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I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008
n ! = n =1x2x3x4x…. x(n-1) x n
V. BINOMIO DE
NEWTON
1. FACTORIAL DE UN
NÚMERO:
Se define el factorial de un número
entero positivo “n” como el producto de
todos los enteros consecutivos desde 1
hasta “n” inclusive.
Así:
n ! ; n =Se lee “factorial de n” o “n factorial”.
Ejemplos:
1! = 1
2! = 1 x 2
3! = 1 x 2 x 3
4! = 1 x 2 x 3 x 4
5! = ..............................................................
6! = ..............................................................
7! = ..............................................................
8! = ...............................................................
9! = ...............................................................
10!= ..............................................................
Pon convención: 0 ! = 0 = 1
OBSERVACIONES :
I. Si: a ! =1 ⇒ a = 1 ó a = 0
II. Sabemos que: 7 ! = 7 x
  
6!
16x5x4x3x2x
7 ! = 7 x 6 !
n ! =n x (n-1) !
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Halla : 4! – 2
Solución :
4! - 2!
24 - 2
22
2) Simplifica : R =
!2!6
!3!5
x
x
Solución :
R =
2
1
6
3
!2!5!
!23!5
==
xx
xx
3) Simplifica :
I =
!4
!4
!4
!5
!5
!6
−+
Solución :
I =
!4
!4
!4
!45
!5
!56
−+
xx
I = 6 + 5 – 1
I = 10
4) Halla :
x! = 24
Solución :
x! = 24 = 4!
x! = 4!
x = 4
5) Halla “x” :
)!1(
)!2(
+
+
x
x
= 7
Solución :
7
)!1(
)!1)(2(
=
+
++
x
xx
x +2 = 7
x = 5
6) (x + 4)! = 120
Solución :
(x + 4)! = 5!
x + 4 = 5
x = 1
7) Simplifica :
R =
!15!13
!12!16
Solución :
R =
!15!1213
!12!1516
xx
xx
R =
13
16
PROBLEMAS PROPUESTOS
PARTE I : Resuelve
1).- Halla: 6! - 4
a) 596 b) 720 c) 696
d) 692 e) 624
2).- Halla: 2! + 3 + 4
a) 32 b) 64 c) 24
d) 120 e) 36
3).- Halla : 2! . 3! . 1! . 0!
a) 24 b) 12 c) 720 d) 36 e) 124
4).- (3!)2
+ (2!)2!
– 0! Es igual a :
a) 40 b) 56 c) 24 d) 39 e) 124
5).- Halla : 0!4!+ + 2
a) 24 b) 6 c) 7 d) 5 e) 9
6).- Simplifica :
!3!5
!6!3
x
x
a) 6 b) 30 c) 24
d) 120 e) 36
7).- Simplifica :
!4!5
!6!5!2
x
xx
a) 36 b) 26 c) 120
d) 40 e) 60
8).- Simplifica : 0!5!+ + (3!)2
a) 57 b) 47 c) 25
d) 27 e) 56
9).- (3!)2
+ (2!)3!
+ 4
a) 124 b) 126 c) 204
d) 66 e) 76
10).- Simplifica :
!3
!3
!5
!6
!7
!8
−+
a) 13 b) 12 c) 14
d) 16 e) 9
PARTE II : Halla el valor de “x” en cada caso:
1).- x! = 6
46
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008
a) 3 b) 2 c) 1 d) 5 e) 6
2).- x! = 120
a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 30
3).- x! . 6 . 5 = 6!
a) 4 b) 3 c) 2 d) 7 e) 6
4).- x! . 7 . 6 . 5 = 7!
a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6
5).- (x + 2)! = 120
a) 6 b) 3 c) 2 d) 9 e) 4
6).- (x + 1)! = 720
a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 2
7).- (x – 3)! = 120
a) 5 b) 9 c) 8 d) 3 e) 4
8).- (x + 5)! = 5040
a) 3 b) 12 c) 9 d) 2 e) 7
9).-
)!1(
)!2(
+
+
x
x
= 7
a) 8 b) 4 c) 7 d) 3 e) 5
10).- 5
)!2(
)!3(
=
+
+
x
x
a) 2 b) 3 c) 5
d) 7 e) 1
CLAVES DE RESPUESTAS:
PARTE I :
1) c 2) a 3) b 4) d 5) c
6) a 7) e 8) b 9) a 10)a
PARTE II :
1) a 2) c 3) a 4) b 5) b
6) a 7) c 8) d 9) e 10)a
2. NÚMERO
COMBINATORIO :
Se define como el número total de grupos
que se pueden formar con “n” elementos
tomados de k en k, en el cual cada grupo
debe diferenciarse por lo menos en un
elemento.
2.1. NOTACIÓN :
k
n
kn
n
k
C;C;C
2.2. DEFINICIÓN:
!k)!kn(
!n
C
n
k −
= ; donde n, k∈ N
n ≥ k ≥ 0
2.3. REGLA PRÁCTICA :
xk.....x3x2x1
)1kn).....(2n)(1n(n
C
n
k
+−−−
=
Ejemplos :
21
2x1
6x7
C84
3x2x1
7x8x9
C 7
2
9
3 ====
2.4. PROPIEDADES :
Combinatorios Complementarios :
n
kn
n
k
CC
−
=
Teorema :
Si : npkvpkCC n
p
n
k =+=⇒=
3. BINOMIO DE NEWTON:
Se pueden desarrollar binomios para
exponente natural con ayuda de los
combinatorios.
(x+a)n
=
n
o
C n
x + axC 1nn
1
−
+
22nn
2
aXC −
+...+
nn
n
aC
3.1. FÓRMULA GENERAL DEL
TÉRMINO DE POSICIÓN:K+1.
Nota: La Expansión del Binomio (x+a)n
1° Presenta n+1 términos.
2° Es un polinomio homogéneo y ordenado
descendentemente (para x), ordenado
ascendentemente (para a).
PROBLEMAS RESUELTOS
1) Determina el valor de :
S = 6
4
6
3
6
2 CCC ++
Solución :
S =
4x3x2
3x4x5x6
3x2
4x5x6
2
5x6
++
S = 15 + 20 + 15
S = 50
2) Reduce : E
C
C
=
5
8
2
8
Solución :
2
2x3x7x8
2x6x7x8
2
7x8
2x3
6x7x8
C
C
C
C
E 8
2
8
3
8
2
8
5
=====
3) Calcula : 8
3C
Solución :
56
2x3
6x7x8
C8
3 ==
4) Calcula : 6
2C
Solución:
6
2
2x6
C6
2 ==
47
==
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008
5) Calcula : 24
22C
Solución:
231
2
21x22
CC 22
2
24
22 ===
6) Calcula: 9
5
12
4 CC +
Solución:
9
4
12
4 CC +
2x3x4
6x7x8x9
2x3x4
9x10x11x12
+
7x2x99x5x11
+
495 + 126 = 621
7) En el desarrollo de ( x + y )5
, calcula el
tercer termino.
Solución:
Tenemos que, n = 5 y k = 2
23
3
2255
23
yx10T
)y()x(CT
=
= −
8) En el desarrollo de ( x2
+ x3
)6
, calcula el
cuarto termino.
Solución :
Tenemos que, n = 6 y k = 3
15
3
96
3
333626
33
x20T
xx20T
)x()x(CT
=
=
= −
PROBLEMAS PROPUESTOS
PARTE I : Resuelve los siguientes
números combinatorios:
1.- 5
2C
a)10 b) 12 c) 20
d) 5 e) 14
2.- 12
9C
a) 140 b) 80 c) 150
d) 220 e) 120
3.- 14
12C
a) 54 b) 15 c) 91
d) 45 e) 12
4.- 30
27C
a) 145 b) 154 c) 4060
d) 1450 e) 4510
5.- 52
49C
a) 1233 b) 22100 c) 5680
d) 14528 e) 145870
6.- 108
107C
a) 108 b) 145 c) 508
d) 148 e) 106
7.- 18
15C
a) 618 b) 458 c) 816
d) 806 e) 541
8.- 8
5C
a) 56 b) 54 c) 45
d) 85 e) 25
9.- 15
13C
a) 108 b) 145 c) 621
d) 105 e) 126
10.- 20
19C
a) 12 b) 25 c) 20
d) 30 e) 10
11.- 40
36C
a) 2548 b) 4518 c) 24887
d) 91390 e) 85478
12.- 64
61C
a) 1458 b) 45892 c) 41664
d) 45998 e) 43298
13.- 83
81C
a) 3508 b) 4528 c) 1245
d) 4689 e) 3403
14.- 24
22C
a) 276 b) 278 c) 158
d) 279 e) 282
PARTE II : Resuelve los siguientes
binomios de Newton :
1) En el desarrollo de ( x2
+ x-2
)6
, calcula el
cuarto termino.
a) 27 b) 20 c) 15
d) 28 e) 26
2) En el desarrollo de ( x2
+ x-2
)8
, calcula el
quinto termino.
a) 70 b) 80 c) 55
d) 58 e) 76
3) En el desarrollo de ( x2
+ x-2
)10
, calcula el
sexto termino.
a) 271 b) 240 c) 252
d) 238 e) 246
4) En el desarrollo de ( x2
+ x-2
)5
, calcula el
tercer termino.
a) 10x2
b) 20x2
c) 10x4
d) 5x2
e) 7x3
5) En el desarrollo de ( x3
+ x-2
)8
, calcula el
quinto termino.
a) 70x2
b) 20x2
c) 70x4
d) 58x2
e) 78x3
6) En el desarrollo de ( x2
+ x-3
)5
, calcula el
tercer termino.
a) 10 b) 20 c) 10x4
d) 5x2
e) 7x3
7) En el desarrollo de ( x2
+ x-2
)9
, calcula el
quinto termino.
a) 105x2
b) 126x2
c) 109x4
d) 145x2
e) 87x3
8) En el desarrollo de ( x3
+ x-5
)8
, calcula el
cuarto termino.
a) 56 b) 20x2
c) 10x4
d) 5x2
e) 72
9) En el desarrollo de ( x + x-1
)7
, calcula el
quinto termino.
a) -10x5
b) 35x-1
c) 42x-1
d) 35x e) 37x3
48
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008
10) En el desarrollo de ( x + x-1
)5
, calcula el
cuarto termino.
a) 10x-1
b) 20x2
c) 10x4
d) 5x-1
e) 5x3
11) En el desarrollo de ( x + x-1
)15
, calcula el
termino 16.
a) 10x15
b) 20x2
c) 10x-15
d) 5x2
e) x-15
CLAVES DE RESPUESTAS
PARTE I :
1) a 2) d 3) c 4) c 5) b
6) a 7) c 8) a 9) d 10)c
11)d 12)c 13)e 14)a
PARTE II :
1) b 2) a 3) c 4) a 5) c
6) a 7) b 8) a 9) b 10)a
11)e
VI. RADICACIÓN
Es la operación que tiene por objeto
calcular una expresión llamada RAÍZ
conociendo otras llamadas INDICES y
RADICANDO; tal que dicha raíz elevada al
índice, reproduzca el radicando.
n A = R
PROPIEDADES
1) nnn a.ab.a =
2) .
a
a
b
a
n
n
n =
3) ( )mnn m
bb =
4) nxmm n bb =
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Se descompone el radicando en factores
de modo que los exponentes sean
divisibles entre el índice del radical, se
extrae la raíz y se deja indicado el factor
que no tiene raíz exacta.
Ejem:
3633233232108 2232
=×=××=×=
1. RADICALES SEMEJANTES
Son aquellos que tienen el mismo índice y
el mismo radicando.
Ejem :
3 2 ; -5 2 ;
2
3
2 ; 2
2. RADICALES DOBLES :
Tienen la forma: BA ±
Transformar radicales dobles a radicales
simples :
22
CACA
BA
−
±
+
=±
C = BA −2
3. REGLA PRÁCTICA
bab.abaBA ±=±+=± 2
donde a>b
LEMAS RESUELTOS
PROBLEMAS RESUELTOS
I.- Simplifica:
1.- 180
Solución:
594594180 =××=
= 56
2.- 3
1080
Solución:
33 52781080 ××= =
333 5278 ××
= 2 x 3 x 3 5 = 3 56
3.- 5
192
Solución:
55 55 55
62322192 ×=××=
= 5
62
II. Resuelve:
4.- 2721921526 +−+
Solución:
(6+15-19+7) 2  29
5.- 273192317 −−+
Solución:
Agrupamos radicales semejantes.
27131917 )()( −+−
2632 −
6.- 541024829465 −++
Solución:
Transformamos a radicales semejantes.
691064864965 ×−×+×+
63106286765 ×−×++
6306166765 −++
(5+7+16-30) 6
62−
7.- )()( 2563
Solución:
( ) 2653 ×× = 1215
3415 × = 3215 ×
 330
8.- ( )57
11
3
2
7
1






−





Solución:
572
11
3
7
1
××





−





70
77
3
−
9.- ( )2
25
Solución:
49
Índice
Radicando ó cantidad sub radical
Raíz
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008
( ) ( )222
2525 =
= 25 x 2
= 50
10.- ( )55
102
Solución:
( ) 55555 102102 =
= 32 x 10
= 320
III. Transforma a radicales simples :
11.- 728 +
Solución:
Dos factores que sumen 8 : 7 y 1
 17728 +=+
= 17 +
12.- 608 −
Solución:
15281548 −=×−
 15 = 5 x 3
8 = 5+3
Luego:
351528 −=−
35608 −=−
13.- 31884 −
Solución:
3928431884 ×−=−
381381284 −=×−
= 9- 3
14.- 23055 +
Solución:
215255 ×+
2225255 ×+
450255 +
10451045255 +=×+
105323055 +=+
15.- 5618 +
Solución:
452185618 +=+
3155618 +=+
PROBLEMAS PROPUESTOS
I.- Simplifica :
1) 8
a) 8 b) 22
c) 23
d) 2 e) N.A.
2) 162
a) 25 b) 22
c) 29
d) 2 e) N.A.
3) 32
a) 22 b) 23
c) 24
d) 25 e) 26
4) 48
a) 34 b) 33
c) 32
d) 35 e) N.A.
5) 245
a) 55 b) 57
c) 56
d) 52 e) N.A.
6) 720
a) 512 b) 56
c) 59
d) 58 e) N.A.
7) 3
875
a) 3
26 b) 3
53
c) 3
56
d) 3
75 e) 3
77
8) 5 480
a) 5
23 b) 5
152
c) 5 54
d) 5
52 e) N.A.
9) 4 810
a) 4 103 b) 4 102
c) 4 109
d) 4 53 e) N.A.
II.- Efectúa :
1) 12 2 +5 2 - 2
a) 16 2 b) 4 2
c) 8 2
d) 17 2 e) N.A.
2) 11 5 - 2 5 + 5
a) 58 b) 57
c) 510
d) 52 e) N.A.
3) 13 7 + 55 - 19 5 + 7
a) 0 b) 514714 −
c) 51476 − d) 5672 −
e) N.A.
4) 4 32 - 4 162 + 4
2 + 4 1250
a) 4 25 b) 4 23
c) 4 24
d) 4 36 e) 4 27
5) 3 3 + 768 + 2 108 - 5 300
a) 381 b) 315− c)
319−
d) 315 e) 324
6) 6 28 - 5 63 - 2 112
a) 76 b) 79− c)
715
d) 711− e) 77
7) 7 3
54 + 2 3
16 -5 3
128
a) 3 35 b) 3
23
c) 3
24
d) 3
26 e) 3
25
8) 18 162 -5 98 + 6 12 - 7 27
50
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008
a) 3625 + b)
3523 −
c) 392127 − d)
3932 +
e) 39215 −
9) (3 7 ) ( 2 2 )
a) 25 b) 143
c) 146
d) 52 e) 53
10) (-5 2 ) (-8 5 ) ( 3 )
a) 3040 b) 3040− c)
1014
d) 3014 e) N.A.
11) (-3 11 ) (4 2 )
a) 116 b) 137 c)
2212−
d) 2212 e) N.A.
12) (2 2 )3
a) 216 b) 215
c) 210
d) 28 e) 16
13) (-3 3 3 )3
a) 81 b) 27 c) -81
d) –27 e) 19
14)
2
3
25
2
1





 −
a)
4
553
−
b)
4
553
c)
4
55
d)
8
125
e) N.A.
15) ( )2
34
a) 48 b) 30 c) 16
d) 32 e) 18
16) ( )33
52
a) 16 b) 24 c) –40 d) 40 e) 16
17) ( )33
53
a) 135 b) 18 c) 45 d) –135 e) N.A.
18) ( )4
23
a) 144 b) 16 c) 324
d) 81 e) 64
III.- Transforma a radicales simples
1) 625 +
a) 23 + b) 23 −
c) 16 − d) 16 + e) N.A.
2) 175232 −
a) 520 + b) 75 + c)
75 −
d) 1175 + e) N.A.
3) 5214 +
a) 113 − b) 113 +
c) 114 − d) 27 − e) N.A.
4) 8813 +
a) 213 + b) 211 −
c) 113 − d) 211 + e)
211 +
5) 30211+
a) 56 + b) 56 −
c) 56 − d) 56 − e) N.A.
6) 10621 +
a) 65 + b) 615 −
c) 615 + d) 615 − e) N.A.
7) 31428 +
a) 721 + b) 721 +
c) 721 − d) 621 − e)
87 +
8) 6414 −
a) 232 + b) 232 −
c) 26 − d) 214 − e)
516 −
9) 35212 −
a) 127 − b) 312 −
c) 57 + d) 57 − e) N.A.
10) 246 +
a) 22 + b) 22 − c)
32 +
d) 26 + e) N.A.
CLAVES DE RESPUESTAS
I.
1) b 2) c 3) c
4) a 5) b 6) a
7) d 8) b 9) a
II.
1) a 2) c 3) b
4) a 5) c 6) d
7) e 8) c 9) c
10)a 11)c 12)a
13)c 14)b 15)a
16)d 17)a 18)c
III.
1) a 2) c 3) b
4) d 5) a 6) c
7) b 8) b 9) d
10)a
3. RACIONALIZACIÓN
DEFINICIÓN:
Es el proceso que transforma a uno de los
términos de una fracción (numerador y
denominador) escrito en forma irracional, en
otro racional.
FACTOR RACIONALIZANTE
Llamamos así a aquella expresión irracional
tal que, al multiplicar a otra que también es
irracional la convierte en una expresión
racional.
CASOS :
Expresión
Irracional
Factor
Racionalizante
Expresión
Racional
1 n K
A
n Kn
A − ; n > k A
2 ( )ba ± ( )ba  a - b
3 33
ba + 





+−
3 233 2
baba a + b
PROBLEMAS RESUELTOS
51
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008
( )
( ) ( )22
3627
362725
)3627(
)3627(
)3627(
25
−
+
=
+
+
×
−
637
10
63070
10898
630435
−−=
−
+
=
−
+
1.-
54
3
Solución:
( ) 20
53
54
53
5
5
54
3
2
==×
2.- 5 4
8
1
a
Solución:
a
a
a
a
a
a
a 2
4
2
4
2
2
2
1 5
5 55
5
5 2
5 2
5 43
==×
3.-
3627
25
−
Solución:
=
4.-
11475
1137
+
+
Solución:
176175
132771577435
11475
11475
11475
1137
−
−+−
=
−
−
×
+
+
)(
)(
)(
)(
= 97 - 11 77
5.- Racionaliza:
7354
725
−
+
Solución:
6380
42351120
7354
7354
7354
725
−
++
=








+
+








−
+
=
17
351162 +
5612011 +=+
6.- Racionaliza:
12011
2
+
Solución:
)(
)(
)( 56
56
56
2
12011
2
−
−
×
+
=
+
= 1012
56
1012
22
−=
−
−
PROBLEMAS PROPUESTOS
I.- Racionaliza:
1)
3
3
a) 3 b) 2 3
c) 3 3
d)
3
1
e) N.A.
2)
2
5
a) 5 2 b) 2 c)
2
25
d)
2
2
e) N.A.
3)
54
5
a)
2
55
b)
4
5
c)
2
25
d)
2
5
e) N.A.
4)
ax2
a2
a)
x
xa2
b)
a
ax2
c)
x
ax2
d)
a
x2
e) N.A.
5) 3 2
4
5
a
a)
a
a
2
253
b)
2
25 3
a
c)
a
a
2
453
d)
a
a
2
25 e)
a
a
5
10
6) 3
9
3
x
x
a) x3 b) 3
3x
c) 3 2
3x
d) 3
3 e) N.A.
7) 4 9
3
a
a)
a
a3
b)
a
a4 9
c)
a
a4 2
9
d)
a
a4 3
9 e) N.A.
8) 3
5
6
ax
ax
a)
3 22
5
6
xa b) 3
5
6
ax
c) x
5
6
d) 3 22
6 xa e)
a
xa3 22
6
9) 4 2
27x
x
a) 4 32 x b) 4 2
3x c)
3
34 2
x
d) 46 x e) N.A.
10) 5 4
8
1
a
a)
a
a
2
45
b)
a
a
2
85
c)
a
a
2
85 2
d)
a
a
2
45 2
e) N.A.
II) Racionaliza el denominador de :
1)
21
5
+
a) 255 − b)
525 −
c) 125 − d) 1+ 2
e) 1- 2
52
I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA
1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008
2)
34
13
−
a) 4 - 3 b) 1 + 3
c) 13 - 3 d) 4 + 3
e) 3 -12
3)
52
6
+
a) 2 522 − b)
22102 +
c) 10222 − d) 225 −
e) 2252 −
4)
57
6
−
a) 2373 − b)
3573 +
c) 5373 + d)
3275 −
e) N.A.
5)
522
18
+
a) 56212 − b) 5626 −
c) 2512 + d)
56212 +
e) N.A.
6)
3425
2
−
a) 3425 − b)
3425 +
c) 325 + d) 325 −
e) N.A.
7)
3627
25
−
a)
2
36275 )( −
b)
2
36275
−
+ )(
c)
2
36275 )( −
d)
2
27365
−
− )(
e) N.A.
8)
1027
9
+
a) 7+2 10 b) 7-2 10
c) 1027 + d) 5
e) N.A.
9)
66
15
−
a)
2
66 +
b)
2
66 −
c)
2
16 +
d) 2(6- 6 ) e) N.A.
10)
252
23
+
a)
2
252 −
b)
2
252 +−
c)
2
252 −
d)
2
282 −−
e) N.A.
CLAVES DE RESPUESTAS
I.
1) a 2) c 3) b 4) c
5) a 6) c 7) d 8) a
9) c 10)a
II.
1) b 2) d 3) e 4) c
5) a 6) b 7) b 8) b
9) a 10)b
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Guia iii periodo

  • 1. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA 1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008 n ! = n =1x2x3x4x…. x(n-1) x n V. BINOMIO DE NEWTON 1. FACTORIAL DE UN NÚMERO: Se define el factorial de un número entero positivo “n” como el producto de todos los enteros consecutivos desde 1 hasta “n” inclusive. Así: n ! ; n =Se lee “factorial de n” o “n factorial”. Ejemplos: 1! = 1 2! = 1 x 2 3! = 1 x 2 x 3 4! = 1 x 2 x 3 x 4 5! = .............................................................. 6! = .............................................................. 7! = .............................................................. 8! = ............................................................... 9! = ............................................................... 10!= .............................................................. Pon convención: 0 ! = 0 = 1 OBSERVACIONES : I. Si: a ! =1 ⇒ a = 1 ó a = 0 II. Sabemos que: 7 ! = 7 x    6! 16x5x4x3x2x 7 ! = 7 x 6 ! n ! =n x (n-1) ! PROBLEMAS RESUELTOS 1) Halla : 4! – 2 Solución : 4! - 2! 24 - 2 22 2) Simplifica : R = !2!6 !3!5 x x Solución : R = 2 1 6 3 !2!5! !23!5 == xx xx 3) Simplifica : I = !4 !4 !4 !5 !5 !6 −+ Solución : I = !4 !4 !4 !45 !5 !56 −+ xx I = 6 + 5 – 1 I = 10 4) Halla : x! = 24 Solución : x! = 24 = 4! x! = 4! x = 4 5) Halla “x” : )!1( )!2( + + x x = 7 Solución : 7 )!1( )!1)(2( = + ++ x xx x +2 = 7 x = 5 6) (x + 4)! = 120 Solución : (x + 4)! = 5! x + 4 = 5 x = 1 7) Simplifica : R = !15!13 !12!16 Solución : R = !15!1213 !12!1516 xx xx R = 13 16 PROBLEMAS PROPUESTOS PARTE I : Resuelve 1).- Halla: 6! - 4 a) 596 b) 720 c) 696 d) 692 e) 624 2).- Halla: 2! + 3 + 4 a) 32 b) 64 c) 24 d) 120 e) 36 3).- Halla : 2! . 3! . 1! . 0! a) 24 b) 12 c) 720 d) 36 e) 124 4).- (3!)2 + (2!)2! – 0! Es igual a : a) 40 b) 56 c) 24 d) 39 e) 124 5).- Halla : 0!4!+ + 2 a) 24 b) 6 c) 7 d) 5 e) 9 6).- Simplifica : !3!5 !6!3 x x a) 6 b) 30 c) 24 d) 120 e) 36 7).- Simplifica : !4!5 !6!5!2 x xx a) 36 b) 26 c) 120 d) 40 e) 60 8).- Simplifica : 0!5!+ + (3!)2 a) 57 b) 47 c) 25 d) 27 e) 56 9).- (3!)2 + (2!)3! + 4 a) 124 b) 126 c) 204 d) 66 e) 76 10).- Simplifica : !3 !3 !5 !6 !7 !8 −+ a) 13 b) 12 c) 14 d) 16 e) 9 PARTE II : Halla el valor de “x” en cada caso: 1).- x! = 6 46
  • 2. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA 1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008 a) 3 b) 2 c) 1 d) 5 e) 6 2).- x! = 120 a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 30 3).- x! . 6 . 5 = 6! a) 4 b) 3 c) 2 d) 7 e) 6 4).- x! . 7 . 6 . 5 = 7! a) 3 b) 4 c) 2 d) 5 e) 6 5).- (x + 2)! = 120 a) 6 b) 3 c) 2 d) 9 e) 4 6).- (x + 1)! = 720 a) 5 b) 3 c) 4 d) 6 e) 2 7).- (x – 3)! = 120 a) 5 b) 9 c) 8 d) 3 e) 4 8).- (x + 5)! = 5040 a) 3 b) 12 c) 9 d) 2 e) 7 9).- )!1( )!2( + + x x = 7 a) 8 b) 4 c) 7 d) 3 e) 5 10).- 5 )!2( )!3( = + + x x a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 1 CLAVES DE RESPUESTAS: PARTE I : 1) c 2) a 3) b 4) d 5) c 6) a 7) e 8) b 9) a 10)a PARTE II : 1) a 2) c 3) a 4) b 5) b 6) a 7) c 8) d 9) e 10)a 2. NÚMERO COMBINATORIO : Se define como el número total de grupos que se pueden formar con “n” elementos tomados de k en k, en el cual cada grupo debe diferenciarse por lo menos en un elemento. 2.1. NOTACIÓN : k n kn n k C;C;C 2.2. DEFINICIÓN: !k)!kn( !n C n k − = ; donde n, k∈ N n ≥ k ≥ 0 2.3. REGLA PRÁCTICA : xk.....x3x2x1 )1kn).....(2n)(1n(n C n k +−−− = Ejemplos : 21 2x1 6x7 C84 3x2x1 7x8x9 C 7 2 9 3 ==== 2.4. PROPIEDADES : Combinatorios Complementarios : n kn n k CC − = Teorema : Si : npkvpkCC n p n k =+=⇒= 3. BINOMIO DE NEWTON: Se pueden desarrollar binomios para exponente natural con ayuda de los combinatorios. (x+a)n = n o C n x + axC 1nn 1 − + 22nn 2 aXC − +...+ nn n aC 3.1. FÓRMULA GENERAL DEL TÉRMINO DE POSICIÓN:K+1. Nota: La Expansión del Binomio (x+a)n 1° Presenta n+1 términos. 2° Es un polinomio homogéneo y ordenado descendentemente (para x), ordenado ascendentemente (para a). PROBLEMAS RESUELTOS 1) Determina el valor de : S = 6 4 6 3 6 2 CCC ++ Solución : S = 4x3x2 3x4x5x6 3x2 4x5x6 2 5x6 ++ S = 15 + 20 + 15 S = 50 2) Reduce : E C C = 5 8 2 8 Solución : 2 2x3x7x8 2x6x7x8 2 7x8 2x3 6x7x8 C C C C E 8 2 8 3 8 2 8 5 ===== 3) Calcula : 8 3C Solución : 56 2x3 6x7x8 C8 3 == 4) Calcula : 6 2C Solución: 6 2 2x6 C6 2 == 47 ==
  • 3. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA 1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008 5) Calcula : 24 22C Solución: 231 2 21x22 CC 22 2 24 22 === 6) Calcula: 9 5 12 4 CC + Solución: 9 4 12 4 CC + 2x3x4 6x7x8x9 2x3x4 9x10x11x12 + 7x2x99x5x11 + 495 + 126 = 621 7) En el desarrollo de ( x + y )5 , calcula el tercer termino. Solución: Tenemos que, n = 5 y k = 2 23 3 2255 23 yx10T )y()x(CT = = − 8) En el desarrollo de ( x2 + x3 )6 , calcula el cuarto termino. Solución : Tenemos que, n = 6 y k = 3 15 3 96 3 333626 33 x20T xx20T )x()x(CT = = = − PROBLEMAS PROPUESTOS PARTE I : Resuelve los siguientes números combinatorios: 1.- 5 2C a)10 b) 12 c) 20 d) 5 e) 14 2.- 12 9C a) 140 b) 80 c) 150 d) 220 e) 120 3.- 14 12C a) 54 b) 15 c) 91 d) 45 e) 12 4.- 30 27C a) 145 b) 154 c) 4060 d) 1450 e) 4510 5.- 52 49C a) 1233 b) 22100 c) 5680 d) 14528 e) 145870 6.- 108 107C a) 108 b) 145 c) 508 d) 148 e) 106 7.- 18 15C a) 618 b) 458 c) 816 d) 806 e) 541 8.- 8 5C a) 56 b) 54 c) 45 d) 85 e) 25 9.- 15 13C a) 108 b) 145 c) 621 d) 105 e) 126 10.- 20 19C a) 12 b) 25 c) 20 d) 30 e) 10 11.- 40 36C a) 2548 b) 4518 c) 24887 d) 91390 e) 85478 12.- 64 61C a) 1458 b) 45892 c) 41664 d) 45998 e) 43298 13.- 83 81C a) 3508 b) 4528 c) 1245 d) 4689 e) 3403 14.- 24 22C a) 276 b) 278 c) 158 d) 279 e) 282 PARTE II : Resuelve los siguientes binomios de Newton : 1) En el desarrollo de ( x2 + x-2 )6 , calcula el cuarto termino. a) 27 b) 20 c) 15 d) 28 e) 26 2) En el desarrollo de ( x2 + x-2 )8 , calcula el quinto termino. a) 70 b) 80 c) 55 d) 58 e) 76 3) En el desarrollo de ( x2 + x-2 )10 , calcula el sexto termino. a) 271 b) 240 c) 252 d) 238 e) 246 4) En el desarrollo de ( x2 + x-2 )5 , calcula el tercer termino. a) 10x2 b) 20x2 c) 10x4 d) 5x2 e) 7x3 5) En el desarrollo de ( x3 + x-2 )8 , calcula el quinto termino. a) 70x2 b) 20x2 c) 70x4 d) 58x2 e) 78x3 6) En el desarrollo de ( x2 + x-3 )5 , calcula el tercer termino. a) 10 b) 20 c) 10x4 d) 5x2 e) 7x3 7) En el desarrollo de ( x2 + x-2 )9 , calcula el quinto termino. a) 105x2 b) 126x2 c) 109x4 d) 145x2 e) 87x3 8) En el desarrollo de ( x3 + x-5 )8 , calcula el cuarto termino. a) 56 b) 20x2 c) 10x4 d) 5x2 e) 72 9) En el desarrollo de ( x + x-1 )7 , calcula el quinto termino. a) -10x5 b) 35x-1 c) 42x-1 d) 35x e) 37x3 48
  • 4. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA 1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008 10) En el desarrollo de ( x + x-1 )5 , calcula el cuarto termino. a) 10x-1 b) 20x2 c) 10x4 d) 5x-1 e) 5x3 11) En el desarrollo de ( x + x-1 )15 , calcula el termino 16. a) 10x15 b) 20x2 c) 10x-15 d) 5x2 e) x-15 CLAVES DE RESPUESTAS PARTE I : 1) a 2) d 3) c 4) c 5) b 6) a 7) c 8) a 9) d 10)c 11)d 12)c 13)e 14)a PARTE II : 1) b 2) a 3) c 4) a 5) c 6) a 7) b 8) a 9) b 10)a 11)e VI. RADICACIÓN Es la operación que tiene por objeto calcular una expresión llamada RAÍZ conociendo otras llamadas INDICES y RADICANDO; tal que dicha raíz elevada al índice, reproduzca el radicando. n A = R PROPIEDADES 1) nnn a.ab.a = 2) . a a b a n n n = 3) ( )mnn m bb = 4) nxmm n bb = SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES Se descompone el radicando en factores de modo que los exponentes sean divisibles entre el índice del radical, se extrae la raíz y se deja indicado el factor que no tiene raíz exacta. Ejem: 3633233232108 2232 =×=××=×= 1. RADICALES SEMEJANTES Son aquellos que tienen el mismo índice y el mismo radicando. Ejem : 3 2 ; -5 2 ; 2 3 2 ; 2 2. RADICALES DOBLES : Tienen la forma: BA ± Transformar radicales dobles a radicales simples : 22 CACA BA − ± + =± C = BA −2 3. REGLA PRÁCTICA bab.abaBA ±=±+=± 2 donde a>b LEMAS RESUELTOS PROBLEMAS RESUELTOS I.- Simplifica: 1.- 180 Solución: 594594180 =××= = 56 2.- 3 1080 Solución: 33 52781080 ××= = 333 5278 ×× = 2 x 3 x 3 5 = 3 56 3.- 5 192 Solución: 55 55 55 62322192 ×=××= = 5 62 II. Resuelve: 4.- 2721921526 +−+ Solución: (6+15-19+7) 2  29 5.- 273192317 −−+ Solución: Agrupamos radicales semejantes. 27131917 )()( −+− 2632 − 6.- 541024829465 −++ Solución: Transformamos a radicales semejantes. 691064864965 ×−×+×+ 63106286765 ×−×++ 6306166765 −++ (5+7+16-30) 6 62− 7.- )()( 2563 Solución: ( ) 2653 ×× = 1215 3415 × = 3215 ×  330 8.- ( )57 11 3 2 7 1       −      Solución: 572 11 3 7 1 ××      −      70 77 3 − 9.- ( )2 25 Solución: 49 Índice Radicando ó cantidad sub radical Raíz
  • 5. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA 1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008 ( ) ( )222 2525 = = 25 x 2 = 50 10.- ( )55 102 Solución: ( ) 55555 102102 = = 32 x 10 = 320 III. Transforma a radicales simples : 11.- 728 + Solución: Dos factores que sumen 8 : 7 y 1  17728 +=+ = 17 + 12.- 608 − Solución: 15281548 −=×−  15 = 5 x 3 8 = 5+3 Luego: 351528 −=− 35608 −=− 13.- 31884 − Solución: 3928431884 ×−=− 381381284 −=×− = 9- 3 14.- 23055 + Solución: 215255 ×+ 2225255 ×+ 450255 + 10451045255 +=×+ 105323055 +=+ 15.- 5618 + Solución: 452185618 +=+ 3155618 +=+ PROBLEMAS PROPUESTOS I.- Simplifica : 1) 8 a) 8 b) 22 c) 23 d) 2 e) N.A. 2) 162 a) 25 b) 22 c) 29 d) 2 e) N.A. 3) 32 a) 22 b) 23 c) 24 d) 25 e) 26 4) 48 a) 34 b) 33 c) 32 d) 35 e) N.A. 5) 245 a) 55 b) 57 c) 56 d) 52 e) N.A. 6) 720 a) 512 b) 56 c) 59 d) 58 e) N.A. 7) 3 875 a) 3 26 b) 3 53 c) 3 56 d) 3 75 e) 3 77 8) 5 480 a) 5 23 b) 5 152 c) 5 54 d) 5 52 e) N.A. 9) 4 810 a) 4 103 b) 4 102 c) 4 109 d) 4 53 e) N.A. II.- Efectúa : 1) 12 2 +5 2 - 2 a) 16 2 b) 4 2 c) 8 2 d) 17 2 e) N.A. 2) 11 5 - 2 5 + 5 a) 58 b) 57 c) 510 d) 52 e) N.A. 3) 13 7 + 55 - 19 5 + 7 a) 0 b) 514714 − c) 51476 − d) 5672 − e) N.A. 4) 4 32 - 4 162 + 4 2 + 4 1250 a) 4 25 b) 4 23 c) 4 24 d) 4 36 e) 4 27 5) 3 3 + 768 + 2 108 - 5 300 a) 381 b) 315− c) 319− d) 315 e) 324 6) 6 28 - 5 63 - 2 112 a) 76 b) 79− c) 715 d) 711− e) 77 7) 7 3 54 + 2 3 16 -5 3 128 a) 3 35 b) 3 23 c) 3 24 d) 3 26 e) 3 25 8) 18 162 -5 98 + 6 12 - 7 27 50
  • 6. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA 1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008 a) 3625 + b) 3523 − c) 392127 − d) 3932 + e) 39215 − 9) (3 7 ) ( 2 2 ) a) 25 b) 143 c) 146 d) 52 e) 53 10) (-5 2 ) (-8 5 ) ( 3 ) a) 3040 b) 3040− c) 1014 d) 3014 e) N.A. 11) (-3 11 ) (4 2 ) a) 116 b) 137 c) 2212− d) 2212 e) N.A. 12) (2 2 )3 a) 216 b) 215 c) 210 d) 28 e) 16 13) (-3 3 3 )3 a) 81 b) 27 c) -81 d) –27 e) 19 14) 2 3 25 2 1       − a) 4 553 − b) 4 553 c) 4 55 d) 8 125 e) N.A. 15) ( )2 34 a) 48 b) 30 c) 16 d) 32 e) 18 16) ( )33 52 a) 16 b) 24 c) –40 d) 40 e) 16 17) ( )33 53 a) 135 b) 18 c) 45 d) –135 e) N.A. 18) ( )4 23 a) 144 b) 16 c) 324 d) 81 e) 64 III.- Transforma a radicales simples 1) 625 + a) 23 + b) 23 − c) 16 − d) 16 + e) N.A. 2) 175232 − a) 520 + b) 75 + c) 75 − d) 1175 + e) N.A. 3) 5214 + a) 113 − b) 113 + c) 114 − d) 27 − e) N.A. 4) 8813 + a) 213 + b) 211 − c) 113 − d) 211 + e) 211 + 5) 30211+ a) 56 + b) 56 − c) 56 − d) 56 − e) N.A. 6) 10621 + a) 65 + b) 615 − c) 615 + d) 615 − e) N.A. 7) 31428 + a) 721 + b) 721 + c) 721 − d) 621 − e) 87 + 8) 6414 − a) 232 + b) 232 − c) 26 − d) 214 − e) 516 − 9) 35212 − a) 127 − b) 312 − c) 57 + d) 57 − e) N.A. 10) 246 + a) 22 + b) 22 − c) 32 + d) 26 + e) N.A. CLAVES DE RESPUESTAS I. 1) b 2) c 3) c 4) a 5) b 6) a 7) d 8) b 9) a II. 1) a 2) c 3) b 4) a 5) c 6) d 7) e 8) c 9) c 10)a 11)c 12)a 13)c 14)b 15)a 16)d 17)a 18)c III. 1) a 2) c 3) b 4) d 5) a 6) c 7) b 8) b 9) d 10)a 3. RACIONALIZACIÓN DEFINICIÓN: Es el proceso que transforma a uno de los términos de una fracción (numerador y denominador) escrito en forma irracional, en otro racional. FACTOR RACIONALIZANTE Llamamos así a aquella expresión irracional tal que, al multiplicar a otra que también es irracional la convierte en una expresión racional. CASOS : Expresión Irracional Factor Racionalizante Expresión Racional 1 n K A n Kn A − ; n > k A 2 ( )ba ± ( )ba  a - b 3 33 ba +       +− 3 233 2 baba a + b PROBLEMAS RESUELTOS 51
  • 7. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA 1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008 ( ) ( ) ( )22 3627 362725 )3627( )3627( )3627( 25 − + = + + × − 637 10 63070 10898 630435 −−= − + = − + 1.- 54 3 Solución: ( ) 20 53 54 53 5 5 54 3 2 ==× 2.- 5 4 8 1 a Solución: a a a a a a a 2 4 2 4 2 2 2 1 5 5 55 5 5 2 5 2 5 43 ==× 3.- 3627 25 − Solución: = 4.- 11475 1137 + + Solución: 176175 132771577435 11475 11475 11475 1137 − −+− = − − × + + )( )( )( )( = 97 - 11 77 5.- Racionaliza: 7354 725 − + Solución: 6380 42351120 7354 7354 7354 725 − ++ =         + +         − + = 17 351162 + 5612011 +=+ 6.- Racionaliza: 12011 2 + Solución: )( )( )( 56 56 56 2 12011 2 − − × + = + = 1012 56 1012 22 −= − − PROBLEMAS PROPUESTOS I.- Racionaliza: 1) 3 3 a) 3 b) 2 3 c) 3 3 d) 3 1 e) N.A. 2) 2 5 a) 5 2 b) 2 c) 2 25 d) 2 2 e) N.A. 3) 54 5 a) 2 55 b) 4 5 c) 2 25 d) 2 5 e) N.A. 4) ax2 a2 a) x xa2 b) a ax2 c) x ax2 d) a x2 e) N.A. 5) 3 2 4 5 a a) a a 2 253 b) 2 25 3 a c) a a 2 453 d) a a 2 25 e) a a 5 10 6) 3 9 3 x x a) x3 b) 3 3x c) 3 2 3x d) 3 3 e) N.A. 7) 4 9 3 a a) a a3 b) a a4 9 c) a a4 2 9 d) a a4 3 9 e) N.A. 8) 3 5 6 ax ax a) 3 22 5 6 xa b) 3 5 6 ax c) x 5 6 d) 3 22 6 xa e) a xa3 22 6 9) 4 2 27x x a) 4 32 x b) 4 2 3x c) 3 34 2 x d) 46 x e) N.A. 10) 5 4 8 1 a a) a a 2 45 b) a a 2 85 c) a a 2 85 2 d) a a 2 45 2 e) N.A. II) Racionaliza el denominador de : 1) 21 5 + a) 255 − b) 525 − c) 125 − d) 1+ 2 e) 1- 2 52
  • 8. I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” ÁLGEBRA 1º SECUNDARIA – III PERIODO -2008 2) 34 13 − a) 4 - 3 b) 1 + 3 c) 13 - 3 d) 4 + 3 e) 3 -12 3) 52 6 + a) 2 522 − b) 22102 + c) 10222 − d) 225 − e) 2252 − 4) 57 6 − a) 2373 − b) 3573 + c) 5373 + d) 3275 − e) N.A. 5) 522 18 + a) 56212 − b) 5626 − c) 2512 + d) 56212 + e) N.A. 6) 3425 2 − a) 3425 − b) 3425 + c) 325 + d) 325 − e) N.A. 7) 3627 25 − a) 2 36275 )( − b) 2 36275 − + )( c) 2 36275 )( − d) 2 27365 − − )( e) N.A. 8) 1027 9 + a) 7+2 10 b) 7-2 10 c) 1027 + d) 5 e) N.A. 9) 66 15 − a) 2 66 + b) 2 66 − c) 2 16 + d) 2(6- 6 ) e) N.A. 10) 252 23 + a) 2 252 − b) 2 252 +− c) 2 252 − d) 2 282 −− e) N.A. CLAVES DE RESPUESTAS I. 1) a 2) c 3) b 4) c 5) a 6) c 7) d 8) a 9) c 10)a II. 1) b 2) d 3) e 4) c 5) a 6) b 7) b 8) b 9) a 10)b 53