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Lineas de espera
 Las colas son frecuentes en
nuestra vida cotidiana:
◦En un banco
◦En un restaurante de comidas
rápidas
◦Al matricular en la universidad
◦Los autos en un lavacar
Simulacion
 En general, a nadie le gusta esperar
 Cuando la paciencia llega a su límite,
la gente se va a otro lugar
 Sin embargo, un servicio muy rápido
tendría un costo muy elevado
 Es necesario encontrar un balance
adecuado
Simulacion
 Una cola es una línea de espera
 La teoría de colas es un conjunto
de modelos matemáticos que
describen sistemas de líneas de
espera particulares
 El objetivo es encontrar el estado
estable del sistema y determinar
una capacidad de servicio
apropiada
Simulacion
 Existen muchos sistemas de colas
distintos
 Algunos modelos son muy
especiales
 Otros se ajustan a modelos más
generales
 Se estudiarán ahora algunos
modelos comunes
 Otros se pueden tratar a través de
la simulación
Simulacion
 Un sistema de colas puede
dividirse en dos componentes
principales:
◦La cola
◦La instalación del servicio
 Los clientes o llegadas vienen en
forma individual para recibir el
servicio
Simulacion
 Los clientes o llegadas pueden ser:
◦ Personas
◦ Automóviles
◦ Máquinas que requieren reparación
◦ Documentos
◦ Entre muchos otros tipos de
artículos
Simulacion
 Si cuando el cliente llega no hay
nadie en la cola, pasa de una vez
a recibir el servicio
 Si no, se une a la cola
 Es importante señalar que la cola
no incluye a quien está recibiendo
el servicio
Simulacion
 Las llegadas van a la instalación
del servicio de acuerdo con la
disciplina de la cola
 Generalmente ésta es primero en
llegar, primero en ser servido
 Pero pueden haber otras reglas o
colas con prioridades
Simulacion
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Instalación
del
servicio
Disciplina
de la cola
Salidas
Simulacion
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Simulacion
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Simulacion
Llegadas
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
Simulacion
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
Simulacion
1. Costo de espera: Es el costo para
el cliente al esperar
 Representa el costo de
oportunidad del tiempo perdido
 Un sistema con un bajo costo de
espera es una fuente importante
de competitividad
Simulacion
2. Costo de servicio: Es el costo de
operación del servicio brindado
 Es más fácil de estimar
◦ El objetivo de un sistema de
colas es encontrar el sistema
del costo total mínimo
Simulacion
 El tiempo que transcurre entre
dos llegadas sucesivas en el
sistema de colas se llama tiempo
entre llegadas
 El tiempo entre llegadas tiende a
ser muy variable
 El número esperado de llegadas
por unidad de tiempo se llama
tasa media de llegadas ()
Simulacion
 El tiempo esperado entre llegadas
es 1/
 Por ejemplo, si la tasa media de
llegadas es  = 20 clientes por
hora
 Entonces el tiempo esperado
entre llegadas es 1/ = 1/20 =
0.05 horas o 3 minutos
Simulacion
 Además es necesario estimar la
distribución de probabilidad de
los tiempos entre llegadas
 Generalmente se supone una
distribución exponencial
 Esto depende del comportamiento
de las llegadas
Simulacion
 La forma algebraica de la
distribución exponencial es: ????
 Donde t representa una cantidad
expresada en de tiempo unidades
de tiempo (horas, minutos, etc.)
t
etserviciodetiempoP 
 1)(
Simulacion
Media Tiempo0
P(t)
Simulacion
 La distribución exponencial
supone una mayor probabilidad
para tiempos entre llegadas
pequeños
 En general, se considera que las
llegadas son aleatorias
 La última llegada no influye en la
probabilidad de llegada de la
siguiente
Simulacion
 Es una distribución discreta
empleada con mucha frecuencia
para describir el patrón de las
llegadas a un sistema de colas
 Para tasas medias de llegadas
pequeñas es asimétrica y se hace
más simétrica y se aproxima a la
binomial para tasas de llegadas
altas
Simulacion
 Su forma algebraica es:
 Donde:
◦P(k) : probabilidad de k llegadas
por unidad de tiempo
◦ : tasa media de llegadas
◦e = 2,7182818…
!
)(
k
e
kP
k 
 

Simulacion
Llegadas por unidad de tiempo0
P
Simulacion
 El número de clientes en la cola es
el número de clientes que esperan
el servicio
 El número de clientes en el
sistema es el número de clientes
que esperan en la cola más el
número de clientes que
actualmente reciben el servicio
Simulacion
 La capacidad de la cola es el
número máximo de clientes que
pueden estar en la cola
 Generalmente se supone que la
cola es infinita
 Aunque también la cola puede ser
finita
Simulacion
 La disciplina de la cola se refiere
al orden en que se seleccionan los
miembros de la cola para
comenzar el servicio
 La más común es PEPS: primero
en llegar, primero en servicio
 Puede darse: selección aleatoria,
prioridades, UEPS, entre otras.
Simulacion
 El servicio puede ser brindado por
un servidor o por servidores
múltiples
 El tiempo de servicio varía de
cliente a cliente
 El tiempo esperado de servicio
depende de la tasa media de
servicio ()
Simulacion
 El tiempo esperado de servicio
equivale a 1/
 Por ejemplo, si la tasa media de
servicio es de 25 clientes por hora
 Entonces el tiempo esperado de
servicio es 1/ = 1/25 = 0.04
horas, o 2.4 minutos
Simulacion
 Es necesario seleccionar una
distribución de probabilidad para
los tiempos de servicio
 Hay dos distribuciones que
representarían puntos extremos:
◦La distribución exponencial
(=media)
◦Tiempos de servicio constantes
(=0)
Simulacion
 Una distribución intermedia es la
distribución Erlang
 Esta distribución posee un
parámetro de forma k que
determina su desviación estándar:
media
k
1

Simulacion
 Si k = 1, entonces la distribución
Erlang es igual a la exponencial
 Si k = ∞, entonces la distribución
Erlang es igual a la distribución
degenerada con tiempos
constantes
 La forma de la distribución Erlang
varía de acuerdo con k
Simulacion
Media Tiempo0
P(t)
k = ∞
k = 1
k = 2
k = 8
Simulacion
Distribución Desviación estándar
Constante 0
Erlang, k = 1 media
Erlang, k = 2
Erlang, k = 4 1/2 media
Erlang, k = 8
Erlang, k = 16 1/4 media
Erlang, cualquier k
media2/1
media8/1
mediak/1
Simulacion
Notación de Kendall: A/B/c
 A: Distribución de tiempos entre
llegadas
 B: Distribución de tiempos de
servicio
◦M: distribución exponencial
◦D: distribución degenerada
◦Ek: distribución Erlang
 c: Número de servidores
Simulacion
 En principio el sistema está en un
estado inicial
 Se supone que el sistema de colas
llega a una condición de estado
estable (nivel normal de operación)
 Existen otras condiciones anormales
(horas pico, etc.)
 Lo que interesa es el estado estable
Simulacion
 Para evaluar el desempeño se
busca conocer dos factores
principales:
1. El número de clientes que
esperan en la cola
2. El tiempo que los clientes
esperan en la cola y en el
sistema
Simulacion
1. Número esperado de clientes en
la cola Lq
2. Número esperado de clientes en
el sistema Ls
3. Tiempo esperado de espera en la
cola Wq
4. Tiempo esperado de espera en el
sistema Ws
Simulacion









qs
qq
ss
qs
LL
WL
WL
WW
1
Simulacion
 Suponga una estación de gasolina
a la cual llegan en promedio 45
clientes por hora
 Se tiene capacidad para atender
en promedio a 60 clientes por
hora
 Se sabe que los clientes esperan
en promedio 3 minutos en la cola
Simulacion
 La tasa media de llegadas  es 45
clientes por hora o 45/60 = 0.75
clientes por minuto
 La tasa media de servicio  es 60
clientes por hora o 60/60 = 1
cliente por minuto
Simulacion
clientesWL
clientesWL
WW
W
qq
ss
qs
q
25.2375.0
3475.0
min4
1
1
3
1
min3







Simulacion
 Suponga un restaurant de
comidas rápidas al cual llegan en
promedio 100 clientes por hora
 Se tiene capacidad para atender
en promedio a 150 clientes por
hora
 Se sabe que los clientes esperan
en promedio 2 minutos en la cola
 Calcule las medidas de
desempeño del sistemaSimulacion
 Beneficios:
◦Permiten evaluar escenarios
◦Permite establecer metas
 Notación:
◦Pn : probabilidad de tener n
clientes en el sistema
◦P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un
cliente no espere en el sistema más
de t horas
Simulacion
 Dada la tasa media de llegadas  y la
tasa media de servicio , se define el
factor de utilización del sistema .
 Generalmente se requiere que  < 1
 Su fórmula, con un servidor y con s
servidores, respectivamente, es:






s

Simulacion
 Con base en los datos del ejemplo
anterior,  = 0.75,  = 1
 El factor de utilización del sistema
si se mantuviera un servidor es
 = / = 0.75/1 = 0.75 = 75%
 Con dos servidores (s = 2):
 = /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 =
37,5%
Simulacion
 M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y
tiempos de servicio exponenciales
 M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución general de
tiempos de servicio
 M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución degenerada de
tiempos de servicio
 M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas
exponenciales y una distribución Erlang de
tiempos de servicio
Simulacion
1,0
)()(
)()1(
)(
1
)(
)1()1(
1
2
























t
etWPetWP
nLPP
WW
LL
t
q
t
s
n
s
n
n
qs
qs
Simulacion
 Un lavacar puede atender un auto cada 5
minutos y la tasa media de llegadas es de
9 autos por hora
 Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/M/1
 Además la probabilidad de tener 0
clientes en el sistema, la probabilidad de
tener una cola de más de 3 clientes y la
probabilidad de esperar más de 30 min.
en la cola y en el sistema
Simulacion
17.0)60/30(
22.0)60/30(
32.0)3(25.0)1(
min1525.0
)(
min2033.0
1
25.2
)(
3
75.0
12
9
,12,9
)1(
)1(
130
0
2


















t
q
t
s
s
q
s
qs
eWP
eWP
LPP
hrsW
hrsW
clientesLclientesL












Simulacion
 A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre sus
5 cajas.
 Cada caja puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos
 Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/M/1
 Además la probabilidad de tener 2 clientes en
el sistema, la probabilidad de tener una cola
de más de 4 clientes y la probabilidad de
esperar más de 10 min. en la cola
Simulacion
1
1
1
)1(2
0
222












w
q
qqs
qqs
PP
L
WWW
LLL
Simulacion
 Un lavacar puede atender un auto cada
5 min. y la tasa media de llegadas es de
9 autos/hora,  = 2 min.
 Obtenga las medidas de desempeño de
acuerdo con el modelo M/G/1
 Además la probabilidad de tener 0
clientes en el sistema y la probabilidad
de que un cliente tenga que esperar
por el servicio
Simulacion
75.025.01
min7.8145.0
min7.13228.0
1
31.1
)1(2
06.275.31.1
0
222














w
q
q
qs
q
qs
PP
hrs
L
W
hrsWW
clientesL
clientesLL
Simulacion
 A un supermercado llegan en promedio 80
clientes por hora que son atendidos entre sus 5
cajas.
 Cada caja puede atender en promedio a un
cliente cada 3 minutos. Suponga  = 5 min
 Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/G/1
 Además la probabilidad de tener 0 clientes en el
sistema y la probabilidad de que un cliente tenga
que esperar por el servicio
Simulacion
1
1
)1(2
2









q
qqs
qss
L
WWW
LWL
Simulacion
 Un lavacar puede atender un auto
cada 5 min.
 La tasa media de llegadas es de 9
autos/hora.
 Obtenga las medidas de
desempeño de acuerdo con el
modelo M/D/1
Simulacion
min5.7125.0
min5.1221.0
1
125.1
)1(2
875.1
2






hrs
L
W
hrsWW
clientesL
clientesWL
q
q
qs
q
ss





Simulacion
 A un supermercado llegan en
promedio 80 clientes por hora que
son atendidos entre sus 5 cajas.
 Cada caja puede atender en
promedio a un cliente cada 3
minutos.
 Obtenga las medidas de desempeño
de acuerdo con el modelo M/D/1
Simulacion
1
1
)1(2
)1(2










q
qqs
qss
L
WWW
k
k
LWL
Simulacion
 Un lavacar puede atender un auto
cada 5 min.
 La tasa media de llegadas es de 9
autos/hora. Suponga  = 3.5 min
(aprox.)
 Obtenga las medidas de
desempeño de acuerdo con el
modelo M/Ek/1
Simulacion
min25.111875.0
min25.162708.0
1
6875.1
)1(2
)1(
437.2
2







hrs
L
W
hrsWW
clientes
k
k
L
clientesWL
q
q
qs
q
ss





Simulacion
 A un supermercado llegan en
promedio 80 clientes por hora que
son atendidos entre sus 5 cajas.
 Cada caja puede atender en
promedio a un cliente cada 3
minutos. Suponga k= 4
 Obtenga las medidas de desempeño
de acuerdo con el modelo M/Ek/1
Simulacion
Modelo Ls Ws Lq Wq
M/M/1
M/G/1
M/D/1
M/Ek/1
Simulacion
 M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson
y tiempos de servicio exponenciales
 M/D/s: s servidores con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
degenerada de tiempos de servicio
 M/Ek/s: s servidores con tiempos entre
llegadas exponenciales y una distribución
Erlang de tiempos de servicio
Simulacion
00
0
02
1
0
0
!
1
,
!
,
!
1
)()!1(
!!
1
P
s
s
s
PknsiP
ss
P
knsiP
n
PWW
L
WLLP
ss
L
ns
s
s
P
s
wsn
n
n
n
nqs
q
qqs
s
q
s
n
ns





































Simulacion
)46)(3(
3
4
2
2
4
2
3










q
q
L
sSi
L
sSi
Simulacion
Costos
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de servicio
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