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PARTICIPANTE: LORIANNYS SEMIAO
C.I. 28512341
DOCENTE: PROF. MSc. PEDRO BELTRÁN.
POSICIÓN DE LA RECTA EN
EL ESPACIO
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN: BARCELONA
CARRERA: ARQUITECTURA
ASIGNATURA: GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
INTRODUCCIÓN
La geometría, es una rama de las matemáticas, la cual se ocupa de figuras, líneas y formas, cuyas
aplicaciones en el campo de la arquitectura, son de gran importancia.
Cabe resaltar, que en el diseño arquitectónico, se vale tanto en la práctica, para hacer el
cálculo de carga segmentos de una estructura, como para la estética, aplicando en sus diseños la simetría
de un edificio o escala con su entorno.
De tal modo, que la recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección, a
su vez, puede ocupar diferentes posiciones en el espacio, de allí derivan sus diferentes tipo de líneas
rectas que observamos en la vida diaria en cualquier diseño arquitectónico.
Además de ello, podemos representarla gráficamente, obtener su distancia a través de los planos
de proyección conociendo la cota, alejamiento, dirección, elevación, coordenadas cartesianas.
Es importante, señalar que la geometría en la Arquitectura nace en Grecia y Roma.
Por ello, de acuerdo a sus estudios e implicaciones arquitectónicas, a través del tiempo
desde la antigüedad, hasta la modernidad, a tenido un orden arquitectónico que determina el
proyecto de un edificio, dándole sus características y lenguaje determinado y un estilo histórico.
Esto comprende un conjunto de elementos previamente definidos que al relacionarse entre sí y de
una manera coherente dan una armonía, unidad y proporción a un edificio según los preceptos
básicos de belleza.
UNA RECTA Es una sucesión infinita de puntos, situados en una
misma dirección.
Tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una
letra minúscula.
Dos puntos determinan una recta.
Para representarla en el sistema diédrico bastará con conocer las proyecciones de dos
puntos cualesquiera de ella “A” y “B”. Uniendo las proyecciones homónimas, es decir, Av Bv
y AH BH, se obtiene las proyecciones horizontal y vertical de la recta “r”.
También, se puede
decir, que funciona
como una sucesión
continua de puntos
trazados, como por un
trazo o un guion. Las
líneas suelen utilizarse
en la composición
artística, en trazos
rectos sueltos, que no
forman una figura o en
otra forma en
particular.
LÍNEA
En geometría, una línea es una sucesión continúa de
infinitos puntos. En una figura geométrica que sólo
tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos
sentidos y una dirección.
Una sucesión continua de puntos contenidos en un plano, aunque siga cualquier criterio, se
denomina línea. Puede ser:
Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección.
Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.
Línea transversal, que atraviesa o cruza a otra.
Línea perpendicular, la que forma un ángulo recto con otra.
Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados,
presentando puntos angulosos.
poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos.
poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.
Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.
LA LÍNEA EN EL PLANO (DOS
DIMENSIONES)
También, una línea es el lugar geométrico de una sucesión continua de puntos en un espacio
tridimensional, aunque no sea coplanaria. Puede ser:
Línea curva alabeada, la que presenta formas redondeadas y no puede ser contenida en un
plano.
Línea quebrada tridimensional, la que presenta puntos angulosos y no puede ser contenida en
un plano.
Línea mixta tridimensional, una combinación de las anteriores.
línea poligonal línea cóncavo linea convexo
LA LÍNEA EN EL ESPACIO (TRES
DIMENSIONES)
Es una línea que se extiende en una misma dirección; por
lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número
infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir
como una sucesión continua de puntos extendidos en una
sola dirección.
LA LÍNEA RECTA
No tiene principio ni fin. Cuando dibujamos una línea recta, en realidad, representamos una parte de ella.
Unas veces la representamos con dos letras mayúsculas que se refieren a dos de sus puntos, o bien, con
una letra minúscula:
TIPOS DE LÍNEAS RECTAS EN EL ESPACIO SEGÚN LA
DISPOSICIÓN
Son aquellas que tienen la dirección de la línea del horizonte. Se desplazan de derecha a izquierda y
viceversa, además de ser perpendiculares (en ángulo de 90 grados) a la línea vertical.
Línea horizontal
Son aquellas cuya trayectoria se realiza en dirección arriba – abajo, o a la inversa.
Línea vertical
Línea oblicua
Son las que no tienen la dirección vertical ni horizontal. Ni forman ángulos rectos al cruzarse con éstas.
Si un punto “B” está contenido en la recta (r), entonces
sus proyecciones vertical (Bv) y horizontal (BH) están
contenidas en las proyecciones vertical y horizontal de la
recta “r” (rv y rH)
Punto
contenido en la
recta:
Una recta puede ocupar diferentes posiciones en el
espacio, las cuales se describen a continuación:
Tipos de rectas:
Es también paralela a los dos planos de proyección, por lo tanto,
el alejamiento y la cota de todos sus puntos son constantes
Recta paralela a
la línea de
tierra:
Es paralela al plano horizontal, por lo que su proyección
vertical se representa paralela a la línea de tierra, sólo
tiene traza con el plano vertical, al que es oblicua.
Recta
horizontal:
Eso significa que las rectas horizontales no tienen Punto Traza Horizontal, sino sólo Vertical.
Caso particular al anterior. Su proyección vertical tiene
cota cero (coincide con la línea de tierra)
Recta
contenida en el
plano
horizontal:
Es paralela al plano vertical y oblicua al horizontal, su
proyección horizontal se representa paralela a la línea de
tierra por tener alejamiento constante. Sólo tiene traza
con el plano horizontal.
Recta frontal:
Es un caso particular de recta frontal. Es una recta
paralela al PV y perpendicular al PH.
Tiene su proyección vertical perpendicular a la LT y su
proyección horizontal es sólo un punto. En él se
encuentran contenidas las proyecciones horizontales de
todos los puntos de la recta.
Al igual que las rectas frontales, no tiene Punto Traza
Vertical. Su Punto Traza Horizontal se encuentra
obviamente en el punto de proyección horizontal.
RECTA
VERTICAL
Es perpendicular al plano vertical y sólo tiene traza con él.
Su proyección vertical es perpendicular a la línea de tierra
y la horizontal es un punto que coincide con su traza
Recta de pie:
Las rectas de perfil son perpendiculares a la línea de tierra, y también lo son sus proyecciones.
Esto supone un problema a la hora de distinguir una recta de perfil de otra. Además resulta
imposible determinar la posición de sus trazas a partir de las proyecciones porque ambas son
coincidentes.
Para solucionar este problema acudimos a una tercera proyección Diédrica que se produce en
un plano de perfil (perpendicular al vertical y al horizontal de proyección). ¿Cómo
representamos un elemento en un plano de perfil? Veámoslo con un ejemplo sencillo: un punto
en el primer cuadrante.
Rectas de perfil
Son oblicuas respecto a ambos planos y perpendiculares a
la línea de tierra
Es oblicua a los dos planos de proyección. Las trazas que la
definen pueden ser dos puntos cualesquiera de los planos
de proyección, sus proyecciones son oblicuas a la línea de
tierra
Rectas
cualquiera:
Es un caso particular de recta horizontal.
Es una recta paralela al PH y perpendicular al PV. Su
proyección vertical se concentra en un punto y su
proyección horizontal es perpendicular a la LT.
No tiene Punto Traza Horizontal, puesto que es paralela al
PH.
Recta de
punta:
Para la representación de la recta utilizaremos letras minúsculas, principalmente,
r, s o t. La proyección horizontal se representará por la misma letra acompañada
de una comilla. Por ejemplo r’.
Nomenclatura de una
recta.
COMO SE REPRESENTA GRAFICAMENTE UNA LINEA
RECTA
Elementos de una línea recta
Ejemplo: y = 2x ► m = 2 y b
= 0
Ejemplo: y = 3x – 2 ► m = 3 y b = - 2
1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = - 2
2do Nos corremos una unidad a la derecha
3ro, subimos 3 unidades porque la pendiente es positiva (+)
4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada
al origen y el punto al que nos llevo la pendiente
Ejemplo: y = - 2x + 4 ► m = - 2 y b = 4
1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = 4
2do Nos corremos una unidad a la derecha
3ro, como la pendiente es (-) bajamos 2 unidades
4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada al origen y el punto al que nos llevo la pendiente
La distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento
de la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los
definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un
segmento recto con curvatura llamada geodésica.
Distancia
Distancia de un punto en el espacio a dos planos de proyección, conociendo: Dirección
y elevación.
Si conocemos cuál es la orientación del plano de proyección, es bastante sencillo calcular cuál es la
relación entre las longitudes proyectadas y las reales.
Supongamos que conocemos el vector director (normal) del plano de proyección. Llamemos 𝑛⃗⃗ a
este vector, y 𝜋 al plano de proyección
Cota
Es la distancia del punto a proyectar (punto A) al plano horizontal. Podemos entender que es la
“altura” del punto sobre el PH.
Esto implica que la cota será la medida existente entre la proyección vertical del punto a’ y la
Línea de Tierra (LT).
La posición de un punto con respecto a los planos de proyección se puede definir atendiendo a estos dos
valores:
Será positiva si se encuentra por encima del PH.
Será negativa si se encuentra por debajo del PH.
Alejamiento
De la misma forma, el alejamiento es la distancia del punto A al plano vertical. Lo que implica
que será la distancia de la LT a la proyección horizontal del punto (a”).
Será positiva si se encuentra por delante del PV.
Será negativa si se encuentra por detrás del PV.
Desviación.
En el caso de trabajar con tres planos de proyecciones, a la distancia que hay desde el punto
al plano de perfil se le denomina
Loriannys s posicion de la recta en el espacio
Obviamente conocemos la dirección y magnitud de los tres vectores que representan
las direcciones de los ejes de coordenadas. Llamaremos a estos tres vectores 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗, 𝑒⃗ 𝑦⃗ y 𝑒
𝑧
⃗⃗⃗⃗. Al ser los vectores directores de los ejes de coordenadas, éstos son unitarios. Esto es:
|𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗| = |𝑒⃗ 𝑦⃗| = |𝑒𝑧| = 1
Si lo que queremos conocer es cuál es la magnitud que van a tener los objetos al
proyectarse, lo que debemos averiguar son las longitudes proyectadas (sobre el plano de
proyección de los vectores 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗, 𝑒⃗ 𝑦⃗ y 𝑒𝑧⃗⃗⃗⃗.
A la proyección de los vectores 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗, 𝑒⃗ 𝑦⃗ y 𝑒𝑧 sobre el plano de proyección. Las longitudes proyectadas
se pueden calcular fácilmente a partir del ángulo que forma cada uno de los ejes con respecto al plano.
Tomemos como ejemplo el eje 𝑥. Si llamamos α𝑥 al ángulo que forma el eje 𝑥 con el plano de proyección,
entonces:|𝑒⃗⃗⃗𝑥𝑝⃗⃗⃗⃗| = |𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗| · 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑥).
El ángulo 𝛼𝑥 es el complementario del ángulo 𝛽𝑥 cuyo valor se puede calcular, a su
vez, fácilmente a partir de los vectores 𝑛⃗⃗ y 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗ empleando el producto e
la proyección de un punto en el sistema diédrico dependerá de su altura sobre el plano horizontal, a la
que se llama cota, y de la distancia al plano vertical, a la que se llama alejamiento.
Los planos de proyección de los que nos valemos generalmente son 3: planta, alzado y perfil.
Una vez que se han proyectado sobre cada unos de ellos las vistas ortogonales del objeto, se
giran hasta hacerlos coincidir los tres en un mismo plano.
Distancia de un punto en el espacio a dos planos de proyección.
Sistema de Proyección Diédrica, también denominado sistema de Doble Proyección Ortogonal,
este sistema de proyección, se basa en definir la proyección ortogonal de los objetos, en forma
simultánea, sobre dos planos principales de proyección, perpendiculares entre sí. Se obtienen
dos proyecciones ortogonales , por medio de las cuales se puede concebir la forma
tridimensional del mismo.
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS
Para conocer la distancia entre dos puntos basta con encontrar la Verdadera Magnitud del segmento que
los une. Como sabes, esto se puede hacer por giro, por abatimiento o por cambio de plano. Yo te voy a
explicar el método más sencillo y rápido que es por un cambio de plano, solo que muy simplificado. Para
un segmento cualquier oblicuo A-B, dibuja una recta perpendicular a la proyección horizontal a-b por el
punto b. Sobre esa perpendicular mide la diferencia de altura entre a’ y b’. Une el punto resultante con a
y tendrás la verdadera magnitud D. El resultado es que colocamos el segmento A-B como una recta frontal
de plano y por tanto se puede medir en Verdadera Magnitud.
Recta horizontal o frontal de plano: Si los dos puntos tienen la misma cota (recta horizontal) o el mismo
alejamiento (recta frontal), la distancia se puede medir directamente en la proyección oblicua a la línea
de tierra.
Recta de perfil: Si los dos puntos están alineados en una perpendicular a la línea de tierra necesitarás
una tercera proyección mediante un plano de perfil para conocer la distancia real.
Recta de punta: si los puntos están alineados en una recta de punta se puede medir directamente la
distancia entre ellos en verdadera magnitud.
la proyección de un punto en el sistema diédrico dependerá
de su altura sobre el plano horizontal, a la que se llama cota, y de la distancia al plano
vertical, a la que se llama alejamiento.
Proyección de un punto en los planos principales de
proyección conociendo:
Considerando las reglas básicas de proyecciones, si ubicamos un punto A ó B en el espacio con respecto a los
tres planos principales de un sistema de proyecciones ortogonales, obtendremos las siguientes definiciones:
a) Cota : Es la distancia perpendicular del punto al plano horizontal.
b) Alejamiento : Es la distancia perpendicular del punto al plano frontal.
c) Apartamiento : Es la distancia perpendicular del punto al plano de perfil. Identifiquemos estos términos en
las proyecciones de un punto en el sistema del tercer cuadrante (ASA), en la figura adjunta.
Posiciones relativas de dos puntos.
En muchos casos resulta útil poder
definir la posición de un punto con
respecto a otro de posición conocida.
Para este efecto se emplean términos
que indican posición relativa, tal y como
se muestra en la figura.
Por ejemplo, en la siguiente figura se
muestran dos puntos A y B. Podemos decir
que el punto B se encuentra atrás, a la
derecha y arriba de A. En lugar de decir
atrás, podemos decir al Norte de A y, en
lugar de decir a la derecha, podemos
decir al Este de A. También podemos
decir que el punto B se encuentra
orientado 45° al Noreste de A.(N45°E),
esta nomenclatura solo se usa para la
proyección horizontal.
Distancia de un punto en el espacio a dos planos de
proyección, conociendo las Coordenadas
Cartesianas
Sistema de coordenadas cartesianas
En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes
ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional
(análogamente se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las
coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho
punto {OA}, sobre un eje determinado:
sobre un eje determinado:
Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x
está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector (i) tal que:
El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho
punto sobre el eje x.
Sistema de coordenadas cartesianas
Representación de puntos en el sistema cartesiano
Podemos localizar cualquier punto, y definir su proyección directa, si describimos su posición
con respecto a los tres ejes X,Y, Z .
El origen: se sitúa en el vértice (O) del triedro. A partir de él el sentido puede ser positivo o
negativo.
El ancho: el eje X (coordenada desplazamiento) se extiende con su parte positiva hacia la
derecha, a partir de O
El alto: el eje Z (coordenada altura o cota), sentido positivo hacia arriba, a partir de O.
La profundidad: eje Y (coordenada de alejamiento), sentido positivo hacia la derecha, a partir
de O.
Por esto mismo el tipo de proyección utilizado en el dibujo técnico son las proyecciones de tipo
“ortogonal” (derivado de ortho=recto) la cual consiste en la inclusión de dos o más planos
paralelos u oblicuos que definen las dimensiones reales de los objetos y se convierten en
«vistas» que luego se traspasan a escala en el plano. Este sistema se basa en una
representación del espacio 3D mediante los ejes cartesianos X, Y y Z junto a un punto de
origen, representado en una vista bidimensional llamada «isométrica»:
Sobre cada eje axonométrica se coloca la coordenada correspondiente (sobre el eje X la
coordenada X, etc.)
Por cada punto determinado en un eje se trazan paralelas a los otros ejes (por la coordenada
del eje X se dibujan paralelas a los ejes Z e Y).
La intersección de dos paralelas determina la proyección secundaria del punto (paralelas a los
ejes X y al Y determinan la proyección secundaria a).
Las paralelas trazada desde las proyecciones secundarias (a cada eje restante) determinan en
su intersección la proyección directa del punto (las paralelas dibujadas por las proyecciones
secundarias a y a' (a los ejes Z e Y respectivamente) determinan la proyección directa A).
Loriannys s posicion de la recta en el espacio
Se pueden usar coordenadas cartesianas para localizar puntos en 3 dimensiones como en este
ejemplo:
El punto (−4,−4,5) se indica en coordenadas cartesianas tridimensionales.
El sistema de coordenadas, se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo
tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de
coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al
que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos.
Además, su aplicación es muy importante en la arquitectura e ingeniería, para la medición de terrenos se
usan las coordenadas para fijar puntos, distribuir mejor los espacios.
TRAZA DE LAS RECTAS
Se denominan Trazas de la recta a los puntos de
intersección de esta con los planos de proyección
horizontal, vertical y, en su caso, de perfil. Como cualquier
otro punto, las trazas de la recta se representan por sus
proyecciones horizontales y verticales.
Se denomina Traza Horizontal de una recta a la
intersección de la recta con el plano horizontal de
proyección, se designa con hache mayúscula, H y como
cualquier otro punto, tiene proyección vertical (h’) y
proyección horizontal (h), esta última coincidente con la
verdadera traza. Fig.15.
Se denomina Traza Vertical de una recta a la intersección
de la recta con el plano vertical de proyección, se designa
con uve mayúscula, V y como cualquier otro punto tiene
proyección vertical (v’) coincidente con la verdadera traza
y proyección horizontal
PROYECCIÓN DE LAS TRAZAS DE LAS RECTAS
Conocidas las trazas de la recta se pueden dibujar las proyecciones horizontal y vertical de la misma.
También se puede dar el caso inverso, conocidas sus proyecciones, calcular las trazas. En la figura 16 se
calculan las de una recta que pasa por el segundo diedro, tiene la proyección horizontal de la traza
horizontal (h), con alejamiento negativo.
Según algunos autores, la designación de las trazas debe ser V” y V’ para las proyecciones vertical y
horizontal de la traza vertical respectivamente y H”, H’ para las proyecciones vertical y horizontal de la
traza horizontal, respectivamente.
Una recta cambia de cuadrante cuando atraviesa alguno de los
Planos de Proyección. Se denomina punto traza al punto en el
que la recta corta alguno de los Planos de Proyección:
Punto traza horizontal de la recta (h’, h) es el punto donde la
recta corta al Plano Horizontal de Proyección PH.
Punto traza vertical de la recta (v’, v) es el punto donde la
recta corta al Plano Vertical de Proyección PV.
Como sabemos por este dibujo del artículo anterior sobre el
punto en Diédrico, un punto pertenece a un Plano de
Proyección cuando una de sus proyecciones se encuentra
contenida sobre la Línea de Tierra LT.
Por tanto, para saber dónde una recta cambia de cuadrante
sólo tenemos que encontrar los puntos de la recta que tengan
una de sus proyecciones contenida la LT. Esos son los puntos
traza.
¿Cómo se ve esto?
El punto donde la proyección vertical de la recta corta la LT
define el Punto Traza Horizontal de la recta
El punto donde la proyección horizontal de la recta corta la LT
define el Punto Traza Vertical de la recta.
Lo aclaro con el siguiente dibujo:
La recta esta representada mediante dos de sus puntos y, por consiguiente,
será una recta para cada una de sus proyecciones.
La recta (R) tendrá por proyecciones ( r ) proyección horizontal y ( r´ ) proyección
vertical. Los puntos característicos de la recta son sus trazas.
Las trazas, son los puntos donde la recta corta a los planos de proyección, donde corta la recta al plano
horizontal lo denominamos (H), que es la traza horizontal, y al plano
vertical (V) traza vertical.
Una vez conocidos los puntos donde la
recta cambia de cuadrante (Puntos Traza),
debemos averiguar en qué cuadrante se
encuentra la recta. Para ello podemos
dividir la recta en tramos. Los Puntos Traza
definen el inicio y el fin de cada tramo.
Para hacerlo lo más sencillo posible,
tomaremos un punto de cada tramo de la
recta y determinaremos a qué cuadrante
pertenece. Eso lo sabemos gracias a lo que
aprendiste en el artículo sobre el punto en
diédrico.
Veámoslo aplicado al ejemplo anterior:
CÓMO DETERMINAR LA POSICIÓN DE LA RECTA EN CADA TRAMO
REPRESENTACIÓN DE LA RECTA EN LOS TRES SISTEMAS
SISTEMA AXONOMÉTRICO REPRESENTACIÓN DE LA
RECTA
Una recta queda definida por sus proyecciones
directa y secundarias. R (r’, r’’, r’’’) o bien (r1,
r2, r3).
Como en Sistema Diédrico Ortogonal, una recta
queda determinada por dos puntos contenidos en
ella, A y B. La proyección directa R surge de unir
las directas de estos dos puntos A y B. Las
proyecciones secundarias de unir las secundarias
correspondientes a A y B. Figura 1.
Las trazas de la recta son los puntos de intersección de dicha recta con las caras del triedro, se designan con
mayúsculas y subíndice numerado T1, T2 y T3 correspondiendo al plano o cara XOY, XOZ, YOZ respectivamente
(Hr, para el plano XOY, Vr para el plano X=Z, Wr para el plano YOZ, según algunos autores). Son puntos, y como
tales tienen sus proyecciones auxiliares t’, t’’ y t’’’, coincidiendo la proyección secundaria correspondiente
con la principal y las otras dos en los ejes que determinan el plano cortado. Por ejemplo T1 (t1’,t1’’, t1’’’) es
la traza de una recta con el plano XOY, T1 y t1’ coinciden en XOZ, t1’’ está en el eje X y t1’’’ en el eje Y
Se fundamenta en tres planos de proyección (plano horizontal -PH-, plano primer vertical -P1V- y plano
segundo vertical -P2ºV-). Los tres planos son perpendiculares entre sí formando un triedro trirectangulo
cuyo vértice es el origen de coordenadas. Los 3 planos se cortan según 3 rectas llamadas ejes: X, Y y Z.
Los ejes son también perpendiculares entre sí.
El cuerpo del espacio se proyecta sobre los tres
planos
Obteniendo las tres proyecciones previas.
El triedro trirectangulo se coloca sobre el plano del
dibujo apoyado por el origen de coordenadas (O).
Sobre el plano del dibujo se proyecta todo lo que hay
en el espacio:
Las proyecciones de los ejes X, Y y Z.
La proyección directa del cuerpo (en rojo).
Las tres proyecciones de las proyecciones previas.
En este sistema, todo lo que esta en el espacio
tiene 4 proyecciones: proyección directa (para
mejor identificación, en rojo en la imagen de la
derecha), proyección horizontal, proyección primer
vertical, proyección segundo vertical.
REPRESENTACIÓN DE LA RECTA EN SDO
Sabemos que una recta es una sucesión de puntos
y que dos puntos determinan una recta. En SDO
una recta se representa mediante sus proyecciones
sobre el Plano Vertical y el Plano Horizontal,
denominadas Proyección Vertical y Proyección
Horizontal de la recta respectivamente y
designadas por minúscula prima y minúscula
respectivamente (r’, r). Según algunos autores por
minúscula con subíndices 2 y 1 respectivamente
(r2, r1).
Para poder representar dichas proyecciones,
bastará con representar las proyecciones de dos de
los puntos de la recta y unir las proyecciones
homólogas. Por ejemplo, para representar la recta
R, representamos primero las proyecciones
verticales y horizontales de A y B, puntos
contenidos en ella. Uniendo -a’- con -b’-
tendremos la proyección vertical de R, r’. Uniendo
-a- con -b-, la proyección horizontal de “R”, r
SISTEMA DE REPRESENTACIÓN DE LA RECTA EN EL
SISTEMA DIÉDRICO.
Se fundamenta en 2 planos de proyección (plano
horizontal -PH- y plano vertical -PV-). Estos planos
deben ser perpendiculares entre si y se cortan según
una línea recta llamada línea de tierra (LT). El cuerpo
del espacio se proyecta sobre ambos planos
obteniéndose dos proyecciones del cuerpo:
Proyección horizontal
Proyección vertical
Como el plano del dibujo es horizontal, para que la
proyección vertical quede sobre el plano del dibujo
tendremos que abatir el plano vertical (PV) con todo lo
que contenga.
la recta viene determinada por dos proyecciones. Las rectas se suelen nombrar con letras minúsculas
desde la “r”:
Una proyección vertical representada con un apóstrofe: r’, s’, t’…
Una proyección horizontal, representada sin apóstrofe: r, s, t…
Las rectas pueden estar colocadas de muy diferentes maneras con respecto a los Planos de Proyección. Lo
más común es que atraviesen dichos Planos de Proyección y, por lo tanto, pasen de un cuadrante a otro.
Para abatirlo lo haremos girar a
través de la línea de tierra (LT)
hasta hacerlo coincidir con el
plano horizontal (PH). De esta
forma, lo tendremos en un solo
plano y se podrá representar en el
plano del dibujo.
El cuerpo del espacio se proyecta
sobre los dos planos.
Nos quedamos con las
proyecciones y prescindimos del
cuerpo a representar.
Se gira el PV hasta hacerlo
coincidir con el PH.
Tras el giro, tendremos las dos
proyecciones sobre un único
plano. Los dos planos y sus
proyecciones, coinciden con el
plano del dibujo
Representación de las
proyecciones sobre el plano del
dibujo.
Elementos y características del sistema diédrico.
El sistema está constituido por dos planos perpendiculares entre sí:
• Plano Vertical de proyección (PV).
• Plano horizontal de proyección (PH).
Los planos de proyección se cortan formando una línea, que la
denominamos Línea de
Tierra.
La línea de tierra divide a los planos de proyección en:
PHA.- Plano Horizontal anterior
PHP .- Plano Horizontal posterior
PVS.- Plano Vertical Superior
PVI.- Plano Vertical Inferior.
Los planos de proyección dividen al espacio en cuatro
zonas iguales, que denominamos cuadrantes o diedros.
Estando el primer diedro comprendido entre el plano
Horizontal anterior (PHA) y el PVS, la ordenación de
los tres siguientes en sentido inverso al movimiento de las agujas del
reloj.
La posición exacta de un punto A estará definida por la distancia del punto real A (en su
posición del espacio) hasta los planos de proyección: Llamamos alejamiento a la
distancia de A al PVP, y llamamos cota a la distancia de A al PHP. Ambos valores
pueden ser positivos o negativos:
• El alejamiento será positivo cuando el punto esté en el 1º y 4º diedros (por
delante del PVP) y negativo si está en el 2º o 3º diedros (detrás del PVP).
• La cota será positiva si el punto está en 1º o 2º diedros (por encima del PHP y
será) negativa en 3º y 4º diedros (por debajo del PHP)
PARTES VISTAS Y OCULTAS DE UNA RECTA
Conocer en qué cuadrante se encuentra cada tramo de la recta nos permite definir sus partes vistas y
ocultas. En Sistema Diédrico se considera que todo lo que esté situado en el 1er cuadrante será visto,
mientras que lo situado por detrás del PV y por debajo del PH será oculto.
En el caso de las rectas, esto se representa de la siguiente manera:
Partes vistas (1er cuadrante) mediante línea continua.
Partes ocultas (2º, 3er y 4º cuadrante) mediante línea discontinua.
VERDADERO TAMAÑO DE UNA
RECTA
El verdadero tamaño de una recta se determina por la
hipotenusa que se forma al construir un triángulo
rectángulo mediante la diferencia de cota (dc) o vuelo
(dv) según sea el caso.
Las rectas que se sitúan en el plano vertical u
horizontal, se proyectan en verdadero tamaño
Distancia y verdadera magnitud de la recta. Cuando una
recta es al menos paralela a uno de los planos de
proyección, su distancia se puede determinar en la
proyección de la recta del plano de proyección al que
es paralela. Método del triángulo de rebatimiento:
Consiste en dibujar el triángulo que se genera en el
espacio, resultante de la intersección de la recta en el
espacio con su proyección. Este triángulo se dibuja en
cualquiera de las proyecciones que arroja la recta.
Cuando una recta es oblicua, su proyección sobre los
planos se acorta, por ende estas proyecciones no se
encuentran en verdadera magnitud. Por ello, existen
diferentes métodos para determinar su verdadera
distancia en el espacio.
Ángulos que forma la recta con los planos de proyección:
Una recta espacialmente forma un
ángulo alfa con el plano vertical y un
ángulo beta con el plano vertical,
siempre y cuando se cumpla que la
suma de dichos ángulos debe estar
comprendidos entre 0º y 90º, es decir:
0º <= alfa+beta <= 90º
Si alfa = 0, Es una recta contenida o
paralela al plano horizontal.
Si beta = 0, Es una recta contenida o
paralela al plano vertical.
Si alfa = beta = 0, Es una recta
paralela a la línea de tierra.
Si alfa + beta = 90º, Es una recta de
perfil.
Si alfa = beta, Es una recta
contenida o paralela al primer bisector.
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS QUE SE CORTAN
Cuando dos rectas se cortan se forman 4
ángulos, los cuales dos son agudos y dos
obtusos.
Ejemplo:
Se tiene las rectas a y b, se pide hallar
el verdadero tamaño y el ángulo de ellas.
Solución:
Se toma una recta auxiliar que corte a
ambas rectas en este caso una recta
horizontal, y se forma un triángulo definido
por los puntos ABC, con un ángulo
determinado.
Se busca el verdadero tamaño utilizando
el método de diferencias de cota (dc) y
diferencia de vuelo (dv).
Se realizan las proyecciones del
triángulo en verdadero tamaño y se
obtiene el ángulo determinado.
En este caso por una de
las rectas se toma un
punto “A” cualquiera, y
se pasa una recta paralela
a la otra. Se busca el
ángulo de las rectas que
se cortan en el punto
“A”, el cual es el ángulo
buscado.
Tipos de rectas según la posición de la recta con respecto al plano
Rectas paralelas a un plano de proyección
Todas las rectas paralelas a un plano de proyección tienen una de sus proyecciones paralelas a LT.
En el caso de las rectas paralelas al horizontal, son sus proyecciones verticales las paralelas a LT;
las paralelas al vertical tendrán sus proyecciones horizontales paralelas a LT.
Recta paralela al plano horizontal de proyección,
pasando por los cuadrantes 1 y 2.
Esta recta es paralela al plano horizontal de
proyección. Su proyección vertical es paralela a la
línea de tierra. Todos los puntos de la recta tienen
la misma cota, en este caso positiva al pasar por el
1º y el 2º cuadrante. Su proyección horizontal está
en verdadera magnitud.
Esta es una característica muy útil de las rectas
paralelas, puesto que podemos determinar la
medida real de cualquier segmento del espacio
siempre que sea paralelo a uno de los planos de
proyección.
Recta determinada por dos puntos
Una recta r puede determinarse mediante dos puntos A y B. Esto significa que, conocidos dos
puntos A y B pertenecientes a una recta (r), sólo existe una recta que pueda contenerlos a
ambos. Recordemos que, en diédrico, obtenemos las representaciones de los elementos
mediante proyección. Al ser la proyección una transformación de tipo homográfico (la
proyección de un punto es un punto, la proyección de una recta es -salvo excepciones- una
recta), si conocemos las proyecciones a’ y b’ podemos trazar por ellos la proyección r’ de la
recta, y lo mismo ocurre con a, b y r.
OBTENCIÓN DE LA PROYECCIÓN DE UN PUNTO
La proyección sobre el Plano Vertical se llama alzado, La proyección sobre el Plano Horizontal se llama planta.
La proyección sobre el Plano Perfil se llama perfil derecho.
PROYECCIÓN DE UN
PUNTO
Los puntos pueden situarse en cualquier parte del espacio, aunque en este ejemplo,
trabajaremos con un punto situado en el primer cuadrante de proyección, definido por el
Plano Vertical (PV) y el Plano Horizontal (PH), ayudado del Plano de Perfil (PP), según lo
recogido en el apartado Proyecciones.
Todo punto tiene dos proyecciones que están unidas mediante una línea de referencia,
perpendicular a la Línea de Tierra (LT) y se cortan en ella.
CONCLUSIÓN
Por lo tanto, su importancia de debe a que la geometría sirve para calcular espacios, ángulos y
distancias, lo cual permite obtener un diseño arquitectónico con mejores acabados, funcionalidad y una
mejor apariencia estética, a su vez el arte utiliza la geometría para lo que tiene que ver con la profundidad
espacial.
La geometría juega un papel fundamental en la arquitectura, ya que es aplicada, para lograr
espacios eficaces, belleza, armonía, simetría y relación entre los espacios.
De tal modo, que muchas observaciones en la vida diaria nos conducen al concepto de líneas,
curvas, superficies, sólidos, entre otros en nuestra vida diaria, donde distinguimos esos elementos, en las
construcciones arquitectónicas.
Por lo que, al hacer esas observaciones tampoco podemos dejar de lado que las líneas al unirse
forman elementos llamados ángulos y estos se pueden clasificar según su abertura.
en consecuencia, podemos decir, que la geometría la usamos, observamos y aplicamos en cada
momento de la vida, a su vez, las rectas las podemos encontrar en lo que tenemos enfrente y en todas sus
variedades posibles, si analizamos adecuadamente, ellas forman parte de nosotros y de nuestro entorno,
están en la arquitectura, biología, química, etc.
ANEXOS
https://www.youtube.com/watch?v=q324vE-6Uyc
https://www.youtube.com/watch?v=oFA4rjeWQmA
https://www.youtube.com/watch?v=P4dZ1GGrakI
BIBLIOGRAFIA
Qué significa rectas en matemática.
https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/geometria/rectas.html. 08-11-2020.
Líneas, qué son, tipos y ejemplos. Disponible en:
https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/lineas-rectas-y-lineas-curvas/. 08-11-2020.
Rectas. https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/geometria/recta-l11124. 08-11-2020.
El Punto. Capitulo 6. http://agora.pucp.edu.pe/~gabinete/dibujo/cap6-1.htm. 10-11-2020.
Sistema de representación. Disponible en: https://ibiguridt.wordpress.com/temas/sistemas-de-
representacion/. 09-11-2020.
Representación Gráfica. https://sites.google.com/site/funcionlineal1/representacion-rafica. 08-11-2020.
Sistema diédrico. Recta. http:// www.ucla. edu.ve/ dcivil/ departamentos/ ciencias basicas/ profesores/
. 09-11-2020.
Sistema Diédrico. La recta. Disponible en: https://dibujotecni.com/sistema-diedrico/sistema-diedrico-la-
recta/. 15-11-2020.

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Loriannys s posicion de la recta en el espacio

  • 1. PARTICIPANTE: LORIANNYS SEMIAO C.I. 28512341 DOCENTE: PROF. MSc. PEDRO BELTRÁN. POSICIÓN DE LA RECTA EN EL ESPACIO REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO EXTENSIÓN: BARCELONA CARRERA: ARQUITECTURA ASIGNATURA: GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
  • 2. INTRODUCCIÓN La geometría, es una rama de las matemáticas, la cual se ocupa de figuras, líneas y formas, cuyas aplicaciones en el campo de la arquitectura, son de gran importancia. Cabe resaltar, que en el diseño arquitectónico, se vale tanto en la práctica, para hacer el cálculo de carga segmentos de una estructura, como para la estética, aplicando en sus diseños la simetría de un edificio o escala con su entorno. De tal modo, que la recta es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección, a su vez, puede ocupar diferentes posiciones en el espacio, de allí derivan sus diferentes tipo de líneas rectas que observamos en la vida diaria en cualquier diseño arquitectónico. Además de ello, podemos representarla gráficamente, obtener su distancia a través de los planos de proyección conociendo la cota, alejamiento, dirección, elevación, coordenadas cartesianas.
  • 3. Es importante, señalar que la geometría en la Arquitectura nace en Grecia y Roma. Por ello, de acuerdo a sus estudios e implicaciones arquitectónicas, a través del tiempo desde la antigüedad, hasta la modernidad, a tenido un orden arquitectónico que determina el proyecto de un edificio, dándole sus características y lenguaje determinado y un estilo histórico. Esto comprende un conjunto de elementos previamente definidos que al relacionarse entre sí y de una manera coherente dan una armonía, unidad y proporción a un edificio según los preceptos básicos de belleza.
  • 4. UNA RECTA Es una sucesión infinita de puntos, situados en una misma dirección. Tiene una sola dimensión: la longitud. Las rectas se nombran mediante dos de sus puntos o por una letra minúscula. Dos puntos determinan una recta.
  • 5. Para representarla en el sistema diédrico bastará con conocer las proyecciones de dos puntos cualesquiera de ella “A” y “B”. Uniendo las proyecciones homónimas, es decir, Av Bv y AH BH, se obtiene las proyecciones horizontal y vertical de la recta “r”.
  • 6. También, se puede decir, que funciona como una sucesión continua de puntos trazados, como por un trazo o un guion. Las líneas suelen utilizarse en la composición artística, en trazos rectos sueltos, que no forman una figura o en otra forma en particular. LÍNEA En geometría, una línea es una sucesión continúa de infinitos puntos. En una figura geométrica que sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.
  • 7. Una sucesión continua de puntos contenidos en un plano, aunque siga cualquier criterio, se denomina línea. Puede ser: Línea recta, la sucesión continua de puntos en una misma dirección. Línea curva, de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura. Línea transversal, que atraviesa o cruza a otra. Línea perpendicular, la que forma un ángulo recto con otra. Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos. poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos. poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos. Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva. LA LÍNEA EN EL PLANO (DOS DIMENSIONES)
  • 8. También, una línea es el lugar geométrico de una sucesión continua de puntos en un espacio tridimensional, aunque no sea coplanaria. Puede ser: Línea curva alabeada, la que presenta formas redondeadas y no puede ser contenida en un plano. Línea quebrada tridimensional, la que presenta puntos angulosos y no puede ser contenida en un plano. Línea mixta tridimensional, una combinación de las anteriores. línea poligonal línea cóncavo linea convexo LA LÍNEA EN EL ESPACIO (TRES DIMENSIONES)
  • 9. Es una línea que se extiende en una misma dirección; por lo tanto, tiene una sola dimensión y contiene un número infinito de puntos. Dicha recta también se puede describir como una sucesión continua de puntos extendidos en una sola dirección. LA LÍNEA RECTA No tiene principio ni fin. Cuando dibujamos una línea recta, en realidad, representamos una parte de ella. Unas veces la representamos con dos letras mayúsculas que se refieren a dos de sus puntos, o bien, con una letra minúscula:
  • 10. TIPOS DE LÍNEAS RECTAS EN EL ESPACIO SEGÚN LA DISPOSICIÓN Son aquellas que tienen la dirección de la línea del horizonte. Se desplazan de derecha a izquierda y viceversa, además de ser perpendiculares (en ángulo de 90 grados) a la línea vertical. Línea horizontal Son aquellas cuya trayectoria se realiza en dirección arriba – abajo, o a la inversa. Línea vertical
  • 11. Línea oblicua Son las que no tienen la dirección vertical ni horizontal. Ni forman ángulos rectos al cruzarse con éstas.
  • 12. Si un punto “B” está contenido en la recta (r), entonces sus proyecciones vertical (Bv) y horizontal (BH) están contenidas en las proyecciones vertical y horizontal de la recta “r” (rv y rH) Punto contenido en la recta:
  • 13. Una recta puede ocupar diferentes posiciones en el espacio, las cuales se describen a continuación: Tipos de rectas: Es también paralela a los dos planos de proyección, por lo tanto, el alejamiento y la cota de todos sus puntos son constantes Recta paralela a la línea de tierra:
  • 14. Es paralela al plano horizontal, por lo que su proyección vertical se representa paralela a la línea de tierra, sólo tiene traza con el plano vertical, al que es oblicua. Recta horizontal: Eso significa que las rectas horizontales no tienen Punto Traza Horizontal, sino sólo Vertical.
  • 15. Caso particular al anterior. Su proyección vertical tiene cota cero (coincide con la línea de tierra) Recta contenida en el plano horizontal:
  • 16. Es paralela al plano vertical y oblicua al horizontal, su proyección horizontal se representa paralela a la línea de tierra por tener alejamiento constante. Sólo tiene traza con el plano horizontal. Recta frontal:
  • 17. Es un caso particular de recta frontal. Es una recta paralela al PV y perpendicular al PH. Tiene su proyección vertical perpendicular a la LT y su proyección horizontal es sólo un punto. En él se encuentran contenidas las proyecciones horizontales de todos los puntos de la recta. Al igual que las rectas frontales, no tiene Punto Traza Vertical. Su Punto Traza Horizontal se encuentra obviamente en el punto de proyección horizontal. RECTA VERTICAL
  • 18. Es perpendicular al plano vertical y sólo tiene traza con él. Su proyección vertical es perpendicular a la línea de tierra y la horizontal es un punto que coincide con su traza Recta de pie:
  • 19. Las rectas de perfil son perpendiculares a la línea de tierra, y también lo son sus proyecciones. Esto supone un problema a la hora de distinguir una recta de perfil de otra. Además resulta imposible determinar la posición de sus trazas a partir de las proyecciones porque ambas son coincidentes. Para solucionar este problema acudimos a una tercera proyección Diédrica que se produce en un plano de perfil (perpendicular al vertical y al horizontal de proyección). ¿Cómo representamos un elemento en un plano de perfil? Veámoslo con un ejemplo sencillo: un punto en el primer cuadrante. Rectas de perfil
  • 20. Son oblicuas respecto a ambos planos y perpendiculares a la línea de tierra
  • 21. Es oblicua a los dos planos de proyección. Las trazas que la definen pueden ser dos puntos cualesquiera de los planos de proyección, sus proyecciones son oblicuas a la línea de tierra Rectas cualquiera:
  • 22. Es un caso particular de recta horizontal. Es una recta paralela al PH y perpendicular al PV. Su proyección vertical se concentra en un punto y su proyección horizontal es perpendicular a la LT. No tiene Punto Traza Horizontal, puesto que es paralela al PH. Recta de punta:
  • 23. Para la representación de la recta utilizaremos letras minúsculas, principalmente, r, s o t. La proyección horizontal se representará por la misma letra acompañada de una comilla. Por ejemplo r’. Nomenclatura de una recta.
  • 24. COMO SE REPRESENTA GRAFICAMENTE UNA LINEA RECTA Elementos de una línea recta
  • 25. Ejemplo: y = 2x ► m = 2 y b = 0 Ejemplo: y = 3x – 2 ► m = 3 y b = - 2 1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = - 2 2do Nos corremos una unidad a la derecha 3ro, subimos 3 unidades porque la pendiente es positiva (+) 4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada al origen y el punto al que nos llevo la pendiente
  • 26. Ejemplo: y = - 2x + 4 ► m = - 2 y b = 4 1ro, ubicamos en el eje “y” la ordenada al origen b = 4 2do Nos corremos una unidad a la derecha 3ro, como la pendiente es (-) bajamos 2 unidades 4to, unimos los dos puntos, el de la ordenada al origen y el punto al que nos llevo la pendiente
  • 27. La distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la longitud del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más corto» entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodésica. Distancia Distancia de un punto en el espacio a dos planos de proyección, conociendo: Dirección y elevación. Si conocemos cuál es la orientación del plano de proyección, es bastante sencillo calcular cuál es la relación entre las longitudes proyectadas y las reales. Supongamos que conocemos el vector director (normal) del plano de proyección. Llamemos 𝑛⃗⃗ a este vector, y 𝜋 al plano de proyección
  • 28. Cota Es la distancia del punto a proyectar (punto A) al plano horizontal. Podemos entender que es la “altura” del punto sobre el PH. Esto implica que la cota será la medida existente entre la proyección vertical del punto a’ y la Línea de Tierra (LT). La posición de un punto con respecto a los planos de proyección se puede definir atendiendo a estos dos valores: Será positiva si se encuentra por encima del PH. Será negativa si se encuentra por debajo del PH.
  • 29. Alejamiento De la misma forma, el alejamiento es la distancia del punto A al plano vertical. Lo que implica que será la distancia de la LT a la proyección horizontal del punto (a”). Será positiva si se encuentra por delante del PV. Será negativa si se encuentra por detrás del PV.
  • 30. Desviación. En el caso de trabajar con tres planos de proyecciones, a la distancia que hay desde el punto al plano de perfil se le denomina
  • 32. Obviamente conocemos la dirección y magnitud de los tres vectores que representan las direcciones de los ejes de coordenadas. Llamaremos a estos tres vectores 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗, 𝑒⃗ 𝑦⃗ y 𝑒 𝑧 ⃗⃗⃗⃗. Al ser los vectores directores de los ejes de coordenadas, éstos son unitarios. Esto es: |𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗| = |𝑒⃗ 𝑦⃗| = |𝑒𝑧| = 1 Si lo que queremos conocer es cuál es la magnitud que van a tener los objetos al proyectarse, lo que debemos averiguar son las longitudes proyectadas (sobre el plano de proyección de los vectores 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗, 𝑒⃗ 𝑦⃗ y 𝑒𝑧⃗⃗⃗⃗. A la proyección de los vectores 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗, 𝑒⃗ 𝑦⃗ y 𝑒𝑧 sobre el plano de proyección. Las longitudes proyectadas se pueden calcular fácilmente a partir del ángulo que forma cada uno de los ejes con respecto al plano. Tomemos como ejemplo el eje 𝑥. Si llamamos α𝑥 al ángulo que forma el eje 𝑥 con el plano de proyección, entonces:|𝑒⃗⃗⃗𝑥𝑝⃗⃗⃗⃗| = |𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗| · 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼𝑥). El ángulo 𝛼𝑥 es el complementario del ángulo 𝛽𝑥 cuyo valor se puede calcular, a su vez, fácilmente a partir de los vectores 𝑛⃗⃗ y 𝑒⃗⃗⃗𝑥⃗ empleando el producto e
  • 33. la proyección de un punto en el sistema diédrico dependerá de su altura sobre el plano horizontal, a la que se llama cota, y de la distancia al plano vertical, a la que se llama alejamiento.
  • 34. Los planos de proyección de los que nos valemos generalmente son 3: planta, alzado y perfil. Una vez que se han proyectado sobre cada unos de ellos las vistas ortogonales del objeto, se giran hasta hacerlos coincidir los tres en un mismo plano. Distancia de un punto en el espacio a dos planos de proyección. Sistema de Proyección Diédrica, también denominado sistema de Doble Proyección Ortogonal, este sistema de proyección, se basa en definir la proyección ortogonal de los objetos, en forma simultánea, sobre dos planos principales de proyección, perpendiculares entre sí. Se obtienen dos proyecciones ortogonales , por medio de las cuales se puede concebir la forma tridimensional del mismo.
  • 35. DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS Para conocer la distancia entre dos puntos basta con encontrar la Verdadera Magnitud del segmento que los une. Como sabes, esto se puede hacer por giro, por abatimiento o por cambio de plano. Yo te voy a explicar el método más sencillo y rápido que es por un cambio de plano, solo que muy simplificado. Para un segmento cualquier oblicuo A-B, dibuja una recta perpendicular a la proyección horizontal a-b por el punto b. Sobre esa perpendicular mide la diferencia de altura entre a’ y b’. Une el punto resultante con a y tendrás la verdadera magnitud D. El resultado es que colocamos el segmento A-B como una recta frontal de plano y por tanto se puede medir en Verdadera Magnitud.
  • 36. Recta horizontal o frontal de plano: Si los dos puntos tienen la misma cota (recta horizontal) o el mismo alejamiento (recta frontal), la distancia se puede medir directamente en la proyección oblicua a la línea de tierra. Recta de perfil: Si los dos puntos están alineados en una perpendicular a la línea de tierra necesitarás una tercera proyección mediante un plano de perfil para conocer la distancia real. Recta de punta: si los puntos están alineados en una recta de punta se puede medir directamente la distancia entre ellos en verdadera magnitud. la proyección de un punto en el sistema diédrico dependerá de su altura sobre el plano horizontal, a la que se llama cota, y de la distancia al plano vertical, a la que se llama alejamiento.
  • 37. Proyección de un punto en los planos principales de proyección conociendo: Considerando las reglas básicas de proyecciones, si ubicamos un punto A ó B en el espacio con respecto a los tres planos principales de un sistema de proyecciones ortogonales, obtendremos las siguientes definiciones: a) Cota : Es la distancia perpendicular del punto al plano horizontal. b) Alejamiento : Es la distancia perpendicular del punto al plano frontal. c) Apartamiento : Es la distancia perpendicular del punto al plano de perfil. Identifiquemos estos términos en las proyecciones de un punto en el sistema del tercer cuadrante (ASA), en la figura adjunta.
  • 38. Posiciones relativas de dos puntos. En muchos casos resulta útil poder definir la posición de un punto con respecto a otro de posición conocida. Para este efecto se emplean términos que indican posición relativa, tal y como se muestra en la figura. Por ejemplo, en la siguiente figura se muestran dos puntos A y B. Podemos decir que el punto B se encuentra atrás, a la derecha y arriba de A. En lugar de decir atrás, podemos decir al Norte de A y, en lugar de decir a la derecha, podemos decir al Este de A. También podemos decir que el punto B se encuentra orientado 45° al Noreste de A.(N45°E), esta nomenclatura solo se usa para la proyección horizontal.
  • 39. Distancia de un punto en el espacio a dos planos de proyección, conociendo las Coordenadas Cartesianas Sistema de coordenadas cartesianas En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema bidimensional o tridimensional (análogamente se pueden definir sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto (A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto {OA}, sobre un eje determinado: sobre un eje determinado: Cada uno de los ejes está definido por un vector director y por el origen de coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido por el origen de coordenadas (O) y un vector (i) tal que: El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto sobre el eje x.
  • 40. Sistema de coordenadas cartesianas
  • 41. Representación de puntos en el sistema cartesiano Podemos localizar cualquier punto, y definir su proyección directa, si describimos su posición con respecto a los tres ejes X,Y, Z . El origen: se sitúa en el vértice (O) del triedro. A partir de él el sentido puede ser positivo o negativo. El ancho: el eje X (coordenada desplazamiento) se extiende con su parte positiva hacia la derecha, a partir de O El alto: el eje Z (coordenada altura o cota), sentido positivo hacia arriba, a partir de O. La profundidad: eje Y (coordenada de alejamiento), sentido positivo hacia la derecha, a partir de O. Por esto mismo el tipo de proyección utilizado en el dibujo técnico son las proyecciones de tipo “ortogonal” (derivado de ortho=recto) la cual consiste en la inclusión de dos o más planos paralelos u oblicuos que definen las dimensiones reales de los objetos y se convierten en «vistas» que luego se traspasan a escala en el plano. Este sistema se basa en una representación del espacio 3D mediante los ejes cartesianos X, Y y Z junto a un punto de origen, representado en una vista bidimensional llamada «isométrica»:
  • 42. Sobre cada eje axonométrica se coloca la coordenada correspondiente (sobre el eje X la coordenada X, etc.) Por cada punto determinado en un eje se trazan paralelas a los otros ejes (por la coordenada del eje X se dibujan paralelas a los ejes Z e Y). La intersección de dos paralelas determina la proyección secundaria del punto (paralelas a los ejes X y al Y determinan la proyección secundaria a). Las paralelas trazada desde las proyecciones secundarias (a cada eje restante) determinan en su intersección la proyección directa del punto (las paralelas dibujadas por las proyecciones secundarias a y a' (a los ejes Z e Y respectivamente) determinan la proyección directa A).
  • 44. Se pueden usar coordenadas cartesianas para localizar puntos en 3 dimensiones como en este ejemplo: El punto (−4,−4,5) se indica en coordenadas cartesianas tridimensionales.
  • 45. El sistema de coordenadas, se usa para representar los puntos de un espacio euclídeo tridimensional. Resulta especialmente útil en problemas con simetría axial. Este sistema de coordenadas es una generalización del sistema de coordenadas polares del plano euclídeo, al que se añade un tercer eje de referencia ortogonal a los otros dos. Además, su aplicación es muy importante en la arquitectura e ingeniería, para la medición de terrenos se usan las coordenadas para fijar puntos, distribuir mejor los espacios.
  • 46. TRAZA DE LAS RECTAS Se denominan Trazas de la recta a los puntos de intersección de esta con los planos de proyección horizontal, vertical y, en su caso, de perfil. Como cualquier otro punto, las trazas de la recta se representan por sus proyecciones horizontales y verticales. Se denomina Traza Horizontal de una recta a la intersección de la recta con el plano horizontal de proyección, se designa con hache mayúscula, H y como cualquier otro punto, tiene proyección vertical (h’) y proyección horizontal (h), esta última coincidente con la verdadera traza. Fig.15. Se denomina Traza Vertical de una recta a la intersección de la recta con el plano vertical de proyección, se designa con uve mayúscula, V y como cualquier otro punto tiene proyección vertical (v’) coincidente con la verdadera traza y proyección horizontal
  • 47. PROYECCIÓN DE LAS TRAZAS DE LAS RECTAS Conocidas las trazas de la recta se pueden dibujar las proyecciones horizontal y vertical de la misma. También se puede dar el caso inverso, conocidas sus proyecciones, calcular las trazas. En la figura 16 se calculan las de una recta que pasa por el segundo diedro, tiene la proyección horizontal de la traza horizontal (h), con alejamiento negativo. Según algunos autores, la designación de las trazas debe ser V” y V’ para las proyecciones vertical y horizontal de la traza vertical respectivamente y H”, H’ para las proyecciones vertical y horizontal de la traza horizontal, respectivamente.
  • 48. Una recta cambia de cuadrante cuando atraviesa alguno de los Planos de Proyección. Se denomina punto traza al punto en el que la recta corta alguno de los Planos de Proyección: Punto traza horizontal de la recta (h’, h) es el punto donde la recta corta al Plano Horizontal de Proyección PH. Punto traza vertical de la recta (v’, v) es el punto donde la recta corta al Plano Vertical de Proyección PV. Como sabemos por este dibujo del artículo anterior sobre el punto en Diédrico, un punto pertenece a un Plano de Proyección cuando una de sus proyecciones se encuentra contenida sobre la Línea de Tierra LT. Por tanto, para saber dónde una recta cambia de cuadrante sólo tenemos que encontrar los puntos de la recta que tengan una de sus proyecciones contenida la LT. Esos son los puntos traza. ¿Cómo se ve esto? El punto donde la proyección vertical de la recta corta la LT define el Punto Traza Horizontal de la recta El punto donde la proyección horizontal de la recta corta la LT define el Punto Traza Vertical de la recta. Lo aclaro con el siguiente dibujo:
  • 49. La recta esta representada mediante dos de sus puntos y, por consiguiente, será una recta para cada una de sus proyecciones. La recta (R) tendrá por proyecciones ( r ) proyección horizontal y ( r´ ) proyección vertical. Los puntos característicos de la recta son sus trazas. Las trazas, son los puntos donde la recta corta a los planos de proyección, donde corta la recta al plano horizontal lo denominamos (H), que es la traza horizontal, y al plano vertical (V) traza vertical.
  • 50. Una vez conocidos los puntos donde la recta cambia de cuadrante (Puntos Traza), debemos averiguar en qué cuadrante se encuentra la recta. Para ello podemos dividir la recta en tramos. Los Puntos Traza definen el inicio y el fin de cada tramo. Para hacerlo lo más sencillo posible, tomaremos un punto de cada tramo de la recta y determinaremos a qué cuadrante pertenece. Eso lo sabemos gracias a lo que aprendiste en el artículo sobre el punto en diédrico. Veámoslo aplicado al ejemplo anterior: CÓMO DETERMINAR LA POSICIÓN DE LA RECTA EN CADA TRAMO
  • 51. REPRESENTACIÓN DE LA RECTA EN LOS TRES SISTEMAS SISTEMA AXONOMÉTRICO REPRESENTACIÓN DE LA RECTA Una recta queda definida por sus proyecciones directa y secundarias. R (r’, r’’, r’’’) o bien (r1, r2, r3). Como en Sistema Diédrico Ortogonal, una recta queda determinada por dos puntos contenidos en ella, A y B. La proyección directa R surge de unir las directas de estos dos puntos A y B. Las proyecciones secundarias de unir las secundarias correspondientes a A y B. Figura 1. Las trazas de la recta son los puntos de intersección de dicha recta con las caras del triedro, se designan con mayúsculas y subíndice numerado T1, T2 y T3 correspondiendo al plano o cara XOY, XOZ, YOZ respectivamente (Hr, para el plano XOY, Vr para el plano X=Z, Wr para el plano YOZ, según algunos autores). Son puntos, y como tales tienen sus proyecciones auxiliares t’, t’’ y t’’’, coincidiendo la proyección secundaria correspondiente con la principal y las otras dos en los ejes que determinan el plano cortado. Por ejemplo T1 (t1’,t1’’, t1’’’) es la traza de una recta con el plano XOY, T1 y t1’ coinciden en XOZ, t1’’ está en el eje X y t1’’’ en el eje Y
  • 52. Se fundamenta en tres planos de proyección (plano horizontal -PH-, plano primer vertical -P1V- y plano segundo vertical -P2ºV-). Los tres planos son perpendiculares entre sí formando un triedro trirectangulo cuyo vértice es el origen de coordenadas. Los 3 planos se cortan según 3 rectas llamadas ejes: X, Y y Z. Los ejes son también perpendiculares entre sí.
  • 53. El cuerpo del espacio se proyecta sobre los tres planos Obteniendo las tres proyecciones previas. El triedro trirectangulo se coloca sobre el plano del dibujo apoyado por el origen de coordenadas (O). Sobre el plano del dibujo se proyecta todo lo que hay en el espacio: Las proyecciones de los ejes X, Y y Z. La proyección directa del cuerpo (en rojo). Las tres proyecciones de las proyecciones previas. En este sistema, todo lo que esta en el espacio tiene 4 proyecciones: proyección directa (para mejor identificación, en rojo en la imagen de la derecha), proyección horizontal, proyección primer vertical, proyección segundo vertical.
  • 54. REPRESENTACIÓN DE LA RECTA EN SDO Sabemos que una recta es una sucesión de puntos y que dos puntos determinan una recta. En SDO una recta se representa mediante sus proyecciones sobre el Plano Vertical y el Plano Horizontal, denominadas Proyección Vertical y Proyección Horizontal de la recta respectivamente y designadas por minúscula prima y minúscula respectivamente (r’, r). Según algunos autores por minúscula con subíndices 2 y 1 respectivamente (r2, r1). Para poder representar dichas proyecciones, bastará con representar las proyecciones de dos de los puntos de la recta y unir las proyecciones homólogas. Por ejemplo, para representar la recta R, representamos primero las proyecciones verticales y horizontales de A y B, puntos contenidos en ella. Uniendo -a’- con -b’- tendremos la proyección vertical de R, r’. Uniendo -a- con -b-, la proyección horizontal de “R”, r
  • 55. SISTEMA DE REPRESENTACIÓN DE LA RECTA EN EL SISTEMA DIÉDRICO. Se fundamenta en 2 planos de proyección (plano horizontal -PH- y plano vertical -PV-). Estos planos deben ser perpendiculares entre si y se cortan según una línea recta llamada línea de tierra (LT). El cuerpo del espacio se proyecta sobre ambos planos obteniéndose dos proyecciones del cuerpo: Proyección horizontal Proyección vertical Como el plano del dibujo es horizontal, para que la proyección vertical quede sobre el plano del dibujo tendremos que abatir el plano vertical (PV) con todo lo que contenga.
  • 56. la recta viene determinada por dos proyecciones. Las rectas se suelen nombrar con letras minúsculas desde la “r”: Una proyección vertical representada con un apóstrofe: r’, s’, t’… Una proyección horizontal, representada sin apóstrofe: r, s, t… Las rectas pueden estar colocadas de muy diferentes maneras con respecto a los Planos de Proyección. Lo más común es que atraviesen dichos Planos de Proyección y, por lo tanto, pasen de un cuadrante a otro.
  • 57. Para abatirlo lo haremos girar a través de la línea de tierra (LT) hasta hacerlo coincidir con el plano horizontal (PH). De esta forma, lo tendremos en un solo plano y se podrá representar en el plano del dibujo. El cuerpo del espacio se proyecta sobre los dos planos. Nos quedamos con las proyecciones y prescindimos del cuerpo a representar. Se gira el PV hasta hacerlo coincidir con el PH. Tras el giro, tendremos las dos proyecciones sobre un único plano. Los dos planos y sus proyecciones, coinciden con el plano del dibujo Representación de las proyecciones sobre el plano del dibujo.
  • 58. Elementos y características del sistema diédrico. El sistema está constituido por dos planos perpendiculares entre sí: • Plano Vertical de proyección (PV). • Plano horizontal de proyección (PH). Los planos de proyección se cortan formando una línea, que la denominamos Línea de Tierra. La línea de tierra divide a los planos de proyección en: PHA.- Plano Horizontal anterior PHP .- Plano Horizontal posterior PVS.- Plano Vertical Superior PVI.- Plano Vertical Inferior. Los planos de proyección dividen al espacio en cuatro zonas iguales, que denominamos cuadrantes o diedros. Estando el primer diedro comprendido entre el plano Horizontal anterior (PHA) y el PVS, la ordenación de los tres siguientes en sentido inverso al movimiento de las agujas del reloj.
  • 59. La posición exacta de un punto A estará definida por la distancia del punto real A (en su posición del espacio) hasta los planos de proyección: Llamamos alejamiento a la distancia de A al PVP, y llamamos cota a la distancia de A al PHP. Ambos valores pueden ser positivos o negativos: • El alejamiento será positivo cuando el punto esté en el 1º y 4º diedros (por delante del PVP) y negativo si está en el 2º o 3º diedros (detrás del PVP). • La cota será positiva si el punto está en 1º o 2º diedros (por encima del PHP y será) negativa en 3º y 4º diedros (por debajo del PHP)
  • 60. PARTES VISTAS Y OCULTAS DE UNA RECTA Conocer en qué cuadrante se encuentra cada tramo de la recta nos permite definir sus partes vistas y ocultas. En Sistema Diédrico se considera que todo lo que esté situado en el 1er cuadrante será visto, mientras que lo situado por detrás del PV y por debajo del PH será oculto. En el caso de las rectas, esto se representa de la siguiente manera: Partes vistas (1er cuadrante) mediante línea continua. Partes ocultas (2º, 3er y 4º cuadrante) mediante línea discontinua.
  • 61. VERDADERO TAMAÑO DE UNA RECTA El verdadero tamaño de una recta se determina por la hipotenusa que se forma al construir un triángulo rectángulo mediante la diferencia de cota (dc) o vuelo (dv) según sea el caso. Las rectas que se sitúan en el plano vertical u horizontal, se proyectan en verdadero tamaño Distancia y verdadera magnitud de la recta. Cuando una recta es al menos paralela a uno de los planos de proyección, su distancia se puede determinar en la proyección de la recta del plano de proyección al que es paralela. Método del triángulo de rebatimiento: Consiste en dibujar el triángulo que se genera en el espacio, resultante de la intersección de la recta en el espacio con su proyección. Este triángulo se dibuja en cualquiera de las proyecciones que arroja la recta. Cuando una recta es oblicua, su proyección sobre los planos se acorta, por ende estas proyecciones no se encuentran en verdadera magnitud. Por ello, existen diferentes métodos para determinar su verdadera distancia en el espacio.
  • 62. Ángulos que forma la recta con los planos de proyección: Una recta espacialmente forma un ángulo alfa con el plano vertical y un ángulo beta con el plano vertical, siempre y cuando se cumpla que la suma de dichos ángulos debe estar comprendidos entre 0º y 90º, es decir: 0º <= alfa+beta <= 90º Si alfa = 0, Es una recta contenida o paralela al plano horizontal. Si beta = 0, Es una recta contenida o paralela al plano vertical. Si alfa = beta = 0, Es una recta paralela a la línea de tierra. Si alfa + beta = 90º, Es una recta de perfil. Si alfa = beta, Es una recta contenida o paralela al primer bisector.
  • 63. ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS QUE SE CORTAN Cuando dos rectas se cortan se forman 4 ángulos, los cuales dos son agudos y dos obtusos. Ejemplo: Se tiene las rectas a y b, se pide hallar el verdadero tamaño y el ángulo de ellas. Solución: Se toma una recta auxiliar que corte a ambas rectas en este caso una recta horizontal, y se forma un triángulo definido por los puntos ABC, con un ángulo determinado. Se busca el verdadero tamaño utilizando el método de diferencias de cota (dc) y diferencia de vuelo (dv). Se realizan las proyecciones del triángulo en verdadero tamaño y se obtiene el ángulo determinado.
  • 64. En este caso por una de las rectas se toma un punto “A” cualquiera, y se pasa una recta paralela a la otra. Se busca el ángulo de las rectas que se cortan en el punto “A”, el cual es el ángulo buscado.
  • 65. Tipos de rectas según la posición de la recta con respecto al plano Rectas paralelas a un plano de proyección Todas las rectas paralelas a un plano de proyección tienen una de sus proyecciones paralelas a LT. En el caso de las rectas paralelas al horizontal, son sus proyecciones verticales las paralelas a LT; las paralelas al vertical tendrán sus proyecciones horizontales paralelas a LT. Recta paralela al plano horizontal de proyección, pasando por los cuadrantes 1 y 2. Esta recta es paralela al plano horizontal de proyección. Su proyección vertical es paralela a la línea de tierra. Todos los puntos de la recta tienen la misma cota, en este caso positiva al pasar por el 1º y el 2º cuadrante. Su proyección horizontal está en verdadera magnitud. Esta es una característica muy útil de las rectas paralelas, puesto que podemos determinar la medida real de cualquier segmento del espacio siempre que sea paralelo a uno de los planos de proyección.
  • 66. Recta determinada por dos puntos Una recta r puede determinarse mediante dos puntos A y B. Esto significa que, conocidos dos puntos A y B pertenecientes a una recta (r), sólo existe una recta que pueda contenerlos a ambos. Recordemos que, en diédrico, obtenemos las representaciones de los elementos mediante proyección. Al ser la proyección una transformación de tipo homográfico (la proyección de un punto es un punto, la proyección de una recta es -salvo excepciones- una recta), si conocemos las proyecciones a’ y b’ podemos trazar por ellos la proyección r’ de la recta, y lo mismo ocurre con a, b y r.
  • 67. OBTENCIÓN DE LA PROYECCIÓN DE UN PUNTO La proyección sobre el Plano Vertical se llama alzado, La proyección sobre el Plano Horizontal se llama planta. La proyección sobre el Plano Perfil se llama perfil derecho.
  • 68. PROYECCIÓN DE UN PUNTO Los puntos pueden situarse en cualquier parte del espacio, aunque en este ejemplo, trabajaremos con un punto situado en el primer cuadrante de proyección, definido por el Plano Vertical (PV) y el Plano Horizontal (PH), ayudado del Plano de Perfil (PP), según lo recogido en el apartado Proyecciones. Todo punto tiene dos proyecciones que están unidas mediante una línea de referencia, perpendicular a la Línea de Tierra (LT) y se cortan en ella.
  • 69. CONCLUSIÓN Por lo tanto, su importancia de debe a que la geometría sirve para calcular espacios, ángulos y distancias, lo cual permite obtener un diseño arquitectónico con mejores acabados, funcionalidad y una mejor apariencia estética, a su vez el arte utiliza la geometría para lo que tiene que ver con la profundidad espacial. La geometría juega un papel fundamental en la arquitectura, ya que es aplicada, para lograr espacios eficaces, belleza, armonía, simetría y relación entre los espacios. De tal modo, que muchas observaciones en la vida diaria nos conducen al concepto de líneas, curvas, superficies, sólidos, entre otros en nuestra vida diaria, donde distinguimos esos elementos, en las construcciones arquitectónicas. Por lo que, al hacer esas observaciones tampoco podemos dejar de lado que las líneas al unirse forman elementos llamados ángulos y estos se pueden clasificar según su abertura. en consecuencia, podemos decir, que la geometría la usamos, observamos y aplicamos en cada momento de la vida, a su vez, las rectas las podemos encontrar en lo que tenemos enfrente y en todas sus variedades posibles, si analizamos adecuadamente, ellas forman parte de nosotros y de nuestro entorno, están en la arquitectura, biología, química, etc.
  • 71. BIBLIOGRAFIA Qué significa rectas en matemática. https://www.superprof.es/diccionario/matematicas/geometria/rectas.html. 08-11-2020. Líneas, qué son, tipos y ejemplos. Disponible en: https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/lineas-rectas-y-lineas-curvas/. 08-11-2020. Rectas. https://www.aulafacil.com/cursos/matematicas/geometria/recta-l11124. 08-11-2020. El Punto. Capitulo 6. http://agora.pucp.edu.pe/~gabinete/dibujo/cap6-1.htm. 10-11-2020.
  • 72. Sistema de representación. Disponible en: https://ibiguridt.wordpress.com/temas/sistemas-de- representacion/. 09-11-2020. Representación Gráfica. https://sites.google.com/site/funcionlineal1/representacion-rafica. 08-11-2020. Sistema diédrico. Recta. http:// www.ucla. edu.ve/ dcivil/ departamentos/ ciencias basicas/ profesores/ . 09-11-2020. Sistema Diédrico. La recta. Disponible en: https://dibujotecni.com/sistema-diedrico/sistema-diedrico-la- recta/. 15-11-2020.