na potencial, conservativo o irrotacional.
Así, una fuerza conservativa F deriva de la
energía potencial U, del modo siguiente:
F U
 
 Los gradientes también aparecen en los pro
cesos de difusión que verifican la ley de
Fick o la ley de Fourier para la tempera
tura. Así, por ejemplo, el flujo de calor en
un material es directamente proporcional al
gradiente de temperaturas, esto es:
q k T
  
donde, "k" es la conductividad térmica del
material o sustancia.
Ejem: 28
Hallar el gradiente del campo escalar F, da
do por: F(x, y)=x2
+2x+y2
+y3
+xy, y evaluar
su modulo en el punto P(1; 1).
Sol:
En coordenadas rectangulares, el gradiente
del campo escalar F es:
F F
ˆ ˆ
F i j
x y
 
  
 
2 2 3
2 2 3
ˆ
F (x 2x y y xy)i
x
ˆ
(x 2x y y xy)j
y

      


   

2 2 3
2 2 3
x 2x y y xy ˆ
F ( )i
x x x x x
x 2x y y xy ˆ
( ) j
y y y y y
    
      
    
    
   
    
2
ˆ
F (2x 2 0 0 y)i
ˆ
(0 0 2y 3y x) j
      
   
2
ˆ ˆ
F (2x y 2)i (2y 3y x) j
      
Evaluando este gradiente en el punto (1; 1)
y tomando su modulo, obtenemos:
1,1 1,1
ˆ ˆ
F 5i 6 j F 7,8
     
b) Divergencia
1) Definición
La divergencia de un campo vectorial en
un punto del espacio es un campo escalar,
y se define como el flujo del campo vecto
rial por unidad de volumen conforme el vo
lumen alrededor del punto tiende a cero.
2) Interpretación
La divergencia puede entenderse como la
densidad de fuentes de un campo vectorial,
siendo positiva si el campo posee un ma
nantial y negativa si tiene un sumidero.
 Por ejemplo, en el caso del flujo de calor
q , los manantiales representan la produc
ción de calor y los sumideros su consumo.
 La integral de volumen de la divergencia
=q dV, será la suma de todas las fuen
tes que hay al interior del volumen.
 Teniendo en cuenta el signo, el resultado
será igual a la producción de todos los ma
nantiales, menos el consumo de los sumide
ros, esto es, la producción neta de calor en
el volumen.
 Si se produce más calor del que se consu
me, ese calor extra debe escapar al exterior
del volumen. Esa emisión al exterior es lo
que representa el flujo.
3) Representación
Análisis Vectorial 23
 La divergencia de un campo vectorial E ,
se denota como  E , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado de la operación divergencia
del campo vectorial E es un campo escalar
V, esto es,  E =V.
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación divergencia, son:
  (E +G )=  E +G (Distributiva)
  (cE )=c  E , donde c es una cte.
  (E )=() E + E , donde  es un
campo escalar.
 (ExG) G xE E xG
    
 ( E)G (E )G G( E)
    
 xE 0
  

3 2
(r / r ) (1/ r) 0, si r 0
    

2
 
   
 r 3
  , donde r es el vector de posición
 E( ) ( E / )
  
    
5) Expresión matemática general
 La expresión general de la divergencia del
campo vectorial E en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:
2 3 1 3
1 2 3 1 2
1 2
3
(h h E) (h h E)
1
E [
h h h q q
(h h E)
]
q
 
   
 


donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala en dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas esféricas, q1=r, q2=, q3= y hr=1,
h=r, h=1, con lo que:
2
r
2
1 1
E (r E ) (sen E )
r rsen r
r



 
   
 
E
1
( )
rsen r

 



 
 La expresión general de la divergencia del
campo vectorial "E " en cualquier sistema
curvilíneo, no necesariamente ortogonal,
viene dada por:
k
k
1
E ( g E )
x
g

 

donde, IgI es el determinante del tensor mé
trico.
 Tensor métrico
En geometría de Riemann, el tensor de mé
trico es un tensor de rango 2 que se utiliza
para definir conceptos métricos como dis
tancia, ángulo y volumen en un espacio lo
calmente euclídeo.
 Una vez que se elige una base local, el ten
sor métrico aparece como una matriz, deno
tada convencionalmente como "g". La nota
ción gij se utiliza convencionalmente para
las componentes del tensor. Así, el tensor
métrico "g" se expresa fijada una base coor
denada como:
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
g g g
g g g
g
g g g

 
 

 

 
   
 

 
 En física es muy común escribir la métrica
como el cuadrado del elemento de longitud
dado que el tensor es simétrico la notación
física, viene dada por:
2 i j
ij
ds g dx dx

6) Fuentes escalares de un campo
vectorial
Robótica y Cibernética
24
La divergencia es una cantidad escalar con
signo, este signo posee significado geomé
trico y físico, así:
 Si la divergencia de un campo vectorial en
un punto es positiva, quiere decir que en di
cho punto el campo radia hacia el exterior.
Se dice que en esa posición el campo vecto
rial posee un manantial.
 Si por el contrario la divergencia es negati
va, el campo converge hacia dicho punto;
se dice que el campo posee un sumidero.
Ambos, manantiales y sumideros, constitu
yen las fuentes escalares de un campo vec
torial.
 Si la divergencia es nula en un punto el
campo carece de fuentes escalares en dicho
punto.
7) Campo escalar, vectorial, tensorial
 Campo escalar
 Un campo escalar representa la distribu
ción de una magnitud escalar, asociando
un valor a cada punto del espacio.
 En mecánica de fluidos la presión puede
ser tratada como un campo escalar, la distri
bución de temperatura sobre un cuerpo es
otro campo escalar.
 Una construcción que caracteriza los cam
pos escalares son las superficie equipoten
ciales que son los conjuntos de puntos so
bre las cuales la función toma el mismo va
lor.
 En física relativista, un campo escalar es
aquel para el cual la ley de transformación
entre los valores medidos por dos observa
dores diferentes satisfacen una relación
tensorial de invariancia. En ese sentido el
potencial eléctrico que en electromagnetis
mo clásico se trata como un campo escalar,
en mecánica clásica no es un escalar sino
la componente temporal de un cuadrivec
tor potencial que generaliza el potencial
vectorial clásico.
 En física cuántica, se usa el término "cam
po escalar" de una forma más restringida,
se aplica para describir el campo asociado
a partículas de espín nulo, por ejemplo, los
piones.
 Campo vectorial
Un campo vectorial representa la distribu
ción espacial de una magnitud vectorial.
Es una expresión de cálculo vectorial que a
socia un vector a cada punto en el espacio
euclidiano.
 Los campos vectoriales se utilizan en la fí
sica, por ejemplo, para representar la velo
cidad y la dirección de un fluido en el es
pacio, o la intensidad y la dirección de fuer
zas como la gravitatoria o la fuerza electro
magnética.
 En el estudio del magnetismo, las líneas
del campo magnético de inducción se pue
den revelar usando pequeñas limaduras de
hierro sobre un papel, en presencia de un i
mán natural.
 Campo tensorial
Un campo tensorial es aquel en que cada
punto del espacio lleva asociado un tensor.
Es una asignación de una aplicación multi
lateral a cada punto de un dominio del espa
cio.
En física, también se llama campo tenso
rial a cualquier magnitud física que puede
ser representada por una asignación del ti
po anterior sobre una región del espacio fí
sico, ejemplos de campos tensoriales son:
1) Campo electromagnético en la electrodi
námica clásica, 2) Campo gravitatorio, en
la teoría de la relatividad general.
 Campo espinorial
Un campo espinorial es un tipo de campo
físico que generaliza los conceptos de cam
pos vectoriales y tensoriales. Si un campo
tensorial es un tipo de representación lineal
Análisis Vectorial 25
del grupo de Lorentz L, un campo espino
rial es una representación de su recubridor
universal, el grupos especial SL(2, ).
 Muchas magnitudes físicas representables
mediante campos tensoriales pueden repre
sentarse también matemáticamente por
campos espinoriales de manera equivalen
te. Sin embargo algunos campos espinoria
les no admiten análogos tensoriales. En es
te sentido los campos espinoriales generali
zan los campos vectoriales y tensoriales,
que pueden ser vistos como casos particu
lares de magnitudes espinoriales.
 La mecánica cuántica hace un uso extensi
vo de los campos espinoriales.
8) Campo solenoidal
Se llama así al campo cuyas fuentes escala
res son nulas en todos los puntos del espa
cio, esto es,  E =0, r.
 El ejemplo más importante en el electro
magnétismo de campo solenoidal, es el
campo magnético, en el que se verifica,
 B=0, r, tanto en situaciones estáticas
como dinámicas.
 Un campo solenoidal se caracteriza porque
sus líneas de campo no pueden converger
ni divergir de ningún punto; no pueden te
ner extremos localizados, esto hace que las
líneas solo puedan ser cerradas, o ir del in
finito al infinito, o dar vueltas sobre si mis
mas, sin llegar a cerrarse.
 Un ejemplo analítico de campo solenoidal
es E =-yî +xˆ
j, las líneas de campo de este
campo vectorial describen circunferencias
en torno al eje-z, en concordancia con la
idea que no tienen extremos.
9) Aplicaciones
 La divergencia de un campo vectorial es
proporcional a la densidad de las fuentes
puntuales del campo, así, en la ley de
Gauss, tenemos:
o
E


 
donde, "E " es el campo eléctrico, "" la
densidad de carga volumétrica, y "o" la
permitividad eléctrica del vació.
 Asimismo, en la ley de Gauss para el cam
po de inducción magnético, que es una de
las ecuaciones de Maxwell, tenemos:
B 0
 
el valor cero de la divergencia nos indica
que no hay fuentes puntuales de campo
magnético, y que las líneas de campo mag
nético son líneas cerradas.
10) Teorema de la divergencia
El flujo de un campo "E" a través de una
superficie cerrada "S" y la divergencia es
tán estrechamente relacionados por la ecua
ción:
S V
E dS EdV
 
 
donde, "V es el volumen encerrado por la
superficie "S".
 Este teorema establece, que la cantidad de
campo que escapa hacia el exterior de una
superficie cerrada "S", es igual, a la suma
neta de las fuentes escalares contenidas al
interior de dicha superficie cerrada.
Ejem: 29
Calcular la divergencia del campo vecto
rial, dado por: ˆ ˆ
E(x,y) xcosyi sen y j
 
Sol:
 En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:
y
x
E
E
E
x y


  
 
Robótica y Cibernética
26
(xcosy) ( sen y)
E
x y
  
  
 
E cosy cosy
  
 E 0
 
Por lo que, E es un campo solenoidal, esto
es, no presenta fuentes ni sumideros.
Ejem: 30
Hallar la divergencia del campo vectorial,
dado por:
2
(x/4) 2
y
ˆ ˆ
E(x,y) e i [0,5 ( ) ]j
4

  
y evaluar en el punto P(1; 1).
Sol:
 En la expresión de la divergencia en coor
denadas rectangulares, reemplazando las
componentes de E , tenemos:
y
x
E
E
E
x y


  
 
2
(x /16) 2x 2y
E e ( )
16 16

   
2
x /16
1
E [xe y]
8

   
 1;1
( E) 0,24
  
Como, 1;1
( E)
 es negativo, el campo vec
torial tiene un sumidero en el punto (1; 1).
c) El rotacional
1) Definición
El rotacional o rotor es un operador vecto
rial que actúa sobre campos vectoriales de
finidos en un abierto de 3
que muestra la
tendencia de un campo vectorial a inducir
rotación (giro) al rededor de un punto.
 Aunque el rotacional de un campo alrede
dor de un punto sea distinto de cero, no im
plica que las líneas de campo giren alrede
dor de ese punto y lo encierren.
2) Interpretación
Por ejemplo, el campo de velocidades de
un fluido que circula por una tubería (cono
cido como el perfil de Poiseulli) posee un
rotacional no nulo en todas partes, salvo en
el eje central, pese a que la corriente fluye
en línea recta.
 La idea es que si colocamos una rueda de
paletas infinitamente pequeña en el interior
del campo vectorial, esta rueda girará, aun
que el campo tenga siempre la misma direc
ción, debido a la diferente magnitud del
campo a un lado y a otro de la rueda.
3) Representación
 El rotacional de un campo vectorial E , se
denota como x E , donde "" es el ope
rador diferencial vectorial llamado nabla.
 El resultado de la operación rotacional del
campo vectorial E es otro campo vectorial
F, esto es, xE =F.
4) Fuente vectorial y escalar
Al campo vectorial G , resultado de calcu
lar el rotacional sobre un campo vectorial
E en cada punto del espacio, G xE
  , se
conoce como las fuentes de E (siendo las
fuentes escalares la que se obtienen medi
ante la operación de divergencia).
Un campo cuyo rotacional es nulo en todos
los puntos del espacio se denomina irrota
cional o se dice que carece de fuentes vec
toriales.
4) Propiedades
Algunas de las propiedades más importan
tes de la operación divergencia, son:
 x (E +G )= xE +xG (Distributiva)
Análisis Vectorial 27
 x (cE )=c xE , donde c es una cte.
 Todo campo potencial (expresable como el
gradiente de un potencial escalar) es irrota
cional y viciversa, esto es: E V
  , si y
sólo si xE =0.
 Todo campo central (radial y dependiente
sólo de la distancia al centro de fuerza) es
irrotacional, esto es: ˆ
E f(r)r
 , entonces,
xE =0. En particular, el campo electros
tático de una carga eléctrica puntual "q" es
irrotacional.
 El rotacional de un campo vectorial es
siempre un campo solenoidal, esto es su di
vergencia siempre es nula, (xE )=0
4) Expresión matemática general
 La expresión general del rotacional del
campo vectorial "E" en cualquier sistema
de coordenadas ortogonales, viene dada
por:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
ˆ ˆ ˆ
h e h e h e
xE
q q q
h E h E h E
  
 
  
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas rectangulares, q1=x, q2=y, q3=z, y
hx=1, hy=1, hz=1, con lo que:
y
z x z
y x
E
E E E
ˆ ˆ
xE ( )x ( )y
y z z x
E E
ˆ
( )z
x y

  
     
   
 

 
donde, E =E (x, y, z) es el campo vectorial
 En la notación de los índices repetidos, con
el símbolo de Levi-Civita, el rotacional del
campo vectorial E , se escribe como:
k m m
( xE) E
  
5) Identidades
Algunas de las identidades más importan
tes de la operación rotacional, son:

x(VxF) [( F) F ]V
[( V) V ]F
     
  
 F
Vx( xF) (V F) (V )F
    

2
x( xF) ( F) F
      
 x( ) 0

   , donde  un campo escalar
 x( F) xF ( xF)
  
    
6) Aplicaciones
En un tornado los vientos están rotando so
bre el ojo, y un campo vectorial que mues
tra las velocidades del viento tendría un ro
tacional diferente de cero en el ojo y posi
blemente en otras partes (vorticidad).
 En un campo vectorial que describa las ve
locidades lineales de cada parte individual
de un disco que rota, el rotacional tendrá
un valor constante en todas las partes del
disco.
 Si una autopista fuera descrita con un cam
po vectorial, y los carriles tuvieran diver
sos límites de velocidad, el rotacional en
las fronteras entre los carriles sería diferen
te de cero.
 La ley de Faraday de la inducción y la ley
de Ampere, dos de las ecuaciones de Max
weel, se pueden expresar muy simplemen
te usando el rotacional.
 La primera indica que el rotacional de un
campo eléctrico E , es igual, a la tasa de va
riación de la densidad del flujo magnético
B, con signo opuesto debido a la ley de
Lenz, esto es:
B
xE
t

  

Robótica y Cibernética
28
 La segunda indica que el rotacional de un
campo magnético B, es igual, a la suma de
la densidad de corrientes J y la derivada
temporal de la densidad de flujo eléctrico,
esto es:
o
o o
1 E
xB J

 

  

Ejem: 31
Calcular el rotacional del campo vectorial,
dado por: ˆ ˆ
E(x;y) yi x j
   .
Sol:
 En la expresión del rotacional en coordena
das rectangulares, reemplazando las compo
nentes del campo E , tenemos:
y
z x z
y x
E
E E E
ˆ ˆ
xE ( )x ( )y
y z z x
E E
ˆ
( )z
x y

  
     
   
 

 
0 x ( y) 0
ˆ ˆ
xE ( )x ( )y
y z z x
x ( y)
ˆ
( )z
x y
    
     
   
  

 
 ˆ
xE 2k
 
El rotacional de E es un campo constante
en la dirección del eje-z positivo.
d) El laplaciano
1) Definición
 El laplaciano es un operador diferencial e
líptico de segundo orden, denotado por  o
2
, relacionado con ciertos problemas de
minimización de ciertas magnitudes físicas
sobre un cierto dominio de validez.
 El operador tiene este nombre en reconoci
miento de Pierre-Simon Laplace que estu
dio soluciones de ecuaciones diferenciales
en derivadas parciales en las que aparecía
dicho operador.
2) Fuente
El laplaciano de un campo escalar V, es el
resultado de la operación divergencia gra
diente del campo V, es decir esta opera
ción es la fuente del laplaciano:
2
( V) V V
     
3) Interpretación física
El laplaciano de un campo escalar V, mi
de la segunda variación en las coordenadas
espaciales que experimenta el campo V en
un punto del espacio.
4) Aplicaciones
 En física, el laplaciano aparece en múlti
ples contextos como la teoría del potencial,
la propagación de ondas, la conducción de
calor, la distribución de tensiones en un
cuerpo deformable, etc... Pero de todos es
tos casos ocupa un lugar destacado en la e
lectrostática y en la mecánica cuántica.
 En la electrostática, el operador laplaciano
aparece en la ecuación de Laplace y en la e
cuación de Poisson.
 En tanto, en la mecánica cuántica el lapla
ciano de la función de onda de una partícu
la proporciona su energía cinética.
5) Propiedades
Algunas de las propiedades que presenta el
laplaciano, son:
2
(F+G)= 2
F+2
G, linealidad.
2
(FG)=(2
F)G+2(F)(G)+F(2
G)
6) Expresión matemática general
 La expresión general del laplaciano del
campo escalar "V" en cualquier sistema de
coordenadas ortogonales, viene dada por:
Análisis Vectorial 29
2 2 3
1 2 3 1 1 1
1 3 1 2
2 2 2 3 3 3
h h
1 V
V [ ( )
h h h q h q
h h V h h V
( ) ( )]
q h q q h q
 
  
 
   

   
donde, q1, q2, q3 son las coordenadas en el
sistema ortogonal, y h1, h2, h3 los llamados
factores de escala de dicho sistema de coor
denadas. Por ejemplo en el sistema de coor
denadas rectangulares, q1=x, q2=y, q3=z, y
hx=1, hy=1, hz=1, con lo que:
2 2 2
2
2 2 2
V V V
V
x y z
  
   
  
 El laplaciano de un campo escalar V, en un
sistema de coordenadas no necesariamente
ortogonal, viene dado por:
2 ik
k i
1 V
V ( g g )
x x
g
 
 
 
donde, gij
es el tensor contravariante de or
den 2 asociado al tensor métrico, g es la
raíz cuadrada del valor absoluto del deter
minante del tensor métrico.
7) El laplaciano vectorial
 El laplaciano vectorial, es un operador dife
rencial definido sobre un campo vectorial
E , el laplaciano vectorial es similar al la
placiano escalar, a diferencia que se aplica
sobre campos vectoriales dando como re
sultado otro campo vectorial.
 Un ejemplo del uso del laplaciano vecto
rial, son las ecuaciones de Navier-Stokes
para un flujo incompresible newtoniano,
esto es:
2
v
( (v )v) f P ( v)
t
  

      

donde el término con el laplaciano vecto
rial del campo de velocidad (2
v ) repre
senta las tensiones viscosas en el fluido.
 Otro ejemplo muy utilizado en la física es
la ecuación de ondas para el campo eléctri
co E , que puede ser derivada a partir de
las ecuaciones de Maxwell, en particular
en ausencia de cargas y corrientes (fuentes
de campos), se tiene:
2
2
o o 2
E
E E 0
t
 

   

donde, es el operador llamado el D'Alem
bertiano, que se utiliza en la ecuación de
Klein-Gordon.
Ejem: 32
En una región R del espacio libre, hay un
potencial, dado por: V(, )=(Vo/d)cos .
Probar que V(, ) satisface la ecuación de
Laplace.
Sol:
 En coordenadas cilíndricas, sustituyendo el
potencial dado en la ecuación de Laplace,
tenemos:
2
V 0
 
2
2
2 2
1 V 1 V
V ( ) 0

    
  
   
  
2 o
2
o
2 2
V
1
V ( ( cos ))
d
V
1
( cos ) 0
d
  
  
 
 
 
  
 



2 o
o
2
V
1
V ( cos )
d
V
1
( sen ) 0
d


 





  




Robótica y Cibernética
30
2 o o
V V
V cos cos 0
d d
 
 
   
<<
V satisface la ecuación de Laplace>>
TENSORES
a) Definición de tensor
Un tensor es cierta clase de entidad alge
braica de varios componentes, que genera
liza los conceptos de escalar, vector y ma
triz de una manera que sea independiente
de cualquier sistema de coordenadas elegi
do
b) Origen y evolución
La palabra "tensor" se utiliza a menudo co
mo abreviatura de campo tensorial, que es
un valor tensorial definido en cada punto
en una variedad.
 El primero en utilizar esta palabra fue Wi
lliam Rowan Hamilton en 1846, empleán
dola para lo que actualmente se conoce co
mo módulo y fue Woldemar Voigt en 1899
quien la empleo en su acepción actual.
 La palabra tensor proviene del latín "ten
sus", participio pasado de tenderé "estirar,
extender". El nombre se extendió porque la
teoría de la elasticidad fue una de las prime
ras aplicaciones físicas donde se usaron ten
sores.
 Gregorio Ricci-Curbastro en 1890 desarro
lló la notación actual con el nombre de
geometría diferencial absoluta, y se popula
rizó con la publicación de Cálculo Diferen
cial Absoluto de Tulio Levi-Civita en 1900
 Con la introducción de la teoría de la relati
vidad general por parte de Albert Einstein
alrededor de 1915 se encontró su aplica
ción más apropiada, la relatividad General
es netamente tensorial.
c) Características
Las cantidades geométricas y físicas pue
den ser clasificadas considerando los gra
dos de libertad inherentes a su descripción.
 Las cantidades escalares son las que se pue
den representar por un sólo número, por
ejemplo la masa.
 Hay también cantidades tipo vector, como
por ejemplo la fuerzas, que requieren una
lista de números para describir su módulo
y su dirección.
 Finalmente, las cantidades tales como for
mas cuadráticas requieren naturalmente u
na matriz con índices múltiples para su re
presentación. Estas últimas cantidades se
pueden concebir únicamente como tenso
res.
 Realmente, la noción tensorial es absoluta
mente general. Los escalares y los vectores
son casos particulares de tensores.
 La propiedad que distingue un escalar de
un vector, y distingue ambos de una canti
dad tensorial más general es el número de
índices en la matriz de la representación.
Este número se llama rango de un tensor.
 Así, los escalares son los tensores de rango
cero (sin índices), y los vectores son los
tensores de rango uno.
d) Utilización
 No todas las relaciones en la naturaleza
son lineales, pero la mayoría es diferencia
ble y así se pueden aproximar localmente
con sumas de funciones multilaterales, de
modo que, la mayoría de las magnitudes fí
sicas pueden expresarse como tensores.
 Un ejemplo simple es la descripción de u
na fuerza aplicada al movimiento de una
nave en el agua. La fuerza es un vector, y
la nave responderá con una aceleración
que es también un vector. La aceleración
en general no estará en la misma dirección
07
Análisis Vectorial 31
que la fuerza, debido a la forma particular
del cuerpo de la nave.
 Si embargo resulta que la relación entre la
fuerza y la aceleración es lineal (F=ma).
Tal relación es descrita por tensor del tipo
(1, 1), es decir, que transforma un vector
en otro vector.
 El tensor se puede representar como una
matriz que cuando es multiplicada por un
vector, dé lugar a otro vector. Así, como
los números que representan un vector cam
biarán si uno cambia el conjunto de coorde
nadas, los números en la matriz que repre
senta el tensor también cambiarán cuando
se cambie el conjunto de coordenadas.
 En la ingeniería, as tensiones en el interior
de un sólido rígido o líquido también son
descritas por un tensor. Si selecciona un e
lemento superficial particular en el mate
rial, el material en un lado de la superficie
aplicará una fuerza en el otro lado. En ge
neral esta fuerza no será ortogonal a la su
perficie, sino que dependerá de la orienta
ción de la superficie de una manera lineal.
 Algunos ejemplos muy conocidos de tenso
res en geometría son las formas cuadráti
cas, y el tensor de curvatura.
 Algunos ejemplos de tensores físicos son
el tensor de energía-momento, el tensor de
polarización y el tensor dieléctrico.
e) Teoría de la elasticidad
Se llama elasticidad a la propiedad mecá
nica de ciertos materiales de experimentar
deformaciones reversible cuando se encu
entran sometidos a la acción de fuerzas ex
ternas y de recuperar la forma original (i
nicial), si estas fuerzas externas dejan de
actuar.
f) Deformación
La deformación es el cambio en el tamaño
o forma de un cuerpo (sólido), debido a la
acción de esfuerzos externos producidos
por una ó más fuerzas que actúan sobre el
cuerpo, o la ocurrencia de dilatación térmi
ca.
g) Viscoelasticidad
La viscoelasticidad es un tipo de comporta
miento reológico anelástico que presentan
ciertos materiales que exhiben tanto propie
dades viscosas como propiedades elásticas
cuando se deforman.
h) Grados de libertad
Se llama así, al número de coordenadas in
dependientes (escalares) necesarias para de
terminar simultáneamente la posición de
cada partícula en un sistema dinámico. El
concepto se utiliza en mecánica clásica y
termodinámica.
i) Densidad tensorial
Una densidad tensorial es una generaliza
ción del concepto de campo tensorial ordi
nario. Ciertas magnitudes pueden ser mode
lizadas como campos tensoriales, con leyes
de transformación tensorial convenciona
les. Pero también es útil definir magnitu
des llamadas "densidades tensoriales" con
transformaciones un poco más generales
que las de los tensores ordinarios.
VECTORES COVARIANTES Y
CONTRAVARIANTES
a) Concepto de covarianza y
contravarianza
 Son conceptos empleados frecuentemente
en la áreas de la matemática y la física teó
rica.
 Por regla general se refieren a que ciertos
08
Robótica y Cibernética
32
objetos matemáticos, que pueden represen
tar alguna magnitud física, tiene alguna for
ma de invariancia de forma, es decir, la pro
piedad de permanecer sin cambio bajo un
conjunto dado de transformaciones experi
mentadas.
 En la física, son importantes en el tratami
ento de vectores y otras cantidades, como
los tensores.
 Por ejemplo,las teorías de relatividad espe
cial (covariancia de Lorentz) y relatividad
general (covariancia general) usan vectores
base covariantes bajo cambios de coordena
das.
b) Invariancia
 Invariante es algo que no cambia al apli
carle un conjunto de transformaciones.
 En matemática, un objeto (función, conjun
to, punto, etc...) se dice invariante respec
to o bajo una transformación si permanece
inalterado tras la acción de tal transforma
ción.
 Más formalmente una entidad se conside
ra invariante bajo un conjunto de transfor
maciones si la imagen transformada de la
entidad es indistinguible de la original. La
propiedad de ser invariante se conoce co
mo invarianza o invariante.
 Dos ejemplos de invarianza son:
1) La distancia entre dos puntos en una recta,
no cambia al sumar una misma cantidad a
ambos puntos; es decir es invariante.
2) La simetría también puede ser considerada
una forma de invarianza.
c) Observador
En física, un observador es cualquier ente
capaz de realizar mediciones de magnitu
des físicas de un sistema físico para obte
ner información sobre el estado físico de
dicho sistema.
d) Transformación
 En matemática, se dice que una magnitud
es función de otra si el valor de la primera
depende del valor de la segunda.
 Por ejemplo el área "A" de un círculo es
función de su radio "R". A la primera mag
nitud el área "A" se le llama variable de
pendiente, y la segunda magnitud el radio
"R es la variable independiente.
e) Teoría especial de la relatividad
 Es una teoría de la física, que resulta de la
observación de que la velocidad de la luz
en el vació es igual en todos los sistemas
de referencia inerciales, y de obtener todas
las consecuencias del principio de relativi
dad de Galileo, según el cual, cualquier ex
perimento realizado, en un sistema de refe
rencia inercial, se desarrollará de manera
idéntica en cualquier otro sistema inercial.
 La teoría es "especial", ya que sólo se apli
ca en el caso especial/particular donde la
curvatura del espacio-tiempo producida
por acción de la gravedad es irrelevante.
 La teoría especial de la relatividad estable
ció nuevas ecuaciones que facilitan pasar
de un sistema de referencia inercial a otro
sistema de referencia inercial.
 Las ecuaciones correspondientes condu
cen a fenómenos que chocan con el senti
do común, como son la contracción espa
cial, la dilatación del tiempo, un límite uni
versal a la velocidad, la equivalencia entre
la masa y la energía la relatividad de la si
multaneidad.
 La relatividad especial tuvo también un im
pacto en la filosofía, eliminando toda posi
bilidad de existencia de un tiempo y de un
espacio absoluto en el conjunto del univer
so.
f) Teoría de la relatividad general
Análisis Vectorial 33
 Es una teoría del campo gravitatorio y de
los sistemas de referencia generales.
 El nombre de la teoría se debe a que gene
raliza la llamada teoría especial de la relati
vidad.
 Los principio fundamentales introducidos
en esta generalización son el principio de
equivalencia, que describe la aceleración y
la gravedad como aspectos distintos de la
misma realidad, la noción de la curvatura
del espacio-tiempo y el principio de cova
riancia generalizado.
g) Vectores covariantes
Si "N" cantidades físicas A1, A2,..,AN da
das en el sistema de coordenadas (x1
,
x2
,…,xN
) están relacionadas con otras "N"
cantidades 1
A , 2
A ,…, N
A dadas en el sis
tema de coordenadas ( 1
x , 2
x ,…, N
x ) me
diante las relaciones de transformación,
q
N
p q
p
q 1
x
A A
x




 (p=1,…,N)
A las cantidades p
A se les llama compo
nentes de un vector covariante o tensor co
variante de primer orden.
h) Vectores contravariantes
Si "N" cantidades físicas A1
, A2
,...,AN
da
das en el sistema de coordenadas (x1
,
x2
,…,xN
) están relacionadas con otras "N"
cantidades 1
A , 2
A ,…, N
A dadas en el sis
tema de coordenadas ( 1
x , 2
x ,…, N
x ) me
diante las relaciones de transformación,
p
N
p q
q
q 1
x
A A
x




 (p=1,…,N)
A las cantidades p
A se les llama compo
nentes de un vector covariante o tensor
contravariante de primer orden.
i) Agujeros negros
 Es una región finita del espacio en cuyo in
terior existe una concentración de masa lo
suficientemente elevada y densa como pa
ra generar un campo gravitatorio tal que
ninguna partícula material, ni siquiera la
luz, puede escapar de ella.
 Sin embargo los agujeros pueden ser capa
ces de emitir un tipo de radiación, la radia
ción de Hawking.
 Se conjetura o especula que en el centro
de la mayoría de las galaxias, entre ellas la
vía Láctea, hay agujeros supermasivos.
 El 11 de Febrero de 2016,las colaboracio
nes LIGO, Interferómetro Virgo y
GEO600 anunciaron la primera detección
de ondas gravitacionales, producidas por
la fusión de dos agujeros negros a unos
410 millones de parsec, es decir, unos
1337 millones de años luz de la Tierra.
 Un agujero negro supermasivo es una agu
jero negro con una masa del orden de mi
llones o decenas de miles de millones de
masas solares.
j) Gigante roja
Una gigante roja es una estrella gigante de
masa baja o intermedia (menos de 8-9
masas solares) que, tras haber consumido
el hidrógeno en su núcleo durante la etapa
de secuencia principal, convirtiéndolo en
helio por fusión nuclear, comienza a que
mar hidrógeno en una cáscara alrededor
del núcleo de helio inerte. Esto tiene como
primer efecto el aumento del volumen de
la estrella y un enfriamiento de su superfi
cie, por lo que su color se torna rojizo. En
esta fase previa a la del gigante rojo, la es
trella recibe el nombre de subgigante.
Robótica y Cibernética
22
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Las coordenadas polares de un punto P son: r=5,50 m y =240o
. Hallar las coordena
das cartesianas de este punto P.
a) (2,75; 4,76) b) (2,75; -4,76) c) (-2,75; 4,76) d) (-2,75; -4,76) e) (2,75; 4,76)
02. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares P(2,50 m, 30,0o
) y Q(3,80 m,
120,0o
).
I) Hallar las coordenadas cartesianas de estos puntos.
II) Hallar la distancia entre estos puntos.
03. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared
se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimen
siones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2,00, 1,00) m.
I) ¿Qué tan lejos está la mosca de la esquina del cuarto?
a) 2,04 m b) 2,24 m c) 2,44 m d) 2,64 m e) 2,84 m
II) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?
a) (2,04 m; 20,6o
) b) (2,64 m; 24,6o
) c) (2,44 m; 22,6o
)
d) (2,84 m; 28,6o
) e) (2,24 m; 26,6o
)
04. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas P(2,00, -4,00) m y Q(3,00,
3,00) m.
I) Hallar la distancia entre estos puntos P y Q.
a) 8,4 m b) 8,5 m c) 8,6 m d) 8,7 m e) 8,8 m
II) Hallar las coordenadas polares de estos puntos P y Q.
05. Si las coordenadas rectangulares de un punto P están dadas por (2, y) y sus coordena
das polares son (r, 30o
). Hallar y y r.
a)1,45 m; 2,41 m b) 1,35 m; 2,21 m c) 1,05 m; 2,11 m
d) 1,25 m; 2,31 m e) 1,15 m; 2,31 m
06. Si las coordenadas polares del punto (x, y) son (r, ), hallar las coordenadas polares
para los puntos (-x, y), (-2x, -2y), y (3x, -3y).
07. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto
son: x=1 u, y=2 u, z=3 u. Hallar las coordenadas cilíndricas de este punto.
08. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto
son: x=2 u, y=2 u, z=2 u. Hallar las coordenadas esféricas de este punto.
34
Robótica y Cibernética 35
09. Las coordenadas cilíndricas de un punto P son: =2 u, =30o
, z=3 u. Hallar los vecto
res unitarios ̂ , y ̂ .
10. Hallar la expresión de los vectores unitarios î , ˆ
j, k̂ que definen las coordenadas carte
sianas, en función de los vectores unitarios ̂ , ̂ y k̂ que definen las coordenadas cilín
dricas.
11. Las coordenadas esféricas de un punto P son: r=4 u, =37o
, y =53o
. Hallar los vecto
res unitarios r̂ , ̂ y ̂ .
12. Hallar la expresión de los vectores unitarios î , ˆ
j, k̂ que definen las coordenadas carte
sianas, en función de los vectores unitarios r̂ , ̂ y ̂ que definen las coordenadas esfé
ricas.
13. Las coordenadas parabólicas planas (f; h) en función de las rectangulares (x; y) vienen
dadas por: x = f – h, y = 2(f.h)1/2
donde f>0, h>0.
I) Expresar f y h en función de x e y.
II) Si f y ĥ son vectores unitarios, que definen el sistema de coordenadas parabólico,
demostrar que f y ĥ son perpendiculares entre si.
III) Demostrar que f y ĥ son funciones de f y h y hallar sus derivadas respecto de f y h.
IV) Probar que el vector de posición de una partícula en el sistema de coordenadas para
bólico, viene dado por : 1/2 1/2 1/2 1/2
ˆ ˆ
r f (f h) f h (f h) h
    .
14. En la Fig01, una topógrafa mide la distancia a través de un río recto con el siguiente
método. Partiendo directamente a través de un árbol en la orilla opuesta, camina d=100
m a lo largo del margen del río para establecer una línea base. Luego observa hacia el
árbol. El ángulo de su línea base al árbol es de =35,0o
. Hallar el ancho del río.
a) 65 m b) 70 m c) 75 m d) 80 m e) 85 m
15. En la Fig02, la fuerza 1
F de magnitud F1=6,0 N actúa sobre el cuerpo en el origen en
la dirección de =30,0o
sobre el eje-x positivo. La segunda fuerza 2
F de magnitud
F2=5,0 N actúa sobre el cuerpo en la dirección del eje-y positivo. Hallar gráficamente
la magnitud y dirección de la fuerza resultante 1 2
F F F
  .
a) 9,14 N, 59o
b) 9,34 N, 55o
c) 9,34 N, 51o
d) 9,74 N, 53o
e) 9,54 N, 57o
16. El vector A tiene una magnitud de A=29 u y puntos en la dirección del eje-y positivo.
Cuando el vector B se suma al vector A , el vector A B
 apunta en dirección del eje-
y negativo con una magnitud de 14 u. Hallar la magnitud y dirección de B.
a) -41ˆ
j b) -43ˆ
j c) -45ˆ
j d) -47ˆ
j e) -49ˆ
j
17. Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de radio R=5,00 m. Si
Análisis Vectorial
36
avanza por inercia alrededor de la mitad del círculo.
I) Hallar la magnitud del vector de desplazamiento.
a) 8,0 b) 8,5 m c) 9,0 m d) 9,5 m e) 10,0 m
II) Hallar la distancia que patino.
a) 15,1 m b) 15,3 m c) 15,5 m d) 15,7 m e) 15,9 m
III) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si el patina alrededor de todo el círculo?
Fig01 Fig02
18. Tres desplazamientos son: A =150 m a 30,0o
al Sur, B=250 m al Oeste y C =150 a
30,0o
al Noreste.
I) Construya un diagrama separado para cada una de las siguientes posibles formas de
sumar estos vectores 1
R A B C
   , 2
R B C A
   , 3
R C B A
   .
II) Explique que puede concluir al comparar los diagramas.
19. Un carro de montaña rusa se mueve 200 m horizontalmente y luego se eleva 135 m a
un ángulo de 30,0o
sobre la horizontal. A continuación viaja 135 m a un ángulo de
40,0o
hacia abajo.
I) Usando técnicas gráficas, hallar el desplazamiento desde su punto de partida.
a) 420,77 m b) 422,77 m c) 424,77 m d) 426,77 m e) 428,77 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento d .
a) 2,63o
b) -2,63o
c) 3,63o
d) -3,63o
e) 4,63o
20. Un avión vuela desde el campo base al lago A, a 280 km de distancia en la dirección
20,0o
al noreste. Después de soltar suministros vuela al lago B, que está a 190 km a
30,0o
al noreste del lago A.
I) Hallar gráficamente la distancia recorrida.
a) 305,9 km b) 306,9 km c) 307,9 km d) 308,9 km e) 309,9 km
II) Hallar la dirección desde el lago B al campo base.
a) 55,14o
b) 56,14o
c) 57,14o
d) 58,14o
e) 59,14o

d
v
F1
F2

Robótica y Cibernética 37
21. Indicar cuáles de las magnitudes físicas son escalares o vectoriales: peso (W), calor
(Q), calor especifico (ce), ímpetu (I), densidad (), energía (E), volumen (V), potencia.
Serway
22. Las componentes de un vector A en las direcciones de los x e y son Ax=-25 u y
Ay=40,0 u. Hallar la magnitud y dirección de este vector.
a) 48,2 u; 122o
b) 46,2 u; 121o
c) 45,2 u; 123o
d) 49,2 u; 125o
e) 47,2 u; 122o
23. El vector A de magnitud A=35,0 u está en la dirección de 325o
en sentido antihorario
medido desde el eje-x positivo. Hallar las componentes x e y de este vector.
a) 25,67 u; -22,08 u b) 25,67 u; -24,08 u c) 25,67 u; -23,08 u
d) 25,67 u; -21,08 u e) 28,67 u; -20,08 u
24. Una persona camina 25,0o
al noreste recorriendo 3,10 km. ¿Qué distancia tendría que
caminar hacia el Norte y hacia el Este para llegar a la misma posición?
a) 1,11 km; 2,51 km b) 1,51 km; 2,71 km c) 1,41 km; 2,61 km
d) 1,21 km; 2,91 km e) 1,31 km; 2,81 km
25. Obtenga expresiones en forma de componentes para los vectores de posición de coor
denadas polares: (12,8 m, 150o
), (3,30 cm, 60,0o
).
26. Un canillita para entregar un periódico recorre 3,00 cuadras al Oeste, 4,00 cuadras al
Norte y luego 6,00 cuadras al Este.
I) Hallar su desplazamiento resultante.
a) 4 cuadras b) 5 cuadras c) 6 cuadras d) 7 cuadras e) 8 cuadras
II) Hallar la distancia total que recorre el canillita.
a) 10 cuadras b) 11 cuadras c) 12 cuadras d) 13 cuadras e) 14 cuadras
27. Un explorador se mueve 75,0 m al Norte, 250 m al Este, 125 m a un ángulo de 30,0o
al
noreste y 150 m al Sur. Hallar la magnitud de su desplazamiento resultante.
a) 312,55 m b) 314,55 m c) 316,55 m d) 318,55 m e) 320,55 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante.
a) 6,07o
b) 6,27o
c) 6,47o
d) 6,67o
e) 6,87o
28. Dados los vectores ˆ ˆ
A 3i 2 j
  y ˆ ˆ
B i 4 j
   . Hallar A B
 , A B
 , A B
 , A B
 , y
las direcciones de A B
 y A B
 .
29. Un perro que corre en el parque, experimenta desplazamientos sucesivos de 3,50 m al
Sur, 8,20 a 30o
al noreste, y 15,0 m al Oeste.
Análisis Vectorial
38
I) Hallar la magnitud del desplazamiento resultante.
a) 7,12 m b) 7,32 m c) 7,52 m d) 7,72 m e) 7,92 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante.
a) 171,7o
b) 173,7o
c) 175,7o
d) 177,7o
e) 179,7o
30. Dados los vectores ˆ ˆ
A 2,00i 6,00 j
  y ˆ ˆ
B 3,00i 2,00 j
  .
I) Dibuje la suma vectorial C A B
  y la diferencia vectorial D A B
  .
II) Calcule C y D en términos de vectores unitarios.
III) Calcule C y D en términos de coordenadas polares, con ángulos medidos respecto del
eje-x positivo.
31. En la Fig03, cuando el esquiador se desliza por la pista de ángulo de inclinación =
30o
, un trozo de hielo se proyecta a una posición máxima de 1,50 m a =16,0o
de la
vertical.
I) Hallar la componente de su posición máxima paralela a la pista.
a) 1,17 m b) 1,37 m c) 1,57 m d) 1,77 m e) 1,97 m
II) Hallar la componente de su posición máxima perpendicular a la pista.
a) 0,54 m b) 0,64 m c) 0,74 m d) 0,84 m e) 0,94 m
32. En la Fig04, sobre la caja que reposa en el piso se aplican fuerzas 1
F de magnitud F1=
120 N en la dirección 1= 60,0o
, y 2
F de magnitud F2=80,0 N en la dirección 2= 75,0o
.
I) Hallar la fuerza resultante de la suma de estas fuerzas.
a) 181,4 N b) 183,4 N c) 185,4 N d) 187,4 N e) 189,4 N
II) Hallar la dirección del vector resultante de la suma de las fuerzas.
a) 71,8o
b) 73,8o
c) 75,8o
d) 77,8o
e) 79,8o
III) Hallar la magnitud de la fuerza 2
F , para que, la fuerza resultante sea nula.
a) 110 N b) 115 N c) 120 N d) 125 N e) 130 N
Fig03 Fig04


g
F1
F2
x
y
1
2
Robótica y Cibernética 39
33. Dados los tres vectores de desplazamiento ˆ ˆ
A (3i 3j)m
  , ˆ ˆ
B (i 4 j)m
  , y C 
ˆ ˆ
( 2i 5 j)m
 
I) Hallar la magnitud y dirección del vector D A B C
   .
a) 2,53 m; -41o
b) 2,63 m; -42o
c) 2,63 m; -43o
d) 2,73 m; -44o
e) 2,83 m; -45o
II) Hallar la magnitud y dirección del vector E A B C
    .
34. Dados los vectores A ( 8,70;15,0)cm
  y B (13,2; 6,60)cm
  . Si A B 3C 0
   .
Hallar el vector C .
a) (7,3î +7,2ˆ
j) cm b) (7,3î -7,2ˆ
j) cm c) (-7,3î +7,2ˆ
j) cm
d) (-7,3î -7,2ˆ
j) cm e) (7,5î +7,8ˆ
j) cm
35. Las componentes x, y, z del vector A son: 8,00 u, 12,0 u y -4,00 u, respectivamente.
I) Exprese el vector A en notaciones de vectores unitarios.
II) Exprese en vectores unitarios el vector B, cuya magnitud es un cuarto la de A , y que
está en la misma dirección.
III) Exprese en vectores unitarios el vector C , cuya magnitud es tres veces la de A , y que
esta en dirección opuesta.
36. Las componentes x, y, z del vector B son: 4,00 u, 6,00 u y 3,00 u, respectivamente.
I) Hallar la magnitud del vector B
a) 7,51 u b) 7,61 u c) 7,71 u d) 7,81 u e) 7,91 u
II) Hallar los ángulos que forma B con ejes x, y, z.
a) 55,19o
; 36,80o
, 65,41o
b) 58,19o
; 38,80o
, 69,41o
c) 56,19o
; 35,80o
, 66,41o
d) 57,19o
; 37,80o
, 68,41o
e) 59,19o
; 39,80o
, 67,41o
37. El vector A tiene una componente x negativa de 3,00 u de magnitud y un componente
y positiva de 2,00 u de magnitud.
I) Hallar una expresión para A en notación de vectores unitarios.
a) 3î +2ˆ
j b) -3î +2ˆ
j c) 3î -2ˆ
j d) -3î -2ˆ
j e) 2î +3ˆ
j
II) Hallar la magnitud y dirección de A .
a) 3,01 u; 140,31o
b) 3,21 u; 142,31o
c) 3,41 u; 144,31o
c) 3,61 u; 146,31o
e) 3,81 u; 148,31o
Análisis Vectorial
40
III) Hallar un vector B, tal que, al sumarse a A da como resultante un vector con compo
nente nula en x y componente y negativa de 4,00 u de magnitud.
a) 3î +6ˆ
j b) -3î +6ˆ
j c) 3î -6ˆ
j d) -3î -6ˆ
j e) 6î +3ˆ
j
38. Dados ˆ ˆ
A (6,00i 8,00 j)u
  , ˆ ˆ
B ( 8,00i 3,00 j)u
   , y ˆ ˆ
C (26,0i 19,0 j)u
  .
I) Hallar "a" y "b" tal que aA +bB+C =0.
a) 3; 4 b) 4; 3 c) 7; 5 d) 5; 7 e) 5; 8
II) Un estudiante aprendió que una sola ecuación no se puede resolver para determinar
valores para más de una incógnita en ella. ¿Como podría explicarle que tanto "a" como
"b" se pueden determinar a partir de la ecuación que se usó en el inciso I).
39. Un jardinero que empuja una podadora experimenta dos desplazamientos. El primero
de magnitud 150 cm formando un ángulo de 120o
con el eje-x positivo. Si el desplaza
miento resultante tiene magnitud de 140 cm y dirección de 35,0o
respecto del eje-x po
sitivo, hallar el segundo desplazamiento.
a) 190 cm b) 192 cm c) 194 cm d) 196 cm e) 198 cm
40. Exprese en notación de vectores unitarios los siguientes vectores.
I) El vector E de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o
contra las manecillas del reloj, desde
el eje x positivo.
a) 15,15î +7,72ˆ
j b) -15,15î +7,72ˆ
j c) 15,15î -7,72ˆ
j
d) -15,15î -7,72ˆ
j e) 13,15î +5,72ˆ
j
II) El vector Fde magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o
contra las manecillas del reloj, desde
el eje y positivo.
a) 7,72î +15,15ˆ
j b) -7,72î +15,15ˆ
j c) 7,72î -15,15ˆ
j
d) -7,72î -15,15ˆ
j e) 5,72î +13,15ˆ
j
III) El vector G de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o
en sentido de las manecillas del reloj,
desde el eje y negativo.
a) 7,72î +15,15ˆ
j b) -7,72î +15,15ˆ
j c) 7,72î -15,15ˆ
j
d) -7,72î -15,15ˆ
j e) 5,72î +13,15ˆ
j
41. Una estación de radar ubica un barco hundido en un intervalo de 17,3 km y orientación
de 136o
en sentido de las manecillas del reloj desde el Norte. Desde la misma estación,
un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19,6 km, 153o
en sentido de las
manecillas del reloj desde el Norte, con elevación de 2,20 km.
Robótica y Cibernética 41
I) Escriba el vector de posición para el barco en relación con el avión con î que represen
ta el Este , ˆ
j el Norte, y k̂ hacia arriba .
a) 3,13î +5,02ˆ
j+2,20k̂ b) -3,13î +5,02ˆ
j+2,20k̂ c) 3,13î +5,02ˆ
j-2,20k̂
d) 3,13î -5,02ˆ
j-2,20k̂ e) -3,13î -5,02ˆ
j+2,20k̂
II) Hallar la distancia de separación entre el barco y el avión.
a) 6,11 km b) 6,31 km c) 6,51 km d) 6,71 km e) 6,91 km
42. El ojo de un huracán se mueve en dirección 60,0o
al noreste con una rapidez de 41,0
km/h.
I) Hallar la expresión en vector unitario del vector velocidad (en km/h) del huracán.
a) 35,5î +20,50ˆ
j b) 35,5î -20,50ˆ
j c) -35,5î +20,50ˆ
j
d) -35,5î -20,50ˆ
j e) 31,5î +24,50ˆ
j
II) Se mantiene esta velocidad por 3,00 h, después el curso del huracán cambia súbitamen
te al Norte y su rapidez baja a 25,0 km/h. Esta nueva velocidad se mantiene durante
1,50 h. Hallar la expresión en vector unitario de la nueva velocidad (km/h)del huracán.
a) 21ˆ
j b) 22ˆ
j c) 23ˆ
j d) 24ˆ
j e) 25ˆ
j
III) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du
rante las primeras 3,00 h.
a) 106,5î +61,50ˆ
j b) -106,5î +61,50ˆ
j c) 106,5î -61,50ˆ
j
d) -106,5î -61,50ˆ
j e) 108,5î +63,50ˆ
j
IV) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du
rante las últimas 1,50 h.
a) 35,5ˆ
j b) 36,5ˆ
j c) 37,5ˆ
j d) 38,5ˆ
j e) 39,5ˆ
j
V) ¿A qué distancia del punto de observación está el ojo del huracán, después que pasa so
bre este?
a) 141,4 km b) 142,4 km c) 143,4 km d) 144,4 km e) 145,4 km
43. En la Fig05, Qoqi está sobre el suelo en el origen de un sistema de coordenadas. El
dron vuela con velocidad constante en la dirección del eje-x a una altura de h=7,60 km.
En el instante t=0 el dron esta sobre Qiqo el vector de posición es o
P =7,60 ˆ
j km. En
el instante t=30,0 s, el vector de posición es 30
P =(8,04 î +7,60 ˆ
j) km. Hallar la magni
tud y dirección del vector de posición del dron en el instante t=45,0 s.
Análisis Vectorial
42
a) 13,4 km; 30,2o
b) 13,8 km; 34,2o
c) 14,0 km; 31,2o
d) 12,4 km; 33,2o
e) 14,3 km; 32,2o
44. En la Fig06, se muestra la trayectoria de una persona que sale a caminar, la cual, cons
ta de cuatro trayectorias en línea recta. Hallar el desplazamiento resultante de la perso
na, medido desde el punto de partida 0.
a) 220 m b) 225 m c) 230 m d) 235 m e) 240 m
Fig05 Fig06
45. Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la pantalla de su radar. La
primera está a una altitud de 800 m, 19,2 km de distancia horizontal y 25,0o
al suroes
te. La segunda está a una altitud de 1100 m, 17,6 km de distancia horizontal y 20,0o
al
suroeste. Hallar la distancia entre estas aeronaves.
a) 2,19 km b) 2,29 km c) 2,39 km d) 2,49 km e) 2,59 km
46. En la Fig07, la araña esta descansando después de haber construido su red. La fuerza
de gravedad sobre la araña es de 0,150 N en el punto de unión 0 de los tres hilos de se
da. La unión soporta diferentes fuerzas en los dos hilos por encima de ella de manera
que la fuerza resultante sobre la unión es cero. La tensión Tx es de 0,127 N.
I) Hallar el ángulo que forma el eje-x con la horizontal.
a) 55,9o
b) 56,9o
c) 57,9o
d) 58,9o
e) 59,9o
II) Hallar la tensión Ty.
a) 75,8 mN b) 76,8 mN c) 77,8 mN d) 78,8 mN e) 79,8 mN
III) Hallar el ángulo que forma el eje-y con la horizontal.
a) 30,1o
b) 31,1o
c) 32,1o
d) 33,1o
e) 34,1o
47. En la Fig08, el rectángulo mostrado tiene lados paralelos a los ejes x e y. Los vectores
de posición de las dos esquinas son: A =10,0 m a 50o
y B=12,0 m a 30,0o
.
I) Hallar el perímetro del rectángulo.

Po P30
x
y
0
y
x
300m
100m
150m
200m
60o
30o
Robótica y Cibernética 43
a) 10,4 b) 10,6 m c) 10,8 m d) 11,0 m e) 11,2 m
II) Hallar la magnitud y dirección del vector desde el origen de la esquina superior dere
cha del rectángulo.
a) 12,1 m; 33,4o
b) 12,3 m; 35,4o
c) 12,5 m; 34,4o
d) 12,7 m; 37,4o
e) 12,9 m; 36,4o
Fig07 Fig08
48. Se tiene dos vectores A y B de iguales magnitudes. Para que la magnitud de A +B
sea cien veces mayor que la magnitud de A -B. ¿Cuál debe ser el ángulo entre ellos?
a) 1,15o
b) 1,35o
c) 1,55o
d) 1,75o
e) 1,95o
49. Los vectores A y B tienen iguales magnitudes de 5,00 u. La suma de A y B es el vec
tor 6,00 ˆ
j. Hallar el ángulo entre los vectores A y B.
a) 102,3o
b) 104,3o
c) 106,3o
d) 108,3o
e) 110,3o
50. Checho camina 2,5 km hacia el norte y luego 1,5 km en una dirección 30o
al este del
norte. Jacinta camina directamente entre los mismos puntos inicial y final. ¿Qué distan
cia camina Jacinta y en qué dirección?
a) 3,07 km; 76,73o
b) 3,47 km; 75,73o
c) 3,27 km; 79,73o
d) 3,67 km; 77,73o
e) 3,87 km; 78,73o
51. Una lancha viaja 14 km en dirección 60o
al sur del este. Una segunda lancha tiene el
mismo desplazamiento, pero viaja al este y luego al sur. ¿Qué distancia viajó la segun
da lancha al este? ¿Qué distancia lo hizo al sur?
a) 7,4 km; 12,9 km b) 7,2 km; 12,3 km c) 7,6 km; 12,5 km
d) 7,8 km; 12,7 km e) 7,0 km; 12,1 km
52. La resultante de dos vectores de desplazamiento tiene una magnitud de 5,0 m y una
dirección norte. Uno de los vectores de desplazamiento tiene magnitud de 2,2 m y una
dirección de 35o
al este del norte. ¿Cuál es el otro vector desplazamiento?
0
y
x
A
B
0
x
y
Tx
Ty
Análisis Vectorial
44
a) 1,26î +3,20ˆ
j b) -1,26î +3,20ˆ
j c) 1,26î -3,20ˆ
j
d) -1,26î -3,20ˆ
j e) 1,46î +3,60ˆ
j
53. Tanto Singapur como Quito están (aproximadamente) sobre el ecuador de la Tierra. La
longitud de Singapur es 104o
este y la de Quito es 78o
oeste.
I) ¿Cuál es la magnitud del vector de desplazamiento (en metros) entre estas ciudades?
a) 12 702 km b) 12 722 km c) 12 742 km d) 12 762 km e) 12 782 km
II) ¿Cuál es la distancia entre ellas medida a lo largo del ecuador?
a) 19 713 km b) 19 733 km c) 19 753 km d) 19 773 km e) 19 793 km
54. El operador de radar de un barco guardacostas estacionario observa que a las 10h
30m
hay un barco no identificado a una distancia de 9,5 km con un rumbo de 60o
al este de
norte, y a las 11h
10m
el barco no identificado está a una distancia de 4,2 km en un
rumbo de 33o
al este del norte. Medido desde su posición a las 10h
10m
.
I) ¿Cuál es el vector de desplazamiento del barco no identificado a las 11h
10m
?
a) 6,07 km; 78,3o
S-O b) 6,07 km; 78,3o
O-S c) 6,27 km; 76,3o
S-O
d) 6,27 km; 76,3o
O-S e) 6,47 km; 72,3o
S-O
II) Suponiendo que el barco no identificado continúan en el mismo curso a la misma velo
cidad ¿Cuál será su vector de desplazamiento a las 11h
30m
.
a) 9,10 km; 78,3o
S-O b) 9,10 km; 78,3o
O-S c) 9,30 km; 76,3o
S-O
d) 9,30 km; 76,3o
O-S e) 9,60 km; 72,3o
S-O
III) ¿Cuál será su distancia y su rumbo desde el barco?
a) 3,0 km; 12,3o
N-O b) 3,0 km; 12,3o
O-N c) 3,2 km; 14,3o
S-O
d) 3,2 km; 14,3o
O-S e) 3,4 km; 16,3o
S-O
55. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 12,0 km en la dirección de 40o
al
oeste del norte. Hallar las componentes norte y sur de este vector.
a) 9,19 km; 7,71 km b) 9,59 km; 7,11 km c) 9,39 km; 7,91 km
d) 9,99 km; 7,51 km e) 9,79 km; 7,31 km
56. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 4,0 m y una dirección vertical hacia a
bajo. ¿Cuál es la componente de este vector a lo largo de una línea con pendiente ascen
dente de 25o
?
a) -1,3î (m) b) 1,3î (m) c) -1,5î (m) d) 1,5î (m) e) -1,7î (m)
57. Considere dos desplazamientos, la primera de magnitud 3 m y la segunda de magnitud
4 m. Muestre como pueden combinarse estos vectores de desplazamiento para obtener
Robótica y Cibernética 45
un desplazamiento resultante de magnitud I) 7 m, II) 1 m, III) 5 m.
58. ¿Cuáles son las propiedades de dos vectores a y b tales que: I) a b c
  y a+b=c; II)
a b a b
   ; III) a b c
  y a2
+b2
=c2
?
59. Sonia camina 250 m en dirección 35o
NE, y luego 170 m hacia el este.
I) Usando métodos gráficos, halle su desplazamiento final a partir del punto de partida.
II) Compare la magnitud de su desplazamiento con la distancia recorrida.
60. Una persona camina con el siguiente esquema: 3,1 km norte, luego 2,4 km oeste, y fi
nalmente 5,2 km sur.
I) Construya el diagrama vectorial que representa a este desplazamiento.
II) ¿Qué tan lejos y en qué dirección volaría un pájaro en línea recta para llegar al mismo
punto final?
a) 3,19 m; 41,19o
O-S b) 3,19 m; 41,19o
S-O c) 3,39 m; 43,19o
O-S
d) 3,39 m; 43,19o
S-O e) 3,59 m; 45,19o
O-S
61. Se suman dos vectores a y b . Muestre gráficamente con diagramas vectoriales que la
magnitud de la resultante no puede ser mayor que a+b ni menor que Ia-bI, donde las ba
rras verticales significan un valor absoluto.
62. Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 54 km, luego al norte 32 km y lue
go en dirección 28o
NE durante 27 km. Dibuje el diagrama vectorial y determine el vec
tor desplazamiento total del automóvil desde el punto de partida.
a) 80,2 km; 13,94o
N-E b) 80,2 km; 13,94o
E-N c) 81,2 km; 11,94o
N-E
d) 81,2 km; 11,94o
E-N e) 83,2 km; 14,94o
N-E
63. El vector a tiene una magnitud de 5,2 u y está dirigido hacia el este. El vector b tiene
una magnitud de 4,3 u y está dirigido 35o
NO. Construyendo los diagramas vectoriales,
halle las magnitudes y direcciones de I) a b
 , y II) a b
 .
I) Hallar la magnitud y dirección del vector a b
 .
a) 4,25 u; 50,2o
E-N b) 4,25 u; 50,2o
N-E c) 4,45 u; 52,2o
E-N
d) 4,45 u; 52,2o
N-E e) 4,65 u; 54,2o
E-N
II) Hallar la magnitud y dirección del vector a b
 .
a) 8,24 u; 22,65o
S-E b) 8,24 u; 22,65o
E-S c) 8,44 u; 24,65o
S-E
d) 8,44 u; 24,65o
E-S e) 8,64 u; 64,65o
S-E
64. Un golfista ejecuta tres golpes para meter la bola en el hoyo cuando 3,6 m N, el segun
do 1,8 m SE, y el tercero 0,9 m SO. ¿Qué desplazamiento se necesitaría para meter la
bola en el hoyo al primer golpe? Trace el diagrama vectorial.
Análisis Vectorial
46
a) 2,15 m; 72,66o
E-N b) 2,15 m; 72,66o
N-E c) 2,35 m; 74,66o
E-N
d) 2,35 m; 74,66o
N-E e) 2,55 m; 76,66o
E-N
65. I) ¿Cuáles son las componentes de un vector A en el plano xy si su dirección es 252o
a antihorario del eje-x positivo y su magnitud es de 7,34 u?
a) 2,27 u; 6,98 u b) -2,27 u; 6,98 u c) 2,27 u; -6,98 u
d) -2,27 u; -6,98 u e) 2,47 u; 6,78 u
II) La componente x de cierto vector es de -25 u y la componente y es de +43 u. ¿Cuál es
la magnitud del vector y el ángulo entre su dirección y el eje x positivo?
a) 49,14 m; 120,77o
b) 49,74 m; 120,17o
c) 49,54 m; 120,37o
d) 49,34 m; 120,97o
e) 49,94 m; 120,57o
66. En la Fig09, la pieza pesada se arrastra hacia arriba d=13 m sobre el plano inclinado
=22o
, respecto de la horizontal.
I) ¿A qué altura de su posición inicial es levantada?
a) 4,07 m b) 4,27 m c) 4,47 m d) 4,67 m e) 4,87 m
II) ¿A qué distancia se movió horizontalmente?
a) 12,05 m b) 12,25 m c) 12,45 m d) 12,65 m e) 12,85 m
67. En la Fig10, la manecilla minutera de un reloj tiene una longitud de 11,3 cm del eje a
la punta.
I) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, desde un cuarto de hora hasta la media
hora?
a) 15,18 cm; 45o
O-S b) 15,18 cm; 45o
S-O c) 15,58 cm; 45o
O-S
d) 15,58 cm; 45o
S-O e) 15,98 cm; 45o
O-S
II) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente media hora?
a) 22,6 cm; 180o
x+
b) 22,6 cm; 180o
x-
c) 24,6 cm; 180o
x+
d) 24,6 cm; 180o
x-
e) 26,6 cm; 180o
x+
III) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente hora?
a) 0 cm; 0o
x+
b) 0 cm; 0o
x-
c) 2 cm; 0o
x+
d) 2 cm; 0o
x-
e) 4 cm; 0o
x+
68. Una persona desea llegar a un punto que está a 3,42 km de su ubicación actual y en u
na dirección de 35,0o
NE. Sin embargo, debe caminar a lo largo de calles que van ya
sea de norte a sur o de este a oeste. ¿Cuál es la distancia mínima que podría caminar pa
ra llegar a su destino?
a) 4,16 km b) 4,36 km c) 4,56 km d) 4,76 km e) 4,96 km
Robótica y Cibernética 47
Fig09 Fig10
69. Un barco se dispone a zarpar hacia un punto situado a 124 km al norte. Una tormenta i
nesperada empuja al barco hasta un punto a 72,6 km al norte y 31,4 km al este de su
punto de partida. ¿Qué distancia, y en qué dirección, debe ahora navegar para llegar a
su destino original?
a) 60,23 km; 31,42o
N-O b) 60,23 km; 31,42o
O-N c) 62,23 km; 33,42o
N-O
d) 62,23 km; 33,42o
O-N e) 64,23 km; 35,42o
N-O
70. En la Fig11, las fallas de las rocas son roturas a lo largo de las cuales se han movido
las caras opuestas de la masa rocosa, paralelas a la superficie de fractura. Este movimi
ento está a menudo acompañado de terremotos. En la Figura los puntos A y B coinci
dian antes de la falla. La componente del desplazamiento neto AB paralela a una línea
horizontal en la superficie de la falla se llama salto de la dislocación (AC). La compo
nente del desplazamiento neto a lo largo de la línea con mayor pendiente del plano de
la falla es la brecha de la dislocación (AD).
I) ¿Cuál es la desviación neta si el salto de la dislocación es de 22 m y la brecha de la dis
locación es de 17 m?
a) 25 m b) 26 m c) 27 m d) 28 m e) 29 m
II) Si el plano de la falla está inclinado a 52o
de la horizontal, ¿Cuál es el desplazamiento
vertical neto de B como resultado de la falla en I)?
a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m
Fig11 Fig12
A
C
B
D
52o
R
R
P
P


En t1 En t2
g
13m
22o
v

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