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RUTAS DERUTAS DE
APRENDIZAJEAPRENDIZAJE
Mg Victor ALEGRE FREYREMg Victor ALEGRE FREYRE
FUNCIONES
CUADRÁTICAS
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
1
CAPACIDADES:
• Conocer y aplicar los conceptos matemáticos
asociados al estudio de la función cuadrática.
• Graficar una función cuadrática, determinando
vértice, eje de simetría y concavidad.
• Indicar las características gráficas de una
parábola a través del análisis del discriminante.
• Determinar las intersecciones de la parábola con
los ejes cartesianos.
• Determinar las raíces de una ecuación de 2º
grado.
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
2
Contenidos
1.Función cuadrática
2.Ecuación de 2º grado
1.1 Intersección con el eje Y
1.2 Concavidad
1.3 Eje de simetría y vértice
2.1 Raíces de una ecuación cuadrática
2.2 Propiedades de las raíces
2.3 Discriminante
1.4 Discriminante
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
3
1. Función Cuadrática
Es de la forma:
f(x) = ax2
+ bx + c
Ejemplos:
y su gráfica es una parábola.
a) Si f(x) = 2x2
+ 3x + 1
b) Si f(x) = 4x2
- 5x - 2
a = 2, b = 3 y c = 1
a = 4, b = -5 y c = -2
⇒
⇒
con a =0; a,b,c ∈ IR
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
4
1.1. Intersección con eje Y
En la función cuadrática, f(x) = ax2
+ bx
+ c , el coeficiente c indica la ordenada
del punto donde la parábola intersecta al
eje Y.
x
y
x
y
c
(0,C)
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
5
1.2. Concavidad
En la función cuadrática, f(x) = ax2
+ bx + c
, el coeficiente a indica si la parábola es
cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0,
es cóncava hacia arriba
Si a < 0,
es cóncava hacia abajo
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
6
Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto
(0,- 4) y es cóncava hacia arriba.
x
y
Ejemplo:
En la función f(x) = x2
- 3x - 4 , a = 1 y c = - 4.
(0,-4)
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
7
El valor de “b” en la ecuación permite saber el movimiento
horizontal de la parábola y “a” su concavidad.
Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c
Entonces:
Si a>0 y b<0 la parábola abre hacia arriba y está orientada
hacia la derecha.
Si a>0 y b>0 la parábola abre hacia arriba y está orientada
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Si a<0 y b>0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la derecha.
Si a<0 y b<0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada
hacia la izquierda.
1.3 La importancia del valor de “a” y de “b”
Ej. f(x)=2x² - 3x +2
Ej. f(x)=x² + 3x - 2
Ej. f(x)=-3x + 4x – 1
Ej. f(x)=-x² - 4x + 1MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
8
1.4. Eje de simetría y vértice
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice
de la parábola, y es paralela al eje Y.
x
y Eje de simetría
Vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más
bajo de la curva, según sea su concavidad.
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
9
Si f(x) = ax2
+ bx + c , entonces:
b) Su vértice es:
a) Su eje de simetría es:
2a 2a
V =
-b , f -b
4a
-b , 4ac – b2
2a
V =
-b
2a
x =
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
10
Ejemplo:
2·1
-2
x =
En la función f(x) = x2
+ 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8,
entonces:
V = ( -1, f(-1) )
a) Su eje de simetría es:
x = -1
b) Su vértice es:
V = ( -1, -9 )
2a
-b
x =
-b , f -b
2a 2a
V =
⇒ ⇒
⇒
⇒
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
11
f(x)
V = ( -1, -9 )
x = -1
Eje de simetría:
Vértice:
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
12
i) y =a(x-h)² Significa que la función se movió a la izquierda o
derecha, h unidades y abre hacia arriba o hacia abajo.
Ej. 1) y=2(x-3)² (↑ )→ 2) y=-3(x-4)² (↓→)
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ii) y =a(x+h)² significa que la función se movió a la izquierda o
derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo.
Ej. 1) y= 4(x+2)² (↑ )← 2) y=-(x+1)² (↓←)
1.5 Comportamiento de la función de acuerdo a “a”, “h” y “k”1.5 Comportamiento de la función de acuerdo a “a”, “h” y “k”
x
y
x
y
x
y
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
13
iii) y=a(x-h)² ± k significa que la función se movió a la derecha o
izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo.
Ej. 1) y=5(x-1)² - 4 (↑→↑) 2) y=-3(x-7)² + 6 (↓→↓)
iv) y=a(x + h)² ± k significa que la función se movió a la derecha o
izquierda y k unidades hacia arriba o hacia
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Ej. 1) y=(x+6)² - 5 (↑←↑) 2) y=-5(x+3)² + 3 (↓←↓)
Obs. V(h,k) es el vértice de la parábola.
x
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MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
14
Si la parábola es abierta hacia arriba, el
vértice es un mínimo y si la parábola es
abierta hacia abajo, el vértice es un máximo.
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
15
El discriminante se define como:
Δ = b2
- 4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola
intersecta en dos puntos al eje X.
Δ > 0
1.6. Discriminante
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
16
b) Si el discriminante es negativo, entonces la
parábola NO intersecta al eje X.
Δ < 0
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
17
c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la
parábola intersecta en un solo punto al eje X, es
tangente a él.
Δ = 0
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
18
x2
x1
2. Ecuación de segundo grado
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es
de la forma:
ax2
+ bx + c = 0, con a ≠ 0
Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o
raíces. Si éstas son reales, corresponden a los puntos
de intersección de la parábola f(x) = ax2
+ bx + c
con el eje X.
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
19
x2
x
y
x1
Ejemplo:
En la función f(x) = x2
- 3x - 4 , la ecuación asociada:
x2
- 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4.
Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos.
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
20
2.1. Raíces de una ecuación de 2° grado
Fórmula para determinar las soluciones (raíces)
de una ecuación de segundo grado:
- b ± b2
– 4ac
2a
x =
Ejemplo:
Determinar las raíces de la ecuación: x2
- 3x - 4 = 0
-(-3) ± (-3)2
– 4·1(- 4)
2
x =
3 ± 9 + 16
2
x =
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
21
3 ± 25
2
x =
2
x = 3 ± 5
2
x = 8
2
x = -2
x1 = 4 x2 = -1
También se puede obtener las raíces de la ecuación
factorizando como producto de binomios:
x2
- 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
(x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0
x1 = 4 x2 = -1
⇒
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
22
2.2. Propiedades de las raíces
Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo
grado de la forma ax2
+ bx + c = 0, entonces:
-b
a
x1 + x2 =
c
a
x1 · x2 =
Δ
a
x1 - x2 = ±
1)
2)
3)
Dadas las raíces o soluciones de una ecuación de segundo
grado, se puede determinar la ecuación asociada a ellas.
a(x – x1)(x – x2) = 0
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
23
En una ecuación de segundo grado, el discriminante
Δ = b2
- 4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación
cuadrática tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas.
La parábola intersecta
en dos puntos al eje X.
Δ > 0
2.3. Discriminante
permite conocer la naturaleza de las raíces.
x1, x2 son reales y
x1 ≠ x2
x2
x1
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
24
b) Si el discriminante es negativo, entonces la
ecuación cuadrática no tiene solución real.
La parábola NO intersecta
al eje X.
Δ < 0
x1, x2 son complejos y
conjugados
x1 = x2
MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
25
c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la
ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales.
La parábola intersecta en
un solo punto al eje X.
Δ = 0
x1, x2 son reales y
x1 = x2
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MG VICTOR ALEGRE FREYRE
2013
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  • 1. RUTAS DERUTAS DE APRENDIZAJEAPRENDIZAJE Mg Victor ALEGRE FREYREMg Victor ALEGRE FREYRE FUNCIONES CUADRÁTICAS MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 1
  • 2. CAPACIDADES: • Conocer y aplicar los conceptos matemáticos asociados al estudio de la función cuadrática. • Graficar una función cuadrática, determinando vértice, eje de simetría y concavidad. • Indicar las características gráficas de una parábola a través del análisis del discriminante. • Determinar las intersecciones de la parábola con los ejes cartesianos. • Determinar las raíces de una ecuación de 2º grado. MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 2
  • 3. Contenidos 1.Función cuadrática 2.Ecuación de 2º grado 1.1 Intersección con el eje Y 1.2 Concavidad 1.3 Eje de simetría y vértice 2.1 Raíces de una ecuación cuadrática 2.2 Propiedades de las raíces 2.3 Discriminante 1.4 Discriminante MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 3
  • 4. 1. Función Cuadrática Es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c Ejemplos: y su gráfica es una parábola. a) Si f(x) = 2x2 + 3x + 1 b) Si f(x) = 4x2 - 5x - 2 a = 2, b = 3 y c = 1 a = 4, b = -5 y c = -2 ⇒ ⇒ con a =0; a,b,c ∈ IR MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 4
  • 5. 1.1. Intersección con eje Y En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y. x y x y c (0,C) MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 5
  • 6. 1.2. Concavidad En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo. Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 6
  • 7. Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4) y es cóncava hacia arriba. x y Ejemplo: En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 y c = - 4. (0,-4) MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 7
  • 8. El valor de “b” en la ecuación permite saber el movimiento horizontal de la parábola y “a” su concavidad. Sea la función cuadrática f(x)=ax² +bx + c Entonces: Si a>0 y b<0 la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la derecha. Si a>0 y b>0 la parábola abre hacia arriba y está orientada hacia la izquierda. Si a<0 y b>0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la derecha. Si a<0 y b<0 la parábola abre hacia abajo y esta orientada hacia la izquierda. 1.3 La importancia del valor de “a” y de “b” Ej. f(x)=2x² - 3x +2 Ej. f(x)=x² + 3x - 2 Ej. f(x)=-3x + 4x – 1 Ej. f(x)=-x² - 4x + 1MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 8
  • 9. 1.4. Eje de simetría y vértice El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la parábola, y es paralela al eje Y. x y Eje de simetría Vértice El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo de la curva, según sea su concavidad. MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 9
  • 10. Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces: b) Su vértice es: a) Su eje de simetría es: 2a 2a V = -b , f -b 4a -b , 4ac – b2 2a V = -b 2a x = MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 10
  • 11. Ejemplo: 2·1 -2 x = En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8, entonces: V = ( -1, f(-1) ) a) Su eje de simetría es: x = -1 b) Su vértice es: V = ( -1, -9 ) 2a -b x = -b , f -b 2a 2a V = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 11
  • 12. f(x) V = ( -1, -9 ) x = -1 Eje de simetría: Vértice: MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 12
  • 13. i) y =a(x-h)² Significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o hacia abajo. Ej. 1) y=2(x-3)² (↑ )→ 2) y=-3(x-4)² (↓→) Si y=ax² una función cuadrática cualquiera, entonces: ii) y =a(x+h)² significa que la función se movió a la izquierda o derecha, h unidades y abre hacia arriba o abajo. Ej. 1) y= 4(x+2)² (↑ )← 2) y=-(x+1)² (↓←) 1.5 Comportamiento de la función de acuerdo a “a”, “h” y “k”1.5 Comportamiento de la función de acuerdo a “a”, “h” y “k” x y x y x y MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 13
  • 14. iii) y=a(x-h)² ± k significa que la función se movió a la derecha o izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo. Ej. 1) y=5(x-1)² - 4 (↑→↑) 2) y=-3(x-7)² + 6 (↓→↓) iv) y=a(x + h)² ± k significa que la función se movió a la derecha o izquierda y k unidades hacia arriba o hacia abajo. Ej. 1) y=(x+6)² - 5 (↑←↑) 2) y=-5(x+3)² + 3 (↓←↓) Obs. V(h,k) es el vértice de la parábola. x y MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 14
  • 15. Si la parábola es abierta hacia arriba, el vértice es un mínimo y si la parábola es abierta hacia abajo, el vértice es un máximo. MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 15
  • 16. El discriminante se define como: Δ = b2 - 4ac a) Si el discriminante es positivo, entonces la parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0 1.6. Discriminante MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 16
  • 17. b) Si el discriminante es negativo, entonces la parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0 MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 17
  • 18. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la parábola intersecta en un solo punto al eje X, es tangente a él. Δ = 0 MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 18
  • 19. x2 x1 2. Ecuación de segundo grado Una ecuación cuadrática o de segundo grado es de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 Toda ecuación de segundo grado tiene 2 soluciones o raíces. Si éstas son reales, corresponden a los puntos de intersección de la parábola f(x) = ax2 + bx + c con el eje X. MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 19
  • 20. x2 x y x1 Ejemplo: En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , la ecuación asociada: x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4. Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos. MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 20
  • 21. 2.1. Raíces de una ecuación de 2° grado Fórmula para determinar las soluciones (raíces) de una ecuación de segundo grado: - b ± b2 – 4ac 2a x = Ejemplo: Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0 -(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4) 2 x = 3 ± 9 + 16 2 x = MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 21
  • 22. 3 ± 25 2 x = 2 x = 3 ± 5 2 x = 8 2 x = -2 x1 = 4 x2 = -1 También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomios: x2 - 3x - 4 = 0 (x - 4)(x + 1) = 0 (x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0 x1 = 4 x2 = -1 ⇒ MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 22
  • 23. 2.2. Propiedades de las raíces Si x1 y x2 son las raíces de una ecuación de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, entonces: -b a x1 + x2 = c a x1 · x2 = Δ a x1 - x2 = ± 1) 2) 3) Dadas las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado, se puede determinar la ecuación asociada a ellas. a(x – x1)(x – x2) = 0 MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 23
  • 24. En una ecuación de segundo grado, el discriminante Δ = b2 - 4ac a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas. La parábola intersecta en dos puntos al eje X. Δ > 0 2.3. Discriminante permite conocer la naturaleza de las raíces. x1, x2 son reales y x1 ≠ x2 x2 x1 MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 24
  • 25. b) Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación cuadrática no tiene solución real. La parábola NO intersecta al eje X. Δ < 0 x1, x2 son complejos y conjugados x1 = x2 MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 25
  • 26. c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales. La parábola intersecta en un solo punto al eje X. Δ = 0 x1, x2 son reales y x1 = x2 x2x1= MG VICTOR ALEGRE FREYRE 2013 26