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REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
DEFINIDAS A TROZOS Y FUNCIÓN
      VALOR ABSOLUTO




             JAVIER LÓPEZ ÁLVAREZ
FUNCIONES DEFINIDAS A
TROZOS

 Una función definida a trozos es, como su
 propio nombre indica, una función que se
 forma a partir de “trozos” o partes de otras
 funciones.
 Para definirla tendremos que determinar qué
 funciones intervienen y qué trozos de ellas
 nos interesan.
Veamos un ejemplo


        ⎧ 3 si x ≤−2
        ⎪2
f (x) = ⎨x −1 si −2 < x < 3
        ⎪4− x si   x ≥3
        ⎩
Vamos a trabajar con trozos de tres
funciones:



              y1 = 3
              y2 = x −1
                     2


              y3 = 4 − x
Partición del eje OX

 Dividimos el eje OX en los trozos indicados:


                x ≤ −2 ⇒ ( −∞, −2]
         −2 < x < 3 ⇒ ( −2,3)
                  x ≥ 3 ⇒ [3, +∞ )
A partir de los ejes de coordenadas
     obtenemos tres regiones:
                                   y                                                              y
                               9                                                              9


                               8                                                              8


                               7                                                              7


                               6                                                              6


                               5                                                              5


                               4                                                              4


                               3                                                              3


                               2                                                              2


                               1                                                              1
                                                           x                                                              x

−6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6   −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6

                              −1                                                             −1
El trozo correspondiente a la
primera función se construye así:
                                     y                                                              y
                                 9                                                              9


                                 8                                                              8


                                 7                                                              7


                                 6                                                              6


                                 5                                                              5


                                 4                                                              4


                                 3                                                              3


                                 2                                                              2


                                 1                                                              1
                                                             x                                                              x

  −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6   −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6

                                −1                                                             −1




                                     y                                                              y
                                 9                                                              9


                                 8                                                              8


                                 7                                                              7


                                 6                                                              6


                                 5                                                              5


                                 4                                                              4


                                 3                                                              3


                                 2                                                              2


                                 1                                                              1
                                                             x                                                              x

  −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6   −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6

                                −1                                                             −1
El trozo correspondiente a la
segunda función se construye así:
                                     y                                                              y
                                 9                                                              9


                                 8                                                              8


                                 7                                                              7


                                 6                                                              6


                                 5                                                              5


                                 4                                                              4


                                 3                                                              3


                                 2                                                              2


                                 1                                                              1
                                                             x                                                              x

  −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6   −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6

                                −1                                                             −1




                                     y
                                 9                                                                  y
                                                                                                9

                                 8
                                                                                                8

                                 7
                                                                                                7

                                 6
                                                                                                6

                                 5
                                                                                                5

                                 4
                                                                                                4

                                 3
                                                                                                3

                                 2
                                                                                                2

                                 1
                                                                                                1
                                                             x
                                                                                                                            x
  −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6
                                                                 −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6
                                −1
                                                                                               −1
El trozo correspondiente a la
tercera función se construye así:
                                    y                                                              y
                                9                                                              9


                                8                                                              8


                                7                                                              7


                                6                                                              6


                                5                                                              5


                                4                                                              4


                                3                                                              3


                                2                                                              2


                                1                                                              1
                                                            x                                                              x

 −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6   −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6

                               −1                                                             −1




                                    y                                                              y
                                9                                                              9


                                8                                                              8


                                7                                                              7


                                6                                                              6


                                5                                                              5


                                4                                                              4


                                3                                                              3


                                2                                                              2


                                1                                                              1
                                                            x                                                              x

 −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6   −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6

                               −1                                                             −1
Finalmente obtenemos la gráfica
completa de la función a trozos:
                                        y
                                    9


                                    8


                                    7


                                    6


                                    5


                                    4


                                    3


                                    2


                                    1
                                                                x

     −6   −5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5   6

                                   −1
FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

 La función valor absoluto mantiene el signo
 de las imágenes positivas y cambia el de las
 negativas.
 Analíticamente este tipo de funciones son en
 realidad funciones definidas a trozos.
Ejemplo 1



                       ⎧ x −3 si x ≥ 3
f (x) = x −3 ⇒ f (x) = ⎨
                       ⎩−(x −3) si x < 3
f ( x) = x − 3
          y
      5



      4



      3



      2



      1

                                          x

−1            1   2   3   4   5   6   7       8


     −1



     −2



     −3
Gráficamente es tan sencillo como conservar la parte
     positiva de la gráfica (por encima del eje OX) y añadir el
       simétrico respecto del eje OX de la parte negativa.
          y                                                 y
      5                                                 5



      4                                                 4



      3                                                 3



      2                                                 2



      1                                                 1

                                          x                                                 x

−1            1   2   3   4   5   6   7       8   −1            1   2   3   4   5   6   7       8


     −1                                                −1



     −2                                                −2



     −3                                                −3
f ( x) = x − 3
          y
      5



      4



      3



      2



      1

                                          x

−1            1   2   3   4   5   6   7       8


     −1



     −2



     −3
Ejemplo 2



                                             x ∈ ( −∞, −1]
                     ⎧ x2 − x − 2       si
                     ⎪
                     ⎪
f ( x) = x − x − 2 ⇒ ⎨− ( x 2 − x − 2 ) si   x ∈ ( −1, 2 )
          2

                     ⎪2
                                             x ∈ [ 2, +∞ )
                     ⎪ x −x−2           si
                     ⎩
f ( x) = x − x − 2  2
                         y
                     6



                     5



                     4



                     3



                     2



                     1

                                                 x

−4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5


                    −1



                    −2
y                                                    y
                     6                                                    6



                     5                                                    5



                     4                                                    4



                     3                                                    3



                     2                                                    2



                     1                                                    1

                                                 x                                                    x

−4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5       −4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5


                    −1                                                   −1



                    −2                                                   −2
f ( x) = x − x − 2  2

                         y
                     6



                     5



                     4



                     3



                     2



                     1

                                                 x

−4   −3   −2   −1            1   2   3   4   5


                    −1



                    −2
Ejemplo 3




     f ( x) = cos x
f ( x ) = cos x ⇒ f ( x ) = cos x
                         y                                                    y


                     4                                                    4




                     3                                                    3




                     2                                                    2




                     1                                                    1


                                             x                                                    x

−4   −3   −2   −1            1   2   3   4       5   −4   −3   −2   −1            1   2   3   4       5



                    −1                                                   −1




                    −2                                                   −2




                    −3                                                   −3




                    −4                                                   −4

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  • 1. REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Y FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO JAVIER LÓPEZ ÁLVAREZ
  • 2. FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS Una función definida a trozos es, como su propio nombre indica, una función que se forma a partir de “trozos” o partes de otras funciones. Para definirla tendremos que determinar qué funciones intervienen y qué trozos de ellas nos interesan.
  • 3. Veamos un ejemplo ⎧ 3 si x ≤−2 ⎪2 f (x) = ⎨x −1 si −2 < x < 3 ⎪4− x si x ≥3 ⎩
  • 4. Vamos a trabajar con trozos de tres funciones: y1 = 3 y2 = x −1 2 y3 = 4 − x
  • 5. Partición del eje OX Dividimos el eje OX en los trozos indicados: x ≤ −2 ⇒ ( −∞, −2] −2 < x < 3 ⇒ ( −2,3) x ≥ 3 ⇒ [3, +∞ )
  • 6. A partir de los ejes de coordenadas obtenemos tres regiones: y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1
  • 7. El trozo correspondiente a la primera función se construye así: y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1 y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1
  • 8. El trozo correspondiente a la segunda función se construye así: y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1 y 9 y 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1
  • 9. El trozo correspondiente a la tercera función se construye así: y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1 y y 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1 −1
  • 10. Finalmente obtenemos la gráfica completa de la función a trozos: y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 x −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 −1
  • 11. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO La función valor absoluto mantiene el signo de las imágenes positivas y cambia el de las negativas. Analíticamente este tipo de funciones son en realidad funciones definidas a trozos.
  • 12. Ejemplo 1 ⎧ x −3 si x ≥ 3 f (x) = x −3 ⇒ f (x) = ⎨ ⎩−(x −3) si x < 3
  • 13. f ( x) = x − 3 y 5 4 3 2 1 x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 −2 −3
  • 14. Gráficamente es tan sencillo como conservar la parte positiva de la gráfica (por encima del eje OX) y añadir el simétrico respecto del eje OX de la parte negativa. y y 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 −1 −2 −2 −3 −3
  • 15. f ( x) = x − 3 y 5 4 3 2 1 x −1 1 2 3 4 5 6 7 8 −1 −2 −3
  • 16. Ejemplo 2 x ∈ ( −∞, −1] ⎧ x2 − x − 2 si ⎪ ⎪ f ( x) = x − x − 2 ⇒ ⎨− ( x 2 − x − 2 ) si x ∈ ( −1, 2 ) 2 ⎪2 x ∈ [ 2, +∞ ) ⎪ x −x−2 si ⎩
  • 17. f ( x) = x − x − 2 2 y 6 5 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2
  • 18. y y 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −1 −2 −2
  • 19. f ( x) = x − x − 2 2 y 6 5 4 3 2 1 x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −2
  • 20. Ejemplo 3 f ( x) = cos x
  • 21. f ( x ) = cos x ⇒ f ( x ) = cos x y y 4 4 3 3 2 2 1 1 x x −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −1 −1 −2 −2 −3 −3 −4 −4