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RAÍCES


I.-          Escribe en forma exponencial las expresiones siguientes:

       1.             2x =

       2.         3
                      b4 =

       3.     3
                      mx =

       4.     4
                      x 2 y5 =

       5.     5
                  a 3 bc 3 =

       6.     3
                      xy 2 z =

       7.             2 ⋅3 4 =
       8.     5
                      8 ⋅3 2 =

       9.             x⋅ x⋅ x =

       10.             x =

       11.                  x =

       12.    3
                       x =




II.-         Propiedades de las raíces:

1)          Si n es impar             ,   ∀ a ∈ IR ,         n
                                                                 a ∈ IR
2)          Si n es par               ,   n
                                              a ∈ IR        si     a>0
3)          Si n es par               ,   n
                                              a ∉ IR        si     a<0



4)           RAIZ DE UNA POTENCIA CON EXPONENTE IGUAL AL INDICE:

                                                       n
                                                           an =   ( a)
                                                                  n
                                                                      n
                                                                          =a


             Ej.:      ( 7)
                        5
                             5
                                 =7
5)   RAIZ DE UN PRODUCTO:

                                                     n
                                                         a⋅b = n a ⋅n b

     Ej.:   3
                4 ⋅3 2 = 3 8 = 2


6)   RAIZ DE UN CUOCIENTE:


                                                               n
                                                         a         a
                                                     n     =   n
                                                         b         b

                     50           50
     Ej.:                 =          = 25 = 5
                     2             2


4)   RAIZ DE UNA RAIZ:


                                                     n m
                                                           a = nm a


     Ej.:        3
                      64 = 6 64 = 2



5)   AMPLIFICACION Y SIMPLIFICACION DEL INDICE DE UNA RAIZ:


                                         np                                           n: p
                              n
                                  am =        a mp                     ó
                                                                           n
                                                                               am =          a m: p


     Ej.:
                10
                     255 = 10:5 255:5 = 25 = 5

6)   FACTOR DE UNA RAÍZ

                                      a n b = n a nb

     Ej.: 3 2 = 3 2 ⋅ 2 = 18
7)    RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES:

       Racionalizar una fracción con denominadores irracionales consiste en eliminar los radicales de
los denominadores.

       Ejemplos:
       1)   3        3⋅ 2    3 2
               =           =
             2        2⋅ 2    2

        2)     2
                   =
                                   (
                               2⋅ 7 − 2
                                        =
                                          2 7− 2
                                                 =
                                                       )
                                                   2 7− 2           (               ) (   )
              7+ 2        (   7+ 2 7− 2 )(  7−2       5    )



8)     ECUACIONES IRRACIONALES:


       Son aquellas en que la incógnita está como cantidad sub-radical.


       Ejemplo:     1)          2x − 1 + 2 = 7                             / -2
                                       2x - 1 = 5                       / () 2
                               (       2x - 1  =(5 )
                                                   2
                                                               )2
                                       2x - 1 = 25                      / +1
                                                  2x = 26                  / :2
                                                    x = 13




                     2)        6 + 3 3x + 3 = 3                            / () 2
                               6 + 3 3x + 3 = 9                            / -6
                                             3
                                                 3x + 3 = 3                / () 3
                                                 3x + 3 = 27                / -3
                                                      3x = 24              / :3
                                                       x =8
E J E R C I C I O S



I.-                     SUMA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES :


       1.       4 + 25 − 9 =

       2. 3 100 + 5 81 − 6 169
       3.   3 x +5 x −2 x =

                    1 4 16
       4.       3     +    + 0,16 =
                    8   81

                    64       125
       5.       3      − 2⋅3     =
                    27        8

       6.           x4        25 x 2
                      2
                        + 2⋅3        =
                    y          8x6

       7.   3 a 2 + 2 a + 1 + 2 ( a + 1) =

       8.   2 x 2 + 53 x 3 + 4 x 4 =

       9.   3
                1000 + 2 ⋅ 3 64 =




II.-                    DETERMINA EL CONJUNTO EN EL CUAL LAS RAÍCES SEAN REALES :


Aplicación de                  x ∈ IR    ⇔   x≥0

       1.       x −1
       2.       2x +1

       3.       1 − 2 x

       4.        1
                x−3

                x −1
       5.
                x +1

                 2
       6.
                x−5
III.-                 SIMPLIFICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES
    Aplicación de RAIZ DE UN PRODUCTO y RAIZ DE UN CUOCIENTE

    1.        12 =

    2.         45a 5 b 3 =

    3.        ( a + b) 3 =


    4.    3
              8x 3 y 6 =


    5.    3
               24 x 5 y 6 z 3 =


    6.    3
               (2 x + y) 5 =

          n
    7.         a 2 n b 3n c n =

    8.    n
               x 2 n+5 =

    9.    2n
               x 6n y 4n =

               a8   a6
    10.           + 8 =
               b6   b

               45 x 5 y 3
    11.                   =
                48 z 7

               24 x 5 y 3
    12.   3               =
                 54

               a 2 + 2ab + b 2
    13.                        =
                4a 2 + 4a + 1

               a 2 + 2a + 1
    14.                     =
               a 2 − 2a + 1

                    25a 6
    15.                       =
               a 2 − 12a + 36
IV.-                     EXPRESA EN FORMA DE UNA SOLA RAÍZ:

Aplicación de RAIZ DE UNA RAIZ FACTOR DE UNA RAIZ COMO FACTOR SUBRADICAL


      1.       3
                   6 =



      2.   4
                   2x =



      3.           5 3=



      4.       3
                   2 6 =



      5.   4
                   a =



      6.   n
               xmx =



      7.   3 3 3 3 =



      8.           mn m =



V.-                      ESCRIBE LOS SIGUIENTES RADICALES CON ÍNDICE COMÚN :

Aplicación de AMPLIFICACION Y SIMPLIFICACION DEL INDICE DE UNA RAIZ

                                 3
      1.       3     y               2
                                     4
      2.       2         y               3
                             3                       4
      3.           5 ,               2       y            3
           3             4                       6
      4.           x ,       x           y           x
           x                 y                       xy
      5.           4 ,               3       y            6
                                         3
      6.       a+b           y               a+b
VI.-                 ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES :

         Simplifica y luego realiza las siguientes adiciones :

   1.     2 20 + 125 + 45 =

   2.     2 27 + 5 12 − 2 75 =

   3.     - 4 28 + 63 + 6 20 + 2 45 =

   4. 7 8 + 4 75 − 2 32 + 27 =

   5.         a - b -3 a - a -3 b =

   6. a b − 3a b + 5 a 2 b − 4 a 4 b 2 =

   7.     n   p − 2 n p + 18n p − 4n p =

             1    2    3    1
   8.          a−   a+   a−   a=
             2    5    4    3

VII.-                Realiza las siguientes multiplicaciones y simplifica :
         Aplicación de PRODUCTO DE RAICES y CUOCIENTE DE RAICES

   1.         3⋅ 2⋅ 6 =

   2.     3
              3x ⋅ 3 2 x ⋅ 3 16 x 2 =

   3.     4
              2p 3 ⋅ 4 5 p 7 ⋅ 4 7 p 6 =

   4.         2x + 1 ⋅ 2 x + 1 =

   5.            5+ 3⋅          5− 3 =

   6.         2 ⋅3 2 ⋅4 2 =

   7.    3
              3x 2 yz ⋅ 3 9 x 4 y 2 z 5 =

   8.     (2 + 7 )⋅ (3 − 7 ) =
   9.           x+ y⋅           x− y =

   10.        3 a +2 b ⋅ 3 a −2 b

   11. (3 + 5 + 3 )(3 − 5 − 3 ) =

   12.    3
              a + b ⋅ 3 a 2 + 2ab + b 2 =

   13.        2 7+ 5⋅ 2 7− 5 =
VIII.-                      REALIZA LAS SIGUIENTES DIVISIONES Y SIMPLIFICA :



      1.           50 : 2 =

      2.       3
                    54x 5 y 15 : 3 2x 2 y 3 =

      3.   (12 20 − 18 15 ) : 6 5 =

      4.           a 2 − 6a + 9 : a - 3 =
           4
      5.           3 5 : 24 2 =
           3
      6.           3 2 :6 5 =

      7.   (30                                  )(   )
                           6a − 27 18a + 18 12a : 6 6a =




IX.                         RACIONALIZA LOS DENOMINADORES :


               5
      1.               =
                   3

                   2
      2.                    =
               3 2

               3
      3.   3
                       =
                   3

           a b
      4.                   =
           b a

                   a
      5.       3
                            =
                   ab

                   mn
      6.                        =
               4
                   m3n

                       3
      7.                        =
           1+ 2
2+ 3
8.                 =
      2- 3

          5 2
9.                     =
          5+ 3

           2 3
10.                        =
      3 5 −2 2

      a+ b
11.                =
      a- b

               ab
12.                        =
          a b +b a

           1+ a
13.                    =
      a - 1- a

           1
14.                    =
      3
          2+3 3

               5
15.                        =
      2+ 3− 2

               3 2
16.                            =
          5− 3+ 2

          3 2
17.                    =
      3
          4− 2

           a
18.                    =
      3
          a+ b
X.-                 DETERMINA EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE CADA ECUACIONES:



      1.    x−3 = 5

      2.    x −1 = x − 3

      3.    x( x − 3) − x = 5

      4.    x2 + 4 − 3 = x − 2

      5.    1 + 7x = 2 2


      6.    3+ 4+ x −8 = 3

      7.    2x − 1 + 2x + 1 = 3

      8. 1 + x = x + 7

      9.        x -1 + x + 8 = 9

      10.       4x + 9 − x − 1 = x + 6

      11.   (    x −7   )(         ) (
                               x +3 =    x −6   )(   x −5   )
      12.       x - 1- x + x =1

                x +1           x +3
      13.              =
                x +3           x +6

            5 x + 13           3
      14.                  =
            7 x +5             2

      15.       x - 1- x + x =1

      16.       2x - 1 − 2 − x - x + 8 = 0

      17.        x 2 - 3x + 4 = 2

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Guía ejercicios operatoria de raices, racionalización, ecuaciones irracionales

  • 1. RAÍCES I.- Escribe en forma exponencial las expresiones siguientes: 1. 2x = 2. 3 b4 = 3. 3 mx = 4. 4 x 2 y5 = 5. 5 a 3 bc 3 = 6. 3 xy 2 z = 7. 2 ⋅3 4 = 8. 5 8 ⋅3 2 = 9. x⋅ x⋅ x = 10. x = 11. x = 12. 3 x = II.- Propiedades de las raíces: 1) Si n es impar , ∀ a ∈ IR , n a ∈ IR 2) Si n es par , n a ∈ IR si a>0 3) Si n es par , n a ∉ IR si a<0 4) RAIZ DE UNA POTENCIA CON EXPONENTE IGUAL AL INDICE: n an = ( a) n n =a Ej.: ( 7) 5 5 =7
  • 2. 5) RAIZ DE UN PRODUCTO: n a⋅b = n a ⋅n b Ej.: 3 4 ⋅3 2 = 3 8 = 2 6) RAIZ DE UN CUOCIENTE: n a a n = n b b 50 50 Ej.: = = 25 = 5 2 2 4) RAIZ DE UNA RAIZ: n m a = nm a Ej.: 3 64 = 6 64 = 2 5) AMPLIFICACION Y SIMPLIFICACION DEL INDICE DE UNA RAIZ: np n: p n am = a mp ó n am = a m: p Ej.: 10 255 = 10:5 255:5 = 25 = 5 6) FACTOR DE UNA RAÍZ a n b = n a nb Ej.: 3 2 = 3 2 ⋅ 2 = 18
  • 3. 7) RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES: Racionalizar una fracción con denominadores irracionales consiste en eliminar los radicales de los denominadores. Ejemplos: 1) 3 3⋅ 2 3 2 = = 2 2⋅ 2 2 2) 2 = ( 2⋅ 7 − 2 = 2 7− 2 = ) 2 7− 2 ( ) ( ) 7+ 2 ( 7+ 2 7− 2 )( 7−2 5 ) 8) ECUACIONES IRRACIONALES: Son aquellas en que la incógnita está como cantidad sub-radical. Ejemplo: 1) 2x − 1 + 2 = 7 / -2 2x - 1 = 5 / () 2 ( 2x - 1 =(5 ) 2 )2 2x - 1 = 25 / +1 2x = 26 / :2 x = 13 2) 6 + 3 3x + 3 = 3 / () 2 6 + 3 3x + 3 = 9 / -6 3 3x + 3 = 3 / () 3 3x + 3 = 27 / -3 3x = 24 / :3 x =8
  • 4. E J E R C I C I O S I.- SUMA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES : 1. 4 + 25 − 9 = 2. 3 100 + 5 81 − 6 169 3. 3 x +5 x −2 x = 1 4 16 4. 3 + + 0,16 = 8 81 64 125 5. 3 − 2⋅3 = 27 8 6. x4 25 x 2 2 + 2⋅3 = y 8x6 7. 3 a 2 + 2 a + 1 + 2 ( a + 1) = 8. 2 x 2 + 53 x 3 + 4 x 4 = 9. 3 1000 + 2 ⋅ 3 64 = II.- DETERMINA EL CONJUNTO EN EL CUAL LAS RAÍCES SEAN REALES : Aplicación de x ∈ IR ⇔ x≥0 1. x −1 2. 2x +1 3. 1 − 2 x 4. 1 x−3 x −1 5. x +1 2 6. x−5
  • 5. III.- SIMPLIFICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES Aplicación de RAIZ DE UN PRODUCTO y RAIZ DE UN CUOCIENTE 1. 12 = 2. 45a 5 b 3 = 3. ( a + b) 3 = 4. 3 8x 3 y 6 = 5. 3 24 x 5 y 6 z 3 = 6. 3 (2 x + y) 5 = n 7. a 2 n b 3n c n = 8. n x 2 n+5 = 9. 2n x 6n y 4n = a8 a6 10. + 8 = b6 b 45 x 5 y 3 11. = 48 z 7 24 x 5 y 3 12. 3 = 54 a 2 + 2ab + b 2 13. = 4a 2 + 4a + 1 a 2 + 2a + 1 14. = a 2 − 2a + 1 25a 6 15. = a 2 − 12a + 36
  • 6. IV.- EXPRESA EN FORMA DE UNA SOLA RAÍZ: Aplicación de RAIZ DE UNA RAIZ FACTOR DE UNA RAIZ COMO FACTOR SUBRADICAL 1. 3 6 = 2. 4 2x = 3. 5 3= 4. 3 2 6 = 5. 4 a = 6. n xmx = 7. 3 3 3 3 = 8. mn m = V.- ESCRIBE LOS SIGUIENTES RADICALES CON ÍNDICE COMÚN : Aplicación de AMPLIFICACION Y SIMPLIFICACION DEL INDICE DE UNA RAIZ 3 1. 3 y 2 4 2. 2 y 3 3 4 3. 5 , 2 y 3 3 4 6 4. x , x y x x y xy 5. 4 , 3 y 6 3 6. a+b y a+b
  • 7. VI.- ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES : Simplifica y luego realiza las siguientes adiciones : 1. 2 20 + 125 + 45 = 2. 2 27 + 5 12 − 2 75 = 3. - 4 28 + 63 + 6 20 + 2 45 = 4. 7 8 + 4 75 − 2 32 + 27 = 5. a - b -3 a - a -3 b = 6. a b − 3a b + 5 a 2 b − 4 a 4 b 2 = 7. n p − 2 n p + 18n p − 4n p = 1 2 3 1 8. a− a+ a− a= 2 5 4 3 VII.- Realiza las siguientes multiplicaciones y simplifica : Aplicación de PRODUCTO DE RAICES y CUOCIENTE DE RAICES 1. 3⋅ 2⋅ 6 = 2. 3 3x ⋅ 3 2 x ⋅ 3 16 x 2 = 3. 4 2p 3 ⋅ 4 5 p 7 ⋅ 4 7 p 6 = 4. 2x + 1 ⋅ 2 x + 1 = 5. 5+ 3⋅ 5− 3 = 6. 2 ⋅3 2 ⋅4 2 = 7. 3 3x 2 yz ⋅ 3 9 x 4 y 2 z 5 = 8. (2 + 7 )⋅ (3 − 7 ) = 9. x+ y⋅ x− y = 10. 3 a +2 b ⋅ 3 a −2 b 11. (3 + 5 + 3 )(3 − 5 − 3 ) = 12. 3 a + b ⋅ 3 a 2 + 2ab + b 2 = 13. 2 7+ 5⋅ 2 7− 5 =
  • 8. VIII.- REALIZA LAS SIGUIENTES DIVISIONES Y SIMPLIFICA : 1. 50 : 2 = 2. 3 54x 5 y 15 : 3 2x 2 y 3 = 3. (12 20 − 18 15 ) : 6 5 = 4. a 2 − 6a + 9 : a - 3 = 4 5. 3 5 : 24 2 = 3 6. 3 2 :6 5 = 7. (30 )( ) 6a − 27 18a + 18 12a : 6 6a = IX. RACIONALIZA LOS DENOMINADORES : 5 1. = 3 2 2. = 3 2 3 3. 3 = 3 a b 4. = b a a 5. 3 = ab mn 6. = 4 m3n 3 7. = 1+ 2
  • 9. 2+ 3 8. = 2- 3 5 2 9. = 5+ 3 2 3 10. = 3 5 −2 2 a+ b 11. = a- b ab 12. = a b +b a 1+ a 13. = a - 1- a 1 14. = 3 2+3 3 5 15. = 2+ 3− 2 3 2 16. = 5− 3+ 2 3 2 17. = 3 4− 2 a 18. = 3 a+ b
  • 10. X.- DETERMINA EL CONJUNTO SOLUCIÓN DE CADA ECUACIONES: 1. x−3 = 5 2. x −1 = x − 3 3. x( x − 3) − x = 5 4. x2 + 4 − 3 = x − 2 5. 1 + 7x = 2 2 6. 3+ 4+ x −8 = 3 7. 2x − 1 + 2x + 1 = 3 8. 1 + x = x + 7 9. x -1 + x + 8 = 9 10. 4x + 9 − x − 1 = x + 6 11. ( x −7 )( ) ( x +3 = x −6 )( x −5 ) 12. x - 1- x + x =1 x +1 x +3 13. = x +3 x +6 5 x + 13 3 14. = 7 x +5 2 15. x - 1- x + x =1 16. 2x - 1 − 2 − x - x + 8 = 0 17. x 2 - 3x + 4 = 2