SlideShare una empresa de Scribd logo
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
9
1.13.- APLICACIONES. –
1.13.1.- RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO. –
Un número complejo es llamado una raíz enésima de un número complejo Z si 𝑊𝑛
= Z, y
escribimos 𝑊 = 𝑍1/𝑛
. Del teorema de MOIVRE, podemos indicar que si n es un número entero
positivo
𝑍1/𝑛
= {𝑅(cos 𝜃 + sin 𝜃 𝑖)}1/𝑛
𝑍
1
𝑛 = 𝑅
1
𝑛{𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖}
1
𝑛
𝑍
1
𝑛 = 𝑅
1
𝑛 {𝑐𝑜𝑠 (
𝜃
𝑛
) + 𝑠𝑒𝑛 (
𝜃
𝑛
) 𝑖}
𝜃 = 𝜃0 + 2𝐾𝜋
𝑍1/𝑛
= 𝑅1/𝑛 {cos (
𝜃𝑜 + 2𝐾𝜋
𝑛
) + sen (
𝜃𝑜 + 2𝑘𝜋
𝑛
)𝑖}
Hacemos variar k = 0,1,2,3,…, n-1 para obtener las raíces. De aquí se deduce que hay n valores
diferentes para 𝑍1/𝑛
, esto quiere decir que hay n diferentes raíces de Z, si Z≠0.
Z = X + Y i
|𝑍| = R = √𝑥2 + 𝑦2 ; 𝜃0 = tan−1
(
𝑌
𝑋
)
Ej. 1.- hallar las raíces y graficar en el plano Z
𝑊5
= √8 + √8 𝑖 = Z
|𝑍| = √(√8)
2
+ (√8)
2
⟹ |𝑍| = 4
𝜃0 =tan−1
(
√8
√8
) ⟹ 𝜃0 = 450
=
𝜋
4
Ζ
1
5 = {4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450
+ 2𝐾𝜋
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450
+ 2𝐾𝜋
5
)𝑖]}
Hacemos variar 0 ≤ 𝐾 ≤ 4
Para K = 0
Z0 = 4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450
5
)𝑖]
Z0 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(90) + 𝑠𝑒𝑛(90)𝑖]
Z0 = 4
1
5𝑐𝑜𝑠(90) + 4
1
5𝑠𝑒𝑛(90)𝑖
Z0 = 1,303 + 0,206 i ; 𝜃 = 90
4
1
5𝑐𝑜𝑠(90) = 1,303 = Parte real de Z0
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
10
4
1
5𝑠𝑒𝑛(90) = 0,206 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z0
Para K = 1
Z1 =4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450+2(1)180
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450+2(1)180
5
) 𝑖]
Z1 = 4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
4050
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
4050
5
)𝑖]
Z1 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(810) + 𝑠𝑒𝑛(810)𝑖]
Z1 = 4
1
5 cos(810) + 4
1
5 sen(810)𝑖
Z1 = 0,206 + 1,303 i ; 𝜃 = 810
4
1
5𝑐𝑜𝑠(810) = 0,206 = Parte real de Z1
4
1
5𝑠𝑒𝑛(810) = 1,303 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z1
Para K = 2
Z2=4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450+2(2)1800
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450+2(2)1800
5
)𝑖]
Z2 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(1530) + 𝑠𝑒𝑛(1530)𝑖]
Z2 = 4
1
5 cos(1530) + 4
1
5 sen(1530)𝑖
Z2 = - 1,176 + 0,599 i ; 𝜃 = 1530
4
1
5𝑐𝑜𝑠(1530) = −1,176 = Parte real de Z2
4
1
5𝑠𝑒𝑛(1530) = 0,599 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z2
Para K = 3
Z3=4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450+2(3)1800
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450+2(3)1800
5
)𝑖]
Z3 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(2250) + 𝑠𝑒𝑛(2250)𝑖]
Z3 = 4
1
5 cos(2250) + 4
1
5 sen(2250)𝑖
Z3 = - 0,933 - 0,933 i ; 𝜃 = 2250
4
1
5𝑐𝑜𝑠(2250) = − 0,933 = Parte real de Z3
4
1
5𝑠𝑒𝑛(2250) = − 0,933 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z3
Para K = 4
Z4=4
1
5 [𝑐𝑜𝑠 (
450+2(4)1800
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
450+2(4)1800
5
)𝑖]
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
11
Z4 = 4
1
5[𝑐𝑜𝑠(2970) + 𝑠𝑒𝑛(2970)𝑖]
Z4 = 4
1
5 cos(2970) + 4
1
5 sen(2970)𝑖
Z4 = 0,599 - 1,175 i ; 𝜃 = 2970
4
1
5𝑐𝑜𝑠(2970) = 0,599 = Parte real de Z4
4
1
5𝑠𝑒𝑛(2270) = − 1,175 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z4
PLANO Z
1.13.2.- ECUACIONES POLINOMICAS. – Son ecuaciones que se resuelven de la siguiente
manera.
Ej. 1.- resolver las siguientes ecuaciones.
𝑎𝑍2
+ 𝑏𝑍 + 𝑐 = 0
𝑎𝑍2
+ 𝑏𝑍 = −𝑐 /a
𝑍2
+ (
𝑏
𝑎
) 𝑍 = −
𝑐
𝑎
completar cuadrado
𝑍2
+
𝑏
𝑎
𝑍 + (
𝑏
2𝑎
)
2
= (
𝑏
2𝑎
)
2
−
𝑐
𝑎
𝑍2
+
𝑏
𝑎
𝑍 + (
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎2
(𝑍 +
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2
− 4𝑎𝑐
4𝑎2
1
,303
x
y
1
,303
-1
,1
1
7
-0,933
0,599
0,206
0,599
-0,933
-1
,1
1
7
Z0
Z1
Z2
Z3
Z4
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
12
𝑍 +
𝑏
2𝑎
= ± √
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑍 = −
𝑏
2𝑎
± √
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎2
𝑍 = −
𝑏
2𝑎
±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑍 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑍1 =
−𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑍2 =
−𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
2.- 𝟓𝒁𝟐
+ 𝟐𝒁 + 𝟏𝟎 = 𝟎
𝑍 =
−2 ± √22 − 4𝑥5𝑥10
2𝑥5
𝑍 =
−2 ± √4 − 200
10
𝑍 =
−2 ± √−196
10
=
−2 ± √−1 ∗ 196
10
𝑍 =
−2 ± √196 √−1
10
𝑍 =
−2 ± 14 √𝑖2
10
𝑍 =
−2 ± 14𝑖
10
𝑍1 = −
1
5
+
7
5
𝑖
𝑍2 = −
1
5
−
7
5
𝑖
PRUEBA: Reemplazar en la ecuación cuadrática.
5Z2
+ 2Z + 10 = 0
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
13
5 (−
1
5
+
7
5
𝑖)
2
+ 2 (−
1
5
+
7
5
𝑖) + 10 = 0
5 [(−
1
5
)
2
+ 2 (−
1
5
) (
7
5
𝑖) + (
7
5
𝑖)
2
] −
2
5
+
14
5
𝑖 + 10 = 0
5 [
1
25
−
14
25
𝑖 −
49
25
] −
2
5
+
14
5
𝑖 + 10 = 0
1
5
−
14
5
𝑖 −
49
5
−
2
5
+
14
5
𝑖 + 10 = 0
1
5
−
49
5
−
2
5
+ 10 −
14
5
𝑖 +
14
5
𝑖 = 0
(10 − 10) + (
14
5
−
14
5
) 𝑖 = 0
0 = 0 ok!
3.- 𝑍2
+ (2𝑖 − 3)𝑍 + (5 − 𝑖) = 0
𝑍 =
−(2𝑖 − 3) ± √(2𝑖 − 3)2 − 4(5 − 𝑖)
2
𝑍 =
3 − 2𝑖 ± √4𝑖2 − 12𝑖 + 9 − 20 + 4𝑖
2
𝑍 =
3 − 2𝑖 ± √−4 − 8𝑖 + 9 − 20
2
𝑍 =
3 − 2𝑖 ± √−15 − 8𝑖
2
Ahora buscamos un número complejo que elevado al cuadrado obtengamos −15 − 8𝑖
Sabiendo que:
Z = a + b i
Z2
= (a + b i)2
= a2
+ 2ab i + (b i)2
= a2
+ 2ab i – b2
Z2 = (a + b i)2 = (a2 - b2) + (2ab) i
-2ab = - 8 ⟹ ab = 4 y a2
- b2
= - 15
𝑎 =
4
𝑏
(
4
𝑏
)
2
− 𝑏2
= −15
16− 𝑏4
𝑏2
= −15 ⟹ 16 − 𝑏4
= −15𝑏2
(𝑏2)2
− 15(𝑏)2
− 16 = 0
(𝑏2
− 16)(𝑏2
+ 1) = 0
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
14
𝑏2
− 16 = 0 𝑏2
+ 1 = 0
𝑏 = ± 4 𝑏 = ± 𝑖
b1 = 4 b2 = - 4 b3 = 𝑖 b4 = - 𝑖
reemplazamos en:
𝑎 =
4
𝑏
𝑎1 = 1; 𝑎2 = −1 ; 𝑎3 = −4 𝑖 ; 𝑎4 = 4 𝑖
Finalmente reemplazamos en:
(a + b i)2
= (a2
- b2
) + (2ab) i = - 15 - 8 𝑖
𝑎1 = 1 b1 = 4
(1 + 4 i)2
= (12
- 42
) + (2)(4) i = - 15 + 8 𝑖
− 15 + 8𝑖 ≠ - 15 – 8i
𝑎1 = 1 b1 = - 4
(1 - 4 i)2
= (12
- 42
) - (2)(4)) i = - 15 - 8 𝑖
− 15 − 8𝑖 = - 15 – 8i
𝑎2 = −1 b1 = 4
(-1 + 4 i)2
= (12
- 42
) - (2)(4)) i = - 15 - 8 𝑖
− 15 − 8𝑖 = - 15 – 8i
𝑎2 = −1 b2 = - 4
(-1 - 4 i)2
= (12
- 42
) + (2)(4)) i = - 15 + 8 𝑖
𝑍 =
3 − 2 𝑖 ± √(1 − 4 𝑖)2
2
𝑍 =
3 − 2 𝑖 ± 1 − 4 𝑖
2
𝑍1 =
(3 − 2 𝑖) + (1 − 4𝑖)
2
𝑍1 =
3−2 𝑖+1−4 𝑖
2
=
4−6 𝑖
2
𝑍1 = 2 − 3 𝑖
𝑍2 =
(3 − 2 𝑖) − (1 − 4𝑖)
2
𝑍2 = 1 + 𝑖
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
15
Prueba: Z1 y Z2 reemplazamos en la ecuación cuadrática, es decir:
𝑍2
+ (2𝑖 − 3)𝑍 + (5 − 𝑖) = 0
(1 + 𝑖)2
+ (2 𝑖 − 3)(1 + 𝑖) + (5 − 𝑖) = 0
1 + 2 𝑖 − 1 + (2 𝑖 − 3) + 𝑖 (2 𝑖 − 3) + 5 − 𝑖 = 0
1 + 2 𝑖 − 1 + 2 𝑖 − 3 − 2 − 3 𝑖 + 5 − 𝑖 = 0
(6 − 6) + (4 − 4) i = 0
0 = 0 ok!
También podemos resolver polinomios
𝑍5
− 2𝑍4
− 𝑍3
+ 6𝑍 − 4 = 0 aplicamos la regla de Ruffini, es decir utilizamos los
coeficientes de cada termino.
𝑍5
− 2𝑍4
− 𝑍3
+ 0𝑍2
+ 6𝑍 − 4 = 0
1 -2 -1 0 6 -4
z= 1 1 -1 -2 -2 4
1 -1 -2 -2 4 0
z= 1 1 0 -2 -4
1 0 -2 -4 0 0
z= 2 2 4 4
1 2 2 0
𝑍2
+ 2𝑍 + 2 = 0
(𝑍 − 1)(𝑍 − 1)(𝑍 − 2)(𝑍2
+ 2𝑍 + 2) = 0
𝑍2
+ 2𝑍 + 2 = 0
𝑍 =
−2±√4−8
2
𝑍 =
−2±√−4
2
𝑍 =
−2 ± 2 𝑖
2
Z1 = -1 + 𝑖
Z2 = -1 – 𝑖 Z3 = 1 Z4 = 1 Z5 = 2
(𝑍 − 1)(𝑍 − 1)(𝑍 − 2)(𝑍 + 1 − 𝑖)(𝑍 + 1 + 𝑖) = 0
Prueba:
𝑍5
− 2𝑍4
− 𝑍3
+ 0𝑍2
+ 6𝑍 − 4 = 0
15
− 2𝑥14
− 13
+ 0𝑥12
+ 6𝑥1 − 4 = 0
1 − 2 − 1 + 0 + 6 − 4 = 0
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
16
(1 + 6 − 3 − 4) = 0
7 − 7 = 0
0 = 0 ok!
Así probamos para todos los valores de Z, es decir: para Z1, Z2, Z3, Z4 y Z5.
2.13.3. CONJUNTOS DE PUNTOS. -
Cualquier colección de puntos en el plano complejo Z se denomina un conjunto bidimensional
de puntos, y cada punto es un miembro o elemento del conjunto.
VECINDADES. - Una vecindad de radio delta δ de un punto Zo, es el conjunto de todos los
puntos Z tales que ǀZ-Zoǀ< δ, donde δ es cualquier número positivo dado, una vecindad
reducida δ de Zo, es una vecindad de Zo en la que el punto Zo se omite, es decir: 0<ǀZ-Zoǀ<δ
d = ǀZ - Zoǀ d < δ
PUNTOS LIMITES. – Un punto Z0, se llama punto límite ó punto de acumulación de un
conjunto S, si cada vecindad δ reducida de Z0 contiene puntos del conjunto S.
CONJUNTOS CERRADOS. - Un conjunto S, se dice que es cerrado si cada punto límite del
conjunto S pertenece a este conjunto, esto es, si S contiene todos sus puntos límites.
CONJUNTOS ACOTADOS .- un conjunto S se dice que es acotado, si podemos encontrar una
constante M, tal que |𝑍| < 𝑀, para cada punto Z del conjunto S. Un conjunto ilimitado es un
conjunto que no es acotado y un conjunto que es acotado y cerrado se llama conjunto
compacto.
PUNTO INTERIOR. - Un punto Z0, se llama punto interior de un conjunto S, si podemos
encontrar una vecindad de radio δ de Z0, cuyos puntos pertenecen todos al conjunto S.
PUNTO FRONTERA. - Se dice que Z0, es puntos frontera de un conjunto S, si toda vecindad δ
de Z0, contiene puntos del conjunto S y puntos que no pertenecen al conjunto S.
CONJUNTOS ABIERTOS. - Un conjunto abierto, es un conjunto que consiste solamente de
puntos interiores.

Más contenido relacionado

Similar a MAT-214 3ra clase.pdf

Calculo integralfase2
Calculo integralfase2 Calculo integralfase2
Calculo integralfase2
Angélica Guarín
 
Ejercicios y problemas de números enteros y otros
Ejercicios y problemas de números enteros y otrosEjercicios y problemas de números enteros y otros
Ejercicios y problemas de números enteros y otros
Escuela EBIMA
 
POWERS AND ROOTS.DOCX
POWERS AND ROOTS.DOCXPOWERS AND ROOTS.DOCX
POWERS AND ROOTS.DOCX
gelu1963
 
Numerosenteros
NumerosenterosNumerosenteros
Números complejos
Números complejosNúmeros complejos
Números complejos
aart07
 
Solucionario Parcial Matemática V - FIEE UNI
Solucionario Parcial Matemática V - FIEE UNISolucionario Parcial Matemática V - FIEE UNI
Solucionario Parcial Matemática V - FIEE UNI
Andy Juan Sarango Veliz
 
Asignacion1julian
Asignacion1julianAsignacion1julian
Asignacion1julian
17941232
 
100411A_764_Unidad3.docx
100411A_764_Unidad3.docx100411A_764_Unidad3.docx
100411A_764_Unidad3.docx
andreaaguirre411092
 
FRACCIONES ALGEBRAICAS.pdf
FRACCIONES ALGEBRAICAS.pdfFRACCIONES ALGEBRAICAS.pdf
FRACCIONES ALGEBRAICAS.pdf
MIREYAMISHELLQUISHPE
 
La Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace La Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace
JorgeHernndezAlatris
 
Asignacion1julian
Asignacion1julianAsignacion1julian
Asignacion1julian
Carlos Herrera Alvarez
 
Ejercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
Ejercicios de variable compleja - Edgar De SantiagoEjercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
Ejercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
Rafael Yépez
 
Trabajo de matematicas parte 2 (recuperado)
Trabajo de matematicas parte 2 (recuperado)Trabajo de matematicas parte 2 (recuperado)
Trabajo de matematicas parte 2 (recuperado)
LizethHernandez
 
MA185 MATEMÁTICA V 2da Práctica Calificada
MA185 MATEMÁTICA V 2da Práctica CalificadaMA185 MATEMÁTICA V 2da Práctica Calificada
MA185 MATEMÁTICA V 2da Práctica Calificada
Miguel Pajuelo Villanueva
 
Ecuaciones lineales de dos incognitas.docx
Ecuaciones lineales de dos incognitas.docxEcuaciones lineales de dos incognitas.docx
Ecuaciones lineales de dos incognitas.docx
CINTHYACAROLINAWEREK
 
Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebr...
Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebr...Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebr...
Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebr...
RalMercadoMartnez
 
Un1. Números enteros (Matemáticas 2º PCPI MV)
Un1. Números enteros (Matemáticas 2º PCPI MV)Un1. Números enteros (Matemáticas 2º PCPI MV)
Un1. Números enteros (Matemáticas 2º PCPI MV)
Jesús Fernández Gómez
 
continuidad variable compleja
continuidad variable compleja continuidad variable compleja
continuidad variable compleja
Holmes Estudiantes)
 
6.numeros complejos
6.numeros complejos6.numeros complejos
6.numeros complejos
fabiancurso
 
MAT-214 TEMA 2 6ta clase.pdf
MAT-214  TEMA 2 6ta clase.pdfMAT-214  TEMA 2 6ta clase.pdf
MAT-214 TEMA 2 6ta clase.pdf
VLAZZXOf1
 

Similar a MAT-214 3ra clase.pdf (20)

Calculo integralfase2
Calculo integralfase2 Calculo integralfase2
Calculo integralfase2
 
Ejercicios y problemas de números enteros y otros
Ejercicios y problemas de números enteros y otrosEjercicios y problemas de números enteros y otros
Ejercicios y problemas de números enteros y otros
 
POWERS AND ROOTS.DOCX
POWERS AND ROOTS.DOCXPOWERS AND ROOTS.DOCX
POWERS AND ROOTS.DOCX
 
Numerosenteros
NumerosenterosNumerosenteros
Numerosenteros
 
Números complejos
Números complejosNúmeros complejos
Números complejos
 
Solucionario Parcial Matemática V - FIEE UNI
Solucionario Parcial Matemática V - FIEE UNISolucionario Parcial Matemática V - FIEE UNI
Solucionario Parcial Matemática V - FIEE UNI
 
Asignacion1julian
Asignacion1julianAsignacion1julian
Asignacion1julian
 
100411A_764_Unidad3.docx
100411A_764_Unidad3.docx100411A_764_Unidad3.docx
100411A_764_Unidad3.docx
 
FRACCIONES ALGEBRAICAS.pdf
FRACCIONES ALGEBRAICAS.pdfFRACCIONES ALGEBRAICAS.pdf
FRACCIONES ALGEBRAICAS.pdf
 
La Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace La Transformada de Laplace
La Transformada de Laplace
 
Asignacion1julian
Asignacion1julianAsignacion1julian
Asignacion1julian
 
Ejercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
Ejercicios de variable compleja - Edgar De SantiagoEjercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
Ejercicios de variable compleja - Edgar De Santiago
 
Trabajo de matematicas parte 2 (recuperado)
Trabajo de matematicas parte 2 (recuperado)Trabajo de matematicas parte 2 (recuperado)
Trabajo de matematicas parte 2 (recuperado)
 
MA185 MATEMÁTICA V 2da Práctica Calificada
MA185 MATEMÁTICA V 2da Práctica CalificadaMA185 MATEMÁTICA V 2da Práctica Calificada
MA185 MATEMÁTICA V 2da Práctica Calificada
 
Ecuaciones lineales de dos incognitas.docx
Ecuaciones lineales de dos incognitas.docxEcuaciones lineales de dos incognitas.docx
Ecuaciones lineales de dos incognitas.docx
 
Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebr...
Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebr...Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebr...
Ejercicios determinante de matriz por Cramer y Sarrus - Fundamentos de Algebr...
 
Un1. Números enteros (Matemáticas 2º PCPI MV)
Un1. Números enteros (Matemáticas 2º PCPI MV)Un1. Números enteros (Matemáticas 2º PCPI MV)
Un1. Números enteros (Matemáticas 2º PCPI MV)
 
continuidad variable compleja
continuidad variable compleja continuidad variable compleja
continuidad variable compleja
 
6.numeros complejos
6.numeros complejos6.numeros complejos
6.numeros complejos
 
MAT-214 TEMA 2 6ta clase.pdf
MAT-214  TEMA 2 6ta clase.pdfMAT-214  TEMA 2 6ta clase.pdf
MAT-214 TEMA 2 6ta clase.pdf
 

Más de VLAZZXOf1

Minerales Formadores de Rocas Geología aplicado a Ing Civil.pptx
Minerales Formadores de Rocas Geología aplicado a Ing Civil.pptxMinerales Formadores de Rocas Geología aplicado a Ing Civil.pptx
Minerales Formadores de Rocas Geología aplicado a Ing Civil.pptx
VLAZZXOf1
 
UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (1).ppsx
UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (1).ppsxUNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (1).ppsx
UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (1).ppsx
VLAZZXOf1
 
MAT-214 9na clase.pdf
MAT-214  9na clase.pdfMAT-214  9na clase.pdf
MAT-214 9na clase.pdf
VLAZZXOf1
 
MAT-214 5ta clase.pdf
MAT-214  5ta clase.pdfMAT-214  5ta clase.pdf
MAT-214 5ta clase.pdf
VLAZZXOf1
 
TRIGONOMETRIA 1 (A.pdf
TRIGONOMETRIA 1 (A.pdfTRIGONOMETRIA 1 (A.pdf
TRIGONOMETRIA 1 (A.pdf
VLAZZXOf1
 
EXPERIENCIA 5.pdf
EXPERIENCIA 5.pdfEXPERIENCIA 5.pdf
EXPERIENCIA 5.pdf
VLAZZXOf1
 
CARATULA LAB..docx
CARATULA LAB..docxCARATULA LAB..docx
CARATULA LAB..docx
VLAZZXOf1
 

Más de VLAZZXOf1 (7)

Minerales Formadores de Rocas Geología aplicado a Ing Civil.pptx
Minerales Formadores de Rocas Geología aplicado a Ing Civil.pptxMinerales Formadores de Rocas Geología aplicado a Ing Civil.pptx
Minerales Formadores de Rocas Geología aplicado a Ing Civil.pptx
 
UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (1).ppsx
UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (1).ppsxUNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (1).ppsx
UNIDAD 2 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (1).ppsx
 
MAT-214 9na clase.pdf
MAT-214  9na clase.pdfMAT-214  9na clase.pdf
MAT-214 9na clase.pdf
 
MAT-214 5ta clase.pdf
MAT-214  5ta clase.pdfMAT-214  5ta clase.pdf
MAT-214 5ta clase.pdf
 
TRIGONOMETRIA 1 (A.pdf
TRIGONOMETRIA 1 (A.pdfTRIGONOMETRIA 1 (A.pdf
TRIGONOMETRIA 1 (A.pdf
 
EXPERIENCIA 5.pdf
EXPERIENCIA 5.pdfEXPERIENCIA 5.pdf
EXPERIENCIA 5.pdf
 
CARATULA LAB..docx
CARATULA LAB..docxCARATULA LAB..docx
CARATULA LAB..docx
 

Último

chancadoras.............................
chancadoras.............................chancadoras.............................
chancadoras.............................
ssuser8827cb1
 
Proceso de obtenciòn de nitrogeno por el metodo Haber-Bosh
Proceso de obtenciòn de nitrogeno por el metodo Haber-BoshProceso de obtenciòn de nitrogeno por el metodo Haber-Bosh
Proceso de obtenciòn de nitrogeno por el metodo Haber-Bosh
shirllyleytonm
 
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completaINGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
JaimmsArthur
 
INFORME DE LABORATORIO MECANICA DE FLUIDOS (1).docx
INFORME DE LABORATORIO MECANICA DE FLUIDOS (1).docxINFORME DE LABORATORIO MECANICA DE FLUIDOS (1).docx
INFORME DE LABORATORIO MECANICA DE FLUIDOS (1).docx
LuzdeFatimaCarranzaG
 
Focos SSO Fin de Semana del 31 MAYO A al 02 de JUNIO de 2024.pdf
Focos SSO Fin de Semana del 31 MAYO A  al 02 de JUNIO  de 2024.pdfFocos SSO Fin de Semana del 31 MAYO A  al 02 de JUNIO  de 2024.pdf
Focos SSO Fin de Semana del 31 MAYO A al 02 de JUNIO de 2024.pdf
PatoLokooGuevara
 
Ducto Barras para instalaciones electricas
Ducto Barras para instalaciones electricasDucto Barras para instalaciones electricas
Ducto Barras para instalaciones electricas
Edgar Najera
 
9 Lección perro.pptxcvBWRFWBCCCCCCCCCCCCCCTEN
9 Lección perro.pptxcvBWRFWBCCCCCCCCCCCCCCTEN9 Lección perro.pptxcvBWRFWBCCCCCCCCCCCCCCTEN
9 Lección perro.pptxcvBWRFWBCCCCCCCCCCCCCCTEN
KarinToledo2
 
simbologia y normas de soldadura para su inspección
simbologia y normas de soldadura para su inspecciónsimbologia y normas de soldadura para su inspección
simbologia y normas de soldadura para su inspección
HarofHaro
 
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdfEXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
hugodennis88
 
PPT suelos ensayo Proctor - laboratorio 4.pdf
PPT suelos ensayo Proctor - laboratorio 4.pdfPPT suelos ensayo Proctor - laboratorio 4.pdf
PPT suelos ensayo Proctor - laboratorio 4.pdf
EgorRamos1
 
Cálculo del espesor del conducto forzado
Cálculo del espesor del conducto forzadoCálculo del espesor del conducto forzado
Cálculo del espesor del conducto forzado
KristianSaavedra
 
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIAMETODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
LuisCiriacoMolina
 
METRADOS_Y_PRESUPUESTO_EN_SISTEMA_DRYWALL_24-05.pdf
METRADOS_Y_PRESUPUESTO_EN_SISTEMA_DRYWALL_24-05.pdfMETRADOS_Y_PRESUPUESTO_EN_SISTEMA_DRYWALL_24-05.pdf
METRADOS_Y_PRESUPUESTO_EN_SISTEMA_DRYWALL_24-05.pdf
Augusto César Dávila Callupe
 
Rinitis alérgica-1.pdfuhycrbibxgvyvyjimomom
Rinitis alérgica-1.pdfuhycrbibxgvyvyjimomomRinitis alérgica-1.pdfuhycrbibxgvyvyjimomom
Rinitis alérgica-1.pdfuhycrbibxgvyvyjimomom
DanielaLoaeza5
 
OPERACIONES BÁSICAS (INFOGRAFIA) DOCUMENTO
OPERACIONES BÁSICAS (INFOGRAFIA) DOCUMENTOOPERACIONES BÁSICAS (INFOGRAFIA) DOCUMENTO
OPERACIONES BÁSICAS (INFOGRAFIA) DOCUMENTO
GERARDO GONZALEZ
 
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
FantasticVideo1
 
Las operaciones básicas en la construcción.
Las operaciones básicas en la construcción.Las operaciones básicas en la construcción.
Las operaciones básicas en la construcción.
MaraManuelaUrribarri
 
muros de contencion, diseño y generalidades
muros de contencion, diseño y generalidadesmuros de contencion, diseño y generalidades
muros de contencion, diseño y generalidades
AlejandroArturoGutie1
 
Infografia - Hugo Hidalgo - Construcción
Infografia - Hugo Hidalgo - ConstrucciónInfografia - Hugo Hidalgo - Construcción
Infografia - Hugo Hidalgo - Construcción
MaraManuelaUrribarri
 
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptxDIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
KeylaArlethTorresOrt
 

Último (20)

chancadoras.............................
chancadoras.............................chancadoras.............................
chancadoras.............................
 
Proceso de obtenciòn de nitrogeno por el metodo Haber-Bosh
Proceso de obtenciòn de nitrogeno por el metodo Haber-BoshProceso de obtenciòn de nitrogeno por el metodo Haber-Bosh
Proceso de obtenciòn de nitrogeno por el metodo Haber-Bosh
 
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completaINGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
INGLES_LISTA_DE_VOCABULARIO una lista completa
 
INFORME DE LABORATORIO MECANICA DE FLUIDOS (1).docx
INFORME DE LABORATORIO MECANICA DE FLUIDOS (1).docxINFORME DE LABORATORIO MECANICA DE FLUIDOS (1).docx
INFORME DE LABORATORIO MECANICA DE FLUIDOS (1).docx
 
Focos SSO Fin de Semana del 31 MAYO A al 02 de JUNIO de 2024.pdf
Focos SSO Fin de Semana del 31 MAYO A  al 02 de JUNIO  de 2024.pdfFocos SSO Fin de Semana del 31 MAYO A  al 02 de JUNIO  de 2024.pdf
Focos SSO Fin de Semana del 31 MAYO A al 02 de JUNIO de 2024.pdf
 
Ducto Barras para instalaciones electricas
Ducto Barras para instalaciones electricasDucto Barras para instalaciones electricas
Ducto Barras para instalaciones electricas
 
9 Lección perro.pptxcvBWRFWBCCCCCCCCCCCCCCTEN
9 Lección perro.pptxcvBWRFWBCCCCCCCCCCCCCCTEN9 Lección perro.pptxcvBWRFWBCCCCCCCCCCCCCCTEN
9 Lección perro.pptxcvBWRFWBCCCCCCCCCCCCCCTEN
 
simbologia y normas de soldadura para su inspección
simbologia y normas de soldadura para su inspecciónsimbologia y normas de soldadura para su inspección
simbologia y normas de soldadura para su inspección
 
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdfEXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
EXPOSICIÓN NTP IEC 60364-1 - Orlando Chávez Chacaltana.pdf
 
PPT suelos ensayo Proctor - laboratorio 4.pdf
PPT suelos ensayo Proctor - laboratorio 4.pdfPPT suelos ensayo Proctor - laboratorio 4.pdf
PPT suelos ensayo Proctor - laboratorio 4.pdf
 
Cálculo del espesor del conducto forzado
Cálculo del espesor del conducto forzadoCálculo del espesor del conducto forzado
Cálculo del espesor del conducto forzado
 
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIAMETODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
METODOLOGIA DE TRAZO Y REPLANTEO EN TOPOGRAFIA
 
METRADOS_Y_PRESUPUESTO_EN_SISTEMA_DRYWALL_24-05.pdf
METRADOS_Y_PRESUPUESTO_EN_SISTEMA_DRYWALL_24-05.pdfMETRADOS_Y_PRESUPUESTO_EN_SISTEMA_DRYWALL_24-05.pdf
METRADOS_Y_PRESUPUESTO_EN_SISTEMA_DRYWALL_24-05.pdf
 
Rinitis alérgica-1.pdfuhycrbibxgvyvyjimomom
Rinitis alérgica-1.pdfuhycrbibxgvyvyjimomomRinitis alérgica-1.pdfuhycrbibxgvyvyjimomom
Rinitis alérgica-1.pdfuhycrbibxgvyvyjimomom
 
OPERACIONES BÁSICAS (INFOGRAFIA) DOCUMENTO
OPERACIONES BÁSICAS (INFOGRAFIA) DOCUMENTOOPERACIONES BÁSICAS (INFOGRAFIA) DOCUMENTO
OPERACIONES BÁSICAS (INFOGRAFIA) DOCUMENTO
 
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
Sesión 03 universidad cesar vallejo 2024
 
Las operaciones básicas en la construcción.
Las operaciones básicas en la construcción.Las operaciones básicas en la construcción.
Las operaciones básicas en la construcción.
 
muros de contencion, diseño y generalidades
muros de contencion, diseño y generalidadesmuros de contencion, diseño y generalidades
muros de contencion, diseño y generalidades
 
Infografia - Hugo Hidalgo - Construcción
Infografia - Hugo Hidalgo - ConstrucciónInfografia - Hugo Hidalgo - Construcción
Infografia - Hugo Hidalgo - Construcción
 
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptxDIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
DIAPOSITIVA DE LA NORMA ISO 22000 EXPOSICI�N.pptx
 

MAT-214 3ra clase.pdf

  • 1. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 9 1.13.- APLICACIONES. – 1.13.1.- RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO. – Un número complejo es llamado una raíz enésima de un número complejo Z si 𝑊𝑛 = Z, y escribimos 𝑊 = 𝑍1/𝑛 . Del teorema de MOIVRE, podemos indicar que si n es un número entero positivo 𝑍1/𝑛 = {𝑅(cos 𝜃 + sin 𝜃 𝑖)}1/𝑛 𝑍 1 𝑛 = 𝑅 1 𝑛{𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑖} 1 𝑛 𝑍 1 𝑛 = 𝑅 1 𝑛 {𝑐𝑜𝑠 ( 𝜃 𝑛 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜃 𝑛 ) 𝑖} 𝜃 = 𝜃0 + 2𝐾𝜋 𝑍1/𝑛 = 𝑅1/𝑛 {cos ( 𝜃𝑜 + 2𝐾𝜋 𝑛 ) + sen ( 𝜃𝑜 + 2𝑘𝜋 𝑛 )𝑖} Hacemos variar k = 0,1,2,3,…, n-1 para obtener las raíces. De aquí se deduce que hay n valores diferentes para 𝑍1/𝑛 , esto quiere decir que hay n diferentes raíces de Z, si Z≠0. Z = X + Y i |𝑍| = R = √𝑥2 + 𝑦2 ; 𝜃0 = tan−1 ( 𝑌 𝑋 ) Ej. 1.- hallar las raíces y graficar en el plano Z 𝑊5 = √8 + √8 𝑖 = Z |𝑍| = √(√8) 2 + (√8) 2 ⟹ |𝑍| = 4 𝜃0 =tan−1 ( √8 √8 ) ⟹ 𝜃0 = 450 = 𝜋 4 Ζ 1 5 = {4 1 5 [𝑐𝑜𝑠 ( 450 + 2𝐾𝜋 5 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 450 + 2𝐾𝜋 5 )𝑖]} Hacemos variar 0 ≤ 𝐾 ≤ 4 Para K = 0 Z0 = 4 1 5 [𝑐𝑜𝑠 ( 450 5 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 450 5 )𝑖] Z0 = 4 1 5[𝑐𝑜𝑠(90) + 𝑠𝑒𝑛(90)𝑖] Z0 = 4 1 5𝑐𝑜𝑠(90) + 4 1 5𝑠𝑒𝑛(90)𝑖 Z0 = 1,303 + 0,206 i ; 𝜃 = 90 4 1 5𝑐𝑜𝑠(90) = 1,303 = Parte real de Z0
  • 2. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 10 4 1 5𝑠𝑒𝑛(90) = 0,206 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z0 Para K = 1 Z1 =4 1 5 [𝑐𝑜𝑠 ( 450+2(1)180 5 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 450+2(1)180 5 ) 𝑖] Z1 = 4 1 5 [𝑐𝑜𝑠 ( 4050 5 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 4050 5 )𝑖] Z1 = 4 1 5[𝑐𝑜𝑠(810) + 𝑠𝑒𝑛(810)𝑖] Z1 = 4 1 5 cos(810) + 4 1 5 sen(810)𝑖 Z1 = 0,206 + 1,303 i ; 𝜃 = 810 4 1 5𝑐𝑜𝑠(810) = 0,206 = Parte real de Z1 4 1 5𝑠𝑒𝑛(810) = 1,303 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z1 Para K = 2 Z2=4 1 5 [𝑐𝑜𝑠 ( 450+2(2)1800 5 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 450+2(2)1800 5 )𝑖] Z2 = 4 1 5[𝑐𝑜𝑠(1530) + 𝑠𝑒𝑛(1530)𝑖] Z2 = 4 1 5 cos(1530) + 4 1 5 sen(1530)𝑖 Z2 = - 1,176 + 0,599 i ; 𝜃 = 1530 4 1 5𝑐𝑜𝑠(1530) = −1,176 = Parte real de Z2 4 1 5𝑠𝑒𝑛(1530) = 0,599 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z2 Para K = 3 Z3=4 1 5 [𝑐𝑜𝑠 ( 450+2(3)1800 5 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 450+2(3)1800 5 )𝑖] Z3 = 4 1 5[𝑐𝑜𝑠(2250) + 𝑠𝑒𝑛(2250)𝑖] Z3 = 4 1 5 cos(2250) + 4 1 5 sen(2250)𝑖 Z3 = - 0,933 - 0,933 i ; 𝜃 = 2250 4 1 5𝑐𝑜𝑠(2250) = − 0,933 = Parte real de Z3 4 1 5𝑠𝑒𝑛(2250) = − 0,933 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z3 Para K = 4 Z4=4 1 5 [𝑐𝑜𝑠 ( 450+2(4)1800 5 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 450+2(4)1800 5 )𝑖]
  • 3. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 11 Z4 = 4 1 5[𝑐𝑜𝑠(2970) + 𝑠𝑒𝑛(2970)𝑖] Z4 = 4 1 5 cos(2970) + 4 1 5 sen(2970)𝑖 Z4 = 0,599 - 1,175 i ; 𝜃 = 2970 4 1 5𝑐𝑜𝑠(2970) = 0,599 = Parte real de Z4 4 1 5𝑠𝑒𝑛(2270) = − 1,175 = 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔. 𝑑𝑒 Z4 PLANO Z 1.13.2.- ECUACIONES POLINOMICAS. – Son ecuaciones que se resuelven de la siguiente manera. Ej. 1.- resolver las siguientes ecuaciones. 𝑎𝑍2 + 𝑏𝑍 + 𝑐 = 0 𝑎𝑍2 + 𝑏𝑍 = −𝑐 /a 𝑍2 + ( 𝑏 𝑎 ) 𝑍 = − 𝑐 𝑎 completar cuadrado 𝑍2 + 𝑏 𝑎 𝑍 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 = ( 𝑏 2𝑎 ) 2 − 𝑐 𝑎 𝑍2 + 𝑏 𝑎 𝑍 + ( 𝑏 2𝑎 ) 2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 (𝑍 + 𝑏 2𝑎 ) 2 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 1 ,303 x y 1 ,303 -1 ,1 1 7 -0,933 0,599 0,206 0,599 -0,933 -1 ,1 1 7 Z0 Z1 Z2 Z3 Z4
  • 4. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 12 𝑍 + 𝑏 2𝑎 = ± √ 𝑏2 − 4𝑎𝑐 4𝑎2 𝑍 = − 𝑏 2𝑎 ± √ 𝑏2−4𝑎𝑐 4𝑎2 𝑍 = − 𝑏 2𝑎 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑍 = −𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑍1 = −𝑏 + √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 𝑍2 = −𝑏 − √𝑏2 − 4𝑎𝑐 2𝑎 2.- 𝟓𝒁𝟐 + 𝟐𝒁 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝑍 = −2 ± √22 − 4𝑥5𝑥10 2𝑥5 𝑍 = −2 ± √4 − 200 10 𝑍 = −2 ± √−196 10 = −2 ± √−1 ∗ 196 10 𝑍 = −2 ± √196 √−1 10 𝑍 = −2 ± 14 √𝑖2 10 𝑍 = −2 ± 14𝑖 10 𝑍1 = − 1 5 + 7 5 𝑖 𝑍2 = − 1 5 − 7 5 𝑖 PRUEBA: Reemplazar en la ecuación cuadrática. 5Z2 + 2Z + 10 = 0
  • 5. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 13 5 (− 1 5 + 7 5 𝑖) 2 + 2 (− 1 5 + 7 5 𝑖) + 10 = 0 5 [(− 1 5 ) 2 + 2 (− 1 5 ) ( 7 5 𝑖) + ( 7 5 𝑖) 2 ] − 2 5 + 14 5 𝑖 + 10 = 0 5 [ 1 25 − 14 25 𝑖 − 49 25 ] − 2 5 + 14 5 𝑖 + 10 = 0 1 5 − 14 5 𝑖 − 49 5 − 2 5 + 14 5 𝑖 + 10 = 0 1 5 − 49 5 − 2 5 + 10 − 14 5 𝑖 + 14 5 𝑖 = 0 (10 − 10) + ( 14 5 − 14 5 ) 𝑖 = 0 0 = 0 ok! 3.- 𝑍2 + (2𝑖 − 3)𝑍 + (5 − 𝑖) = 0 𝑍 = −(2𝑖 − 3) ± √(2𝑖 − 3)2 − 4(5 − 𝑖) 2 𝑍 = 3 − 2𝑖 ± √4𝑖2 − 12𝑖 + 9 − 20 + 4𝑖 2 𝑍 = 3 − 2𝑖 ± √−4 − 8𝑖 + 9 − 20 2 𝑍 = 3 − 2𝑖 ± √−15 − 8𝑖 2 Ahora buscamos un número complejo que elevado al cuadrado obtengamos −15 − 8𝑖 Sabiendo que: Z = a + b i Z2 = (a + b i)2 = a2 + 2ab i + (b i)2 = a2 + 2ab i – b2 Z2 = (a + b i)2 = (a2 - b2) + (2ab) i -2ab = - 8 ⟹ ab = 4 y a2 - b2 = - 15 𝑎 = 4 𝑏 ( 4 𝑏 ) 2 − 𝑏2 = −15 16− 𝑏4 𝑏2 = −15 ⟹ 16 − 𝑏4 = −15𝑏2 (𝑏2)2 − 15(𝑏)2 − 16 = 0 (𝑏2 − 16)(𝑏2 + 1) = 0
  • 6. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 14 𝑏2 − 16 = 0 𝑏2 + 1 = 0 𝑏 = ± 4 𝑏 = ± 𝑖 b1 = 4 b2 = - 4 b3 = 𝑖 b4 = - 𝑖 reemplazamos en: 𝑎 = 4 𝑏 𝑎1 = 1; 𝑎2 = −1 ; 𝑎3 = −4 𝑖 ; 𝑎4 = 4 𝑖 Finalmente reemplazamos en: (a + b i)2 = (a2 - b2 ) + (2ab) i = - 15 - 8 𝑖 𝑎1 = 1 b1 = 4 (1 + 4 i)2 = (12 - 42 ) + (2)(4) i = - 15 + 8 𝑖 − 15 + 8𝑖 ≠ - 15 – 8i 𝑎1 = 1 b1 = - 4 (1 - 4 i)2 = (12 - 42 ) - (2)(4)) i = - 15 - 8 𝑖 − 15 − 8𝑖 = - 15 – 8i 𝑎2 = −1 b1 = 4 (-1 + 4 i)2 = (12 - 42 ) - (2)(4)) i = - 15 - 8 𝑖 − 15 − 8𝑖 = - 15 – 8i 𝑎2 = −1 b2 = - 4 (-1 - 4 i)2 = (12 - 42 ) + (2)(4)) i = - 15 + 8 𝑖 𝑍 = 3 − 2 𝑖 ± √(1 − 4 𝑖)2 2 𝑍 = 3 − 2 𝑖 ± 1 − 4 𝑖 2 𝑍1 = (3 − 2 𝑖) + (1 − 4𝑖) 2 𝑍1 = 3−2 𝑖+1−4 𝑖 2 = 4−6 𝑖 2 𝑍1 = 2 − 3 𝑖 𝑍2 = (3 − 2 𝑖) − (1 − 4𝑖) 2 𝑍2 = 1 + 𝑖
  • 7. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 15 Prueba: Z1 y Z2 reemplazamos en la ecuación cuadrática, es decir: 𝑍2 + (2𝑖 − 3)𝑍 + (5 − 𝑖) = 0 (1 + 𝑖)2 + (2 𝑖 − 3)(1 + 𝑖) + (5 − 𝑖) = 0 1 + 2 𝑖 − 1 + (2 𝑖 − 3) + 𝑖 (2 𝑖 − 3) + 5 − 𝑖 = 0 1 + 2 𝑖 − 1 + 2 𝑖 − 3 − 2 − 3 𝑖 + 5 − 𝑖 = 0 (6 − 6) + (4 − 4) i = 0 0 = 0 ok! También podemos resolver polinomios 𝑍5 − 2𝑍4 − 𝑍3 + 6𝑍 − 4 = 0 aplicamos la regla de Ruffini, es decir utilizamos los coeficientes de cada termino. 𝑍5 − 2𝑍4 − 𝑍3 + 0𝑍2 + 6𝑍 − 4 = 0 1 -2 -1 0 6 -4 z= 1 1 -1 -2 -2 4 1 -1 -2 -2 4 0 z= 1 1 0 -2 -4 1 0 -2 -4 0 0 z= 2 2 4 4 1 2 2 0 𝑍2 + 2𝑍 + 2 = 0 (𝑍 − 1)(𝑍 − 1)(𝑍 − 2)(𝑍2 + 2𝑍 + 2) = 0 𝑍2 + 2𝑍 + 2 = 0 𝑍 = −2±√4−8 2 𝑍 = −2±√−4 2 𝑍 = −2 ± 2 𝑖 2 Z1 = -1 + 𝑖 Z2 = -1 – 𝑖 Z3 = 1 Z4 = 1 Z5 = 2 (𝑍 − 1)(𝑍 − 1)(𝑍 − 2)(𝑍 + 1 − 𝑖)(𝑍 + 1 + 𝑖) = 0 Prueba: 𝑍5 − 2𝑍4 − 𝑍3 + 0𝑍2 + 6𝑍 − 4 = 0 15 − 2𝑥14 − 13 + 0𝑥12 + 6𝑥1 − 4 = 0 1 − 2 − 1 + 0 + 6 − 4 = 0
  • 8. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 16 (1 + 6 − 3 − 4) = 0 7 − 7 = 0 0 = 0 ok! Así probamos para todos los valores de Z, es decir: para Z1, Z2, Z3, Z4 y Z5. 2.13.3. CONJUNTOS DE PUNTOS. - Cualquier colección de puntos en el plano complejo Z se denomina un conjunto bidimensional de puntos, y cada punto es un miembro o elemento del conjunto. VECINDADES. - Una vecindad de radio delta δ de un punto Zo, es el conjunto de todos los puntos Z tales que ǀZ-Zoǀ< δ, donde δ es cualquier número positivo dado, una vecindad reducida δ de Zo, es una vecindad de Zo en la que el punto Zo se omite, es decir: 0<ǀZ-Zoǀ<δ d = ǀZ - Zoǀ d < δ PUNTOS LIMITES. – Un punto Z0, se llama punto límite ó punto de acumulación de un conjunto S, si cada vecindad δ reducida de Z0 contiene puntos del conjunto S. CONJUNTOS CERRADOS. - Un conjunto S, se dice que es cerrado si cada punto límite del conjunto S pertenece a este conjunto, esto es, si S contiene todos sus puntos límites. CONJUNTOS ACOTADOS .- un conjunto S se dice que es acotado, si podemos encontrar una constante M, tal que |𝑍| < 𝑀, para cada punto Z del conjunto S. Un conjunto ilimitado es un conjunto que no es acotado y un conjunto que es acotado y cerrado se llama conjunto compacto. PUNTO INTERIOR. - Un punto Z0, se llama punto interior de un conjunto S, si podemos encontrar una vecindad de radio δ de Z0, cuyos puntos pertenecen todos al conjunto S. PUNTO FRONTERA. - Se dice que Z0, es puntos frontera de un conjunto S, si toda vecindad δ de Z0, contiene puntos del conjunto S y puntos que no pertenecen al conjunto S. CONJUNTOS ABIERTOS. - Un conjunto abierto, es un conjunto que consiste solamente de puntos interiores.