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PROF. GRETTEL ROJAS RIVERA.

    FUNCIÓN   CUADRÁTICA




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ESTUDIO GENERAL DE LA
       FUNCIÓN CUADRÁTICA
Ejemplos:
1) f ( x) = 2 x + 7 x − 4
              2


a =2        b =7    c = −4
CONCAVIDAD:
 Cóncava hacia arriba.
CORTES CON EL EJE X:
 1 
  ,0  ∧   ( − 4,0)
 2 
CORTE CON EL EJE Y:
  ( 0,−4)
EJE DE SIMETRÍA:
      b
  x=−
      2a
− ( 7)
x=
   2( 2 )
    7
x=−
    4
VÉRTICE
:
     b   ∆
V =  − ,− 
     2a 4a 
 7 81 
V =  − ,− 
     4 8
INTERVALOS DE MONOTONÍA:
       b 
 − ∞, − 
       2a 

 b     
  − ,+∞ 
 2a
       
       7
 − ∞, − 
       4

 7     
  − ,+∞ 
 4
       
RANGO O ÁMBITO:

     ∆    
A = − ,+∞ 
     4a   
 81   
     A = − ,+∞ 
          8    
GRÁFICA:
            x       x1    0      b    x2
                               −
                                 2a
       f (x )       0     c      ∆    0
                               −
                                 4a

             x      −4     7    0     1
                         −
                           4          2
           f (x )   0      81 − 4     0
                         −
                           8
2) g ( x) = − x + 4 x − 20
             2


a = −1 b = 4 c = −20
CONCAVIDAD:
Cóncava hacia abajo
CORTES CON EL EJE X:
 No toca el eje x.
CORTE CON EL EJE Y:
( 0,−20)
EJE DE SIMETRÍA:
    b
x=−
    2a
      4
x=−
    2(−1)
4
   x=
      2
  x =2
VÉRTICE
:   b    ∆
V =  − ,− 
     2a 4a 

V = ( 2,−16 )
INTERVALOS DE MONOTONÍA:
       b 
 − ∞, − 
       2a 
 b     
  − ,+∞ 
 2a
       

] − ∞,2[
] 2,+∞[
RANGO O ÁMBITO:
           ∆
A =  − ∞, − 
           4a 
A = ] − ∞,−16]
GRÁFICA:
NOTA:
         Si la gráfica no toca el eje x,
entonces, para trazar la gráfica se
deben elegir números arbitrarios para
construir la tabla de valores.
x   −2     −1      0      1      2
y   − 32   − 25   − 20   − 17   − 16
PROBLEMAS SOBRE
        OPTIMIZACIÓN
Cuando se habla de un máximo o un
mínimo en función cuadrática, se está
hablando del vértice.




               El vértice es el punto
                mínimo cuando es
               cóncava hacia arriba.
El vértice es el punto
                    máximo cuando es
                   cóncava hacia abajo.



EJEMPLOS:
1) Un niño lanza una bola al aire y sigue una
trayectoria       descrita  por     la expresión
t ( s ) = −s + s +
            2
tetyetetetyeteyey 6 donde t es la posición en la
trayectoria y s es el tiempo en segundos. ¿Cuál
es la altura máxima que alcanza la bola y cuánto
  tiempo tarda en lograrla?
b
x =−
     2a
    −1
x=
   2(−1)
   1
x=
   2
       ∆ 21
∴    −   =
       4a 4
R/
   La bola alcanza una altura máxima
de 5,25m y la logra en 0,5 segundos.
2) El costo C en dólares de producir x
cantidad de juguetes esta dado por la
relación C ( x) = x − 18 x + 100 ¿Cuál
                   2

es el costo mínimo de producción y
cuántos juguetes se deben producir para
 alcanzarlo?
b
x =−
     2a

   − ( −18)
x=
     2(1)

x =9
R/
  El costo mínimo de producción es
de $ 19 y se alcanza produciendo 9
juguetes.

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Solucionario del i exámen,ii trimestre, 9º,2014
Solucionario  del  i  exámen,ii  trimestre, 9º,2014Solucionario  del  i  exámen,ii  trimestre, 9º,2014
Solucionario del i exámen,ii trimestre, 9º,2014
 
Solucionario del i exámen,ii trimestre, 9º,2015
Solucionario  del  i  exámen,ii  trimestre, 9º,2015Solucionario  del  i  exámen,ii  trimestre, 9º,2015
Solucionario del i exámen,ii trimestre, 9º,2015
 
Solucionario del i exámen,i trimestre, 7º,2012
Solucionario  del  i  exámen,i  trimestre, 7º,2012Solucionario  del  i  exámen,i  trimestre, 7º,2012
Solucionario del i exámen,i trimestre, 7º,2012
 
Solucionario del ii exámen,i trimestre, 7º,2012
Solucionario  del  ii  exámen,i  trimestre, 7º,2012Solucionario  del  ii  exámen,i  trimestre, 7º,2012
Solucionario del ii exámen,i trimestre, 7º,2012
 
Temario i exámen, ii trimestre 7º,2016
Temario i exámen, ii trimestre 7º,2016Temario i exámen, ii trimestre 7º,2016
Temario i exámen, ii trimestre 7º,2016
 
Temario i exámen, ii trimestre 9º,2016
Temario i exámen, ii trimestre 9º,2016Temario i exámen, ii trimestre 9º,2016
Temario i exámen, ii trimestre 9º,2016
 

Función cuadrática.

  • 1. PROF. GRETTEL ROJAS RIVERA. FUNCIÓN CUADRÁTICA Entrad_pes ntació1.mp3
  • 2. ESTUDIO GENERAL DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Ejemplos: 1) f ( x) = 2 x + 7 x − 4 2 a =2 b =7 c = −4 CONCAVIDAD: Cóncava hacia arriba.
  • 3. CORTES CON EL EJE X: 1   ,0  ∧ ( − 4,0) 2  CORTE CON EL EJE Y: ( 0,−4) EJE DE SIMETRÍA: b x=− 2a
  • 4. − ( 7) x= 2( 2 ) 7 x=− 4 VÉRTICE :  b ∆ V =  − ,−   2a 4a 
  • 5.  7 81  V =  − ,−   4 8 INTERVALOS DE MONOTONÍA:  b   − ∞, −   2a   b  − ,+∞   2a  
  • 6. 7  − ∞, −   4  7  − ,+∞   4   RANGO O ÁMBITO:  ∆  A = − ,+∞   4a 
  • 7.  81  A = − ,+∞   8  GRÁFICA: x x1 0 b x2 − 2a f (x ) 0 c ∆ 0 − 4a x −4 7 0 1 − 4 2 f (x ) 0 81 − 4 0 − 8
  • 8.
  • 9. 2) g ( x) = − x + 4 x − 20 2 a = −1 b = 4 c = −20 CONCAVIDAD: Cóncava hacia abajo
  • 10. CORTES CON EL EJE X: No toca el eje x. CORTE CON EL EJE Y: ( 0,−20) EJE DE SIMETRÍA: b x=− 2a 4 x=− 2(−1)
  • 11. 4 x= 2 x =2 VÉRTICE :  b ∆ V =  − ,−   2a 4a  V = ( 2,−16 )
  • 12. INTERVALOS DE MONOTONÍA:  b   − ∞, −   2a   b  − ,+∞   2a   ] − ∞,2[ ] 2,+∞[
  • 13. RANGO O ÁMBITO:  ∆ A =  − ∞, −   4a  A = ] − ∞,−16] GRÁFICA: NOTA: Si la gráfica no toca el eje x, entonces, para trazar la gráfica se deben elegir números arbitrarios para construir la tabla de valores.
  • 14. x −2 −1 0 1 2 y − 32 − 25 − 20 − 17 − 16
  • 15. PROBLEMAS SOBRE OPTIMIZACIÓN Cuando se habla de un máximo o un mínimo en función cuadrática, se está hablando del vértice. El vértice es el punto mínimo cuando es cóncava hacia arriba.
  • 16. El vértice es el punto máximo cuando es cóncava hacia abajo. EJEMPLOS: 1) Un niño lanza una bola al aire y sigue una trayectoria descrita por la expresión t ( s ) = −s + s + 2 tetyetetetyeteyey 6 donde t es la posición en la trayectoria y s es el tiempo en segundos. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bola y cuánto tiempo tarda en lograrla?
  • 17. b x =− 2a −1 x= 2(−1) 1 x= 2 ∆ 21 ∴ − = 4a 4
  • 18. R/ La bola alcanza una altura máxima de 5,25m y la logra en 0,5 segundos. 2) El costo C en dólares de producir x cantidad de juguetes esta dado por la relación C ( x) = x − 18 x + 100 ¿Cuál 2 es el costo mínimo de producción y cuántos juguetes se deben producir para alcanzarlo?
  • 19. b x =− 2a − ( −18) x= 2(1) x =9
  • 20. R/ El costo mínimo de producción es de $ 19 y se alcanza produciendo 9 juguetes.