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Matemáticas Discretas
Lógica y Cálculo Proposicional
M. en C. Juliho Castillo
29 de enero de 2017
Tec de Monterrey, Campus Ciudad de México
1
1 Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Declaraciones Compuestas
Proposiciones compuestas
Operaciones Lógicas Básicas
Conjunción p ∧ q
Disjunción p ∨ q
Negación ¬p
Proposiciones y Tablas de Verdad
Tautologías y Contradicciones
Equivalencias Lógicas
Sentencias condicionales y bicondicionales
Argumentos
Funciones proposicionales y Cuantificadores 2
Lógica y Cálculo Proposicional
3
Muchos algoritmos y demostraciones usan expresiones lógicas
tales como si p entonces q. Entonces es necesario conocer
los casos en los cuales esas expresiones son ciertas o
falsas. Discutiremos esto en esta unidad.
4
También investigamos el valor de verdad de enunciados
cuantificados, que son aquellos que usan los cuantificadores
lógicos para todo... y existe...
5
Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Declaraciones
Compuestas
6
Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser
cierto o falso, pero no ambos.
7
Ejemplo 1.1.
¿Cuál de los siguientes enunciados es una proposición?
1 El hielo flota en el agua.
2 China está en Europa.
3 2 + 2 = 4
4 2 + 2 = 5
5 ¿A donde vas?
6 Haz tu tarea.
8
Proposiciones compuestas
9
Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones más
simples, llamadas subproposiciones, por medio de conectores
lógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puede
descomponerse en proposiciones más simples.
10
Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones más
simples, llamadas subproposiciones, por medio de conectores
lógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puede
descomponerse en proposiciones más simples.
10
Por ejemplo, las siguientes proposiciones son compuestas
“Las rosas son rojas y las violetas son azules”
“Juan es inteligente y estudía hasta muy noche”
11
La propiedad fundamental de una proposición compuesta es
que su valor de verdad está completamente deteminado por los
valores de verdad de sus subproposiciones y la manera en la
cual están conectadas para formar la proposición compuesta.
12
Lógica y Cálculo Proposicional
Operaciones Lógicas Básicas
13
En esta sección discutiremos las tres operaciones lógical
básicas: conjunción , disjunción y la negación.
14
Conjunción p ∧ q
15
Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas por
la palabra “y” para formar una proposición compuesta llamada
conjunción que se escribe p ∧ q.
16
Definición 1.1.
Si tanto p como q son ciertas, entonces p ∧ q es cierta; en otro
caso p ∧ q es falsa.
17
Observación 1.1.
Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,
generalmente se utilizan tablas de verdad.
Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0
representará falso
18
Observación 1.1.
Para entender mejor como se conectan los valores de verdad,
generalmente se utilizan tablas de verdad.
Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0
representará falso
18
Tabla de Verdad 1 (Conjunción).
p q p ∧ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
19
En este curso, usaremos el sistema algebráico de computo
SageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje de
programación Python e incorpora diversos paquetes de
OpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través de
https://cloud.sagemath.com/
20
En este curso, usaremos el sistema algebráico de computo
SageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje de
programación Python e incorpora diversos paquetes de
OpenSource.
Puede acceder a este sistema, a través de
https://cloud.sagemath.com/
20
Construimos la tabla de verdad de la conjunción en el
siguiente scritp https://goo.gl/hEF5os
21
Ejemplo 1.2.
¿Cuál de las siguientes proposiciones es cierta?
1 El hielo flota y 2 + 2 = 4
2 El hielo flota y 2 + 2 = 5
3 China está en Europa y 2 + 2 = 4
4 China está en Europa y 2 + 2 = 5
22
Disjunción p ∨ q
23
Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas por
la palabra “o” para formar una proposición compuesta llamada
disjunción que se escribe p ∨ q.
24
Definición 1.2.
Si tanto p como q son falsas, entonces p ∨ q es falsa; en otro
caso p ∨ q es verdadera.
25
Tabla de Verdad 2 (Disjunción).
p q p ∨ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
26
Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguiente
scritp https://goo.gl/5kXzNI
27
Observación 1.2.
Algunas veces ``p o q'' se entiende en el sentido exclusivo:
Puede ocurrir p o q, pero no ambos, que es diferente a la
definición anterior. Sin embargo, existe un conector llamado de
hecho o exclusivo, que cumple esta definición y
consideraremos más adelante.
28
Negación ¬p
29
Dada cualquier proposición p, otra proposición llamada
negación de p puede ser formada escribien “No es cierto
que...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla,
decimos no p y escribimos ¬p.
30
Dada cualquier proposición p, otra proposición llamada
negación de p puede ser formada escribien “No es cierto
que...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla,
decimos no p y escribimos ¬p.
30
Definición 1.3 (Negación).
Si p es cierta, entonces ¬p es falsa; pero si p es falsa, ¬p es
cierta.
31
Tabla de Verdad 3 (Negación).
p ¬p
1 0
0 1
32
Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguiente
scritp https://goo.gl/sgCfkC
33
Lógica y Cálculo Proposicional
Proposiciones y Tablas de Verdad
34
Sea P(p, q, ...) una expresión construida con variables lógicas
p, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso
``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otros
que discutiremos más adelante.
Tales expresiones P(p, q, ...) son llamadas proposiciones.
35
Sea P(p, q, ...) una expresión construida con variables lógicas
p, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso
``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otros
que discutiremos más adelante.
Tales expresiones P(p, q, ...) son llamadas proposiciones.
35
La propiedad principal de una proposición P(p, q, ...) es que
sus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es a
través de una tabla de verdad.
36
La propiedad principal de una proposición P(p, q, ...) es que
sus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles.
Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es a
través de una tabla de verdad.
36
Ejemplo 1.3.
Contruir la tabla de verdad de la proposición
¬ (p ∧ ¬q) .
37
Construimos la tabla de verdad de la proposición anterior con
el siguiente script https://goo.gl/V2Axzi
38
Tabla de Verdad 4 (¬ (p ∧ ¬q)).
p q not q p and not q not( p and not q)
1 1 0 0 1
1 0 1 1 0
0 1 0 0 1
0 0 1 0 1
39
Observación 1.3.
Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas veces
adoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su vez
tiene prioridad sobre ∨.
40
Observación 1.3.
Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas veces
adoptamos una jerarquía para los conectores lógicos.
De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su vez
tiene prioridad sobre ∨.
40
Por ejemplo,
¬p ∧ q
significa
(¬p) ∧ q
y no
¬(p ∧ q).
41
Por ejemplo,
¬p ∧ q
significa
(¬p) ∧ q
y no
¬(p ∧ q).
41
Método alternativo de construir una tabla de verdad
p q ¬ (p ∧ ¬ q)
1 1
1 0
0 1
0 0
42
Evaluación Continua 1.
Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones
1 p ∨ ¬p
2 p ∧ ¬p
3 ¬ (p ∨ q)
4 ¬p ∧ ¬q
5 ¬ (p ∧ q)
6 ¬p ∨ ¬q
43
Lógica y Cálculo Proposicional
Tautologías y Contradicciones
44
Algunas proposiciones P(p, q, ...) son siempre ciertas, no
importa los valores de verdad de las variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como tautologías.
45
Algunas proposiciones P(p, q, ...) son siempre ciertas, no
importa los valores de verdad de las variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como tautologías.
45
De manera similar, algunas proposiciones P(p, q, ...) son
siempre falsas, no importa los valores de verdad de las
variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como contradicciones.
46
De manera similar, algunas proposiciones P(p, q, ...) son
siempre falsas, no importa los valores de verdad de las
variables p, q, ...
Tales proposiciones se conocen como contradicciones.
46
Ejemplo 1.4.
Construya las tablas de verdad de p ∧ ¬p y p ∨ ¬p.
47
Lógica y Cálculo Proposicional
Equivalencias Lógicas
48
Diremos que dos proposiciones P(p, q, ...) y Q(p, q, ...) son
lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P(p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...)
49
Diremos que dos proposiciones P(p, q, ...) y Q(p, q, ...) son
lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas.
En tal caso, escribimos
P(p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...)
49
Ejemplo 1.5.
Demostremos que
¬ (p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
50
Ejemplo 1.6.
Reescriba la frase “No es cierto que: las rosas son rojas y las
violetas son azules”, usando la equivalencia anterior.
51
Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyes
para el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesario
verificar su validez a través de tablas de verdad.
52
Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyes
para el álgebra de proposiciones.
A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesario
verificar su validez a través de tablas de verdad.
52
Figura 1.1: Leyes para el álgebra de proposiciones
53
Lógica y Cálculo Proposicional
Sentencias condicionales y
bicondicionales
54
Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de la
forma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdas
condicionales y son denotadas por
p → q.
55
Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de la
forma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdas
condicionales y son denotadas por
p → q.
55
El condicional p → q es frecuentemente leído como “p implica
q” o “p sólo si q”.
56
Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Tales
sentencias son llamadas bicondicionales y se denota por
p ⇐⇒ q.
57
Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Tales
sentencias son llamadas bicondicionales y se denota por
p ⇐⇒ q.
57
Tabla de Verdad 5 (Condicional).
p q p → q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
58
Tabla de Verdad 6 (Bicondicional).
p q p ←→ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
59
Ejemplo 1.7.
Demuestre que
p → q ≡ ¬p ∨ q.
60
Evaluación Continua 2.
Determine cuales de las siguientes sentencias son tautologías,
construyendo las correspondientes tablas de verdad.
1 ¬ (p ∨ ¬q) → ¬p
2 p → (q → r)
3 (p → q) → r
4 (p → q) → (q → p)
5 (p ∧ (p → q)) → q
6 (p ∧ q) → p
7 q → (¬p ∨ ¬q)
8 ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r)
61
Lógica y Cálculo Proposicional
Argumentos
62
Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado de
proposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicion
Q, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn Q.
63
Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado de
proposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicion
Q, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn Q.
63
Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado de
proposiciones
P1, P2, ..., Pn,
llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicion
Q, llamada conclusión.
En otras palabras, es una sentencia de la forma
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
Tal argumento se denota por
P1, P2, ..., Pn Q.
63
La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” se
formaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn Q se dice que es válido si la
proposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64
La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” se
formaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn Q se dice que es válido si la
proposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64
La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” se
formaliza de la manera siguiente:
Definición 1.4.
Un argumento P1, P2, ..., Pn Q se dice que es válido si la
proposición
(P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q
es una tautología.
Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia.
64
Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p → q q es un argumento válido.
2 Demuestre que p → q, q p es una falacia.
3 Demuestre que p → q, ¬q ¬p es un argumento válido.
65
Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p → q q es un argumento válido.
2 Demuestre que p → q, q p es una falacia.
3 Demuestre que p → q, ¬q ¬p es un argumento válido.
65
Ejemplo 1.8.
1 Demuestre que p, p → q q es un argumento válido.
2 Demuestre que p → q, q p es una falacia.
3 Demuestre que p → q, ¬q ¬p es un argumento válido.
65
Ejemplo 1.9.
Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice
que:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p →, q, q → r p → r.
66
Ejemplo 1.9.
Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice
que:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p →, q, q → r p → r.
66
Ejemplo 1.9.
Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice
que:
Si p implica q y q implica r, entonces p implica r.
En otras palabras, el siguiente argumento es válido
p →, q, q → r p → r.
66
67
Ejemplo 1.10.
Si sube el dólar, sube la gasolina.
Si sube la gasolina, entonces hay inflación.
∴ Si sube el dólar, entonces hay inflación.
68
Lógica y Cálculo Proposicional
Funciones proposicionales y
Cuantificadores
69
Una función proposicional (o sentencia abierta o condición)
definida en un conjunto A es una expresión p(x) que tiene la
propiedad de que p(a) es cierta o falsa para cada a ∈ A.
70
El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y el
subconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) es
cierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplemente
Tp = {x | p(x)} .
71
El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y el
subconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) es
cierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplemente
Tp = {x | p(x)} .
71
El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y el
subconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) es
cierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) :
Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} ,
o simplemente
Tp = {x | p(x)} .
71
Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el
conjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 7
2 p(x) : x + 5 < 3
3 p(x) : x + 5 > 1
72
Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el
conjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 7
2 p(x) : x + 5 < 3
3 p(x) : x + 5 > 1
72
Ejemplo 1.11.
Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el
conjunto N de los enteros positivos:
1 p(x) : x + 2 > 7
2 p(x) : x + 5 < 3
3 p(x) : x + 5 > 1
72
Lógica y Cálculo Proposicional
Cuantificador universal
73
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión
∀x ∈ A : p(x) (1.1)
se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.''
El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificador
universal.
74
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión
∀x ∈ A : p(x) (1.1)
se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.''
El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificador
universal.
74
Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdad
depende de cada x ∈ A), la afirmación
∀x ∈ A : p(x)
es verdadera si y solo si p(x) se cumple para todo x ∈ A.
75
Por otro lado, si existe algún x ∈ A tal que p(x) es falso,
entonces
∀x ∈ A : p(x)
es falso.
76
Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3.
2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8.
77
Ejemplo 1.12.
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3.
2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8.
77
Lógica y Cálculo Proposicional
Cuantificador existencial
78
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión
∃x ∈ A : p(x) (1.2)
se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) es
verdadero.''
El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificador
existencial.
79
Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A.
La expresión
∃x ∈ A : p(x) (1.2)
se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) es
verdadero.''
El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificador
existencial.
79
Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdad
depende de cada x ∈ A), la afirmación
∃x ∈ A : p(x)
es verdadera si y solo si p(x) se cumple algún x ∈ A.
80
Por otro lado, si para todo x ∈ A, p(x) es falso, entonces
∃x ∈ A : p(x)
es falso.
81
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7;
2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4.
82
Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:
1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7;
2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4.
82
Lógica y Cálculo Proposicional
Negación de Sentencias Cuantificadas
83
Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84
Considere la afirmación:
Todos los estudiantes de ingeniería saben programar.
¿Cómo podemos negar esta afirmación?
Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar.
84
De manera simbólica, si M de ntoa el conjunto de estudiantes
de ingeniería, la negación anterior se puede escribir como
¬ (∀x ∈ M : x sabe programar)
≡ ∃x ∈ M : x no sabe programar.
85
Si en el ejercicio anterior definimos
p(x) : x sabe programar,
entonces podemos reescribir la equivalencia anterior como
¬ (∀x ∈ M : p(x))
≡ ∃x ∈ M : ¬p(x).
86
De manera similar
No hay estudiante de ingeniería que sepa programar
se puede reescribir como
Cada uno de los estudiantes de ingeniería no saben programar.
87
De manera simbólica, podemos reescribir
¬ (∃x ∈ M : p(x))
≡ ∀x ∈ M : ¬p(x).
88
Teorema 1.1 (DeMorgan).
¬ (∀x ∈ M : p(x)) ≡ ∃x ∈ M : ¬p(x) (1.3)
¬ (∃x ∈ M : p(x)) ≡ ∀x ∈ M : ¬p(x). (1.4)
89
Ejemplo 1.13.
La negación de la siguiente afirmación
Para todo entero positivo n, tenemos que n + 2 > 8
es
Existe un entero positivo n tal que n + 2 ≤ 8.
90
Ejemplo 1.14.
La negación de la siguiente afirmación
Existe una persona viva con 150 años o más.
es
Toda persona viva tiene menos de 150 años.
91
Observación 1.4.
Para negar una afirmación del tipo
∀x ∈ A : p(x)
sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x)
sea falso.
A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo.
92
Observación 1.4.
Para negar una afirmación del tipo
∀x ∈ A : p(x)
sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x)
sea falso.
A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo.
92
Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| = 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2
≥ x es x = 1
2
.
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2
≤ x es siempre cierto.
93
Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| = 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2
≥ x es x = 1
2
.
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2
≤ x es siempre cierto.
93
Ejemplo 1.15.
(a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| = 0 es x = 0.
(b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2
≥ x es x = 1
2
.
(c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2
≤ x es siempre cierto.
93
Lógica y Cálculo Proposicional
Ejercicios Resueltos
94
Proposiones y Tablas de Verdad
95
Ejercicio Resuelto 1.
Sea p : ``Hace frío'' y q : ``Está lloviendo''.
Proponga un enunciado verbal simple que describa cada una
de las siguientes proposiciones:
1 ¬p;
2 p ∧ q;
3 p ∨ q;
4 q ∨ ¬p.
96
Ejercicio Resuelto 2.
Encuentre la tabla de verdad de ¬p ∧ q.
97
Ejercicio Resuelto 3.
Demuestre que la propisición
p ∨ ¬ (p ∧ q)
es una tautología.
98
Ejercicio Resuelto 4.
Muestre que las proposiciones ¬ (p ∧ q) y ¬p ∨ ¬q son
lógicamente equivalentes.
99
Ejercicio Resuelto 5.
Use las leyes en la tabla 1.1 para mostrar que
¬ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ≡ ¬p
100
Sentencias condicionales
101
Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1 Si hace frío, el usa sombrero.
2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102
Ejercicio Resuelto 6.
Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional:
1 Si hace frío, el usa sombrero.
2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario
aumenta.
102
Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicional p → q. La proposiones
q → p, ¬p → ¬q, ¬q → ¬p
son llamadas conversa, inversa y contrapositiva,
respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s a
p → q?
103
Ejercicio Resuelto 7.
Considere la proposición condicional p → q. La proposiones
q → p, ¬p → ¬q, ¬q → ¬p
son llamadas conversa, inversa y contrapositiva,
respectivamente.
¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s a
p → q?
103
Ejercicio Resuelto 8.
Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1 Si Erik es poeta, entonces es pobre.
2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104
Ejercicio Resuelto 8.
Determine la contrapositiva de cada enunciado:
1 Si Erik es poeta, entonces es pobre.
2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen.
104
Ejercicio Resuelto 9.
Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea
posible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.
2 El nada si y solo si el agua está tibia.
3 Si neva, entonce no manejaré.
105
Ejercicio Resuelto 9.
Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea
posible:
1 Si ella trabaja, ganará dinero.
2 El nada si y solo si el agua está tibia.
3 Si neva, entonce no manejaré.
105
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105
Argumentos
106
Ejercicio Resuelto 10.
Muestre que el siguiente argumento es una falacia:
p → q, ¬p ¬q.
107
Ejercicio Resuelto 11.
Muestre que el siguiente argumento es válido:
p → q, ¬q ¬p.
108
Ejercicio Resuelto 12.
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p → ¬q, r → q, r ¬p.
109
Ejercicio Resuelto 13.
Determine la validez del siguiente argumento:
Si 7 es menor que 4, entonces 7 no es número primo
7 no es menor que 4
7 no es número primo.
110
Ejercicio Resuelto 14.
Determine la validez del siguiente argumento:
Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los respectivos án
Dos lados de un triángulo no son iguales
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111
Cuantificadores y Funciones Proposicionales
112
Ejercicio Resuelto 15.
Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cada
uno de los siguientes enunciados:
1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10;
2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10;
3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5;
4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
113
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113
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113
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4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7.
113
Ejercicio Resuelto 16.
Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes
afirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo”
(de referencia):
1 ∃x∀y : x2
< y + 1;
2 ∀x∃y : x2
+ y2
< 12;
3 ∀x∀y : x2
+ y3
< 12.
114
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114
Ejercicio Resuelto 17.
Encuentre la negación de cada una de las siguientes
afirmaciones:
1 ∃x∀y : p(x, y);
2 ∀x∀y : p(x, y);
3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z).
115
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115
Ejercicio Resuelto 18.
Sea
p(x) : x + 2 > 5.
Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cada
uno de los siguientes conjuntos:
1 N
2 Z−
= {−1, −2, −3, ...}
3 C
116
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3 C
116
Bibliografía
Las notas de esta sección están basadas en el capítulo 4
``Logic and Propositional Calculus'' del libro
Lipschutz, S. and Lipson, M.; Schaum's Outline of
Discrete Mathematics; McGraw-Hill, 3th Edition.
117

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Lógica y Cálculo Proposicional

  • 1. Matemáticas Discretas Lógica y Cálculo Proposicional M. en C. Juliho Castillo 29 de enero de 2017 Tec de Monterrey, Campus Ciudad de México 1
  • 2. 1 Lógica y Cálculo Proposicional Proposiciones y Declaraciones Compuestas Proposiciones compuestas Operaciones Lógicas Básicas Conjunción p ∧ q Disjunción p ∨ q Negación ¬p Proposiciones y Tablas de Verdad Tautologías y Contradicciones Equivalencias Lógicas Sentencias condicionales y bicondicionales Argumentos Funciones proposicionales y Cuantificadores 2
  • 3. Lógica y Cálculo Proposicional 3
  • 4. Muchos algoritmos y demostraciones usan expresiones lógicas tales como si p entonces q. Entonces es necesario conocer los casos en los cuales esas expresiones son ciertas o falsas. Discutiremos esto en esta unidad. 4
  • 5. También investigamos el valor de verdad de enunciados cuantificados, que son aquellos que usan los cuantificadores lógicos para todo... y existe... 5
  • 6. Lógica y Cálculo Proposicional Proposiciones y Declaraciones Compuestas 6
  • 7. Una proposición es un enunciado declarativo que puede ser cierto o falso, pero no ambos. 7
  • 8. Ejemplo 1.1. ¿Cuál de los siguientes enunciados es una proposición? 1 El hielo flota en el agua. 2 China está en Europa. 3 2 + 2 = 4 4 2 + 2 = 5 5 ¿A donde vas? 6 Haz tu tarea. 8
  • 10. Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones más simples, llamadas subproposiciones, por medio de conectores lógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puede descomponerse en proposiciones más simples. 10
  • 11. Muchas proposiciones están compuestas de proposiciones más simples, llamadas subproposiciones, por medio de conectores lógicos. Una proposición se dice que es primitiva si no puede descomponerse en proposiciones más simples. 10
  • 12. Por ejemplo, las siguientes proposiciones son compuestas “Las rosas son rojas y las violetas son azules” “Juan es inteligente y estudía hasta muy noche” 11
  • 13. La propiedad fundamental de una proposición compuesta es que su valor de verdad está completamente deteminado por los valores de verdad de sus subproposiciones y la manera en la cual están conectadas para formar la proposición compuesta. 12
  • 14. Lógica y Cálculo Proposicional Operaciones Lógicas Básicas 13
  • 15. En esta sección discutiremos las tres operaciones lógical básicas: conjunción , disjunción y la negación. 14
  • 17. Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas por la palabra “y” para formar una proposición compuesta llamada conjunción que se escribe p ∧ q. 16
  • 18. Definición 1.1. Si tanto p como q son ciertas, entonces p ∧ q es cierta; en otro caso p ∧ q es falsa. 17
  • 19. Observación 1.1. Para entender mejor como se conectan los valores de verdad, generalmente se utilizan tablas de verdad. Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0 representará falso 18
  • 20. Observación 1.1. Para entender mejor como se conectan los valores de verdad, generalmente se utilizan tablas de verdad. Por brevedad 1 representará el valor cierto, mientras que 0 representará falso 18
  • 21. Tabla de Verdad 1 (Conjunción). p q p ∧ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 19
  • 22. En este curso, usaremos el sistema algebráico de computo SageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje de programación Python e incorpora diversos paquetes de OpenSource. Puede acceder a este sistema, a través de https://cloud.sagemath.com/ 20
  • 23. En este curso, usaremos el sistema algebráico de computo SageMath, el cuál está escrito con base en el lenguaje de programación Python e incorpora diversos paquetes de OpenSource. Puede acceder a este sistema, a través de https://cloud.sagemath.com/ 20
  • 24. Construimos la tabla de verdad de la conjunción en el siguiente scritp https://goo.gl/hEF5os 21
  • 25. Ejemplo 1.2. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es cierta? 1 El hielo flota y 2 + 2 = 4 2 El hielo flota y 2 + 2 = 5 3 China está en Europa y 2 + 2 = 4 4 China está en Europa y 2 + 2 = 5 22
  • 27. Cualesquiera dos proposiciones p, q pueden ser combinadas por la palabra “o” para formar una proposición compuesta llamada disjunción que se escribe p ∨ q. 24
  • 28. Definición 1.2. Si tanto p como q son falsas, entonces p ∨ q es falsa; en otro caso p ∨ q es verdadera. 25
  • 29. Tabla de Verdad 2 (Disjunción). p q p ∨ q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 26
  • 30. Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguiente scritp https://goo.gl/5kXzNI 27
  • 31. Observación 1.2. Algunas veces ``p o q'' se entiende en el sentido exclusivo: Puede ocurrir p o q, pero no ambos, que es diferente a la definición anterior. Sin embargo, existe un conector llamado de hecho o exclusivo, que cumple esta definición y consideraremos más adelante. 28
  • 33. Dada cualquier proposición p, otra proposición llamada negación de p puede ser formada escribien “No es cierto que...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla, decimos no p y escribimos ¬p. 30
  • 34. Dada cualquier proposición p, otra proposición llamada negación de p puede ser formada escribien “No es cierto que...” o “Es falso que...” antes de p. De manera más sencilla, decimos no p y escribimos ¬p. 30
  • 35. Definición 1.3 (Negación). Si p es cierta, entonces ¬p es falsa; pero si p es falsa, ¬p es cierta. 31
  • 36. Tabla de Verdad 3 (Negación). p ¬p 1 0 0 1 32
  • 37. Construimos la tabla de verdad de la disjunción en el siguiente scritp https://goo.gl/sgCfkC 33
  • 38. Lógica y Cálculo Proposicional Proposiciones y Tablas de Verdad 34
  • 39. Sea P(p, q, ...) una expresión construida con variables lógicas p, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso ``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otros que discutiremos más adelante. Tales expresiones P(p, q, ...) son llamadas proposiciones. 35
  • 40. Sea P(p, q, ...) una expresión construida con variables lógicas p, q, ..., que toman valores de verdadero ``V'' o falso ``F'', a través de conectores lógicos como ∧, ∨, ¬ y otros que discutiremos más adelante. Tales expresiones P(p, q, ...) son llamadas proposiciones. 35
  • 41. La propiedad principal de una proposición P(p, q, ...) es que sus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles. Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es a través de una tabla de verdad. 36
  • 42. La propiedad principal de una proposición P(p, q, ...) es que sus valores de verdad sólo dependen del valor de sus varibles. Una manera simple y concisa de mostrar esta relación es a través de una tabla de verdad. 36
  • 43. Ejemplo 1.3. Contruir la tabla de verdad de la proposición ¬ (p ∧ ¬q) . 37
  • 44. Construimos la tabla de verdad de la proposición anterior con el siguiente script https://goo.gl/V2Axzi 38
  • 45. Tabla de Verdad 4 (¬ (p ∧ ¬q)). p q not q p and not q not( p and not q) 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 39
  • 46. Observación 1.3. Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas veces adoptamos una jerarquía para los conectores lógicos. De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su vez tiene prioridad sobre ∨. 40
  • 47. Observación 1.3. Para evitar el uso excesivo de parentesis, algunas veces adoptamos una jerarquía para los conectores lógicos. De manera especifica ¬ tiene prioridad sobre ∧, que a su vez tiene prioridad sobre ∨. 40
  • 48. Por ejemplo, ¬p ∧ q significa (¬p) ∧ q y no ¬(p ∧ q). 41
  • 49. Por ejemplo, ¬p ∧ q significa (¬p) ∧ q y no ¬(p ∧ q). 41
  • 50. Método alternativo de construir una tabla de verdad p q ¬ (p ∧ ¬ q) 1 1 1 0 0 1 0 0 42
  • 51. Evaluación Continua 1. Construya las tablas de verdad de las siguientes proposiciones 1 p ∨ ¬p 2 p ∧ ¬p 3 ¬ (p ∨ q) 4 ¬p ∧ ¬q 5 ¬ (p ∧ q) 6 ¬p ∨ ¬q 43
  • 52. Lógica y Cálculo Proposicional Tautologías y Contradicciones 44
  • 53. Algunas proposiciones P(p, q, ...) son siempre ciertas, no importa los valores de verdad de las variables p, q, ... Tales proposiciones se conocen como tautologías. 45
  • 54. Algunas proposiciones P(p, q, ...) son siempre ciertas, no importa los valores de verdad de las variables p, q, ... Tales proposiciones se conocen como tautologías. 45
  • 55. De manera similar, algunas proposiciones P(p, q, ...) son siempre falsas, no importa los valores de verdad de las variables p, q, ... Tales proposiciones se conocen como contradicciones. 46
  • 56. De manera similar, algunas proposiciones P(p, q, ...) son siempre falsas, no importa los valores de verdad de las variables p, q, ... Tales proposiciones se conocen como contradicciones. 46
  • 57. Ejemplo 1.4. Construya las tablas de verdad de p ∧ ¬p y p ∨ ¬p. 47
  • 58. Lógica y Cálculo Proposicional Equivalencias Lógicas 48
  • 59. Diremos que dos proposiciones P(p, q, ...) y Q(p, q, ...) son lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas. En tal caso, escribimos P(p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...) 49
  • 60. Diremos que dos proposiciones P(p, q, ...) y Q(p, q, ...) son lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad identidas. En tal caso, escribimos P(p, q, ..) ≡ Q(p, q, ...) 49
  • 61. Ejemplo 1.5. Demostremos que ¬ (p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q 50
  • 62. Ejemplo 1.6. Reescriba la frase “No es cierto que: las rosas son rojas y las violetas son azules”, usando la equivalencia anterior. 51
  • 63. Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyes para el álgebra de proposiciones. A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesario verificar su validez a través de tablas de verdad. 52
  • 64. Por su utilidad, algunas equivalencias lógias con llamadas leyes para el álgebra de proposiciones. A continuación, enunciaremos algunas, pero es necesario verificar su validez a través de tablas de verdad. 52
  • 65. Figura 1.1: Leyes para el álgebra de proposiciones 53
  • 66. Lógica y Cálculo Proposicional Sentencias condicionales y bicondicionales 54
  • 67. Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de la forma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdas condicionales y son denotadas por p → q. 55
  • 68. Muchas sentencias, particularmente en matemáticas, son de la forma ``si p entonces q''. Tales sentencias son llamdas condicionales y son denotadas por p → q. 55
  • 69. El condicional p → q es frecuentemente leído como “p implica q” o “p sólo si q”. 56
  • 70. Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Tales sentencias son llamadas bicondicionales y se denota por p ⇐⇒ q. 57
  • 71. Otra sentencia común es de la forma “p si y solo si q”. Tales sentencias son llamadas bicondicionales y se denota por p ⇐⇒ q. 57
  • 72. Tabla de Verdad 5 (Condicional). p q p → q 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 58
  • 73. Tabla de Verdad 6 (Bicondicional). p q p ←→ q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 59
  • 74. Ejemplo 1.7. Demuestre que p → q ≡ ¬p ∨ q. 60
  • 75. Evaluación Continua 2. Determine cuales de las siguientes sentencias son tautologías, construyendo las correspondientes tablas de verdad. 1 ¬ (p ∨ ¬q) → ¬p 2 p → (q → r) 3 (p → q) → r 4 (p → q) → (q → p) 5 (p ∧ (p → q)) → q 6 (p ∧ q) → p 7 q → (¬p ∨ ¬q) 8 ((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) 61
  • 76. Lógica y Cálculo Proposicional Argumentos 62
  • 77. Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado de proposiciones P1, P2, ..., Pn, llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicion Q, llamada conclusión. En otras palabras, es una sentencia de la forma (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q Tal argumento se denota por P1, P2, ..., Pn Q. 63
  • 78. Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado de proposiciones P1, P2, ..., Pn, llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicion Q, llamada conclusión. En otras palabras, es una sentencia de la forma (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q Tal argumento se denota por P1, P2, ..., Pn Q. 63
  • 79. Un argumento es una afirmación de que un conjunto dado de proposiciones P1, P2, ..., Pn, llamadas premisas, tiene como consecuencia otra proposicion Q, llamada conclusión. En otras palabras, es una sentencia de la forma (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q Tal argumento se denota por P1, P2, ..., Pn Q. 63
  • 80. La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” se formaliza de la manera siguiente: Definición 1.4. Un argumento P1, P2, ..., Pn Q se dice que es válido si la proposición (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q es una tautología. Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia. 64
  • 81. La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” se formaliza de la manera siguiente: Definición 1.4. Un argumento P1, P2, ..., Pn Q se dice que es válido si la proposición (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q es una tautología. Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia. 64
  • 82. La noción de “argumento lógico” o “argumento válido” se formaliza de la manera siguiente: Definición 1.4. Un argumento P1, P2, ..., Pn Q se dice que es válido si la proposición (P1 ∧ P2 ∧ ... ∧ Pn) → Q es una tautología. Si un argumento no es válido, diremos que es una falacia. 64
  • 83. Ejemplo 1.8. 1 Demuestre que p, p → q q es un argumento válido. 2 Demuestre que p → q, q p es una falacia. 3 Demuestre que p → q, ¬q ¬p es un argumento válido. 65
  • 84. Ejemplo 1.8. 1 Demuestre que p, p → q q es un argumento válido. 2 Demuestre que p → q, q p es una falacia. 3 Demuestre que p → q, ¬q ¬p es un argumento válido. 65
  • 85. Ejemplo 1.8. 1 Demuestre que p, p → q q es un argumento válido. 2 Demuestre que p → q, q p es una falacia. 3 Demuestre que p → q, ¬q ¬p es un argumento válido. 65
  • 86. Ejemplo 1.9. Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice que: Si p implica q y q implica r, entonces p implica r. En otras palabras, el siguiente argumento es válido p →, q, q → r p → r. 66
  • 87. Ejemplo 1.9. Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice que: Si p implica q y q implica r, entonces p implica r. En otras palabras, el siguiente argumento es válido p →, q, q → r p → r. 66
  • 88. Ejemplo 1.9. Un principio fundamental del razonamiento lógico nos dice que: Si p implica q y q implica r, entonces p implica r. En otras palabras, el siguiente argumento es válido p →, q, q → r p → r. 66
  • 89. 67
  • 90. Ejemplo 1.10. Si sube el dólar, sube la gasolina. Si sube la gasolina, entonces hay inflación. ∴ Si sube el dólar, entonces hay inflación. 68
  • 91. Lógica y Cálculo Proposicional Funciones proposicionales y Cuantificadores 69
  • 92. Una función proposicional (o sentencia abierta o condición) definida en un conjunto A es una expresión p(x) que tiene la propiedad de que p(a) es cierta o falsa para cada a ∈ A. 70
  • 93. El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y el subconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) es cierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) : Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} , o simplemente Tp = {x | p(x)} . 71
  • 94. El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y el subconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) es cierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) : Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} , o simplemente Tp = {x | p(x)} . 71
  • 95. El conjunto A se conoce como dominio de p(x), y el subconjunto de todos los elementos para los cuales p(x) es cierto se conoce como el conjunto de verdad Tp de p(x) : Tp = {x | x ∈ A, p(x) = 1} , o simplemente Tp = {x | p(x)} . 71
  • 96. Ejemplo 1.11. Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el conjunto N de los enteros positivos: 1 p(x) : x + 2 > 7 2 p(x) : x + 5 < 3 3 p(x) : x + 5 > 1 72
  • 97. Ejemplo 1.11. Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el conjunto N de los enteros positivos: 1 p(x) : x + 2 > 7 2 p(x) : x + 5 < 3 3 p(x) : x + 5 > 1 72
  • 98. Ejemplo 1.11. Encuentre el conjunto de verdad para cada función en el conjunto N de los enteros positivos: 1 p(x) : x + 2 > 7 2 p(x) : x + 5 < 3 3 p(x) : x + 5 > 1 72
  • 99. Lógica y Cálculo Proposicional Cuantificador universal 73
  • 100. Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A. La expresión ∀x ∈ A : p(x) (1.1) se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.'' El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificador universal. 74
  • 101. Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A. La expresión ∀x ∈ A : p(x) (1.1) se lee como ``para todo x ∈ A, p(x) es verdadero.'' El símbolo ∀ (``para todo'') se llama cuantificador universal. 74
  • 102. Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdad depende de cada x ∈ A), la afirmación ∀x ∈ A : p(x) es verdadera si y solo si p(x) se cumple para todo x ∈ A. 75
  • 103. Por otro lado, si existe algún x ∈ A tal que p(x) es falso, entonces ∀x ∈ A : p(x) es falso. 76
  • 104. Ejemplo 1.12. Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3. 2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8. 77
  • 105. Ejemplo 1.12. Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1 ∀n ∈ N : n + 4 > 3. 2 ∀n ∈ N : n + 2 > 8. 77
  • 106. Lógica y Cálculo Proposicional Cuantificador existencial 78
  • 107. Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A. La expresión ∃x ∈ A : p(x) (1.2) se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) es verdadero.'' El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificador existencial. 79
  • 108. Sea p(x) una función proposicional definido en un conjunto A. La expresión ∃x ∈ A : p(x) (1.2) se lee como ``existe x ∈ A, tal que p(x) es verdadero.'' El símbolo ∃ (``existe...'') se llama cuantificador existencial. 79
  • 109. Mientras que p(x) es una sentencia abierta (su valor de verdad depende de cada x ∈ A), la afirmación ∃x ∈ A : p(x) es verdadera si y solo si p(x) se cumple algún x ∈ A. 80
  • 110. Por otro lado, si para todo x ∈ A, p(x) es falso, entonces ∃x ∈ A : p(x) es falso. 81
  • 111. Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7; 2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4. 82
  • 112. Verifique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: 1 ∃n ∈ N : n + 4 < 7; 2 ∃n ∈ N : n + 6 < 4. 82
  • 113. Lógica y Cálculo Proposicional Negación de Sentencias Cuantificadas 83
  • 114. Considere la afirmación: Todos los estudiantes de ingeniería saben programar. ¿Cómo podemos negar esta afirmación? Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar. 84
  • 115. Considere la afirmación: Todos los estudiantes de ingeniería saben programar. ¿Cómo podemos negar esta afirmación? Al menos un estudiante de ingeniería no sabe programar. 84
  • 116. De manera simbólica, si M de ntoa el conjunto de estudiantes de ingeniería, la negación anterior se puede escribir como ¬ (∀x ∈ M : x sabe programar) ≡ ∃x ∈ M : x no sabe programar. 85
  • 117. Si en el ejercicio anterior definimos p(x) : x sabe programar, entonces podemos reescribir la equivalencia anterior como ¬ (∀x ∈ M : p(x)) ≡ ∃x ∈ M : ¬p(x). 86
  • 118. De manera similar No hay estudiante de ingeniería que sepa programar se puede reescribir como Cada uno de los estudiantes de ingeniería no saben programar. 87
  • 119. De manera simbólica, podemos reescribir ¬ (∃x ∈ M : p(x)) ≡ ∀x ∈ M : ¬p(x). 88
  • 120. Teorema 1.1 (DeMorgan). ¬ (∀x ∈ M : p(x)) ≡ ∃x ∈ M : ¬p(x) (1.3) ¬ (∃x ∈ M : p(x)) ≡ ∀x ∈ M : ¬p(x). (1.4) 89
  • 121. Ejemplo 1.13. La negación de la siguiente afirmación Para todo entero positivo n, tenemos que n + 2 > 8 es Existe un entero positivo n tal que n + 2 ≤ 8. 90
  • 122. Ejemplo 1.14. La negación de la siguiente afirmación Existe una persona viva con 150 años o más. es Toda persona viva tiene menos de 150 años. 91
  • 123. Observación 1.4. Para negar una afirmación del tipo ∀x ∈ A : p(x) sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x) sea falso. A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo. 92
  • 124. Observación 1.4. Para negar una afirmación del tipo ∀x ∈ A : p(x) sólo necesitamos encontrar un elemento x0 ∈ A tal que p(x) sea falso. A un elemento x0 así se le conoce como contraejemeplo. 92
  • 125. Ejemplo 1.15. (a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| = 0 es x = 0. (b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2 ≥ x es x = 1 2 . (c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2 ≤ x es siempre cierto. 93
  • 126. Ejemplo 1.15. (a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| = 0 es x = 0. (b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2 ≥ x es x = 1 2 . (c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2 ≤ x es siempre cierto. 93
  • 127. Ejemplo 1.15. (a) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : |x| = 0 es x = 0. (b) Un contraejemplo para ∀x ∈ R : x2 ≥ x es x = 1 2 . (c) Sin embargo, ∀x ∈ N :: x2 ≤ x es siempre cierto. 93
  • 128. Lógica y Cálculo Proposicional Ejercicios Resueltos 94
  • 129. Proposiones y Tablas de Verdad 95
  • 130. Ejercicio Resuelto 1. Sea p : ``Hace frío'' y q : ``Está lloviendo''. Proponga un enunciado verbal simple que describa cada una de las siguientes proposiciones: 1 ¬p; 2 p ∧ q; 3 p ∨ q; 4 q ∨ ¬p. 96
  • 131. Ejercicio Resuelto 2. Encuentre la tabla de verdad de ¬p ∧ q. 97
  • 132. Ejercicio Resuelto 3. Demuestre que la propisición p ∨ ¬ (p ∧ q) es una tautología. 98
  • 133. Ejercicio Resuelto 4. Muestre que las proposiciones ¬ (p ∧ q) y ¬p ∨ ¬q son lógicamente equivalentes. 99
  • 134. Ejercicio Resuelto 5. Use las leyes en la tabla 1.1 para mostrar que ¬ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) ≡ ¬p 100
  • 136. Ejercicio Resuelto 6. Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional: 1 Si hace frío, el usa sombrero. 2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario aumenta. 102
  • 137. Ejercicio Resuelto 6. Reescriba los siguientes enunciados sin usar el condicional: 1 Si hace frío, el usa sombrero. 2 Si la productividad se incrementa, entonces el salario aumenta. 102
  • 138. Ejercicio Resuelto 7. Considere la proposición condicional p → q. La proposiones q → p, ¬p → ¬q, ¬q → ¬p son llamadas conversa, inversa y contrapositiva, respectivamente. ¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s a p → q? 103
  • 139. Ejercicio Resuelto 7. Considere la proposición condicional p → q. La proposiones q → p, ¬p → ¬q, ¬q → ¬p son llamadas conversa, inversa y contrapositiva, respectivamente. ¿Cuáles de estas proposiciones son lógicamente equivalente s a p → q? 103
  • 140. Ejercicio Resuelto 8. Determine la contrapositiva de cada enunciado: 1 Si Erik es poeta, entonces es pobre. 2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen. 104
  • 141. Ejercicio Resuelto 8. Determine la contrapositiva de cada enunciado: 1 Si Erik es poeta, entonces es pobre. 2 Solo si Marcos estudia, pasará el examen. 104
  • 142. Ejercicio Resuelto 9. Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea posible: 1 Si ella trabaja, ganará dinero. 2 El nada si y solo si el agua está tibia. 3 Si neva, entonce no manejaré. 105
  • 143. Ejercicio Resuelto 9. Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea posible: 1 Si ella trabaja, ganará dinero. 2 El nada si y solo si el agua está tibia. 3 Si neva, entonce no manejaré. 105
  • 144. Ejercicio Resuelto 9. Escriba la negación de cada enunciado, tan simple como sea posible: 1 Si ella trabaja, ganará dinero. 2 El nada si y solo si el agua está tibia. 3 Si neva, entonce no manejaré. 105
  • 146. Ejercicio Resuelto 10. Muestre que el siguiente argumento es una falacia: p → q, ¬p ¬q. 107
  • 147. Ejercicio Resuelto 11. Muestre que el siguiente argumento es válido: p → q, ¬q ¬p. 108
  • 148. Ejercicio Resuelto 12. Muestre que el siguiente argumentos siempre es válido: p → ¬q, r → q, r ¬p. 109
  • 149. Ejercicio Resuelto 13. Determine la validez del siguiente argumento: Si 7 es menor que 4, entonces 7 no es número primo 7 no es menor que 4 7 no es número primo. 110
  • 150. Ejercicio Resuelto 14. Determine la validez del siguiente argumento: Si dos lados de un triángulo son iguales, entonces los respectivos án Dos lados de un triángulo no son iguales Los respectivos ángulos opuestos no son iguales. 111
  • 151. Cuantificadores y Funciones Proposicionales 112
  • 152. Ejercicio Resuelto 15. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: 1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10; 2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10; 3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5; 4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7. 113
  • 153. Ejercicio Resuelto 15. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: 1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10; 2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10; 3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5; 4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7. 113
  • 154. Ejercicio Resuelto 15. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: 1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10; 2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10; 3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5; 4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7. 113
  • 155. Ejercicio Resuelto 15. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} . Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados: 1 ∃x ∈ A : x + 3 = 10; 2 ∀x ∈ A : x + 3 < 10; 3 ∃x ∈ A : x + 3 < 5; 4 ∀x ∈ A : x + 3 ≤ 7. 113
  • 156. Ejercicio Resuelto 16. Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes afirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo” (de referencia): 1 ∃x∀y : x2 < y + 1; 2 ∀x∃y : x2 + y2 < 12; 3 ∀x∀y : x2 + y3 < 12. 114
  • 157. Ejercicio Resuelto 16. Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes afirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo” (de referencia): 1 ∃x∀y : x2 < y + 1; 2 ∀x∃y : x2 + y2 < 12; 3 ∀x∀y : x2 + y3 < 12. 114
  • 158. Ejercicio Resuelto 16. Determine el valor de verdad de cada uno de las siguientes afirmaciones donde U = {1, 2, 3} es el conjunto “universo” (de referencia): 1 ∃x∀y : x2 < y + 1; 2 ∀x∃y : x2 + y2 < 12; 3 ∀x∀y : x2 + y3 < 12. 114
  • 159. Ejercicio Resuelto 17. Encuentre la negación de cada una de las siguientes afirmaciones: 1 ∃x∀y : p(x, y); 2 ∀x∀y : p(x, y); 3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z). 115
  • 160. Ejercicio Resuelto 17. Encuentre la negación de cada una de las siguientes afirmaciones: 1 ∃x∀y : p(x, y); 2 ∀x∀y : p(x, y); 3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z). 115
  • 161. Ejercicio Resuelto 17. Encuentre la negación de cada una de las siguientes afirmaciones: 1 ∃x∀y : p(x, y); 2 ∀x∀y : p(x, y); 3 ∃x∃y∀z : p(x, y, z). 115
  • 162. Ejercicio Resuelto 18. Sea p(x) : x + 2 > 5. Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cada uno de los siguientes conjuntos: 1 N 2 Z− = {−1, −2, −3, ...} 3 C 116
  • 163. Ejercicio Resuelto 18. Sea p(x) : x + 2 > 5. Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cada uno de los siguientes conjuntos: 1 N 2 Z− = {−1, −2, −3, ...} 3 C 116
  • 164. Ejercicio Resuelto 18. Sea p(x) : x + 2 > 5. Indique cuando p(x) es una función proposicional o no en cada uno de los siguientes conjuntos: 1 N 2 Z− = {−1, −2, −3, ...} 3 C 116
  • 165. Bibliografía Las notas de esta sección están basadas en el capítulo 4 ``Logic and Propositional Calculus'' del libro Lipschutz, S. and Lipson, M.; Schaum's Outline of Discrete Mathematics; McGraw-Hill, 3th Edition. 117