SlideShare una empresa de Scribd logo
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA ^ANTONIO JOSE DE SUCRE^
BARQUISIMETO –ESTADO LARA.
Integrante:
19.921.537 Enderson
Rodríguez
Matematica.
APLICACIÓN DE DERIVADAS:
Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o [a,¥) o (-¥,a), (-¥,¥)) si es
derivable en todo número del intervalo.
Velocidad
Sea s =f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. L a velocidad
(instantánea) del objeto en el instante t esta dada por:
V(t)= ds /dt = f ´(t)
La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo de la recta numérica. Si
la velocidad es cero el objeto está en reposo.
Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= 3t2-8t+7
Donde s se mide en centímetros y t en segundos
Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5
Solución
Tenemos que V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2-8t+7) / dt= 6t-8)
Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1)
y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5)
Aceleración
Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. La aceleración
(instantánea) del objeto en el instante t, está dada por:
a(t)= dv /dt =f"(t)
Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= t3-3t+1
Donde s se mide en metros y t en segundos.
a. ¿En qué instante la aceleración es cero?
b. Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero.
Solución
Tenemos que: v(t)=ds/dt=3t2-3 y a(t)= dv /dt=6t
a. a(t) = 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el instante t = 0
b. a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg
Considérese una función f y sus derivadas f´. Si existe funciónes f",f"´,f iv,........... , fn Tal que:
f"(x)=[f´(x)]´
f´´´(x)=[f"(x)]´
f iv (x)=[f´´´(x)]´
.
.
.
f n(x)=Dx [f n-1 (x)]´ .
Para ver algunos ejemplos, por favor revise los libros de Cálculo con Geometría Analítica de Louis
Leithold, Calculo diferencial de Jorge Saenz, o cualquiera que encuentres en Biblioteca
Se dice que una función f definida en un intervalo es creciente, si sólo si, f(x1) < f(x2), siempre que x1< x2 donde x1 y x2
son dos números cualesquiera en el intervalo.
Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, f(x1) > f(x2), siempre que
x1< x2, donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo.
Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
f(x)=3x+8
Solución f´(x)=3
Se observa que f´(x)=3>0 para todo x en R. En consecuencia, la función es creciente en R.
f(x)=x2+2x-3
Solución: f´(x)=2x+2. Necesitamos saber si existe para x algún valor tal que f´(x)=0, donde la función f no es creciente ni
decreciente.
2x+2=0
x = -1. Es decir para x = -1 esta función no es creciente ni decreciente. Estudiaremos el comportamiento
de la derivada antes y después de x=-1 f´(x)=2(x+1).
Definición: Decimos que la función f tiene un máximo relativo en x = c si existe un intervalo abierto que
contiene a c tal que f (c) > f(x), para toda x en el intervalo.
Definición: Decimos que la función f tiene un mínimo relativo en x = c si existe un intervalo abierto que
contiene a c tal que f (c) < f(x), para toda x en el intervalo.
Intervalo F´(X) La Función
es
(- ,1) - Decreciente
(-1,+  ) + Creciente
Teorema.
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b):
Si f´( x)>0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b].
Si f´( x)<0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b]
Teorema. Prueba de la Primera Derivada para Extremos
Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, y supongamos que f´( x)
existe en todos los puntos de (a,b) excepto posiblemente en c:
Si f´(x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si
f´( x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo,
entonces f tiene un valor máximo relativo en c.
Si f´(x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si
f´( x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo,
entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.
Máximos y Mínimos Absolutos
Definición. Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que:
F(c) >f(x) para toda x en el dominio de la función.
F(c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la función.
Teorema del Valor Extremo
Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b,] entonces f tiene máximo mínimo en [a,b].
Es decir, existen dos puntos c y d en [a,b] tales que f(c) es el valor máximo y f(d) es el valor mínimo.
Punto Crítico
Definición. Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que:
f´(c)=0 ii). f´(c) no existe
Ejemplo: Hallar los puntos críticos de la función Unidad4ema4.1ecu1.gif
Solución
Unidad4ema4.1ecu2.gif
f´(x)=0 si y sólo si 2(x-1)=0 si y sólo si x=1. Además vemos que f´(x) no está definida en x=0 y en x=2.
Por lo tanto, los puntos críticos de f son 1, 0 y 2.
Problema de Máximos y Mínimos
El 24 de abril de 1990, el transbordador espacial Discovery desplegó el telescopio espacial Hubble. Un modelo para la
velocidad del transbordador durante esta misión, desde el despegue en t=0 hasta que los cohetes auxiliares de
combustible sólido se desprendieron en t=126 s. Se expresa mediante:
V(t)=0.0001302t3 - 0.09029t2 + 23.61t - 3.083 (en pies/s). Con este modelo, estime los valores máximos y mínimos
absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares.
Solución: Nos piden los valores extremos, no de la función velocidad que se da, sino de la función aceleración. De modo
que primero debemos derivar para hallar la aceleración:
A(t)=v`(t)= d/dt (0.001302t3-0.09029t2+23.61t-3.083) = 0.003906t2 -0.18058t + 23.61
Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes:
UIV.8.1.a.gif
entonces decimos que es indeterminada.
Si se tiene,
UIV.8.1.b.gif
En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así. Por eso, cuando tenemos
expresiones más complejas, existe una regla que se conoce como regla de L´Hopital. Teorema:
Dadas f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en el número a en I, y
supongamos que para toda x ¹ a en I, g`(x) ¹ 0. Entonces, si límite cuando x tiende a de f(x) es más o menos infinito y
límite cuando x tiende a "a" de g(x) = más o menos infinito y si límite cuando x tiende a "a" del cociente de las
respectivas derivadas de las funciones existe, entonces el límite cuando x tiende a "a", también existe y tendrá el
mismo valor.
http://saia.uft.edu.ve/uts/mod/resource/view.php?id=224618
Referencias

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Coeficientes indeterminados enfoque de superposición
Coeficientes indeterminados   enfoque de superposiciónCoeficientes indeterminados   enfoque de superposición
Coeficientes indeterminados enfoque de superposición
Tensor
 
serie de taylor
 serie de taylor serie de taylor
serie de taylor
Emmanuel Sarmiento
 
1 numeroscomplejos
1 numeroscomplejos1 numeroscomplejos
1 numeroscomplejos
medzel100
 
Campos vectoriales (campos conservativos)
Campos vectoriales (campos conservativos)Campos vectoriales (campos conservativos)
Campos vectoriales (campos conservativos)
Emma
 
Dominio y Recorrido de Funciones Elementales ccesa007
Dominio y Recorrido de Funciones Elementales  ccesa007Dominio y Recorrido de Funciones Elementales  ccesa007
Dominio y Recorrido de Funciones Elementales ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
Problemas variables aleatorias
Problemas variables aleatorias Problemas variables aleatorias
Problemas variables aleatorias
Nirka Mora Mejia
 
Distribucioones discretas
Distribucioones discretasDistribucioones discretas
Distribucioones discretas
angiegutierrez11
 
Distribucion Normal
Distribucion NormalDistribucion Normal
Distribucion Normal
Monica Mantilla Hidalgo
 
5. probabilidad conjunta ejercicios resueltos
5. probabilidad conjunta   ejercicios resueltos5. probabilidad conjunta   ejercicios resueltos
5. probabilidad conjunta ejercicios resueltos
fabebust
 
Trabajo funciones trigonométricas
Trabajo funciones trigonométricasTrabajo funciones trigonométricas
Trabajo funciones trigonométricas
sebastian lopez
 
Integrales
IntegralesIntegrales
Teoria de la integral de riemann
Teoria de la integral de riemannTeoria de la integral de riemann
Teoria de la integral de riemann
bdeotto
 
MAT150-U2-2 Diferencial total-Derivada total.pdf
MAT150-U2-2 Diferencial total-Derivada total.pdfMAT150-U2-2 Diferencial total-Derivada total.pdf
MAT150-U2-2 Diferencial total-Derivada total.pdf
luis calizaya
 
Propiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definidaPropiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definida
Mirna Cuautle
 
Función cuadrática
Función cuadráticaFunción cuadrática
Función cuadrática
sitayanis
 
Soluciones limites
Soluciones limitesSoluciones limites
Soluciones limites
klorofila
 
Distribuciones de probalidad
Distribuciones de probalidadDistribuciones de probalidad
Distribuciones de probalidad
Jose Vargas Castro
 
Ecuaciones diferenciales no exactas (factor integrante)
Ecuaciones diferenciales no exactas (factor integrante)Ecuaciones diferenciales no exactas (factor integrante)
Ecuaciones diferenciales no exactas (factor integrante)
Diego-Salcido-Hernandez
 
4.metodo de la biseccion
4.metodo de la biseccion4.metodo de la biseccion
4.metodo de la biseccion
rjvillon
 
Aplicaciones de la_integral definida
Aplicaciones de la_integral definidaAplicaciones de la_integral definida
Aplicaciones de la_integral definida
Fabio Obando Herrera
 

La actualidad más candente (20)

Coeficientes indeterminados enfoque de superposición
Coeficientes indeterminados   enfoque de superposiciónCoeficientes indeterminados   enfoque de superposición
Coeficientes indeterminados enfoque de superposición
 
serie de taylor
 serie de taylor serie de taylor
serie de taylor
 
1 numeroscomplejos
1 numeroscomplejos1 numeroscomplejos
1 numeroscomplejos
 
Campos vectoriales (campos conservativos)
Campos vectoriales (campos conservativos)Campos vectoriales (campos conservativos)
Campos vectoriales (campos conservativos)
 
Dominio y Recorrido de Funciones Elementales ccesa007
Dominio y Recorrido de Funciones Elementales  ccesa007Dominio y Recorrido de Funciones Elementales  ccesa007
Dominio y Recorrido de Funciones Elementales ccesa007
 
Problemas variables aleatorias
Problemas variables aleatorias Problemas variables aleatorias
Problemas variables aleatorias
 
Distribucioones discretas
Distribucioones discretasDistribucioones discretas
Distribucioones discretas
 
Distribucion Normal
Distribucion NormalDistribucion Normal
Distribucion Normal
 
5. probabilidad conjunta ejercicios resueltos
5. probabilidad conjunta   ejercicios resueltos5. probabilidad conjunta   ejercicios resueltos
5. probabilidad conjunta ejercicios resueltos
 
Trabajo funciones trigonométricas
Trabajo funciones trigonométricasTrabajo funciones trigonométricas
Trabajo funciones trigonométricas
 
Integrales
IntegralesIntegrales
Integrales
 
Teoria de la integral de riemann
Teoria de la integral de riemannTeoria de la integral de riemann
Teoria de la integral de riemann
 
MAT150-U2-2 Diferencial total-Derivada total.pdf
MAT150-U2-2 Diferencial total-Derivada total.pdfMAT150-U2-2 Diferencial total-Derivada total.pdf
MAT150-U2-2 Diferencial total-Derivada total.pdf
 
Propiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definidaPropiedades de la integral definida
Propiedades de la integral definida
 
Función cuadrática
Función cuadráticaFunción cuadrática
Función cuadrática
 
Soluciones limites
Soluciones limitesSoluciones limites
Soluciones limites
 
Distribuciones de probalidad
Distribuciones de probalidadDistribuciones de probalidad
Distribuciones de probalidad
 
Ecuaciones diferenciales no exactas (factor integrante)
Ecuaciones diferenciales no exactas (factor integrante)Ecuaciones diferenciales no exactas (factor integrante)
Ecuaciones diferenciales no exactas (factor integrante)
 
4.metodo de la biseccion
4.metodo de la biseccion4.metodo de la biseccion
4.metodo de la biseccion
 
Aplicaciones de la_integral definida
Aplicaciones de la_integral definidaAplicaciones de la_integral definida
Aplicaciones de la_integral definida
 

Similar a Matematica

Revista horacio
Revista horacioRevista horacio
Revista horacio
HORACIO920
 
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
dinorkis
 
Aplicacion de las derivadas
Aplicacion de las derivadas Aplicacion de las derivadas
Aplicacion de las derivadas
Daniela Amaro
 
Aplicacion de la derivada
Aplicacion de la derivadaAplicacion de la derivada
Aplicacion de la derivada
yicel abella
 
Derivadas y aplicaciones
Derivadas y aplicacionesDerivadas y aplicaciones
Derivadas y aplicaciones
Freddy Mendoza
 
Aplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadasAplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadas
juan alfonso vega nujica
 
Matematica 1
Matematica 1Matematica 1
Aplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIAL
Aplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIALAplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIAL
Aplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIAL
eleazarbautista35
 
Devivadas
DevivadasDevivadas
Devivadas
aymarm
 
Aplicaión de la derivada
Aplicaión de la derivadaAplicaión de la derivada
Aplicaión de la derivada
Jose Virche
 
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo DiferencialDerivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
danis_garcia
 
Aplicaciones del Cálculo Diferencial
Aplicaciones del Cálculo DiferencialAplicaciones del Cálculo Diferencial
Aplicaciones del Cálculo Diferencial
Juliho Castillo
 
Aplicación de las integrales
Aplicación de las integralesAplicación de las integrales
Aplicación de las integrales
Nikolas Pineda
 
Derivadas. aplicaciones
Derivadas. aplicacionesDerivadas. aplicaciones
Derivadas. aplicaciones
Yohandres Sarmiento
 
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdfUnidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
cacerescristian1
 
Diapositiva semana 7
Diapositiva semana 7Diapositiva semana 7
Diapositiva semana 7
Crstn Pnags
 
Fourier.pdf
Fourier.pdfFourier.pdf
A derivadas
A derivadasA derivadas
A derivadas
eliannys moyetones
 
Tema 7
Tema 7Tema 7
Trabajo maria romero
Trabajo maria romeroTrabajo maria romero
Trabajo maria romero
maria romero
 

Similar a Matematica (20)

Revista horacio
Revista horacioRevista horacio
Revista horacio
 
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
Aplicar derivadas en el cálculo de velocidad y aceleración de un objeto que s...
 
Aplicacion de las derivadas
Aplicacion de las derivadas Aplicacion de las derivadas
Aplicacion de las derivadas
 
Aplicacion de la derivada
Aplicacion de la derivadaAplicacion de la derivada
Aplicacion de la derivada
 
Derivadas y aplicaciones
Derivadas y aplicacionesDerivadas y aplicaciones
Derivadas y aplicaciones
 
Aplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadasAplicaciones de las derivadas
Aplicaciones de las derivadas
 
Matematica 1
Matematica 1Matematica 1
Matematica 1
 
Aplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIAL
Aplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIALAplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIAL
Aplicaciones de la derivada-UNIDAD 5 CALCULO DIFERENCIAL
 
Devivadas
DevivadasDevivadas
Devivadas
 
Aplicaión de la derivada
Aplicaión de la derivadaAplicaión de la derivada
Aplicaión de la derivada
 
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo DiferencialDerivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
Derivadas- Universidad de la Guajira, Calculo Diferencial
 
Aplicaciones del Cálculo Diferencial
Aplicaciones del Cálculo DiferencialAplicaciones del Cálculo Diferencial
Aplicaciones del Cálculo Diferencial
 
Aplicación de las integrales
Aplicación de las integralesAplicación de las integrales
Aplicación de las integrales
 
Derivadas. aplicaciones
Derivadas. aplicacionesDerivadas. aplicaciones
Derivadas. aplicaciones
 
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdfUnidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
Unidad 4 cálculo diferencial (parte 3).pdf
 
Diapositiva semana 7
Diapositiva semana 7Diapositiva semana 7
Diapositiva semana 7
 
Fourier.pdf
Fourier.pdfFourier.pdf
Fourier.pdf
 
A derivadas
A derivadasA derivadas
A derivadas
 
Tema 7
Tema 7Tema 7
Tema 7
 
Trabajo maria romero
Trabajo maria romeroTrabajo maria romero
Trabajo maria romero
 

Más de enderson89ro

Ensayo
EnsayoEnsayo
Ensayo
enderson89ro
 
Riesgos psicosociales 1
Riesgos psicosociales 1Riesgos psicosociales 1
Riesgos psicosociales 1
enderson89ro
 
Riesgos ergonómicos
Riesgos ergonómicosRiesgos ergonómicos
Riesgos ergonómicos
enderson89ro
 
Riesgos ergonómicos
Riesgos ergonómicosRiesgos ergonómicos
Riesgos ergonómicos
enderson89ro
 
Higiene industrial
Higiene industrialHigiene industrial
Higiene industrial
enderson89ro
 
matemática
matemática matemática
matemática
enderson89ro
 
Derivadas
Derivadas Derivadas
Derivadas
enderson89ro
 

Más de enderson89ro (20)

Ensayo
EnsayoEnsayo
Ensayo
 
Riesgos psicosociales 1
Riesgos psicosociales 1Riesgos psicosociales 1
Riesgos psicosociales 1
 
Riesgos ergonómicos
Riesgos ergonómicosRiesgos ergonómicos
Riesgos ergonómicos
 
Riesgos ergonómicos
Riesgos ergonómicosRiesgos ergonómicos
Riesgos ergonómicos
 
Higiene industrial
Higiene industrialHigiene industrial
Higiene industrial
 
matemática
matemática matemática
matemática
 
Derivadas
Derivadas Derivadas
Derivadas
 
Derivada40001
Derivada40001Derivada40001
Derivada40001
 
Derivada70001
Derivada70001Derivada70001
Derivada70001
 
Derivada50001
Derivada50001Derivada50001
Derivada50001
 
Derivada40001
Derivada40001Derivada40001
Derivada40001
 
Derivada30001
Derivada30001Derivada30001
Derivada30001
 
Derivada20001
Derivada20001Derivada20001
Derivada20001
 
Derivada10001
Derivada10001Derivada10001
Derivada10001
 
Derivada60001
Derivada60001Derivada60001
Derivada60001
 
Derivada70001
Derivada70001Derivada70001
Derivada70001
 
Derivada60001
Derivada60001Derivada60001
Derivada60001
 
Derivada50001
Derivada50001Derivada50001
Derivada50001
 
Derivada40001
Derivada40001Derivada40001
Derivada40001
 
Derivada30001
Derivada30001Derivada30001
Derivada30001
 

Matematica

  • 1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA ^ANTONIO JOSE DE SUCRE^ BARQUISIMETO –ESTADO LARA. Integrante: 19.921.537 Enderson Rodríguez Matematica.
  • 2. APLICACIÓN DE DERIVADAS: Una función f es derivable en a si f'(a) existe. Es derivable en un intervalo abierto (a, b) (o [a,¥) o (-¥,a), (-¥,¥)) si es derivable en todo número del intervalo. Velocidad Sea s =f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. L a velocidad (instantánea) del objeto en el instante t esta dada por: V(t)= ds /dt = f ´(t) La velocidad es positiva o negativa, si el objeto se desplaza en el sentido positivo o negativo de la recta numérica. Si la velocidad es cero el objeto está en reposo. Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= 3t2-8t+7 Donde s se mide en centímetros y t en segundos Hallar la velocidad del objeto cuando t=1 y cuando t=5
  • 3. Solución Tenemos que V(t)= ds / dt = 6t-8 (ds/dt = d(3t2-8t+7) / dt= 6t-8) Luego v(t)= 6(1) - 8= -2 cm/seg (evaluando para t=1) y v(t)= 6(5) - 8= 22 cm/seg (evaluando para t=5) Aceleración Sea s= f(t) la función posición de un objeto que se mueve a lo largo de una recta numérica. La aceleración (instantánea) del objeto en el instante t, está dada por: a(t)= dv /dt =f"(t) Ejemplo: Un objeto se mueve sobre una recta de acuerdo a la ecuación s= t3-3t+1 Donde s se mide en metros y t en segundos. a. ¿En qué instante la aceleración es cero? b. Hallar la aceleración en los instantes en que la velocidad es cero.
  • 4. Solución Tenemos que: v(t)=ds/dt=3t2-3 y a(t)= dv /dt=6t a. a(t) = 0 si y sólo si 6t = 0 si y sólo si t = 0. Esto es la aceleración es 0 en el instante t = 0 b. a(-1) = 6(-1) = - 6m/seg y a(1) = 6(1) = 6m/seg Considérese una función f y sus derivadas f´. Si existe funciónes f",f"´,f iv,........... , fn Tal que: f"(x)=[f´(x)]´ f´´´(x)=[f"(x)]´ f iv (x)=[f´´´(x)]´ . . . f n(x)=Dx [f n-1 (x)]´ . Para ver algunos ejemplos, por favor revise los libros de Cálculo con Geometría Analítica de Louis Leithold, Calculo diferencial de Jorge Saenz, o cualquiera que encuentres en Biblioteca
  • 5. Se dice que una función f definida en un intervalo es creciente, si sólo si, f(x1) < f(x2), siempre que x1< x2 donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo. Se dice que una función f definida en un intervalo es decreciente en ese intervalo, si y sólo si, f(x1) > f(x2), siempre que x1< x2, donde x1 y x2 son dos números cualesquiera en el intervalo. Ejemplo: Dadas las siguientes funciones, determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: f(x)=3x+8 Solución f´(x)=3 Se observa que f´(x)=3>0 para todo x en R. En consecuencia, la función es creciente en R. f(x)=x2+2x-3 Solución: f´(x)=2x+2. Necesitamos saber si existe para x algún valor tal que f´(x)=0, donde la función f no es creciente ni decreciente. 2x+2=0
  • 6. x = -1. Es decir para x = -1 esta función no es creciente ni decreciente. Estudiaremos el comportamiento de la derivada antes y después de x=-1 f´(x)=2(x+1). Definición: Decimos que la función f tiene un máximo relativo en x = c si existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) > f(x), para toda x en el intervalo. Definición: Decimos que la función f tiene un mínimo relativo en x = c si existe un intervalo abierto que contiene a c tal que f (c) < f(x), para toda x en el intervalo. Intervalo F´(X) La Función es (- ,1) - Decreciente (-1,+  ) + Creciente
  • 7. Teorema. Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y diferenciable en el intervalo abierto (a,b): Si f´( x)>0 para toda x en (a,b), entonces f es creciente en [a,b]. Si f´( x)<0 para toda x en (a,b), entonces f es decreciente en [a,b] Teorema. Prueba de la Primera Derivada para Extremos Sea f una función continua en todos los puntos de un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, y supongamos que f´( x) existe en todos los puntos de (a,b) excepto posiblemente en c: Si f´(x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c. Si f´(x)<0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo derecho, y si f´( x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que contenga a c como su punto extremo izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.
  • 8. Máximos y Mínimos Absolutos Definición. Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que: F(c) >f(x) para toda x en el dominio de la función. F(c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la función. Teorema del Valor Extremo Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b,] entonces f tiene máximo mínimo en [a,b]. Es decir, existen dos puntos c y d en [a,b] tales que f(c) es el valor máximo y f(d) es el valor mínimo. Punto Crítico Definición. Un punto crítico de una función f es un punto c de su dominio tal que: f´(c)=0 ii). f´(c) no existe Ejemplo: Hallar los puntos críticos de la función Unidad4ema4.1ecu1.gif
  • 9. Solución Unidad4ema4.1ecu2.gif f´(x)=0 si y sólo si 2(x-1)=0 si y sólo si x=1. Además vemos que f´(x) no está definida en x=0 y en x=2. Por lo tanto, los puntos críticos de f son 1, 0 y 2. Problema de Máximos y Mínimos El 24 de abril de 1990, el transbordador espacial Discovery desplegó el telescopio espacial Hubble. Un modelo para la velocidad del transbordador durante esta misión, desde el despegue en t=0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprendieron en t=126 s. Se expresa mediante: V(t)=0.0001302t3 - 0.09029t2 + 23.61t - 3.083 (en pies/s). Con este modelo, estime los valores máximos y mínimos absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares. Solución: Nos piden los valores extremos, no de la función velocidad que se da, sino de la función aceleración. De modo que primero debemos derivar para hallar la aceleración: A(t)=v`(t)= d/dt (0.001302t3-0.09029t2+23.61t-3.083) = 0.003906t2 -0.18058t + 23.61
  • 10. Si una función toma para ciertos valores de la variable una de las formas siguientes: UIV.8.1.a.gif entonces decimos que es indeterminada. Si se tiene, UIV.8.1.b.gif En este caso fue fácil evitar la discontinuidad presentada, pero no siempre es así. Por eso, cuando tenemos expresiones más complejas, existe una regla que se conoce como regla de L´Hopital. Teorema: Dadas f y g funciones diferenciables en un intervalo abierto I, excepto posiblemente en el número a en I, y supongamos que para toda x ¹ a en I, g`(x) ¹ 0. Entonces, si límite cuando x tiende a de f(x) es más o menos infinito y límite cuando x tiende a "a" de g(x) = más o menos infinito y si límite cuando x tiende a "a" del cociente de las respectivas derivadas de las funciones existe, entonces el límite cuando x tiende a "a", también existe y tendrá el mismo valor.