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FUNCIONES


   - Definiciones: Dado el conjunto lll y ul sutrconjunto D c l)1, defi¡imos
                                                                             como iúnción ,. f ,, de D
                          sobre lll a una aplicaciénde fonna que a cada valor de D le haga c'.rresponder
                                                                                                       un
                          úrnicovalor de :)t .

                          Simbólicarnente                 f :xeD -----r ffx) e ü
                          f(x) se lee "f de x" y es el vaior que asignala ñrnción f al valor x peüeneciente D y
                                                                                                          a
                          que por lo tanto se denominairnagen, J^d^ pt                r,
                                                                              $, &
                          A D se le llama dominiqie definición de la función f


                         llama recorrido de f .

      ,            .'".Dos funciones son, iguales si coinciden sus dominios y las imá-eenes
                                                                                          dadas por
          ,              ¿unbas
                              funcronesaleda t¡na de los elernentosde D.
    Ejemplo: a) gláfico                              b) nurnérico

                               f(x ')               f :xe Vl -----+i'[-q):*2                 g : x€ lii -----+ g(x):             r[
                               f(x)                   3      ------+f(31:32=9                      3 ---:+                  .vE
                                                                                                                  f(3):
                               (x.)                 - 2      ----) f{- 2): (- 2)': 4               4 ---+ f@:^14:
                                                                                                                z
                               9t                     D=tlt                                       D: {xc:}l1x>0}
                                                      Recsmdo: {*.$1/x>0}                               :
                                                                                                Recorridr: {*. !f / x > 0}


2.- Gráfica de una función: Se define como gráfica de una función f al c,rnjunto
                                                                                         de p¿ntos de
    coordenadas P (x, (,,))     con xe D. Por lo tanto la ordenadade los puntos de la curva de la
    gráfica de la ñrnción vend¡á dada por l' = (x) de forma que esta expresión es otra lbrma
                                                                                             de dar la
    ecuaciónde la curva de la eráfica de f.




            parese impares: * Decimosque f(x) es una filrción par si Vx e D -+ f{-x) = f(x)
3.- Funcionps
                                                                                            .
   C o m o l o s p u n t o sP ( x . f ( x ) )   y   P'{-r.f(-x):f(x))      p e r t e n e c e n a l a g ¡ á f i c as-o n s i r n é r r i c o s
                                                                                                                    v-
   respectode OY, la gráfrca de la función también sei'ásimétrica respectode Oy y recíprocarnente.
   Ello signitica que la gráficaes invarianterespecto un giro de l80o respecto e.i*oy.
                                                     de                       al        El eie Oy
   es el eje de simetríade la gráfica de f,
E-iernplo: f(x):x2
                Vr . f(-x) = (-x):= x2 : f(x)




        * Decimosque f(r) es una función ünpal si Vr e D + f(-x) = -f(x) .

       CornolospuntosP (x, f(x)) y P'(-x, f(-r) =-(r))                  pertenecen la g:ifica-v son simétricos
                                                                                 a
    respectodel origen de coordenadas ,v recíprocarnente. gráfica de (x) es siruétncarespectode
                                     O                  la

    O, e invarianterespectode un doble giro de l80o respecto eje OY y dei eje OX .
                                                            del

                                                                                                 e(. ,lr*r)
             f(r): *:
    E-iernplo:
               Vx, f(-x) : (-x)¡- *x] = -f(x)




                    de                   que f(-0) = f(0): -f(0) =+ ff0)-=il siempre
    De la definición funciónimpardeducimos                                         que
    x - 0 pertenezcaaD.
    Luegosi una fimciónimpar estádefinidaen :i : 0. la gráficapasará O .
                                                                   por


4 . Funciónperiódica:Decimosque (x) es periódica, con periodo T si Vx E D + f(x) = f(x + T) .
   De aquí, tambiénse cumple que Vx e D-+ f(x) = f1x + kT) con keZ .


   Ejemplo gráfico


                                                                                            

                                                                                                       ú*
                                                                                           ft*+T) |c*r
                                                                                                "
                                                                             *rT


   Como si T curnple la condición de periodo, kT también la cumple. llamarett¡o=estrictamente
   periodo T al menor de los valoresque cunplen la condición.


              con funciones: * Sumade funciones:Dadasdos firncionesf y g detinimoscomo suma
5.- Operaciones
   de dichasfuncionesa otra función s = l+ g del modo siguiente:

                        S I x ------)   (f + g)(x):       f(x) - g(x)

                                                                                       I
        .    ^,.      r              1                -                        2
   Ejernplo: f(r) = r-,      g(x) : :      ='    (f+ g)(x): f(x) + g(x) :x-        r

                                    x                                                  X
J




 Propiedades: a) f + g : g * ¡        (conmutativa)
                 b ) (f + g) + h: f + (-s+ h): f'+ g r h (asociativa)
                 c) Elementoneutro: a (función ntila)

                      o. x-----J o(x):Q

                      Sugráficaes ejeOX ysiemprecumple Vf,
                                el                                           f+o : f
                 d) Funciónopuesta:         fmción opuestade f , (-f ) ,
                                  llamarernos                                            a l¡r función
                      -f . x ------+ (-f)(x) : - f(x)

                    Evidentetnente Vx e D, f(r) + (-0(x) = f{x) + (-f(x)) = tl
                      La gráfrcade la función opuestede f es simétrica de la gráfiea de f respectoal
eje OX
                                                               =t(4




                                                                  =i-f)c*r
* Productopor un número real: Dados i, e:)t y una fi.mciónf defirimos el produeto
                                                           ,                     de f por i" a
la función p: ),' f       de modoque

                     p:    x -----ep(x):(¡".fXx):f         '(x)



Ejemplo: f(x):
                 "z
            (2'0(*)= 2' f(x):2 x:


* Función identidad:. I :    X   ------) I(x) = x

Su gráfica viene dadapor     v= x    que es la bisectrizdel prtmer cuatlrante




* Composición funciones.
            de         Dad¿rs funcionesf y g ,
                            dos                                     d e f i n i m o sg n f { ' g s o b r e f ó f
compuesta g) a la funciónsiguiente
        con                      :

                                      t)tx) - g ('ft))
                    B' | : x -------+(9.
Gráficamente


                                                                      En general g " f + fo g . es decir. la cumposiciónde

                                                                      funcicnesno iiene la propiedadcon¡intativa.
                                                e (f(r))




* Función inversa: Sea una función                              f : x -------* f(*) = y

Si la correspondencia
                    inversa                          y     +         x    es tirnción, es decir, si a cada "y" te coresponde
una única x , o lo que es lo mismo, si cada "y" es imagen dada por f de una sola x , dicha
                                                                        -i
correspondencia inversadefineuna firncion llamadafunción inversade f . f , de frrnnaque

                                       y ------)t'()')="
                      ^    - l                 ^_'
                  t':
Por lo tanto no toda función tiene inversa.Así:


                  +

            ll
    Kl      l---+ | v,                                     xt

    x2
            tl
            k               -lY¡                           x2
            txl
         t-l              l
    x3   r
         tl
                                     tv'                   x-1

         Dti
                  -       ¡-l        -(K)
                                      .
                  rr


Conociendo la gráfrca de una función f " podemos saber si dicha funcióntie¡¡eo no función
inversa. Si una recta horizontal cualquiera corta a la gráfica de f(x) , a lo su:¡rqen un punto,
             -'(r)
existiráf                        .
Por el contrario,si algunarecta horizo¡rtalcorta a la gráfica de f{x) en másde un Funto,
                                                                                       entonces
                  -t(*)
no existiráf
5


       Teniendo en cuentala definición de función inversa tenemosque si un pulrto P {:<,y) penenece
                                                                                                     a
       la gráfica de f , el punto P'(y, t), simétrico ,Jel anterior respecrode Ia bisectriz del primer

       cuadrantepeftenecerá la gráfica de f I. Las gr'áticas
                          a                                 de f y f I son sirnétricirs
                                                                                      res'ecto tJeIa
       bisectrizdel primer cuadrante.

                                                             Aplicando la definición de composiciónde funcionestenemos
                                                             que :

                                                             If-'
                                                                                                                          o f : fc fr - l - ¡ - t
                                                             Í c"^
                                                               r
                                                             I


                                                                                      I: funcióniei¿nridad
                                                                                                         f(x): x.
                                                             Su-sráfica l¿r
                                                                      es bisectriz primercuadrante
                                                                                 del              ,
      t Valor absolutode una función:


                                                                     |.- e(xl      Vx / g(x) < 0
                                                     (*):   ls(x)l=j
                                                                   L e(x.) Vx I g(x)> o

6.- Sucesiones Se llama sucesiónde númerosrealesa toda fi¡rción en la que el c¡rrninio D
             :                                                                           coincide
    con N (conjuntode númerosnaturales)

      En estascondiciones ernplea             especial: f (n) = Sn, Ejemplo:t-{l) = - n
                                                                                                                                           ll
                        se       una nrltación
                                                                                                                                       nl +l
                                     1l
      asl :          r(l):
                                lz       '   |   1
                                I    f       t   L




                     f(2)=
                                22+l             5




   Como casosparticulares sucesiones
                         de        citaremos:
   a ) S u c e s i ó n r i U n é t i c a ( p r o g r e s i ó n a r i t n i é t i c aS n : f { n ) : a + b n
                     a                                                      +       )                                 cL}ñ a. be}1. Su
   expresiónft¡ncionales lineal.

  b) Sucesión
            geornétrica
                      (prog¡esión
                                gecrnénica)
                                          +                                         Sn= f (n): a.b*              con      a. be ttt. Su
  expresiónfincional es exponencial (la vürernosrrrásadelante)


  Paraencontrarlas exptesiones
                             típicasde las progresiones partir de las defi¡iciones tendremosen
                                                      a
  cuenla:
  * Progresiones aritlnéticas
                              :                             S,,:a*bn
                                                                                         S n - S n _ i :b ( c t e )     Vn > I
                                                            Sn_i-o'b(n-t)

  b     recibe el nombre de "diterencia" de la progresiirn aritmética.
Podemos
         escribir                    Sn:á+ b n : a+ b lt-¡ b *b - a+ b = b(n-                        l):S,+bln-l)

   * Progresiones
                geoméüicas:

                                                           =
                                                         Sn s.b"
                                                                         L   1    - - U¡   ¡   _ h



                                                         Sn-l=u-bt'-t-j           s
                                                                                  - n- l




   b     recibeel nombre de "razón" de la progresióngeométncay podemosescribir :

                                                          bn              . n-l
                                     Sn-?'bn:a':-'b:ab                    b''-'- S, b"'
                                                   n-



7.- Funciones polinómicas: Las funciones más básicas que podemos manejar s.in las funciones
                                                         n-]+         + aif * ilo
   p o l i n ó m i c a s :f ( x ) : á n X n + a n   rx          "'

   Si f(x) :        Pr(x) (polinomio de l"               gradcr) su gráfica es una recta y recibe et uoi¡rbre de función

   lineal
                                                                     y=ax-rb




   Si el polinomioes de 2o grado f(x): a:rr+ b r*                            c. su gráficaesunaparábr:iade
                                                                                                         ejevert¡cal
   (véasef(x) : *: ) . Su concavidaddepende signo de "a" y su posición relatir,'a spectodel eje
                                           del                                  re
   OX viene dadapor las raicesdel polinomio de 2ogrado




   Las fiulcionespolinómicasde grado superiorson. ett general.complejasy'-
                                                                         cornü ejemplo veremos
   f(x) : *:
7


8.- Transformación tunciones:Dada la función
                  de                               :
                                                 "n" f(x) estudiaremos relacién d¿ su sráfica con
                                                                     la
   las gráficasde las funcionessiguientes:


   * y: f(r) + k :    Su gráfica corresponderáa 7a trasiación vertical de la graiica original de
                      y : (x) haciaambaenunarnedidaigual k si k >0 .v-
                                                           a                haciaabajosi k < 0.


   * y:(r_a)          Su gráfica correspLrndc la h'aslación
                                            a             horizontal de la Eáfica *nginal hacia la
                     derechaenunamedidaigual "a" si a> 0 yhacia la izquier.de a < 0.
                                           a                                ri


   * y=k'f{x)        Su gráfica corresponde "alalgar''la gr'áficaoriginal d. y = {x) verticalnente
                                          a
                     en una rnedi,ladadapor el fact¡:r k si k > 0.

                     si k <0, el factorde "distensión"
                                                     seríairl        v además
                                                                            giraremoslagráfica

                     180o respecto eje OX.
                                  al


  *                  Su gráfica corresponde "comprirnir" horizontalmentsla griitica originai por
                                          a
      Y:f(k'x):
                     un factor k si k > 0 . Si k < 0 comprimi¡emos según trn factor I k I y

                     giraremos l80o respecto eje OY.
                                            al
LIiv-tITEDE FUNCIONES
 Límitede una función un punto:
                     en
                                                                         ("
                                                                                      si x*2
          quererestudia¡el compofirrmiento
 Supongamos                              de                    tt-;:     ]t--                    to iasProximidades
                                                                          [)          si x = 2
 d e lo u n t o x : 2

                           .i l              Se olrservaque al aproúrnar los valoresde x a l. Ios valoresde
                              /
                 -- --4                      f(x) se acercan 4 {ver con la calculadoral
                                                            a
                           f
                               .             Diremos que -l es el línite de f(x) cuanrJox iiende a 2 si los
                                             valores de t1x) son todo lo cercanos a "l como nosotros
                                             queramos. en todos ios puntos distirrtos de 2, que estén
                                                           próximos a x:
                                             suficientemente                      2 ; es decir. si todos los puntos
                                             del eiltorno inmediato de x = 2 toman valor,e: de f(x) todo lo
                                             celcanosque quer¿rmos 4 (comprobarcon Ia ealculadora)
                                                                 a
 Obsén'eseque la idea de lín-rite tiene en cuentaen rungún sentidolo que ocurra en x: 2. sino
                                 no
 lo que ocurraen las proximidades x:2.
                                de
En general, diremos que I- :                     f(x)   si los valores que toma f(x) en trdos los puntos
                                            *111.

suficientemente
              próximos a x0 (e-rcepto.il ) son todo lo cercanos
                                                               que queramos L.
                                                                           a


Límiteslaterales.
Decimosque L es límite de (xi cuandox tiendea rí) por su derecha ( L = lü*_f(x)) cua¡do
                                                                                                 ,3ILi


los valoresde (x)              se acercantodo lo cluequeran'ios L en todos los puntos a l¿ derechade x,,,
                                                              a

suficientemente
              próximos a xo.

Análogamente defineel límite por la izquierda ( L:
           se                                                      lim        f(x))
                                                                          _
                                                                 x-)x0

Eiemplo:

       [.x+l                       si xcl
          I
f(x):{     3                   si x=1
       I
       l-*+1                   si x>l

 lim f(x) = 1i* (x + l) = 2
x->1-              x-+l-

 lim f(x)= 11tt(-x+l)=O
               r
     r+                   ,+
x-+t               x +l

(1):3
Se demuestraque la condición necesariay suliciente para que f1x) teng¡riím¡re en x0 es que

existanlos lílnites laterales izquierda-vderecha y arnboscoincidan
                             a
Si alguno de los límites lateralesno existe, o si existiendolos dos límites later¡rles
                                                                                      son distintos.
 diremosque no existeel límite de Ia furrciónf(x) ¿uandox fiendea x ¿ ( 3 lirn f(x) ).
                                                                                       X--)I,¡




 Límitesen el infinito. Límitesinfinitos:                                                        ft*l--!
                          I
                          I
 Seala función f(x) :         cuya griífica es la de la figrira
                         X




 Se observaque cuandolos valorespositivosde x crecen.
 los de f(x) van tomando cadavez valores más próximos
 a cero.
 De hecho los valores de f(x) son tan próximos a ceto collro
 queramosen todos los puntospala los que x es suficientemente
                                                            grande.Di¡ernos en este casoque
 cero es el límite al que tiende t{x) cuando x tiende a rnásinfinjto:

                                       0:      lim f(x)
                                            . -+ +!c

En general diremos que L es el límite al que tiende (x) cuando x tiende a más infinito, y lo

escribiremos:L : lim f(") , si los valores de f{x) son todo lo cercanosa L como queramos,

siempreque los r;;::"                             grandes positivos.
                              x seansuficientemente      y
De fbrma totalmente análoga definiremos                 L :    lim   f(x)   para los valores de x que sean

suficientemente
              pequeños negativos.
                     y


Si f(x) tiene límite L (fi¡ito) en +      - co          dirernosque f(x) tiene una asintotitlrorizontal (A H)
                                     "o ó
y=L en +co ó -co respectivamente.

                                                        r
Si analiza:nos el comportarniento de        f{:x) :           en.las proxirnidadesde x = $ por la derecha_
                                                        x
obsen'amosque los valores de f(x) se hacen todo lo grandesque quer¿ul1os de signo positivo,
                                                                       y
siempre que los valores de x se aproximen suficientemente cero por dicho ledc. Diremos que
                                                          a
f(x) tiende a + co cuando x tiende a cero por la de{echa:

                               lim* (x):     * co
                              --)(r'
De forma completamenteanálogay razonando sobre lo que ocrÍre a la izquierda ijel valor cero de
x . podremosafirmar para dicha función que f(:i) fiende a -ao cuando x tierrd* a cero por la
izquierda:

                               lim f(x) = -*
                              r+0-
tV
                                                                                                                 I
                                                                                                                   n




             diremosque
Generalizando,                             lim f(x) : + co (ó -o ) cuurdo al apro.rirnarr suficientemenre
                                          x+xj

o x e por su derech4 todos los valoresde f{x) son tnayoresque cualquiercanfid¿d k positiva
fijada de antemano(o menoresque cualquier cantidad k negativa fijada de antct:ano).
Análogamente
           definiremos                     lim _ f(x) : + oc (ó -.o )
                                          ](--)Xrr

* Cuando ambos límites lateralesde t]x) en x 6 Son infinitos del mismo:€igs diremos que

 tim f(x):       + oo ó - oo. respectivamente
                                            (segúnlos casos)




                                                                                                              =
                                                                                                   I t* f(x) a¡6
                                                             =+
                                                          f(") enx : o             v e r i f i c aI  r+o+
                                                                                                   I lim f(x) = a"6
                                                                                                I   x-+0-



                                                          Podremosdecir que Im f(x) = a6
                                                                            r-+ 0


* Si alguno de los límites lateralesde t1x) en x e es i co diremosque f(x) tiene una asintota

vertical۟ X: Xn


También puede generalizarseel concepto de límite cuando f(x)                      crece o decreceilimitadamente,
pudiéndosedefinir

                 lirn       f(x) = -Fqo
                x-+ + rc                                  *u1*f(x)=-*
                 lim        f(x) = -.o                     lim f(x)=a"6
                ](-+ - lc                                 x-) -:c

                                                                                          (Verejemptos)


Continuidad de una función en un ounto: Dadala función (x) , diremosque i¿ fi.urciónf(x) es
continuaen el punto x 0 si se verifica que
                                                                    f(x) =                (l)


En el casoen el que la definición ( I ) no se cumpla diremosque f(x) no es continuaen xo (o sea,
(x) es discontinuaen x e)
Paraque puedacumplirsela definición rie firnción contiuuaen un punto x,¡ ha dc verificarse:
a) f(xo ) deberáestardefinido                 -+     x¡ € D
b)    [m      f(x) deber'á
                         estardefinido               -+       Existir'ánlos dos límites lateralesi¡umar¿in valor
                                                                                                          un
     x-J{)


finito) en rs ]Íunboscoincidirán
il



 c) lim f(r):     f(xo)    -)       el valor del límite coircidirá con el valor de la iuncién sfl x,r
    x--)x0

             ello significa que a partir del punto P (x o, (x o )) un pequeñodes¡l:rzamiento
 Gráficarnente                                                                             hacia
la izquierdao hacia la derechapor la gráf*rca la f-unción reaiizaráde forma e*ttinua- es decir.
                                            de           se
sin realizarnineún salto finito ni infinito.


Continuidadlateral:
Dirernósque f(x) es continuaa la deresha r,1 cuando lim f(r):
                                        de                                           f(x¡ )
                                                                      x-+x[

Diremos que (x) es continuaa la izquierdade x ¡ cuando lim                      f(x) : t{x¡ )
                                                                       X-+fn


Ejemplo:

                     l-x+l               si x<1
              f(r): {
                     I x+l               si x>l


    que lim f(x):0
Vemos
               x->l-
                                                                                                  úñ   x--1
                                                                                no ¿1 ¿¿;.t{^La
                                                  n lim   f(x)   -a
                                                                        |r-*)
                                                    x+l
               lim     r(x):2       ]=
              x->l-


               f (t¡ = g



Ahora bien.            f (l): tim f(x) : 0.                 luego f(x) es continuaa la iequierdade x : 1,
                                r->l-

(o lo que es lo mismo, el trazo de f(x) es continuo desdeel punto y : 0 ien x : 1) hacia la
izquierda)


Puededemostrarseque:
* Todas1asñlncionespolinómicasson cr¡ntinuas toda la recta real.
                                           en
* La sum4 restay producto de dos funcionescontinuasen un punto es ot'a ñlncion continua
                                                                                        en el
mismo punto.
* El cocientede dos firncionescontinuasen un punto es otra finción continuaen el mismo punto,

exceptoen los puntosen los que se anulael denominador.
12



Cálculo de límltes de operaciones funciones:
                                con


Se puededemostrar si
                que
                           L:    lim f(x)           y         L':    lim g(r)          entonces
                                f -+ ¡¡                            X-+ 0
                       .




     * lim                : L+L'
              [f(x)+g(x)]
       --) ¿ ..
               (r *')

     * lim kf(x):                   kL
        X -> X()
          100)


     * lim f(x)'g(r) : L'L'
        S-+ X¡
              ( fo.)


     x tim flx)                  L
                                         si L'+o
                 =:;            L
       r - + x , ,B ( x )
          (t'd
                                      (si L' : 0" coinprobarla posibilidadde límite infixito)


     * lirn           -                         (si L *0 ó L, +0)
            [f(x)]e(x) ¡L'
        X-)    Xg

              (t e)




Casosen los que inteniene un límite inl'inito:
Si    limf(x):L                             y           limg(x):+o              {L')
     --) xg                                         x-) x¡
        (t*)                                             (t *,)

llamaremosforma simbólica del límite a la expresiónque se obdenede sustizur¡ las reglas de
                                                                           en
operaciones límites del apartadoarterior L y L' por sus valoresfinitos o infinitos. segúnlos
          de
casos.
Así, la forma de                     lim [f(x) + g(x)]        será     L * .¡          y daremosei valor del límite:
                                  X-+ Xg
                                      l+-o- )



                                 lim [f(x)+g(x)]: +co
                                -) ^
                                   (t*)

Simbolizandoel casode operaciones lírnltesde funcicnes por susformasrespcutivas
                                de
IJ




Si    L:        lim f(*) y            + co:          lim gix):
                K--+0                           --+tt{)


                                                                               :
   x*)x¡
                 f **
     lim k'g(r)= j-
                              [+to
                                           si k>0
                                           sl   k<0
                                                                           il.* * 'l kr. O -J)
                                                                           K-ca
                                                                                     k
                                                                                         0 =-co        sl

     I +oo)


                                                siL > 0                            *                   si L r O l
     lim f(x)'g(x) =               J*-                                     {,
   X-)6                           lT*          si L<0                     I L.*                       si L . 0 )
     (t*)

           f( x)                                                     IL           ^I
    lim ----:--- : u                                                 l-
                                                                     t-l
                                                                                ={, I
                                                                     co               l
   x+:<¡9tx)
      (+o-

                                                                                           =-*
                                                                                                            si L>0
                                                                                           L
                             to       si L>0
     ..m r(x)
     It                      *co      Sl L<U                                               3 =-*            si L<0
           ^=
   x--+x¡ 8(x)                                                                             L
                             wl.¿,lizat lateralessi L = 0
                                      los
     {+ p¿l
                                                                                           3 - analizar
                                                                                                      laterales; *i existelímite
                                                                                                               ver
                                                                                           0



* lim f(x¡e(s)               _Jo
                             -             si0<L<1               yL'=+co                   ó      siL>lyL'=-.{
   x-+9
    l'¡ oo)
                               l**         si 0<L<l              y L'=-cc                  ó      si L>1y      L':+c¿


                            (
                              jO                L'=*co y L>0
* l i m g ( x )¡" / t' = l |
                . .                      Sl


  ***o''                    [ 0          si L'=*co y L<0
     ¡+_)

En todos estos casos, el valor del lírnite de la operación de fi.mciones,sr* puede calcular
directamente.Llamaremos a estassituacionesfonnas determlnadasde límite.
Llamaremos formas indeterminadasde límite a aqueilasque erigen algún tipa de operación previa
con las ftinciones que en él intervienensi queremosobtener su valor; son siete ;r se simbolizan
           cD                                               rl
corno:-                  )         cvt-@         ,          ;
                                                                       '           0'co            )


( La obtención de los valores de los limites de tbnna indeterminadase detalLuá en las clases
prácticas)
El númeroe: Puededemostrarse los lfu¡itessiguientes:
                           que

                                                                 %
r,,r, * 1l'
     [r z )                   y            lim ( I +z)-                            son iguales a un nirmerü irracional que
z-+"c                                     z.->0

llamaremos"e" (z será cualquier funcíou de x que tiende en la referenciaindie¡u1a los límites
                                                                                a
mencionados)
t4



 FUNICiONEXPONENCIAL FUICIÓ}{ T,OGARÍT,IICA


 * Funciónexponencial:
                     llamaremosfuncién exponencial base"a" ( a > 0.
                                                 de                                                         ilÉ I ). a la que
 asignaacadavalor real r el valor, tanibienreal. a' :

                              f(x)= a*          =   xe:H -l-+     a- e:)l
                 gráfic4 en función de los valoresde "a" serála siguiente:
 Su representación




                                                    (l)




Propiedades: 1) a* > 0        Vx e !l          ( la función exponencial
                                                                      toma siemprevaloresestrictamente
                     positivos)
                 2) ao: 1
                                                                                     - ' :                  -
                 3) Sia>l:           lim a:0       ; lirn ax: +oo :        lirn a             + c a. l i m a - * : 0
                                                    xJ+fl                -)-:c                             !-)   +:c


                 4) Sia<l:        li¡1 a=.o;           lim a*:0t       lim a- :0:              lim a-x=+co
                              I--)    -   Jc        K-++ic                                    --t   + -i

Aunque, en teorí4 se puedeconsiderar posibilidadde que "a" tome distilltos vgiüres¡eales,en Ia
                                   la
práctica, los más utilizados son: a:           l0 (exponencialdecimal) y a= e (expr:nencial
                                                                                          natural).
cuyas gráficas y característicascorrespondenal caso general de a > 1.
Puededemostrarse la función exponencial cóntirua a lo largo de toda la reerareal.
               que                    es


* Función logarítrnica:" Llatna¡noslogzu'itrno base a > 0, de un número n:=
                                             en                             0. al exponenteal
                         que hay que elevaÍ "a" para obtener n "
A la finción que hace corresponder a r-:*danúmero real positivo, x , su logarirrrro sn base "a",

tambiénnúmero real, le llamaremosfunción logaríturicaen base"a" :                 log* x

                                                    =               f
                             f(x):logu                   r=!t+         ,loguxelR

Para su representación
                     gráfica: es evidente que la función exponencialy la tuncion logariínica
con las mismas bases son una la función inversa de la ofa siendo sus gráfi*:rs, por lo tanto,
sirnétricasrespectode la bisectriz del prirner cuad¡arrte.
t5



                                                                      t
                                                                      LC'Í
                                                                          o




                                                                  Arálogamente a la función exponencial, en ia
                                                                  práctica las bases rnás utilizarlas son   a :   l0
                                                                  (logaritmos decimales)    y   a = e   (logantrnos
                                                                  nepedanoso naturales,dzuldolugru a las frurciones
                                                                  y= logx,    (a:10) ;     y= L.,      (a:e).


Propiedades: propiedades
           las         más impoüantesde la ñmción logaritrnicason:

l) D:       {xe}1/x>0 } = ¡1-

2 ) l o g o1 : 0 ,        y a q u e a o- I

3 ) l o g ua : I , y u q , r . u ' : u

4) Sia>l             y         0<x<l         +logux<0

                                    x>f      -+ log.x>0

    Si0<a<l                y     0<x<l         +log"x>0

                                       x>1-)            logux<0

5) Si a> I           :+                      x : -co
                               ,t$.to*u

                                              x: + co
                               .11-to*o
   Si 0<acl               :+         lim logux:reo
                                    x-> 0-


                                    *9.'logux=-cti
6) Reglasde operaciones
                      con logariünos:
    * l o g a A + l o g o B : l o g oA ' B

    * l o g uA - l o g oB : l o g . A I B

    * l o g aA ^- : k
               t
                           l o g oA

    * k:      logoak

    x ulogor-                   y         log" at   :    .ti         (propiedadde la función inve¡ia)
                     "
EJERCICIOS


    Hallarlosdominios lassiguientes
                    de            funciones:

                                                                                      x
        a) f(x): xt + I                  b)f(x):                      c)f(x):             ^          d) f(x):
                                                       =                          x-j

2.-                gráficamente siguientes
         Representar           las       funciones:

                                                                                          xr +1          si     x<0
        a) f(x):                                                          b) f(x) =            lsi             0<x<2
                                                                                              x-l         si     x>2

3.-      Discutir la paridadde las siguientes
                                            funciones:

                        X,                                                                    x-l
         a) t(x) :     ,, .                            b)f(x)=7il                  c) t(x) = -                    d)f(x)=lr'l
                      x-+l                                                                           X

^       Dada la gráficade una función f(x) en ( 0 , 2 l, dibujar la gráficade dicha función en [- 2,2 )
        a) si f(x) es par      b) si f(x) es impar       c) si f(x) es periódicade periodo T : 2




                           -                       x
5.-     Dadaslas funciones t ( x ) :                       y g(x)               , hallar:
                                                x_l

        a) f-l(x)       y    g-r(x)        siexisten

        b) g.f         y      fog

                   que fo f-r = I
        c) comprobar
6.-                        términos la sucesión la Que a ¡ :2
        Escribirlos primeros      de          en                                                y &n:3 an- r .
7.-                                                  y
        Hallar la expresiónde la fórmulade recurrencia del término n-simo de los múltiplosde 5

8.-     R e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e :) f ( x ) :
                                                     a
                                                                     l*'-5x+61
                                                                                                Olf(x): x'-Zl xl

                                  )
                             Y'
9.-     Dada f(x) :          ^        . compararlas gráficasde            l) y=f(x)+l
                             z
                                                                          2) y: f (x- l)

                                                                          3) y: 2 f (x) (: *')
                                                                          4) y: f(2 x)

                                                                             y: ^.x.
                                                                          )) -2 t (- )
**l                  si            x<-l
                                              |
10.-     Dadala función f'(x)=                         3                   si x=-l                      hallar gráficamente lim._ f(x) ,
                                              1                                                                                          x-t-l

                                              l-"*2                        si        x>-l

           lim (x) ,              lim ( x) ,                continuidad f(x).
                                                                      de
         x-+-1                  x -+-l


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                                                                                                                         x -+0              x-+ I-


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                                                                                                             lim (x),         lim (x),
                                                                                                                           x-++oo

                                                                                                        c o n t i n u i d a d ex = 0 .
                                                                                                                                n
                                                                                                                                                    lim
                                                                                                                                                   x-+-co
                                                                                                                                                             r(x)


                                      4a
                                          I
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                                                            0si                      x<0                                  x2+l              si      x<0
        Continuidadde a) f(x) =
l1                                                              rt
                                                       x-ll                sl 0<xS2                     b) f(x):              I             si 0<x<2
                                                            0si                      x>2                                   x-l               si      x>2


1a
                                                                                                  x-l                         x-l                             )
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         llm (-x'+j.-+))                         :    llm    .                      :         llm   il                       ;llm1
        x-+to                                          x-+lx'-1                               x-+m¡'+3x'+2                       x-+- cc           x'+I

         ,.   2x-l
         llm ------:-             ;
                                         ,.   x'-l
                                         |lm ---:-                     ;        hm
                                                                                              J**r-:- l l i m
                                                                                               -                                        .rG*¡-:
        x-+"o 3x'+l                      x-+l x'-1                              x-+3              3-x               x - - + lr / x + 1 5 - r / 3 x + 1 3
                                                                                                                              tl
                                                                                                                              IXI
                                                                                                                              ;
14.-

15.-    Estudiarla continuidadde                            E[x]           parteenterade x
                                                            D[x]               partedecimal de x

                                                                                                             | 2-*'                si x<2
16.-    Estudiarla continuidad
                             de                             f(x) = -f                              r(x): I
                                                                   x'-4                                      [2*-6                 si x>2

                                                                                              I               si    x<1
        l(x):l
                  l,*'-t              si xro                         t(x)=l
                                                                            I                 X
                                                            ;
                  l2*-3               si x>0                                             J..1                 si     x>l
                                                                                 t
                                                                        lx2+l                           si         x<0
t7.-    H a l l a r l o s v a l o r e se a y b p a r a q u e f ( x ) : ] o * * a
                                     d                                                                  si 0<x<1 seacontinuaentodoB
                                                                                          :             si        x>1
                                                                                 |
                                                    : i-:   1
18.-    ¿Quévalor habríaque dar a f(2)para que f(x)            fuera continuaen x = 2?
                                                       xt _ 32

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  • 1. FUNCIONES - Definiciones: Dado el conjunto lll y ul sutrconjunto D c l)1, defi¡imos como iúnción ,. f ,, de D sobre lll a una aplicaciénde fonna que a cada valor de D le haga c'.rresponder un úrnicovalor de :)t . Simbólicarnente f :xeD -----r ffx) e ü f(x) se lee "f de x" y es el vaior que asignala ñrnción f al valor x peüeneciente D y a que por lo tanto se denominairnagen, J^d^ pt r, $, & A D se le llama dominiqie definición de la función f llama recorrido de f . , .'".Dos funciones son, iguales si coinciden sus dominios y las imá-eenes dadas por , ¿unbas funcronesaleda t¡na de los elernentosde D. Ejemplo: a) gláfico b) nurnérico f(x ') f :xe Vl -----+i'[-q):*2 g : x€ lii -----+ g(x): r[ f(x) 3 ------+f(31:32=9 3 ---:+ .vE f(3): (x.) - 2 ----) f{- 2): (- 2)': 4 4 ---+ f@:^14: z 9t D=tlt D: {xc:}l1x>0} Recsmdo: {*.$1/x>0} : Recorridr: {*. !f / x > 0} 2.- Gráfica de una función: Se define como gráfica de una función f al c,rnjunto de p¿ntos de coordenadas P (x, (,,)) con xe D. Por lo tanto la ordenadade los puntos de la curva de la gráfica de la ñrnción vend¡á dada por l' = (x) de forma que esta expresión es otra lbrma de dar la ecuaciónde la curva de la eráfica de f. parese impares: * Decimosque f(x) es una filrción par si Vx e D -+ f{-x) = f(x) 3.- Funcionps . C o m o l o s p u n t o sP ( x . f ( x ) ) y P'{-r.f(-x):f(x)) p e r t e n e c e n a l a g ¡ á f i c as-o n s i r n é r r i c o s v- respectode OY, la gráfrca de la función también sei'ásimétrica respectode Oy y recíprocarnente. Ello signitica que la gráficaes invarianterespecto un giro de l80o respecto e.i*oy. de al El eie Oy es el eje de simetríade la gráfica de f,
  • 2. E-iernplo: f(x):x2 Vr . f(-x) = (-x):= x2 : f(x) * Decimosque f(r) es una función ünpal si Vr e D + f(-x) = -f(x) . CornolospuntosP (x, f(x)) y P'(-x, f(-r) =-(r)) pertenecen la g:ifica-v son simétricos a respectodel origen de coordenadas ,v recíprocarnente. gráfica de (x) es siruétncarespectode O la O, e invarianterespectode un doble giro de l80o respecto eje OY y dei eje OX . del e(. ,lr*r) f(r): *: E-iernplo: Vx, f(-x) : (-x)¡- *x] = -f(x) de que f(-0) = f(0): -f(0) =+ ff0)-=il siempre De la definición funciónimpardeducimos que x - 0 pertenezcaaD. Luegosi una fimciónimpar estádefinidaen :i : 0. la gráficapasará O . por 4 . Funciónperiódica:Decimosque (x) es periódica, con periodo T si Vx E D + f(x) = f(x + T) . De aquí, tambiénse cumple que Vx e D-+ f(x) = f1x + kT) con keZ . Ejemplo gráfico ú* ft*+T) |c*r " *rT Como si T curnple la condición de periodo, kT también la cumple. llamarett¡o=estrictamente periodo T al menor de los valoresque cunplen la condición. con funciones: * Sumade funciones:Dadasdos firncionesf y g detinimoscomo suma 5.- Operaciones de dichasfuncionesa otra función s = l+ g del modo siguiente: S I x ------) (f + g)(x): f(x) - g(x) I . ^,. r 1 - 2 Ejernplo: f(r) = r-, g(x) : : =' (f+ g)(x): f(x) + g(x) :x- r x X
  • 3. J Propiedades: a) f + g : g * ¡ (conmutativa) b ) (f + g) + h: f + (-s+ h): f'+ g r h (asociativa) c) Elementoneutro: a (función ntila) o. x-----J o(x):Q Sugráficaes ejeOX ysiemprecumple Vf, el f+o : f d) Funciónopuesta: fmción opuestade f , (-f ) , llamarernos a l¡r función -f . x ------+ (-f)(x) : - f(x) Evidentetnente Vx e D, f(r) + (-0(x) = f{x) + (-f(x)) = tl La gráfrcade la función opuestede f es simétrica de la gráfiea de f respectoal eje OX =t(4 =i-f)c*r * Productopor un número real: Dados i, e:)t y una fi.mciónf defirimos el produeto , de f por i" a la función p: ),' f de modoque p: x -----ep(x):(¡".fXx):f '(x) Ejemplo: f(x): "z (2'0(*)= 2' f(x):2 x: * Función identidad:. I : X ------) I(x) = x Su gráfica viene dadapor v= x que es la bisectrizdel prtmer cuatlrante * Composición funciones. de Dad¿rs funcionesf y g , dos d e f i n i m o sg n f { ' g s o b r e f ó f compuesta g) a la funciónsiguiente con : t)tx) - g ('ft)) B' | : x -------+(9.
  • 4. Gráficamente En general g " f + fo g . es decir. la cumposiciónde funcicnesno iiene la propiedadcon¡intativa. e (f(r)) * Función inversa: Sea una función f : x -------* f(*) = y Si la correspondencia inversa y + x es tirnción, es decir, si a cada "y" te coresponde una única x , o lo que es lo mismo, si cada "y" es imagen dada por f de una sola x , dicha -i correspondencia inversadefineuna firncion llamadafunción inversade f . f , de frrnnaque y ------)t'()')=" ^ - l ^_' t': Por lo tanto no toda función tiene inversa.Así: + ll Kl l---+ | v, xt x2 tl k -lY¡ x2 txl t-l l x3 r tl tv' x-1 Dti - ¡-l -(K) . rr Conociendo la gráfrca de una función f " podemos saber si dicha funcióntie¡¡eo no función inversa. Si una recta horizontal cualquiera corta a la gráfica de f(x) , a lo su:¡rqen un punto, -'(r) existiráf . Por el contrario,si algunarecta horizo¡rtalcorta a la gráfica de f{x) en másde un Funto, entonces -t(*) no existiráf
  • 5. 5 Teniendo en cuentala definición de función inversa tenemosque si un pulrto P {:<,y) penenece a la gráfica de f , el punto P'(y, t), simétrico ,Jel anterior respecrode Ia bisectriz del primer cuadrantepeftenecerá la gráfica de f I. Las gr'áticas a de f y f I son sirnétricirs res'ecto tJeIa bisectrizdel primer cuadrante. Aplicando la definición de composiciónde funcionestenemos que : If-' o f : fc fr - l - ¡ - t Í c"^ r I I: funcióniei¿nridad f(x): x. Su-sráfica l¿r es bisectriz primercuadrante del , t Valor absolutode una función: |.- e(xl Vx / g(x) < 0 (*): ls(x)l=j L e(x.) Vx I g(x)> o 6.- Sucesiones Se llama sucesiónde númerosrealesa toda fi¡rción en la que el c¡rrninio D : coincide con N (conjuntode númerosnaturales) En estascondiciones ernplea especial: f (n) = Sn, Ejemplo:t-{l) = - n ll se una nrltación nl +l 1l asl : r(l): lz ' | 1 I f t L f(2)= 22+l 5 Como casosparticulares sucesiones de citaremos: a ) S u c e s i ó n r i U n é t i c a ( p r o g r e s i ó n a r i t n i é t i c aS n : f { n ) : a + b n a + ) cL}ñ a. be}1. Su expresiónft¡ncionales lineal. b) Sucesión geornétrica (prog¡esión gecrnénica) + Sn= f (n): a.b* con a. be ttt. Su expresiónfincional es exponencial (la vürernosrrrásadelante) Paraencontrarlas exptesiones típicasde las progresiones partir de las defi¡iciones tendremosen a cuenla: * Progresiones aritlnéticas : S,,:a*bn S n - S n _ i :b ( c t e ) Vn > I Sn_i-o'b(n-t) b recibe el nombre de "diterencia" de la progresiirn aritmética.
  • 6. Podemos escribir Sn:á+ b n : a+ b lt-¡ b *b - a+ b = b(n- l):S,+bln-l) * Progresiones geoméüicas: = Sn s.b" L 1 - - U¡ ¡ _ h Sn-l=u-bt'-t-j s - n- l b recibeel nombre de "razón" de la progresióngeométncay podemosescribir : bn . n-l Sn-?'bn:a':-'b:ab b''-'- S, b"' n- 7.- Funciones polinómicas: Las funciones más básicas que podemos manejar s.in las funciones n-]+ + aif * ilo p o l i n ó m i c a s :f ( x ) : á n X n + a n rx "' Si f(x) : Pr(x) (polinomio de l" gradcr) su gráfica es una recta y recibe et uoi¡rbre de función lineal y=ax-rb Si el polinomioes de 2o grado f(x): a:rr+ b r* c. su gráficaesunaparábr:iade ejevert¡cal (véasef(x) : *: ) . Su concavidaddepende signo de "a" y su posición relatir,'a spectodel eje del re OX viene dadapor las raicesdel polinomio de 2ogrado Las fiulcionespolinómicasde grado superiorson. ett general.complejasy'- cornü ejemplo veremos f(x) : *:
  • 7. 7 8.- Transformación tunciones:Dada la función de : "n" f(x) estudiaremos relacién d¿ su sráfica con la las gráficasde las funcionessiguientes: * y: f(r) + k : Su gráfica corresponderáa 7a trasiación vertical de la graiica original de y : (x) haciaambaenunarnedidaigual k si k >0 .v- a haciaabajosi k < 0. * y:(r_a) Su gráfica correspLrndc la h'aslación a horizontal de la Eáfica *nginal hacia la derechaenunamedidaigual "a" si a> 0 yhacia la izquier.de a < 0. a ri * y=k'f{x) Su gráfica corresponde "alalgar''la gr'áficaoriginal d. y = {x) verticalnente a en una rnedi,ladadapor el fact¡:r k si k > 0. si k <0, el factorde "distensión" seríairl v además giraremoslagráfica 180o respecto eje OX. al * Su gráfica corresponde "comprirnir" horizontalmentsla griitica originai por a Y:f(k'x): un factor k si k > 0 . Si k < 0 comprimi¡emos según trn factor I k I y giraremos l80o respecto eje OY. al
  • 8. LIiv-tITEDE FUNCIONES Límitede una función un punto: en (" si x*2 quererestudia¡el compofirrmiento Supongamos de tt-;: ]t-- to iasProximidades [) si x = 2 d e lo u n t o x : 2 .i l Se olrservaque al aproúrnar los valoresde x a l. Ios valoresde / -- --4 f(x) se acercan 4 {ver con la calculadoral a f . Diremos que -l es el línite de f(x) cuanrJox iiende a 2 si los valores de t1x) son todo lo cercanos a "l como nosotros queramos. en todos ios puntos distirrtos de 2, que estén próximos a x: suficientemente 2 ; es decir. si todos los puntos del eiltorno inmediato de x = 2 toman valor,e: de f(x) todo lo celcanosque quer¿rmos 4 (comprobarcon Ia ealculadora) a Obsén'eseque la idea de lín-rite tiene en cuentaen rungún sentidolo que ocurra en x: 2. sino no lo que ocurraen las proximidades x:2. de En general, diremos que I- : f(x) si los valores que toma f(x) en trdos los puntos *111. suficientemente próximos a x0 (e-rcepto.il ) son todo lo cercanos que queramos L. a Límiteslaterales. Decimosque L es límite de (xi cuandox tiendea rí) por su derecha ( L = lü*_f(x)) cua¡do ,3ILi los valoresde (x) se acercantodo lo cluequeran'ios L en todos los puntos a l¿ derechade x,,, a suficientemente próximos a xo. Análogamente defineel límite por la izquierda ( L: se lim f(x)) _ x-)x0 Eiemplo: [.x+l si xcl I f(x):{ 3 si x=1 I l-*+1 si x>l lim f(x) = 1i* (x + l) = 2 x->1- x-+l- lim f(x)= 11tt(-x+l)=O r r+ ,+ x-+t x +l (1):3 Se demuestraque la condición necesariay suliciente para que f1x) teng¡riím¡re en x0 es que existanlos lílnites laterales izquierda-vderecha y arnboscoincidan a
  • 9. Si alguno de los límites lateralesno existe, o si existiendolos dos límites later¡rles son distintos. diremosque no existeel límite de Ia furrciónf(x) ¿uandox fiendea x ¿ ( 3 lirn f(x) ). X--)I,¡ Límitesen el infinito. Límitesinfinitos: ft*l--! I I Seala función f(x) : cuya griífica es la de la figrira X Se observaque cuandolos valorespositivosde x crecen. los de f(x) van tomando cadavez valores más próximos a cero. De hecho los valores de f(x) son tan próximos a ceto collro queramosen todos los puntospala los que x es suficientemente grande.Di¡ernos en este casoque cero es el límite al que tiende t{x) cuando x tiende a rnásinfinjto: 0: lim f(x) . -+ +!c En general diremos que L es el límite al que tiende (x) cuando x tiende a más infinito, y lo escribiremos:L : lim f(") , si los valores de f{x) son todo lo cercanosa L como queramos, siempreque los r;;::" grandes positivos. x seansuficientemente y De fbrma totalmente análoga definiremos L : lim f(x) para los valores de x que sean suficientemente pequeños negativos. y Si f(x) tiene límite L (fi¡ito) en + - co dirernosque f(x) tiene una asintotitlrorizontal (A H) "o ó y=L en +co ó -co respectivamente. r Si analiza:nos el comportarniento de f{:x) : en.las proxirnidadesde x = $ por la derecha_ x obsen'amosque los valores de f(x) se hacen todo lo grandesque quer¿ul1os de signo positivo, y siempre que los valores de x se aproximen suficientemente cero por dicho ledc. Diremos que a f(x) tiende a + co cuando x tiende a cero por la de{echa: lim* (x): * co --)(r' De forma completamenteanálogay razonando sobre lo que ocrÍre a la izquierda ijel valor cero de x . podremosafirmar para dicha función que f(:i) fiende a -ao cuando x tierrd* a cero por la izquierda: lim f(x) = -* r+0-
  • 10. tV I n diremosque Generalizando, lim f(x) : + co (ó -o ) cuurdo al apro.rirnarr suficientemenre x+xj o x e por su derech4 todos los valoresde f{x) son tnayoresque cualquiercanfid¿d k positiva fijada de antemano(o menoresque cualquier cantidad k negativa fijada de antct:ano). Análogamente definiremos lim _ f(x) : + oc (ó -.o ) ](--)Xrr * Cuando ambos límites lateralesde t]x) en x 6 Son infinitos del mismo:€igs diremos que tim f(x): + oo ó - oo. respectivamente (segúnlos casos) = I t* f(x) a¡6 =+ f(") enx : o v e r i f i c aI r+o+ I lim f(x) = a"6 I x-+0- Podremosdecir que Im f(x) = a6 r-+ 0 * Si alguno de los límites lateralesde t1x) en x e es i co diremosque f(x) tiene una asintota vertical€ü X: Xn También puede generalizarseel concepto de límite cuando f(x) crece o decreceilimitadamente, pudiéndosedefinir lirn f(x) = -Fqo x-+ + rc *u1*f(x)=-* lim f(x) = -.o lim f(x)=a"6 ](-+ - lc x-) -:c (Verejemptos) Continuidad de una función en un ounto: Dadala función (x) , diremosque i¿ fi.urciónf(x) es continuaen el punto x 0 si se verifica que f(x) = (l) En el casoen el que la definición ( I ) no se cumpla diremosque f(x) no es continuaen xo (o sea, (x) es discontinuaen x e) Paraque puedacumplirsela definición rie firnción contiuuaen un punto x,¡ ha dc verificarse: a) f(xo ) deberáestardefinido -+ x¡ € D b) [m f(x) deber'á estardefinido -+ Existir'ánlos dos límites lateralesi¡umar¿in valor un x-J{) finito) en rs ]Íunboscoincidirán
  • 11. il c) lim f(r): f(xo) -) el valor del límite coircidirá con el valor de la iuncién sfl x,r x--)x0 ello significa que a partir del punto P (x o, (x o )) un pequeñodes¡l:rzamiento Gráficarnente hacia la izquierdao hacia la derechapor la gráf*rca la f-unción reaiizaráde forma e*ttinua- es decir. de se sin realizarnineún salto finito ni infinito. Continuidadlateral: Dirernósque f(x) es continuaa la deresha r,1 cuando lim f(r): de f(x¡ ) x-+x[ Diremos que (x) es continuaa la izquierdade x ¡ cuando lim f(x) : t{x¡ ) X-+fn Ejemplo: l-x+l si x<1 f(r): { I x+l si x>l que lim f(x):0 Vemos x->l- úñ x--1 no ¿1 ¿¿;.t{^La n lim f(x) -a |r-*) x+l lim r(x):2 ]= x->l- f (t¡ = g Ahora bien. f (l): tim f(x) : 0. luego f(x) es continuaa la iequierdade x : 1, r->l- (o lo que es lo mismo, el trazo de f(x) es continuo desdeel punto y : 0 ien x : 1) hacia la izquierda) Puededemostrarseque: * Todas1asñlncionespolinómicasson cr¡ntinuas toda la recta real. en * La sum4 restay producto de dos funcionescontinuasen un punto es ot'a ñlncion continua en el mismo punto. * El cocientede dos firncionescontinuasen un punto es otra finción continuaen el mismo punto, exceptoen los puntosen los que se anulael denominador.
  • 12. 12 Cálculo de límltes de operaciones funciones: con Se puededemostrar si que L: lim f(x) y L': lim g(r) entonces f -+ ¡¡ X-+ 0 . * lim : L+L' [f(x)+g(x)] --) ¿ .. (r *') * lim kf(x): kL X -> X() 100) * lim f(x)'g(r) : L'L' S-+ X¡ ( fo.) x tim flx) L si L'+o =:; L r - + x , ,B ( x ) (t'd (si L' : 0" coinprobarla posibilidadde límite infixito) * lirn - (si L *0 ó L, +0) [f(x)]e(x) ¡L' X-) Xg (t e) Casosen los que inteniene un límite inl'inito: Si limf(x):L y limg(x):+o {L') --) xg x-) x¡ (t*) (t *,) llamaremosforma simbólica del límite a la expresiónque se obdenede sustizur¡ las reglas de en operaciones límites del apartadoarterior L y L' por sus valoresfinitos o infinitos. segúnlos de casos. Así, la forma de lim [f(x) + g(x)] será L * .¡ y daremosei valor del límite: X-+ Xg l+-o- ) lim [f(x)+g(x)]: +co -) ^ (t*) Simbolizandoel casode operaciones lírnltesde funcicnes por susformasrespcutivas de
  • 13. IJ Si L: lim f(*) y + co: lim gix): K--+0 --+tt{) : x*)x¡ f ** lim k'g(r)= j- [+to si k>0 sl k<0 il.* * 'l kr. O -J) K-ca k 0 =-co sl I +oo) siL > 0 * si L r O l lim f(x)'g(x) = J*- {, X-)6 lT* si L<0 I L.* si L . 0 ) (t*) f( x) IL ^I lim ----:--- : u l- t-l ={, I co l x+:<¡9tx) (+o- =-* si L>0 L to si L>0 ..m r(x) It *co Sl L<U 3 =-* si L<0 ^= x--+x¡ 8(x) L wl.¿,lizat lateralessi L = 0 los {+ p¿l 3 - analizar laterales; *i existelímite ver 0 * lim f(x¡e(s) _Jo - si0<L<1 yL'=+co ó siL>lyL'=-.{ x-+9 l'¡ oo) l** si 0<L<l y L'=-cc ó si L>1y L':+c¿ ( jO L'=*co y L>0 * l i m g ( x )¡" / t' = l | . . Sl ***o'' [ 0 si L'=*co y L<0 ¡+_) En todos estos casos, el valor del lírnite de la operación de fi.mciones,sr* puede calcular directamente.Llamaremos a estassituacionesfonnas determlnadasde límite. Llamaremos formas indeterminadasde límite a aqueilasque erigen algún tipa de operación previa con las ftinciones que en él intervienensi queremosobtener su valor; son siete ;r se simbolizan cD rl corno:- ) cvt-@ , ; ' 0'co ) ( La obtención de los valores de los limites de tbnna indeterminadase detalLuá en las clases prácticas) El númeroe: Puededemostrarse los lfu¡itessiguientes: que % r,,r, * 1l' [r z ) y lim ( I +z)- son iguales a un nirmerü irracional que z-+"c z.->0 llamaremos"e" (z será cualquier funcíou de x que tiende en la referenciaindie¡u1a los límites a mencionados)
  • 14. t4 FUNICiONEXPONENCIAL FUICIÓ}{ T,OGARÍT,IICA * Funciónexponencial: llamaremosfuncién exponencial base"a" ( a > 0. de ilÉ I ). a la que asignaacadavalor real r el valor, tanibienreal. a' : f(x)= a* = xe:H -l-+ a- e:)l gráfic4 en función de los valoresde "a" serála siguiente: Su representación (l) Propiedades: 1) a* > 0 Vx e !l ( la función exponencial toma siemprevaloresestrictamente positivos) 2) ao: 1 - ' : - 3) Sia>l: lim a:0 ; lirn ax: +oo : lirn a + c a. l i m a - * : 0 xJ+fl -)-:c !-) +:c 4) Sia<l: li¡1 a=.o; lim a*:0t lim a- :0: lim a-x=+co I--) - Jc K-++ic --t + -i Aunque, en teorí4 se puedeconsiderar posibilidadde que "a" tome distilltos vgiüres¡eales,en Ia la práctica, los más utilizados son: a: l0 (exponencialdecimal) y a= e (expr:nencial natural). cuyas gráficas y característicascorrespondenal caso general de a > 1. Puededemostrarse la función exponencial cóntirua a lo largo de toda la reerareal. que es * Función logarítrnica:" Llatna¡noslogzu'itrno base a > 0, de un número n:= en 0. al exponenteal que hay que elevaÍ "a" para obtener n " A la finción que hace corresponder a r-:*danúmero real positivo, x , su logarirrrro sn base "a", tambiénnúmero real, le llamaremosfunción logaríturicaen base"a" : log* x = f f(x):logu r=!t+ ,loguxelR Para su representación gráfica: es evidente que la función exponencialy la tuncion logariínica con las mismas bases son una la función inversa de la ofa siendo sus gráfi*:rs, por lo tanto, sirnétricasrespectode la bisectriz del prirner cuad¡arrte.
  • 15. t5 t LC'Í o Arálogamente a la función exponencial, en ia práctica las bases rnás utilizarlas son a : l0 (logaritmos decimales) y a = e (logantrnos nepedanoso naturales,dzuldolugru a las frurciones y= logx, (a:10) ; y= L., (a:e). Propiedades: propiedades las más impoüantesde la ñmción logaritrnicason: l) D: {xe}1/x>0 } = ¡1- 2 ) l o g o1 : 0 , y a q u e a o- I 3 ) l o g ua : I , y u q , r . u ' : u 4) Sia>l y 0<x<l +logux<0 x>f -+ log.x>0 Si0<a<l y 0<x<l +log"x>0 x>1-) logux<0 5) Si a> I :+ x : -co ,t$.to*u x: + co .11-to*o Si 0<acl :+ lim logux:reo x-> 0- *9.'logux=-cti 6) Reglasde operaciones con logariünos: * l o g a A + l o g o B : l o g oA ' B * l o g uA - l o g oB : l o g . A I B * l o g aA ^- : k t l o g oA * k: logoak x ulogor- y log" at : .ti (propiedadde la función inve¡ia) "
  • 16. EJERCICIOS Hallarlosdominios lassiguientes de funciones: x a) f(x): xt + I b)f(x): c)f(x): ^ d) f(x): = x-j 2.- gráficamente siguientes Representar las funciones: xr +1 si x<0 a) f(x): b) f(x) = lsi 0<x<2 x-l si x>2 3.- Discutir la paridadde las siguientes funciones: X, x-l a) t(x) : ,, . b)f(x)=7il c) t(x) = - d)f(x)=lr'l x-+l X ^ Dada la gráficade una función f(x) en ( 0 , 2 l, dibujar la gráficade dicha función en [- 2,2 ) a) si f(x) es par b) si f(x) es impar c) si f(x) es periódicade periodo T : 2 - x 5.- Dadaslas funciones t ( x ) : y g(x) , hallar: x_l a) f-l(x) y g-r(x) siexisten b) g.f y fog que fo f-r = I c) comprobar 6.- términos la sucesión la Que a ¡ :2 Escribirlos primeros de en y &n:3 an- r . 7.- y Hallar la expresiónde la fórmulade recurrencia del término n-simo de los múltiplosde 5 8.- R e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e :) f ( x ) : a l*'-5x+61 Olf(x): x'-Zl xl ) Y' 9.- Dada f(x) : ^ . compararlas gráficasde l) y=f(x)+l z 2) y: f (x- l) 3) y: 2 f (x) (: *') 4) y: f(2 x) y: ^.x. )) -2 t (- )
  • 17. **l si x<-l | 10.- Dadala función f'(x)= 3 si x=-l hallar gráficamente lim._ f(x) , 1 x-t-l l-"*2 si x>-l lim (x) , lim ( x) , continuidad f(x). de x-+-1 x -+-l t l. Dada la gráfica f(x) Hallar: lim f(x), lim f(x), x -+0 x-+ I- -r x-+l- lim (x), lim (x), x-++oo c o n t i n u i d a d ex = 0 . n lim x-+-co r(x) 4a I i 0si x<0 x2+l si x<0 Continuidadde a) f(x) = l1 rt x-ll sl 0<xS2 b) f(x): I si 0<x<2 0si x>2 x-l si x>2 1a x-l x-l ) I J.- C a l c u l a r l o s l í m i t e s l: i m * - l I lim ; lim );llmx- x-+l xf I x-+-1 x+l x-+0 X_ x _+* co (- + ,IT-(*'-3x+2) ; .I?- *'+ x 2) _IT**' ' ,.gT_(*'-5x+7)' t. . { ^ ,. xl-l ,. xl+2x-l 2 x s+ 7 llm (-x'+j.-+)) : llm . : llm il ;llm1 x-+to x-+lx'-1 x-+m¡'+3x'+2 x-+- cc x'+I ,. 2x-l llm ------:- ; ,. x'-l |lm ---:- ; hm J**r-:- l l i m - .rG*¡-: x-+"o 3x'+l x-+l x'-1 x-+3 3-x x - - + lr / x + 1 5 - r / 3 x + 1 3 tl IXI ; 14.- 15.- Estudiarla continuidadde E[x] parteenterade x D[x] partedecimal de x | 2-*' si x<2 16.- Estudiarla continuidad de f(x) = -f r(x): I x'-4 [2*-6 si x>2 I si x<1 l(x):l l,*'-t si xro t(x)=l I X ; l2*-3 si x>0 J..1 si x>l t lx2+l si x<0 t7.- H a l l a r l o s v a l o r e se a y b p a r a q u e f ( x ) : ] o * * a d si 0<x<1 seacontinuaentodoB : si x>1 | : i-: 1 18.- ¿Quévalor habríaque dar a f(2)para que f(x) fuera continuaen x = 2? xt _ 32