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MERLYS RUIDIAZ
 YORLEY BARRAZA

      11 1

I.E.D.MADRE LAURA
¿QUÉ ES LA ELIPSE?

Es el lugar geométrico de los puntos del plano
  tales que la suma de las distancias a dos
  puntos fijos es constante.
Los dos puntos fijos se denominan focos.
La curva simétrica cerrada que resulta al cortar
  la superficie de un cono por un plano oblicuo
  al eje de simetría.
CONO CORTADO POR LA
       ELIPSE
CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE
ELEMETOS DE LA ELIPSE
 Los Focos :Son los puntos fijos F1 Y F2del plano
 Eje Focal o Eje Principal :Es la recta que pasa por
  los focos
 El Centro :Es el punto del medio del segmento
  que une los focos
 El eje normal o eje secundario: Es la recta de la
  perpendicular al eje focal, que pasa por el centro
  de la elipse
Los Vértices : Son los puntos en el que la
 elipse corta el eje focal
El Eje Mayor: Es el segmento que une los
 vértices
El Eje Menor :Es el segmento que une los
 puntos de corte de la elipse con el eje normal
El Lado Recto :Es una cuerda perpendicular al
 eje focal en uno de los focos y que une dos
 puntos de la elipse.
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON
  CENTRO EN (0,0) Y EJE FOCAL IGUAL A EJE x
  2     2
 x + y =1
  a2 b2
Focos (-c,0) (c,0)
Vértices (-a,0) (a,0)
         (0,-b) (0,b)
Centro (0,0)
2       2
(x-h) + (y-k)=1
    2      2
   a     b
Focos (h-c , k) (h + c ,k)
Vértices (h – a , k) (h + a , k)
         (h , k +b) (h , k –b)
Centro (h , k)
ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE
          CON CENTRO EN (0,0) y EJE FOCAL
                  IGUAL A EJE Y
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         (-b,0) (b,0)
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2        2
 (y-k) + (x-h)
     2        2
   a        b
Focos (h ,k + c) (h , k –c)
Vértices (h , k + a) (h , k –a)
          (h – b , k) (h + b , k)
Centro (h , k)
FORMÚLA
4
FORMULA
 2 2      2        4   2 2     2 2
C x – 2acx + a = a (x -2cx+ c +y )
  2 2   2        4   2 2    2
C x -2acx + a = a x -2cax + a2c2+ a2y2
  2 2  2 2      2 2    2 2 4
Cx–ax–ay=ac–a
  2 2   2       2 2    2 2   2
X (c – a ) – a y = a (c –a )
  2 2   2 2     2 2
Xb–ay=ab
  2 2       2 2       2 2
Xb - ay = ab
  2 2       2 2
Ab         ab        a2b2
  2     2
X – y=1
  2      2
A     b
• Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro
   en (0, 0) y cuyos focos son los puntos
   F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la
   gráfica con el eje x es el punto (5, 0).
Solución:
Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se
   sigue que a = 5 y como c = 3 , se tiene que
     2    2  2
   b = 5 – 3 = 16 y por tanto b=+4 .
De esta forma, los vértices de la elipse son los
   puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y
   V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por :
  2    2       2  2
X +y=1 x+ y=1
  2     2
5 4         25 16
EJERCICIO
COMPROMISO
Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0)
y cuyos focos son los puntos f(5, 0) f(-5 , 0) su intercepto
en la grafica con el eje x es el punto (8 , 0)

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La Elipse

  • 1. MERLYS RUIDIAZ YORLEY BARRAZA 11 1 I.E.D.MADRE LAURA
  • 2. ¿QUÉ ES LA ELIPSE? Es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos es constante. Los dos puntos fijos se denominan focos. La curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría.
  • 3. CONO CORTADO POR LA ELIPSE
  • 5. ELEMETOS DE LA ELIPSE  Los Focos :Son los puntos fijos F1 Y F2del plano  Eje Focal o Eje Principal :Es la recta que pasa por los focos  El Centro :Es el punto del medio del segmento que une los focos  El eje normal o eje secundario: Es la recta de la perpendicular al eje focal, que pasa por el centro de la elipse
  • 6. Los Vértices : Son los puntos en el que la elipse corta el eje focal El Eje Mayor: Es el segmento que une los vértices El Eje Menor :Es el segmento que une los puntos de corte de la elipse con el eje normal El Lado Recto :Es una cuerda perpendicular al eje focal en uno de los focos y que une dos puntos de la elipse.
  • 7. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (0,0) Y EJE FOCAL IGUAL A EJE x 2 2 x + y =1 a2 b2 Focos (-c,0) (c,0) Vértices (-a,0) (a,0) (0,-b) (0,b) Centro (0,0)
  • 8. 2 2 (x-h) + (y-k)=1 2 2 a b Focos (h-c , k) (h + c ,k) Vértices (h – a , k) (h + a , k) (h , k +b) (h , k –b) Centro (h , k)
  • 9. ECUACIÓN CANÓNICA DE LA ELIPSE CON CENTRO EN (0,0) y EJE FOCAL IGUAL A EJE Y 2 2 y + x =1 a2 b2 Focos (0,c) (0,-c) Vértices (0,a) (0,-a) (-b,0) (b,0) Centro (0,0)
  • 10. 2 2 (y-k) + (x-h) 2 2 a b Focos (h ,k + c) (h , k –c) Vértices (h , k + a) (h , k –a) (h – b , k) (h + b , k) Centro (h , k)
  • 12. 4 FORMULA 2 2 2 4 2 2 2 2 C x – 2acx + a = a (x -2cx+ c +y ) 2 2 2 4 2 2 2 C x -2acx + a = a x -2cax + a2c2+ a2y2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 Cx–ax–ay=ac–a 2 2 2 2 2 2 2 2 X (c – a ) – a y = a (c –a ) 2 2 2 2 2 2 Xb–ay=ab 2 2 2 2 2 2 Xb - ay = ab 2 2 2 2 Ab ab a2b2 2 2 X – y=1 2 2 A b
  • 13. • Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F(3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5 y como c = 3 , se tiene que 2 2 2 b = 5 – 3 = 16 y por tanto b=+4 . De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y V4(0, -4). Además, su ecuación viene dada por : 2 2 2 2 X +y=1 x+ y=1 2 2 5 4 25 16
  • 15. COMPROMISO Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos f(5, 0) f(-5 , 0) su intercepto en la grafica con el eje x es el punto (8 , 0)