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´ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. Definamos...
Circunferencia: dado un punto O y una distancia r, se
llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto
de todos los puntos del plano que est´an a la distancia
r del punto O.
O
r
C(O, r)
Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un
punto de ´esta (OA).
Cuerda: trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia
(DE).
Di´ametro: cuerda que contiene al centro de la circunferencia (BC).
Secante: recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ)
Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto
(TM). T punto de tangencia.
 
O
A
T
QP
D E
CB
Arco: es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos
distintos de ella (CE).
´Angulo del Centro: Es todo ´angulo interior cuyo v´ertice
es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de
la misma ( FOE).
´Angulo Inscrito: Es todo ´angulo cuyo v´ertice es un punto
de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de
´esta ( FDE)
O D
E
F
´Angulo Externo: Es todo ´angulo formado por secantes
fuera de la circunferencia ( ADB).
´Angulo Interno: Es todo ´angulo formado por cuerdas al
interior de la circunferencia ( ACB).
O
C
A
B
D
1
GUÍA PRACTICA: N° 1
2. Propiedades
Con respecto a los ´angulos que se forman al interior de una circunferen-
cia, se cumple que
1. En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la
medida del ´angulo del centro que subtiende dicho arco.
D
E
O
DE= DOE = α
α
2. Todo ´angulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad
del ´angulo del centro que subtiende el mismo arco.
A B
O
α
2
= β
α
β
Ojo 1 Si β es un ´angulo inscrito que sub-
tiende el AB y AB es di´ametro, entonces
β = 90.
A B
O
¡
β
2
3. Todo ´angulo interno a una circunferencia tiene como medida la semi-
suma entre los arcos comprendidos por las cuerdas que lo forman.
AB
CD
γ
γ
AB + CD
2
= CED = γ
4. Todo ´angulo externo a una circunferencia tiene como medida la semi-
diferencia entre los arcos comprendidos por las secantes que lo forman.
δE
A
B
C
D
AB − CD
2
= CED = δ
Ojo 2 En todo cuadril´atero inscrito en una circunferencia, los ´angulos opues-
tos son suplementarios.
Ojo 3 La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en
el punto de tangencia.
α
β
γ δ
α + γ = β + δ = 180o
O
T
L
OT ⊥ L
3
3. Ejercicios
Sin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa.
1. ¿Cu´al de las siguientes opciones es falsa?
a) El di´ametro de una circunferencia es el doble de su radio.
b) La mayor cuerda de una circunferencia es el di´ametro.
c) En circunferencias congruentes los radios son congruentes.
d) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman
´angulos del centro.
e) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia.
2. En la circunferencia de centro O, AC es diametro. Si β = 20o, entonces
el valor de α es
a) 10o
b) 20o
c) 40o
d) 80o
e) 140
O
α
A
C
B
β
¢
3. En la circunferencia de centro O y di´ametro BC de la figura, ¿cu´anto
mide el BCA?
a) 22o
b) 34o
c) 36o
d) 44o
e) 68o
£
O
68o
A B
C
4
4. En la circunferencia de centro O de la figura, BOA = 70o y
COB = 40o. ¿Cu´anto mide el ´angulo ABC?
a) 10o
b) 20o
c) 15o
d) 30o
e) 25o
¤
O
A B
C
5. En la circunferencia de centro O, se cumple que BA∼=DC y AD + CB= 3 BA.
Entonces la medida del α es
a) 45o
b) 60o
c) 72o
d) 84o
e) 90o
¥
O
α
A
B
C
D
6. AC y BE son di´ametros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si
BOA = 2 COB, entonces el CDB mide
a) 30o
b) 35o
c) 45o
d) 600o
e) 120o
¦
O
A B
C
D
E
5
7. En la figura, TPQ = 140o y QRP = 15o. ¿Cu´anto mide el PQT?
a) 15o
b) 20o
c) 25o
d) 30o
e) 35o
P Q
RT
8. AC es di´ametro de la circunferencia de centro O. ¿Cu´anto mide el
´angulo BCA?
a) 15o
b) 25o
c) 35o
d) 55o
e) 70o
§
O
A C
B
55o
9. En la figura, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T.
¿Cu´anto mide el OPT?
a) 10o
b) 20o
c) 30o
d) 40o
e) 50o
¨
O
T
P
40o
6
10. En la circunferencia de centro O de la figura, PA y PB son tangentes
en A y B, respectivamente. ¿Cu´anto mide el ´angulo BCA?
a) 25o
b) 50o
c) 65o
d) 100o
e) 130o
©
OC
B
A
P50o
11. En la figura, el cuadrilatero ABCD esta inscrito en la circunferencia.
Si β = 145o y α = β − δ, entonces γ =
a) 35o
b) 45o
c) 55o
d) 60o
e) 70o
αA
β
B
γ
C
δ
D
12. AC y BD son di´ametros de la circunferencia de centro O. Si el ´angulo
DOC mide 80o, ¿cu´anto mide el ´angulo ABO?
a) 20o
b) 30o
c) 40o
d) 45o
e) 50o

O
A B
CD
7
13. En la circunferencia de centro O y di´ametro DB de la figura, ¿cu´anto
mide el ´angulo COA si DCO = 30o y DAO = 40o?
a) 70o
b) 100o
c) 125o
d) 140o
e) 160o

O
D B
C
A
14. O y O son los centros de las circunferencias de la figura. Si DAC =
40o, ¿cu´anto mide el ´angulo ACD?
a) 10o
b) 20o
c) 25o
d) 40o
e) 50o
 
O O
A
B
C
D
15. O es centro de la circunferencia de la figura, y QROP es cuadrado.
¿Cu´anto mide el ´angulo RSP?
a) 22,5o
b) 30o
c) 45o
d) 60o
e) 50o

O
P
R
S
Q
8
16. En la circunferencia de centro O de la figura, ¿cu´anto mide el ´angulo
OPR?
a) 35o
b) 40o
c) 45o
d) 50o
e) 70o

O
T Q
P
R
70o
17. En la figura, O es el centro de la circunferencia. Si ORQ = 36o y
ROP = 54o, ¿cu´anto mide el RTP?
a) 63o
b) 72o
c) 108o
d) 117o
e) 144o

O
T
Q
P
R
18. En la circunferencia de centro O de la figura, BAC + BDC = 80o.
Entonces, el BOC mide
a) falta informaci´on.
b) 80o
c) 60o
d) 40o
e) 20o

O
DA
CB
9
19. En la figura, BCA = 40o y CDB = 30o. ¿Cu´anto mide el ABC?
a) 60o
b) 90o
c) 100o
d) 120o
e) 110o

O
D
A
C
B
20. En la figura, BD es di´ametro y CBD = 16o. ¿Cu´anto mide el
CAB?
a) 74o
b) 64o
c) 45o
d) 32o
e) 16o

D
A
C B
21. En la figura, CB//DA. Si CD= 80o, entonces ¿cu´al(es) de las siguien-
tes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) BCA = 40o
II) BEA = 80o
III) DA= 100o
a) S´olo I
b) S´olo II
c) S´olo I y II
d) S´olo II y III
e) I, II y III
D A
C B
E
10
22. O es centro de la circunferencia de la figura, QOP = ROQ =
SOR y RSO = 72o. ¿Cu´anto mide el ´angulo PTQ?
a) 54o
b) 36o
c) 35o
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e) 18o
P
Q R
S
T
O
23. BC es un cuarto de circunferencia con centro en A. Si BD = AB,
entonces el CAD mide
a) 15o
b) 30o
c) 45o
d) 60o
e) 75o
D
C
A B24. En la figura, la circunferencia tiene centro en O. El valor del ´angulo x es
a) 12,25o
b) 12,5o
c) 25o
d) 37,50o
e) 50o

O
C
D
B
A
a
x
50o
a
11
25. En la circunferencia de centro O, ABO = 2 BOA. ¿Cu´anto mide el
´angulo OAB?
a) 36o
b) 45o
c) 60o
d) 72o
e) 90o
O
BA
O
26. En la circunferencia de centro O de la figura, se puede conocer el valor
de α si:
(1) BOA = 2α
(2) ABO = α
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
!
O
A
B
α
27. En la circunferencia de centro O de la figura, AD y BC son di´ametros.
Se puede conocer el valor de x si:
(1) CA= 110o
(2) BCA + BDA = 70o
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.

O
DC
BA
x
12
28. AB es di´ametro de la circunferencia de centro O. La medida del CBA
se puede determinar si:
(1) AB = 2AC
(2) BOC = 2 COA
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
#
O
B
A C
29. En la figura, el cuadril´atero ABCD est´a inscrito en la circunferencia.
Se puede saber la medida del CDA si:
(1) BCD = 180o
(2) DAB = 100o
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
$
O
BD
C
A
30. En la circunferencia de centro O de la figura, A y B son puntos de
tangencia. Se puede determinar la medida del BOA si:
(1) PBO = OAP
(2) BOA = 3 APB
a) (1) por s´ı sola.
b) (2) por s´ı sola.
c) Ambas juntas, (1) y (2).
d) Cada una por si sola, (1) ´o (2).
e) Se requiere informaci´on adicional.
%
O
B
A
P
13
1 E 2 C 3 A 4 B 5 C
6 A 7 C 8 C 9 A 10 C
11 E 12 E 13 D 14 C 15 C
16 D 17 A 18 B 19 E 20 A
21 C 22 E 23 B 24 B 25 D
26 A 27 D 28 D 29 E 30 B
14

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  • 1. ´ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1. Definamos... Circunferencia: dado un punto O y una distancia r, se llama circunferencia de centro O y radio r al conjunto de todos los puntos del plano que est´an a la distancia r del punto O. O r C(O, r) Radio: trazo cuyos extremos son el centro de la circunferencia y un punto de ´esta (OA). Cuerda: trazo cuyos extremos son dos puntos de una circunferencia (DE). Di´ametro: cuerda que contiene al centro de la circunferencia (BC). Secante: recta que intersecta en dos puntos a la circunferencia (PQ) Tangente: recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto (TM). T punto de tangencia.   O A T QP D E CB Arco: es una parte de la circunferencia determinada por dos puntos distintos de ella (CE). ´Angulo del Centro: Es todo ´angulo interior cuyo v´ertice es el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma ( FOE). ´Angulo Inscrito: Es todo ´angulo cuyo v´ertice es un punto de la circunferencia y parte de sus rayos son cuerdas de ´esta ( FDE) O D E F ´Angulo Externo: Es todo ´angulo formado por secantes fuera de la circunferencia ( ADB). ´Angulo Interno: Es todo ´angulo formado por cuerdas al interior de la circunferencia ( ACB). O C A B D 1 GUÍA PRACTICA: N° 1
  • 2. 2. Propiedades Con respecto a los ´angulos que se forman al interior de una circunferen- cia, se cumple que 1. En toda circunferencia la medida angular de un arco es igual a la medida del ´angulo del centro que subtiende dicho arco. D E O DE= DOE = α α 2. Todo ´angulo inscrito en una circunferencia tiene como medida la mitad del ´angulo del centro que subtiende el mismo arco. A B O α 2 = β α β Ojo 1 Si β es un ´angulo inscrito que sub- tiende el AB y AB es di´ametro, entonces β = 90. A B O ¡ β 2
  • 3. 3. Todo ´angulo interno a una circunferencia tiene como medida la semi- suma entre los arcos comprendidos por las cuerdas que lo forman. AB CD γ γ AB + CD 2 = CED = γ 4. Todo ´angulo externo a una circunferencia tiene como medida la semi- diferencia entre los arcos comprendidos por las secantes que lo forman. δE A B C D AB − CD 2 = CED = δ Ojo 2 En todo cuadril´atero inscrito en una circunferencia, los ´angulos opues- tos son suplementarios. Ojo 3 La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de tangencia. α β γ δ α + γ = β + δ = 180o O T L OT ⊥ L 3
  • 4. 3. Ejercicios Sin calculadora. Marcar s´olo 1 alternativa. 1. ¿Cu´al de las siguientes opciones es falsa? a) El di´ametro de una circunferencia es el doble de su radio. b) La mayor cuerda de una circunferencia es el di´ametro. c) En circunferencias congruentes los radios son congruentes. d) Al cortarse dos cuerdas en el centro de la circunferencia forman ´angulos del centro. e) Por tres puntos cualesquiera siempre pasa una circunferencia. 2. En la circunferencia de centro O, AC es diametro. Si β = 20o, entonces el valor de α es a) 10o b) 20o c) 40o d) 80o e) 140 O α A C B β ¢ 3. En la circunferencia de centro O y di´ametro BC de la figura, ¿cu´anto mide el BCA? a) 22o b) 34o c) 36o d) 44o e) 68o £ O 68o A B C 4
  • 5. 4. En la circunferencia de centro O de la figura, BOA = 70o y COB = 40o. ¿Cu´anto mide el ´angulo ABC? a) 10o b) 20o c) 15o d) 30o e) 25o ¤ O A B C 5. En la circunferencia de centro O, se cumple que BA∼=DC y AD + CB= 3 BA. Entonces la medida del α es a) 45o b) 60o c) 72o d) 84o e) 90o ¥ O α A B C D 6. AC y BE son di´ametros de la circunferencia de centro O (fig. 2). Si BOA = 2 COB, entonces el CDB mide a) 30o b) 35o c) 45o d) 600o e) 120o ¦ O A B C D E 5
  • 6. 7. En la figura, TPQ = 140o y QRP = 15o. ¿Cu´anto mide el PQT? a) 15o b) 20o c) 25o d) 30o e) 35o P Q RT 8. AC es di´ametro de la circunferencia de centro O. ¿Cu´anto mide el ´angulo BCA? a) 15o b) 25o c) 35o d) 55o e) 70o § O A C B 55o 9. En la figura, PT es tangente a la circunferencia de centro O, en T. ¿Cu´anto mide el OPT? a) 10o b) 20o c) 30o d) 40o e) 50o ¨ O T P 40o 6
  • 7. 10. En la circunferencia de centro O de la figura, PA y PB son tangentes en A y B, respectivamente. ¿Cu´anto mide el ´angulo BCA? a) 25o b) 50o c) 65o d) 100o e) 130o © OC B A P50o 11. En la figura, el cuadrilatero ABCD esta inscrito en la circunferencia. Si β = 145o y α = β − δ, entonces γ = a) 35o b) 45o c) 55o d) 60o e) 70o αA β B γ C δ D 12. AC y BD son di´ametros de la circunferencia de centro O. Si el ´angulo DOC mide 80o, ¿cu´anto mide el ´angulo ABO? a) 20o b) 30o c) 40o d) 45o e) 50o O A B CD 7
  • 8. 13. En la circunferencia de centro O y di´ametro DB de la figura, ¿cu´anto mide el ´angulo COA si DCO = 30o y DAO = 40o? a) 70o b) 100o c) 125o d) 140o e) 160o O D B C A 14. O y O son los centros de las circunferencias de la figura. Si DAC = 40o, ¿cu´anto mide el ´angulo ACD? a) 10o b) 20o c) 25o d) 40o e) 50o O O A B C D 15. O es centro de la circunferencia de la figura, y QROP es cuadrado. ¿Cu´anto mide el ´angulo RSP? a) 22,5o b) 30o c) 45o d) 60o e) 50o O P R S Q 8
  • 9. 16. En la circunferencia de centro O de la figura, ¿cu´anto mide el ´angulo OPR? a) 35o b) 40o c) 45o d) 50o e) 70o O T Q P R 70o 17. En la figura, O es el centro de la circunferencia. Si ORQ = 36o y ROP = 54o, ¿cu´anto mide el RTP? a) 63o b) 72o c) 108o d) 117o e) 144o O T Q P R 18. En la circunferencia de centro O de la figura, BAC + BDC = 80o. Entonces, el BOC mide a) falta informaci´on. b) 80o c) 60o d) 40o e) 20o O DA CB 9
  • 10. 19. En la figura, BCA = 40o y CDB = 30o. ¿Cu´anto mide el ABC? a) 60o b) 90o c) 100o d) 120o e) 110o O D A C B 20. En la figura, BD es di´ametro y CBD = 16o. ¿Cu´anto mide el CAB? a) 74o b) 64o c) 45o d) 32o e) 16o D A C B 21. En la figura, CB//DA. Si CD= 80o, entonces ¿cu´al(es) de las siguien- tes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)? I) BCA = 40o II) BEA = 80o III) DA= 100o a) S´olo I b) S´olo II c) S´olo I y II d) S´olo II y III e) I, II y III D A C B E 10
  • 11. 22. O es centro de la circunferencia de la figura, QOP = ROQ = SOR y RSO = 72o. ¿Cu´anto mide el ´angulo PTQ? a) 54o b) 36o c) 35o d) 27o e) 18o P Q R S T O 23. BC es un cuarto de circunferencia con centro en A. Si BD = AB, entonces el CAD mide a) 15o b) 30o c) 45o d) 60o e) 75o D C A B24. En la figura, la circunferencia tiene centro en O. El valor del ´angulo x es a) 12,25o b) 12,5o c) 25o d) 37,50o e) 50o O C D B A a x 50o a 11
  • 12. 25. En la circunferencia de centro O, ABO = 2 BOA. ¿Cu´anto mide el ´angulo OAB? a) 36o b) 45o c) 60o d) 72o e) 90o O BA O 26. En la circunferencia de centro O de la figura, se puede conocer el valor de α si: (1) BOA = 2α (2) ABO = α a) (1) por s´ı sola. b) (2) por s´ı sola. c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ´o (2). e) Se requiere informaci´on adicional. ! O A B α 27. En la circunferencia de centro O de la figura, AD y BC son di´ametros. Se puede conocer el valor de x si: (1) CA= 110o (2) BCA + BDA = 70o a) (1) por s´ı sola. b) (2) por s´ı sola. c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ´o (2). e) Se requiere informaci´on adicional. O DC BA x 12
  • 13. 28. AB es di´ametro de la circunferencia de centro O. La medida del CBA se puede determinar si: (1) AB = 2AC (2) BOC = 2 COA a) (1) por s´ı sola. b) (2) por s´ı sola. c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ´o (2). e) Se requiere informaci´on adicional. # O B A C 29. En la figura, el cuadril´atero ABCD est´a inscrito en la circunferencia. Se puede saber la medida del CDA si: (1) BCD = 180o (2) DAB = 100o a) (1) por s´ı sola. b) (2) por s´ı sola. c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ´o (2). e) Se requiere informaci´on adicional. $ O BD C A 30. En la circunferencia de centro O de la figura, A y B son puntos de tangencia. Se puede determinar la medida del BOA si: (1) PBO = OAP (2) BOA = 3 APB a) (1) por s´ı sola. b) (2) por s´ı sola. c) Ambas juntas, (1) y (2). d) Cada una por si sola, (1) ´o (2). e) Se requiere informaci´on adicional. % O B A P 13
  • 14. 1 E 2 C 3 A 4 B 5 C 6 A 7 C 8 C 9 A 10 C 11 E 12 E 13 D 14 C 15 C 16 D 17 A 18 B 19 E 20 A 21 C 22 E 23 B 24 B 25 D 26 A 27 D 28 D 29 E 30 B 14