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INICIACIÓN A LA DERIVADA
EN UN PUNTO
CRECIMIENTOY DECRECIMIENTO DE UNA
FUNCIÓN
TASA DEVARIACIÓN MEDIA
DEFINICIÓN DE DERIVADA EN UN PUNTO
Aurora Domenech
CRECIMIENTO en un intervalo (a,b)
)()(;)( bfafcumplesebayxfDada 
Observa el
crecimiento de estas
dos funciones en el
intervalo [1,2]
41.12)2(11)1(
)2()1(21


fyfporque
ffcumplese
xxf )(
x
xf 2)( 
42)2(22)1(
)2()1(21
21


fyfporque
ffcumplese
Ha “crecido” aprox. 0.41 unidades
Ha “crecido” 2 unidades
Observa que aunque
ambas crecen, no lo
hacen con igual
“velocidad”
DeCRECIMIENTO en un intervalo (a,b)
)()(;)( bfafcumplesebayxfDada 
Observa el
decrecimiento de
estas dos funciones en
el intervalo [-3,-1]
2)1(4)3(
)1()3(13


fyfporque
ffcumplese
xxf 1)(
x
xf 






2
1
)(
Ha “decrecido” aprox. 2 unidades
2
2
1
)1(8
2
1
)3(
)1()3(13
13















fyfporque
ffcumplese
Ha “decrecido” 6
unidades
Observa que aunque
ambas decrecen, no lo
hacen con igual
“velocidad”
Crecimiento, decrecimiento y
tangentes a la curva (I)
En los puntos donde la curva
es creciente, la tangente es
una recta de pendiente
positiva.
En los puntos donde la curva
es decreciente, la tangente es
una recta de pendiente
negativa.
Observa esta gráfica en la que se han trazado algunas rectas tangentes a
la curva en algunos puntos de la misma, escogidos al azar.
Crecimiento, decrecimiento y
tangentes a la curva (II)
En los puntos donde la
curva no es creciente, ni
decreciente la tangente
es una recta horizontal
de pendiente cero.
Estas tres
observaciones son las
que darán lugar a las
herramientas de
estudio del
comportamiento de
algunos aspectos de
una función mediante
su primera derivada.
Lo veremos más
adelante.
TASA DEVARIACIÓN MEDIA
La tasa de variación media de una función
f(x) en un intervalo [a,b] es el cociente:
xdeiación
xfdeiación
var
)(var
b-a
f(b)-f(a)
 
ab
afbf
baTVM



)()(
,
Como b-a es siempre positivo,
el signo de TVM dependerá de
f(b)-f(a)
crecienteafbfafbf )()(0)()( 
edecrecientafbfafbf )()(0)()( 
Cómo se calcula TVM
Hallar la TVM de la función
f(x)=(x-1)·(x-2) en los intervalos que se indican
  2
1
20
01
)0()1(
1,0 





ff
TVM
  4
1
26
01
)0()1(
0,1 






ff
TVM
  1
2
2
13
)1()3(
3,1 



ff
TVM
“f(x) varía 4
unidades de forma
decreciente entre –1
y 0”
“f(x) varía 1 unidades
de forma creciente
durante dos unidades
de variación de x”
“f(x) varía 2 unidades
de forma decreciente
entre 0 y 1”
¿Coinciden cálculos e interpretación?
  4
1
26
01
)0()1(
0,1 






ff
TVM
  2
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20
01
)0()1(
1,0 





ff
TVM
Aquí no sería cierto que crece en todo el intervalo ya que no
se refleja el “decrecimiento” que hay en [1, 1.5] .
  1
2
2
13
)1()3(
3,1 



ff
TVM
“Afinando la TVM”
Para que la información aportada por el cálculo de laTVM sea
realmente fiable, hace falta que el intervalo en el que nos
movemos sea “suficientemente pequeño” para que no nos
lleve a error.
Observa esta gráfica
¿QuéTVM sería mas fiable?¿La calculada entre los puntos A y B?¿Entre B y C?
¿Entre A y D? ¿Entre C y D?
Entre B y C nos daríaTVM=0
cuya interpretación podría
sugerir que la función no varía en
ese tramo, es decir ue ni sube ni
baja, y eso no es así
Entre C y D nos daríaTVM>0
cuya interpretación podría
sugerir que la función varía en
ese tramo de forma creciente y
en ese caso sí es así
¿Cómo “afinamos”?
Calculamos TVM en un intervalo
“minúsculo” [a, a+h]
 
aha
afhaf
haaTVM



)()(
,
 
h
afhaf
haaTVM
)()(
,


La TVM así obtenida será una expresión algebraica que dependerá
del valor de h.
Podemos hacer el intervalo tan pequeño como deseemos, dando
a h valores tan próximos al cero como queramos.
¿qué concepto matemático explica el acercarse a un valor
tanto como se quiera?
Los límites en un
punto.
Ejemplo
Calcula laTVM en el intervalo [2,2+h] de
 
  4
4
114
2,2
2
2






hndosimplifica
h
hh
h
hh
hTVMComo
3)( 2
 xxf
14
344
3)2()2(
2
2
2



hh
hh
hhf
Calculamos
134
3)2()2( 2

f
Calculamos
Sustituimos enTVM
TVM[2 , 2´1]= 0.1+4 =4.1
TVM[2 , 2´01]= 0.01+4 =4.01
TVM[2 , 2´001]= 0.001+4 =4.001
TVM[2 , 2´0001]= 0.0001+4 =4.0001
Cuánto mas
pequeño es el
intervalo,mas fiable
es la información
respecto al
crecimiento o
decrecimiento de la
función en ese
punto.
¿Qué es la TVM geométricamente
hablando?
Es el valor de la pendiente de la recta que une los puntos f(a) y f(b) de la gráfica
ab
afbf
tgm



)()(

Geométricamente hablando…
Cuando calculamos la TVM de un intervalo cada vez mas pequeño, lo que
acabamos calculando es la pendiente de la recta tangente a la curva en el
punto de comienzo del intervalo.
DERIVADA EN UN PUNTO
 
h
afhaf
af
h
)()(
lim´
0



Dada una función f(x) y un punto x=a, se llama derivada de la
función en ese punto, al valor – si existe – del límite de laTVM
cuando la amplitud del intervalo tiende a cero.
Y geométricamente, es el valor de la pendiente de la recta tangente
a la función f(x) en el punto (a,f(a)).
La ecuación de esta recta tangente vendrá dada por lo tanto, por:
  axafafy  ·´)(
Otra forma de decir lo mismo
 
ax
afxf
af
ax 



)()(
lim´
El intervalo de estudio para laTVM sería ahora [a, x] ;
con “x” en vez de “b” para indicar que lo vamos a
hacer variar de forma que el intervalo sea cada vez
mas “ minúsculo”.
¿Cómo? Haciendo que “X” se acerque al inicio del
intervalo “a” tanto como queramos.
De nuevo: concepto de límite en un punto.

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Iniciación a la derivada en un punto

  • 1. INICIACIÓN A LA DERIVADA EN UN PUNTO CRECIMIENTOY DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN TASA DEVARIACIÓN MEDIA DEFINICIÓN DE DERIVADA EN UN PUNTO Aurora Domenech
  • 2. CRECIMIENTO en un intervalo (a,b) )()(;)( bfafcumplesebayxfDada  Observa el crecimiento de estas dos funciones en el intervalo [1,2] 41.12)2(11)1( )2()1(21   fyfporque ffcumplese xxf )( x xf 2)(  42)2(22)1( )2()1(21 21   fyfporque ffcumplese Ha “crecido” aprox. 0.41 unidades Ha “crecido” 2 unidades Observa que aunque ambas crecen, no lo hacen con igual “velocidad”
  • 3. DeCRECIMIENTO en un intervalo (a,b) )()(;)( bfafcumplesebayxfDada  Observa el decrecimiento de estas dos funciones en el intervalo [-3,-1] 2)1(4)3( )1()3(13   fyfporque ffcumplese xxf 1)( x xf        2 1 )( Ha “decrecido” aprox. 2 unidades 2 2 1 )1(8 2 1 )3( )1()3(13 13                fyfporque ffcumplese Ha “decrecido” 6 unidades Observa que aunque ambas decrecen, no lo hacen con igual “velocidad”
  • 4. Crecimiento, decrecimiento y tangentes a la curva (I) En los puntos donde la curva es creciente, la tangente es una recta de pendiente positiva. En los puntos donde la curva es decreciente, la tangente es una recta de pendiente negativa. Observa esta gráfica en la que se han trazado algunas rectas tangentes a la curva en algunos puntos de la misma, escogidos al azar.
  • 5. Crecimiento, decrecimiento y tangentes a la curva (II) En los puntos donde la curva no es creciente, ni decreciente la tangente es una recta horizontal de pendiente cero. Estas tres observaciones son las que darán lugar a las herramientas de estudio del comportamiento de algunos aspectos de una función mediante su primera derivada. Lo veremos más adelante.
  • 6. TASA DEVARIACIÓN MEDIA La tasa de variación media de una función f(x) en un intervalo [a,b] es el cociente: xdeiación xfdeiación var )(var b-a f(b)-f(a)   ab afbf baTVM    )()( , Como b-a es siempre positivo, el signo de TVM dependerá de f(b)-f(a) crecienteafbfafbf )()(0)()(  edecrecientafbfafbf )()(0)()( 
  • 7. Cómo se calcula TVM Hallar la TVM de la función f(x)=(x-1)·(x-2) en los intervalos que se indican   2 1 20 01 )0()1( 1,0       ff TVM   4 1 26 01 )0()1( 0,1        ff TVM   1 2 2 13 )1()3( 3,1     ff TVM “f(x) varía 4 unidades de forma decreciente entre –1 y 0” “f(x) varía 1 unidades de forma creciente durante dos unidades de variación de x” “f(x) varía 2 unidades de forma decreciente entre 0 y 1”
  • 8. ¿Coinciden cálculos e interpretación?   4 1 26 01 )0()1( 0,1        ff TVM   2 1 20 01 )0()1( 1,0       ff TVM Aquí no sería cierto que crece en todo el intervalo ya que no se refleja el “decrecimiento” que hay en [1, 1.5] .   1 2 2 13 )1()3( 3,1     ff TVM
  • 9. “Afinando la TVM” Para que la información aportada por el cálculo de laTVM sea realmente fiable, hace falta que el intervalo en el que nos movemos sea “suficientemente pequeño” para que no nos lleve a error. Observa esta gráfica ¿QuéTVM sería mas fiable?¿La calculada entre los puntos A y B?¿Entre B y C? ¿Entre A y D? ¿Entre C y D? Entre B y C nos daríaTVM=0 cuya interpretación podría sugerir que la función no varía en ese tramo, es decir ue ni sube ni baja, y eso no es así Entre C y D nos daríaTVM>0 cuya interpretación podría sugerir que la función varía en ese tramo de forma creciente y en ese caso sí es así ¿Cómo “afinamos”?
  • 10. Calculamos TVM en un intervalo “minúsculo” [a, a+h]   aha afhaf haaTVM    )()( ,   h afhaf haaTVM )()( ,   La TVM así obtenida será una expresión algebraica que dependerá del valor de h. Podemos hacer el intervalo tan pequeño como deseemos, dando a h valores tan próximos al cero como queramos. ¿qué concepto matemático explica el acercarse a un valor tanto como se quiera? Los límites en un punto.
  • 11. Ejemplo Calcula laTVM en el intervalo [2,2+h] de     4 4 114 2,2 2 2       hndosimplifica h hh h hh hTVMComo 3)( 2  xxf 14 344 3)2()2( 2 2 2    hh hh hhf Calculamos 134 3)2()2( 2  f Calculamos Sustituimos enTVM TVM[2 , 2´1]= 0.1+4 =4.1 TVM[2 , 2´01]= 0.01+4 =4.01 TVM[2 , 2´001]= 0.001+4 =4.001 TVM[2 , 2´0001]= 0.0001+4 =4.0001 Cuánto mas pequeño es el intervalo,mas fiable es la información respecto al crecimiento o decrecimiento de la función en ese punto.
  • 12. ¿Qué es la TVM geométricamente hablando? Es el valor de la pendiente de la recta que une los puntos f(a) y f(b) de la gráfica ab afbf tgm    )()( 
  • 13. Geométricamente hablando… Cuando calculamos la TVM de un intervalo cada vez mas pequeño, lo que acabamos calculando es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de comienzo del intervalo.
  • 14. DERIVADA EN UN PUNTO   h afhaf af h )()( lim´ 0    Dada una función f(x) y un punto x=a, se llama derivada de la función en ese punto, al valor – si existe – del límite de laTVM cuando la amplitud del intervalo tiende a cero. Y geométricamente, es el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en el punto (a,f(a)). La ecuación de esta recta tangente vendrá dada por lo tanto, por:   axafafy  ·´)(
  • 15. Otra forma de decir lo mismo   ax afxf af ax     )()( lim´ El intervalo de estudio para laTVM sería ahora [a, x] ; con “x” en vez de “b” para indicar que lo vamos a hacer variar de forma que el intervalo sea cada vez mas “ minúsculo”. ¿Cómo? Haciendo que “X” se acerque al inicio del intervalo “a” tanto como queramos. De nuevo: concepto de límite en un punto.