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Departamento de Mecatrónica
                  Instituto Tecnológico de Culiacán




Diseño de sistemas de control
mediante el análisis del lugar
   geométrico de las raíces
       Dr. Raúl Santiesteban Cos


                                    Culiacán, Sinaloa.
Introducción
El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientos
para el diseño y la compensación de sistemas de control de una
entrada y una salida e invariantes con el tiempo.




Especificaciones de desempeño.
Los requerimientos impuestos sobre el sistema de control se detallan
como especificaciones de desempeño. Por lo general se refieren a la
precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta.

Por lo general, las especificaciones de desempeño no deben ser
más rigurosas de lo necesario para efectuar la tarea definida.
Compensación del sistema.

Establecer la ganancia es el primer paso encaminado a ajustar el
sistema para un desempeño satisfactorio.


Como ocurre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia
mejora el comportamiento en estado estable pero produce una
estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad.



Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las
especificaciones se denomina compensador. El compensador
modifica el desempeño del sistema original.
Compensación en serie y compensación mediante
realimentación (o en paralelo).

Una alternativa a la compensación en serie es la realimentación de las
señales de algunos elementos y la colocación de un compensador en
la trayectoria de realimentación interna resultante (compensación
mediante realimentación o compensación en paralelo).

Al compensar los sistemas de control, observamos que, por lo
general, el problema termina en un diseño conveniente de un
compensador en serie o mediante realimentación.


Observe que, en general, la cantidad de componentes requerida en la
compensación mediante realimentación será menor que la cantidad
de componentes de la compensación en serie, siempre y cuando se
tenga una señal adecuada, debido a que la transferencia se da de un
nivel de potencia más alto a un nivel más bajo.
Compensación en serie.


                +-        Gc (s)           G (s)


                                   H (s)



Compensación mediante realimentación o compensación en
paralelo.

           +-        G1 ( s)          +-           G2 ( s)


                                                   Gc (s)

                                   H (s)
Un compensador que tenga la característica de una red de adelanto,
una red de atraso, o una red de atraso-adelanto se denomina
compensador de adelanto, compensador de atraso, o compensador de
atraso-adelanto, respectivamente.


Compensadores.
Los compensadores de adelanto, de atraso y de atraso-adelanto
pueden ser dispositivos electrónicos (tales como circuitos que usen
amplificadores operacionales), redes RC (eléctricas, mecánicas,
neumáticas, hidráulicas o una combinación de ellas) o amplificadores.


Procedimientos de diseño.
 Con un modelo matemático satisfactorio, el diseñador debe construir
 un prototipo y probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura la
 estabilidad absoluta en lazo abierto, el diseñador cierra el lazo y
 prueba el desempeño del sistema en lazo cerrado resultante.
Al diseñar sistemas de control mediante los métodos del lugar
geométrico de las raíces o de la respuesta en frecuencia, el resultado
final no es único, debido a que tal vez no se haya definido con
precisión la solución óptima si se incorporaron las especificaciones en
el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia.




CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE DISEÑO.

Suponemos que la planta está definida y es inalterable.


Compensadores en tiempo continuo.


Enfoque del LGR para el diseño de un sistema de control.
Efectos de la adición de polos.

La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto
tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces a la derecha,
lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y alentar
el asentamiento de la respuesta.


                     jω                                   jω




                             σ                                    σ
Efectos de la adición de ceros.

La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto
tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces hacia la
izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y se
acelera el asentamiento de la respuesta.

                   jω                                   jω




                           σ                                    σ
Efectos de la adición de ceros.


                      jω




                             σ

                                  jω




                                       σ
Compensadores de adelanto.
Esto involucra usar redes electrónicas que usan amplificadores
operacionales, redes RC eléctricas y sistemas de amortiguadores
mecánicos. En la práctica, suelen usarse compensadores que
involucran amplificadores operacionales.

                      C2


               C1                            R4

                           R2
                                        R3
                      -
               R1     +                      -
      Ei (s)                    E (s)
                                             +
                                                   Eo (s)
1
                                            s
             Ei ( s )       Ts  1          T
                       Kca          Kc
             Eo ( s )       aTs  1      s
                                             1
                                            aT


                            R4C1                              R2 R4
     T  R1C1          Kc            aT  R2C2         Kca 
                            R3C2                              R1 R3

A partir de la ecuación anterior observamos que ésta:

es una red de adelanto si   R1C1  R2C2
una red de atraso si   R1C1  R2C2
Técnicas de compensación de                            adelanto
basadas en el enfoque del LGR.


 ¿Qué podemos obtener?


El factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no
amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso
máximo, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento.



Considere un problema de diseño tal que el sistema original sea
inestable para todos los valores de ganancia o estable pero con
características inconvenientes de la respuesta transitoria.
1.   A partir de las especificaciones de desempeño, determine la
     ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado.

2.   Por medio de una gráfica del lugar geométrico de las raíces,
     compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no por sí solo
     producir los polos en lazo cerrado convenientes. Si no, calcule
     la deficiencia de ángulo Φ.

3. Suponga que el compensador de adelanto G(s)

                                       1
                                   s
                      Ts  1          T ,
     Gc ( s )  K c a          Kc              (0  a  1)
                      aTs  1      s
                                       1
                                      aT
en donde a y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Kc
se determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto.


4.  Si no se especifican las constantes de error estático, determine la
ubicación del polo y del cero del compensador de adelanto, para que
el compensador de adelanto contribuya al ángulo Φ necesario.


5.  Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a
partir de la condición de magnitud.
Observe que, si los polos dominantes en lazo cerrado
seleccionados no son realmente dominantes, será
necesario modificar la ubicación del par de polos
dominantes en lazo cerrado seleccionados. Los polos en
lazo cerrado diferentes de los dominantes modifican la
respuesta obtenida de los polos dominantes en lazo
cerrado. El grado de modificación depende de la
ubicación de los polos en lazo cerrado restantes.
Asimismo, los ceros en lazo cerrado afectan la respuesta
si se localizan cerca del origen.
Ejemplo. – Planteamiento del problema

                                4
                    G( s) 
                            s( s  2)

R(s)                  C (s)
       +-   G (s)                         jω




                                               σ
En lazo cerrado la función de transferencia esta dada por:

                                  4
                       G( s)  2
                              s  2s  4

                                     4
               G( s) 
                       ( s  1  j 3 )( s  1  j 3 )


                           s  1  j 3

El factor de amortiguamiento relativo de los polos en lazo cerrado es
0.5. La frecuencia natural no amortiguada de los polos en lazo
cerrado es 2 rad/seg. La constante de error estática de velocidad
es 2 seg^(-1).
Objetivo de control
Se pretende modificar los polos en lazo cerrado para obtener la
frecuencia natural no amortiguada ωn= 4.




Un factor de amortiguamiento relativo
de 0.5 requiere que los polos
complejos se encuentren sobre las            jω
líneas dibujadas a través del origen,
formando ángulos de ±60º con el eje
real negativo.                                         ωd
                                                  θ
                                        ωn

                                                             σ
δ=0.2
                                                    δ=0.5        jω
El factor de amortiguamiento relativo δ
determina la ubicación angular de los            δ=0.8
                                                                 δ<0
polos, en tanto que la distancia del            δ=0.9
polo al origen la determina la            δ≥1
frecuencia natural no amortiguada ωn.                             σ
                                                δ=0.9
                                                                 δ<0
                                                 δ=0.8
                                                    δ=0.5
                                                       δ=0.2

 En el ejemplo actual, las ubicaciones deseadas de los polos en lazo
 cerrado son

                           s  2  j 2 3
Encuentre la suma de los ángulos en la ubicación deseada de uno de
los polos dominantes en lazo cerrado con los polos y ceros en lazo
abierto del sistema original, y determine el ángulo necesario Φ que se
va a agregar para que la suma total de los ángulos sea igual a
±180º (2k + 1).

                                            1 
                                        s    
                 Gc ( s )G ( s )   K c    T G ( s )
                                        s
                                             1 
                                              
                                           aT 


                                        1
                                     s
                       Ts  1          T ,
      Gc ( s )  K c a          Kc                 (0  a  1)
                       aTs  1      s
                                        1
                                       aT
El paso siguiente es determinar las ubicaciones del cero y el polo del
compensador de adelanto. Existen muchas posibilidades para elegir
tales ubicaciones.


En la mayor parte de los casos, entre más grande sea la Kv, mejor
será el desempeño del sistema.




                         4
            G( s)                               210
                     s( s  2) s  2 j 2   3
Procedimiento con el propósito de obtener el valor más grande posible
para a.
                               jω




                                P

     15º


                                                         σ
       15º


       Pc=-5.4    Zc=-2.9
1                                1
      T      0.345                 aT       0.185
         2.9                              5.4

                          a  0.537

                         4( s  2.9)        K ( s  2.9)
  Gc ( s)G( s)  K c                   
                     s( s  2)(s  5.4) s( s  2)(s  5.4)


La ganancia K se calcula a partir de la condición de magnitud, del
modo siguiente:

                     K ( s  2.9)
                                                      1
                 s( s  2)( s  5.4) s 2 j 2   3
18.7( s  2.9)
              Gc ( s)G( s) 
                             s( s  2)( s  5.4)


       18.7
  Kc        4.68                    aK c  2.51
        4

En este caso, el compensador de adelanto tiene la función de
transferencia


                        0.345s  1        s  2.9
         Gc ( s)  2.51             4.68
                        0.185s  1        s  5.4
Ei ( s) R2 R4 R1C1s  1         0.345s  1
                                 2.51
        Eo ( s) R1 R3 R2C2 s  1        0.185s  1

                        10F

                10F                         46.8k
                          18.5k
                                      10k
                         -
               34.5k    +                   -
      Ei (s)                                 +
                                   E (s)                Eo (s)




en donde hemos elegido arbitrariamente C1 = C2 = 10 μF y R3 =10
kΩ.
La constante de error estático de velocidad KV se obtiene a partir de
la expresión

                                           18.7( s  2.9)
           kv  lim sGc ( s)G( s)  lim s
                s 0                s 0  s( s  2)( s  5.4)

                           kv  5.02seg 1

Observe que el tercer polo en lazo cerrado del sistema diseñado se
obtiene si se divide la ecuación característica entre los factores
conocidos, del modo siguiente:

                s(s  2)(s  5.4)  18.7(s  2.9)

                (s  2  j 2 3)(s  2  j 2 3)(s  3.4)
numc = [O 0 18.7 54.231];
denc = [ 7.4 29.5 54.231];
num = [O 0 41;
den = [ I 2 41;
t = 0:0.05:5;
[c1 , x1, t] = step(numc,denc,t);
[c2, x2, t] = step(num,den,t);
plot(t, c1, t, c1 ,'o', t, c2, t, c2, 'x');
grid on;
title('Unit-Step Responses of Compensated and
Uncompensated Systems');
xlabel('t Sec');
ylabel('0utputs cl and c2');
text(0.6,1.32,'Compensated system');
text(l.3,0.68,'Uncompensated system');
Respuestas escalón unitario                 de       los        sistemas
compensado y no compensado


                 1.4
                                       Sistema nominal
                 1.2                   Sistema compensado


                  1

                 0.8
       salidas




                 0.6

                 0.4

                 0.2

                  0
                   0   1   2       3             4          5
                           tiempo[s]
Nota
Podemos colocar el cero del compensador en s =
-2 y el polo en s = -4 . En este caso, el cero del
compensador de adelanto cancelará un polo de
la planta, produciendo un sistema de segundo
orden, en lugar del sistema de tercer orden que
hemos diseñado.
COMPENSACIÓN DE ATRASO
                                          1
                                       s
          Ei ( s )      Ts  1    
                   Kc           Kc     T
          Eo ( s)        Ts  1      s
                                          1
                                         T
                                                R2C2
       T  R1C1           T  R2C2        T       1
                                                R1C1
                            R4C1
                        Kc       1
                             R3C2

Siempre supondremos que 0 < a < 1 y que β> 1.
En este caso la compensación consiste, esencialmente, en
incrementar la ganancia en lazo cerrado sin modificar en forma
notable las características de la respuesta transitoria.

Esto quiere decir que no debe cambiarse de manera significativa el
lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos
dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementarse la
ganancia en lazo abierto en la medida en que se necesite.

Esto se consigue si se coloca un compensador de atraso en
cascada con la función de transferencia de la trayectoria directa
determinada.


Esto implica que, si la ganancia Kc del compensador de atraso se
hace igual a 1, la característica de la respuesta transitoria no se
alterará.

Un incremento en la ganancia significa un incremento en las
constantes de error estático.
1.  Dibuje la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema
no compensado, cuya función de transferencia en lazo abierto sea
G(s). Con base en las especificaciones de la respuesta transitoria,
ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico
de las raíces.

2.   Suponga que la función de transferencia del compensador de
atraso es
                                               1
                                                 s
                             Ts  1    
              Gc ( s)  K c           Kc    T
                              Ts  1      s
                                               1
                                              T

Así, la función de transferencia en lazo abierto del sistema
compensado se convierte en Gc(s)G(s).
+-        Gc (s)        G (s)




3. Calcule la constante de error estático especificada en el problema.

4.   Determine el incremento necesario en la constante de error
estático para satisfacer las especificaciones.
5.   Determine el polo y el cero del compensador de atraso que
producen el incremento necesario en la constante de error estático
determinado sin alterar apreciablemente los lugares geométricos de
las raíces originales.



6.  Dibuje una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para
el sistema no compensado. Localice los polos dominantes en lazo
cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces.



7. Ajuste la ganancia Kc del compensador a partir de la condición de
magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se
encuentren en la ubicación deseada.
Ejemplo. – Planteamiento del problema


                          1.06
            G( s) 
                    s( s  1)( s  2)


           R(s)                     C (s)
                  +-      G (s)
1.06
                      G( s) 
                                s( s  1)( s  2)

En lazo cerrado:


                                    1.06
G( s) 
        ( s  0.337  j 0.5864)(s  0.3307  j 0.5864)(s  2.3386)

                     s  0.3307  j 0.5864


 El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo
 cerrado es 0.491. La frecuencia natural no amortiguada de los polos
 dominantes en lazo cerrado es 0.673 rad/seg. La constante de error
 estático de velocidad es 0.53 seg^(-1).
Objetivo de control
Se pretende incrementar la constante de error estático de velocidad
KV a 5 seg^(-1) sin modificar notablemente la ubicación de los polos
dominantes en lazo cerrado.


                                                          jω
Para incrementar la constante     Polos en lazo cerrado
de error estático de velocidad
en un factor de alrededor de
10, seleccionamos β = 10 y
colocamos el cero y el polo
                                                               σ
del compensador de atraso
en Zc = - 0.05 y Pc = - 0.005,
respectivamente.
     s  0.05
                     Gc ( s)  K c
                                   ( s  0.005)


La contribución de ángulo de esta red de atraso cerca de un polo
dominante en lazo cerrado es de alrededor de 4º. En lazo cerrado se
tiene

                                 s  0.05        1.06
            Gc ( s)G( s)  K c
                               ( s  0.005) s( s  1)(s  2)

                                  K ( s  0.05)
                        
                          s( s  0.005)(s  1)(s  2)

                                           
                               K  1.06 K c
Esquema del sistema compensado en lazo cerrado.




                       s  0.05          1.06
    +             Kc
        -            ( s  0.005)    s(s  1)(s  2)
Gráficas del lugar geométrico de las raíces de los
sistemas compensado y no compensado
                                            Root Locus
                        2

                      1.5

                        1

                      0.5
     Imaginary Axis




                        0

                      -0.5

                       -1

                      -1.5

                       -2
                        -2.5   -2   -1.5   -1      -0.5   0   0.5   1
                                            Real Axis
Root Locus
                 0.5

                 0.4

                 0.3

                 0.2

                 0.1
Imaginary Axis




                   0

                 -0.1

                 -0.2

                 -0.3

                 -0.4

                 -0.5
                    -0.5       0        0.5
                           Real Axis
La ganancia en lazo abierto K es


         s( s  0.005)( s  1)(s  2)
      K                                                 1.0235
                   s  0.05           s  0.31 j 0.55



                           K
                      Kc        0.9656
                           1.06


La función de transferencia del compensador de atraso diseñado es

                                      s  0.05
                  Gc ( s)  0.9656
                                   ( s  0.005)
El sistema compensado tiene la siguiente función de transferencia en
lazo abierto:

                               1.0235( s  0.05)
                G1 ( s) 
                          s( s  0.005)( s  1)(s  2)


                              5.12(20s  1)
                       
                         s(200s  1)( s  1)(0.5s  1)


 La constante de error estático de velocidad KV es


                    K v  lim sG1 ( s)  5.12seg 1
                           s 0
Nota
Observe que, dado que el polo y el cero del compensador de atraso
están muy cerca uno del otro, así como muy cerca del origen, su
efecto sobre la forma de los lugares geométricos de las raíces
originales es pequeño.




                         1.0235s  0.0512
    G1 ( s)  4
             s  3.005s 3  2.015s 2  1.0335s  0.0512



               s3  2.326       s4  0.0549
La respuesta rampa unitaria


 Sistema nominal

                   G( s)             1.06
                         
                   sR( s) s( s 3  3s 2  2s  1.06)


Sistema compensado

   G( s)                  1.0235s  0.0512
         
   sR( s) s( s 4  3.005s 3  2.015s 2  1.0335s  0.0512)
Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado
y no compensado.

               25
                                    Sistema nominal
                                    Sistema compensado
               20


               15
     salidas




               10


                5


                0
                 0   5   10         15      20           25
                           tiempo[s]
Respuestas escalón unitario de los sistemas
compensado y no compensado.

            1.4
                                   Sistema nominal
            1.2                    Sistema compensado

             1
  salidas




            0.8

            0.6

            0.4

            0.2

             0
              0   5   10       15          20           25
                       tiempo[s]
COMPENSACIÓN DE ATRASO-ADELANTO


 La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e
 incrementa la estabilidad del sistema. La compensación de atraso
 mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la
 velocidad de la respuesta.



 La compensación de atraso-adelanto combina las ventajas de las
 compensaciones de atraso y de adelanto. Dado que el
 compensador de atraso-adelanto posee dos polos y dos ceros, tal
 compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que
 ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema
 compensado.
Compensador electrónico de atraso-adelanto usando
amplificadores operacionales.


                           C2    R2

                      C1                           R6
            R1
                                R4            R5
                            -
                 R3         +                      -
   Ei (s)                             E (s)
                                                   +
                                                        Eo (s)
Ei ( s) R4 R6  ( R1  R3 )C1s  1   R2C2 s  1 
                                                  
Eo ( s) R3 R5       R1C1s  1   ( R2  R4 )C2 s  1




                   T  ( R1  R3 )C1



  T1
        R1C1 ,   T2  R2C2 ,       T2  ( R2  R4 )C2
  
                                     1    1
                                                  s   s  
                                                   
                 T1s  1  T2 s  1                 T1 
                                                             T2 
                                                                  
Gc ( s )  K C               
                              T s  1   K C
                                        
                 T1 s  1  2                           1 
                                                s   s 
                                                                
                                                     T1   T2 
                                                                   



             R1  R3                 R2  R4
                    1,                   1,
                R1                     R2
                         R2 R4 R6    R1  R3 
                    KC             
                                    R R    
                         R1 R3 R5    2     4 
Consideraciones

    Suponga que Kc pertenece a la parte de adelanto del
    compensador de atraso-adelanto.

    Al diseñar los compensadores     de   atraso-adelanto,
    consideramos dos casos:




                   I.      ,

                   II.    
I. γ≠ β

1.  A partir de las especificaciones de desempeño proporcionadas,
determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo
cerrado.
2.  Use la función de transferencia en lazo abierto no compensado
G(s), para determinar la deficiencia de ángulo Φ si los polos
dominantes en lazo cerrado estarán en la posición deseada. La parte
de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto debe
contribuir a este ángulo Φ.
3. Suponiendo que después selecciona un T2 suficientemente grande
para que la magnitud de la parte de atraso
                                 1
                              s
                                 T2
                                 1
                             s
                                 T2
se acerque a la unidad, de modo que s = s1 es uno de los polos
dominantes en lazo cerrado, elija los valores de T1 y γ a partir del
requerimiento de que
                                1       
                             s         
                                        
                                 T1
                                       
                             sT        
                                 1      


A continuación determine el valor de K, a partir de la condición de
magnitud:

                                 1
                            s
                                 T1
                       Kc             G ( s1 )  1
                                 
                            s
                                 T1
4. Si se especifica la constante de error estático de velocidad KV,
determine el valor de β que satisfaga el requerimiento para KV. La
constante de error estático de velocidad KV se obtiene mediante




                                               1    1
                                           s   s  
                                               T1  T2 
     K v  lim sGc ( s )G ( s )  lim sKc              G( s)
           s 0                   s 0             1 
                                          s   s 
                                                       
                                              T1   T2 
                                                          



                                    
                       K v  lim sKc G( s)
                             s 0   
en donde Kc y γ se determinaron en el paso 3. Por tanto, dado el valor
de KV, el valor de β se determina a partir de esta última ecuación.
Después, usando el valor de β determinado de este modo, seleccione
un valor de T2 tal que



             1                                  1
          s                                 s
             T2                                 T2
                1                  5           0
             1                                  1
         s                                 s
            T2                                T2
II. γ= β
1.  A partir de las especificaciones de desempeño proporcionadas,
determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo
cerrado.

2. El compensador de atraso-adelanto obtenido anteriormente se
modifica a
                                                1    1
                                            s   s  
                                           
                  (T1s  1)(T2 s  1)            T1  T2 
 Gc ( s )  K C                        KC             
                 T1                               1 
                 s  1( T2 s  1)
                                        s   s 
                                                        
                                             T1   T2 
                                                           


en donde β > 1. La función de transferencia en lazo abierto del
sistema compensado es GC(s)G(s).
Si se especifica la constante de error estático de velocidad KV,
determine el valor de la constante Kc a partir de la ecuación siguiente:


                           
              K v  lim sKc G( s)  lim sKcG( s)
                    s 0           s 0



 3.  Para tener los polos dominantes en lazo cerrado en la ubicación
 deseada, calcule la contribución requerida del ángulo Φ de la parte
 de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto.
 4.   Para el compensador de atraso-adelanto, seleccione una T2
 suficientemente grande, a fin de que
                                               1
                                            s
                                               T2
                                                  1
                                               1
                                           s
                                              T2
de modo que s = s1 sea uno de los polos dominantes en lazo cerrado.
Determine los valores de T1 y β a partir de las condiciones de magnitud
y de ángulo:

                   1                                  1
                s                                 s
                   T1                                 T1
           Kc             G ( s1 )  1                      
                                                       
                s                                 s
                     T1                                 T1

5. Usando el valor de β recién determinado, seleccione T2 de modo
que

                 1                                     1
              s                                    s
                 T2                                    T2
                    1                     5           0
                 1                                     1
             s                                    s
                T2                                   T2
Ejemplo. – Caso I γ≠β, Planteamiento del
problema
                              4
                 G( s) 
                         s( s  0.5)



                 s  0.25  j1.9843



          R(s)                         C (s)
                  +-       G (s)
El factor de amortiguamiento relativo es 0.125, la frecuencia natural
no amortiguada es de 2 rad/seg y la constante de error estático de
velocidad es de 8 seg^(-1).




Objetivo de control


Se desea que el factor de amortiguamiento relativo de los polos
dominantes en lazo cerrado sea igual a 0.5, así como aumentar la
frecuencia natural no amortiguada a 5 rad/seg y la constante de error
estático de velocidad a 80 seg^(-1). Diseñe un compensador apropiado
para cumplir todas las especificaciones de desempeño.
     1    1
                              s   s  
                                  T1  T2 
             Gc ( s )  K C              
                                      1 
                             s   s 
                                          
                                 T1   T2 
                                             

                          1,       1
El sistema compensado tendrá la función de transferencia


                                   1    1
                               s   s  
                                   T1  T2 
        Gc ( s )G ( s )  K C              G(s)
                                       1 
                              s   s 
                                           
                                  T1   T2 
                                              
los polos dominantes en lazo cerrado deben estar en


                          s  2.5  j 4.33



                          4
                                                 235
                     s( s  0.5) s 2.5 j 4.33


la parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto
debe contribuir con 55º para que el lugar geométrico de las raíces
pase por la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo
cerrada.
Elegiremos el cero en Zc = - 0.5, para que cancele el polo en p = -
0.5 de la planta. Una vez elegido el cero, el polo se ubica de modo
que la contribución de ángulo sea 55º. Mediante un cálculo simple o
el análisis gráfico, el polo debe ubicarse en Pc = -5.021.



                              1
                         s
                              T1  s  0.05
                   Kc        Kc
                                s  5.021
                      s
                         T1


                                  5.021
               T1  2,                 10.04
                                   0.5
A continuación determinamos el valor de Kc a partir de la condición
de magnitud:

                     s  0.5       4
                 Kc                                       1
                    s  5.021 s( s  0.5) s 2.5 j 4.33

                        s( s  5.021)
                 Kc                                    6.26
                               4      s  2.5 j 4.33


 La parte de atraso de fase del compensador se disefía del modo
 siguiente: primero se determina el valor de β que satisfaga el
 requerimiento sobre la constante de error estático de velocidad:

                                           4
K v  lim sKc G( s)  lim s(6.26)                    4.988  80
      s 0           s 0        10.04 s( s  0.5)

                                   16.04
Por último, se elige un valor de T2 suficientemente grande para que




      1
  s                                                      s
                                                              1
      T2                                                      T2
                                 1             5               0
      1                                                       1
s                                                      s
   16.04T2                                                 16.04T2
              s  2.5 j 4.33




                                      T2  5
Ahora la función de transferencia del compensador de atraso-
adelanto diseñado se obtiene mediante


                                  1     1
                               s   s  
        Gc ( s )  6.26           2     5
                            10.04         1     
                        s         s 
                                                  
                               2       16.04(5) 
                                                   

El sistema compensado queda como

                             25.04( s  0.2)
         Gc ( s)G( s) 
                        ss  5.02s  0.01247 
Gráfica del lugar geométrico de las raíces del sistema
compensado.
                                             Root Locus
                      1.5


                        1


                      0.5
     Imaginary Axis




                        0


                      -0.5


                       -1


                      -1.5
                         -6   -5   -4   -3               -2   -1   0   1
                                             Real Axis
Root Locus
                 0.5

                 0.4

                 0.3

                 0.2

                 0.1
Imaginary Axis




                   0

                 -0.1

                 -0.2

                 -0.3

                 -0.4

                 -0.5
                    -1   -0.5                0   0.5
                                Real Axis
Respuestas escalón unitario de los sistemas compensado y
no compensado.

                1.8
                                                  Sistema nominal
                1.6                               Sistema compensado

                1.4

                1.2
      salidas




                 1

                0.8

                0.6

                0.4

                0.2

                 0
                      0   2   4               6          8             10
                                  tiempo[s]
Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y
no compensado.
                       10
                                                        Sistema nominal
                        9                               Sistema compensado

                        8

                        7

                        6
             salidas




                        5

                        4

                        3

                        2

                        1

                        0
                            0   2   4               6          8             10
                                        tiempo[s]

 El error de estable estable del sistema no compensado es de 0.125,
 mientras que el error de estado estable del sistema compensado es
 de 0.0125.
Notas

Debido a que la contribución de ángulo de la parte de atraso de fase
del compensador de atraso-adelanto es muy pequeña, sólo hay un
cambio pequeño en la ubicación de los polos dominantes en lazo
cerrado a partir de la ubicación deseada, s = -2.5 + j4.33.


El tercer polo en lazo cerrado del sistema compensado se ubica en s
= - 0.2078. Dado que este polo está muy cerca del cero en s = - 0.2,
el efecto de este polo sobre la respuesta es pequeño.


En general, si un polo y un cero están cercanos entre sí sobre el eje
real negativo cerca del origen, su combinación producirá una larga
cola de amplitud pequeña en la respuesta transitoria.
Ejemplo. – Caso II γ=β, Planteamiento del
problema
                              4
                 G( s) 
                         s( s  0.5)



                 s  0.25  j1.9843



          R(s)                         C (s)
                  +-       G (s)
Objetivo de control


Se desea que el factor de amortiguamiento relativo de los polos
dominantes en lazo cerrado sea igual a 0.5, así como aumentar la
frecuencia natural no amortiguada a 5 rad/seg y la constante de error
estático de velocidad a 80 seg^(-1). Diseñe un compensador apropiado
para cumplir todas las especificaciones de desempeño.
     1    1
                              s   s  
                                  T1  T2 
             Gc ( s )  K C              
                                      1 
                             s   s 
                                          
                                 T1   T2 
                                             

                               1
El sistema compensado tendrá la función de transferencia


                                1    1
                            s   s  
                                T1  T2 
     Gc ( s )G ( s )  K C                    4
                                    1  s ( s  0.5)
                           s   s 
                                        
                               T1   T2 
                                           
Dado que el requerimiento sobre la constante de error estático de
velocidad KV es de 80 seg^(-1) tenemos que



                                             4
          K v  lim sGc ( s)G( s)  lim sKc      8K c  80
                s 0                s 0    0.5

                                 K c  10

La constante de tiempo T1 y el valor de β se determinan a partir de


                   1                              1
              s                             s
                   T1   4                         T1   8
                                                          1
                  s( s  0.5) s 2.5 j 4.33       4.77
              s                                 s
                 T1                                 T1
1
                         s
                            T1
                                                      55
                              
                         s
                              T1   s  2.5 j 4.33




Mediante la siguiente figura, el siguiente paso es localizar los puntos
A y B tales que


                                                 PA 4.77
                  APB  55,                       
                                                 PB   8
P     jω


   55º


                                           O    σ
               B                A




Usando un enfoque gráfico o un enfoque trigonométrico.


                   AO  2.38,       BO  8.34
1
           T1        0.420,        8.34T1  3.503
                2.38


Por tanto, la parte de adelanto de fase de la red de atraso-adelanto
se convierte en


                    GCA ( s)  10
                                  s  2.38
                                  s  8.34
Para la parte de atraso de fase, seleccionamos

                           1       1
            T2  10,                      0.0285
                          T2 (3.503)(10)
Por tanto, el compensador de atraso-adelanto se convierte en



            GC ( s)  10
                         s  2.38 s  0.1
                         s  8.34 s  0.0285

El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo
abierto



                           40s  2.38s  0.1
      GC ( s)G( s) 
                     ss  8.34s  0.0285( s  0.5)
Respuestas escalón unitario de los sistemas compensado y
no compensado.

                1.8
                                          Sistema nominal
                1.6                       Sistema compensado
                1.4

                1.2
      salidas




                 1

                0.8

                0.6

                0.4

                0.2

                 0
                  0   2   4               6        8           10
                              tiempo[s]
Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y
no compensado.

                 10
                                           Sistema nominal
                                           Sistema compensado
                  8


                  6
       salidas




                  4


                  2


                  0
                   0   2   4               6        8           10
                               tiempo[s]
Notas:

En este caso no ocurre una cancelación y el sistema compensado es
de cuarto orden. Debido a que la contribución de ángulo de la parte
de atraso de fase de la red de atraso-adelanto es muy pequeña, los
polos dominantes en lazo cerrado se ubican muy cerca de la posición
deseada.



El polo en lazo cerrado restante (s = - 3.8604) no cancela realmente
el polo en s = -2.4. El efecto de este cero es provocar un mayor
sobrepaso en la respuesta escalón que el de un sistema similar sin
dicho cero.

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Lugar geometrico de las raices

  • 1. Departamento de Mecatrónica Instituto Tecnológico de Culiacán Diseño de sistemas de control mediante el análisis del lugar geométrico de las raíces Dr. Raúl Santiesteban Cos Culiacán, Sinaloa.
  • 2. Introducción El objetivo principal de este capítulo es presentar los procedimientos para el diseño y la compensación de sistemas de control de una entrada y una salida e invariantes con el tiempo. Especificaciones de desempeño. Los requerimientos impuestos sobre el sistema de control se detallan como especificaciones de desempeño. Por lo general se refieren a la precisión, la estabilidad relativa y la velocidad de respuesta. Por lo general, las especificaciones de desempeño no deben ser más rigurosas de lo necesario para efectuar la tarea definida.
  • 3. Compensación del sistema. Establecer la ganancia es el primer paso encaminado a ajustar el sistema para un desempeño satisfactorio. Como ocurre con frecuencia, incrementar el valor de la ganancia mejora el comportamiento en estado estable pero produce una estabilidad deficiente o, incluso, inestabilidad. Un elemento insertado en el sistema para satisfacer las especificaciones se denomina compensador. El compensador modifica el desempeño del sistema original.
  • 4. Compensación en serie y compensación mediante realimentación (o en paralelo). Una alternativa a la compensación en serie es la realimentación de las señales de algunos elementos y la colocación de un compensador en la trayectoria de realimentación interna resultante (compensación mediante realimentación o compensación en paralelo). Al compensar los sistemas de control, observamos que, por lo general, el problema termina en un diseño conveniente de un compensador en serie o mediante realimentación. Observe que, en general, la cantidad de componentes requerida en la compensación mediante realimentación será menor que la cantidad de componentes de la compensación en serie, siempre y cuando se tenga una señal adecuada, debido a que la transferencia se da de un nivel de potencia más alto a un nivel más bajo.
  • 5. Compensación en serie. +- Gc (s) G (s) H (s) Compensación mediante realimentación o compensación en paralelo. +- G1 ( s) +- G2 ( s) Gc (s) H (s)
  • 6. Un compensador que tenga la característica de una red de adelanto, una red de atraso, o una red de atraso-adelanto se denomina compensador de adelanto, compensador de atraso, o compensador de atraso-adelanto, respectivamente. Compensadores. Los compensadores de adelanto, de atraso y de atraso-adelanto pueden ser dispositivos electrónicos (tales como circuitos que usen amplificadores operacionales), redes RC (eléctricas, mecánicas, neumáticas, hidráulicas o una combinación de ellas) o amplificadores. Procedimientos de diseño. Con un modelo matemático satisfactorio, el diseñador debe construir un prototipo y probar el sistema en lazo abierto. Si se asegura la estabilidad absoluta en lazo abierto, el diseñador cierra el lazo y prueba el desempeño del sistema en lazo cerrado resultante.
  • 7. Al diseñar sistemas de control mediante los métodos del lugar geométrico de las raíces o de la respuesta en frecuencia, el resultado final no es único, debido a que tal vez no se haya definido con precisión la solución óptima si se incorporaron las especificaciones en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. CONSIDERACIONES PRELIMINARES DE DISEÑO. Suponemos que la planta está definida y es inalterable. Compensadores en tiempo continuo. Enfoque del LGR para el diseño de un sistema de control.
  • 8. Efectos de la adición de polos. La adición de un polo a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual tiende a disminuir la estabilidad relativa del sistema y alentar el asentamiento de la respuesta. jω jω σ σ
  • 9. Efectos de la adición de ceros. La adición de un cero a la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de jalar el lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, con lo cual el sistema tiende a ser más estable, y se acelera el asentamiento de la respuesta. jω jω σ σ
  • 10. Efectos de la adición de ceros. jω σ jω σ
  • 11. Compensadores de adelanto. Esto involucra usar redes electrónicas que usan amplificadores operacionales, redes RC eléctricas y sistemas de amortiguadores mecánicos. En la práctica, suelen usarse compensadores que involucran amplificadores operacionales. C2 C1 R4 R2 R3 - R1 + - Ei (s) E (s) + Eo (s)
  • 12. 1 s Ei ( s ) Ts  1 T  Kca  Kc Eo ( s ) aTs  1 s 1 aT R4C1 R2 R4 T  R1C1 Kc  aT  R2C2 Kca  R3C2 R1 R3 A partir de la ecuación anterior observamos que ésta: es una red de adelanto si R1C1  R2C2 una red de atraso si R1C1  R2C2
  • 13. Técnicas de compensación de adelanto basadas en el enfoque del LGR. ¿Qué podemos obtener? El factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado, el sobrepaso máximo, el tiempo de levantamiento y el tiempo de asentamiento. Considere un problema de diseño tal que el sistema original sea inestable para todos los valores de ganancia o estable pero con características inconvenientes de la respuesta transitoria.
  • 14. 1. A partir de las especificaciones de desempeño, determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. 2. Por medio de una gráfica del lugar geométrico de las raíces, compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no por sí solo producir los polos en lazo cerrado convenientes. Si no, calcule la deficiencia de ángulo Φ. 3. Suponga que el compensador de adelanto G(s) 1 s Ts  1 T , Gc ( s )  K c a  Kc (0  a  1) aTs  1 s 1 aT
  • 15. en donde a y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Kc se determina a partir del requerimiento de la ganancia en lazo abierto. 4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la ubicación del polo y del cero del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya al ángulo Φ necesario. 5. Determine la ganancia en lazo abierto del sistema compensado a partir de la condición de magnitud.
  • 16. Observe que, si los polos dominantes en lazo cerrado seleccionados no son realmente dominantes, será necesario modificar la ubicación del par de polos dominantes en lazo cerrado seleccionados. Los polos en lazo cerrado diferentes de los dominantes modifican la respuesta obtenida de los polos dominantes en lazo cerrado. El grado de modificación depende de la ubicación de los polos en lazo cerrado restantes. Asimismo, los ceros en lazo cerrado afectan la respuesta si se localizan cerca del origen.
  • 17. Ejemplo. – Planteamiento del problema 4 G( s)  s( s  2) R(s) C (s) +- G (s) jω σ
  • 18. En lazo cerrado la función de transferencia esta dada por: 4 G( s)  2 s  2s  4 4 G( s)  ( s  1  j 3 )( s  1  j 3 ) s  1  j 3 El factor de amortiguamiento relativo de los polos en lazo cerrado es 0.5. La frecuencia natural no amortiguada de los polos en lazo cerrado es 2 rad/seg. La constante de error estática de velocidad es 2 seg^(-1).
  • 19. Objetivo de control Se pretende modificar los polos en lazo cerrado para obtener la frecuencia natural no amortiguada ωn= 4. Un factor de amortiguamiento relativo de 0.5 requiere que los polos complejos se encuentren sobre las jω líneas dibujadas a través del origen, formando ángulos de ±60º con el eje real negativo. ωd θ ωn σ
  • 20. δ=0.2 δ=0.5 jω El factor de amortiguamiento relativo δ determina la ubicación angular de los δ=0.8 δ<0 polos, en tanto que la distancia del δ=0.9 polo al origen la determina la δ≥1 frecuencia natural no amortiguada ωn. σ δ=0.9 δ<0 δ=0.8 δ=0.5 δ=0.2 En el ejemplo actual, las ubicaciones deseadas de los polos en lazo cerrado son s  2  j 2 3
  • 21. Encuentre la suma de los ángulos en la ubicación deseada de uno de los polos dominantes en lazo cerrado con los polos y ceros en lazo abierto del sistema original, y determine el ángulo necesario Φ que se va a agregar para que la suma total de los ángulos sea igual a ±180º (2k + 1).  1   s  Gc ( s )G ( s )   K c T G ( s )  s 1     aT  1 s Ts  1 T , Gc ( s )  K c a  Kc (0  a  1) aTs  1 s 1 aT
  • 22. El paso siguiente es determinar las ubicaciones del cero y el polo del compensador de adelanto. Existen muchas posibilidades para elegir tales ubicaciones. En la mayor parte de los casos, entre más grande sea la Kv, mejor será el desempeño del sistema. 4 G( s)   210 s( s  2) s  2 j 2 3
  • 23. Procedimiento con el propósito de obtener el valor más grande posible para a. jω P 15º σ 15º Pc=-5.4 Zc=-2.9
  • 24. 1 1 T  0.345 aT   0.185 2.9 5.4 a  0.537 4( s  2.9) K ( s  2.9) Gc ( s)G( s)  K c  s( s  2)(s  5.4) s( s  2)(s  5.4) La ganancia K se calcula a partir de la condición de magnitud, del modo siguiente: K ( s  2.9) 1 s( s  2)( s  5.4) s 2 j 2 3
  • 25. 18.7( s  2.9) Gc ( s)G( s)  s( s  2)( s  5.4) 18.7 Kc   4.68 aK c  2.51 4 En este caso, el compensador de adelanto tiene la función de transferencia 0.345s  1 s  2.9 Gc ( s)  2.51  4.68 0.185s  1 s  5.4
  • 26. Ei ( s) R2 R4 R1C1s  1 0.345s  1   2.51 Eo ( s) R1 R3 R2C2 s  1 0.185s  1 10F 10F 46.8k 18.5k 10k - 34.5k + - Ei (s) + E (s) Eo (s) en donde hemos elegido arbitrariamente C1 = C2 = 10 μF y R3 =10 kΩ.
  • 27. La constante de error estático de velocidad KV se obtiene a partir de la expresión 18.7( s  2.9) kv  lim sGc ( s)G( s)  lim s s 0 s 0 s( s  2)( s  5.4) kv  5.02seg 1 Observe que el tercer polo en lazo cerrado del sistema diseñado se obtiene si se divide la ecuación característica entre los factores conocidos, del modo siguiente: s(s  2)(s  5.4)  18.7(s  2.9)  (s  2  j 2 3)(s  2  j 2 3)(s  3.4)
  • 28. numc = [O 0 18.7 54.231]; denc = [ 7.4 29.5 54.231]; num = [O 0 41; den = [ I 2 41; t = 0:0.05:5; [c1 , x1, t] = step(numc,denc,t); [c2, x2, t] = step(num,den,t); plot(t, c1, t, c1 ,'o', t, c2, t, c2, 'x'); grid on; title('Unit-Step Responses of Compensated and Uncompensated Systems'); xlabel('t Sec'); ylabel('0utputs cl and c2'); text(0.6,1.32,'Compensated system'); text(l.3,0.68,'Uncompensated system');
  • 29. Respuestas escalón unitario de los sistemas compensado y no compensado 1.4 Sistema nominal 1.2 Sistema compensado 1 0.8 salidas 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 tiempo[s]
  • 30. Nota Podemos colocar el cero del compensador en s = -2 y el polo en s = -4 . En este caso, el cero del compensador de adelanto cancelará un polo de la planta, produciendo un sistema de segundo orden, en lugar del sistema de tercer orden que hemos diseñado.
  • 31. COMPENSACIÓN DE ATRASO 1 s Ei ( s )  Ts  1   Kc   Kc T Eo ( s) Ts  1 s 1 T R2C2 T  R1C1 T  R2C2 T  1 R1C1  R4C1 Kc  1 R3C2 Siempre supondremos que 0 < a < 1 y que β> 1.
  • 32. En este caso la compensación consiste, esencialmente, en incrementar la ganancia en lazo cerrado sin modificar en forma notable las características de la respuesta transitoria. Esto quiere decir que no debe cambiarse de manera significativa el lugar geométrico de las raíces en la vecindad de los polos dominantes en lazo cerrado, sino que debe incrementarse la ganancia en lazo abierto en la medida en que se necesite. Esto se consigue si se coloca un compensador de atraso en cascada con la función de transferencia de la trayectoria directa determinada. Esto implica que, si la ganancia Kc del compensador de atraso se hace igual a 1, la característica de la respuesta transitoria no se alterará. Un incremento en la ganancia significa un incremento en las constantes de error estático.
  • 33. 1. Dibuje la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado, cuya función de transferencia en lazo abierto sea G(s). Con base en las especificaciones de la respuesta transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de las raíces. 2. Suponga que la función de transferencia del compensador de atraso es 1 s  Ts  1  Gc ( s)  K c   Kc T Ts  1 s 1 T Así, la función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado se convierte en Gc(s)G(s).
  • 34. +- Gc (s) G (s) 3. Calcule la constante de error estático especificada en el problema. 4. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones.
  • 35. 5. Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario en la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente los lugares geométricos de las raíces originales. 6. Dibuje una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado. Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces. 7. Ajuste la ganancia Kc del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de que los polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.
  • 36. Ejemplo. – Planteamiento del problema 1.06 G( s)  s( s  1)( s  2) R(s) C (s) +- G (s)
  • 37. 1.06 G( s)  s( s  1)( s  2) En lazo cerrado: 1.06 G( s)  ( s  0.337  j 0.5864)(s  0.3307  j 0.5864)(s  2.3386) s  0.3307  j 0.5864 El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado es 0.491. La frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado es 0.673 rad/seg. La constante de error estático de velocidad es 0.53 seg^(-1).
  • 38. Objetivo de control Se pretende incrementar la constante de error estático de velocidad KV a 5 seg^(-1) sin modificar notablemente la ubicación de los polos dominantes en lazo cerrado. jω Para incrementar la constante Polos en lazo cerrado de error estático de velocidad en un factor de alrededor de 10, seleccionamos β = 10 y colocamos el cero y el polo σ del compensador de atraso en Zc = - 0.05 y Pc = - 0.005, respectivamente.
  • 39. s  0.05 Gc ( s)  K c ( s  0.005) La contribución de ángulo de esta red de atraso cerca de un polo dominante en lazo cerrado es de alrededor de 4º. En lazo cerrado se tiene  s  0.05 1.06 Gc ( s)G( s)  K c ( s  0.005) s( s  1)(s  2) K ( s  0.05)  s( s  0.005)(s  1)(s  2)  K  1.06 K c
  • 40. Esquema del sistema compensado en lazo cerrado.  s  0.05 1.06 + Kc - ( s  0.005) s(s  1)(s  2)
  • 41. Gráficas del lugar geométrico de las raíces de los sistemas compensado y no compensado Root Locus 2 1.5 1 0.5 Imaginary Axis 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Axis
  • 42. Root Locus 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Imaginary Axis 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.5 0 0.5 Real Axis
  • 43. La ganancia en lazo abierto K es s( s  0.005)( s  1)(s  2) K  1.0235 s  0.05 s  0.31 j 0.55  K Kc   0.9656 1.06 La función de transferencia del compensador de atraso diseñado es s  0.05 Gc ( s)  0.9656 ( s  0.005)
  • 44. El sistema compensado tiene la siguiente función de transferencia en lazo abierto: 1.0235( s  0.05) G1 ( s)  s( s  0.005)( s  1)(s  2) 5.12(20s  1)  s(200s  1)( s  1)(0.5s  1) La constante de error estático de velocidad KV es K v  lim sG1 ( s)  5.12seg 1 s 0
  • 45. Nota Observe que, dado que el polo y el cero del compensador de atraso están muy cerca uno del otro, así como muy cerca del origen, su efecto sobre la forma de los lugares geométricos de las raíces originales es pequeño. 1.0235s  0.0512 G1 ( s)  4 s  3.005s 3  2.015s 2  1.0335s  0.0512 s3  2.326 s4  0.0549
  • 46. La respuesta rampa unitaria Sistema nominal G( s) 1.06  sR( s) s( s 3  3s 2  2s  1.06) Sistema compensado G( s) 1.0235s  0.0512  sR( s) s( s 4  3.005s 3  2.015s 2  1.0335s  0.0512)
  • 47. Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado. 25 Sistema nominal Sistema compensado 20 15 salidas 10 5 0 0 5 10 15 20 25 tiempo[s]
  • 48. Respuestas escalón unitario de los sistemas compensado y no compensado. 1.4 Sistema nominal 1.2 Sistema compensado 1 salidas 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 5 10 15 20 25 tiempo[s]
  • 49. COMPENSACIÓN DE ATRASO-ADELANTO La compensación de adelanto básicamente acelera la respuesta e incrementa la estabilidad del sistema. La compensación de atraso mejora la precisión en estado estable del sistema, pero reduce la velocidad de la respuesta. La compensación de atraso-adelanto combina las ventajas de las compensaciones de atraso y de adelanto. Dado que el compensador de atraso-adelanto posee dos polos y dos ceros, tal compensación aumenta en dos el orden del sistema, a menos que ocurra una cancelación de polos y ceros en el sistema compensado.
  • 50. Compensador electrónico de atraso-adelanto usando amplificadores operacionales. C2 R2 C1 R6 R1 R4 R5 - R3 + - Ei (s) E (s) + Eo (s)
  • 51. Ei ( s) R4 R6  ( R1  R3 )C1s  1  R2C2 s  1      Eo ( s) R3 R5  R1C1s  1   ( R2  R4 )C2 s  1 T  ( R1  R3 )C1 T1  R1C1 , T2  R2C2 , T2  ( R2  R4 )C2 
  • 52.   1  1    s   s      T1s  1  T2 s  1   T1   T2   Gc ( s )  K C   T s  1   K C    T1 s  1  2     1     s   s        T1  T2   R1  R3 R2  R4    1,   1, R1 R2 R2 R4 R6  R1  R3  KC   R R   R1 R3 R5  2 4 
  • 53. Consideraciones Suponga que Kc pertenece a la parte de adelanto del compensador de atraso-adelanto. Al diseñar los compensadores de atraso-adelanto, consideramos dos casos: I.   , II.  
  • 54. I. γ≠ β 1. A partir de las especificaciones de desempeño proporcionadas, determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. 2. Use la función de transferencia en lazo abierto no compensado G(s), para determinar la deficiencia de ángulo Φ si los polos dominantes en lazo cerrado estarán en la posición deseada. La parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto debe contribuir a este ángulo Φ. 3. Suponiendo que después selecciona un T2 suficientemente grande para que la magnitud de la parte de atraso 1 s T2 1 s  T2
  • 55. se acerque a la unidad, de modo que s = s1 es uno de los polos dominantes en lazo cerrado, elija los valores de T1 y γ a partir del requerimiento de que  1  s     T1    sT   1  A continuación determine el valor de K, a partir de la condición de magnitud: 1 s T1 Kc G ( s1 )  1  s T1
  • 56. 4. Si se especifica la constante de error estático de velocidad KV, determine el valor de β que satisfaga el requerimiento para KV. La constante de error estático de velocidad KV se obtiene mediante  1  1  s   s    T1  T2  K v  lim sGc ( s )G ( s )  lim sKc    G( s) s 0 s 0    1   s   s      T1  T2    K v  lim sKc G( s) s 0 
  • 57. en donde Kc y γ se determinaron en el paso 3. Por tanto, dado el valor de KV, el valor de β se determina a partir de esta última ecuación. Después, usando el valor de β determinado de este modo, seleccione un valor de T2 tal que 1 1 s s T2 T2 1  5    0 1 1 s s T2 T2
  • 58. II. γ= β 1. A partir de las especificaciones de desempeño proporcionadas, determine la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. 2. El compensador de atraso-adelanto obtenido anteriormente se modifica a  1  1  s   s    (T1s  1)(T2 s  1) T1  T2  Gc ( s )  K C  KC     T1     1   s  1( T2 s  1)    s   s        T1  T2   en donde β > 1. La función de transferencia en lazo abierto del sistema compensado es GC(s)G(s).
  • 59. Si se especifica la constante de error estático de velocidad KV, determine el valor de la constante Kc a partir de la ecuación siguiente:  K v  lim sKc G( s)  lim sKcG( s) s 0  s 0 3. Para tener los polos dominantes en lazo cerrado en la ubicación deseada, calcule la contribución requerida del ángulo Φ de la parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto. 4. Para el compensador de atraso-adelanto, seleccione una T2 suficientemente grande, a fin de que 1 s T2 1 1 s T2
  • 60. de modo que s = s1 sea uno de los polos dominantes en lazo cerrado. Determine los valores de T1 y β a partir de las condiciones de magnitud y de ángulo: 1 1 s s T1 T1 Kc G ( s1 )  1     s s T1 T1 5. Usando el valor de β recién determinado, seleccione T2 de modo que 1 1 s s T2 T2 1  5    0 1 1 s s T2 T2
  • 61. Ejemplo. – Caso I γ≠β, Planteamiento del problema 4 G( s)  s( s  0.5) s  0.25  j1.9843 R(s) C (s) +- G (s)
  • 62. El factor de amortiguamiento relativo es 0.125, la frecuencia natural no amortiguada es de 2 rad/seg y la constante de error estático de velocidad es de 8 seg^(-1). Objetivo de control Se desea que el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado sea igual a 0.5, así como aumentar la frecuencia natural no amortiguada a 5 rad/seg y la constante de error estático de velocidad a 80 seg^(-1). Diseñe un compensador apropiado para cumplir todas las especificaciones de desempeño.
  • 63. 1  1  s   s    T1  T2  Gc ( s )  K C       1   s   s      T1  T2     1,  1 El sistema compensado tendrá la función de transferencia  1  1  s   s    T1  T2  Gc ( s )G ( s )  K C    G(s)    1   s   s      T1  T2  
  • 64. los polos dominantes en lazo cerrado deben estar en s  2.5  j 4.33 4   235 s( s  0.5) s 2.5 j 4.33 la parte de adelanto de fase del compensador de atraso-adelanto debe contribuir con 55º para que el lugar geométrico de las raíces pase por la ubicación deseada de los polos dominantes en lazo cerrada.
  • 65. Elegiremos el cero en Zc = - 0.5, para que cancele el polo en p = - 0.5 de la planta. Una vez elegido el cero, el polo se ubica de modo que la contribución de ángulo sea 55º. Mediante un cálculo simple o el análisis gráfico, el polo debe ubicarse en Pc = -5.021. 1 s T1 s  0.05 Kc  Kc  s  5.021 s T1 5.021 T1  2,   10.04 0.5
  • 66. A continuación determinamos el valor de Kc a partir de la condición de magnitud: s  0.5 4 Kc 1 s  5.021 s( s  0.5) s 2.5 j 4.33 s( s  5.021) Kc   6.26 4 s  2.5 j 4.33 La parte de atraso de fase del compensador se disefía del modo siguiente: primero se determina el valor de β que satisfaga el requerimiento sobre la constante de error estático de velocidad:   4 K v  lim sKc G( s)  lim s(6.26)  4.988  80 s 0  s 0 10.04 s( s  0.5)   16.04
  • 67. Por último, se elige un valor de T2 suficientemente grande para que 1 s s 1 T2 T2 1  5    0 1 1 s s 16.04T2 16.04T2 s  2.5 j 4.33 T2  5
  • 68. Ahora la función de transferencia del compensador de atraso- adelanto diseñado se obtiene mediante  1  1  s   s   Gc ( s )  6.26  2  5  10.04  1  s   s     2  16.04(5)   El sistema compensado queda como 25.04( s  0.2) Gc ( s)G( s)  ss  5.02s  0.01247 
  • 69. Gráfica del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado. Root Locus 1.5 1 0.5 Imaginary Axis 0 -0.5 -1 -1.5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 Real Axis
  • 70. Root Locus 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 Imaginary Axis 0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -1 -0.5 0 0.5 Real Axis
  • 71. Respuestas escalón unitario de los sistemas compensado y no compensado. 1.8 Sistema nominal 1.6 Sistema compensado 1.4 1.2 salidas 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 tiempo[s]
  • 72. Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado. 10 Sistema nominal 9 Sistema compensado 8 7 6 salidas 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 tiempo[s] El error de estable estable del sistema no compensado es de 0.125, mientras que el error de estado estable del sistema compensado es de 0.0125.
  • 73. Notas Debido a que la contribución de ángulo de la parte de atraso de fase del compensador de atraso-adelanto es muy pequeña, sólo hay un cambio pequeño en la ubicación de los polos dominantes en lazo cerrado a partir de la ubicación deseada, s = -2.5 + j4.33. El tercer polo en lazo cerrado del sistema compensado se ubica en s = - 0.2078. Dado que este polo está muy cerca del cero en s = - 0.2, el efecto de este polo sobre la respuesta es pequeño. En general, si un polo y un cero están cercanos entre sí sobre el eje real negativo cerca del origen, su combinación producirá una larga cola de amplitud pequeña en la respuesta transitoria.
  • 74. Ejemplo. – Caso II γ=β, Planteamiento del problema 4 G( s)  s( s  0.5) s  0.25  j1.9843 R(s) C (s) +- G (s)
  • 75. Objetivo de control Se desea que el factor de amortiguamiento relativo de los polos dominantes en lazo cerrado sea igual a 0.5, así como aumentar la frecuencia natural no amortiguada a 5 rad/seg y la constante de error estático de velocidad a 80 seg^(-1). Diseñe un compensador apropiado para cumplir todas las especificaciones de desempeño.
  • 76. 1  1  s   s    T1  T2  Gc ( s )  K C       1   s   s      T1  T2    1 El sistema compensado tendrá la función de transferencia  1  1  s   s    T1  T2  Gc ( s )G ( s )  K C    4    1  s ( s  0.5)  s   s      T1  T2  
  • 77. Dado que el requerimiento sobre la constante de error estático de velocidad KV es de 80 seg^(-1) tenemos que 4 K v  lim sGc ( s)G( s)  lim sKc  8K c  80 s 0 s 0 0.5 K c  10 La constante de tiempo T1 y el valor de β se determinan a partir de 1 1 s s T1 4 T1 8  1  s( s  0.5) s 2.5 j 4.33  4.77 s s T1 T1
  • 78. 1 s T1   55  s T1 s  2.5 j 4.33 Mediante la siguiente figura, el siguiente paso es localizar los puntos A y B tales que PA 4.77 APB  55,  PB 8
  • 79. P jω 55º O σ B A Usando un enfoque gráfico o un enfoque trigonométrico. AO  2.38, BO  8.34
  • 80. 1 T1   0.420,   8.34T1  3.503 2.38 Por tanto, la parte de adelanto de fase de la red de atraso-adelanto se convierte en GCA ( s)  10 s  2.38 s  8.34 Para la parte de atraso de fase, seleccionamos 1 1 T2  10,   0.0285 T2 (3.503)(10)
  • 81. Por tanto, el compensador de atraso-adelanto se convierte en GC ( s)  10 s  2.38 s  0.1 s  8.34 s  0.0285 El sistema compensado tendrá la función de transferencia en lazo abierto 40s  2.38s  0.1 GC ( s)G( s)  ss  8.34s  0.0285( s  0.5)
  • 82. Respuestas escalón unitario de los sistemas compensado y no compensado. 1.8 Sistema nominal 1.6 Sistema compensado 1.4 1.2 salidas 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 10 tiempo[s]
  • 83. Respuestas rampa unitaria de los sistemas compensado y no compensado. 10 Sistema nominal Sistema compensado 8 6 salidas 4 2 0 0 2 4 6 8 10 tiempo[s]
  • 84. Notas: En este caso no ocurre una cancelación y el sistema compensado es de cuarto orden. Debido a que la contribución de ángulo de la parte de atraso de fase de la red de atraso-adelanto es muy pequeña, los polos dominantes en lazo cerrado se ubican muy cerca de la posición deseada. El polo en lazo cerrado restante (s = - 3.8604) no cancela realmente el polo en s = -2.4. El efecto de este cero es provocar un mayor sobrepaso en la respuesta escalón que el de un sistema similar sin dicho cero.