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UNIDAD 1
LENGUAJE ALGEBRAICO Y
PENSAMIENTO FUNCIONAL
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Las expresiones algebraicas son combinaciones de letras y números que se combinan entre sí por
medio de la suma, resta, multiplicación, y potenciación de exponentes racionales.
Estas permiten representar las expresiones del lenguaje cotidiano en el lenguaje matemático.
Sí María tiene el doble de
manzanas que tiene Pedro,
¿cuántas manzanas hay entre
Pedro y María?
Que Pedro tiene 𝒙 manzanas y María el
doble de Pedro por lo que María tendrá 𝟐𝒙 .
Recordemos que el 2 está multiplicando con
la 𝒙 ; entonces para hallar total de las
manzanas sería:
𝒙 + 𝟐𝒙
Ejemplo En el lenguaje matemático se podría decir
Estructura de un Término
2𝑥3
Coeficiente
Parte
Literal
Exponente
+
-
Signo
RACIONALES IRRACIONALES
Fraccionarias
Enteras
La parte literal esta
afectada con
radicales o el
exponente es un
numero
fraccionario.
La parte literal
esta afectada con
radicales o el
exponente es un
numero
fraccionario.
La parte literal
esta afectada con
radicales o el
exponente es un
numero
fraccionario.
SE DIVIDEN EN
SE CLASIFICAN EN
MONOMIOS POLINOMIOS
Son aquellas que están compuestas
por un solo término. Las únicas
operaciones matemáticas que
aparecen son la multiplicación y la
potencia de exponente natural, es
decir con exponentes de números
positivos.
Estas expresiones
algebraicas en
general se
componen por dos o
más términos, es
decir por más de un
monomio.
Ejemplos:
• 7𝑥3
𝑦2
𝑧
• -2𝑎5𝑏2
Ejemplos:
• 3𝑥3𝑦2𝑧 − 3𝑥2𝑦3
• 5𝑎4𝑏2𝑐 − 5𝑎2𝑏3𝑐2 + 4𝑏4𝑐3
ADICIÓN O SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Toda expresión algebraica ligada por los signos + y - se llama Suma Algebraica.
Para desarrollar la suma algebraica de dos o más términos primero se buscan los términos
semejantes y luego se suman o restan los coeficientes (dependiendo de la operación indicada)
Por ejemplo, La suma de:
3x + 5y +1+ 2x + 3y + 8
Los términos semejantes de esta
expresión son:
• 3x + 2x = 5x
• 5y + 3y = 8y
• 1 + 8 = 9
El total de esta suma algebraica es:
5x + 8y + 9
Por ejemplo, La suma de:
– 2x – 4y – 5 – 4x – 3y – 6
Los términos semejantes de esta
expresión son:
• -2x – 4x = - 6x
• - 4y – 3y = - 7y
• -5 – 6 = -11
El total de esta suma algebraica es:
- 6x – 7y - 11
En la suma algebraica, cuando los términos tienen el mismo signo, se suman y se deja el
mismo signo.
En la suma algebraica, cuando los términos tienen diferentes signos, se restan y se
deja el signo que tenga el número mayor.
Por ejemplo, La suma de:
• 6x - 8x = - 3x
Porque como tienen diferentes signos, es decir el uno es
positivo (+) y el otro negativo (-) se restan, y predomina
el signo de mayor número que en este caso es 8.
• - 4y + 5y = 1
Se restan ya que el 4 es negativo y el 5 positivo, al
efectuar la resta da como resultado 1, y el signo que
predomina en este caso es el positivo (+).
SUMA DE FRACCIONARIOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS
En la suma de fraccionarios homogéneos (tienen el mismo denominador), se
suman sus numeradores y se deja el mismo denominador.
Fraccionarios Homogéneos
Fraccionarios Heterogéneos
3
4
𝑏 −
7
4
𝑏 +
11
4
𝑏 −
9
4
𝑏 =
3 − 7 + 11 − 9
4
𝑏 =
14 − 16
4
𝑏 =
− 2
4
𝑏 =
−1
2
𝑏
Para realizar una suma de fraccionarios heterogéneos, (diferentes denominadores), se
halla el denominador común, el cual se divide por cada uno de los denominadores de las
fracciones y este resultado se multiplica por su respectivo numerador.
1
2
𝑏 +
2
3
𝑏 −
7
6
𝑏 +
1
2
𝑏 − 𝑏 =
((6÷2)1 + (6÷3)2 − (6÷6)7 + (6÷2)1 − (6÷1)1
6
𝑏 =
3 + 4 − 7 + 3 − 6
6
𝑏 =
10 − 13
6
𝑏 =
−3
6
𝑏 =
−1
2
Signos de Agrupación
Existen diferentes signos de agrupación o paréntesis que se emplean para
indicar como un todo las cantidades contenidas en estos; los más usados
son:
•Paréntesis ( )
•Corchete [ ]
•La llave { }
Cuando un paréntesis esta precedido por el signo ( + ), se dejan las
cantidades que están dentro del paréntesis con el mismo signo
Cuando un paréntesis esta precedido por el signo ( - ), las cantidades que
están dentro del paréntesis cambian de signo al eliminar dicho paréntesis.
MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación algebraica es una operación que al igual que en la aritmética, tiene por objeto
hallar el producto de dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador.
La forma para solucionar este tipo de multiplicación es:
• Multiplicar los signos de estos factores, para esto es importante tener en cuenta la ley de signos.
• Luego multiplicar los coeficientes.
• Luego multiplicar las bases, recordando las propiedades de la potenciación (suma de los
exponentes).
• Y así ya obtenemos el resultado.
Ejemplo:
(4𝑥5
) 6𝑥4
2𝑥3
= 48𝑥12
9𝑥2 −12𝑥 = −108𝑥3
Ley de Signos
(+)(+) = +
(+)(−) = −
(−) (+) = −
(−) (−) = +
DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Antes de iniciar la división algebraica, es necesario repasar las reglas de los signos:
Ley de Signos
(+)(+) = +
(+)(−) = −
(−) (+) = −
(−) (−) = +
También es importante recordar cuales son las partes de una división
Si se tiene 28 ÷ 7 = 4; entonces:
 28 es el dividendo , o sea la cantidad que ha de dividirse
 7 es el divisor, se refiere a la cantidad que divide
 4 es el cociente, resultado que se obtiene al realizarla
 0 es el residuo, en este caso es cero porque la división es exacta, es decir si una división
es exacta, su residuo es cero ( 0 )
Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se coloca como exponente la
diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.
Ejemplo:
 Se ordenan los polinomios colocando una de las letras en orden descendentes de sus exponentes.
𝑎2
+ 𝑎 − 20 ÷ 𝑎 − 4
 El primer termino del dividendo (𝑎2
) se divide por el primer termino del divisor (𝑎) y el
resultado de este corresponde al primer termino del cociente.
𝑎2
+ 𝑎 − 20 𝑎 − 4
𝑎2÷ 𝑎 = 𝑎
 Entonces, se multiplica el primer termino del cociente (𝑎) por cada uno de los términos del
divisor y este producto se resta de cada uno de los términos semejantes del dividendo.
 El primer término del nuevo dividendo se divide por el divisor y se repite las
operaciones de multiplicar el cociente por el divisor y restarle este producto al
dividendo.
 Se repite la operación hasta que el residuo es cero o no se puede dividir mas.
 Quedando la división de la siguiente manera:
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por
denominador.
3
4
𝑏 −
7
5
𝑏 = −
21
20
𝑏2
DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Para dividir fracciones se multiplica en cruz el numerador por el denominador de la
otra fracción.
3
4
𝑏 ÷
6
5
𝑏 =
15
24
=
5
8
CASOS DE FACTORIZACIÓN
La factorización es una herramienta que permite satisfacer expresiones algebraicas y por ende
situaciones diarias. Algunos ejemplos son: determinar el tiempo que tarda un objeto en caída
libre, para, conocer el largo y el ancho de objeto rectangular, conocer los movimientos de
objetos, entre otros.
Estos se clasifican en:
Caso I: Factor Común
Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Para llevar a cabo una
factorización de este tipo, se selecciona el término común con el menor exponente.
Escribimos el factor común como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos
los coeficientes de dividir.
Ejemplo:
4𝑥5
+ 2𝑥4
− 6𝑥3
= 2𝑥3
(2𝑥2
+ 𝑥 − 3)
Caso II: Factor Común por Agrupación de Términos
La agrupación puede hacerse generalmente de varias manera, con tal de que los dos términos
que se agrupan tengan un factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los
paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no
es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método.
Ejemplo:
2𝑥2 + 3xy + 4x + 6y
Agrupamos el 1° y 3° termino que tienen el factor común 2x, y el 2° y 4° que tienen el factor
común 3 y tendremos:
2𝑥2 + 3xy + 4x + 6y
= (2𝑥2 +4x) + 3xy + 6y
= 2x x + 2 + 3y x + 2
= (x + 2)(2x + 3y)
Caso III: Trinomio Cuadrado Perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea cuando es el
producto de dos factores iguales.
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer
término tienen raíz cuadrada exacta y positivos, y el segundo término es el doble producto de
sus raíces cuadradas.
Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se
divide el exponente de cada letra por 2.
Ejemplo:
4𝑥2 − 20xy + 25𝑦2
= 2𝑥 − 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = (2𝑥 − 5𝑦)2
Caso IV: Diferencia de Cuadrados Perfectos
La suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del
minuendo menos el cuadrado del sustraendo , o sea:
2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 4𝑥2 − 25𝑦2
Luego recíprocamente, poder decir lo siguiente:
4𝑥2 − 25𝑦2 = 2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦
Caso V: Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción
• Factorar 𝑥4
+ 𝑥2
𝑦2
+𝑦4
Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 𝑥4
es 𝑥2
; la raíz cuadrada de 𝑦4
es 𝑦2
y el doble producto de estas raíces es 2𝑥2
𝑦2
; luego este trinomio no es cuadrado perfecto.
Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término 𝑥2
𝑦2
se convierta en 2𝑥2
𝑦2
,
lo cual se consigue sumándole 𝑥2
𝑦2
, pero para que el trinomio no varié hay que restarle la misma
cantidad que se suma, 𝑥2
𝑦2
; y tendremos:
(Factorando el trinomio cuadrado perfecto)
(Factorando la diferencia de cuadrados)
(Ordenados)
Caso VI: Trinomio de la Forma 𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
Estos trinomios cumplen las siguientes condiciones:
1. El coeficiente del primer término es 1.
2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su
coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en 1° y 2° términos y es una
cantidad cualquiera, positiva o negativa.
Reglas Prácticas para Factorizar un Trinomio de la Forma 𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz
cuadrada del primer término del trinomio.
2. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el
segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término
por el signo del 3° término del trinomio.
3. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma
sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del
tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya
diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor
absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del
primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio.
Ejemplos: • 𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) • 𝑥2
− 4𝑥 − 12 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 2)
Caso VII: Trinomio de la Forma 𝒂𝒙𝟐
+ 𝒃𝒙 + 𝒄
Estos trinomios se diferencian del sexto caso, en que el primer término tiene un coeficiente
diferente de 1.
Descomposición en Factores:
1. Factorizar 6𝑥2 − 7𝑥 − 3
Multipliquemos el coeficiente de 𝑥2
que es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7𝑥 se
tiene:
(6𝑥)2
−7(6)𝑥 − 18
Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el primer termino será la
raíz cuadrada de (6𝑥)2 o sea 6𝑥: (6𝑥− )(6𝑥+ )
Dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18, estos son 9 y 2. Así tendremos:
(6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2)
Como al principio multiplicamos el trinomio dado por 6, ahora tenemos que dividir por
6, para no alterar el trinomio, y tendremos:
(6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2)
6
Pero como ninguno de los binomios es divisible entre 6, descomponemos 6
en 2X3 y dividiendo 6𝑥 − 9 entre 3 y (6𝑥 + 2) entre 2 se tendrá:
(6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2)
2X3
(2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1)
Luego:
6𝑥2
− 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1)
=
Caso VIII: Cubo Perfecto de Binomios
Para que una expresión algebraica sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes
condiciones:
1) Tener cuatro términos.
2) Que e primero y le último término sean cubos prefectos.
3) Que el 2° término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término
multiplicado por la raíz cúbica del último término.
4) Que el 3𝑒𝑟
término sea más el triplo de la raíz cúbica del 1𝑒𝑟
por el cuadrado de la raíz cúbica
del último.
Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las
raíces cúbicas de su primero y último término, y si los términos son alternativamente positivos y
negativos, la expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces.
Ejemplos: • 1 + 12𝑎 + 48𝑎2
+64𝑎3
= (1 + 4𝑎)3
• 𝑎3
− 18𝑎2
𝑏 + 108𝑎𝑏2
− 216𝑏3
= (1 − 6𝑏)3
Caso IX: Suma o diferencia de Cubos Perfectos
La fórmula nos dice que:
Regla 1: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
- La suma de sus raíces cúbicas.
- El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la
segunda raíz.
Regla 2: La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
- La diferencia de sus raíces cúbicas.
- El cuadrado de la primera raíz, más el productos de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda
raíz.
Ejemplo:
 𝑎3
+ 1 = 𝑎 + 1 𝑎2
− 𝑎 1 + 12
= (𝑎 + 1)(𝑎2
− 𝑎 + 1)
 𝑥3 − 8 = 𝑥 − 2 𝑥2 − 2 𝑥 + 22 = (𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)
Caso X: Suma o diferencia de 2 Potencias Iguales
Factorar:
Dividiendo entre 𝑚 + 𝑛 los signos del cociente son alternativamente + y −
𝑚5
+ 𝑛5
𝑚5
+ 𝑛5
𝑚 + 𝑛
= (𝑚 + 𝑛)(𝑚4 − 𝑚3𝑛 + 𝑚2𝑛2 − 𝑚𝑛3 + 𝑛4)
𝑚5 − 𝑛5
𝑚 − 𝑛
(𝑚 − 𝑛)(𝑚4
+ 𝑚3
𝑛 + 𝑚2
𝑛2
+ 𝑚𝑛3
+ 𝑛4
)
=
FUNCIÓN
Regla o correspondencia entre dos conjuntos de números reales de modo que a cada número x
del primer conjunto, el dominio le corresponde le corresponde exactamente un número del
segundo conjunto.
DOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES
Con frecuencia el dominio de una función no se especifica, solo se da una regla o ecuación que
define la función. En esos casos decimos que el dominio de la función es el conjunto más
grande de números reales para los que tiene sentido la ecuación , los valores para los cuales
𝑓 𝑥 es un número real.
Una función puede indeterminarse en un punto dado o rango.
En le caso de las funciones aritméticas el denominador no puede ser cero. Por lo tanto se debe
eliminar del dominio todos los puntos que hacen cero el denominador.
Ejemplo:
BIBLIOGRAFÍA
Baldor, A. (1941). Algebra de Baldor . México: Grupo Editorial Patria.
López Sarasty, C. E. (24 de Agosto de 2020). Unidad 1 Lenguaje algebraico y pensamiento funcional.
Obtenido de [Objeto_virtual_de_Informacion_OVI]. Repositorio Institucional UNAD.:
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/36117
Mahecha, A., Rondón Duran, J. E., & Escobar Cedano, J. A. (2005). Modulo de Matemáticas Básicas .
Obtenido de Modulo de Matemáticas Básicas : https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7425
Moreno Jiménez, Y. J. (07 de Marzo de 2017). OVI: Unidad 2 Álgebra simbólica. Obtenido de Repositorio
Institucional UNAD: https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11601
Ramírez V, A. P., & Cárdenas A, J. C. (2001). Matemática Universitaria: Conceptos y Aplicaciones
Generales. Editorial Cyrano, I, 59-82. Obtenido de https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66
Rondón Duran, J. E. (10 de Marzo de 2017). Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Obtenido de
Repositorio Institucional UNAD: https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583

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Expresiones algebraicas y pensamiento funcional

  • 1. UNIDAD 1 LENGUAJE ALGEBRAICO Y PENSAMIENTO FUNCIONAL
  • 2. EXPRESIONES ALGEBRAICAS Las expresiones algebraicas son combinaciones de letras y números que se combinan entre sí por medio de la suma, resta, multiplicación, y potenciación de exponentes racionales. Estas permiten representar las expresiones del lenguaje cotidiano en el lenguaje matemático. Sí María tiene el doble de manzanas que tiene Pedro, ¿cuántas manzanas hay entre Pedro y María? Que Pedro tiene 𝒙 manzanas y María el doble de Pedro por lo que María tendrá 𝟐𝒙 . Recordemos que el 2 está multiplicando con la 𝒙 ; entonces para hallar total de las manzanas sería: 𝒙 + 𝟐𝒙 Ejemplo En el lenguaje matemático se podría decir
  • 3. Estructura de un Término 2𝑥3 Coeficiente Parte Literal Exponente + - Signo
  • 4. RACIONALES IRRACIONALES Fraccionarias Enteras La parte literal esta afectada con radicales o el exponente es un numero fraccionario. La parte literal esta afectada con radicales o el exponente es un numero fraccionario. La parte literal esta afectada con radicales o el exponente es un numero fraccionario. SE DIVIDEN EN
  • 5. SE CLASIFICAN EN MONOMIOS POLINOMIOS Son aquellas que están compuestas por un solo término. Las únicas operaciones matemáticas que aparecen son la multiplicación y la potencia de exponente natural, es decir con exponentes de números positivos. Estas expresiones algebraicas en general se componen por dos o más términos, es decir por más de un monomio. Ejemplos: • 7𝑥3 𝑦2 𝑧 • -2𝑎5𝑏2 Ejemplos: • 3𝑥3𝑦2𝑧 − 3𝑥2𝑦3 • 5𝑎4𝑏2𝑐 − 5𝑎2𝑏3𝑐2 + 4𝑏4𝑐3
  • 6. ADICIÓN O SUMA DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Toda expresión algebraica ligada por los signos + y - se llama Suma Algebraica. Para desarrollar la suma algebraica de dos o más términos primero se buscan los términos semejantes y luego se suman o restan los coeficientes (dependiendo de la operación indicada) Por ejemplo, La suma de: 3x + 5y +1+ 2x + 3y + 8 Los términos semejantes de esta expresión son: • 3x + 2x = 5x • 5y + 3y = 8y • 1 + 8 = 9 El total de esta suma algebraica es: 5x + 8y + 9 Por ejemplo, La suma de: – 2x – 4y – 5 – 4x – 3y – 6 Los términos semejantes de esta expresión son: • -2x – 4x = - 6x • - 4y – 3y = - 7y • -5 – 6 = -11 El total de esta suma algebraica es: - 6x – 7y - 11 En la suma algebraica, cuando los términos tienen el mismo signo, se suman y se deja el mismo signo.
  • 7. En la suma algebraica, cuando los términos tienen diferentes signos, se restan y se deja el signo que tenga el número mayor. Por ejemplo, La suma de: • 6x - 8x = - 3x Porque como tienen diferentes signos, es decir el uno es positivo (+) y el otro negativo (-) se restan, y predomina el signo de mayor número que en este caso es 8. • - 4y + 5y = 1 Se restan ya que el 4 es negativo y el 5 positivo, al efectuar la resta da como resultado 1, y el signo que predomina en este caso es el positivo (+).
  • 8. SUMA DE FRACCIONARIOS CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS En la suma de fraccionarios homogéneos (tienen el mismo denominador), se suman sus numeradores y se deja el mismo denominador. Fraccionarios Homogéneos Fraccionarios Heterogéneos 3 4 𝑏 − 7 4 𝑏 + 11 4 𝑏 − 9 4 𝑏 = 3 − 7 + 11 − 9 4 𝑏 = 14 − 16 4 𝑏 = − 2 4 𝑏 = −1 2 𝑏 Para realizar una suma de fraccionarios heterogéneos, (diferentes denominadores), se halla el denominador común, el cual se divide por cada uno de los denominadores de las fracciones y este resultado se multiplica por su respectivo numerador. 1 2 𝑏 + 2 3 𝑏 − 7 6 𝑏 + 1 2 𝑏 − 𝑏 = ((6÷2)1 + (6÷3)2 − (6÷6)7 + (6÷2)1 − (6÷1)1 6 𝑏 = 3 + 4 − 7 + 3 − 6 6 𝑏 = 10 − 13 6 𝑏 = −3 6 𝑏 = −1 2
  • 9. Signos de Agrupación Existen diferentes signos de agrupación o paréntesis que se emplean para indicar como un todo las cantidades contenidas en estos; los más usados son: •Paréntesis ( ) •Corchete [ ] •La llave { } Cuando un paréntesis esta precedido por el signo ( + ), se dejan las cantidades que están dentro del paréntesis con el mismo signo Cuando un paréntesis esta precedido por el signo ( - ), las cantidades que están dentro del paréntesis cambian de signo al eliminar dicho paréntesis.
  • 10. MULTIPLICACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS La multiplicación algebraica es una operación que al igual que en la aritmética, tiene por objeto hallar el producto de dos cantidades llamadas multiplicando y multiplicador. La forma para solucionar este tipo de multiplicación es: • Multiplicar los signos de estos factores, para esto es importante tener en cuenta la ley de signos. • Luego multiplicar los coeficientes. • Luego multiplicar las bases, recordando las propiedades de la potenciación (suma de los exponentes). • Y así ya obtenemos el resultado. Ejemplo: (4𝑥5 ) 6𝑥4 2𝑥3 = 48𝑥12 9𝑥2 −12𝑥 = −108𝑥3 Ley de Signos (+)(+) = + (+)(−) = − (−) (+) = − (−) (−) = +
  • 11. DIVISIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Antes de iniciar la división algebraica, es necesario repasar las reglas de los signos: Ley de Signos (+)(+) = + (+)(−) = − (−) (+) = − (−) (−) = + También es importante recordar cuales son las partes de una división Si se tiene 28 ÷ 7 = 4; entonces:  28 es el dividendo , o sea la cantidad que ha de dividirse  7 es el divisor, se refiere a la cantidad que divide  4 es el cociente, resultado que se obtiene al realizarla  0 es el residuo, en este caso es cero porque la división es exacta, es decir si una división es exacta, su residuo es cero ( 0 )
  • 12. Para dividir potencias de la misma base, se deja la misma base y se coloca como exponente la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. Ejemplo:  Se ordenan los polinomios colocando una de las letras en orden descendentes de sus exponentes. 𝑎2 + 𝑎 − 20 ÷ 𝑎 − 4  El primer termino del dividendo (𝑎2 ) se divide por el primer termino del divisor (𝑎) y el resultado de este corresponde al primer termino del cociente. 𝑎2 + 𝑎 − 20 𝑎 − 4 𝑎2÷ 𝑎 = 𝑎  Entonces, se multiplica el primer termino del cociente (𝑎) por cada uno de los términos del divisor y este producto se resta de cada uno de los términos semejantes del dividendo.
  • 13.  El primer término del nuevo dividendo se divide por el divisor y se repite las operaciones de multiplicar el cociente por el divisor y restarle este producto al dividendo.  Se repite la operación hasta que el residuo es cero o no se puede dividir mas.  Quedando la división de la siguiente manera:
  • 14. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONARIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador. 3 4 𝑏 − 7 5 𝑏 = − 21 20 𝑏2 DIVISIÓN DE FRACCIONARIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Para dividir fracciones se multiplica en cruz el numerador por el denominador de la otra fracción. 3 4 𝑏 ÷ 6 5 𝑏 = 15 24 = 5 8
  • 15. CASOS DE FACTORIZACIÓN La factorización es una herramienta que permite satisfacer expresiones algebraicas y por ende situaciones diarias. Algunos ejemplos son: determinar el tiempo que tarda un objeto en caída libre, para, conocer el largo y el ancho de objeto rectangular, conocer los movimientos de objetos, entre otros. Estos se clasifican en: Caso I: Factor Común Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común. Para llevar a cabo una factorización de este tipo, se selecciona el término común con el menor exponente. Escribimos el factor común como coeficiente de un paréntesis; dentro del paréntesis escribimos los coeficientes de dividir. Ejemplo: 4𝑥5 + 2𝑥4 − 6𝑥3 = 2𝑥3 (2𝑥2 + 𝑥 − 3)
  • 16. Caso II: Factor Común por Agrupación de Términos La agrupación puede hacerse generalmente de varias manera, con tal de que los dos términos que se agrupan tengan un factor común, y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales. Si esto no es posible lograrlo la expresión dada no se puede descomponer por este método. Ejemplo: 2𝑥2 + 3xy + 4x + 6y Agrupamos el 1° y 3° termino que tienen el factor común 2x, y el 2° y 4° que tienen el factor común 3 y tendremos: 2𝑥2 + 3xy + 4x + 6y = (2𝑥2 +4x) + 3xy + 6y = 2x x + 2 + 3y x + 2 = (x + 2)(2x + 3y)
  • 17. Caso III: Trinomio Cuadrado Perfecto Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, o sea cuando es el producto de dos factores iguales. Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término tienen raíz cuadrada exacta y positivos, y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Para extraer la raíz cuadrada de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por 2. Ejemplo: 4𝑥2 − 20xy + 25𝑦2 = 2𝑥 − 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = (2𝑥 − 5𝑦)2
  • 18. Caso IV: Diferencia de Cuadrados Perfectos La suma de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo , o sea: 2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦 = 4𝑥2 − 25𝑦2 Luego recíprocamente, poder decir lo siguiente: 4𝑥2 − 25𝑦2 = 2𝑥 + 5𝑦 2𝑥 − 5𝑦
  • 19. Caso V: Trinomio Cuadrado Perfecto por Adición y Sustracción • Factorar 𝑥4 + 𝑥2 𝑦2 +𝑦4 Veamos si este trinomio es cuadrado perfecto. La raíz cuadrada de 𝑥4 es 𝑥2 ; la raíz cuadrada de 𝑦4 es 𝑦2 y el doble producto de estas raíces es 2𝑥2 𝑦2 ; luego este trinomio no es cuadrado perfecto. Para que sea cuadrado perfecto hay que lograr que el segundo término 𝑥2 𝑦2 se convierta en 2𝑥2 𝑦2 , lo cual se consigue sumándole 𝑥2 𝑦2 , pero para que el trinomio no varié hay que restarle la misma cantidad que se suma, 𝑥2 𝑦2 ; y tendremos: (Factorando el trinomio cuadrado perfecto) (Factorando la diferencia de cuadrados) (Ordenados)
  • 20. Caso VI: Trinomio de la Forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Estos trinomios cumplen las siguientes condiciones: 1. El coeficiente del primer término es 1. 2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. 3. El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa. 4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en 1° y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.
  • 21. Reglas Prácticas para Factorizar un Trinomio de la Forma 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es x, o sea la raíz cuadrada del primer término del trinomio. 2. En el primer factor, después de x se escribe el signo del segundo término del trinomio, y en el segundo factor, después de x se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del 2° término por el signo del 3° término del trinomio. 3. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos iguales se buscan dos números cuya suma sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios. 4. Si los dos factores binomios tienen en el medio signos distintos se buscan dos números cuya diferencia sea el valor absoluto del segundo término del trinomio y cuyo producto sea el valor absoluto del tercer término del trinomio. El mayor de estos números es el segundo término del primer binomio, y el menor, el segundo término del segundo binomio. Ejemplos: • 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) • 𝑥2 − 4𝑥 − 12 = (𝑥 − 6)(𝑥 + 2)
  • 22. Caso VII: Trinomio de la Forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Estos trinomios se diferencian del sexto caso, en que el primer término tiene un coeficiente diferente de 1. Descomposición en Factores: 1. Factorizar 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 Multipliquemos el coeficiente de 𝑥2 que es 6 y dejando indicado el producto de 6 por 7𝑥 se tiene: (6𝑥)2 −7(6)𝑥 − 18 Descomponiendo este trinomio según se vio en el caso anterior, el primer termino será la raíz cuadrada de (6𝑥)2 o sea 6𝑥: (6𝑥− )(6𝑥+ ) Dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18, estos son 9 y 2. Así tendremos: (6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2)
  • 23. Como al principio multiplicamos el trinomio dado por 6, ahora tenemos que dividir por 6, para no alterar el trinomio, y tendremos: (6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2) 6 Pero como ninguno de los binomios es divisible entre 6, descomponemos 6 en 2X3 y dividiendo 6𝑥 − 9 entre 3 y (6𝑥 + 2) entre 2 se tendrá: (6𝑥 − 9)(6𝑥 + 2) 2X3 (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) Luego: 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 1) =
  • 24. Caso VIII: Cubo Perfecto de Binomios Para que una expresión algebraica sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones: 1) Tener cuatro términos. 2) Que e primero y le último término sean cubos prefectos. 3) Que el 2° término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término. 4) Que el 3𝑒𝑟 término sea más el triplo de la raíz cúbica del 1𝑒𝑟 por el cuadrado de la raíz cúbica del último. Si todos los términos de la expresión son positivos, la expresión dada es el cubo de la suma de las raíces cúbicas de su primero y último término, y si los términos son alternativamente positivos y negativos, la expresión dada es el cubo de la diferencia de dichas raíces. Ejemplos: • 1 + 12𝑎 + 48𝑎2 +64𝑎3 = (1 + 4𝑎)3 • 𝑎3 − 18𝑎2 𝑏 + 108𝑎𝑏2 − 216𝑏3 = (1 − 6𝑏)3
  • 25. Caso IX: Suma o diferencia de Cubos Perfectos La fórmula nos dice que: Regla 1: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: - La suma de sus raíces cúbicas. - El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Regla 2: La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores: - La diferencia de sus raíces cúbicas. - El cuadrado de la primera raíz, más el productos de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. Ejemplo:  𝑎3 + 1 = 𝑎 + 1 𝑎2 − 𝑎 1 + 12 = (𝑎 + 1)(𝑎2 − 𝑎 + 1)  𝑥3 − 8 = 𝑥 − 2 𝑥2 − 2 𝑥 + 22 = (𝑥 − 2)(𝑥2 + 2𝑥 + 4)
  • 26. Caso X: Suma o diferencia de 2 Potencias Iguales Factorar: Dividiendo entre 𝑚 + 𝑛 los signos del cociente son alternativamente + y − 𝑚5 + 𝑛5 𝑚5 + 𝑛5 𝑚 + 𝑛 = (𝑚 + 𝑛)(𝑚4 − 𝑚3𝑛 + 𝑚2𝑛2 − 𝑚𝑛3 + 𝑛4) 𝑚5 − 𝑛5 𝑚 − 𝑛 (𝑚 − 𝑛)(𝑚4 + 𝑚3 𝑛 + 𝑚2 𝑛2 + 𝑚𝑛3 + 𝑛4 ) =
  • 27. FUNCIÓN Regla o correspondencia entre dos conjuntos de números reales de modo que a cada número x del primer conjunto, el dominio le corresponde le corresponde exactamente un número del segundo conjunto. DOMINIO MÁXIMO DE FUNCIONES Con frecuencia el dominio de una función no se especifica, solo se da una regla o ecuación que define la función. En esos casos decimos que el dominio de la función es el conjunto más grande de números reales para los que tiene sentido la ecuación , los valores para los cuales 𝑓 𝑥 es un número real. Una función puede indeterminarse en un punto dado o rango. En le caso de las funciones aritméticas el denominador no puede ser cero. Por lo tanto se debe eliminar del dominio todos los puntos que hacen cero el denominador.
  • 29. BIBLIOGRAFÍA Baldor, A. (1941). Algebra de Baldor . México: Grupo Editorial Patria. López Sarasty, C. E. (24 de Agosto de 2020). Unidad 1 Lenguaje algebraico y pensamiento funcional. Obtenido de [Objeto_virtual_de_Informacion_OVI]. Repositorio Institucional UNAD.: https://repository.unad.edu.co/handle/10596/36117 Mahecha, A., Rondón Duran, J. E., & Escobar Cedano, J. A. (2005). Modulo de Matemáticas Básicas . Obtenido de Modulo de Matemáticas Básicas : https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7425 Moreno Jiménez, Y. J. (07 de Marzo de 2017). OVI: Unidad 2 Álgebra simbólica. Obtenido de Repositorio Institucional UNAD: https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11601 Ramírez V, A. P., & Cárdenas A, J. C. (2001). Matemática Universitaria: Conceptos y Aplicaciones Generales. Editorial Cyrano, I, 59-82. Obtenido de https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66 Rondón Duran, J. E. (10 de Marzo de 2017). Álgebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Obtenido de Repositorio Institucional UNAD: https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583