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Srta. Yanira Castro Lizana
GEOMETRÍA DEL PLANO
1. Conceptos básicos de Geometría
2. Los polígonos
3. Proporcionalidad de segmentos y semejanza
4. El Teorema de Pitágoras
5. La circunferencia
6. Áreas de figuras planas
7. Movimientos en el plano. Mosaicos
2
1. CONCEPTOS BÁSICOS DE
GEOMETRÍA
1 . R E C O R D A N D O L O S E L E M E N T O S
B Á S I C O S D E G E O M E T R Í A .
2 . S E G M E N T O S R E C T I L Í N E O S
3 . Á N G U L O S : M E D I D A Y
C L A S I F I C A C I Ó N
a) Clasificación de ángulos
b) Bisectriz de un ángulo
4 . PA R A L E L I S M O Y
P E R P E N D I C U L A R I D A D .
a) Trazado de paralelas y de perpendiculares
b) Mediatriz de un segmento
c) Proyección ortogonal
1.1.ELEMENTOS BÁSICOS
El término Geometría viene del griego,
y significa medida de tierras.
Todos los cuerpos que nos rodean
ocupan una posición en el espacio.
Se llama extensión a la porción de
espacio ocupado por un cuerpo,
admitiendo ésta tres direcciones: la
longitud, la anchura y la altura, cada
una de las cuales se llama
dimensión.
Hay cuerpos que se reducen a una sola
dimensión, como la línea, o otros a
dos dimensiones, como la
superficie. El punto es la mínima
expresión de la extensión y, por
tanto, no tiene ni longitud, ni
anchura, ni altura; solamente nos
indica una posición en el espacio.
4
1.2. SEGMENTOS
RECTILÍNEOS
Un segmento rectilíneo AB es la parte de recta comprendida
entre los puntos A y B.
5
A B
• Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas.
A
• Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patrón y
compararla con la longitud del segmento.
u
• De las unidades utilizadas históricamente las más convencionales
responden a dos sistemas:
1. Sistema métrico Decimal : Mm, Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm,...
2. Sistema Anglosajón: Milla, yarda, pie, pulgada...
6
PARALELISMO Y
PERPENDICULARIDAD
•Las vías de un tren nos
sugieren la idea de rectas
paralelas (dos rectas son
paralelas cuando, por más que
se prolonguen, nunca se
encuentran).
•Los postes que las fijan al
suelo, dan la idea de rectas
perpendiculares ya que forma
con ellas ángulos rectos.
•El cruce de vías nos muestra
líneas oblícuas.
90º
7
ÁNGULOS Ángulos
Ángulo recto
1 R=90º
Ángulo llano=180º
Ángulo
completo=360º
• Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos
semirrectas que parten de un punto común llamado
vértice.
NOTA: Las medidas anteriores y las siguientes están dadas en SISTEMA
SEXAGESIMAL. Existen otros sistemas para medir ángulos como son el
sistema centesimal y radianes
TIPOS DE ÁNGULOS
8
Ángulo agudo
Menor que un
recto
Ángulo obtuso
Mayor que un
recto
Ángulo
convexo
Menor que
dos rectos
Ángulo
cóncavo
Mayor que dos
rectos
Ángulos
complementarios
(Si suman 90º)
Ángulos
suplementarios
(Si suman 180º)
MEDIDA DE ÁNGULOS
9
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Radianes
Ángulo
completo
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60”
CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s
RADIANES 2  /2
10
TRAZADO DE PARALELAS Y
PERPENDICULARES
Rectas
paralelas
Rectas
perpendiculares
11
SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN
TRIÁNGULO
Trazamos una recta paralela al
lado AB del triángulo

C
A B











'
'
Los dos ángulos son iguales por tener los lados paralelos
y ser agudos (También sería cierto si los dos fuesen
obtusos)
Los tres ángulos de un triángulo suman
siempre 180º
º
180
'
'
º
180












'
 '

MEDIATRIZ DE UN
SEGMENTO
La mediatriz de un segmento es la recta
perpendicular a dicho segmento por
su punto medio.
Con centro en A y en B se trazan arcos
de igual radio que se cortan en dos
puntos que determinan la mediatriz
del segmento AB.
12
A B
Observa que los
puntos de la
mediatriz de un
segmento AB
equidistan de los
extremos Á y B
A B
d d
d’
d’ d’
d’’
d’’
d1
d1
13
BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
La recta que
divide un
ángulo en dos
partes iguales
se llama
bisectriz.
Observa que los
puntos de la bisectriz
de un ángulo
equidistan de los
lados del ángulo
experimenta
d
d
d’
d’
14
RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO.
MEDIATRICES.- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el
punto medio de dicho lado.
Corte único de las mediatrices: CIRCUNCENTRO, que es el centro de la
circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
BISECTRICES.-Rectas que partiendo del vértice parten el ángulo en dos
iguales.
Corte único de bisectrices: INCENTRO, que es el centro de la
circunferencia inscrita (interior), tangente a los tres lados.
ALTURAS.- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del vértice
opuesto a cada uno de ellos.
Corte único de alturas: ORTOCENTRO.
MEDIANAS.- Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto.
Dividen el triángulo en dos regiones de igual área.
Corte único de medianas: BARICENTRO, que es el centro de gravedad
del triángulo (Física).
MEDIANAS
A
C
B
a
c
b
MEDIANAS: Rectas que van del vértice al punto medio del lado
opuesto. Generan dos triángulos de igual área. Se cortan en un único
punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.
B
MEDIATRICES
A
C
B
a
c
b
MEDIATRICES: Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado
por su punto medio. Se cortan en un punto llamado Circuncentro, que
es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres
C
ALTURAS
A
C
B
a
c
b
ALTURAS: Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el
vértice opuesto . Se cortan en un punto llamado Ortocentro.
O
BISECTRICES
A
C
B
a
c
b
BISECTRICES: Rectas que dividen en dos el ángulo correspondiente
al vértice del que parte. Se cortan en un punto llamado INCENTRO,
que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triángulo y
I
A/2
A/2
RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO
EQUILATERO.
A
C
B
a
c
b
EN UN TRIÁNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS
RECTAS NOTABLES, ASÍ COMO SUS PUNTOS
B=O=C=I
RECTA DE EULER
La recta de Euler es
la recta que pasa
por el baricentro, el
circuncentro y el
ortocentro de un
triángulo.
2. LOS POLÍGONOS
1 . P O L Í G O N O S :
a. Definición. Elementos de un polígono
b. Clasificación de polígonos
c. Suma de los ángulos interiores de los polígonos convexos.
d. Trazado de polígonos regulares.
e. Polígonos regulares estrellados
2 . T R I Á N G U L O S .
a. Clasificación de triángulos.
b. Igualdad de triángulos. Construcción de triángulos.
c. Rectas y puntos notables de un triángulo.
3 . C U A D R I L Á T E R O S :
a. Clasificación de cuadriláteros.
b. Propiedades de las diagonales de un paralelogramo.
2.1. POLÍGONOS
Línea poligonal abierta
23
• Línea poligonal cerrada
Polígono es la superficie plana limitada por una
línea poligonal cerrada.
La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli
(varios) y gono (ángulos).
24
ELEMENTOS DE UN
POLÍGONO
Diagonal
Vértice
Ángulo interior
Ángulo exterior
Perímetro de un polígono es la suma de las longitudes
de sus lados
25
CLASIFICACIÓN DE LOS
POLÍGONOS
Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden
ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos,
heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos,...
El polígono que tiene todos sus lados
y todos sus ángulos iguales se dice
que es un polígono regular. En estos,
y sólo en estos, aparecen dos nuevos
elementos: centro y apotema.
Centro
26
SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN
POLÍGONO
Polígono
Número
de
lados
Número de
triángulos
Suma de los
ángulos
interiores
Número de
diagonales
Triángulo 3 1 180º
Cuadrilátero 4 2 2 . 180º
Pentágono
6
Heptágono
Octógono
9
Polígono de n lados n n-2
Copia en tu cuaderno y completa el cuadro
anterior
27
Polígono
Número
de lados
Número
de
triángulos
Suma de
los
ángulos
interiores
Número de
diagonales
Triángulo 3 1 180º 0
Cuadrilátero 4 2 2 . 180º 2
Pentágono 5 3 3. 180º 5
Hexágono 6 4 4. 180º 9
Heptágono 7 5 5. 180º 14
Octógono 8 6 6. 180º 20
Eneágono 9 7 7. 180º 27
Decágono 10 8 8. 180º 35
Undecágono 11 9 9. 180º 44
Dodecágono 12 10 10. 180º 54
....... ....... ....... ....... .......
Polígono de n lados n n-2 (n-2). 180º n(n-3)/2
28
CONSTRUYENDO UN
PENTÁGONO REGULAR
29
CONSTRUYENDO UN
PENTÁGONO REGULAR
30
CONSTRUYENDO
POLÍGONOS REGULARES
31
CONSTRUYENDO
POLÍGONOS REGULARES
experimenta
32
POLÍGONOS REGULARES
ESTRELLADOS
Una de las figuras más bellas en geometría y muy utilizada en el arte de la
lacería árabe, la constituyen los polígonos estrellados, obtenidos al unir
vértices no consecutivos de los polígonos regulares.
Si en un
pentágono regular
unimos sus
vértices saltando
de dos en dos,
obtenemos la
estrella
pentagonal. Esta
estrella sirvió de
emblema a la
escuela pitagórica
fundada en
Crotona, en el
siglo VI a. J.C.
2.2. TRIÁNGULOS
33
Triángulo es un polígono de tres lados.
Clasificación:
EQUILÁTERO: si siene los tres lados iguales.
ISÓSCELES: si tiene dos lados iguales y uno desigual.
ESCALENO: si tiene los tres lados distintos
SEGÚN SUS LADOS:
ACUTÁNGULO: si tiene los tres ángulos agudos.
RECTÁNGULO: si tiene un ángulo recto.
OBTUSÁNGULO: si tiene un ángulo obtuso.
SEGÚN SUS ÁNGULOS:
34
CONSTRUYENDO
TRIÁNGULOS
Para construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos:
a) Conocidos los tres
lados a, b y c:
b) Con dos lados a y b, y el
ángulo comprendido C:
c) Con un lado a y los
dos ángulos
adyacentes B y C:
a
b
c
b a
c
a
b
c
a
c
b
a
c B
a
B
c
experimenta
35
CRITERIOS DE IGUALDAD DE
TRIÁNGULOS
I. Dos triángulos son iguales si
tienen los tres lados iguales.
II. Dos triángulos son iguales si
tienen iguales dos lados y el
ángulo comprendido entre
ellos
III. Dos triángulos son iguales si
tienen iguales un lado y los
dos ángulos adyacentes.
c
b a
a
c
b
a
c
B
36
Mediatrices de un triángulo:
Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho
segmento que pasa por su punto medio
Las tres mediatrices de
un triángulo se cortan en
un punto llamado
circuncentro
D Circuncentro
37
Mediatrices de un triángulo:
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un
punto llamado circuncentro
El circuncentro es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
El circuncentro de un
triángulo equidista de los
vértices del triángulo.
A B
C
D Circuncentro
DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC
DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB
DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC
Por lo tanto DA = DC= DB= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con
centro en D.
Esta circunferencia pasará por los tres vértices del
triángulo. Se llama circunferencia circunscrita al
triángulo.
38
MEDIATRICES DE UN
TRIÁNGULO:
Observa que en el
triángulo acutángulo
el circuncentro está
en el interior del
triángulo.
Observa que
en el triángulo
rectángulo el
circuncentro
está en el
punto medio
de la
hipotenusa.
Observa que en el
triángulo obtusángulo
el circuncentro está
en el exterior del
triángulo.
Se llama mediatriz de un
segmento a la recta
perpendicular a dicho
segmento que pasa por
su punto medio
experimenta
Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto
llamado circuncentro . Es el centro de la circunferencia
circunscrita al triángulo.
39
ALTURAS DE UN TRIÁNGULO:
Indica que el ángulo es recto.
Observa que en el
triángulo rectángulo
el ortocentro
coíncide con el
vértice del ángulo
recto del triángulo.
Se llama altura de un triángulo
a la recta perpendicular a un
lado que pasa por el vértice
opuesto a dicho lado
O
A B
C
A B
C
A B
C
O
O
experimenta
Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto
llamado ortocentro.
40
Bisectrices de un triángulo:
Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dos
ángulos iguales
Las tres bisectrices
de un triángulo se
cortan en un punto
llamado incentro
I Incentro
41
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un
punto llamado incentro
El incentro es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
El incentro de un triángulo
equidista de los lados del
triángulo.
A B
C
IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del ángulo C
IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del ángulo B
IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del ángulo A
Por lo tanto IM = IN= IP= r
Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con
centro en I.
Esta circunferencia es tangente a los tres lados del
triángulo. Se llama circunferencia inscrita en el
triángulo.
Bisectrices de un triángulo:
I M
N
P
42
BISECTRICES DE UN
TRIÁNGULO:
Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto
llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita
en el triángulo.
Se llama bisectriz de un
ángulo a la semirrecta que
divide en dos partes iguales
dicho ángulo
I
A B
C
A B
C
I
A B
C
I
experimenta
43
MEDIANAS DE UN
TRIÁNGULO:
Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto
llamado baricentro que es el centro de gravedad del triángulo.
G
M
N
A B
C
P
M
N
A B
C
P
G
M
N
A
B
C
P
G
Se llama mediana de un
triángulo a la recta que pasa
por un vértice y por el punto
medio del lado opuesto
P, M, N son los puntos medios
de los lados experimenta
44
RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN
TRIÁNGULO
• Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado
circuncentro. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
•Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado
baricentro. Es el centro de gravedad del triángulo.
• Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado
incentro. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.
•Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
2.3. CUADRILÁTEROS:
PARALELOGRAMOS
(tienen los lados
paralelos dos a dos)
Cuadrado
Lados iguales y los cuatro
ángulos rectos
Rectángulo
Lados iguales dos a dos y los
cuatro ángulos rectos
Rombo
Lados iguales y ángulos iguales
dos a dos
Romboide
Lados y ángulos iguales dos a
dos
TRAPECIOS
(Tienen dos lados
paralelos)
T.Rectángulo
Sección inferior de un triángulo
rectángulo por una paralela a la
base
T. Isósceles
Sección inferior de un triángulo
isósceles por una paralela a la
base
T. Escaleno
Sección inferior de un triángulo
escaleno por una paralela a la
base
TRAPEZOIDES
(Ningún lado paralelo)
No tiene ningún lado paralelo a
otro
45
l
l
b
h
D
d
b
h
h
B
b
B
b
h
B
b
h
Polígonos de cuatro lados
C
L
A
S
I
F
I
C
A
C
I
Ó
N
46
PROPIEDADES DE LAS
DIAGONALES DE UN
PARALELOGRAMO
Cada diagonal divide un
paralelogramo en dos triángulos
iguales.
A
A’
B
B’
Las diagonales de cualquier
paralelogramo se cortan en su punto
medio.
En el rectángulo y el cuadrado, las
diagonales son iguales.
En el rombo y en el cuadrado, las
diagonales se cortan perpendicular-
mente, siendo a la vez bisectrices de
sus ángulos.
3. PROPORCIONALIDAD
1 . P R O P O R C I O N A L I D A D D E S E G M E N T O S
Y S E M E J A N Z A
2 . T E O R E M A D E TA L E S
A . C O N S E C U E N C I A S D E L T E O R E M A
D E TA L E S
B . L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L .
S E C C I Ó N Á U R E A .
3 . S E M E J A N Z A
A . S E M E J A N Z A D E T R I Á N G U L O S .
B . P O L Í G O N O S S E M E J A N T E S .
4 . E S C A L A S
3.1. PROPORCIONALIDAD DE
SEGMENTOS Y SEMEJANZA
48
Sombra del árbol grande (S)
S. árbol
pequeño (s)
H
h
Las sombras de los dos árboles son
proporcionales a las respectivas alturas
H
h
S
s
O
A’
A
B’
B
)
alidad
proporcion
de
razón
(
k
'
AA
'
BB
'
OA
'
OB


H
h
S
s

Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura
¿Con qué razón de proporcionalidad
trabajo Tales en esta experiencia?
¿Podrías calcular la altura de un
edificio de tu entorno midiendo su
sombra y teniendo presente tu altura y
la longitud de tu sombra?
3.2. TEOREMA DE TALES
49
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos iguales sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
O
A’
A
B’
B
'
OB
'
B
'
A
OB
AB
tambien
o
'
OB
'
OA
OB
OA


experimenta
O
A’
A
B’
B
C’
D’
E’
E
D
C
B’’
C’’
D’’
E’’
r
r’
CONSECUENCIAS DEL TEOREMA
DE TALES
50
Toda paralela a un lado de un
triángulo ABC determina con los
otros dos un nuevo triángulo AMN
cuyos lados son proporciona les a
los del primero.
El teorema de Tales permite
dividir un segmento
cualquiera en partes
iguales.
A
B C
N
M
P
Si en un triángulo ABC tenemos una
paralela MN al lado BC, por el teorema
de Tales se cumple :
)
1
(
AC
AN
AB
AM

Trazando por N una paralela a AB,
por el mismo teorema tenemos:
)
2
(
BC
MN
BC
BP
AC
AN


De (1) y (2) se deduce:
BC
MN
AC
AN
AB
AM


LA TERCERA PROPORCIONAL.
SECCIÓN ÁUREA
51
Un segmento x se llama tercera
proporcional de dos segmentos dados
a y b si verifica la proporción:
a
b
b
x
x
b
b
a

También sobre un segmento AB es
posible visualizar la tercera proporcional,
hasta localizar un punto C del segmento
AB de forma que:
A B
C
b x




 1
...
618033989
'
1
2
5
1




x
b
b
x
b
:
también
ó
CB
AC
AC
AB



x
b
x
b
1
x
b


0
1
2




 Resolviendo
la ecuación
(número áureo o número de oro)
experimenta
3.3. LA SEMEJANZA
52
Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos
homólogos iguales y sus lados proporcionales
Teorema fundamental: Si dos lados de un
triángulo se cortan por una paralela al tercero, se
obtiene otro triángulo semejante al primero.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE
TRIÁNGULOS
53
I. Dos triángulos son semejantes
si tienen los tres lados
proporcionales.
II. Dos triángulos son semejantes
si tienen dos ángulos iguales .
III. Dos triángulos son
semejantes si tienen dos
lados proporcionales y el
ángulo comprendido igual.
CRITERIOS DE SEMEJANZA
POLÍGONOS SEMEJANTES
54
experimenta
Polígonos homotéticos
Polígonos semejantes son los
que se descomponen en
triángulos semejantes dispuestos
correlativamente.
Se llama razón de semejanza de
los polígonos a la razón entre sus
lados homólogos.
P
P
La razón de los perímetros de
dos polinomios semejantes es
igual a la razón de semejanza
3.4. ESCALAS
55
Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequeñas, hemos de
recurrir a reducir o aumentar su representación gráfica. Diremos que la pieza
está dibujada a escala.
A la relación entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones
reales se le llama escala gráfica.
Por ejemplo, si un mapa viene dado a escala 1:30 000, indica que 1 cm del
dibujo representa 30 000 cm en la realidad.
Según si el primer número es menor o mayor que el segundo, la escala
reducirá o ampliará respectivamente el tamaño real del objeto.
Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son: el
compás de reducción (resuelta útil para medir) y el pantógrafo (para
reproducir dibujos a una escala determinada).
AD
AE
AB
AC

El pantógrafo consta de cuatro reglas articuladas con
un punto de apoyo A, una punta metálica B para
repasar el original y un portalápiz C. Las cuatro
reglas forman un paralelogramo articulado BDEF.
Los puntos A, B y C están alineados de modo que:
experimenta
4. EL TEOREMA DE PITÁGORAS.
1. PITÁGORAS
2. NÚMEROS PARTICULARES
3. TEOREMA DE PITÁGORAS
4. TEOREMA DE LA ALTURA
5. TEOREMA DEL CATETO
6. RELACIONES MÉTRICAS EN
TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
4.1. PITÁGORAS
57
Se supone que Pitágoras era nativo de Samos y pertenecía, como
Tales, a la colonia jónica de griegos establecida en las costas e islas
occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor. Vivió desde
aproximadamente 569 a.J.C.. En el año 529 a. J.C. Se instaló en Crotona, una
ciudad de la colonia dórica en el sur de Italia, y allí comenzó a disertar sobre
filosofía y matemáticas. A su cátedra acudía una muchedumbre de entusiastas
auditores de todas clases: muchos de las clases altas e incluso las mujeres
infringían una ley que les prohibía asistir a reuniones públicas.
Los más interesados de sus discípulos se constituyeron en una
sociedad o hermandad. Se les conocía como la Orden de Pitágoras y ejercieron
una gran influencia, tanto política como religiosa. más allá del mundo griego. Lo
compartían todo, sostenían las mismas creencias filosóficas, se dedicaban a las
mismas investigaciones y se comprometían con un juramento a no revelar los
secretos y las enseñanzas de la escuela.
La estrella pentagonal fue un símbolo distintivo de la hermandad
4.2. NÚMEROS PARTICULARES
Los pitagóricos clasificaban los números
en pares e impares según formas o
estructuras asociadas a ellos:
Un número producto de dos factores
desiguales, se llamaba oblongo:
Si dos factores eran iguales, el número se
llamaba cuadrado. El cuadrado n-
ésimo de un número es la suma de los
n primeros números impares
58
• Los números triángulos eran 1, 3, 6,
10, ...El n-ésimo número triangular es
la suma de los n primeros números.
Dos triangulares sucesivos forman
juntos un cuadrado.
• Un número de tres factores se llamaba
sólido. Si los tres factores eran
iguales, se llamaba cubo.
12=3x2x2 27=3x3x3
• Un número piramidal es la suma de
una serie de números cuadrados
5=1+4
14=1+4+9
(8=4x2)
1=1x1
4=2x2=1+3
9=3x3=1+3+5
16=4x4=1+3+5+9
10=1+2+3+4
59
4.3. NÚMEROS PITAGÓRICOS.
TEOREMA DE PITÁGORAS
b =9
2
c =16
2
Cateto (c)
Cateto
(b)
Catetos:
b, c
Hipotenusa:
a
Relación aritmética:
a2=b2+c2
3 y 4 5 52=32+42
6 y 8 10 102=62+82
5 y 12 13 132=52+122
7 y 24 25 252=242+72
8 y 15 17 172=152+82
La relación aritmética entre los catetos y la
hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo
se conoce con el TEOREMA DE PITÁGORAS:
En un triángulo rectángulo, la suma
de los cuadrados de los catetos es
igual al cuadrado de la hipotenusa
a2=b2+c2
Los números
que verifican
esta relación
reciben el
nombre de
números
pitagóricos
experimenta
Demostración
60
4.4. TEOREMA DE LA ALTURA
En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la
altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí
B A
C
H
m
n
h
Por ser los triángulos BHC y CHA
semejantes, sus lados son
proporcionales:
HA
HC
HC
BH
 es decir,
m
h
h
n

o también, n
m
h2


TEOREMA DE LA ALTURA:
La altura relativa a la hipotenusa de
un triángulo rectángulo es media
proporcional entre los segmentos en
que divide a ésta.
61
4.5. TEOREMA DEL CATETO
TEOREMA DEL CATETO:
En todo triángulo rectángulo un cateto
es media proporcional entre la
hipotenusa y su proyección sobre ella.
Por ser los triángulos AHC y
ABC semejantes, sus lados
son proporcionales:
AB
AC
AC
AH
 es decir,
c
b
b
m

o también, c
m
b2


B A
C
H
m
n
h
b
a
c
En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la
altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí
62
4.6. RELACIONES MÉTRICAS EN
TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
a) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo en un triángulo cualquiera
es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble
del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre
A
C
c
B
H
n
c-n
h
b
a
En el tr. BHC:
2
2
2
BH
a
h 

En el tr. AHC:
2
2
2
n
h
b 

Además:   cn
2
n
c
n
c
BH 2
2
2
2





2
2
2
2
2
n
cn
2
c
n
a
b 




cn
2
c
b
a 2
2
2



Sustituyendo
b) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo
obtuso en un triángulo cualquiera es
igual a la suma de los cuadrados de los
otros dos lados más el doble del
producto de uno de ellos por la
proyección del otro sobre
cn
2
c
b
a 2
2
2



c+n
B A H
h
b
a
c
C
n
2
2
2
c
b
a 

2
2
2
c
b
a 

2
2
2
2
n
BH
a
b 


63
CLASIFICACIÓN DE UN TRIÁNGULO A PARTIR
DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
Un triángulo será acutángulo, rectángulo u obtusángulo según
que el cuadrado de su lado mayor sea menor, igual o mayor que
la suma de los cuadrados de los otros dos lados.
experimenta
a
a
a
b
b
b
c
c
c
a2 < b2 + c2 a2 = b2 + c2
a2 > b2 + c2
5. LA CIRCUNFERENCIA
1 . E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A
2 . A P R O X I M A C I Ó N D E L N Ú M E R O 
3 . N Ú M E R O 
4 . R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A .
P O S I C I Ó N R E L AT I VA .
5 . D E T E R M I N A C I Ó N D E U N A
C I R C U N F E R E N C I A .
6 . Á N G U L O S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
A . C L A S I F I C A C I Ó N
B . M E D I D A D E L O S Á N G U L O S E N U N A
C I R C U N F E R E N C I A
5.1. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
65
La circunferencia es la línea curva plana y cerrada formada por los
puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto
interior llamado centro.
centro
arco
Además de los elementos de la circunferencia
(centro, radio, diámetro, cuerda, arco) es
interesante conocer su longitud.
Arquímedes (s. III a. J.C.) se imaginaba la
circunferencia como la figura obtenida por
exhaustión de polígonos regulares inscritos y
circunscritos. La longitud de la circunferencia está
comprendida entre los perímetros de estos
polígonos.
6 lados 12 lados 24 lados 48 lados
experimenta
66
5.2. APROXIMACIÓN DEL NÚMERO PI
APROXIMACIÓN DE PI PI
r
2
D
ncia
circunfere
la
de
Longitud






67
5.3. NÚMERO 
=3.141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768
73117702027606580198567877822933137487565529317947017508282796173334466023408319243216
87635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831
83662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310
98097354711945038954490522398489502977422015658526826942312277172915188003715954213744
09790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531
01972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230
12060408919386264671305215215681546012337187219967499102525807521244789854019999287501
40444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484
20308402276707050721678865921466212494484986832477878288797603812415562065478620931564
50989687953018938760745711991625401123007401764256137764343829899181448728875101736578
30770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476
77117559527887469067969625636795619777864860939456802032265224861816378150408453521798
34645518246814994258905547349642243493654651930734174995135826895725830540430184728962
79387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768
73117702027606580198567877822933137487565529317947017508282796173334466023408319243216
87635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831
83662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310
98097354711945038954490522398489502977422015658526826942312277172915188003715954213744
09790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531
01972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230
12060408919386264671305215215681546012337187219967499102525807521244789854019999287501
40444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484
20308402276707050721678865...
68
5.4. RECTAS Y CIRCUNFERENCIA.
POSICIÓN RELATIVA
 Una recta respecto de la
circunferencia puede ser:
 Exterior, si no la corta en ningún punto
 Tangente, si la corta en un solo punto
 Secante, si la corta en dos puntos
Exterior
Tangente
Secante
 Dos circunferencias
pueden ser entre sí:
 Exteriores
 Tangentes interiores
 Tangentes exteriores
 Secantes
 Interiores
 Concéntricas
Concéntricas
Exteriores
Tangentes
interiores
Tangentes
exteriores
Secantes
Interiores
69
5.5. DETERMINACIÓN DE UNA
CIRCUNFERENCIA.
 Por un punto A pasan
infinitas circunferencias.
A
 Por dos puntos A y B pasan
infinitas circunferencias.
A
B
 Por tres puntos no alineados
pasa una única circunferencia
A
B
C
70
5.6. ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
Ángulos Características
El vértice del ángulo central coincide con el
centro de la circunferencia.
El vértice del ángulo interior es un punto interior
a la circunferencia.
El vértice del ángulo inscrito es un punto de la
circunferencia y los lados son rectas secantes.
El vértice del ángulo semiinscrito es un punto de
la circunferencia y los lados son una recta
secante y otra tangente a la circunferencia.
El vértice del ángulo exterior es un punto exterior
a la circunferencia y los lados pueden ser:
 Rectas secantes
 Una recta secante y la otra tangente
 Rectas tangentes
Ángulo
central
Ángulo
interior
Ángulo
inscrito
Ángulo
semiinscrito
Ángulos
exteriores
71
MEDIDA DE LOS ÁNGULOS EN UNA
CIRCUNFERENCIA
 Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente
A
B
C
O


2 


2
2 2 
2 2  2
2 2 
2
O
2

g
2 g
72
 Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia,
son iguales
g
2g
g
g
g
180º
90º
 Todos los ángulos
inscritos que abarcan
un diámetro, son
rectos.
experimenta
experimenta
6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
1 . M I D I E N D O S U P E R F I C I E S
2 . Á R E A S D E L O S P O L Í G O N O S M Á S S E N C I L L O S
A . E L Á R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S
B . Á R E A D E L T R I Á N G U L O
C . Á R E A D E L R O M B O I D E
D . Á R E A D E L R O M B O
E . Á R E A D E L T R A P E C I O
3 . Á R E A D E U N P O L Í G O N O .
4 . Á R E A D E L C Í R C U L O .
5 . Á R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S .
6 . R A Z Ó N E N T R E L A S Á R E A S D E D O S F I G U R A S
S E M E J A N T E S .
74
ÁREAS DE LOS POLÍGONOS MÁS
SENCILLOS
Para medir superficies es necesario
adoptar una unidad patrón y compararla con
la extensión de dicha superficie.
Las unidades patrón de superficie en el
SMD son Mm2, Km2, Hm2, Dm2, m2, dm2, cm2,
mm2. Sin embargo, para medir terrenos, se
utilizan las llamadas unidades agrarias:
Hectárea(Hm2), área (Dm2) y centiárea (m2).
43 u2 46,5 u2
b
h Área del rectángulo=Base x altura A=b.h
l
l Área del cuadrado=lado x lado A=l2
75
ÁREAS DE CUADRILÁTEROS
2
altura
base
2
romboide
del
Área
trapecio
del
Área




h
b b
h
b
h
Área del romboide=Base x altura A=b.h
d
d
D 2
altura
base
rombo
del
Área


2
d
D
A


B b
B+b
B
b
h
 
2
h
b
B
A



experimenta
76
ÁREA DEL TRIÁNGULO, TRAPEZOIDE,
POLÍGONO REGULAR E IRREGULAR.
h
b b
h
2
altura
base
triángulo
del
Área


2
h
b
A


Área del trapezoide o
polígono irregular=
=Suma de las áreas de
los triángulos
Área del polígono regular=
=Suma de las áreas de los triángulos=
=nºde triángulos x área de uno de los triángulos
2
apotema
Perímetro
2
a
P
2
a
l
n
A







a
l
UN PROBLEMA CLÁSICO:
EL ÁREA DEL CIRCULO
77
Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de
la matemática en el periodo helénico:
La duplicación del cubo o problema de Delos, consiste en determinar el lado de un cubo
de volumen doble del otro cubo de lado dado.
La trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales
con regla y compás.
La cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el área
de un círculo, consiste geométricamente en determinar con regla y compás el lado de un
cuadrado equivalente a un círculo de radio dado.
2
r
2
r
r
2
2
apotema
Perímetro
círculo
del
Área 






r
2
r
A 

78
ÁREA DE OTRAS FIGURAS
CIRCULARES
R
r
Área de corona circular=
=Área circulo mayor-Área círculo menor
 
2
2
2
2
r
R
r
R
A 






R
α




º
360
R
circular
sector
del
Área
2




º
360
R
2
ncia
circunfere
de
arco
un
de
Longitud
79
EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
b
b
a
a. Toma una cartulina en forma de cuadrado y córtala como se muestra en las figuras.
El área del cuadrado se conserva
= = + +
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
a+b
(a+b)2
a b
a2
ab
ab
b2
(a-b)2
a - b
=
a
+
-
a2 ab ab b2
(a-b)2 = a2 - 2ab + b2
80
EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES
a-b
b
a+b
b. Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus
esquinas.
a - b
=
a
-
a2 b2
(a+b)(a-b) = a2 - b2
a-b
=
Recuerda:
(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2
(a - b)2 = a2 - 2 a b + b2
(a + b) (a - b) = a2 - b2
81
RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOS
FIGURAS SEMEJANTES
C’
E
D
A
B
C
F
A’
B’
D’
E’
F’
r
'
P
P
'
A
'
F
FA
'
F
'
E
EF
'
E
'
D
DE
'
D
'
C
CD
'
C
'
B
BC
'
B
'
A
AB







La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es
igual al cuadrado de la razón de semejanza entre ellos: experimenta
2
r
'
A
A

l’
l
l’
l
4
'
A
A
2
'
l
l


9
'
A
A
3
'
l
l


ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
NOMBRE FORMA ÁREA
TRIÁNGULOS
(Polígono de tres lados) Triángulo
CUADRI-
LÁ-
TEROS
(Polígono
de cuatro
lados)
PARALE-
LOGRA-
MOS
(tienen los
lados
paralelos dos
a dos)
Cuadrado
Rectángulo
Rombo
Romboide
TRAPE CIOS
(Tienen dos
lados
paralelos)
Trapecio (rectángulo,
isósceles o escaleno)
TRAPE-
ZOIDES
Trapezoide Se divide en 2 triángulos y se suman
sus áreas
POLÍGONOS
DE n LADOS
Polígono regular
Polígono irregular Se divide en triángulos y se suman
sus áreas
Circunferencia
Círculo
82
b
h
l
b
h
D
d
b
h
B
b
h
h
b
2
1
A 

2
l
A 
h
b
A 

2
d
D
A


h
2
b
B
A 


h
b
A 

a
l 2
a
P
A


r
r
2
L 



2
r
A 


83
MOVIMIENTOS A TRAVÉS DE LOS
MOSAICOS
Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos, ahora bien,
¿has pensado lo que sucedería si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de polígono
regular?
Las baldosas
pentagonales no
recubren
perfectamente el
plano
No todos los polígonos regulares
recubren exactamente el plano. Sólo
tres tipos de mosaicos poligonales
tienen esta particularidad
Mosaicos
hexagonales
Mosaicos
cuadrangulares
Mosaicos
triangulares
84
MOSAICOS
Puesto que todas las piezas han de ser iguales, podemos imaginar que una baldosa genera otra
vecina por diferentes tipos de movimientos. La siguiente tabla nos muestra algunos de estos
movimientos.
T Traslación
S Simetría
G Giro de 180º de
centro el punto
medio de un lado:
G90º
Giro de 90º
respecto de
un vértice:
G180º
Giro de 180º
respecto de
un vértice:
85
86
87
Parte de lo anterior está basado en su
mayoría en el libro GEOMETRÍA Y
EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos
Didácticos Alhambra nº 20 en el que se puede
encontrar ejercicios sobre los temas vistos en

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  • 2. GEOMETRÍA DEL PLANO 1. Conceptos básicos de Geometría 2. Los polígonos 3. Proporcionalidad de segmentos y semejanza 4. El Teorema de Pitágoras 5. La circunferencia 6. Áreas de figuras planas 7. Movimientos en el plano. Mosaicos 2
  • 3. 1. CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA 1 . R E C O R D A N D O L O S E L E M E N T O S B Á S I C O S D E G E O M E T R Í A . 2 . S E G M E N T O S R E C T I L Í N E O S 3 . Á N G U L O S : M E D I D A Y C L A S I F I C A C I Ó N a) Clasificación de ángulos b) Bisectriz de un ángulo 4 . PA R A L E L I S M O Y P E R P E N D I C U L A R I D A D . a) Trazado de paralelas y de perpendiculares b) Mediatriz de un segmento c) Proyección ortogonal
  • 4. 1.1.ELEMENTOS BÁSICOS El término Geometría viene del griego, y significa medida de tierras. Todos los cuerpos que nos rodean ocupan una posición en el espacio. Se llama extensión a la porción de espacio ocupado por un cuerpo, admitiendo ésta tres direcciones: la longitud, la anchura y la altura, cada una de las cuales se llama dimensión. Hay cuerpos que se reducen a una sola dimensión, como la línea, o otros a dos dimensiones, como la superficie. El punto es la mínima expresión de la extensión y, por tanto, no tiene ni longitud, ni anchura, ni altura; solamente nos indica una posición en el espacio. 4
  • 5. 1.2. SEGMENTOS RECTILÍNEOS Un segmento rectilíneo AB es la parte de recta comprendida entre los puntos A y B. 5 A B • Sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas. A • Para medir un segmento es necesario adoptar una unidad patrón y compararla con la longitud del segmento. u • De las unidades utilizadas históricamente las más convencionales responden a dos sistemas: 1. Sistema métrico Decimal : Mm, Km, Hm, Dm, m, dm, cm, mm,... 2. Sistema Anglosajón: Milla, yarda, pie, pulgada...
  • 6. 6 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD •Las vías de un tren nos sugieren la idea de rectas paralelas (dos rectas son paralelas cuando, por más que se prolonguen, nunca se encuentran). •Los postes que las fijan al suelo, dan la idea de rectas perpendiculares ya que forma con ellas ángulos rectos. •El cruce de vías nos muestra líneas oblícuas. 90º
  • 7. 7 ÁNGULOS Ángulos Ángulo recto 1 R=90º Ángulo llano=180º Ángulo completo=360º • Ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que parten de un punto común llamado vértice. NOTA: Las medidas anteriores y las siguientes están dadas en SISTEMA SEXAGESIMAL. Existen otros sistemas para medir ángulos como son el sistema centesimal y radianes
  • 8. TIPOS DE ÁNGULOS 8 Ángulo agudo Menor que un recto Ángulo obtuso Mayor que un recto Ángulo convexo Menor que dos rectos Ángulo cóncavo Mayor que dos rectos Ángulos complementarios (Si suman 90º) Ángulos suplementarios (Si suman 180º)
  • 9. MEDIDA DE ÁNGULOS 9 Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal Sistema centesimal Radianes Ángulo completo Ángulo llano Ángulo recto Un grado Un minuto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60” CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s RADIANES 2  /2
  • 10. 10 TRAZADO DE PARALELAS Y PERPENDICULARES Rectas paralelas Rectas perpendiculares
  • 11. 11 SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO Trazamos una recta paralela al lado AB del triángulo  C A B            ' ' Los dos ángulos son iguales por tener los lados paralelos y ser agudos (También sería cierto si los dos fuesen obtusos) Los tres ángulos de un triángulo suman siempre 180º º 180 ' ' º 180             '  ' 
  • 12. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a dicho segmento por su punto medio. Con centro en A y en B se trazan arcos de igual radio que se cortan en dos puntos que determinan la mediatriz del segmento AB. 12 A B Observa que los puntos de la mediatriz de un segmento AB equidistan de los extremos Á y B A B d d d’ d’ d’ d’’ d’’ d1 d1
  • 13. 13 BISECTRIZ DE UN ÁNGULO La recta que divide un ángulo en dos partes iguales se llama bisectriz. Observa que los puntos de la bisectriz de un ángulo equidistan de los lados del ángulo experimenta d d d’ d’
  • 14. 14
  • 15. RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO. MEDIATRICES.- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado. Corte único de las mediatrices: CIRCUNCENTRO, que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. BISECTRICES.-Rectas que partiendo del vértice parten el ángulo en dos iguales. Corte único de bisectrices: INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita (interior), tangente a los tres lados. ALTURAS.- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del vértice opuesto a cada uno de ellos. Corte único de alturas: ORTOCENTRO. MEDIANAS.- Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. Dividen el triángulo en dos regiones de igual área. Corte único de medianas: BARICENTRO, que es el centro de gravedad del triángulo (Física).
  • 16. MEDIANAS A C B a c b MEDIANAS: Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. Generan dos triángulos de igual área. Se cortan en un único punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo. B
  • 17. MEDIATRICES A C B a c b MEDIATRICES: Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado por su punto medio. Se cortan en un punto llamado Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres C
  • 18. ALTURAS A C B a c b ALTURAS: Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el vértice opuesto . Se cortan en un punto llamado Ortocentro. O
  • 19. BISECTRICES A C B a c b BISECTRICES: Rectas que dividen en dos el ángulo correspondiente al vértice del que parte. Se cortan en un punto llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triángulo y I A/2 A/2
  • 20. RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO EQUILATERO. A C B a c b EN UN TRIÁNGULO EQUILATERO COINCIDEN TODAS LAS RECTAS NOTABLES, ASÍ COMO SUS PUNTOS B=O=C=I
  • 21. RECTA DE EULER La recta de Euler es la recta que pasa por el baricentro, el circuncentro y el ortocentro de un triángulo.
  • 22. 2. LOS POLÍGONOS 1 . P O L Í G O N O S : a. Definición. Elementos de un polígono b. Clasificación de polígonos c. Suma de los ángulos interiores de los polígonos convexos. d. Trazado de polígonos regulares. e. Polígonos regulares estrellados 2 . T R I Á N G U L O S . a. Clasificación de triángulos. b. Igualdad de triángulos. Construcción de triángulos. c. Rectas y puntos notables de un triángulo. 3 . C U A D R I L Á T E R O S : a. Clasificación de cuadriláteros. b. Propiedades de las diagonales de un paralelogramo.
  • 23. 2.1. POLÍGONOS Línea poligonal abierta 23 • Línea poligonal cerrada Polígono es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La palabra polígono proviene del griego y está compuesta por poli (varios) y gono (ángulos).
  • 24. 24 ELEMENTOS DE UN POLÍGONO Diagonal Vértice Ángulo interior Ángulo exterior Perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de sus lados
  • 25. 25 CLASIFICACIÓN DE LOS POLÍGONOS Según el número de lados de los polígonos, éstos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos,... El polígono que tiene todos sus lados y todos sus ángulos iguales se dice que es un polígono regular. En estos, y sólo en estos, aparecen dos nuevos elementos: centro y apotema. Centro
  • 26. 26 SUMA DE LOS ÁNGULOS DE UN POLÍGONO Polígono Número de lados Número de triángulos Suma de los ángulos interiores Número de diagonales Triángulo 3 1 180º Cuadrilátero 4 2 2 . 180º Pentágono 6 Heptágono Octógono 9 Polígono de n lados n n-2 Copia en tu cuaderno y completa el cuadro anterior
  • 27. 27 Polígono Número de lados Número de triángulos Suma de los ángulos interiores Número de diagonales Triángulo 3 1 180º 0 Cuadrilátero 4 2 2 . 180º 2 Pentágono 5 3 3. 180º 5 Hexágono 6 4 4. 180º 9 Heptágono 7 5 5. 180º 14 Octógono 8 6 6. 180º 20 Eneágono 9 7 7. 180º 27 Decágono 10 8 8. 180º 35 Undecágono 11 9 9. 180º 44 Dodecágono 12 10 10. 180º 54 ....... ....... ....... ....... ....... Polígono de n lados n n-2 (n-2). 180º n(n-3)/2
  • 32. 32 POLÍGONOS REGULARES ESTRELLADOS Una de las figuras más bellas en geometría y muy utilizada en el arte de la lacería árabe, la constituyen los polígonos estrellados, obtenidos al unir vértices no consecutivos de los polígonos regulares. Si en un pentágono regular unimos sus vértices saltando de dos en dos, obtenemos la estrella pentagonal. Esta estrella sirvió de emblema a la escuela pitagórica fundada en Crotona, en el siglo VI a. J.C.
  • 33. 2.2. TRIÁNGULOS 33 Triángulo es un polígono de tres lados. Clasificación: EQUILÁTERO: si siene los tres lados iguales. ISÓSCELES: si tiene dos lados iguales y uno desigual. ESCALENO: si tiene los tres lados distintos SEGÚN SUS LADOS: ACUTÁNGULO: si tiene los tres ángulos agudos. RECTÁNGULO: si tiene un ángulo recto. OBTUSÁNGULO: si tiene un ángulo obtuso. SEGÚN SUS ÁNGULOS:
  • 34. 34 CONSTRUYENDO TRIÁNGULOS Para construir triángulos es preciso conocer tres de sus elementos: a) Conocidos los tres lados a, b y c: b) Con dos lados a y b, y el ángulo comprendido C: c) Con un lado a y los dos ángulos adyacentes B y C: a b c b a c a b c a c b a c B a B c experimenta
  • 35. 35 CRITERIOS DE IGUALDAD DE TRIÁNGULOS I. Dos triángulos son iguales si tienen los tres lados iguales. II. Dos triángulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos III. Dos triángulos son iguales si tienen iguales un lado y los dos ángulos adyacentes. c b a a c b a c B
  • 36. 36 Mediatrices de un triángulo: Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro D Circuncentro
  • 37. 37 Mediatrices de un triángulo: Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. El circuncentro de un triángulo equidista de los vértices del triángulo. A B C D Circuncentro DC=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado BC DA=DB por ser D un punto de la mediatriz del lado AB DC=DA por ser D un punto de la mediatriz del lado AC Por lo tanto DA = DC= DB= r Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con centro en D. Esta circunferencia pasará por los tres vértices del triángulo. Se llama circunferencia circunscrita al triángulo.
  • 38. 38 MEDIATRICES DE UN TRIÁNGULO: Observa que en el triángulo acutángulo el circuncentro está en el interior del triángulo. Observa que en el triángulo rectángulo el circuncentro está en el punto medio de la hipotenusa. Observa que en el triángulo obtusángulo el circuncentro está en el exterior del triángulo. Se llama mediatriz de un segmento a la recta perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio experimenta Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro . Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.
  • 39. 39 ALTURAS DE UN TRIÁNGULO: Indica que el ángulo es recto. Observa que en el triángulo rectángulo el ortocentro coíncide con el vértice del ángulo recto del triángulo. Se llama altura de un triángulo a la recta perpendicular a un lado que pasa por el vértice opuesto a dicho lado O A B C A B C A B C O O experimenta Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro.
  • 40. 40 Bisectrices de un triángulo: Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro I Incentro
  • 41. 41 Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro El incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. El incentro de un triángulo equidista de los lados del triángulo. A B C IP = IM por ser I un punto de la bisectriz del ángulo C IM = IN por ser I un punto de la bisectriz del ángulo B IN = IP por ser I un punto de la bisectriz del ángulo A Por lo tanto IM = IN= IP= r Podemos dibujar una circunferencia de radio r, con centro en I. Esta circunferencia es tangente a los tres lados del triángulo. Se llama circunferencia inscrita en el triángulo. Bisectrices de un triángulo: I M N P
  • 42. 42 BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO: Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Se llama bisectriz de un ángulo a la semirrecta que divide en dos partes iguales dicho ángulo I A B C A B C I A B C I experimenta
  • 43. 43 MEDIANAS DE UN TRIÁNGULO: Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro que es el centro de gravedad del triángulo. G M N A B C P M N A B C P G M N A B C P G Se llama mediana de un triángulo a la recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto P, M, N son los puntos medios de los lados experimenta
  • 44. 44 RECTAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO • Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un punto llamado circuncentro. Es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo. •Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado baricentro. Es el centro de gravedad del triángulo. • Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un punto llamado incentro. Es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. •Las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto llamado ortocentro. RECTA DE EULER RECTAS NOTABLES
  • 45. 2.3. CUADRILÁTEROS: PARALELOGRAMOS (tienen los lados paralelos dos a dos) Cuadrado Lados iguales y los cuatro ángulos rectos Rectángulo Lados iguales dos a dos y los cuatro ángulos rectos Rombo Lados iguales y ángulos iguales dos a dos Romboide Lados y ángulos iguales dos a dos TRAPECIOS (Tienen dos lados paralelos) T.Rectángulo Sección inferior de un triángulo rectángulo por una paralela a la base T. Isósceles Sección inferior de un triángulo isósceles por una paralela a la base T. Escaleno Sección inferior de un triángulo escaleno por una paralela a la base TRAPEZOIDES (Ningún lado paralelo) No tiene ningún lado paralelo a otro 45 l l b h D d b h h B b B b h B b h Polígonos de cuatro lados C L A S I F I C A C I Ó N
  • 46. 46 PROPIEDADES DE LAS DIAGONALES DE UN PARALELOGRAMO Cada diagonal divide un paralelogramo en dos triángulos iguales. A A’ B B’ Las diagonales de cualquier paralelogramo se cortan en su punto medio. En el rectángulo y el cuadrado, las diagonales son iguales. En el rombo y en el cuadrado, las diagonales se cortan perpendicular- mente, siendo a la vez bisectrices de sus ángulos.
  • 47. 3. PROPORCIONALIDAD 1 . P R O P O R C I O N A L I D A D D E S E G M E N T O S Y S E M E J A N Z A 2 . T E O R E M A D E TA L E S A . C O N S E C U E N C I A S D E L T E O R E M A D E TA L E S B . L A T E R C E R A P R O P O R C I O N A L . S E C C I Ó N Á U R E A . 3 . S E M E J A N Z A A . S E M E J A N Z A D E T R I Á N G U L O S . B . P O L Í G O N O S S E M E J A N T E S . 4 . E S C A L A S
  • 48. 3.1. PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA 48 Sombra del árbol grande (S) S. árbol pequeño (s) H h Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas H h S s O A’ A B’ B ) alidad proporcion de razón ( k ' AA ' BB ' OA ' OB   H h S s  Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura ¿Con qué razón de proporcionalidad trabajo Tales en esta experiencia? ¿Podrías calcular la altura de un edificio de tu entorno midiendo su sombra y teniendo presente tu altura y la longitud de tu sombra?
  • 49. 3.2. TEOREMA DE TALES 49 Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. O A’ A B’ B ' OB ' B ' A OB AB tambien o ' OB ' OA OB OA   experimenta O A’ A B’ B C’ D’ E’ E D C B’’ C’’ D’’ E’’ r r’
  • 50. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE TALES 50 Toda paralela a un lado de un triángulo ABC determina con los otros dos un nuevo triángulo AMN cuyos lados son proporciona les a los del primero. El teorema de Tales permite dividir un segmento cualquiera en partes iguales. A B C N M P Si en un triángulo ABC tenemos una paralela MN al lado BC, por el teorema de Tales se cumple : ) 1 ( AC AN AB AM  Trazando por N una paralela a AB, por el mismo teorema tenemos: ) 2 ( BC MN BC BP AC AN   De (1) y (2) se deduce: BC MN AC AN AB AM  
  • 51. LA TERCERA PROPORCIONAL. SECCIÓN ÁUREA 51 Un segmento x se llama tercera proporcional de dos segmentos dados a y b si verifica la proporción: a b b x x b b a  También sobre un segmento AB es posible visualizar la tercera proporcional, hasta localizar un punto C del segmento AB de forma que: A B C b x      1 ... 618033989 ' 1 2 5 1     x b b x b : también ó CB AC AC AB    x b x b 1 x b   0 1 2      Resolviendo la ecuación (número áureo o número de oro) experimenta
  • 52. 3.3. LA SEMEJANZA 52 Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos homólogos iguales y sus lados proporcionales Teorema fundamental: Si dos lados de un triángulo se cortan por una paralela al tercero, se obtiene otro triángulo semejante al primero.
  • 53. CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS 53 I. Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados proporcionales. II. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales . III. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido igual. CRITERIOS DE SEMEJANZA
  • 54. POLÍGONOS SEMEJANTES 54 experimenta Polígonos homotéticos Polígonos semejantes son los que se descomponen en triángulos semejantes dispuestos correlativamente. Se llama razón de semejanza de los polígonos a la razón entre sus lados homólogos. P P La razón de los perímetros de dos polinomios semejantes es igual a la razón de semejanza
  • 55. 3.4. ESCALAS 55 Para dibujar piezas demasiado grandes o excesivamente pequeñas, hemos de recurrir a reducir o aumentar su representación gráfica. Diremos que la pieza está dibujada a escala. A la relación entre las dimensiones de la pieza en el dibujo y sus dimensiones reales se le llama escala gráfica. Por ejemplo, si un mapa viene dado a escala 1:30 000, indica que 1 cm del dibujo representa 30 000 cm en la realidad. Según si el primer número es menor o mayor que el segundo, la escala reducirá o ampliará respectivamente el tamaño real del objeto. Algunos instrumentos frecuentemente utilizados en dibujos a escala son: el compás de reducción (resuelta útil para medir) y el pantógrafo (para reproducir dibujos a una escala determinada). AD AE AB AC  El pantógrafo consta de cuatro reglas articuladas con un punto de apoyo A, una punta metálica B para repasar el original y un portalápiz C. Las cuatro reglas forman un paralelogramo articulado BDEF. Los puntos A, B y C están alineados de modo que: experimenta
  • 56. 4. EL TEOREMA DE PITÁGORAS. 1. PITÁGORAS 2. NÚMEROS PARTICULARES 3. TEOREMA DE PITÁGORAS 4. TEOREMA DE LA ALTURA 5. TEOREMA DEL CATETO 6. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS
  • 57. 4.1. PITÁGORAS 57 Se supone que Pitágoras era nativo de Samos y pertenecía, como Tales, a la colonia jónica de griegos establecida en las costas e islas occidentales de lo que actualmente denominamos Asia Menor. Vivió desde aproximadamente 569 a.J.C.. En el año 529 a. J.C. Se instaló en Crotona, una ciudad de la colonia dórica en el sur de Italia, y allí comenzó a disertar sobre filosofía y matemáticas. A su cátedra acudía una muchedumbre de entusiastas auditores de todas clases: muchos de las clases altas e incluso las mujeres infringían una ley que les prohibía asistir a reuniones públicas. Los más interesados de sus discípulos se constituyeron en una sociedad o hermandad. Se les conocía como la Orden de Pitágoras y ejercieron una gran influencia, tanto política como religiosa. más allá del mundo griego. Lo compartían todo, sostenían las mismas creencias filosóficas, se dedicaban a las mismas investigaciones y se comprometían con un juramento a no revelar los secretos y las enseñanzas de la escuela. La estrella pentagonal fue un símbolo distintivo de la hermandad
  • 58. 4.2. NÚMEROS PARTICULARES Los pitagóricos clasificaban los números en pares e impares según formas o estructuras asociadas a ellos: Un número producto de dos factores desiguales, se llamaba oblongo: Si dos factores eran iguales, el número se llamaba cuadrado. El cuadrado n- ésimo de un número es la suma de los n primeros números impares 58 • Los números triángulos eran 1, 3, 6, 10, ...El n-ésimo número triangular es la suma de los n primeros números. Dos triangulares sucesivos forman juntos un cuadrado. • Un número de tres factores se llamaba sólido. Si los tres factores eran iguales, se llamaba cubo. 12=3x2x2 27=3x3x3 • Un número piramidal es la suma de una serie de números cuadrados 5=1+4 14=1+4+9 (8=4x2) 1=1x1 4=2x2=1+3 9=3x3=1+3+5 16=4x4=1+3+5+9 10=1+2+3+4
  • 59. 59 4.3. NÚMEROS PITAGÓRICOS. TEOREMA DE PITÁGORAS b =9 2 c =16 2 Cateto (c) Cateto (b) Catetos: b, c Hipotenusa: a Relación aritmética: a2=b2+c2 3 y 4 5 52=32+42 6 y 8 10 102=62+82 5 y 12 13 132=52+122 7 y 24 25 252=242+72 8 y 15 17 172=152+82 La relación aritmética entre los catetos y la hipotenusa de cualquier triángulo rectángulo se conoce con el TEOREMA DE PITÁGORAS: En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa a2=b2+c2 Los números que verifican esta relación reciben el nombre de números pitagóricos experimenta Demostración
  • 60. 60 4.4. TEOREMA DE LA ALTURA En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí B A C H m n h Por ser los triángulos BHC y CHA semejantes, sus lados son proporcionales: HA HC HC BH  es decir, m h h n  o también, n m h2   TEOREMA DE LA ALTURA: La altura relativa a la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta.
  • 61. 61 4.5. TEOREMA DEL CATETO TEOREMA DEL CATETO: En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella. Por ser los triángulos AHC y ABC semejantes, sus lados son proporcionales: AB AC AC AH  es decir, c b b m  o también, c m b2   B A C H m n h b a c En todo triángulo rectángulo, los triángulos obtenidos al trazar la altura relativa a la hipotenusa son semejantes entre sí
  • 62. 62 4.6. RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS NO RECTÁNGULOS a) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre A C c B H n c-n h b a En el tr. BHC: 2 2 2 BH a h   En el tr. AHC: 2 2 2 n h b   Además:   cn 2 n c n c BH 2 2 2 2      2 2 2 2 2 n cn 2 c n a b      cn 2 c b a 2 2 2    Sustituyendo b) El cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados más el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre cn 2 c b a 2 2 2    c+n B A H h b a c C n 2 2 2 c b a   2 2 2 c b a   2 2 2 2 n BH a b   
  • 63. 63 CLASIFICACIÓN DE UN TRIÁNGULO A PARTIR DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Un triángulo será acutángulo, rectángulo u obtusángulo según que el cuadrado de su lado mayor sea menor, igual o mayor que la suma de los cuadrados de los otros dos lados. experimenta a a a b b b c c c a2 < b2 + c2 a2 = b2 + c2 a2 > b2 + c2
  • 64. 5. LA CIRCUNFERENCIA 1 . E L E M E N T O S D E L A C I R C U N F E R E N C I A 2 . A P R O X I M A C I Ó N D E L N Ú M E R O  3 . N Ú M E R O  4 . R E C TA S Y C I R C U N F E R E N C I A . P O S I C I Ó N R E L AT I VA . 5 . D E T E R M I N A C I Ó N D E U N A C I R C U N F E R E N C I A . 6 . Á N G U L O S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A A . C L A S I F I C A C I Ó N B . M E D I D A D E L O S Á N G U L O S E N U N A C I R C U N F E R E N C I A
  • 65. 5.1. ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA 65 La circunferencia es la línea curva plana y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual distancia (radio) de una punto interior llamado centro. centro arco Además de los elementos de la circunferencia (centro, radio, diámetro, cuerda, arco) es interesante conocer su longitud. Arquímedes (s. III a. J.C.) se imaginaba la circunferencia como la figura obtenida por exhaustión de polígonos regulares inscritos y circunscritos. La longitud de la circunferencia está comprendida entre los perímetros de estos polígonos. 6 lados 12 lados 24 lados 48 lados experimenta
  • 66. 66 5.2. APROXIMACIÓN DEL NÚMERO PI APROXIMACIÓN DE PI PI r 2 D ncia circunfere la de Longitud      
  • 67. 67 5.3. NÚMERO  =3.141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768 73117702027606580198567877822933137487565529317947017508282796173334466023408319243216 87635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831 83662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310 98097354711945038954490522398489502977422015658526826942312277172915188003715954213744 09790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531 01972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230 12060408919386264671305215215681546012337187219967499102525807521244789854019999287501 40444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484 20308402276707050721678865921466212494484986832477878288797603812415562065478620931564 50989687953018938760745711991625401123007401764256137764343829899181448728875101736578 30770622038677712221817255071756829710095282985259500209639009846182514736389221540476 77117559527887469067969625636795619777864860939456802032265224861816378150408453521798 34645518246814994258905547349642243493654651930734174995135826895725830540430184728962 79387141592653591403978482542414219279663919893234825835199074847977463121346731960768 73117702027606580198567877822933137487565529317947017508282796173334466023408319243216 87635134949974377454352133248198885761811719505745205021470871139148235332805353604831 83662955279751612028072444664892727855680669090988811031670562572448775461548369063310 98097354711945038954490522398489502977422015658526826942312277172915188003715954213744 09790826854620142335296358310062946510538128266189475299591957535083704883081720848531 01972250920082320991578814676374916760981384604001501727809094222458503807756917402230 12060408919386264671305215215681546012337187219967499102525807521244789854019999287501 40444434700873906931241145149665810754892261991214344240956063500067139290735051916484 20308402276707050721678865...
  • 68. 68 5.4. RECTAS Y CIRCUNFERENCIA. POSICIÓN RELATIVA  Una recta respecto de la circunferencia puede ser:  Exterior, si no la corta en ningún punto  Tangente, si la corta en un solo punto  Secante, si la corta en dos puntos Exterior Tangente Secante  Dos circunferencias pueden ser entre sí:  Exteriores  Tangentes interiores  Tangentes exteriores  Secantes  Interiores  Concéntricas Concéntricas Exteriores Tangentes interiores Tangentes exteriores Secantes Interiores
  • 69. 69 5.5. DETERMINACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA.  Por un punto A pasan infinitas circunferencias. A  Por dos puntos A y B pasan infinitas circunferencias. A B  Por tres puntos no alineados pasa una única circunferencia A B C
  • 70. 70 5.6. ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA Ángulos Características El vértice del ángulo central coincide con el centro de la circunferencia. El vértice del ángulo interior es un punto interior a la circunferencia. El vértice del ángulo inscrito es un punto de la circunferencia y los lados son rectas secantes. El vértice del ángulo semiinscrito es un punto de la circunferencia y los lados son una recta secante y otra tangente a la circunferencia. El vértice del ángulo exterior es un punto exterior a la circunferencia y los lados pueden ser:  Rectas secantes  Una recta secante y la otra tangente  Rectas tangentes Ángulo central Ángulo interior Ángulo inscrito Ángulo semiinscrito Ángulos exteriores
  • 71. 71 MEDIDA DE LOS ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA  Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente A B C O   2    2 2 2  2 2  2 2 2  2 O 2  g 2 g
  • 72. 72  Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales g 2g g g g 180º 90º  Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos. experimenta experimenta
  • 73. 6. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS 1 . M I D I E N D O S U P E R F I C I E S 2 . Á R E A S D E L O S P O L Í G O N O S M Á S S E N C I L L O S A . E L Á R E A E N L O S P R O D U C T O S N O T A B L E S B . Á R E A D E L T R I Á N G U L O C . Á R E A D E L R O M B O I D E D . Á R E A D E L R O M B O E . Á R E A D E L T R A P E C I O 3 . Á R E A D E U N P O L Í G O N O . 4 . Á R E A D E L C Í R C U L O . 5 . Á R E A D E O T R A S F I G U R A S C I R C U L A R E S . 6 . R A Z Ó N E N T R E L A S Á R E A S D E D O S F I G U R A S S E M E J A N T E S .
  • 74. 74 ÁREAS DE LOS POLÍGONOS MÁS SENCILLOS Para medir superficies es necesario adoptar una unidad patrón y compararla con la extensión de dicha superficie. Las unidades patrón de superficie en el SMD son Mm2, Km2, Hm2, Dm2, m2, dm2, cm2, mm2. Sin embargo, para medir terrenos, se utilizan las llamadas unidades agrarias: Hectárea(Hm2), área (Dm2) y centiárea (m2). 43 u2 46,5 u2 b h Área del rectángulo=Base x altura A=b.h l l Área del cuadrado=lado x lado A=l2
  • 75. 75 ÁREAS DE CUADRILÁTEROS 2 altura base 2 romboide del Área trapecio del Área     h b b h b h Área del romboide=Base x altura A=b.h d d D 2 altura base rombo del Área   2 d D A   B b B+b B b h   2 h b B A    experimenta
  • 76. 76 ÁREA DEL TRIÁNGULO, TRAPEZOIDE, POLÍGONO REGULAR E IRREGULAR. h b b h 2 altura base triángulo del Área   2 h b A   Área del trapezoide o polígono irregular= =Suma de las áreas de los triángulos Área del polígono regular= =Suma de las áreas de los triángulos= =nºde triángulos x área de uno de los triángulos 2 apotema Perímetro 2 a P 2 a l n A        a l
  • 77. UN PROBLEMA CLÁSICO: EL ÁREA DEL CIRCULO 77 Tres problemas muy especiales contribuyeron en gran medida al desarrollo de la matemática en el periodo helénico: La duplicación del cubo o problema de Delos, consiste en determinar el lado de un cubo de volumen doble del otro cubo de lado dado. La trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales con regla y compás. La cuadratura del círculo, nacido seguramente de la necesidad práctica de calcular el área de un círculo, consiste geométricamente en determinar con regla y compás el lado de un cuadrado equivalente a un círculo de radio dado. 2 r 2 r r 2 2 apotema Perímetro círculo del Área        r 2 r A  
  • 78. 78 ÁREA DE OTRAS FIGURAS CIRCULARES R r Área de corona circular= =Área circulo mayor-Área círculo menor   2 2 2 2 r R r R A        R α     º 360 R circular sector del Área 2     º 360 R 2 ncia circunfere de arco un de Longitud
  • 79. 79 EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES b b a a. Toma una cartulina en forma de cuadrado y córtala como se muestra en las figuras. El área del cuadrado se conserva = = + + (a+b)2 = a2 + 2ab + b2 a+b (a+b)2 a b a2 ab ab b2 (a-b)2 a - b = a + - a2 ab ab b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
  • 80. 80 EL ÁREA EN LOS PRODUCTOS NOTABLES a-b b a+b b. Toma una cartulina en forma de cuadrado y recorta un cuadrado de una de sus esquinas. a - b = a - a2 b2 (a+b)(a-b) = a2 - b2 a-b = Recuerda: (a + b)2 = a2 + 2 a b + b2 (a - b)2 = a2 - 2 a b + b2 (a + b) (a - b) = a2 - b2
  • 81. 81 RAZÓN ENTRE LAS ÁREAS DE DOS FIGURAS SEMEJANTES C’ E D A B C F A’ B’ D’ E’ F’ r ' P P ' A ' F FA ' F ' E EF ' E ' D DE ' D ' C CD ' C ' B BC ' B ' A AB        La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza entre ellos: experimenta 2 r ' A A  l’ l l’ l 4 ' A A 2 ' l l   9 ' A A 3 ' l l  
  • 82. ÁREAS DE FIGURAS PLANAS NOMBRE FORMA ÁREA TRIÁNGULOS (Polígono de tres lados) Triángulo CUADRI- LÁ- TEROS (Polígono de cuatro lados) PARALE- LOGRA- MOS (tienen los lados paralelos dos a dos) Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide TRAPE CIOS (Tienen dos lados paralelos) Trapecio (rectángulo, isósceles o escaleno) TRAPE- ZOIDES Trapezoide Se divide en 2 triángulos y se suman sus áreas POLÍGONOS DE n LADOS Polígono regular Polígono irregular Se divide en triángulos y se suman sus áreas Circunferencia Círculo 82 b h l b h D d b h B b h h b 2 1 A   2 l A  h b A   2 d D A   h 2 b B A    h b A   a l 2 a P A   r r 2 L     2 r A   
  • 83. 83 MOVIMIENTOS A TRAVÉS DE LOS MOSAICOS Es posible recubrir las superficies planas con diferentes formas de mosaicos, ahora bien, ¿has pensado lo que sucedería si las piezas fueran todas ellas de un solo tipo de polígono regular? Las baldosas pentagonales no recubren perfectamente el plano No todos los polígonos regulares recubren exactamente el plano. Sólo tres tipos de mosaicos poligonales tienen esta particularidad Mosaicos hexagonales Mosaicos cuadrangulares Mosaicos triangulares
  • 84. 84 MOSAICOS Puesto que todas las piezas han de ser iguales, podemos imaginar que una baldosa genera otra vecina por diferentes tipos de movimientos. La siguiente tabla nos muestra algunos de estos movimientos. T Traslación S Simetría G Giro de 180º de centro el punto medio de un lado: G90º Giro de 90º respecto de un vértice: G180º Giro de 180º respecto de un vértice:
  • 85. 85
  • 86. 86
  • 87. 87 Parte de lo anterior está basado en su mayoría en el libro GEOMETRÍA Y EXPERIENCIAS de la Biblioteca de Recursos Didácticos Alhambra nº 20 en el que se puede encontrar ejercicios sobre los temas vistos en