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INVESTIGACIÓN DE
  OPERACIONES
     Teoría de colas
TEORÍA DE COLAS



s el estudio matemático de las líneas de espera o colas dentro de
una red de comunicaciones. Su objetivo principal es el análisis de
varios procesos, tales como la llegada de los datos al final de la cola, la
espera en la cola, entre otros.
TEORÍA DE COLAS


a teoría de colas generalmente es considerada una rama
de investigación operativa porque sus resultados a menudo son
aplicables en una amplia variedad de situaciones como negocios,
comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones.
DONDE SE UTILIZA LA TEORÍA
        DE COLAS?


os procesos enviados a un servidor para su ejecución forman colas de espera
mientras no son atendidos; la información solicitada, a través de Internet, a
un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red;
también se puede recibir la señal de línea de la que depende nuestro teléfono móvil
ocupada si la central está colapsada en ese momento, etc.


tros campos de utilización son la logística de los procesos industriales de
producción, ingeniería de redes y servicios, ingeniería de sistemas informáticos, y
elaboración de proyectos sustentables.
MODELO DE FORMACIÓN DE
           COLAS


e forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la
capacidad del sistema para suministrarlo.


n las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la
espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los
medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este
caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que
transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las
instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente
están siendo atendidos.
OBJETIVOS

os objetivos de la teoría de colas consisten en:


dentificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.


valuar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del
sistema tendrían en el coste total del mismo.


stablecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas
de costes y las cualitativas de servicio.


restar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.
ELEMENTOS EXISTENTES


uente de entrada o población potencial


liente


apacidad de la cola


isciplina de la cola


ecanismo de Servicio
FUENTE DE ENTRADA


s un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que
pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla
finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite
(por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas
situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy
grande.
CLIENTE


s todo individuo de la población potencial que solicita servicio.
Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son
0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según
el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar
como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes
consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1,
fijando su distribución de probabilidad.
CAPACIDAD DE LA COLA

s el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes
de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o
infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es
suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los
casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción
el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan
entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la
misma
DISCIPLINA DE LA COLA

s el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las
disciplinas más habituales son:


a disciplina FIFO (first in first out), según la cual se atiende primero al
cliente que antes haya llegado.


a disciplina LIFO (last in first out), que consiste en atender primero al
cliente que ha llegado el último.


a RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order),
que selecciona a los clientes de forma aleatoria.
MECANISMO DE SERVICIO


rocedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para
determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el
número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese
aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de
probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En
caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se
debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.
LA COLA




ropiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir
los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han
pasado al mecanismo de servicio
SISTEMA DE COLA


s el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto
con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué
cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio.
                        La distribución más usada para los tiempos
                       de servicio es la exponencial, aunque es común
                            encontrar la distribución degenerada o
                       determinística(tiempos de servicio constantes)
NOTACIÓN DE KENDALL

or convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan


Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior


Las distribuciones que se utilizan son:


M: Distribución exponencial (markoviana)


D : Distribución degenerada (tiempos constantes)


E k : Distribución Erlang
RECUERDA


/ M / s : Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los
tiempo de servicio son exponenciales y se tienen s servidores.


/ G / 1: Tiempos entre llegada exponenciales, tiempos de servicio
general y 1 sólo servidor
TERMINOLOGÍAS

sualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar:


 Estado del sistema : Número de clientes en el sistema.


Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio.


N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0).


Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el
tiempo cero.


s : Número de servidores en el sistema de colas.


 n : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay
n clientes en el sistema.


n : Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad
de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.
PARA COMPLEMENTAR
   a).                    Un solo prestador del servicio y una sola fase.
b).                    Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa
de promedio de llegadas.
c).                    Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa
de promedio del servicio.
d).                    Disciplina de colas de servicio primero a quien llega
primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da
servicio  y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.
EJERCICIOS


    Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una
velocidad promedio de diez clientes por hora ( m = 10 ). Además,
suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa
promedio de 7 por hora ( l = 7 ). Se considera que las llegadas siguen
la distribución exponencial. En la condición uniforme el sistema de
colas tendrá las siguientes características de desempeño. 
DETALLE


hora es posible evaluar el desempeño del sistema de colas. El
administrador tendrá que tomar en consideración el tiempo perdido
del prestador del servicio ( 30% ), el tiempo que espera el cliente
( 0.233 horas )  y la longitud de la línea que se forma  ( 1.63 clientes).
Si este rendimiento es inaceptable se puede colocar un segundo
prestador del servicio o hacer otros cambios en las características de
las llegadas, de la cola o del portador de los servicios. 
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL




   PARA RECORDAR
EJERCICIO


  Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar
herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos
por hora buscando partes. En la actualidad el almacén esta a cargo de
un empleado a quien se le paga 6 dólares / hora y gasta un promedio
de 5 min. Para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los
mecánicos se les paga 10 dólares / hora, cada hora que un mecánico
pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa
EJERCICIO


sta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares / hora, un
ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista
solo tardara un promedio de 4 min. Para atender las solicitudes de
herramientas. Supóngase que son exponenciales tanto los tiempo de
servicio como el tiempo entre llegadas.    Se debe contratar al
ayudante?

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Investigación de operaciones

  • 1. INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Teoría de colas
  • 2. TEORÍA DE COLAS s el estudio matemático de las líneas de espera o colas dentro de una red de comunicaciones. Su objetivo principal es el análisis de varios procesos, tales como la llegada de los datos al final de la cola, la espera en la cola, entre otros.
  • 3. TEORÍA DE COLAS a teoría de colas generalmente es considerada una rama de investigación operativa porque sus resultados a menudo son aplicables en una amplia variedad de situaciones como negocios, comercio, industria, ingenierías, transporte y telecomunicaciones.
  • 4. DONDE SE UTILIZA LA TEORÍA DE COLAS? os procesos enviados a un servidor para su ejecución forman colas de espera mientras no son atendidos; la información solicitada, a través de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a la congestión en la red; también se puede recibir la señal de línea de la que depende nuestro teléfono móvil ocupada si la central está colapsada en ese momento, etc. tros campos de utilización son la logística de los procesos industriales de producción, ingeniería de redes y servicios, ingeniería de sistemas informáticos, y elaboración de proyectos sustentables.
  • 5. MODELO DE FORMACIÓN DE COLAS e forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo. n las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas, porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.
  • 6. OBJETIVOS os objetivos de la teoría de colas consisten en: dentificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo. valuar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del sistema tendrían en el coste total del mismo. stablecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas de costes y las cualitativas de servicio. restar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.
  • 7. ELEMENTOS EXISTENTES uente de entrada o población potencial liente apacidad de la cola isciplina de la cola ecanismo de Servicio
  • 8. FUENTE DE ENTRADA s un conjunto de individuos (no necesariamente seres vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño que parezca) resolver de forma más sencilla muchas situaciones en las que, en realidad, la población es finita pero muy grande.
  • 9. CLIENTE s todo individuo de la población potencial que solicita servicio. Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos: clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de probabilidad.
  • 10. CAPACIDAD DE LA COLA s el máximo número de clientes que pueden estar haciendo cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla infinita si es extremadamente improbable que no puedan entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número límite en la misma
  • 11. DISCIPLINA DE LA COLA s el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las disciplinas más habituales son: a disciplina FIFO (first in first out), según la cual se atiende primero al cliente que antes haya llegado. a disciplina LIFO (last in first out), que consiste en atender primero al cliente que ha llegado el último. a RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que selecciona a los clientes de forma aleatoria.
  • 12. MECANISMO DE SERVICIO rocedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar la distribución del tiempo de servicio para cada uno.
  • 13. LA COLA ropiamente dicha, es el conjunto de clientes que hacen espera, es decir los clientes que ya han solicitado el servicio pero que aún no han pasado al mecanismo de servicio
  • 14. SISTEMA DE COLA s el conjunto formado por la cola y el mecanismo de servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo que nos indica el criterio de qué cliente de la cola elegir para pasar al mecanismo de servicio. La distribución más usada para los tiempos de servicio es la exponencial, aunque es común encontrar la distribución degenerada o determinística(tiempos de servicio constantes)
  • 15. NOTACIÓN DE KENDALL or convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior Las distribuciones que se utilizan son: M: Distribución exponencial (markoviana) D : Distribución degenerada (tiempos constantes) E k : Distribución Erlang
  • 16. RECUERDA / M / s : Modelo donde tanto los tiempos entre llegada como los tiempo de servicio son exponenciales y se tienen s servidores. / G / 1: Tiempos entre llegada exponenciales, tiempos de servicio general y 1 sólo servidor
  • 17. TERMINOLOGÍAS sualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar:  Estado del sistema : Número de clientes en el sistema. Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio. N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0). Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero. s : Número de servidores en el sistema de colas.  n : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema. n : Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.
  • 18. PARA COMPLEMENTAR a).                    Un solo prestador del servicio y una sola fase. b).                    Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas. c).                    Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. d).                    Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio  y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola.
  • 19. EJERCICIOS     Suponga que un cajero bancario puede atender a los clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora ( m = 10 ). Además, suponga que los clientes llegan a la ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora ( l = 7 ). Se considera que las llegadas siguen la distribución exponencial. En la condición uniforme el sistema de colas tendrá las siguientes características de desempeño. 
  • 20. DETALLE hora es posible evaluar el desempeño del sistema de colas. El administrador tendrá que tomar en consideración el tiempo perdido del prestador del servicio ( 30% ), el tiempo que espera el cliente ( 0.233 horas )  y la longitud de la línea que se forma  ( 1.63 clientes). Si este rendimiento es inaceptable se puede colocar un segundo prestador del servicio o hacer otros cambios en las características de las llegadas, de la cola o del portador de los servicios. 
  • 21. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL PARA RECORDAR
  • 22. EJERCICIO   Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén esta a cargo de un empleado a quien se le paga 6 dólares / hora y gasta un promedio de 5 min. Para entregar las herramientas de cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares / hora, cada hora que un mecánico pasa en el almacén de herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa
  • 23. EJERCICIO sta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares / hora, un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el almacenista solo tardara un promedio de 4 min. Para atender las solicitudes de herramientas. Supóngase que son exponenciales tanto los tiempo de servicio como el tiempo entre llegadas.    Se debe contratar al ayudante?