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     a) ––– = [+]
                                       [+]
                                    b) ––– = [-]
                                                   α          1.- Calcular el valor de:
                                                                                                                α
        [+]                            [-]
                                                                                      2x+4 + 36(2x-2)
                                                                         E = ––––––––––––––––––––––––––––––
        [-]                            [-]                                   2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1)
     c) ––– = [+]                   d) ––– = [-]
        [-]                            [+]
                                                                   Solución:
                                                                   Por la ley de la teoría de exponentes se conoce
POTENCIACIÓN
                                                                   que:
                                                                                                      m
La potencia de una base con exponente par, siempre                       am+n = am . an ;     am-n = a n
                                                                                                     ––
es positiva; pero la potencia de una base con expo-                                                  a
nente impar, depende del signo de la base:                         Aplicando al ejercicio:


                                                                                                          ( )
                                                                                                           x
                                                                                                    2
                a)    [+]par         = [+]                                           2x . 24 + 36 –––
                                                                                                    22
                                                                      E = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––
                b)    [+]impar       = [+]

                      [-] par
                                                                                                                2x
                                                                          2x . 25 - 2(2x . 23) - 4(2x . 21) - 6 –––
                                                                                                                 2  ( )
                                                                                                                          α
                c)                   = [+]
                                                                   Operando apropiadamente:
                            impar
                d)    [-]            = [-]
                                                                                 16 . 2x + 9 . 2x
                                                                      E = ––––––––––––––––––––––––––––
RADICACIÓN                                                                32 . 2x - 16 . 2x - 8 . 2x - 3 . 2x

Si el índice es impar, el resultado tendrá el mismo                Se hace el cambio de 2x = a, para hacer más sim-
signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y            ple las operaciones:
la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá
doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad                          16a + 9a        25a
                                                                      E = –––– ––––––––––––– = –––– = 5
                                                                             –
subradical es negativa el resultado será una cantidad                     32a - 16a - 8a - 3a   5a
imaginaria, que no existirá en el campo real.
            ___                                                    Rpta.: = 5
        impar
   a)     √[+]       = [+]
                                                              2.- Calcular el valor de:
      impar
            ___
                                                                                                     -n
   b)     √[-]       = [-]
      par
          ___                                                                                  ( )
                                                                                               4
                                                                                               –
                                                                                          43 8 3
                                                                                      E = ––––––––––
   c) √[+]           = [±]                                                                 [4(4-1)n]2
          ___
      par                                                          Solución:
   d) √[+]           = cantidad imaginaria
                                                                   Transformemos el numerador, para escribir con
                                                                   base 4:
  Nota:
                                                                                -n             -n                 -n
  Para efectos de estudio, se empleará, en el caso
  (c), raíces de índice par y cantidad subradical po-
                                                                        (8 ) [ ]
                                                                           _
                                                                           4
                                                                           3
                                                                                           _
                                                                                           4
                                                                                     = (23)3                [ ]
                                                                                                    = (24)n = (22)2 = 4
  sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el
                                                                   Reemplazando en la expresión original:
  valor positivo.
                                                                           43 . 4-2n 43 . 4-2n 43-2n
                                                                      E = –––––––– = ––––––– = – – –
                                                                                                –––
                                                                          (41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2n
EJERCICIO RESUELTOS
                                                                      E = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4
Sobre las leyes de la teoría de exponentes y los
signos en las operaciones algebráicas.                             Rpta.: = 4



                                                          - 18 -
Á L G E B R A


3.- Hallar el valor de la expresión:                              multiplicando potencias de bases iguales:
                      ___________
                    n
                          20n+1                                                     36 . 79 . 56 . 212
                       √
               E = ––––––––––
                       4n+2 + 22n+2
                                                                                E = ––––––––––––––
                                                                                    36 . 79 . 56 . 211
   Solución:                                                      simplificando:
   Transformando el denominador:                                                     12
                                                                                E = 2 = 212-11 = 21 = 2
                                                                                    –––
   4n+2 + 22n+2      = 4n+2 + 22(n+1)                                               211
                                                                  Rpta.: 2
                     = 4n+2 + (22)n+1
                     = 4n+2 + 4n+1                           5.- Calcular el valor de:
                                                                                                 _
                                                                                                 _
                                                                                            -6 3
                     = 4n+1 (41+1)                                                 _ ___
                                                                                   _
                     = 4n+1 . 5                                         E=    [√ ]
                                                                               3
                                                                               √3     __
                                                                                    3√3
                                                                                             √


   reemplazando en la expresión, y transformando                  Solución:
   el numerador:
                   __________                                     Escribimos la raíz principal en la forma expo-
                 n                                                nencial:
                    (4 . 5)n+1
                       √
            E = –––––––––
                     4n+1 . 5
                                                                                   -6 –
                                                                                _ √3
                                                                                      –


   operando en el numerador:
                 n
                   __________
                     n+1
            E = 4 n+1. 5 1
                          n+1
                                                                       E=
                                                                            3 [ ]
                                                                              √3
                                                                              –––
                                                                              3
                                                                              √3
                                                                                _



                       √
                    –––––––––
                     4 .5                                         luego, transformamos los exponentes:

   simplificando y descomponiendo la potencia:
                                                                        [ ] [ ]
                                                                         31/2 3-1/6                  (      )
                                                                                           1 1       -1/6
                                                                                           –– - ––
                 _______                                                 –––
                                                                          1/3              2 3     3
                            __                                           3               3
               n
                  5n . 51 n                                       E = (3)           = (3)
                   √
           E = ––––––– = √5n = 5n = 5
                    41
                                                                                1
                                                                               -–

                                                                        [ ]  1  6    1    1        1 1
   Rpta.: 5                                                                 – 3
                                                                             6
                                                                                     – -–
                                                                                     6    6
                                                                                                   –-–
                                                                                                   6 6     0
                                                                                    3 . 3         3
                                                                    =       3 = (3)         = (3)      = 33 = 31 = 3
4.- Calcular el valor de:                                               3

                      216 . 353 . 803                             Rpta.: 3
                  E = –––––––––––––
                      154 . 149 . 302
                                                             6.- Simplificar la expresión:
   Solución:


                                                                                      {          [         ]}
                                                                                                     1 1          -2
   Se sabe que: (a . b)n = an . bn                                                                   – –
                                                                                E=         m-1 m(m3) 2 5
   descomponemos en factores primos, para aplicar
   esta ley:                                                      Solución:
                              6         3   4     3
                      (3 . 7) (7 . 5) (2 . 5)
                  E = –––––––––––––––––––––                       Efectuando operaciones:
                     (3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2

   aplicando la ley anterior:                                                  [  1
                                                                                  –
                                                                  E = (m-1)-2 (m1)5        ] {[(m )– ]–}
                                                                                            -2         1
                                                                                                     3 2
                                                                                                           1 -2
                                                                                                           5


                       36 . 76 . 73 . 53 . 212 . 53                          2     3      2 3
                  E = ––––––––––––––––––––––                                -–    -–    2-–-–
                      34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 52            E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5




                                                         - 19 -
2   -   2+3
                   –––           2       -   5
                                             –
                                                                      α        Luego:
                                                                                               _________________
                                                                                                                                     α
                    5                        5
   E=m                       =m                  = m2-1 = m1 = m                           n
                                                                                                 10n + 15n + 6n
                                                                                               ––––––––––––––                    ––––––––––
   Rpta.: m

7.- Calcular:

                                  n
                                             _________
                                                  n+1
                                                 2__
                                                                                E=
                                                                                          √           1
                                                                                               –––––––––––––– =
                                                                                               [10n + 15n + 6n
                                                                                                ––––––––––––
                                                                                                  (5 . 2 . 3)n   ]       √
                                                                                                                             n
                                                                                                                                 (5 . 2 . 3)n
                                                                                                                                 –––––––––
                                                                                                                                      1


                           E=
                                 √√          –––––– __
                                              n+2
                                                    ____
                                                    ––––
                                                   4 √4n
                                                                               Simplificando:
                                                                                    n –––
                                                                                               n
                                                                                               –
                                                                                               n
                                                                                E = √(30)n = 30 = 301 = 30
   Solución:
                                                                               Rpta.: 30
   Trabajando con el denominador:
                _____
                  ___       _____
            n+2         n+2                                               9.- Calcular:
                       √
                4 √4n = √4 . 4n/2                                                                                                    _
                                                                                                                                     1
                                                                                                   2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n             n

           n+2
                   ___
                     __
                               n+2
                                     ____                                                          [
                                                                                               E = ––––––– ––––––––
                                                                                                            –
                                                                                                       23 . 52 + 5n              ]
               √4 = √4 n                     n+2



                                                                                                                                            α
                    1+ ––                    –––
                       2                      2
       =
                                                                               Solución:
                ___
                  ____

               √(2) = √_2_____ = 2                                             Separemos los exponentes que aparecen suma-
           n+2           n+2                               n+2
                                                           ___
                         –––      n+2
                        2 2                      n+2       n+2
                                                                 =2
       =                                                                       dos:
                                                                                                                             _
                                                                                                                             1
   reemplazando, descomponiendo y simplificando:                                     2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n             n


                   n
                       ––––––
                                 ___ _
                                                                                       [
                                                                                 E = –––––––––––––––––––
                                                                                             23 . 52 + 5n                ]
                                       n
           E=
                   √   2n . 21 n
                       –––––– = √2n = 2n = 21 = 2
                         2                                                     Hagamos que: 2n = a; 5n = b:

                                                                                                       _
                                                                                                       1             _
                                                                                                                     1
                                                                                                                           _
                                                                                                                           1
   Rpta.: 2                                                                         10ab - ab          n
                                                                                                              9ab    n


8.- Calcular:
                                                                                      [
                                                                                E = ––––––––
                                                                                     8b + b            ] [ ]
                                                                                                           = ––––
                                                                                                              9b
                                                                                                                         =an

                               _____________
                                                                                                    _ _
                                                                                                    1   n
                           n                                                                        n   n
                               10n + 15n + 6n
                   E=
                           √   ––––––––––––
                               5-2 + 2-n + 3-n
                                                                                reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2

                                                                                Rpta.: 2
   Solución:
                                                                          10.- Calcular:
   En primer lugar transformemos el denominador:
            _____________                                                             (3n + 6) veces         (2n + 3) veces
               n         n
                    10 + 15 + 6      n             n                                  6447448                 6447448
     E=
               √    ––––––––––––
                     1    1    1
                     –– + –– + ––
                     5n 2n 3n
                                                                                  [ x.x.x.….x
                                                                                   x.x.x.….x
                                                                                   1442443
                                                                                                  x.x.x….x


                                                                                      (4n - 2) veces
                                                                                                       x 6  ][  1
                                                                               E = –––––––––––––– –––––––––––– ––––
                                                                                                               xn+2                      ][ ]
   Dando común denominador en el denominador
   de la raíz:                                                                 Solución:
              _________________
               n                                                               Cada expresión se reduce:
                     10n + 15n + 6n
     E=
               √(   ––––––––––––––
                     6n + 15n + 10n
                     ––––––––––––
                       5n . 2n . 3n                    )                                               [ ][ ][ ]
                                                                                                       x3n+6 x2n+3
                                                                                                       x4n-2   x6
                                                                                                                    1
                                                                                                   E = –––– –––– ––––
                                                                                                                   xn+2




                                                                      - 20 -
Á L G E B R A


   Que se puede escribir así:
                                                                                   (––) (––) = (––)
                                                                                       x-1        -1/2       2
                                                                                     3   3       3
                                                                                    4    4      4
        x3n x6 x2n x3     1     x3n+2n . x6+3
    E = ––––– . ––––– . ––––– = ––––––––––
         4n -2    6      n 2                                                                1
                                x4n+n . x-2+6+2
                                                                                   (––) = (––)
        x x      x      x x                                                            x-1- ––           2
                                                                                    3       23
                                                                                    4        4
        x3n x6 x2n x3
    E = ––––– = ––––– = x9-6 = x3
        x4n x-2   x6                                         igualando los exponentes:
                                                                                    x -–– - –– = ––
    Rpta.: x3                                                                       –––1 1 2
                                                                                      1     2 1
11.- Resolver:                                               eliminado los denominadores:
                         _______
                   x-1      ____ 3x-7 ____                                          2x - 2 - 1 = 4
                   √      3
                          √ 23x-1 - √8x-3 = 0                                              2x = 7
   Solución:
                                                             Rpta.: x = 7/2
   Transpongamos términos:
                 _______                                13.- Hallar el valor de:
              x-1 ____          ____                                     ––––––––––––––
                  3
                   √       3x-7
                  √ 23x-1 = √8x-3 = 0                                              n+1
                                                                                       ____


                                                                             √
                                                                          256n+1 √4n -1
                                                                       n                 2

                    ___
                     3x-1        ___
                                  x-3                            E=       –––––  ––––––––
                                                                                    – __
                                                                                    1
                                                                                    n
                                                                                        _
                   23(x-1) = (23)3x-7                                        64n+1 √4-1
                    ___
                     3x-1     ___
                               x-3
                                                             Solución:
                   2 3x-3 = 2 3x-7
                                                             Previamente se opera en forma parcial:
   Si igualamos los exponentes (dado que son fun-
   ciones exponenciales):                                    • 256n+1 = (64 . 4)n+1
                   3x - 1 3x - 9                                             = 64n+1 . 4n+1
                   ––––– = ––––––
                   3x - 3 3x - 7                                      ____  n2-1 n2-12 (n+1)(n-1)
                                                                 n+1        –––– ––––– –––––––––
                                                                       n2-1  n+1
    (3x - 1)(3x - 7) = (3x - 3) (3x - 9)
                                                             •       √4 = 4 = 4 = 4 n+1 = 4n-1
                                                                                  n+1

                                                                                       1
                                                                                     - ––
    9x2 - 21x - 3x + 7 = 9x2 - 27x - 9x + 27                     1   ––  ––   -1       1
                                                                ___ _
                                                                 –
                                                                 n    _
                                                                      1  __
                                                                          1
                                                             • √4 = 4 = 4n = 4-n
                                                                 -1  n
    simplificando:

    -21x - 3x + 27x + 9x = 27 - 7                            Reemplazando las expresiones transformadas, en
                                                             la expresión inicial:
                           12x = 20                                                ________________
                                                                                             n
              5
   Rpta.: x = ––
              3
                                                                                    E=
                                                                                            √    64n+1 . 4n+1 . 4n-1
                                                                                                 ––––––––––––––
                                                                                                     64n+1 . 4-n

12.- Resolver:                                               simplificando y efectuando:
                                ___                                               _______
                                                                                             n
                 (––) √
                          x-1
                   3             4    9
                  4
                                –– = –––
                                 3   16
                                                                                    4n+1+n-1
                                                                                    E=
                                                                                   ––––––
                                                                   _____ n _____ n ___
                                                                                      4-n   √
    Solución:                                                    n
                                                             E = √42n-(-n) = √42n+n = √43n
    Transformemos buscando una base común:                             3n
                                                                       –––
                                                             E = 4 n = 43 = 64
                 (––) (––) = (––)
                         x-1     1/2       2
                   3   4      3
                  4    3      4                              Rpta.: 64



                                                    - 21 -
14.- Calcular el valor de:
                                                                  α         Reemplazando los equivalentes en la expresión
                                                                            propuesta:
                                                                                                                                              α
                            2a          2b
                            ––          ––                                               __________
                           4a-b + 12 . 4a-b                                                       x4
                       R = ––––––––––––
                                   ____


     Solución:
                               a-b
                                 √4a+b
                                                                                             E=
                                                                                                  √[           3
                                                                                                                   _____
                                                                                                               √(63)x3
                                                                                                                              x

                                                                                                                              ]
                                                                            Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera:
                                                                                  ___________       _______       _______
     La expresión se puede escribir así:                                         x4                                      x4              x         x4             1

                                                                                 √[                                      √[ ] √[
                                                                            E=                             x       =                         =
                                                                                              _____                               3x3
                                                                                                                                  __                             x
                2a
                ––          2b
                            ––      2a
                                    ––           2b
                                                 ––
               4a-b + 12 . 4a-b = ––––– + ––––––––
                                   4a-b   12 . 4a-b
                                                                                            3
                                                                                            √(63)x3    ]                      6    3                    x3
                                                                                                                                                        6    ]
           R = ––––––––––––                                                            x           4
                      a+b           a+b      a+b
                      ––            ––       ––                                x4 ––––
                                                                                     4 ––4
                     4a-b          4a-b     4a-b                            E = √6x = 6x = 6
                                                                            Rpta.: 6
       Operando convenientemente:
                  2a                                                   16.- Calcular el valor de: ________
                   –– a+b
                  –– - ––
                  a-b
                        ––
                       a-b
                                        12                                        _______
           R=4                    + –––––––––
                                      a+b  2b                                         n-1                      n-1




   y, efectuando los exponentes:
                                     –– - ––
                                       –– ––
                                    4 a-b a-b                                E=
                                                                                      √     4n-1 + 1 +
                                                                                            ––––––
                                                                                            41-n + 1               √
                                                                                                                   n-1
                                                                                                                       5n-1 + 1
                                                                                                                       –––––––
                                                                                                                        1-n
                                                                                                                       5_______
                                                                                                                            +1
                                                                                                                                             n-1
                                                                                                                                                   _____
                                                                                                                                                       ___
                                                                                                                                                            α
                2a-a-b
                –––– 12
           R = 4 a-b + ––––––
                         a+b-2b
                                                                                                           +
                                                                                                                    √     6n-1 + 1 +
                                                                                                                          ––––––
                                                                                                                          61-n + 1           √     7n-1 + 1
                                                                                                                                                   –––––––
                                                                                                                                                   71-n + 1
                        –––––                                               Solución:
                       4 a-b
                                                                            Desarrollando el caso general:
   Simplificando:                                                                  _______       ________
                                                                                      n-1                      n-1


           R=4
                  a-b
                  –––
                   a-b      12
                         + –––––– = 4 + 3 = 7
                              a-b
                             –––
                                                                                      √     an-1 + 1 =
                                                                                            ––––––
                                                                                            a1-n + 1            a  √
                                                                                                                  an-1 + 1
                                                                                                               –––––––––
                                                                                                                 -(n-1)
                                                                                                                 _______
                                                                                                                         +1
                                                                                                                                                   _____ ___
                            4 a-b                                                                            n-1 n-1
                                                                                                                  a +1 =                     n-1
                                                                                                                                                    an-1 + 1

   Rpta.: 7
                                                                                                           =
                                                                                                                    √
                                                                                                                  ––––––


                                                                                                                   n-1
                                                                                                                        1
                                                                                                                              –––– + 1
                                                                                                                          a n-1
                                                                                                                         _______             √      –––––––
                                                                                                                                                    1 + an-1
                                                                                                                                                   ––––––––
                                                                                                                                                      an-1

15.- Calcular el valor de:                                                                                                an-1 + 1
                                                                                                                          ––––––
                      –––––––––––––––


                                                                                                                   √
                                                                                                                                     n-1
                                                                                                                                    ___
                                                                                                                              1
                          3
                              n                                                                            =              –––––– = a n-1 = a
                                                                                                                           an-1 + 1


                         √ [√
                         81                                   n
                 E=                    _______            3                                                               ––––n-1
                                                                                                                              ––––
                                                                                                                            a
                                                     ]
                                                      3
                                   3           n+1
                                              3
                                       216   3                              Por lo tanto, por analogía:
                                                                               ________
   Solución:                                                                n-1 n-1
                                                                               4 +1 =4
   Por convenir, se realiza las siguientes equiva-
   lencias:
                                                                            √  –––––––
                                                                                41-n + 5
                                                                               ________
                                                                            n-1 n-1
                                                                               5 +1 =5
   • 33
       n
               = x                                                          √  –––––––
                                                                                51-n + 5
                                                                               _______
                                                                                 _
           n             n             n                                    n-1 n-1
                                                                               6 +1 =6
   • 813
       n+1
               = (34)3 + ( 33 )4 = x4
                     n     1               n              n
                                                                            √  –––––––
                                                                                61-n + 5
                                                                               ________
   • 33        = 3(3     .3 )
                                  = 3(3     . 3)
                                                   = (33 )3 = x3            n-1 n-1
                                                                               7 +1 =7
   • 216 = 63                                                               √  –––––––
                                                                                71-n + 5




                                                                   - 22 -
Á L G E B R A


   Luego: E = 4 + 5 + 6 + 7 = 22                              19.- Calcular el valor de:

                                                                                     __ –––––––––– 7
   Rpta.: 22

17.- Simplificar:

                n
                  –––––––––––– ––––––
                              –
                         ––––––––––
                                                                                    [√ ]
                                                                                   √7
                                                                                          7
                                                                                          √7
                                                                                            7

                                                                                            __ 7
                                                                                                 7
                                                                                                    -1


                                                                         E = ––––––––––––––––––––––––––––
                                                                                          7
                                                                                            __
                                                                                                       -7
                                                                                                          __
                       n

                                                                                   [(  __ √7        __ √ 7

                                                                                                                           ]
               √          √                                                                      )( )
                              2      2                                              -7            7
                   3n      x4n + x3n                                                √7           -√7
                  x +     –––––––––
         E=
                               2
                            x2n + xn
                                    2                                              7           7
                  –––––––––––––  ––––
                        xn + 1                                     Solución:
                                                                                  __
                                                                                7
   Solución:                                                       Si definimos √7 = x, luego:
   Resolviendo por partes:                                                  _ 7 __
                                                                             1
                                                                       -1
       ––––––––––         –––––––––––––                            • 77 = 77 = √7 = x
     n    4n2     3n2   n      2  2
                           x3n (xn + 1)
    √  x +x
       ––––––––– =
             2
         x2n + xn
         ______
                    2
                          √–––––––––––––
                               2  2
                           x4n (xn + 1)
                          ____
                                                                     -7 ––
                                                                             1
                                                                            -– 1        1
                                                                                 71/2 7 7
                                                                                       √
                                                                                         __ x
                                                                                              1
                                                                   • √ 7 = 7 7 = ––– = –––– = ––

       n      2 2       n    2
    = √x3n -n         = √x2n = x2n                                 Reemplazando:
                                                                                                     x
                                                                                                         __
   Reemplazando:                                                                         ( √xx )7
        ––––– –––––           ––––– ––––––––                                       E = ––––––––––––
                                                                                            (7 _ )                  _
                                                                                                 1       x          1
      n   4n2      2          n 3n2    2                                                         x
         x + x3n               x (xn + 1)                                                                     (7-x) x
       √
   E = ––––––––– =
            2
         x2n + xn
                 2
                              √–––––––––––––

                              ____
                                   2


                                      __
                                      2n
                                        2
                                x4n (xn + 1)                                             7

                                                                                      7 .7     7
                                                                                                7
                                                                                    = – x -1 = x0 = 7
                                                                                       –––– ––
                            n
                          = √x2n = x n
                                                                   Reponiendo el valor de x:
   Rpta.: x2                                                                __
                                                                          7
                                                                    E = ( √7 )7 = 7
18.- Simplificar:
                _________________
                    _________________
                                _______________
              n
                    n               _ ________
                            __________ ______
                                ________ ___
                                    _ ________
                                                                   Rpta.: 7

              √√
                          n               ___
                                       n
         E=     xn    xn
                          2
                              √x √x
                                  n3       n4
                                                  n
                                                … √ xn
                                                      n       20.- Señalar el exponente de “x” después de simpli-
                                                                   ficar (hay “n” radicales):
   Extrayendo raíz a cada factor, sucesivamente:                                            ––––––––––
                                                                                                     ––––––––––––––––
                                                                                                         ___________
                         ___________ _ _____
                                 _______ _ __ _
                                   _ _ _____
                                    _ ___ ___
                  –––––––––––––––––––––––––––––––
                                                ––                                      4
                                                                                                                    _ __
                                                                                                               ________
                                                                                                                 _ _ __
               n2
                                                                                    √
                       n                                                                             4
                                                                                                             4

                 √ √
        E = x . xn
                     2      3
                               n
                                  √4
                          xn xn … √ xn
                                          n
                                               n                               E=           x3   √                4
                                                                                                         x3 √x3 √ x3
                                                                   Solución:
                       _____________ _____
                              ______ ______
                                _ ___ _ __ _
                                         _
                     n3                   _
                            n                                      Suponiendo n = 1, se obtiene que:
         E=x.x. x    √ √n3      n4
                               x …√ x
                                     n

                           _____ __ _____
                              _ _ _ _ ___
                                         nn

                                                                               4
                                                                                   __                         __
                                                                                                              4-1
                         4
                        n
                                   n                                           √x3 = x3/4 = x 4
                          √   4
         E = x . x . x . xn … √ xn
                                       n

                                                                   Suponiendo n = 2, se obtiene que:
   por lo que, al final se obtendrá:                                   _______
                                                                            ___ 4 ___________ 2 ______
                                                                                       _______
                                                                     4    4          4             4
                                                                   • √x √ x3 = √x3 √ x3 . 4 . x3 = √x12 . x3
                                                                        3
               E = x . x . x . x … x = xn
                     1442443
                                                                                                 42 - 1
                      “n” veces                                                     15
                                                                                    ––           –––
                                                                                    16           4 2
                                                                               =x               =x
   Rpta.: xn



                                                          - 23 -
Suponiendo n = 3, se obtiene:
       _______ ____
                                                      α                                        1
                                                                                               _
                                                                                               n
                                                                                                                                             α
                                                                        [( ) ]
                                                                                       n
     4      _______
                 ___ 3 ___    __
                               63    43-1
                                     ___                                    6                         6
          4                                                        E=      –––                     = ––
     √  3    3
               4
                   3
                     4
   • x √x √ x = √ x = x 63   4 3
                                  =x4 3                                    10                        10

   Suponiendo n = 4, se obtiene:                                   Rpta.: 0,6
       _________________
     4      ____________                                      22.- Simplificar:
                 _______
                      ___ 4 ___   43-1

     √
          4                       ___                                                                        __
   • x  3
          √  3
               4
                  3
                    4
                        3
                          4
            x √x √ x = √x = x255 4 4                                                                    bb
                                                                                                        √b ––
                                                                                                        √b
   y, así sucesivamente.
   Para “n” casos se puede generalizar como:
                               4n-1
                               ___
                               4n
                                                                    E=    [ ]
                                                                   Solución:
                                                                               b
                                                                                b
                                                                                  -b
                                                                                 -b
                                                                                    -b




                       E=x
                                                                   Trabajando con el exponente:
                           4n - 1
   luego, el exponente es: –––––
                            4n                                                    1
                                                                                _____


                                                                                                                                                    α
                                                                         __        __        __ -1
21.- Simplificar la expresión:
                                                                      bb
                                                                      √b –– √b( ) ( )
                                                                                bb        bb
                                                                                          √b
                                                                        √b = b   =b




            [                                         ]
                                                      1
                                                      –

                                                                               [( )]
                           n          n+2       n+1   n                                             -1
                        2 . 12       30
                6n + ––––––––– . –––––                                                     1
                                                                                           –
                           4n+2       5n-1
         E = ––––––––––––––––––––––––––––
                                    23 . 5n . 14n
             2n+1 . 5n + 25 . 10n - ––––––––––                                 b
                                                                                   b
                                                                                       b   b

                                                                                                        =b
                                                                                                             ( )
                                                                                                              bb
                                                                                                                   -b
                                                                                                                        -1


                                                                                                                             =bb
                                                                                                                                   -b
                                                                                                                                        -b


                                         7n                                                                                                  -b
                                                                   A continuación, hagamos que x = b-b , y reem-
   Solución:                                                       placemos en E:
   Trabajando por partes:                                                      E = [bb ]b = bb
                                                                                                   -x    x          -x . bx        0
                                                                                                                              = bb = b1 = b
     2n . 12n+2 2n(4 . 3)n+2 2n . 4n+2 . 3n+2                      Rpta.: b
   • ––––––– = ––––––––– = ––––––––––––
       4n+2        4n+2            4n+2
                                                              23.- Calcular:
                = 2n . 3n . 32 = 9 . 6n                                                    ______________ ________
                                                                                                            _
                                                                                                                  ____
                                                                                            52n . 2n+1 + 50n . n+1 n2-1
                                                                           E=n                                   √5

                                                                                   √
     30n+1 (6 . 5)n+1 6n+1 . 5n+1                                                           –––––– –––––––
   • –––– = –––––––– = ––––––––– = 6n . 6 = 6 . 6n                                           5n . 8 - 5n+1
      5n+1    5n+1        5n+1                                                              ––––––––––––––– _
                                                                                                        ___ __ –––––––
                                                                                                           1/n
                                                                                                      √5-1 √5-1
   • 2n+1 . 5n = 2 . 2n . 5n = 2(2 . 5)n = 2 . 10n
                                                                   Solución:
            n          n              n     n
      23 . 5 . (14) 23 . 5 . (7 . 2)                               Operando por partes:
   • –––––––––––– = –––––––––––––––– =23 . 10
            n
           7                7n                                     • 52n . 2n+1 + 50n = (52)n . 2n . 2 + 50n
   Reemplazando:                                                      = 25n . 2n . 2 + 50n = (25 . 2)n . 2 + 50n
                                                1
                                                _
                                                n                         = 50n . 2 + 50n = 50n . 3                                                (I)

       [    6n + 9 . 6n - 6 . 6n
   E = –––––––––––––––––––––––
       2 . 10n + 25 . 10n - 23 . 10n        ]                      • 5n . 8 - 5n+1 = 5n . 8 - 5n . 5 = 5n . 3
                                                                        n2-1
                                                                                                                                                  (II)

                   1
                   _
                                                                        ___   ______
                                                                              (n+1)(n-1)
                   n                                               • 5 n+1 = 5 n+1 = 5n-1                                                         (III)

       [ ]
        4 (6)n
   E = ––––––
       4 (10)n                                                       1/n
                                                                         __        __
                                                                                    1
                                                                   • √5-1 = (5-1)(1/n) = (5-1)n = 5-n                                             (IV)



                                                          - 24 -
Á L G E B R A


   Reemplazando (I), (II), (II) y (IV) en E:                                                       Solución:
                                                                                                                3
                                                                                                                  __
                                              _
                                              1                                   _
                                                                                  1
                                                                                                   Haciendo x = √3 , por lo tanto x3 = 3

                   [                         ][ ]
                           n                  n               n                   n
                50 . 3
                –––––– . 5n-1
                5n . 3
            E = ––––––––––––
                                                     50
                                                      5( )
                                                     ––– . 5n-1
                                                  = ––––––––––                                     Reemplazando:
                   5-1 . 5-n                            5-1-n
                                                                                                                                                                    x3   .–
                                                                                                                                                                          1
                                         _                                  _                                                                                             x


                                                                                                                                      [                         ]
                                         1                                  1                                                                               1
                                                                                                                                    ___ –
                   [
               = 10 . 5
                 –––––––––
                   5-1-n
                           n    n-1

                                         ] [
                                         n
                                    2 .5 .5
                                = ––––––––––––
                                       5-1-n
                                                   n     n        n-1

                                                                        ]    n
                                                                                                                                  x
                                                                                                                         E = xx . √x3
                                                                                                                                        x



                                 _1             _
                                                1
                                                n
                       n+n-1+1+n n
               = [2 . 5
                   n
                                ] = [2 . 5 ]
                                        n    3n                                                    Efectuando las operaciones necesarias:

               =   [(2 . 53)n]n              = 2 . 53 = 250                                                                          x2

   Rpta.: 250                                                                                             [  _
                                                                                                             3
                                                                                                   E = xx . xx        ( )
                                                                                                                         _
                                                                                                                         1
                                                                                                                             x
                                                                                                                                 ]    = (x )    x x2
                                                                                                                                                       [
                                                                                                                                                       x
                                                                                                                                                            _._
                                                                                                                                                            3 1
                                                                                                                                                            x       x
                                                                                                                                                                         ]
                                                                                                                                                                             x2




24.- Calcular el valor de:
                                                                                                              3
                                                                       __                            = xx . x3 = x3 . 3 = 3 . 3 = 9
                                          __                            3
                                    __  3    __                   3 . √3 -1

                       [             –– √3
                                                              ]
                                3        3   -1
                             __√3 √3                                                               Rpta.: 9
               E=
                           3
                           √3        3   √

                                                  EJERCICIOS PROPUESTOS
                                                                                                                                                                                            5
                                                                                                                                                                                              __
1. Calcular:                                                                                       a) 3 125            b) 625                  c) 25                d) 5                 e) √5
                                                                                      1
                                                                                      _




        [√                                                                        ]
                                                                                      2
            ______                                            _____                           4. Calcular “n” en la igualdad:
              __ __
               _ _
               ___             ____
                                ____         ___ __              _ ___
                                                                 ____
                                                                __ _ _
                                                                    __                                   ___________________  _
                 __               __          __                     __                                       _______________
            √√ √√
               √2               √2       √   √2 √2        √√ √ √
                                                              2    2 2 2                                            _______ __
                                                                                                                        _ _____  32
                                                                                                                                 ––                                      ( )
                                                                                                                                                                                    -1
   E=
                                                         2                                               x 3
                                                                                                              √ √
                                                                                                              x3
                                                                                                                    x …… √ x = x
                                                                                                                      3
                                                                                                              1444442444443
                                                                                                                              3
                                                                                                                                 93
                                                                                                                                 √
                                   __                                                                                  “n” radicales
                                                              1
    a) 2                       b) √2                      c) ––––
                                                               __                                  a) 6               b) 3                     c) 5             d) 4                     e) 8
                                                             √2
       1
    d) ––                      e) 4                                                           5. Efectuar:
       2                                                                                                                 _____________________________
                                                                                                                                 _____________________
                                                                                                                                        ______________


                                                                                                                      √ √
2. Hallar E = a.b en la relación:                                                                                              3                ______
                                                                                                                                                                4

                           b     a
                           a .b =2        21/2


                                         __
                                                                                                    J=

                                                                                                        __
                                                                                                          (3 ) ( ) ( ) (––) √(––__
                                                                                                               _
                                                                                                               1
                                                                                                                  6
                                                                                                                         5
                                                                                                                         3
                                                                                                                           __
                                                                                                                               5
                                                                                                                               3)
                                                                                                                                  3
                                                                                                                                 ––
                                                                                                                                  5
                                                                                                                                          -2




                                                                                                                                                    __
                                                                                                                                                       3
                                                                                                                                                      ––
                                                                                                                                                       5    √
                                                                                                                                                            3




                                                                                                                                                                     __
                                                                                                                                                                                  -6 5




                                                                                                                                                                                           5
                                                                                                                                                                                                -10




    a) 1
                       1
                   b) ––––
                       __
                      √2
                                     c) √2             d) 2                 e) 4
                                                                                                      5
                                                                                                   a) √6
                                                                                                                         3
                                                                                                                      b) √5
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                                                                                                                                               c) √5
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                                                                                                                                                                                           √3
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                                                                                                                                                                                            5
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                                                                                                                         156 . 124 . 59 . 63
                                                                                                                         ––––––––––––––––––––––
                __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 25                              2-1
                                                                                                                              11    13     4
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          5
            __ √5 √5 √5 √5 √5 √5
      E = √5                                                                                       a) 1               b) 3                 c) 5             d) 2                     e) 6



                                                                                          - 25 -
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Leyes de exponentes (resueltos)

  • 1. [+] a) ––– = [+] [+] b) ––– = [-] α 1.- Calcular el valor de: α [+] [-] 2x+4 + 36(2x-2) E = –––––––––––––––––––––––––––––– [-] [-] 2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1) c) ––– = [+] d) ––– = [-] [-] [+] Solución: Por la ley de la teoría de exponentes se conoce POTENCIACIÓN que: m La potencia de una base con exponente par, siempre am+n = am . an ; am-n = a n –– es positiva; pero la potencia de una base con expo- a nente impar, depende del signo de la base: Aplicando al ejercicio: ( ) x 2 a) [+]par = [+] 2x . 24 + 36 ––– 22 E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– b) [+]impar = [+] [-] par 2x 2x . 25 - 2(2x . 23) - 4(2x . 21) - 6 ––– 2 ( ) α c) = [+] Operando apropiadamente: impar d) [-] = [-] 16 . 2x + 9 . 2x E = –––––––––––––––––––––––––––– RADICACIÓN 32 . 2x - 16 . 2x - 8 . 2x - 3 . 2x Si el índice es impar, el resultado tendrá el mismo Se hace el cambio de 2x = a, para hacer más sim- signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y ple las operaciones: la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrá doble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad 16a + 9a 25a E = –––– ––––––––––––– = –––– = 5 – subradical es negativa el resultado será una cantidad 32a - 16a - 8a - 3a 5a imaginaria, que no existirá en el campo real. ___ Rpta.: = 5 impar a) √[+] = [+] 2.- Calcular el valor de: impar ___ -n b) √[-] = [-] par ___ ( ) 4 – 43 8 3 E = –––––––––– c) √[+] = [±] [4(4-1)n]2 ___ par Solución: d) √[+] = cantidad imaginaria Transformemos el numerador, para escribir con base 4: Nota: -n -n -n Para efectos de estudio, se empleará, en el caso (c), raíces de índice par y cantidad subradical po- (8 ) [ ] _ 4 3 _ 4 = (23)3 [ ] = (24)n = (22)2 = 4 sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el Reemplazando en la expresión original: valor positivo. 43 . 4-2n 43 . 4-2n 43-2n E = –––––––– = ––––––– = – – – ––– (41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2n EJERCICIO RESUELTOS E = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4 Sobre las leyes de la teoría de exponentes y los signos en las operaciones algebráicas. Rpta.: = 4 - 18 -
  • 2. Á L G E B R A 3.- Hallar el valor de la expresión: multiplicando potencias de bases iguales: ___________ n 20n+1 36 . 79 . 56 . 212 √ E = –––––––––– 4n+2 + 22n+2 E = –––––––––––––– 36 . 79 . 56 . 211 Solución: simplificando: Transformando el denominador: 12 E = 2 = 212-11 = 21 = 2 ––– 4n+2 + 22n+2 = 4n+2 + 22(n+1) 211 Rpta.: 2 = 4n+2 + (22)n+1 = 4n+2 + 4n+1 5.- Calcular el valor de: _ _ -6 3 = 4n+1 (41+1) _ ___ _ = 4n+1 . 5 E= [√ ] 3 √3 __ 3√3 √ reemplazando en la expresión, y transformando Solución: el numerador: __________ Escribimos la raíz principal en la forma expo- n nencial: (4 . 5)n+1 √ E = ––––––––– 4n+1 . 5 -6 – _ √3 – operando en el numerador: n __________ n+1 E = 4 n+1. 5 1 n+1 E= 3 [ ] √3 ––– 3 √3 _ √ ––––––––– 4 .5 luego, transformamos los exponentes: simplificando y descomponiendo la potencia: [ ] [ ] 31/2 3-1/6 ( ) 1 1 -1/6 –– - –– _______ ––– 1/3 2 3 3 __ 3 3 n 5n . 51 n E = (3) = (3) √ E = ––––––– = √5n = 5n = 5 41 1 -– [ ] 1 6 1 1 1 1 Rpta.: 5 – 3 6 – -– 6 6 –-– 6 6 0 3 . 3 3 = 3 = (3) = (3) = 33 = 31 = 3 4.- Calcular el valor de: 3 216 . 353 . 803 Rpta.: 3 E = ––––––––––––– 154 . 149 . 302 6.- Simplificar la expresión: Solución: { [ ]} 1 1 -2 Se sabe que: (a . b)n = an . bn – – E= m-1 m(m3) 2 5 descomponemos en factores primos, para aplicar esta ley: Solución: 6 3 4 3 (3 . 7) (7 . 5) (2 . 5) E = ––––––––––––––––––––– Efectuando operaciones: (3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2 aplicando la ley anterior: [ 1 – E = (m-1)-2 (m1)5 ] {[(m )– ]–} -2 1 3 2 1 -2 5 36 . 76 . 73 . 53 . 212 . 53 2 3 2 3 E = –––––––––––––––––––––– -– -– 2-–-– 34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 52 E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5 - 19 -
  • 3. 2 - 2+3 ––– 2 - 5 – α Luego: _________________ α 5 5 E=m =m = m2-1 = m1 = m n 10n + 15n + 6n –––––––––––––– –––––––––– Rpta.: m 7.- Calcular: n _________ n+1 2__ E= √ 1 –––––––––––––– = [10n + 15n + 6n –––––––––––– (5 . 2 . 3)n ] √ n (5 . 2 . 3)n ––––––––– 1 E= √√ –––––– __ n+2 ____ –––– 4 √4n Simplificando: n ––– n – n E = √(30)n = 30 = 301 = 30 Solución: Rpta.: 30 Trabajando con el denominador: _____ ___ _____ n+2 n+2 9.- Calcular: √ 4 √4n = √4 . 4n/2 _ 1 2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n n n+2 ___ __ n+2 ____ [ E = ––––––– –––––––– – 23 . 52 + 5n ] √4 = √4 n n+2 α 1+ –– ––– 2 2 = Solución: ___ ____ √(2) = √_2_____ = 2 Separemos los exponentes que aparecen suma- n+2 n+2 n+2 ___ ––– n+2 2 2 n+2 n+2 =2 = dos: _ 1 reemplazando, descomponiendo y simplificando: 2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n n n –––––– ___ _ [ E = ––––––––––––––––––– 23 . 52 + 5n ] n E= √ 2n . 21 n –––––– = √2n = 2n = 21 = 2 2 Hagamos que: 2n = a; 5n = b: _ 1 _ 1 _ 1 Rpta.: 2 10ab - ab n 9ab n 8.- Calcular: [ E = –––––––– 8b + b ] [ ] = –––– 9b =an _____________ _ _ 1 n n n n 10n + 15n + 6n E= √ –––––––––––– 5-2 + 2-n + 3-n reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2 Rpta.: 2 Solución: 10.- Calcular: En primer lugar transformemos el denominador: _____________ (3n + 6) veces (2n + 3) veces n n 10 + 15 + 6 n n 6447448 6447448 E= √ –––––––––––– 1 1 1 –– + –– + –– 5n 2n 3n [ x.x.x.….x x.x.x.….x 1442443 x.x.x….x (4n - 2) veces x 6 ][ 1 E = –––––––––––––– –––––––––––– –––– xn+2 ][ ] Dando común denominador en el denominador de la raíz: Solución: _________________ n Cada expresión se reduce: 10n + 15n + 6n E= √( –––––––––––––– 6n + 15n + 10n –––––––––––– 5n . 2n . 3n ) [ ][ ][ ] x3n+6 x2n+3 x4n-2 x6 1 E = –––– –––– –––– xn+2 - 20 -
  • 4. Á L G E B R A Que se puede escribir así: (––) (––) = (––) x-1 -1/2 2 3 3 3 4 4 4 x3n x6 x2n x3 1 x3n+2n . x6+3 E = ––––– . ––––– . ––––– = –––––––––– 4n -2 6 n 2 1 x4n+n . x-2+6+2 (––) = (––) x x x x x x-1- –– 2 3 23 4 4 x3n x6 x2n x3 E = ––––– = ––––– = x9-6 = x3 x4n x-2 x6 igualando los exponentes: x -–– - –– = –– Rpta.: x3 –––1 1 2 1 2 1 11.- Resolver: eliminado los denominadores: _______ x-1 ____ 3x-7 ____ 2x - 2 - 1 = 4 √ 3 √ 23x-1 - √8x-3 = 0 2x = 7 Solución: Rpta.: x = 7/2 Transpongamos términos: _______ 13.- Hallar el valor de: x-1 ____ ____ –––––––––––––– 3 √ 3x-7 √ 23x-1 = √8x-3 = 0 n+1 ____ √ 256n+1 √4n -1 n 2 ___ 3x-1 ___ x-3 E= ––––– –––––––– – __ 1 n _ 23(x-1) = (23)3x-7 64n+1 √4-1 ___ 3x-1 ___ x-3 Solución: 2 3x-3 = 2 3x-7 Previamente se opera en forma parcial: Si igualamos los exponentes (dado que son fun- ciones exponenciales): • 256n+1 = (64 . 4)n+1 3x - 1 3x - 9 = 64n+1 . 4n+1 ––––– = –––––– 3x - 3 3x - 7 ____ n2-1 n2-12 (n+1)(n-1) n+1 –––– ––––– ––––––––– n2-1 n+1 (3x - 1)(3x - 7) = (3x - 3) (3x - 9) • √4 = 4 = 4 = 4 n+1 = 4n-1 n+1 1 - –– 9x2 - 21x - 3x + 7 = 9x2 - 27x - 9x + 27 1 –– –– -1 1 ___ _ – n _ 1 __ 1 • √4 = 4 = 4n = 4-n -1 n simplificando: -21x - 3x + 27x + 9x = 27 - 7 Reemplazando las expresiones transformadas, en la expresión inicial: 12x = 20 ________________ n 5 Rpta.: x = –– 3 E= √ 64n+1 . 4n+1 . 4n-1 –––––––––––––– 64n+1 . 4-n 12.- Resolver: simplificando y efectuando: ___ _______ n (––) √ x-1 3 4 9 4 –– = ––– 3 16 4n+1+n-1 E= –––––– _____ n _____ n ___ 4-n √ Solución: n E = √42n-(-n) = √42n+n = √43n Transformemos buscando una base común: 3n ––– E = 4 n = 43 = 64 (––) (––) = (––) x-1 1/2 2 3 4 3 4 3 4 Rpta.: 64 - 21 -
  • 5. 14.- Calcular el valor de: α Reemplazando los equivalentes en la expresión propuesta: α 2a 2b –– –– __________ 4a-b + 12 . 4a-b x4 R = –––––––––––– ____ Solución: a-b √4a+b E= √[ 3 _____ √(63)x3 x ] Efectuando operaciones, de adentro hacia afuera: ___________ _______ _______ La expresión se puede escribir así: x4 x4 x x4 1 √[ √[ ] √[ E= x = = _____ 3x3 __ x 2a –– 2b –– 2a –– 2b –– 4a-b + 12 . 4a-b = ––––– + –––––––– 4a-b 12 . 4a-b 3 √(63)x3 ] 6 3 x3 6 ] R = –––––––––––– x 4 a+b a+b a+b –– –– –– x4 –––– 4 ––4 4a-b 4a-b 4a-b E = √6x = 6x = 6 Rpta.: 6 Operando convenientemente: 2a 16.- Calcular el valor de: ________ –– a+b –– - –– a-b –– a-b 12 _______ R=4 + ––––––––– a+b 2b n-1 n-1 y, efectuando los exponentes: –– - –– –– –– 4 a-b a-b E= √ 4n-1 + 1 + –––––– 41-n + 1 √ n-1 5n-1 + 1 ––––––– 1-n 5_______ +1 n-1 _____ ___ α 2a-a-b –––– 12 R = 4 a-b + –––––– a+b-2b + √ 6n-1 + 1 + –––––– 61-n + 1 √ 7n-1 + 1 ––––––– 71-n + 1 ––––– Solución: 4 a-b Desarrollando el caso general: Simplificando: _______ ________ n-1 n-1 R=4 a-b ––– a-b 12 + –––––– = 4 + 3 = 7 a-b ––– √ an-1 + 1 = –––––– a1-n + 1 a √ an-1 + 1 ––––––––– -(n-1) _______ +1 _____ ___ 4 a-b n-1 n-1 a +1 = n-1 an-1 + 1 Rpta.: 7 = √ –––––– n-1 1 –––– + 1 a n-1 _______ √ ––––––– 1 + an-1 –––––––– an-1 15.- Calcular el valor de: an-1 + 1 –––––– ––––––––––––––– √ n-1 ___ 1 3 n = –––––– = a n-1 = a an-1 + 1 √ [√ 81 n E= _______ 3 ––––n-1 –––– a ] 3 3 n+1 3 216 3 Por lo tanto, por analogía: ________ Solución: n-1 n-1 4 +1 =4 Por convenir, se realiza las siguientes equiva- lencias: √ ––––––– 41-n + 5 ________ n-1 n-1 5 +1 =5 • 33 n = x √ ––––––– 51-n + 5 _______ _ n n n n-1 n-1 6 +1 =6 • 813 n+1 = (34)3 + ( 33 )4 = x4 n 1 n n √ ––––––– 61-n + 5 ________ • 33 = 3(3 .3 ) = 3(3 . 3) = (33 )3 = x3 n-1 n-1 7 +1 =7 • 216 = 63 √ ––––––– 71-n + 5 - 22 -
  • 6. Á L G E B R A Luego: E = 4 + 5 + 6 + 7 = 22 19.- Calcular el valor de: __ –––––––––– 7 Rpta.: 22 17.- Simplificar: n –––––––––––– –––––– – –––––––––– [√ ] √7 7 √7 7 __ 7 7 -1 E = –––––––––––––––––––––––––––– 7 __ -7 __ n [( __ √7 __ √ 7 ] √ √ )( ) 2 2 -7 7 3n x4n + x3n √7 -√7 x + ––––––––– E= 2 x2n + xn 2 7 7 ––––––––––––– –––– xn + 1 Solución: __ 7 Solución: Si definimos √7 = x, luego: Resolviendo por partes: _ 7 __ 1 -1 –––––––––– ––––––––––––– • 77 = 77 = √7 = x n 4n2 3n2 n 2 2 x3n (xn + 1) √ x +x ––––––––– = 2 x2n + xn ______ 2 √––––––––––––– 2 2 x4n (xn + 1) ____ -7 –– 1 -– 1 1 71/2 7 7 √ __ x 1 • √ 7 = 7 7 = ––– = –––– = –– n 2 2 n 2 = √x3n -n = √x2n = x2n Reemplazando: x __ Reemplazando: ( √xx )7 ––––– ––––– ––––– –––––––– E = –––––––––––– (7 _ ) _ 1 x 1 n 4n2 2 n 3n2 2 x x + x3n x (xn + 1) (7-x) x √ E = ––––––––– = 2 x2n + xn 2 √––––––––––––– ____ 2 __ 2n 2 x4n (xn + 1) 7 7 .7 7 7 = – x -1 = x0 = 7 –––– –– n = √x2n = x n Reponiendo el valor de x: Rpta.: x2 __ 7 E = ( √7 )7 = 7 18.- Simplificar: _________________ _________________ _______________ n n _ ________ __________ ______ ________ ___ _ ________ Rpta.: 7 √√ n ___ n E= xn xn 2 √x √x n3 n4 n … √ xn n 20.- Señalar el exponente de “x” después de simpli- ficar (hay “n” radicales): Extrayendo raíz a cada factor, sucesivamente: –––––––––– –––––––––––––––– ___________ ___________ _ _____ _______ _ __ _ _ _ _____ _ ___ ___ ––––––––––––––––––––––––––––––– –– 4 _ __ ________ _ _ __ n2 √ n 4 4 √ √ E = x . xn 2 3 n √4 xn xn … √ xn n n E= x3 √ 4 x3 √x3 √ x3 Solución: _____________ _____ ______ ______ _ ___ _ __ _ _ n3 _ n Suponiendo n = 1, se obtiene que: E=x.x. x √ √n3 n4 x …√ x n _____ __ _____ _ _ _ _ ___ nn 4 __ __ 4-1 4 n n √x3 = x3/4 = x 4 √ 4 E = x . x . x . xn … √ xn n Suponiendo n = 2, se obtiene que: por lo que, al final se obtendrá: _______ ___ 4 ___________ 2 ______ _______ 4 4 4 4 • √x √ x3 = √x3 √ x3 . 4 . x3 = √x12 . x3 3 E = x . x . x . x … x = xn 1442443 42 - 1 “n” veces 15 –– ––– 16 4 2 =x =x Rpta.: xn - 23 -
  • 7. Suponiendo n = 3, se obtiene: _______ ____ α 1 _ n α [( ) ] n 4 _______ ___ 3 ___ __ 63 43-1 ___ 6 6 4 E= ––– = –– √ 3 3 4 3 4 • x √x √ x = √ x = x 63 4 3 =x4 3 10 10 Suponiendo n = 4, se obtiene: Rpta.: 0,6 _________________ 4 ____________ 22.- Simplificar: _______ ___ 4 ___ 43-1 √ 4 ___ __ • x 3 √ 3 4 3 4 3 4 x √x √ x = √x = x255 4 4 bb √b –– √b y, así sucesivamente. Para “n” casos se puede generalizar como: 4n-1 ___ 4n E= [ ] Solución: b b -b -b -b E=x Trabajando con el exponente: 4n - 1 luego, el exponente es: ––––– 4n 1 _____ α __ __ __ -1 21.- Simplificar la expresión: bb √b –– √b( ) ( ) bb bb √b √b = b =b [ ] 1 – [( )] n n+2 n+1 n -1 2 . 12 30 6n + ––––––––– . ––––– 1 – 4n+2 5n-1 E = –––––––––––––––––––––––––––– 23 . 5n . 14n 2n+1 . 5n + 25 . 10n - –––––––––– b b b b =b ( ) bb -b -1 =bb -b -b 7n -b A continuación, hagamos que x = b-b , y reem- Solución: placemos en E: Trabajando por partes: E = [bb ]b = bb -x x -x . bx 0 = bb = b1 = b 2n . 12n+2 2n(4 . 3)n+2 2n . 4n+2 . 3n+2 Rpta.: b • ––––––– = ––––––––– = –––––––––––– 4n+2 4n+2 4n+2 23.- Calcular: = 2n . 3n . 32 = 9 . 6n ______________ ________ _ ____ 52n . 2n+1 + 50n . n+1 n2-1 E=n √5 √ 30n+1 (6 . 5)n+1 6n+1 . 5n+1 –––––– ––––––– • –––– = –––––––– = ––––––––– = 6n . 6 = 6 . 6n 5n . 8 - 5n+1 5n+1 5n+1 5n+1 ––––––––––––––– _ ___ __ ––––––– 1/n √5-1 √5-1 • 2n+1 . 5n = 2 . 2n . 5n = 2(2 . 5)n = 2 . 10n Solución: n n n n 23 . 5 . (14) 23 . 5 . (7 . 2) Operando por partes: • –––––––––––– = –––––––––––––––– =23 . 10 n 7 7n • 52n . 2n+1 + 50n = (52)n . 2n . 2 + 50n Reemplazando: = 25n . 2n . 2 + 50n = (25 . 2)n . 2 + 50n 1 _ n = 50n . 2 + 50n = 50n . 3 (I) [ 6n + 9 . 6n - 6 . 6n E = ––––––––––––––––––––––– 2 . 10n + 25 . 10n - 23 . 10n ] • 5n . 8 - 5n+1 = 5n . 8 - 5n . 5 = 5n . 3 n2-1 (II) 1 _ ___ ______ (n+1)(n-1) n • 5 n+1 = 5 n+1 = 5n-1 (III) [ ] 4 (6)n E = –––––– 4 (10)n 1/n __ __ 1 • √5-1 = (5-1)(1/n) = (5-1)n = 5-n (IV) - 24 -
  • 8. Á L G E B R A Reemplazando (I), (II), (II) y (IV) en E: Solución: 3 __ _ 1 _ 1 Haciendo x = √3 , por lo tanto x3 = 3 [ ][ ] n n n n 50 . 3 –––––– . 5n-1 5n . 3 E = –––––––––––– 50 5( ) ––– . 5n-1 = –––––––––– Reemplazando: 5-1 . 5-n 5-1-n x3 .– 1 _ _ x [ ] 1 1 1 ___ – [ = 10 . 5 ––––––––– 5-1-n n n-1 ] [ n 2 .5 .5 = –––––––––––– 5-1-n n n n-1 ] n x E = xx . √x3 x _1 _ 1 n n+n-1+1+n n = [2 . 5 n ] = [2 . 5 ] n 3n Efectuando las operaciones necesarias: = [(2 . 53)n]n = 2 . 53 = 250 x2 Rpta.: 250 [ _ 3 E = xx . xx ( ) _ 1 x ] = (x ) x x2 [ x _._ 3 1 x x ] x2 24.- Calcular el valor de: 3 __ = xx . x3 = x3 . 3 = 3 . 3 = 9 __ 3 __ 3 __ 3 . √3 -1 [ –– √3 ] 3 3 -1 __√3 √3 Rpta.: 9 E= 3 √3 3 √ EJERCICIOS PROPUESTOS 5 __ 1. Calcular: a) 3 125 b) 625 c) 25 d) 5 e) √5 1 _ [√ ] 2 ______ _____ 4. Calcular “n” en la igualdad: __ __ _ _ ___ ____ ____ ___ __ _ ___ ____ __ _ _ __ ___________________ _ __ __ __ __ _______________ √√ √√ √2 √2 √ √2 √2 √√ √ √ 2 2 2 2 _______ __ _ _____ 32 –– ( ) -1 E= 2 x 3 √ √ x3 x …… √ x = x 3 1444442444443 3 93 √ __ “n” radicales 1 a) 2 b) √2 c) –––– __ a) 6 b) 3 c) 5 d) 4 e) 8 √2 1 d) –– e) 4 5. Efectuar: 2 _____________________________ _____________________ ______________ √ √ 2. Hallar E = a.b en la relación: 3 ______ 4 b a a .b =2 21/2 __ J= __ (3 ) ( ) ( ) (––) √(––__ _ 1 6 5 3 __ 5 3) 3 –– 5 -2 __ 3 –– 5 √ 3 __ -6 5 5 -10 a) 1 1 b) –––– __ √2 c) √2 d) 2 e) 4 5 a) √6 3 b) √5 6 c) √5 6 d) √3 √3 e) –– 5 6. Efectuar: 3. Simplificar: 156 . 124 . 59 . 63 –––––––––––––––––––––– __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 5 __ 25 2-1 11 13 4 5 10 . 3 .5 5 __ √5 √5 √5 √5 √5 √5 E = √5 a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 6 - 25 -