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Intervalos de confianza




LUIS ALONSO GALLEGOS ARIAS
Problema 1.-En una muestra de 1000 nacimientos el número de varones ha sido
542 ¿Puede considerarse, con un nivel de significación del 10%, que en general
nacen más niños que niñas?


SOLUCIÓN:

1º La hipótesis nula sería que nacen igual número de niños que de niñas, o lo que
es lo
mismo que la proporción de niños nacidos es igual 1/2.

Por consiguiente: Ho P = 0,5

2º H1 P > 0,5

3º El estadístico de contraste es:


4º Como la proporción maestral es 542/1000 = 0,542, sustituyendo se obtiene
el valor
del estadístico:

       =        =    = 2.66


5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la Normal el valor
de la
variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 1,282.

6º El valor del estadístico 2,66 es mayor que el valor crítico 1,282 por
consiguiente, se
rechaza la hipótesis nula.

7º Efectivamente, nacen en mayor proporción niños que niñas.

Problema 2.-

En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una corte de 412
mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el
17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción
de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por:




Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139, 0,212) con una
confianza de 95%.



Problema 3.-

Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz
de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513,
492, 534,

523, 452, 464, 562, 584, 507, 461

Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine
un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

Solución:

Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 y
la desviación típica 42,54.

Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad,
obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12

Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la
media tenemos:

(505,35 - 2,12 · 42,54 / 4, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4)

Operando

( 482,80 ,, 527,90 )
Problema 4.-

En una muestra de 66 alumnos se ha calculado el coeficiente de correlación de
Pearson entre sus puntuaciones en el primer parcial de Análisis de Datos y el
tiempo que se emplea en desplazarse desde su domicilio hasta la Facultad,
obteniéndose que r vale 0,24. Podemos mantener, con un nivel de confianza del
95%, la idea de que estas variables son incorreladas, o por el contrario
debemos rechazarla.

SOLUCIÓN:
1º Ho = 0
      

2º H1 0
        


3º El estadístico de contraste es: t=




4º Sustituyendo tenemos:


t=        = t=          = t=     = t= 1.98


5º El contraste es bilateral, por ello buscamos en las tablas de la t de Student,
con 60
grados de libertad (el valor más próximo a 64 que figura en nuestras tablas), el
valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 que es 2. Por tanto la
región de aceptación será el intervalo (-2 ,, 2).

6º El valor del estadístico pertenece a la región de aceptación, por
consiguiente se acepta la hipótesis nula.

7º No existe correlación entre ambas variables, de donde se deduce que el
tiempo

empleado no influye en la calificación.

Problema 5.-
En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión
tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.

a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a
un nivel del 90%, para la media de la población.

b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que
podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la
estimación puntual.

Solución:

   a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que
      deja por debajo una probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente).
      Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo




      de confianza obtenemos:



      Operando:

      (30,06 ,, 35,34)



      b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la
variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a
un nivel de confianza del 95% la media de la población puede valer

Problema 6.-

De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestral
es de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de
50 observaciones. La media mustral es ahora 99 y la desviación estándar es 6.
Realice la siguiente prueba de hipótesis usando como nivel de significancia
0,04.
Ho: u1 =
u2
Ho:
u1 ≠ u2

a) Es esta una prueba de una o de dos colas?

  Esta es una prueba de hipótesis de dos colas

b ) Establezca la regla de decisión

   Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la
hipótesis alternativa

c) Calcule el valor del estadístico de prueba



Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se
acepta H1




d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula?

  Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y se
acepta la hipótesis alternativa

  Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05




e) Cuál es el valor p?
Z = 2,59 Area 0,4952

        0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 = 0,0096

Problema 7.-

Calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo de confianza para la
varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y por defecto que
podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza.

Solución:

Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale
1809,29 y la cuasi varianza 1922,37

En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo
una probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad
de 0,95.

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza
tenemos:

( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 )

Operando

( 1169,50 ,, 3864,06 )

Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69

y el error por exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87

Problema 8.-

En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste
semanalmente al cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianza
del 95%, la proporción de universitarios que acude todas las semanas al cine.

Solución:
En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por
debajo una probabilidad de 0,975 es 1,96.

Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para una proporción

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Intervalos de confianza

  • 1. UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE TORREON Intervalos de confianza LUIS ALONSO GALLEGOS ARIAS
  • 2. Problema 1.-En una muestra de 1000 nacimientos el número de varones ha sido 542 ¿Puede considerarse, con un nivel de significación del 10%, que en general nacen más niños que niñas? SOLUCIÓN: 1º La hipótesis nula sería que nacen igual número de niños que de niñas, o lo que es lo mismo que la proporción de niños nacidos es igual 1/2. Por consiguiente: Ho P = 0,5 2º H1 P > 0,5 3º El estadístico de contraste es: 4º Como la proporción maestral es 542/1000 = 0,542, sustituyendo se obtiene el valor del estadístico: = = = 2.66 5º Como el contraste es unilateral, buscamos en las tablas de la Normal el valor de la variable que deja por debajo de sí una probabilidad de 0,9, este valor es 1,282. 6º El valor del estadístico 2,66 es mayor que el valor crítico 1,282 por consiguiente, se rechaza la hipótesis nula. 7º Efectivamente, nacen en mayor proporción niños que niñas. Problema 2.- En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en una corte de 412 mujeres mayores de 15 años en la Región Metropolitana, se encontró que el
  • 3. 17.6% eran hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la proporción de mujeres hipertensas en la Región Metropolitana está dado por: Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139, 0,212) con una confianza de 95%. Problema 3.- Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461 Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%. Solución: Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 y la desviación típica 42,54. Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12 Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la media tenemos: (505,35 - 2,12 · 42,54 / 4, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4) Operando ( 482,80 ,, 527,90 )
  • 4. Problema 4.- En una muestra de 66 alumnos se ha calculado el coeficiente de correlación de Pearson entre sus puntuaciones en el primer parcial de Análisis de Datos y el tiempo que se emplea en desplazarse desde su domicilio hasta la Facultad, obteniéndose que r vale 0,24. Podemos mantener, con un nivel de confianza del 95%, la idea de que estas variables son incorreladas, o por el contrario debemos rechazarla. SOLUCIÓN: 1º Ho = 0  2º H1 0   3º El estadístico de contraste es: t= 4º Sustituyendo tenemos: t= = t= = t= = t= 1.98 5º El contraste es bilateral, por ello buscamos en las tablas de la t de Student, con 60 grados de libertad (el valor más próximo a 64 que figura en nuestras tablas), el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 que es 2. Por tanto la región de aceptación será el intervalo (-2 ,, 2). 6º El valor del estadístico pertenece a la región de aceptación, por consiguiente se acepta la hipótesis nula. 7º No existe correlación entre ambas variables, de donde se deduce que el tiempo empleado no influye en la calificación. Problema 5.-
  • 5. En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversión tienen una media de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64. a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a un nivel del 90%, para la media de la población. b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cual sería el máximo error que podríamos cometer al tomar como media de la población el valor obtenido en la estimación puntual. Solución: a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja por debajo una probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo los valores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos: Operando: (30,06 ,, 35,34) b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel de confianza del 95% la media de la población puede valer Problema 6.- De una población se toma una muestra de 40 observaciones. La media muestral es de 102 y la desviación estándar 5. De otra población se toma una muestra de 50 observaciones. La media mustral es ahora 99 y la desviación estándar es 6. Realice la siguiente prueba de hipótesis usando como nivel de significancia 0,04.
  • 6. Ho: u1 = u2 Ho: u1 ≠ u2 a) Es esta una prueba de una o de dos colas? Esta es una prueba de hipótesis de dos colas b ) Establezca la regla de decisión Si Z > que le valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa c) Calcule el valor del estadístico de prueba Si Z > que el valor crítico, se rechaza la hipótesis nula y se acepta H1 d) Cuál es su decisión respecto a la hipótesis nula? Como su valor calculado Z (2,59) > 2,05; se rechaza la hipótesis nula y se acepta la hipótesis alternativa Si Z tabulada es 0,5 - 0,02 = 0,48 este valor en la tabla es 2,05 e) Cuál es el valor p?
  • 7. Z = 2,59 Area 0,4952 0,5 - 0,4952 = 0,0048 * 2 = 0,0096 Problema 7.- Calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalo de confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso y por defecto que podría cometerse utilizando el estimador insesgado de la varianza. Solución: Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale 1809,29 y la cuasi varianza 1922,37 En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad de 0,95. Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza tenemos: ( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 ) Operando ( 1169,50 ,, 3864,06 ) Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69 y el error por exceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87 Problema 8.- En una muestra de 300 universitarios el 80% ha respondido que asiste semanalmente al cine. Entre que valores se encuentra, con un nivel de confianza del 95%, la proporción de universitarios que acude todas las semanas al cine. Solución:
  • 8. En las tablas de la Normal encontramos que el valor de la variable que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 1,96. Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para una proporción