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APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
41
4.- 𝑊 = coth−1(𝑍) =
1
2
ℓ𝓃 (
𝑍 +1
𝑍 −1
)
5.- 𝑊 = sech−1(𝑍) = ℓ𝓃 (
1 ±√1−𝑍2
𝑍
)
6.- 𝑊 = csch−1(𝑍) = ℓ𝓃 (
1 ±√𝑍2+1
𝑍
)
2.- 𝑊 = cosh−1(𝑍) = ℓ𝓃(𝑍 ± √𝑍2 − 1)
𝑍 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑊) ⟹ 𝑍 =
℮𝑊+ ℮−𝑊
2
2𝑍 = ℮𝑊
+ ℮−𝑊
x ℮𝑊
2𝑍℮𝑊
= (℮𝑊)2
+ ℮𝑊
℮−𝑊
(℮𝑊)2
− 2𝑍℮𝑊
+ 1 = 0
℮𝑊
=
2𝑍±√(2𝑍 )2−4(1)(1)
2(1)
℮𝑊
=
2𝑍 ± √4𝑍2 − 4
2
℮𝑊
=
2𝑍 ± √4(𝑍2−1)
2
℮𝑊
=
2𝑍 ± 2√𝑍2−1
2
℮𝑊
= 𝑍 ± √𝑍2 − 1
ℓ𝓃℮𝑊
= ℓ𝓃 (𝑍 ± √𝑍2 − 1)
𝑊 = ℓ𝓃 (𝑍 ± √𝑍2 − 1) = cosh−1(𝑍)
FUNCION POTENCIAL. – 𝑤 = 𝑍𝛼
, donde Z y 𝛼, puede ser complejos, esta función está definida
como: 𝑊 = ℮𝛼ℓ𝓃(𝑍), análogamente si 𝑓(𝑍) y 𝑔(𝑍) son funciones conocidas de Z, podemos decir que:
𝑊 = [𝑓(𝑍)]𝑔(𝑍)
, llamada función potencial
Ej. Desarrollar la función.
1.- 𝑊 = (𝑖)𝑖
ℓ𝓃(𝑊) = ℓ𝓃 (𝑖)𝑖
ℓ𝓃(𝑖) = ℓ𝓃|0 + 𝑖| + (
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋) 𝑖
ℓ𝓃(𝑊) = 𝑖ℓ𝓃(𝑖) ℓ𝓃(𝑖) = ℓ𝓃|1| + (
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋) 𝑖
para 𝑘 = 0
ℓ𝓃(𝑊) = 𝑖ℓ𝓃(𝑖) ℓ𝓃(𝑖) =
𝜋
2
𝑖
ℓ𝓃(𝑊) = 𝑖
𝜋
2
𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) =
𝜋
2
𝑖2
⟹ ℓ𝓃(𝑊) = −
𝜋
2
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
42
𝑊 = ℮−
𝜋
2 ⟹ 𝑊 = ℮−
𝜋
2 Rama principal.
2.- 𝑊 = (𝑖)
1
2+𝑖
ℓ𝓃𝑊 = ℓ𝓃(𝑖)
1
2+𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = (
1
2+𝑖
)ℓ𝓃(𝑖) ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = (
1
2+𝑖
)
𝜋
2
𝑖
ℓ𝓃(𝑊) = (
1
2+𝑖
)(
2−𝑖
2−𝑖
)
𝜋
2
𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = (
2−𝑖
22−𝑖2)
𝜋
2
𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = (
2−𝑖
4+1
)
𝜋
2
𝑖
ℓ𝓃(𝑊) = (
2−𝑖
5
)
𝜋
2
𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) =
2𝜋
10
𝑖 −
𝜋
10
𝑖2
⟹ ℓ𝓃(𝑊) =
𝜋
5
𝑖 +
𝜋
10
𝑊 = ℮
𝜋
10
+
𝜋
5
𝑖
⟹ 𝑊 = ℮
𝜋
10℮
𝜋
5
𝑖
⟹ 𝑊 = ℮
𝜋
10 [𝑐𝑜𝑠 (
𝜋
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
5
) 𝑖]
𝑊 = ℮
𝜋
10 [𝑐𝑜𝑠 (
1800
5
) + 𝑠𝑒𝑛 (
1800
5
)𝑖] ⟹ 𝑊 = ℮
𝜋
10[𝑐𝑜𝑠(360) + 𝑠𝑒𝑛(360)𝑖]
𝑊 = ℮
𝜋
10𝑐𝑜𝑠(360) + ℮
𝜋
10𝑠𝑒𝑛(360)𝑖 ⟹ 𝑢 + 𝑣 𝑖 = ℮
𝜋
10𝑐𝑜𝑠(360) + ℮
𝜋
10𝑠𝑒𝑛(360)𝑖
𝒖 = ℮
𝝅
𝟏𝟎𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟔𝟎
) Parte real
𝒗 = ℮
𝝅
𝟏𝟎𝒔𝒆𝒏(𝟑𝟔𝟎
) Parte imaginaria
LIMITES Y CONTINUIDAD. – Sea 𝑓(𝑧) una función definida y univoca en una vecindad 𝛿 de 𝑧0, con la
posible excepción de 𝑧0. Decimos que el numero L, es el limite de 𝑓(𝑧) cuando 𝑧 → 𝑧0.
Definimos: lim
𝑧→ 𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝐿
Si para cualquier número positivo épsilon 𝜀, (posiblemente muy pequeño) podemos
encontrar un numero positivo 𝛿 (generalmente depende de épsilon 𝜀), tal que:
|𝑓(𝑧) − 𝐿| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿
TEOREMA DE LIMITES
Si el lim
𝑧→ 𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝐴 y lim
𝑧→ 𝑧0
𝑔(𝑧) = 𝐵
1.- lim
𝑧→ 𝑧0
a 𝑓(𝑧) = 𝑎 lim
𝑧→ 𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝑎 𝐴
2.- lim
𝑧→ 𝑧0
[𝑓(𝑧) ± 𝑔(𝑧)] = lim
𝑧→ 𝑧0
𝑓(𝑧) ± lim
𝑧→ 𝑧0
𝑔(𝑧) = 𝐴 ± 𝐵
3.- lim
𝑧→ 𝑧0
[𝑓(𝑧) ∗ 𝑔(𝑧)] = lim
𝑧→ 𝑧0
𝑓(𝑧) ∗ lim
𝑧→ 𝑧0
𝑔(𝑧) = 𝐴 ∗ 𝐵
4.- lim
𝑧→ 𝑧0
[𝑓(𝑧)/𝑔(𝑧)] = lim
𝑧→ 𝑧0
𝑓(𝑧)/ lim
𝑧→ 𝑧0
𝑔(𝑧) = 𝐴/𝐵 si 𝐵 ≠ 0
CONTINUIDAD. - Sea 𝑓(𝑧) una función definida y univoca en una vecindad 𝛿 de 𝑧0, así como en
𝑧 = 𝑧0. La función 𝑓(𝑧) se llama continua en 𝑓(𝑧) = 𝑧0, si el lim
𝑧→ 𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0), para que 𝑓(𝑧) sea
continua en 𝑧 = 𝑧0, se debe cumplir:
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
43
1. - lim
𝑧→ 𝑧0
𝑓(𝑧) = 𝐿
2. - 𝑓(𝑧0) = ∃ debe existir, ósea 𝑓(𝑧) esta definida en 𝑧0
3. - 𝐿 = 𝑓(𝑧0)
SUCECIONES. – Una función de una variable entera positiva denotada por 𝑓(𝑛) ó 𝜇(𝑛), donde 𝑛 =
1,2,3, … … .., se llama una sucesión. Entonces una sucesión es un conjunto de números 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, … …,
arreglados en un orden definido y formados de acuerdo con una regla definida. Cada número en la
sucesión es llamado un término y 𝜇(𝑛) es llamado el termino n-enésimo.
{𝜇𝑛} = {𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, … … … … . . , 𝜇𝑛}
La sucesión se llama finita ó infinita de acuerdo si existe un numero finito de términos ó no en la
sucesión.
LIMITES DE UNA SUCESIÓN. – Un número L se llama el límite de una sucesión infinita, si para cualquier
número positivo 𝜀, podemos encontrar un número positivo N que depende de 𝜀, tal que:
|𝜇𝑛 − 𝐿| < 𝜀 para 𝑛 > 𝑁, en tal caso escribimos
lim
𝑧→∞
𝜇𝑛 = 𝐿
Si el límite de una sucesión existe, la sucesión se llama convergente, de lo contrario se llama
divergente. Una sucesión puede converger a solo un límite, ósea el límite es único.
TEOREMAS SOBRE LIMITES DE SUCECIONES. –
Si el lim
𝑧→∞
𝑎𝑛 = 𝐴 y lim
𝑧→∞
𝑏𝑛 = 𝐵
1.- lim
𝑧→∞
[𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛] = lim
𝑧→∞
𝑎𝑛 ± lim
𝑧→∞
𝑏𝑛 = 𝐴 ± 𝐵
2.- lim
𝑧→∞
[𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛] = lim
𝑧→∞
𝑎𝑛 ∗ lim
𝑧→∞
𝑏𝑛 = 𝐴 ∗ 𝐵
3.- lim
𝑧→∞
[𝑎𝑛/𝑏𝑛] = lim
𝑧→∞
𝑎𝑛 / lim
𝑧→∞
𝑏𝑛 = 𝐴/𝐵 si 𝐵 ≠ 0
SERIES INFINITAS. – Si 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, … … … … . . 𝜇𝑛, es una sucesión infinita, formemos una nueva sucesión
𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … … … … . . , 𝑠𝑛, definido por:
𝑠1 = 𝜇1
𝑠2 = 𝜇1 + 𝜇2
𝑠3 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3
𝑠4 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4
𝑠𝑛 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + ⋯ … … . +𝜇𝑛 = ∑ 𝜇𝑘
𝑛
1
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
44
La sucesión 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … … … … . . , 𝑠𝑛, se simboliza también ∑ 𝜇𝑘
𝑛
1 , la cual se llama serie infinita.
Si el lim
𝑧→∞
𝑠𝑛 = 𝑠, la serie se llama convergente y s es una suma, de lo contrario se llama divergente.
Una condición necesaria para que la serie converja es que: lim
𝑧→∞
𝜇𝑛 = 0, donde 𝜇𝑛 es el n-ésimo
termino, sin embargo, esto no es suficiente.
Ejemplos. – Resolver por definición.
1.- lim
𝑧→ 𝑖
𝑧2
= −1
|𝑓(𝑧) − 𝐿| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿
𝑓(𝑧) = 𝑧2
𝐿 = −1
𝑧0 = 𝑖
|𝑧2
− (−1)| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿
|𝑧2
− 𝑖2| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿
|(z − 𝑖)(z + 𝑖)| < 𝜀 cuando |𝑧 − 𝑖| = 𝛿
|𝑧 − 𝑖||𝑧 + 𝑖| < 𝜀 Adoptamos como 𝛿 = 1 |𝑧 − 𝑖| = 1
𝛿 ∗ 𝑔(𝑧) < 𝜀 ⟹ 𝑔(𝑧) = |𝑧 + 𝑖|
|𝑧 − 𝑖| = 1 Representar gráficamente en el plano W
|𝑥 + 𝑦 𝑖 − 𝑖| = 1
|𝑥 + (𝑦 − 1) 𝑖| = 1
√𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 * ( )2
𝑥2
+ (𝑦 − 1)2
= 1
Ecuación de una circunferencia con:
Centro 𝐶(0,1) y radio R
Es decir 𝑧1 = 1 + 𝑖 𝑧2 = 2𝑖 𝑧3 = −1 + 𝑖 𝑧4 = 0
𝑔(𝑧) = |𝑧 + 𝑖|
Para 𝑧1 = 1 + 𝑖
𝑔(𝑧1) = |1 + 𝑖 + 𝑖| = |1 + 2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧1) = √12 + (2)2 = √𝟓
Para 𝑧2 = 2𝑖
𝑔(𝑧2) = |2𝑖 + 𝑖| = |3 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧2) = √02 + (3)2 = √9 = 𝟑
Para 𝑧3 = −1 + 𝑖
𝑔(𝑧3) = |−1 + 𝑖 + 𝑖| = |−1 + 2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧3) = √(−1)2 + (2)2 = √𝟓
Para 𝑧4 = 0
X
Y
│Z-i│=1
𝑍1 = 1 + 𝑖
𝑍0 = 0
𝑍3 = −1 + 𝑖
𝑍2 = 2𝑖
-1 1
𝑖
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
45
𝑔(𝑧4) = |0 + 𝑖| = | 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧4) = √02 + (1)2 = √1 = 𝟏
De estos valores elegimos el mayor de ellos, es decir: 𝑔(𝑧) = 3 y reemplazamos en:
𝛿 ∗ 𝑔(𝑧) < 𝜀
𝛿 ∗ 3 < 𝜀 de aquí despejamos delta
𝜹 < 𝜺/𝟑
2.- lim
𝑧→ ℮
𝝅 𝒊
𝟐
(
z6+1
𝑧2+1
) = 3 ⟹ lim
𝑧→ 𝒊
(
z6+1
𝑧2+1
) = 3 ℮𝜃 𝑖
= 𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑖
℮
𝜋
2
𝑖
= 𝑐𝑜𝑠(900) + 𝑠𝑒𝑛(900) 𝑖 ⟹ ℮
𝜋
2
𝑖
= 𝑖
|𝑓(𝑧) − 𝐿| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿
𝑓(𝑧) =
z6
+ 1
𝑧2 + 1
= z4
− 𝑧2
+ 1
𝐿 = 3
𝑧0 = 𝑖
|z4
− 𝑧2
+ 1 − (3)| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿
|z4
− 𝑧2
− 2| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿
|(z2)2
− (𝑧2) − 2| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿
|(z2
− 2)(z2
+ 1)| < 𝜀 cuando |𝑧 − 𝑖| = 𝛿
|(z2
− 2)(z2
− (𝑖)2)| < 𝜀
|(z2
− 2)(𝑧 + 𝑖)(𝑧 − 𝑖)| < 𝜀
|𝑧 − 𝑖||(z2
− 2)(𝑧 + 𝑖)| < 𝜀 Adoptamos como 𝛿 = 1 |𝑧 − 𝑖| = 1
𝛿 ∗ 𝑔(𝑧) < 𝜀 ⟹ 𝑔(𝑧) = |(z2
− 2)(𝑧 + 𝑖)|
|𝑧 − 𝑖| = 1 Representar gráficamente en el plano W
|𝑥 + 𝑦 𝑖 − 𝑖| = 1
|𝑥 + (𝑦 − 1) 𝑖| = 1
√𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 * ( )2
𝑥2
+ (𝑦 − 1)2
= 1
Ecuación de una circunferencia con:
Centro 𝐶(0,1) y radio R
Es decir 𝑧1 = 1 + 𝑖 𝑧2 = 2𝑖 𝑧3 = −1 + 𝑖 𝑧4 = 0
𝑔(𝑧) = |(z2 − 2)(𝑧 + 𝑖)|
Para 𝑧1 = 1 + 𝑖
X
Y
│Z-i│=1
𝑍1 = 1 + 𝑖
𝑍0 = 0
𝑍3 = −1 + 𝑖
𝑍2 = 2𝑖
-1 1
𝑖
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
46
𝑔(𝑧1) = |[(1 + 𝑖)2
− 2](1 + 𝑖 + 𝑖)| = |(1 + 2 𝑖 − 1 − 2)(1 + 2𝑖)| = |(2 𝑖 − 2)(1 + 2𝑖)|
𝑔(𝑧1) = |2𝑖 − 4 − 2 − 4𝑖| = |−6 − 2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧1) = √(−6)2 + (−2)2 = √𝟒𝟎
Para 𝑧2 = 2𝑖
𝑔(𝑧2) = |[(2 𝑖)2
− 2](2 𝑖 + 𝑖)| = |(−4 − 2)(3 𝑖)| = |−6 ∗ 3 𝑖| = |−18 𝑖|
𝑔(𝑧2) = |−18 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧2) = √(0)2 + (−18)2 = 𝟏𝟖
Para 𝑧3 = −1 + 𝑖
𝑔(𝑧3) = |[(−1 + 𝑖)2
− 2](−1 + 𝑖 + 𝑖)| = |(−2 𝑖 − 2)(−1 + 2𝑖)| = |(−2 𝑖 − 2)(−1 + 2𝑖)|
𝑔(𝑧3) = |2𝑖 + 4 + 2 − 4𝑖| = |6 − 2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧3) = √(6)2 + (−2)2 = √𝟒𝟎
Para 𝑧4 = 0
𝑔(𝑧4) = |[(0)2
− 2](0 + 𝑖)| = |(−2)(𝑖)| = |−2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧4) = √0 + (−2)2 = 𝟐
De estos valores elegimos el mayor de ellos, es decir: 𝑔(𝑧) = 18 y reemplazamos en:
𝛿 ∗ 𝑔(𝑧) < 𝜀
𝛿 ∗ 18 < 𝜀 de aquí despejamos delta
𝜹 < 𝜺/𝟏𝟖
3.- lim
𝑧→ 3℮𝝅 𝒊
(
z+3
𝑧2−9
) =?
Primero analizamos la tendencia y la reducimos de la siguiente manera:
℮𝜋 𝑖
= 𝑐𝑜𝑠(1800) + 𝑠𝑒𝑛(1800) 𝑖 donde: 𝑐𝑜𝑠(1800) = −1 y 𝑠𝑒𝑛(1800) = 0
℮𝜋 𝑖
= −1
lim
𝑧→ −3
(
z+3
𝑧2−9
) = lim
𝑧→ −3
[
−3+3
(−3)2−9
] =
0
0
Es una indeterminación del tipo 0/0, habrá que salvar la indeterminación, factorizando:
lim
𝑧→ −3
(
z+3
𝑧2−32) = lim
𝑧→ −3
[
z+3
(𝑧−3)(𝑧+3)
] = lim
𝑧→ −3
[
1
(𝑧−3)
] = lim
𝑧→ −3
[
1
(−3−3)
] = −
1
6
𝑳 = −
𝟏
𝟔
También podíamos iniciar el problema reemplazando directamente la tendencia, de la siguiente
manera:
lim
𝑧→ 3℮𝝅 𝒊
(
z+3
𝑧2−9
) = lim
𝑧→ 3℮𝝅 𝒊
[
3℮𝝅 𝒊+3
(3℮𝝅 𝒊)
2
−9
] = lim
𝑧→ 3℮𝝅 𝒊
[
3℮𝝅 𝒊+3
9℮𝟐𝝅 𝒊−9
] =
= lim
𝑧→ 3℮𝝅 𝒊
{
3[cos(180)+𝑠𝑒𝑛(180) 𝑖]+3
9[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟔𝟎)+𝒔𝒆𝒏 (𝟑𝟔𝟎) 𝒊]−9
} = lim
𝑧→ 3℮𝝅 𝒊
{
3[−1]+3
9[𝟏]−9
} =
0
0
Indeterminación.
lim
𝑧→ −3
(
z + 3
𝑧2 − 32
) = lim
𝑧→ −3
[
z + 3
(𝑧 − 3)(𝑧 + 3)
] = lim
𝑧→ −3
[
1
𝑧 − 3
] = lim
𝑧→ −3
[
1
−3 − 3
] = −
1
6
APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR
47
𝑳 = −
𝟏
𝟔
4.- lim
𝑧→ ℮
𝟑
𝟐
𝝅 𝒊
(
𝑧2+3z 𝑖−2
𝑧+𝑖
) =?
lim
𝑧→ −𝒊
(
𝑧2
+ 3z 𝑖 − 2
𝑧 + 𝑖
) = lim
𝑧→ −𝒊
[
(−𝑖)2
+ 3(− 𝑖) 𝑖 − 2
(−𝑖) + 𝑖
] = lim
𝑧→ −𝒊
[
−1 + 3 − 2
(−𝑖) + 𝑖
] =
0
0
lim
𝑧→ −𝒊
(𝑧+2𝑖)(𝑧+𝑖)
𝑧+𝑖
= lim
𝑧→ −𝒊
(𝑧 + 2𝑖) = −𝑖 + 2𝑖 = 𝑖 ⟹ 𝑳 = 𝒊
5.- lim
𝑧→ 5℮
𝝅 𝒊
𝟐
(
z 𝑖+5
𝑧2+25
) =?
lim
𝑧→ 5𝒊
(
z 𝑖+5
𝑧2+25
) = lim
𝑧→ 5𝒊
[
(5𝑖) 𝑖+5
(5𝑖)2+25
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
−5+5
−25+25
] =
0
0
lim
𝑧→ 5𝒊
[
z 𝑖+5
z2+25
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
z 𝑖−5𝑖2
z2−52𝑖2] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
z 𝑖−5𝑖2
z2−(5𝑖)2] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖(z −5 𝑖)
(z+5 𝑖)(z −5 𝑖)
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
(z+5 𝑖)
] =
lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
(z+5 𝑖)
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
(5 𝑖+5 𝑖)
] = lim
𝑧→ 5𝒊
[
𝑖
10 𝑖
] =
1
10
⟹ 𝑳 =
𝟏
𝟏𝟎
UNIDAD No. 3
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS
DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS. – Si 𝑓(𝑧) es una función univoca en alguna región R,
del punto z, la derivada de 𝑓(𝑧) está definida por:
𝑓′(𝑧) = lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
Si el límite existe independientemente de la manera como ∆𝑧 → 0, en tal caso decimos que
𝑓(𝑧) es diferenciable en z.
𝑤 = 𝑓(𝑧)
∆𝑤 = 𝑓(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧)
𝑑𝑤
𝑑𝑧
= lim
∆𝑧→ 0
𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧)
∆𝑧
= lim
∆𝑧→ 0
∆𝑤
∆𝑧
INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA. – Sea z un punto P en el plano z y w su
imagen P’ en el plano w bajo la transformación 𝑤 = 𝑓(𝑧) ya que suponemos que 𝑓(𝑧) es una
función univoca, entonces el punto z es aplicado solo en el punto w.
Plano z Plano w

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  • 1. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 41 4.- 𝑊 = coth−1(𝑍) = 1 2 ℓ𝓃 ( 𝑍 +1 𝑍 −1 ) 5.- 𝑊 = sech−1(𝑍) = ℓ𝓃 ( 1 ±√1−𝑍2 𝑍 ) 6.- 𝑊 = csch−1(𝑍) = ℓ𝓃 ( 1 ±√𝑍2+1 𝑍 ) 2.- 𝑊 = cosh−1(𝑍) = ℓ𝓃(𝑍 ± √𝑍2 − 1) 𝑍 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑊) ⟹ 𝑍 = ℮𝑊+ ℮−𝑊 2 2𝑍 = ℮𝑊 + ℮−𝑊 x ℮𝑊 2𝑍℮𝑊 = (℮𝑊)2 + ℮𝑊 ℮−𝑊 (℮𝑊)2 − 2𝑍℮𝑊 + 1 = 0 ℮𝑊 = 2𝑍±√(2𝑍 )2−4(1)(1) 2(1) ℮𝑊 = 2𝑍 ± √4𝑍2 − 4 2 ℮𝑊 = 2𝑍 ± √4(𝑍2−1) 2 ℮𝑊 = 2𝑍 ± 2√𝑍2−1 2 ℮𝑊 = 𝑍 ± √𝑍2 − 1 ℓ𝓃℮𝑊 = ℓ𝓃 (𝑍 ± √𝑍2 − 1) 𝑊 = ℓ𝓃 (𝑍 ± √𝑍2 − 1) = cosh−1(𝑍) FUNCION POTENCIAL. – 𝑤 = 𝑍𝛼 , donde Z y 𝛼, puede ser complejos, esta función está definida como: 𝑊 = ℮𝛼ℓ𝓃(𝑍), análogamente si 𝑓(𝑍) y 𝑔(𝑍) son funciones conocidas de Z, podemos decir que: 𝑊 = [𝑓(𝑍)]𝑔(𝑍) , llamada función potencial Ej. Desarrollar la función. 1.- 𝑊 = (𝑖)𝑖 ℓ𝓃(𝑊) = ℓ𝓃 (𝑖)𝑖 ℓ𝓃(𝑖) = ℓ𝓃|0 + 𝑖| + ( 𝜋 2 + 2𝑘𝜋) 𝑖 ℓ𝓃(𝑊) = 𝑖ℓ𝓃(𝑖) ℓ𝓃(𝑖) = ℓ𝓃|1| + ( 𝜋 2 + 2𝑘𝜋) 𝑖 para 𝑘 = 0 ℓ𝓃(𝑊) = 𝑖ℓ𝓃(𝑖) ℓ𝓃(𝑖) = 𝜋 2 𝑖 ℓ𝓃(𝑊) = 𝑖 𝜋 2 𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = 𝜋 2 𝑖2 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = − 𝜋 2
  • 2. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 42 𝑊 = ℮− 𝜋 2 ⟹ 𝑊 = ℮− 𝜋 2 Rama principal. 2.- 𝑊 = (𝑖) 1 2+𝑖 ℓ𝓃𝑊 = ℓ𝓃(𝑖) 1 2+𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = ( 1 2+𝑖 )ℓ𝓃(𝑖) ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = ( 1 2+𝑖 ) 𝜋 2 𝑖 ℓ𝓃(𝑊) = ( 1 2+𝑖 )( 2−𝑖 2−𝑖 ) 𝜋 2 𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = ( 2−𝑖 22−𝑖2) 𝜋 2 𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = ( 2−𝑖 4+1 ) 𝜋 2 𝑖 ℓ𝓃(𝑊) = ( 2−𝑖 5 ) 𝜋 2 𝑖 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = 2𝜋 10 𝑖 − 𝜋 10 𝑖2 ⟹ ℓ𝓃(𝑊) = 𝜋 5 𝑖 + 𝜋 10 𝑊 = ℮ 𝜋 10 + 𝜋 5 𝑖 ⟹ 𝑊 = ℮ 𝜋 10℮ 𝜋 5 𝑖 ⟹ 𝑊 = ℮ 𝜋 10 [𝑐𝑜𝑠 ( 𝜋 5 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 𝜋 5 ) 𝑖] 𝑊 = ℮ 𝜋 10 [𝑐𝑜𝑠 ( 1800 5 ) + 𝑠𝑒𝑛 ( 1800 5 )𝑖] ⟹ 𝑊 = ℮ 𝜋 10[𝑐𝑜𝑠(360) + 𝑠𝑒𝑛(360)𝑖] 𝑊 = ℮ 𝜋 10𝑐𝑜𝑠(360) + ℮ 𝜋 10𝑠𝑒𝑛(360)𝑖 ⟹ 𝑢 + 𝑣 𝑖 = ℮ 𝜋 10𝑐𝑜𝑠(360) + ℮ 𝜋 10𝑠𝑒𝑛(360)𝑖 𝒖 = ℮ 𝝅 𝟏𝟎𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟔𝟎 ) Parte real 𝒗 = ℮ 𝝅 𝟏𝟎𝒔𝒆𝒏(𝟑𝟔𝟎 ) Parte imaginaria LIMITES Y CONTINUIDAD. – Sea 𝑓(𝑧) una función definida y univoca en una vecindad 𝛿 de 𝑧0, con la posible excepción de 𝑧0. Decimos que el numero L, es el limite de 𝑓(𝑧) cuando 𝑧 → 𝑧0. Definimos: lim 𝑧→ 𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝐿 Si para cualquier número positivo épsilon 𝜀, (posiblemente muy pequeño) podemos encontrar un numero positivo 𝛿 (generalmente depende de épsilon 𝜀), tal que: |𝑓(𝑧) − 𝐿| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 TEOREMA DE LIMITES Si el lim 𝑧→ 𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝐴 y lim 𝑧→ 𝑧0 𝑔(𝑧) = 𝐵 1.- lim 𝑧→ 𝑧0 a 𝑓(𝑧) = 𝑎 lim 𝑧→ 𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝑎 𝐴 2.- lim 𝑧→ 𝑧0 [𝑓(𝑧) ± 𝑔(𝑧)] = lim 𝑧→ 𝑧0 𝑓(𝑧) ± lim 𝑧→ 𝑧0 𝑔(𝑧) = 𝐴 ± 𝐵 3.- lim 𝑧→ 𝑧0 [𝑓(𝑧) ∗ 𝑔(𝑧)] = lim 𝑧→ 𝑧0 𝑓(𝑧) ∗ lim 𝑧→ 𝑧0 𝑔(𝑧) = 𝐴 ∗ 𝐵 4.- lim 𝑧→ 𝑧0 [𝑓(𝑧)/𝑔(𝑧)] = lim 𝑧→ 𝑧0 𝑓(𝑧)/ lim 𝑧→ 𝑧0 𝑔(𝑧) = 𝐴/𝐵 si 𝐵 ≠ 0 CONTINUIDAD. - Sea 𝑓(𝑧) una función definida y univoca en una vecindad 𝛿 de 𝑧0, así como en 𝑧 = 𝑧0. La función 𝑓(𝑧) se llama continua en 𝑓(𝑧) = 𝑧0, si el lim 𝑧→ 𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0), para que 𝑓(𝑧) sea continua en 𝑧 = 𝑧0, se debe cumplir:
  • 3. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 43 1. - lim 𝑧→ 𝑧0 𝑓(𝑧) = 𝐿 2. - 𝑓(𝑧0) = ∃ debe existir, ósea 𝑓(𝑧) esta definida en 𝑧0 3. - 𝐿 = 𝑓(𝑧0) SUCECIONES. – Una función de una variable entera positiva denotada por 𝑓(𝑛) ó 𝜇(𝑛), donde 𝑛 = 1,2,3, … … .., se llama una sucesión. Entonces una sucesión es un conjunto de números 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, … …, arreglados en un orden definido y formados de acuerdo con una regla definida. Cada número en la sucesión es llamado un término y 𝜇(𝑛) es llamado el termino n-enésimo. {𝜇𝑛} = {𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, … … … … . . , 𝜇𝑛} La sucesión se llama finita ó infinita de acuerdo si existe un numero finito de términos ó no en la sucesión. LIMITES DE UNA SUCESIÓN. – Un número L se llama el límite de una sucesión infinita, si para cualquier número positivo 𝜀, podemos encontrar un número positivo N que depende de 𝜀, tal que: |𝜇𝑛 − 𝐿| < 𝜀 para 𝑛 > 𝑁, en tal caso escribimos lim 𝑧→∞ 𝜇𝑛 = 𝐿 Si el límite de una sucesión existe, la sucesión se llama convergente, de lo contrario se llama divergente. Una sucesión puede converger a solo un límite, ósea el límite es único. TEOREMAS SOBRE LIMITES DE SUCECIONES. – Si el lim 𝑧→∞ 𝑎𝑛 = 𝐴 y lim 𝑧→∞ 𝑏𝑛 = 𝐵 1.- lim 𝑧→∞ [𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛] = lim 𝑧→∞ 𝑎𝑛 ± lim 𝑧→∞ 𝑏𝑛 = 𝐴 ± 𝐵 2.- lim 𝑧→∞ [𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛] = lim 𝑧→∞ 𝑎𝑛 ∗ lim 𝑧→∞ 𝑏𝑛 = 𝐴 ∗ 𝐵 3.- lim 𝑧→∞ [𝑎𝑛/𝑏𝑛] = lim 𝑧→∞ 𝑎𝑛 / lim 𝑧→∞ 𝑏𝑛 = 𝐴/𝐵 si 𝐵 ≠ 0 SERIES INFINITAS. – Si 𝜇1, 𝜇2, 𝜇3, … … … … . . 𝜇𝑛, es una sucesión infinita, formemos una nueva sucesión 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … … … … . . , 𝑠𝑛, definido por: 𝑠1 = 𝜇1 𝑠2 = 𝜇1 + 𝜇2 𝑠3 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 𝑠4 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 𝑠𝑛 = 𝜇1 + 𝜇2 + 𝜇3 + 𝜇4 + ⋯ … … . +𝜇𝑛 = ∑ 𝜇𝑘 𝑛 1
  • 4. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 44 La sucesión 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … … … … . . , 𝑠𝑛, se simboliza también ∑ 𝜇𝑘 𝑛 1 , la cual se llama serie infinita. Si el lim 𝑧→∞ 𝑠𝑛 = 𝑠, la serie se llama convergente y s es una suma, de lo contrario se llama divergente. Una condición necesaria para que la serie converja es que: lim 𝑧→∞ 𝜇𝑛 = 0, donde 𝜇𝑛 es el n-ésimo termino, sin embargo, esto no es suficiente. Ejemplos. – Resolver por definición. 1.- lim 𝑧→ 𝑖 𝑧2 = −1 |𝑓(𝑧) − 𝐿| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 𝑓(𝑧) = 𝑧2 𝐿 = −1 𝑧0 = 𝑖 |𝑧2 − (−1)| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿 |𝑧2 − 𝑖2| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿 |(z − 𝑖)(z + 𝑖)| < 𝜀 cuando |𝑧 − 𝑖| = 𝛿 |𝑧 − 𝑖||𝑧 + 𝑖| < 𝜀 Adoptamos como 𝛿 = 1 |𝑧 − 𝑖| = 1 𝛿 ∗ 𝑔(𝑧) < 𝜀 ⟹ 𝑔(𝑧) = |𝑧 + 𝑖| |𝑧 − 𝑖| = 1 Representar gráficamente en el plano W |𝑥 + 𝑦 𝑖 − 𝑖| = 1 |𝑥 + (𝑦 − 1) 𝑖| = 1 √𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 * ( )2 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 Ecuación de una circunferencia con: Centro 𝐶(0,1) y radio R Es decir 𝑧1 = 1 + 𝑖 𝑧2 = 2𝑖 𝑧3 = −1 + 𝑖 𝑧4 = 0 𝑔(𝑧) = |𝑧 + 𝑖| Para 𝑧1 = 1 + 𝑖 𝑔(𝑧1) = |1 + 𝑖 + 𝑖| = |1 + 2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧1) = √12 + (2)2 = √𝟓 Para 𝑧2 = 2𝑖 𝑔(𝑧2) = |2𝑖 + 𝑖| = |3 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧2) = √02 + (3)2 = √9 = 𝟑 Para 𝑧3 = −1 + 𝑖 𝑔(𝑧3) = |−1 + 𝑖 + 𝑖| = |−1 + 2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧3) = √(−1)2 + (2)2 = √𝟓 Para 𝑧4 = 0 X Y │Z-i│=1 𝑍1 = 1 + 𝑖 𝑍0 = 0 𝑍3 = −1 + 𝑖 𝑍2 = 2𝑖 -1 1 𝑖
  • 5. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 45 𝑔(𝑧4) = |0 + 𝑖| = | 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧4) = √02 + (1)2 = √1 = 𝟏 De estos valores elegimos el mayor de ellos, es decir: 𝑔(𝑧) = 3 y reemplazamos en: 𝛿 ∗ 𝑔(𝑧) < 𝜀 𝛿 ∗ 3 < 𝜀 de aquí despejamos delta 𝜹 < 𝜺/𝟑 2.- lim 𝑧→ ℮ 𝝅 𝒊 𝟐 ( z6+1 𝑧2+1 ) = 3 ⟹ lim 𝑧→ 𝒊 ( z6+1 𝑧2+1 ) = 3 ℮𝜃 𝑖 = 𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 𝑖 ℮ 𝜋 2 𝑖 = 𝑐𝑜𝑠(900) + 𝑠𝑒𝑛(900) 𝑖 ⟹ ℮ 𝜋 2 𝑖 = 𝑖 |𝑓(𝑧) − 𝐿| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 𝑓(𝑧) = z6 + 1 𝑧2 + 1 = z4 − 𝑧2 + 1 𝐿 = 3 𝑧0 = 𝑖 |z4 − 𝑧2 + 1 − (3)| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿 |z4 − 𝑧2 − 2| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿 |(z2)2 − (𝑧2) − 2| < 𝜀 cuando 0 < |𝑧 − 𝑖| < 𝛿 |(z2 − 2)(z2 + 1)| < 𝜀 cuando |𝑧 − 𝑖| = 𝛿 |(z2 − 2)(z2 − (𝑖)2)| < 𝜀 |(z2 − 2)(𝑧 + 𝑖)(𝑧 − 𝑖)| < 𝜀 |𝑧 − 𝑖||(z2 − 2)(𝑧 + 𝑖)| < 𝜀 Adoptamos como 𝛿 = 1 |𝑧 − 𝑖| = 1 𝛿 ∗ 𝑔(𝑧) < 𝜀 ⟹ 𝑔(𝑧) = |(z2 − 2)(𝑧 + 𝑖)| |𝑧 − 𝑖| = 1 Representar gráficamente en el plano W |𝑥 + 𝑦 𝑖 − 𝑖| = 1 |𝑥 + (𝑦 − 1) 𝑖| = 1 √𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 * ( )2 𝑥2 + (𝑦 − 1)2 = 1 Ecuación de una circunferencia con: Centro 𝐶(0,1) y radio R Es decir 𝑧1 = 1 + 𝑖 𝑧2 = 2𝑖 𝑧3 = −1 + 𝑖 𝑧4 = 0 𝑔(𝑧) = |(z2 − 2)(𝑧 + 𝑖)| Para 𝑧1 = 1 + 𝑖 X Y │Z-i│=1 𝑍1 = 1 + 𝑖 𝑍0 = 0 𝑍3 = −1 + 𝑖 𝑍2 = 2𝑖 -1 1 𝑖
  • 6. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 46 𝑔(𝑧1) = |[(1 + 𝑖)2 − 2](1 + 𝑖 + 𝑖)| = |(1 + 2 𝑖 − 1 − 2)(1 + 2𝑖)| = |(2 𝑖 − 2)(1 + 2𝑖)| 𝑔(𝑧1) = |2𝑖 − 4 − 2 − 4𝑖| = |−6 − 2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧1) = √(−6)2 + (−2)2 = √𝟒𝟎 Para 𝑧2 = 2𝑖 𝑔(𝑧2) = |[(2 𝑖)2 − 2](2 𝑖 + 𝑖)| = |(−4 − 2)(3 𝑖)| = |−6 ∗ 3 𝑖| = |−18 𝑖| 𝑔(𝑧2) = |−18 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧2) = √(0)2 + (−18)2 = 𝟏𝟖 Para 𝑧3 = −1 + 𝑖 𝑔(𝑧3) = |[(−1 + 𝑖)2 − 2](−1 + 𝑖 + 𝑖)| = |(−2 𝑖 − 2)(−1 + 2𝑖)| = |(−2 𝑖 − 2)(−1 + 2𝑖)| 𝑔(𝑧3) = |2𝑖 + 4 + 2 − 4𝑖| = |6 − 2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧3) = √(6)2 + (−2)2 = √𝟒𝟎 Para 𝑧4 = 0 𝑔(𝑧4) = |[(0)2 − 2](0 + 𝑖)| = |(−2)(𝑖)| = |−2 𝑖| ⟹ 𝑔(𝑧4) = √0 + (−2)2 = 𝟐 De estos valores elegimos el mayor de ellos, es decir: 𝑔(𝑧) = 18 y reemplazamos en: 𝛿 ∗ 𝑔(𝑧) < 𝜀 𝛿 ∗ 18 < 𝜀 de aquí despejamos delta 𝜹 < 𝜺/𝟏𝟖 3.- lim 𝑧→ 3℮𝝅 𝒊 ( z+3 𝑧2−9 ) =? Primero analizamos la tendencia y la reducimos de la siguiente manera: ℮𝜋 𝑖 = 𝑐𝑜𝑠(1800) + 𝑠𝑒𝑛(1800) 𝑖 donde: 𝑐𝑜𝑠(1800) = −1 y 𝑠𝑒𝑛(1800) = 0 ℮𝜋 𝑖 = −1 lim 𝑧→ −3 ( z+3 𝑧2−9 ) = lim 𝑧→ −3 [ −3+3 (−3)2−9 ] = 0 0 Es una indeterminación del tipo 0/0, habrá que salvar la indeterminación, factorizando: lim 𝑧→ −3 ( z+3 𝑧2−32) = lim 𝑧→ −3 [ z+3 (𝑧−3)(𝑧+3) ] = lim 𝑧→ −3 [ 1 (𝑧−3) ] = lim 𝑧→ −3 [ 1 (−3−3) ] = − 1 6 𝑳 = − 𝟏 𝟔 También podíamos iniciar el problema reemplazando directamente la tendencia, de la siguiente manera: lim 𝑧→ 3℮𝝅 𝒊 ( z+3 𝑧2−9 ) = lim 𝑧→ 3℮𝝅 𝒊 [ 3℮𝝅 𝒊+3 (3℮𝝅 𝒊) 2 −9 ] = lim 𝑧→ 3℮𝝅 𝒊 [ 3℮𝝅 𝒊+3 9℮𝟐𝝅 𝒊−9 ] = = lim 𝑧→ 3℮𝝅 𝒊 { 3[cos(180)+𝑠𝑒𝑛(180) 𝑖]+3 9[𝒄𝒐𝒔(𝟑𝟔𝟎)+𝒔𝒆𝒏 (𝟑𝟔𝟎) 𝒊]−9 } = lim 𝑧→ 3℮𝝅 𝒊 { 3[−1]+3 9[𝟏]−9 } = 0 0 Indeterminación. lim 𝑧→ −3 ( z + 3 𝑧2 − 32 ) = lim 𝑧→ −3 [ z + 3 (𝑧 − 3)(𝑧 + 3) ] = lim 𝑧→ −3 [ 1 𝑧 − 3 ] = lim 𝑧→ −3 [ 1 −3 − 3 ] = − 1 6
  • 7. APUNTES DE CALCULO III MAT - 214 ANGEL RIVERA SALAZAR 47 𝑳 = − 𝟏 𝟔 4.- lim 𝑧→ ℮ 𝟑 𝟐 𝝅 𝒊 ( 𝑧2+3z 𝑖−2 𝑧+𝑖 ) =? lim 𝑧→ −𝒊 ( 𝑧2 + 3z 𝑖 − 2 𝑧 + 𝑖 ) = lim 𝑧→ −𝒊 [ (−𝑖)2 + 3(− 𝑖) 𝑖 − 2 (−𝑖) + 𝑖 ] = lim 𝑧→ −𝒊 [ −1 + 3 − 2 (−𝑖) + 𝑖 ] = 0 0 lim 𝑧→ −𝒊 (𝑧+2𝑖)(𝑧+𝑖) 𝑧+𝑖 = lim 𝑧→ −𝒊 (𝑧 + 2𝑖) = −𝑖 + 2𝑖 = 𝑖 ⟹ 𝑳 = 𝒊 5.- lim 𝑧→ 5℮ 𝝅 𝒊 𝟐 ( z 𝑖+5 𝑧2+25 ) =? lim 𝑧→ 5𝒊 ( z 𝑖+5 𝑧2+25 ) = lim 𝑧→ 5𝒊 [ (5𝑖) 𝑖+5 (5𝑖)2+25 ] = lim 𝑧→ 5𝒊 [ −5+5 −25+25 ] = 0 0 lim 𝑧→ 5𝒊 [ z 𝑖+5 z2+25 ] = lim 𝑧→ 5𝒊 [ z 𝑖−5𝑖2 z2−52𝑖2] = lim 𝑧→ 5𝒊 [ z 𝑖−5𝑖2 z2−(5𝑖)2] = lim 𝑧→ 5𝒊 [ 𝑖(z −5 𝑖) (z+5 𝑖)(z −5 𝑖) ] = lim 𝑧→ 5𝒊 [ 𝑖 (z+5 𝑖) ] = lim 𝑧→ 5𝒊 [ 𝑖 (z+5 𝑖) ] = lim 𝑧→ 5𝒊 [ 𝑖 (5 𝑖+5 𝑖) ] = lim 𝑧→ 5𝒊 [ 𝑖 10 𝑖 ] = 1 10 ⟹ 𝑳 = 𝟏 𝟏𝟎 UNIDAD No. 3 DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS DERIVADAS DE FUNCIONES COMPLEJAS. – Si 𝑓(𝑧) es una función univoca en alguna región R, del punto z, la derivada de 𝑓(𝑧) está definida por: 𝑓′(𝑧) = lim ∆𝑧→ 0 𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧) ∆𝑧 Si el límite existe independientemente de la manera como ∆𝑧 → 0, en tal caso decimos que 𝑓(𝑧) es diferenciable en z. 𝑤 = 𝑓(𝑧) ∆𝑤 = 𝑓(𝑧 + ∆𝑧) − 𝑓(𝑧) 𝑑𝑤 𝑑𝑧 = lim ∆𝑧→ 0 𝑓(𝑧+∆𝑧)−𝑓(𝑧) ∆𝑧 = lim ∆𝑧→ 0 ∆𝑤 ∆𝑧 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA DERIVADA. – Sea z un punto P en el plano z y w su imagen P’ en el plano w bajo la transformación 𝑤 = 𝑓(𝑧) ya que suponemos que 𝑓(𝑧) es una función univoca, entonces el punto z es aplicado solo en el punto w. Plano z Plano w