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GEOMETRIA ANALÍTICA
LAS SECCIONES CÓNICAS
Pascual  Teorías  02/11/2016
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 1
LAS SECCIONES CÓNICAS
RESEÑA HISTÓRICA
El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los tres
problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o problema de Delos.
"...la peste se llevó una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión que
produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema...","...Se envió una
delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo
que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer
los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste,
obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos ..."
Fue Hipócrates de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo
siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran y Menecmo halló dichas
curvas como secciones de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos
(amblitoma). Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un tratamiento tan exhaustivo que
desplaza a todos los anteriores, y quien da una formulación definitiva.
Todo este estudio de estas formulaciones se encuentra en "Las Cónicas", que son ocho libros
dedicados al estudio de las cónicas. Dicho tratado fue considerado como el corpus más
completo que recogía los conocimientos sobre tales curvas de todo la Antigüedad. Con
posterioridad el rastro de los ocho libros de Las Cónicas de Apolonio se perdió, de tal modo
que su legado ha llegado hasta nosotros de diversas formas.
Sólo los cuatro libros primeros se conservan en griego. El octavo desapareció en su totalidad,
pero, gracias a la traducción al árabe de los libros V al VII que realizara Thabit ibn Qurra, se
conservaron los siete primeros. Todos ellos traducidos al latín en los siglos XVI y XVII por
Johanms Baptista Memus en 1537 y Abraham Echellencis y Giacomo Alfonso Borelli en 1661.
Estos libros contienen 387 teoremas bien demostrados, algunos conocidos por matemáticos
anteriores a Apolonio, pero la mayoría de ellos inéditos. En cuanto a la elaboración de Las
Cónicas sabemos que, residiendo en Alejandría, Apolonio fue visitado por un geómetra llamado
Naucrates, y, a petición de este último, escribió un apresurado borrador de Las Cónicas en
ocho libros. Más tarde, ya en Pérgamo, perfeccionó y pulió el contenido de su primera obra.
El propio Apolonio nos describe en la introducción de su primer libro el contenido del resto.
Resumiremos los ocho libros a continuación:
 El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.
 El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 2
 El libro III: (el preferido de Apolonio).
 El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.
 El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.
 El libro VI: trata sobre cónicas semejante.
 El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados.
 El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice.
Apolonio les da su nombre definitivo Ellipsis (deficiencia), se utilizaba cuando un rectángulo
dado debía de aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado. Mientras que la
palabra Hyperbola (avanzar más allá) se adoptó para el caso en que el área excedía del segmento
dado, y por último la palabra Parábola (colocar al lado o comparar) indicaba que no había
deficiencia ni exceso.
Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto,
variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y "a partir del cono
dedujo una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto
esté situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas
por métodos planimétricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de la
matemática antigua".
LAS SECCIONES CÓNICAS
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las
diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se
obtienen las cónicas propiamente dichas.
Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. La primera definición
conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 340 a.C (Menecmo) donde
las definieron como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola,
parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge.
Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones
provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría
proyectiva, etc.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 3
CLASIFICACIÓN
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano
respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Y β= 180º : Triangular
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, cuando
el plano contenga al eje del cono (β = 0).
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 4
Cuando un plano corta a un cono circular recto de dos mantos, la sección que resulta de dicho
corte determina ciertas curvas llamadas cónicas:
 Si el plano que corta no pasa por el vértice del cono, la sección que resulta es una elipse (o
una circunferencia), una parábola o una hipérbola y reciben el nombre de cónicas regulares.
 Si el plano que corta pasa por el vértice del cono, la sección resultante puede consistir en un
punto, dos rectas que se cortan, dos rectas coincidentes o una curva imaginaria y reciben el
nombre de cónicas degeneradas.
Un punto Dos rectas que se cortan Dos rectas coincidentes
Hay varias formas de estudiar las cónicas:
1) Se puede estudiar como hicieron los griegos, como se vio en las figuras anteriormente,
en términos de intersecciones del cono con planos.
2) Se puede estudiar como propiedades geométricas o analíticas de Matrices.
3) Se puede estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos
variables x e y:
4) Se puede estudiar como lugares geométricos de puntos que cumplen ciertas propiedades
geométricas.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 5
ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
Una ecuación de segundo grado de la forma:
representa, salvo casos particulares que describiremos en breve, una parábola, una elipse o una
hipérbola. Los casos en los que no sucede ninguno de los casos anteriores son llamadas
secciones cónicas degeneradas y corresponden, de acuerdo con el enfoque geométrico, a los
siguientes objetos:
1) Un punto. Es el caso en el que el plano secante interseca a todas las generatrices (como en
el caso de la elipse), con la particularidad de que lo hace, justamente en el vértice del cono.
El punto obtenido de esta sección es llamado elipse degenerada. El gráfico siguiente identifica
el caso.
2) La recta doble. Cuando el plano secante es paralelo a una única generatriz (como en el
caso de la parábola), y contiene al vértice del cono, también contiene a la recta generatriz,
con lo cual la intersección entre el cono y el plano secante es precisamente la recta
generatriz. Se le conoce como una parábola degenerada. El gráfico siguiente identifica el
caso.
3) Rectas intersecantes. Es el caso llamado hipérbola degenerada y corresponde al caso en
el que el plano secante es paralelo a dos generatrices, con la particularidad de que la
intersección incluye al vértice y por lo tanto incluye a las dos generatrices paralelas al plano.
El gráfico siguiente identifica el caso.
Un punto Recta Doble Rectas Intersecantes
Sea la ecuación de segundo grado en las variables en x e y, donde los coeficientes A, B y C no
sean simultáneamente cero.
Se presentan los siguientes criterios:
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 6
CRITERIO CUANDO B = 0:
a) Si en la ecuación general de segundo grado, el coeficiente B=0, la ecuación resultante:
Representa un lugar geométrico que siempre es una cónica (si no es degenerada):
 Si A=0 ó C=0 será una Parábola
 Si A y C tienen el mismo signo será una Elipse.
 Si A = C será una Circunferencia
 Si A y C son de signos contrarios será una Hipérbola.
 Los coeficientes D y E indican que el centro de la cónica (cuando lo hay), está fuera
del origen de coordenadas, Si D=0, el centro está sobre el eje “Y”; Si E=0 está sobre
el eje “X”.
 El término independiente F: si F ≠ 0, indica que la cónica no pasa por el origen; Si
F=0, indica que la cónica pasa por el origen.
 Los ejes de estas cónicas serán paralelos a los ejes coordenados X e Y.
CRITERIO CUANDO B ≠ 0:
b) En la ecuación general de segundo grado, si B≠0, entonces los coeficientes A, B y C,
nos permiten identificar qué tipo de cónica se tiene (también en el caso degenerado)
procediendo a analizar el discriminante (o invariante) como sigue:
 Si I = 0, se trata de una Parábola (o como caso degenerado un par de rectas
paralelas o coincidentes).
 Si I < 0, se trata de una Elipse (o como caso degenerado un punto).
 Si I > 0, se trata de una Hipérbola (o como caso degenerado un par de rectas que
se cortan).
 Los coeficientes D y E indican que el centro de la curva (si los hay) está fuera del
origen: Si D=0, el centro está sobre el eje “Y”; Si E=0, estará sobre el eje “X”.
 El término independiente F: Si F≠0, indica que la curva no pasa por el origen; Si F=0,
indica que la curva si pasa por el origen.
 Los ejes de estas cónicas son oblicuos respecto a los ejes coordenados X e Y.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 7
LA EXCENTRICIDAD
Otra forma que se puede emplear para identificar el tipo de cónica que
se tiene, es aplicando el concepto de excentricidad, el cual podemos
definir como "El lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve de
manera que la relación de la distancia de "P" a un punto fijo "F" llamado
foco y la distancia del mismo punto "P" a una recta fija "/" llamada
directriz, es una constante no negativa "e" llamada EXCENTRICIDAD
de la cónica".
Si tomamos al eje “Y” como directriz y al foco sobre el eje “X” como se muestra en la figura
anterior. Aplicando la definición anterior, es decir:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
Expresándola analíticamente, haciendo operaciones y simplificaciones, se tiene:
̅̅̅̅
̅̅̅̅
√( )
√( )
( ) ( )
( ) (1)
Se conoce a la ecuación (1) como la ecuación general de las cónicas en función de la
excentricidad y en donde, se tienen los siguientes criterios:
 Si e=0, la ecuación (1) resulta:
Que representa a una Circunferencia que degenera en un punto.
 Si e=1. La ecuación (1) resulta:
Que representa a una Parábola.
 Si , , ( ) y haciendo en la ecuación (1) resulta la ecuación:
que representa a una Elipse.
 Si , , ( ) y haciendo en la ecuación (1) resulta la
ecuación:
que representa a una Hipérbola.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 8
TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES
Algunas veces la ecuación de una cónica se puede escribir de una manera más simple mediante
una traslación y/o una rotación de ejes, que por ciertas razones sea más convenientes para el
problema que se esté resolviendo, donde un punto P arbitrario tenga diferentes coordenadas en
diferentes sistemas coordenados.
Con una traslación de los ejes originales, se consigue que el centro de una curva se ubique en el
origen de los nuevos ejes.
Una rotación se aplica cuando la curva es oblicua respecto a los ejes originales, logrando que sea
paralela respecto a los nuevos ejes (generalmente una ecuación de segundo grado en dos
variables con término en (xy) es oblicua).
Algunas veces es necesario con las cónicas, efectuar una traslación de ejes y también una
rotación para presentar más simplificada su ecuación dependiendo del problema que se
resuelve.
TRASLACIÓN
El proceso de traslación de un par de ejes a otro par de ejes,
implica una transformación de coordenadas en donde tanto los
ejes originales como los nuevos son paralelos y sin alterar la
unidad de medida. La siguiente figura nos proporciona ayuda
para encontrar las fórmulas de transformación:
 Las coordenadas del nuevo origen referidas al sistema
original son O´(h,k).
 P(x,y) en el sistema original, P(x´,y´) en el nuevo sistema.
De la figura anterior se observa que:
Estas son las fórmulas de transformación, donde al sustituir en , en en la
ecuación de una curva que esté referida a los ejes originales x, y; esto da por resultado una
ecuación de la misma curva pero ahora referida a los nuevos ejes x´ y y´, trasladados.
ROTACIÓN
Algunas veces también surge la necesidad de cambiar
el sistema original rotándolo un ángulo  para
obtener un nuevo sistema, que pueda permitir
escribir una curva en una forma más simple, en
donde un punto arbitrario P tenga diferentes
coordenadas en los diferentes sistemas
coordenados.
Nos apoyaremos con la figura anterior para mostrar cómo podemos lograr una rotación de
ejes:
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 9
Si y , entonces
( ) y por trigonometría se tiene que:
( )
( )
Si y , entonces
( ) y por trigonometría se tiene que:
( )
( )
Al sustituir las expresiones (1) y (2) en la ecuación general de segundo grado en las variables X
e Y:
y después de hacer operaciones y simplificaciones se obtiene la ecuación siguiente:
En donde:
( ) (*)
Como parte fundamental de la simplificación de la ecuación general es desaparecer el término
“Bxy”, esto se logra si el coeficiente (*) es igual cero (0) o sea que:
( )
Dónde:
( )
x´ y´
x´ y´
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 10
La expresión ; A≠C, que permite conocer el ángulo de rotación “” de los ejes X,
Y. Si en la expresión (*) A=C. se tiene , la cual tendrá solución cuando , ya
que sabemos que .
EN RESUMEN
La ecuación de segundo grado en dos variables X, Y:
Si B≠0: se tiene la ecuación de la forma:
Está ecuación nos indica que las cónicas tienen rotaciones, es decir, son oblicuas respecto del
plano xy.
Si B=0: se tiene la ecuación de la forma:
,
Está ecuación representa una cónica que tienen ejes paralelos o coincidentes a los ejes
coordenados del plano xy.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 11
LAS CÓNICAS COMO LUGAR GEOMETRICO.
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o
propiedades geométricas. Todo lugar geométrico del plano es la gráfica cartesiana de una
ecuación en dos variables x e y de la forma F(x, y)=0. La ecuación de un lugar geométrico del
espacio es de la forma F(x, y, z)=0. Recíprocamente, el conjunto de todos los puntos (x, y) del
plano que satisfacen la ecuación F(x, y)=0 representan una curva en el plano. Y el conjunto de
todos los puntos (x,y,z) del espacio que satisfacen la ecuación F(x, y, z)=0 representan una
superficie.
Ejemplos de lugares geométricos en el plano:
El lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos A y B es una recta o
eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento
̅̅̅̅, dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y es la recta que se interseca
perpendicularmente a ̅̅̅̅ en su punto medio.
La bisectriz es también un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad
de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo, convirtiéndose la bisectriz en
un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación.
Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela
media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto
de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de
paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si,
por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha
dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es
disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo).
Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares de geometría:
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto
determinado, el centro, es un valor dado (el radio).
La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos
fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse).
La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su
distancia a una recta llamada directriz.
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia
entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que
equivale a la distancia entre los vértices.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 12
ESTUDIOS DE LA CIRCUNFERENCIA
Definición: La circunferencia de Centro C y radio r, es el lugar geométrico de los puntos del
plano X, cuya distancia al centro C es el radio r: ( )
Si P(x,y) y C(h,k), se tiene: ( )
( ) √( ) ( ) ( ) ( )
Desarrollando tenemos:
Comparando con:
{
Cuando , la ecuación anterior queda de la forma:
( )
Donde (*) es la ecuación general de la circunferencia
Dónde:
El Centro: ( ) ( )
El radio: √
Se denomina circunferencia, al lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo llamado centro.
Llamamos radio de la circunferencia a la distancia de un punto cualquiera de dicha
circunferencia al centro.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 13
De la ecuación (*):
( )
Si desarrollamos y realizamos operaciones se tiene que:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Dónde:
Centro es ( ) Y El radio √
También se observa que:
Si , la circunferencia es real
Si , la circunferencia es imaginaria.
Si , el radio es cero y la ecuación representa al punto ( ).
Ecuación Analítica de la Circunferencia
Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier
punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que
responde al teorema de Pitágoras: (1)
Donde (1) representa la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen
C(0,0).
Puesto que la distancia entre el centro (h, k) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la
circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que:
( – ) ( – ) (2)
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 14
Donde (2) representa la ecuación canónica de la circunferencia con centro en C(h,k).
RECTAS SECANTES, TANGENTES Y EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA.
Dada la ecuación general de la circunferencia:
(*), y la ecuación de la recta , (**), reemplazando el
valor de la recta (**) en la ecuación de la circunferencia (*) se obtiene que:
( ) ( )
( ) ( )
Si hacemos:
La ecuación nos queda:
Empleando la Resolvente de la ecuación de segundo grado tenemos:
√
Si el radicando o discriminante cumple:
{
POTENCIA DE UN PUNTO P(Xo,Yo) EN RELACIÓN A UNA
CIRCUNFERENCIA
Definición:
Dados un punto ( ) y una circunferencia de centro C(h,k) y radio “r” se denomina
potencia del punto P en relación a la circunferencia dada, al número real:
( )
Dónde:
d: es la distancia de ( ) al centro C(h,k).
De la definición se tiene:
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 15
1) Si Pot(P)>0, entonces ( ) es punto exterior a la circunferencia. En este caso, la
potencia de P es igual al cuadrado de la longitud de la tangente trazada desde P, es decir:
( )
2) Si Pot(P)=0, entonces ( ) pertenece a la circunferencia.
3) Si Pot(P)<0, entonces ( ) es interior a la circunferencia.
4) Si la ecuación de la circunferencia de centro C(h,k) es: ( ) ( ) ,
entonces la potencia del punto P(x0,y0) será: ( ) ( ) ( )
5) Si la ecuación de la circunferencia es de la forma: , entonces la
Potencia del punto P(x0,y0): ( )
NOTA:
De las dos anteriores fórmulas de la potencia podemos concluir que la potencia de un punto en
relación a una circunferencia está dada por el valor que adquiere el primer miembro de la
ecuación de esta circunferencia, cuando se sustituyen las variables x e y por las coordenadas del
punto.
EJE RADICAL
Definición:
Dadas dos circunferencias no concéntricas, el eje radical de las dos circunferencias es el lugar
geométrico de los puntos del plano cuyas potencias respecto a cada una de las circunferencias
dadas son iguales.
Consideremos dos circunferencias no concéntricas cuyas ecuaciones son las siguientes:
Si ( ) es un punto del eje radical, sus potencias en relación a las circunferencias dadas son,
respectivamente:
Por la definición del eje radical se verifica que , esto es:
Simplificando se tiene:
( ) ( ) ( )
Como las circunferencias no son concéntricas, entonces ó , lo que implica que
por lo menos uno de los coeficientes, de x ó de y, no es nulo, luego, la ecuación anterior (*)
representa a una recta, llamada eje radical que tiene la propiedad de ser perpendicular a la recta
que pasa por los centros de las circunferencias.
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS.
1) Intersección de circunferencia:
Dadas las circunferencias:
( ) ( )
( ) ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 16
Hallar la intersección de y y determinar los puntos P(x,y) que pertenecen a las curvas.
Si P(x,y) pertenecen a y , entonces P satisface al sistema:
{
( ) ( )
( ) ( )
Que puede ser resuelto así:
a) Restar miembro a miembro las ecuaciones de las circunferencias
b) Despejando de una de las ecuaciones del sistema, una de las variables en primer grado y
sustituirla en una de las ecuaciones restante del sistema.
2) Posiciones relativas de 2 circunferencias:
Las posiciones relativas de 2 circunferencias de ecuaciones:
( ) ( )
( ) ( )
Se determina comparando la distancia entre los centros ( ), con la suma de sus radios
ó con la diferencia de los radios | |.
Calculando la distancia entre los centros:
( ) √( ) ( )
Son posibles 6 casos:
Caso 1.
Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que:
̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅⏟
Aquí las circunferencias son exteriores
Caso II.
Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que:
̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟
Lo que confirma que las circunferencias son tangentes exteriores.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 17
Caso III. | |:
Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que:
̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅⏟ | |
Las circunferencias son tangentes interiores.
Caso IV. | | .
Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que:
̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟
̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟
Por lo tanto las circunferencias son secantes.
Caso V. | |
Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que:
̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟
Circunferencia de menor radio e interior a otra.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 18
Caso VI. d=0
Es el caso particular 5. Aquí las circunferencias son concéntricas.
OBSERVACIONES:
Teniendo en cuenta el eje radical las posiciones de las circunferencias:
1.- Si las circunferencias son concéntricas el eje radical no existe.
2.-Si las circunferencias son secantes el eje radical pasa por los puntos de intersección de las
circunferencias, es decir, el eje radical contiene a la cuerda común.
3.-Si las circunferencias son exteriores el eje radical es perpendicular al segmento que une
los centros. Si las circunferencias tienen el mismo radio, el eje radical pasa por el punto
medio del segmento que une los centros.
4.-Si las circunferencias son interiores el eje radical perpendicular a la recta que une sus
centros, pasa por un punto exterior a la circunferencia de mayor radio y está a menor
distancia del centro de la circunferencia de menor lado.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 19
5.-Si las circunferencias son tangentes exteriores, entonces el eje radical es la tangente
común.
6.-Si las circunferencias son tangentes interiores entonces el eje radical es la tangente común
a ambas circunferencias.
DISTANCIA MÁXIMA Y MÍNIMA A UNA CIRCUNFERENCIA
La distancia mínima (máxima) de un punto a una circunferencia, es la longitud del menor
(mayor) de los segmentos de Normal comprendidos entre el punto y la circunferencia. Se
presentan dos casos:
a) El punto es interior a la circunferencia
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 20
b) El punto es exterior a la circunferencia:
| | distancia mínima
| | distancia máxima
FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS
El método usado para hallar la familia de rectas servirá para hallar la ecuación de familias de
circunferencias que pasen por las Intersecciones de dos circunferencias. Para ello consideremos:
( )
( )
Y al tomar k como parámetro, la ecuación:
( )
Supongamos ahora que las ecuaciones A y B representan circunferencias que se intersecan en
dos puntos. Entonces, si k es un parámetro, con la ecuación C representa una familia de
circunferencias que pasan por los puntos de intersección de las circunferencias dadas. Esto es
cierto, pues las coordenadas de un punto de intersección, al sustituirlas por x e y, reducen la
ecuación C a: 0 + k0 = 0. Si las circunferencias dadas son tangentes entre sí la ecuación C
representa la familia de circunferencias que pasan por el punto de tangencia.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 21
LA PARÁBOLA
Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto
fijo y de una recta fija del plano. El punto fijo se llama foco y a la recta fija, directriz. (Fuller
113).
También tenemos otra definición de parábola el cual se señala, que la parábola es: El lugar
geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta
fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no
pertenece a la recta. (Lehmann, 151)
El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. La definición excluye el caso
en que el foco está sobre la directriz.
Designemos por F y L, el foco y la recta fija directriz de la parábola, respectivamente. La recta
“a” que pasa por F y es perpendicular a L se llama eje de la parábola. Sea A el punto de
intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF, está, por
definición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El segmento de recta, tal como BB´,
que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda, en particular, una
cuerda que pasa por el foco como CC´, se llama cuerda focal. La cuerda focal LL´
perpendicular al eje de simetría y pasa por el foco F, se llama lado recto. Si P es un punto
cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de
P, o radio vector.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 22
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE UN EJE
COORDENADO. (Forma Canónica).
1.-Parábola Horizontal:
a) La ecuación de una parábola de vértice en el origen V(0,0) y el eje de simetría el
eje X, es:
En donde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es . La gráfica abre
hacia la derecha.
b) La ecuación de una parábola de vértice en el origen V(0,0) y el eje de simetría el
eje X, es:
En donde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es . La gráfica abre
hacia la izquierda.
V(0,0) F(p,0)
V(0,0
)
F(-p,0)
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 23
EN RESUMEN:
La parábola con centro en el origen C(0,0) y eje de simetría el eje “X”, es una parábola
horizontal tiene la ecuación canónica:
Ecuación Canónica:
Foco: ( )
Directriz:
Vértice: V(0,0)
La cual cumple las siguientes propiedades:
a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha.
b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda.
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el
coeficiente del término de primer grado: | |
2.- Parábola Vertical:
a) La ecuación de una parábola de vértice en el origen V(0,0) y el eje de simetría el
eje Y, es:
En dónde el foco es el punto ( ), y la ecuación de la directriz es .
b) La ecuación de una parábola de vértice en el origen V(0,0) y el eje de simetría el
eje Y, es:
En dónde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es
V(0,0)
F(0,p)
V(0,0)
F(0,-p)
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 24
EN RESUMEN:
La parábola con centro en el origen C(0,0) y eje de simetría el eje “Y”, es una parábola vertical
tiene la ecuación canónica:
Ecuación Canónica:
Foco: ( )
Directriz:
Vértice: V(0,0)
La cual cumple las siguientes propiedades:
a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba.
b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo.
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el
coeficiente del término de primer grado.
| |
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN Y EJE UN EJE
COORDENADO. (Forma Canónica).
a).-Parábola Horizontal:
La ecuación de una parábola de vértice fuera del origen V(h,k) y el eje de simetría
el eje X, es:
( ) ( )
En donde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es .
a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha.
b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda.
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el
coeficiente del término de primer grado.
| |
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 25
b).-Parábola Vertical: La ecuación de una parábola de vértice fuera del origen
V(h,k) y el eje de simetría el eje Y, es:
( ) ( )
En donde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es .
a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba.
b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo.
En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el
coeficiente del término de primer grado.
| |
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 26
De la ecuación de segundo grado en las variables x e y, que es llamada la ecuación de 2do grado
de las cónicas:
Si B=0, la ecuación anterior queda de la siguiente forma:
Donde
También puede presentarse que uno de los coeficientes de las variables al cuadrado sea igual a
cero, por lo que la gráfica de la curva será una parábola, una línea recta, dos líneas rectas o un
conjunto vacío. Así:
a) Si A=0, C≠0 y D≠0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo(o coincide)
con el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al
eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar geométrico, según que
las raíces de la ecuación sean reales y desiguales, reales e iguales o
complejas.
b) Si A≠0, C=0 y E≠0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o
coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuación representa dos recta diferentes
paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico,
según que las raíces de , sean reales y desiguales, reales e iguales o
complejas.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 27
LAS ECUACIÓN DE LAS ELIPSES
La elipse es la figura geométrica que se obtiene de interceptar un cono con un plano cuyo
ángulo con eje es mayor que el que forma dicho eje con la generatriz.
Definición:
La elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) que cumplen que la suma de las distancias a
dos puntos fijos denominados focos de la elipse(F2F1) es constante.
( ) ( )
Donde
Distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅̅
Distancia del Eje Principal ó Mayor: ̅̅̅̅̅̅̅
Distancia del Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅̅
La excentricidad es:
El lado recto
La relación de “a” y “b”, para obtener a “c”, siendo , se utiliza el Teorema de
Pitágoras, es decir:
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 28
Observando las figuras anteriores, las intersecciones con el eje X se determinan mediante la
constante en el denominador del término de x2
, y las intersecciones con el eje Y se determinan
mediante el denominador del término de y2
.
 Si a2
> b2
, el eje mayor de la elipse estará en el eje X, lo que indica que el eje mayor
coincide o es paralelo al eje X, dando origen a una elipse horizontal.
 Si b2
> a2
, el eje mayor de la elipse estará en el eje Y, lo que indica que el eje mayor
coincide o es paralelo al eje Y, dando origen a una elipse vertical.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 29
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EL ORIGEN C(0,0).
1.-Elipse Horizontal con centro en el origen C(0,0):
Tiene la ecuación:
Elementos comunes:
Distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅
Distancia del Eje Principal ó Mayor: ̅̅̅̅̅̅̅
Distancia del Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅̅
La excentricidad es: [ ]
El lado recto
La relación de “a” y “b”, para obtener a “c”, siendo , se utiliza el Teorema de
Pitágoras, es decir:
Las coordenadas del Foco
̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
Las coordenadas de los vértices del Eje Mayor y Eje Menor:
̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 30
Las Directrices de la Elipse horizontal centro C(0,0) son:
{
Los puntos extremos de los lados rectos de una elipse horizontal son:
( ) ( )
( ) ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 31
1.-Elipse Vertical con centro en el origen C(0,0):
Las coordenadas del Foco
̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
Las coordenadas de los vértices del Eje Mayor y Eje Menor:
̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
Las Directrices de la Elipse vertical centro C(0,0) son:
{
Los puntos extremos de los lados rectos de una elipse vertical son:
( ) ( )
( ) ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 32
ECUACIÓN DE LA ELIPSE CENTRO C(h.k)
1.-Elipse Horizontal con centro fuera del origen C(h,k):
Tiene la ecuación:
( ) ( )
Elementos comunes:
Distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅
Distancia del Eje Principal ó Mayor: ̅̅̅̅̅̅̅
Distancia del Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅̅
La excentricidad es:
El lado recto
La relación de “a” y “b”, para obtener a “c”, siendo , se utiliza el Teorema de
Pitágoras, es decir:
Las coordenadas del Foco
̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
Las coordenadas de los vértices del Eje Mayor y Eje Menor:
̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 33
Las Directrices de la Elipse horizontal centro C(h,k) son:
{
Los puntos extremos de los lados rectos de una elipse horizontal con centro C(h,k) son:
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 34
2.-Elipse vertical con centro fuera del origen C(h,k):
Tiene la siguiente ecuación:
( ) ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 35
Elementos comunes:
Distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅
Distancia del Eje Principal ó Mayor: ̅̅̅̅̅̅̅
Distancia del Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅̅
La excentricidad es:
El lado recto
La relación de “a” y “b”, para obtener a “c”, siendo , se utiliza el Teorema de
Pitágoras, es decir:
Las coordenadas del Foco
̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
Las coordenadas de los vértices del Eje Mayor y Eje Menor:
̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
Las Directrices de la Elipse vertical centro C(h,k) son:
{
Los puntos extremos de los lados rectos de una elipse vertical con centro C(h,k) son:
( ) ( )
( ) ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 36
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
La hipérbola es la figura geométrica que se obtiene de la intersección de un plano con un cono
doble. Cumpliéndose que el plano forma un ángulo con el eje menor que la directriz con el eje.
Definición: la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos que cumple que la diferencia de
las distancia de los mismo a otros dos puntos, llamado focos de la hipérbola es constante. Si
P(x,y) son los puntos de la hipérbola se cumple que:
( ) ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 37
Elementos de la Hipérbola:
Los Focos: Son los puntos fijos: y
Eje Focal: Es la recta que pasa por los Focos: ̅̅̅̅̅̅ y las distancia focal ̅̅̅̅̅̅
Eje Imaginario o conjugado: ̅̅̅̅̅̅̅ (mediatriz de los focos y/o los reales) (Pasa por el centro de
la hipérbola). Distancia Vértice Imaginario ̅̅̅̅̅̅̅
Eje Principal o Real: ̅̅̅̅̅̅.
Distancia Real: ̅̅̅̅̅̅
Los vértices reales: y
Los vértices Imaginarios o conjugados y
Los segmentos ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ son los radios vectores.
Los ejes de simetría son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
La relación Pitagórica para las hipérbolas es:
La excentricidad es e, y es igual ;
Para una hipérbola, c > a, , y no hay restricción acerca de los valores relativos de a
y b.
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 38
ECUACIÓN REDUCIDA Ó CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN
EL ORIGEN C(0,0):
1.- Si la hipérbola es horizontal, la ecuación canónica es:
Las coordenadas de los focos son:
( ) y ( )
Las coordenadas de los vértices principal o real y conjugado o imaginario son respectivamente:
( ) y ( )
( ) y ( )
Las Asíntotas: { Las Directrices: {
Lado Recto:
Las Coordenadas de los extremos del Lado Recto son:
( ) y ( ); ( ) y ( )
Puntos de cortes a las asíntotas son:
Asíntota 2:
( ) y ( )
Asíntota 1:
( ) y ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 39
2.- Si la hipérbola es vertical, la ecuación canónica es:
Las coordenadas de los focos son:
( ) y ( )
Las coordenadas de los vértices principal o real y conjugado o imaginario son respectivamente:
( ) y ( )
( ) y ( )
Las Asíntotas: { Las Directrices: {
Otra forma: { Lado Recto:
Las Coordenadas de los extremos del Lado Recto son:
( ) y ( ) ( ) y ( )
Puntos de cortes a las asíntotas son:
Asíntota 1: Asíntota 2:
( ) y ( ) ( ) y ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 40
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN FUERA DEL ORIGEN C(h,k)
Para una hipérbola, c > a, c2 = a2 + b2, y no hay restricción acerca de los valores relativos de a
y b.
1.-HIPÉRBOLA HORIZONTAL C(h,k): la ecuación canónica es:
( ) ( )
Las coordenadas de los focos son:
( ) y ( )
Las coordenadas de los vértices principal o real y conjugado o imaginario son respectivamente:
( ) y ( ) ( ) y ( )
Las Asíntotas:
( ) {
( )
( )
Las Directrices: {
Otra Forma: { Lado Recto:
Las Coordenadas de los extremos del Lado Recto son:
( ) y ( );
( ) y ( )
Puntos de cortes a las asíntotas son:
Asíntota 1: ( ) Asíntota 2: ( )
( ) y ( ) ( ) y ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 41
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 42
1.-HIPÉRBOLA VERTICAL C(h,k): la ecuación canónica es:
( ) ( )
Las coordenadas de los focos son:
( ) y ( )
Las coordenadas de los vértices principal o real y conjugado o imaginario son respectivamente:
( ) y ( )
( ) y ( )
Las Asíntotas:
( ) {
( )
( )
Las Directrices:
{ Otra Forma: {
Lado Recto:
Las Coordenadas de los extremos del Lado Recto son:
( ) y; ( )
( ) y ( )
Puntos de cortes a las asíntotas son:
Asíntota 1: ( ) Asíntota 2: ( )
( ) y ( ) ( ) y ( )
 LAS SECCIONES CÓNICAS
 Página 43
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Moisés Vilera Muñoz. Capítulo 3. Cónicas (2016). [Documento en Línea] Disponible en:
http://es.slideshare.net/moisitodelninochuy/cap3_conicas.html[Consultado:20/08/2016]
Fuller. Geometría Analítica (2016) [Documento en Línea] Disponible en:
http://es.slideshare.net/fuller-geometria_análitica.pdf [Consultado: 25/08/2016]
Lehmann, Geometría Analítica (2016). [Documento en Línea] Disponible en:
http://es.slideshare.net/fuller-geometria_análitica.pdf [Consultado: 05/09/2016]
Las secciones cónicas (2016). [Documento en Línea] Disponible en: https:// es.wikipedia.org/
wiki/Sección_cónica&usg=AFQjCNFcd7Q9XLIO97XRrxzkThbWqJkw_w&bvm=bv.1371
32246,d.eWE [Consultado: 15/09/2016]
Las cónicas (2016). [Documento en Línea] Disponible en: http://matem.eis.uva.es/CONTENI-
DOS/Conicas/marco_conicas.htm [Consultado: 15/09/2016]
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  • 1. GEOMETRIA ANALÍTICA LAS SECCIONES CÓNICAS Pascual  Teorías  02/11/2016
  • 2.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 1 LAS SECCIONES CÓNICAS RESEÑA HISTÓRICA El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o problema de Delos. "...la peste se llevó una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema...","...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos ..." Fue Hipócrates de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran y Menecmo halló dichas curvas como secciones de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y quien da una formulación definitiva. Todo este estudio de estas formulaciones se encuentra en "Las Cónicas", que son ocho libros dedicados al estudio de las cónicas. Dicho tratado fue considerado como el corpus más completo que recogía los conocimientos sobre tales curvas de todo la Antigüedad. Con posterioridad el rastro de los ocho libros de Las Cónicas de Apolonio se perdió, de tal modo que su legado ha llegado hasta nosotros de diversas formas. Sólo los cuatro libros primeros se conservan en griego. El octavo desapareció en su totalidad, pero, gracias a la traducción al árabe de los libros V al VII que realizara Thabit ibn Qurra, se conservaron los siete primeros. Todos ellos traducidos al latín en los siglos XVI y XVII por Johanms Baptista Memus en 1537 y Abraham Echellencis y Giacomo Alfonso Borelli en 1661. Estos libros contienen 387 teoremas bien demostrados, algunos conocidos por matemáticos anteriores a Apolonio, pero la mayoría de ellos inéditos. En cuanto a la elaboración de Las Cónicas sabemos que, residiendo en Alejandría, Apolonio fue visitado por un geómetra llamado Naucrates, y, a petición de este último, escribió un apresurado borrador de Las Cónicas en ocho libros. Más tarde, ya en Pérgamo, perfeccionó y pulió el contenido de su primera obra. El propio Apolonio nos describe en la introducción de su primer libro el contenido del resto. Resumiremos los ocho libros a continuación:  El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.  El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.
  • 3.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 2  El libro III: (el preferido de Apolonio).  El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.  El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.  El libro VI: trata sobre cónicas semejante.  El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados.  El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice. Apolonio les da su nombre definitivo Ellipsis (deficiencia), se utilizaba cuando un rectángulo dado debía de aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado. Mientras que la palabra Hyperbola (avanzar más allá) se adoptó para el caso en que el área excedía del segmento dado, y por último la palabra Parábola (colocar al lado o comparar) indicaba que no había deficiencia ni exceso. Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto, variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y "a partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto esté situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas por métodos planimétricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de la matemática antigua". LAS SECCIONES CÓNICAS Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia. La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 340 a.C (Menecmo) donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría proyectiva, etc.
  • 4.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 3 CLASIFICACIÓN En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber: β < α : Hipérbola (naranja) β = α : Parábola (azulado) β > α : Elipse (verde) β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo) Y β= 180º : Triangular Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que: Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice). Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono). Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
  • 5.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 4 Cuando un plano corta a un cono circular recto de dos mantos, la sección que resulta de dicho corte determina ciertas curvas llamadas cónicas:  Si el plano que corta no pasa por el vértice del cono, la sección que resulta es una elipse (o una circunferencia), una parábola o una hipérbola y reciben el nombre de cónicas regulares.  Si el plano que corta pasa por el vértice del cono, la sección resultante puede consistir en un punto, dos rectas que se cortan, dos rectas coincidentes o una curva imaginaria y reciben el nombre de cónicas degeneradas. Un punto Dos rectas que se cortan Dos rectas coincidentes Hay varias formas de estudiar las cónicas: 1) Se puede estudiar como hicieron los griegos, como se vio en las figuras anteriormente, en términos de intersecciones del cono con planos. 2) Se puede estudiar como propiedades geométricas o analíticas de Matrices. 3) Se puede estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos variables x e y: 4) Se puede estudiar como lugares geométricos de puntos que cumplen ciertas propiedades geométricas.
  • 6.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 5 ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO. Una ecuación de segundo grado de la forma: representa, salvo casos particulares que describiremos en breve, una parábola, una elipse o una hipérbola. Los casos en los que no sucede ninguno de los casos anteriores son llamadas secciones cónicas degeneradas y corresponden, de acuerdo con el enfoque geométrico, a los siguientes objetos: 1) Un punto. Es el caso en el que el plano secante interseca a todas las generatrices (como en el caso de la elipse), con la particularidad de que lo hace, justamente en el vértice del cono. El punto obtenido de esta sección es llamado elipse degenerada. El gráfico siguiente identifica el caso. 2) La recta doble. Cuando el plano secante es paralelo a una única generatriz (como en el caso de la parábola), y contiene al vértice del cono, también contiene a la recta generatriz, con lo cual la intersección entre el cono y el plano secante es precisamente la recta generatriz. Se le conoce como una parábola degenerada. El gráfico siguiente identifica el caso. 3) Rectas intersecantes. Es el caso llamado hipérbola degenerada y corresponde al caso en el que el plano secante es paralelo a dos generatrices, con la particularidad de que la intersección incluye al vértice y por lo tanto incluye a las dos generatrices paralelas al plano. El gráfico siguiente identifica el caso. Un punto Recta Doble Rectas Intersecantes Sea la ecuación de segundo grado en las variables en x e y, donde los coeficientes A, B y C no sean simultáneamente cero. Se presentan los siguientes criterios:
  • 7.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 6 CRITERIO CUANDO B = 0: a) Si en la ecuación general de segundo grado, el coeficiente B=0, la ecuación resultante: Representa un lugar geométrico que siempre es una cónica (si no es degenerada):  Si A=0 ó C=0 será una Parábola  Si A y C tienen el mismo signo será una Elipse.  Si A = C será una Circunferencia  Si A y C son de signos contrarios será una Hipérbola.  Los coeficientes D y E indican que el centro de la cónica (cuando lo hay), está fuera del origen de coordenadas, Si D=0, el centro está sobre el eje “Y”; Si E=0 está sobre el eje “X”.  El término independiente F: si F ≠ 0, indica que la cónica no pasa por el origen; Si F=0, indica que la cónica pasa por el origen.  Los ejes de estas cónicas serán paralelos a los ejes coordenados X e Y. CRITERIO CUANDO B ≠ 0: b) En la ecuación general de segundo grado, si B≠0, entonces los coeficientes A, B y C, nos permiten identificar qué tipo de cónica se tiene (también en el caso degenerado) procediendo a analizar el discriminante (o invariante) como sigue:  Si I = 0, se trata de una Parábola (o como caso degenerado un par de rectas paralelas o coincidentes).  Si I < 0, se trata de una Elipse (o como caso degenerado un punto).  Si I > 0, se trata de una Hipérbola (o como caso degenerado un par de rectas que se cortan).  Los coeficientes D y E indican que el centro de la curva (si los hay) está fuera del origen: Si D=0, el centro está sobre el eje “Y”; Si E=0, estará sobre el eje “X”.  El término independiente F: Si F≠0, indica que la curva no pasa por el origen; Si F=0, indica que la curva si pasa por el origen.  Los ejes de estas cónicas son oblicuos respecto a los ejes coordenados X e Y.
  • 8.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 7 LA EXCENTRICIDAD Otra forma que se puede emplear para identificar el tipo de cónica que se tiene, es aplicando el concepto de excentricidad, el cual podemos definir como "El lugar geométrico de un punto P(x,y) que se mueve de manera que la relación de la distancia de "P" a un punto fijo "F" llamado foco y la distancia del mismo punto "P" a una recta fija "/" llamada directriz, es una constante no negativa "e" llamada EXCENTRICIDAD de la cónica". Si tomamos al eje “Y” como directriz y al foco sobre el eje “X” como se muestra en la figura anterior. Aplicando la definición anterior, es decir: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ Expresándola analíticamente, haciendo operaciones y simplificaciones, se tiene: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ √( ) √( ) ( ) ( ) ( ) (1) Se conoce a la ecuación (1) como la ecuación general de las cónicas en función de la excentricidad y en donde, se tienen los siguientes criterios:  Si e=0, la ecuación (1) resulta: Que representa a una Circunferencia que degenera en un punto.  Si e=1. La ecuación (1) resulta: Que representa a una Parábola.  Si , , ( ) y haciendo en la ecuación (1) resulta la ecuación: que representa a una Elipse.  Si , , ( ) y haciendo en la ecuación (1) resulta la ecuación: que representa a una Hipérbola.
  • 9.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 8 TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE EJES Algunas veces la ecuación de una cónica se puede escribir de una manera más simple mediante una traslación y/o una rotación de ejes, que por ciertas razones sea más convenientes para el problema que se esté resolviendo, donde un punto P arbitrario tenga diferentes coordenadas en diferentes sistemas coordenados. Con una traslación de los ejes originales, se consigue que el centro de una curva se ubique en el origen de los nuevos ejes. Una rotación se aplica cuando la curva es oblicua respecto a los ejes originales, logrando que sea paralela respecto a los nuevos ejes (generalmente una ecuación de segundo grado en dos variables con término en (xy) es oblicua). Algunas veces es necesario con las cónicas, efectuar una traslación de ejes y también una rotación para presentar más simplificada su ecuación dependiendo del problema que se resuelve. TRASLACIÓN El proceso de traslación de un par de ejes a otro par de ejes, implica una transformación de coordenadas en donde tanto los ejes originales como los nuevos son paralelos y sin alterar la unidad de medida. La siguiente figura nos proporciona ayuda para encontrar las fórmulas de transformación:  Las coordenadas del nuevo origen referidas al sistema original son O´(h,k).  P(x,y) en el sistema original, P(x´,y´) en el nuevo sistema. De la figura anterior se observa que: Estas son las fórmulas de transformación, donde al sustituir en , en en la ecuación de una curva que esté referida a los ejes originales x, y; esto da por resultado una ecuación de la misma curva pero ahora referida a los nuevos ejes x´ y y´, trasladados. ROTACIÓN Algunas veces también surge la necesidad de cambiar el sistema original rotándolo un ángulo  para obtener un nuevo sistema, que pueda permitir escribir una curva en una forma más simple, en donde un punto arbitrario P tenga diferentes coordenadas en los diferentes sistemas coordenados. Nos apoyaremos con la figura anterior para mostrar cómo podemos lograr una rotación de ejes:
  • 10.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 9 Si y , entonces ( ) y por trigonometría se tiene que: ( ) ( ) Si y , entonces ( ) y por trigonometría se tiene que: ( ) ( ) Al sustituir las expresiones (1) y (2) en la ecuación general de segundo grado en las variables X e Y: y después de hacer operaciones y simplificaciones se obtiene la ecuación siguiente: En donde: ( ) (*) Como parte fundamental de la simplificación de la ecuación general es desaparecer el término “Bxy”, esto se logra si el coeficiente (*) es igual cero (0) o sea que: ( ) Dónde: ( ) x´ y´ x´ y´
  • 11.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 10 La expresión ; A≠C, que permite conocer el ángulo de rotación “” de los ejes X, Y. Si en la expresión (*) A=C. se tiene , la cual tendrá solución cuando , ya que sabemos que . EN RESUMEN La ecuación de segundo grado en dos variables X, Y: Si B≠0: se tiene la ecuación de la forma: Está ecuación nos indica que las cónicas tienen rotaciones, es decir, son oblicuas respecto del plano xy. Si B=0: se tiene la ecuación de la forma: , Está ecuación representa una cónica que tienen ejes paralelos o coincidentes a los ejes coordenados del plano xy.
  • 12.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 11 LAS CÓNICAS COMO LUGAR GEOMETRICO. Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas. Todo lugar geométrico del plano es la gráfica cartesiana de una ecuación en dos variables x e y de la forma F(x, y)=0. La ecuación de un lugar geométrico del espacio es de la forma F(x, y, z)=0. Recíprocamente, el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano que satisfacen la ecuación F(x, y)=0 representan una curva en el plano. Y el conjunto de todos los puntos (x,y,z) del espacio que satisfacen la ecuación F(x, y, z)=0 representan una superficie. Ejemplos de lugares geométricos en el plano: El lugar geométrico de los puntos que equidistan a otros dos puntos fijos A y B es una recta o eje de simetría de dichos dos puntos. Si los dos puntos son los dos extremos de un segmento ̅̅̅̅, dicha recta o lugar geométricos, es llamada mediatriz y es la recta que se interseca perpendicularmente a ̅̅̅̅ en su punto medio. La bisectriz es también un lugar geométrico. Dado un ángulo la bisectriz cumple la propiedad de que todos sus puntos equidistan a los lados de dicho ángulo, convirtiéndose la bisectriz en un caso particular del lugar geométrico que sigue a continuación. Generalizando la propiedad de equidistancia a dos rectas, obtenemos que la paralela media es el lugar geométrico de los puntos que las equidistan. Se observa que, bajo el punto de vista de que las rectas paralelas se cortan en el infinito -se elimina, pues, la noción de paralelismo-, pasa a ser un sinónimo de la bisectriz, donde el ángulo ha tomado valor nulo. Si, por el contrario, se diferencia el concepto de paralelismo, la bisectriz vuelve a ser, como se ha dicho antes, un caso particular de esta definición y el caso de rectas paralelas, con ángulo 0, es disjunto al de las bisectrices (ángulo no nulo). Las secciones cónicas pueden ser descritas mediante sus lugares de geometría: La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto determinado, el centro, es un valor dado (el radio). La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos fijos, los focos, es una constante dada (equivalente a la longitud del semieje mayor de la elipse). La parábola es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un foco equivale a su distancia a una recta llamada directriz. La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias a dos puntos fijos, los focos, es igual a una constante (positiva), que equivale a la distancia entre los vértices.
  • 13.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 12 ESTUDIOS DE LA CIRCUNFERENCIA Definición: La circunferencia de Centro C y radio r, es el lugar geométrico de los puntos del plano X, cuya distancia al centro C es el radio r: ( ) Si P(x,y) y C(h,k), se tiene: ( ) ( ) √( ) ( ) ( ) ( ) Desarrollando tenemos: Comparando con: { Cuando , la ecuación anterior queda de la forma: ( ) Donde (*) es la ecuación general de la circunferencia Dónde: El Centro: ( ) ( ) El radio: √ Se denomina circunferencia, al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Llamamos radio de la circunferencia a la distancia de un punto cualquiera de dicha circunferencia al centro.
  • 14.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 13 De la ecuación (*): ( ) Si desarrollamos y realizamos operaciones se tiene que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Dónde: Centro es ( ) Y El radio √ También se observa que: Si , la circunferencia es real Si , la circunferencia es imaginaria. Si , el radio es cero y la ecuación representa al punto ( ). Ecuación Analítica de la Circunferencia Si hacemos coincidir el centro con el origen de coordenadas, las coordenadas de cualquier punto de la circunferencia (x, y) determina un triángulo rectángulo, y por supuesto que responde al teorema de Pitágoras: (1) Donde (1) representa la ecuación canónica de la circunferencia con centro en el origen C(0,0). Puesto que la distancia entre el centro (h, k) y uno cualquiera de los puntos (x, y) de la circunferencia es constante e igual al radio r tendremos que: ( – ) ( – ) (2)
  • 15.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 14 Donde (2) representa la ecuación canónica de la circunferencia con centro en C(h,k). RECTAS SECANTES, TANGENTES Y EXTERIOR A UNA CIRCUNFERENCIA. Dada la ecuación general de la circunferencia: (*), y la ecuación de la recta , (**), reemplazando el valor de la recta (**) en la ecuación de la circunferencia (*) se obtiene que: ( ) ( ) ( ) ( ) Si hacemos: La ecuación nos queda: Empleando la Resolvente de la ecuación de segundo grado tenemos: √ Si el radicando o discriminante cumple: { POTENCIA DE UN PUNTO P(Xo,Yo) EN RELACIÓN A UNA CIRCUNFERENCIA Definición: Dados un punto ( ) y una circunferencia de centro C(h,k) y radio “r” se denomina potencia del punto P en relación a la circunferencia dada, al número real: ( ) Dónde: d: es la distancia de ( ) al centro C(h,k). De la definición se tiene:
  • 16.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 15 1) Si Pot(P)>0, entonces ( ) es punto exterior a la circunferencia. En este caso, la potencia de P es igual al cuadrado de la longitud de la tangente trazada desde P, es decir: ( ) 2) Si Pot(P)=0, entonces ( ) pertenece a la circunferencia. 3) Si Pot(P)<0, entonces ( ) es interior a la circunferencia. 4) Si la ecuación de la circunferencia de centro C(h,k) es: ( ) ( ) , entonces la potencia del punto P(x0,y0) será: ( ) ( ) ( ) 5) Si la ecuación de la circunferencia es de la forma: , entonces la Potencia del punto P(x0,y0): ( ) NOTA: De las dos anteriores fórmulas de la potencia podemos concluir que la potencia de un punto en relación a una circunferencia está dada por el valor que adquiere el primer miembro de la ecuación de esta circunferencia, cuando se sustituyen las variables x e y por las coordenadas del punto. EJE RADICAL Definición: Dadas dos circunferencias no concéntricas, el eje radical de las dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas potencias respecto a cada una de las circunferencias dadas son iguales. Consideremos dos circunferencias no concéntricas cuyas ecuaciones son las siguientes: Si ( ) es un punto del eje radical, sus potencias en relación a las circunferencias dadas son, respectivamente: Por la definición del eje radical se verifica que , esto es: Simplificando se tiene: ( ) ( ) ( ) Como las circunferencias no son concéntricas, entonces ó , lo que implica que por lo menos uno de los coeficientes, de x ó de y, no es nulo, luego, la ecuación anterior (*) representa a una recta, llamada eje radical que tiene la propiedad de ser perpendicular a la recta que pasa por los centros de las circunferencias. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS. 1) Intersección de circunferencia: Dadas las circunferencias: ( ) ( ) ( ) ( )
  • 17.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 16 Hallar la intersección de y y determinar los puntos P(x,y) que pertenecen a las curvas. Si P(x,y) pertenecen a y , entonces P satisface al sistema: { ( ) ( ) ( ) ( ) Que puede ser resuelto así: a) Restar miembro a miembro las ecuaciones de las circunferencias b) Despejando de una de las ecuaciones del sistema, una de las variables en primer grado y sustituirla en una de las ecuaciones restante del sistema. 2) Posiciones relativas de 2 circunferencias: Las posiciones relativas de 2 circunferencias de ecuaciones: ( ) ( ) ( ) ( ) Se determina comparando la distancia entre los centros ( ), con la suma de sus radios ó con la diferencia de los radios | |. Calculando la distancia entre los centros: ( ) √( ) ( ) Son posibles 6 casos: Caso 1. Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que: ̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅⏟ Aquí las circunferencias son exteriores Caso II. Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que: ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ Lo que confirma que las circunferencias son tangentes exteriores.
  • 18.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 17 Caso III. | |: Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que: ̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅⏟ | | Las circunferencias son tangentes interiores. Caso IV. | | . Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que: ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ Por lo tanto las circunferencias son secantes. Caso V. | | Teniendo en cuenta la figura siguiente vemos que: ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ ̅̅̅̅̅̅̅⏟ Circunferencia de menor radio e interior a otra.
  • 19.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 18 Caso VI. d=0 Es el caso particular 5. Aquí las circunferencias son concéntricas. OBSERVACIONES: Teniendo en cuenta el eje radical las posiciones de las circunferencias: 1.- Si las circunferencias son concéntricas el eje radical no existe. 2.-Si las circunferencias son secantes el eje radical pasa por los puntos de intersección de las circunferencias, es decir, el eje radical contiene a la cuerda común. 3.-Si las circunferencias son exteriores el eje radical es perpendicular al segmento que une los centros. Si las circunferencias tienen el mismo radio, el eje radical pasa por el punto medio del segmento que une los centros. 4.-Si las circunferencias son interiores el eje radical perpendicular a la recta que une sus centros, pasa por un punto exterior a la circunferencia de mayor radio y está a menor distancia del centro de la circunferencia de menor lado.
  • 20.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 19 5.-Si las circunferencias son tangentes exteriores, entonces el eje radical es la tangente común. 6.-Si las circunferencias son tangentes interiores entonces el eje radical es la tangente común a ambas circunferencias. DISTANCIA MÁXIMA Y MÍNIMA A UNA CIRCUNFERENCIA La distancia mínima (máxima) de un punto a una circunferencia, es la longitud del menor (mayor) de los segmentos de Normal comprendidos entre el punto y la circunferencia. Se presentan dos casos: a) El punto es interior a la circunferencia
  • 21.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 20 b) El punto es exterior a la circunferencia: | | distancia mínima | | distancia máxima FAMILIA DE CIRCUNFERENCIAS El método usado para hallar la familia de rectas servirá para hallar la ecuación de familias de circunferencias que pasen por las Intersecciones de dos circunferencias. Para ello consideremos: ( ) ( ) Y al tomar k como parámetro, la ecuación: ( ) Supongamos ahora que las ecuaciones A y B representan circunferencias que se intersecan en dos puntos. Entonces, si k es un parámetro, con la ecuación C representa una familia de circunferencias que pasan por los puntos de intersección de las circunferencias dadas. Esto es cierto, pues las coordenadas de un punto de intersección, al sustituirlas por x e y, reducen la ecuación C a: 0 + k0 = 0. Si las circunferencias dadas son tangentes entre sí la ecuación C representa la familia de circunferencias que pasan por el punto de tangencia.
  • 22.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 21 LA PARÁBOLA Una parábola es el conjunto de todos los puntos en un plano que son equidistantes de un punto fijo y de una recta fija del plano. El punto fijo se llama foco y a la recta fija, directriz. (Fuller 113). También tenemos otra definición de parábola el cual se señala, que la parábola es: El lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que su distancia de una recta fija, situada en el plano, es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta. (Lehmann, 151) El punto fijo se llama foco y la recta fija directriz de la parábola. La definición excluye el caso en que el foco está sobre la directriz. Designemos por F y L, el foco y la recta fija directriz de la parábola, respectivamente. La recta “a” que pasa por F y es perpendicular a L se llama eje de la parábola. Sea A el punto de intersección del eje y la directriz. El punto V, punto medio del segmento AF, está, por definición, sobre la parábola; este punto se llama vértice. El segmento de recta, tal como BB´, que une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se llama cuerda, en particular, una cuerda que pasa por el foco como CC´, se llama cuerda focal. La cuerda focal LL´ perpendicular al eje de simetría y pasa por el foco F, se llama lado recto. Si P es un punto cualquiera de la parábola, la recta FP que une el foco F con el punto P se llama radio focal de P, o radio vector.
  • 23.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 22 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN Y EJE UN EJE COORDENADO. (Forma Canónica). 1.-Parábola Horizontal: a) La ecuación de una parábola de vértice en el origen V(0,0) y el eje de simetría el eje X, es: En donde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es . La gráfica abre hacia la derecha. b) La ecuación de una parábola de vértice en el origen V(0,0) y el eje de simetría el eje X, es: En donde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es . La gráfica abre hacia la izquierda. V(0,0) F(p,0) V(0,0 ) F(-p,0)
  • 24.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 23 EN RESUMEN: La parábola con centro en el origen C(0,0) y eje de simetría el eje “X”, es una parábola horizontal tiene la ecuación canónica: Ecuación Canónica: Foco: ( ) Directriz: Vértice: V(0,0) La cual cumple las siguientes propiedades: a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha. b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda. En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado: | | 2.- Parábola Vertical: a) La ecuación de una parábola de vértice en el origen V(0,0) y el eje de simetría el eje Y, es: En dónde el foco es el punto ( ), y la ecuación de la directriz es . b) La ecuación de una parábola de vértice en el origen V(0,0) y el eje de simetría el eje Y, es: En dónde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es V(0,0) F(0,p) V(0,0) F(0,-p)
  • 25.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 24 EN RESUMEN: La parábola con centro en el origen C(0,0) y eje de simetría el eje “Y”, es una parábola vertical tiene la ecuación canónica: Ecuación Canónica: Foco: ( ) Directriz: Vértice: V(0,0) La cual cumple las siguientes propiedades: a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba. b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo. En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado. | | ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE FUERA DEL ORIGEN Y EJE UN EJE COORDENADO. (Forma Canónica). a).-Parábola Horizontal: La ecuación de una parábola de vértice fuera del origen V(h,k) y el eje de simetría el eje X, es: ( ) ( ) En donde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es . a) Si p>0, la parábola se abre hacia la derecha. b) Si p<0, la parábola se abre hacia la izquierda. En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado. | |
  • 26.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 25 b).-Parábola Vertical: La ecuación de una parábola de vértice fuera del origen V(h,k) y el eje de simetría el eje Y, es: ( ) ( ) En donde el foco es el punto ( ) y la ecuación de la directriz es . a) Si p>0, la parábola se abre hacia arriba. b) Si p<0, la parábola se abre hacia abajo. En cada caso, la longitud del lado recto está dada por el valor absoluto de 4p, que es el coeficiente del término de primer grado. | |
  • 27.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 26 De la ecuación de segundo grado en las variables x e y, que es llamada la ecuación de 2do grado de las cónicas: Si B=0, la ecuación anterior queda de la siguiente forma: Donde También puede presentarse que uno de los coeficientes de las variables al cuadrado sea igual a cero, por lo que la gráfica de la curva será una parábola, una línea recta, dos líneas rectas o un conjunto vacío. Así: a) Si A=0, C≠0 y D≠0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo(o coincide) con el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuación representa dos rectas diferentes paralelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningún lugar geométrico, según que las raíces de la ecuación sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas. b) Si A≠0, C=0 y E≠0, la ecuación representa una parábola cuyo eje es paralelo a (o coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuación representa dos recta diferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningún lugar geométrico, según que las raíces de , sean reales y desiguales, reales e iguales o complejas.
  • 28.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 27 LAS ECUACIÓN DE LAS ELIPSES La elipse es la figura geométrica que se obtiene de interceptar un cono con un plano cuyo ángulo con eje es mayor que el que forma dicho eje con la generatriz. Definición: La elipse es el lugar geométrico de los puntos P(x,y) que cumplen que la suma de las distancias a dos puntos fijos denominados focos de la elipse(F2F1) es constante. ( ) ( ) Donde Distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅̅ Distancia del Eje Principal ó Mayor: ̅̅̅̅̅̅̅ Distancia del Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅̅ La excentricidad es: El lado recto La relación de “a” y “b”, para obtener a “c”, siendo , se utiliza el Teorema de Pitágoras, es decir:
  • 29.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 28 Observando las figuras anteriores, las intersecciones con el eje X se determinan mediante la constante en el denominador del término de x2 , y las intersecciones con el eje Y se determinan mediante el denominador del término de y2 .  Si a2 > b2 , el eje mayor de la elipse estará en el eje X, lo que indica que el eje mayor coincide o es paralelo al eje X, dando origen a una elipse horizontal.  Si b2 > a2 , el eje mayor de la elipse estará en el eje Y, lo que indica que el eje mayor coincide o es paralelo al eje Y, dando origen a una elipse vertical.
  • 30.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 29 ECUACIÓN DE LA ELIPSE CON CENTRO EL ORIGEN C(0,0). 1.-Elipse Horizontal con centro en el origen C(0,0): Tiene la ecuación: Elementos comunes: Distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅ Distancia del Eje Principal ó Mayor: ̅̅̅̅̅̅̅ Distancia del Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅̅ La excentricidad es: [ ] El lado recto La relación de “a” y “b”, para obtener a “c”, siendo , se utiliza el Teorema de Pitágoras, es decir: Las coordenadas del Foco ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) Las coordenadas de los vértices del Eje Mayor y Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
  • 31.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 30 Las Directrices de la Elipse horizontal centro C(0,0) son: { Los puntos extremos de los lados rectos de una elipse horizontal son: ( ) ( ) ( ) ( )
  • 32.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 31 1.-Elipse Vertical con centro en el origen C(0,0): Las coordenadas del Foco ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) Las coordenadas de los vértices del Eje Mayor y Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) Las Directrices de la Elipse vertical centro C(0,0) son: { Los puntos extremos de los lados rectos de una elipse vertical son: ( ) ( ) ( ) ( )
  • 33.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 32 ECUACIÓN DE LA ELIPSE CENTRO C(h.k) 1.-Elipse Horizontal con centro fuera del origen C(h,k): Tiene la ecuación: ( ) ( ) Elementos comunes: Distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅ Distancia del Eje Principal ó Mayor: ̅̅̅̅̅̅̅ Distancia del Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅̅ La excentricidad es: El lado recto La relación de “a” y “b”, para obtener a “c”, siendo , se utiliza el Teorema de Pitágoras, es decir: Las coordenadas del Foco ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) Las coordenadas de los vértices del Eje Mayor y Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
  • 34.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 33 Las Directrices de la Elipse horizontal centro C(h,k) son: { Los puntos extremos de los lados rectos de una elipse horizontal con centro C(h,k) son:
  • 35.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 34 2.-Elipse vertical con centro fuera del origen C(h,k): Tiene la siguiente ecuación: ( ) ( )
  • 36.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 35 Elementos comunes: Distancia Focal: ̅̅̅̅̅̅ Distancia del Eje Principal ó Mayor: ̅̅̅̅̅̅̅ Distancia del Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅̅ La excentricidad es: El lado recto La relación de “a” y “b”, para obtener a “c”, siendo , se utiliza el Teorema de Pitágoras, es decir: Las coordenadas del Foco ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) Las coordenadas de los vértices del Eje Mayor y Eje Menor: ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) Las Directrices de la Elipse vertical centro C(h,k) son: { Los puntos extremos de los lados rectos de una elipse vertical con centro C(h,k) son: ( ) ( ) ( ) ( )
  • 37.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 36 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA La hipérbola es la figura geométrica que se obtiene de la intersección de un plano con un cono doble. Cumpliéndose que el plano forma un ángulo con el eje menor que la directriz con el eje. Definición: la hipérbola es el lugar geométrico de los puntos que cumple que la diferencia de las distancia de los mismo a otros dos puntos, llamado focos de la hipérbola es constante. Si P(x,y) son los puntos de la hipérbola se cumple que: ( ) ( )
  • 38.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 37 Elementos de la Hipérbola: Los Focos: Son los puntos fijos: y Eje Focal: Es la recta que pasa por los Focos: ̅̅̅̅̅̅ y las distancia focal ̅̅̅̅̅̅ Eje Imaginario o conjugado: ̅̅̅̅̅̅̅ (mediatriz de los focos y/o los reales) (Pasa por el centro de la hipérbola). Distancia Vértice Imaginario ̅̅̅̅̅̅̅ Eje Principal o Real: ̅̅̅̅̅̅. Distancia Real: ̅̅̅̅̅̅ Los vértices reales: y Los vértices Imaginarios o conjugados y Los segmentos ̅̅̅̅̅ y ̅̅̅̅̅ son los radios vectores. Los ejes de simetría son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario. La relación Pitagórica para las hipérbolas es: La excentricidad es e, y es igual ; Para una hipérbola, c > a, , y no hay restricción acerca de los valores relativos de a y b.
  • 39.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 38 ECUACIÓN REDUCIDA Ó CANÓNICA DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN C(0,0): 1.- Si la hipérbola es horizontal, la ecuación canónica es: Las coordenadas de los focos son: ( ) y ( ) Las coordenadas de los vértices principal o real y conjugado o imaginario son respectivamente: ( ) y ( ) ( ) y ( ) Las Asíntotas: { Las Directrices: { Lado Recto: Las Coordenadas de los extremos del Lado Recto son: ( ) y ( ); ( ) y ( ) Puntos de cortes a las asíntotas son: Asíntota 2: ( ) y ( ) Asíntota 1: ( ) y ( )
  • 40.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 39 2.- Si la hipérbola es vertical, la ecuación canónica es: Las coordenadas de los focos son: ( ) y ( ) Las coordenadas de los vértices principal o real y conjugado o imaginario son respectivamente: ( ) y ( ) ( ) y ( ) Las Asíntotas: { Las Directrices: { Otra forma: { Lado Recto: Las Coordenadas de los extremos del Lado Recto son: ( ) y ( ) ( ) y ( ) Puntos de cortes a las asíntotas son: Asíntota 1: Asíntota 2: ( ) y ( ) ( ) y ( )
  • 41.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 40 ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA CON CENTRO EN FUERA DEL ORIGEN C(h,k) Para una hipérbola, c > a, c2 = a2 + b2, y no hay restricción acerca de los valores relativos de a y b. 1.-HIPÉRBOLA HORIZONTAL C(h,k): la ecuación canónica es: ( ) ( ) Las coordenadas de los focos son: ( ) y ( ) Las coordenadas de los vértices principal o real y conjugado o imaginario son respectivamente: ( ) y ( ) ( ) y ( ) Las Asíntotas: ( ) { ( ) ( ) Las Directrices: { Otra Forma: { Lado Recto: Las Coordenadas de los extremos del Lado Recto son: ( ) y ( ); ( ) y ( ) Puntos de cortes a las asíntotas son: Asíntota 1: ( ) Asíntota 2: ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( )
  • 42.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 41
  • 43.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 42 1.-HIPÉRBOLA VERTICAL C(h,k): la ecuación canónica es: ( ) ( ) Las coordenadas de los focos son: ( ) y ( ) Las coordenadas de los vértices principal o real y conjugado o imaginario son respectivamente: ( ) y ( ) ( ) y ( ) Las Asíntotas: ( ) { ( ) ( ) Las Directrices: { Otra Forma: { Lado Recto: Las Coordenadas de los extremos del Lado Recto son: ( ) y; ( ) ( ) y ( ) Puntos de cortes a las asíntotas son: Asíntota 1: ( ) Asíntota 2: ( ) ( ) y ( ) ( ) y ( )
  • 44.  LAS SECCIONES CÓNICAS  Página 43 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Moisés Vilera Muñoz. Capítulo 3. Cónicas (2016). [Documento en Línea] Disponible en: http://es.slideshare.net/moisitodelninochuy/cap3_conicas.html[Consultado:20/08/2016] Fuller. Geometría Analítica (2016) [Documento en Línea] Disponible en: http://es.slideshare.net/fuller-geometria_análitica.pdf [Consultado: 25/08/2016] Lehmann, Geometría Analítica (2016). [Documento en Línea] Disponible en: http://es.slideshare.net/fuller-geometria_análitica.pdf [Consultado: 05/09/2016] Las secciones cónicas (2016). [Documento en Línea] Disponible en: https:// es.wikipedia.org/ wiki/Sección_cónica&usg=AFQjCNFcd7Q9XLIO97XRrxzkThbWqJkw_w&bvm=bv.1371 32246,d.eWE [Consultado: 15/09/2016] Las cónicas (2016). [Documento en Línea] Disponible en: http://matem.eis.uva.es/CONTENI- DOS/Conicas/marco_conicas.htm [Consultado: 15/09/2016] Utilice el Programa Geogebra 5.0.0 para realizar los gráficos y las pruebas del mismos.