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CURSO: MATEMÁTICA II
Unidad 4: Funciones y Gráficas
Tema 10: Función III
Índice
• Funciones básicas: Constante, lineal, Valor absoluto, Función cuadrática
• Gráficas
• Aplicaciones articuladas de funciones
Capacidades
• Identifica y diferencia una Relación de un Función formada por pares ordenados.
• Resuelve ejercicios relativo al tema teniendo en cuenta sus restricciones.
• Identifica y grafica correctamente las funciones básicas en el plano cartesiano.
• Determina el dominio y rango de unciones a través de sus gráficos.
Funciones
Una función puede presentarse mediante una
tabla.
Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida
de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de
gestación (en meses).
Edad
(meses)
Longitud
(cm)
2 4
3 8
4 15
6 29
7 34
8 38
9 42
A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada.
(2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm.
(6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm.
La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
Función lineal
b
ax
x
f 

)
(
pendiente Intercepto (eje Y)
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
4
2
0
-2
-4
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
4
2
0
-2
-4
( ) 2
2
x
f x   
Dominio
 
;
Domf ó
Domf
 
  
Rango
 
;
Ranf ó
Ranf
 
  
ES CRECIENTE: si a > 0
ES DECRECIENTE: si a < 0
De las Ecuaciones de la Recta, usaremos y= f(x)
)
Horizontal
Recta
(
)
(constante
k
y
)
Vertical
Recta
(
)
(constante
k
x
a)
Segmentari
o
Canónica
Ecuación
(
b
y
a
x
)
Pendiente
Punto
(
0
x
-
(x
m
0
y
-
y
)
(implícita
o
Recta)
la
de
general
Ecuación
(
0
c
by
ax
)
(explícita
o
)
ón
intersecci
-
Pendiente
(
b
mx
y
















1
)
)
(
Función lineal
Función constante
Sea la recta de ecuación : .Si se
considera , su gráfica es :
0
B
y
0
C
By
Ax 



K
B
C
-
y
:
entonces
,
0
A 


x
y=k
L
0
(B)
(0)
-
m
Pendiente 


Recta Horizontal
y
Si en la ecuación se considera :
su gráfica es:
0
A
y
0
C
By
Ax 



k
A
C
-
x
:
entonces
,
0
B 


k
90º
x
L
x=k : Recta Vertical.
No es una función.
existe
No
90º
Tg
existe
No
(0)
(A)
-
m
Pendiente




Función valor absoluto















0
x
si
,
(x)
-
0
x
si
,
0
0
x
si
,
(x)
x
+x
x
y 
(0 ,0)
2
(x)
x
:
También 
 
,
0
:
Rango
Reales
:
Dominio


Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)
Función raíz cuadrada
y ( ) x ; x 0
f x
  

 





0,
:
Rango
0,
:
Dominio
+y
(0,0)
Creciente
i) :
Corta al eje x en dos puntos
(dos raíces reales y diferentes)
La ecuación del eje de simetría
(recta vertical) , corresponde a :
Función cuadrática
.
y
 
x=h
V : (h ,k)

x1 x2
parábola
Ymin= k
V= Vértice
a > 0 
Las raíces son x1 y x2.
El valor mínimo de la función:
También :
h =- (b)/(2a) = ( x1+x2 )/2 ; k = f (h).
nte
discrimina


x

X =h
y
No existen soluciones
reales
Existen dos raíces
complejas y conjugadas
x
Método para graficar funciones a partir de otras
TRANSFORMACIONES
BÁSICAS
Traslaciones Reflexiones Ampliaciones /
Contracciones
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
4
2
0
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Traslaciones
Horizontal Vertical
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0
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2
)
( x
x
f 
)
2
( 
x
f
)
2
( 
x
f x
x
f 
)
(
3
)
( 
x
f
1
)
( 
x
f
)
( c
x
f  )
( c
x
f  c
x
f 
)
(
Conclusión Conclusión
Reflexiones
Sobre el EJE X Sobre el EJE Y
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
6
4
2
0
-2
-4
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6
4
2
0
-2
-4
2
)
( 
 x
x
f
2
)
( 


 x
x
f
10
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2
0
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-4
2
)
( 
 x
x
f
2
x
)
x
(
f 


Conclusión Conclusión
Ampliaciones y Contracciones
10
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2
0
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-6
-8
6
4
2
0
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4
2
0
-2
-4
Grafiquemos: x
x
f 2
)
( 
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0
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-4
x
x
f 
)
(
Este par es (0; 0)
Hacemos: (0; 2x0)
Este par es (1; 1)
Hacemos: (1; 2x1)
Este par es (2; 2)
Hacemos: (2; 2x2)
x
x
f 2
)
( 
Grafiquemos: x
x
f 5
,
0
)
( 
Este par es (0; 0)
Hacemos: (0; 0,5x0)
Este par es (1; 1)
Hacemos: (1; 0,5x1)
Este par es (2; 2)
Hacemos: (2; 0,5x2)
x
x
f 
)
(
x
x
f 5
,
0
)
( 
Conclusión Conclusión
Recuerda: Como transformar la gráfica de y = f(x), cuando c > 0
y = f(x) +c
y = f(x) - c
y = f(x - c)
y = - f(x)
y = c f(x), 0< c <1
y = c f(x), c > 1
y = f(x + c)
y = f(-x)
OPERACIÓN
EN LA FUNCIÓN
Desplaza c unidades hacia arriba
Desplaza c unidades hacia abajo
Desplaza c unidades a la derecha
Desplaza c unidades a la izquierda
Refleja con respecto al eje x
Refleja con respecto al eje y
Alarga vert., alejándose del eje x
Contrae vert., hacia el eje x
PROCESO EN LA GRÁFICA
Ejercicios
2
x
2
1
)
x
(
f
.
i 
2
x
)
x
(
f
.
ii 

3
1
x
)
x
(
f
.
iii 


1
2
x
2
)
x
(
f
.
iv 
 2
|
4
x
|
)
x
(
f
.
viii 


2
x
)
x
(
f
.
vi 

1
2
)
2
x
(
)
x
(
f
.
vii 



2
2
)
1
x
(
)
x
(
f
.
v 



Grafique cada una de las siguientes funciones, haciendo uso de las
Transformaciones Básicas. Indique los interceptos con los ejes, así como el dominio
y rango.
Aplicaciones de las Funciones
1
2 Bosqueje la parábola siguiente y
determine su vértice y rango de:
Aplicaciones y Problemas de Funciones
3
4
+
Halle el dominio de la
siguiente función:
Aplicaciones y Problemas de Funciones
5
6
4
6
3
6
1
2
)
( 2
2
3







x
x
x
x
x
x
x
f
1
2
3
4
5
Conclusiones
• Las funciones matemáticas son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de finanzas, de
economía, de estadística, de ingeniería y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
• Logramos escribir una regla de correspondencia en una ecuación de función “x” como el precio y la
cantidad del producto como “y”.
• Lo mejor es saber combinar los métodos algebraicos con el método gráfico, ya que nos permitirá en
forma rápida determinar donde la función es positiva y donde negativa.
• Se necesita hallar de forma precisa los puntos de corte de la gráfica con el eje x, resolviendo la ecuación
P(x)=0.
• Se pudo conocer los diferentes tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas
dependiendo del tipo de función.
Referencias bibliográficas
• Larson, Ron (2016) Cálculo. 10 a ed. México, D.F.: Cengage Learning.
Centro de Información: Código 515.15 LARS 2016
• Lazo Quintanilla, Adriana (2008) Álgebra Preuniversitaria. 2a ed. México, D. F.: Limusa.
Centro de Información: Código 512 LAZO 2008
• Tellechea, Eduardo (2006) Cálculo Diferencial e Integral I. México, D.F.: Universidad de Sonora.
Recuperado de http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo1/
• Stewart, James (2008) Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. 6a ed. México, D.F.: Cengage
Learning.
Centro de Información: Código 515 STEW/C 2008
• Venero B., Jesús Armando (2008) Matemática básica. 2a ed. Lima: Gemar.
Centro de Información: Código 510 VENE 2008
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Matematica II funcion III y graficas tema 10

  • 1. CURSO: MATEMÁTICA II Unidad 4: Funciones y Gráficas Tema 10: Función III
  • 2. Índice • Funciones básicas: Constante, lineal, Valor absoluto, Función cuadrática • Gráficas • Aplicaciones articuladas de funciones
  • 3. Capacidades • Identifica y diferencia una Relación de un Función formada por pares ordenados. • Resuelve ejercicios relativo al tema teniendo en cuenta sus restricciones. • Identifica y grafica correctamente las funciones básicas en el plano cartesiano. • Determina el dominio y rango de unciones a través de sus gráficos.
  • 4. Funciones Una función puede presentarse mediante una tabla. Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses). Edad (meses) Longitud (cm) 2 4 3 8 4 15 6 29 7 34 8 38 9 42 A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm. (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm. La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.
  • 5. Función lineal b ax x f   ) ( pendiente Intercepto (eje Y) 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 ( ) 2 2 x f x    Dominio   ; Domf ó Domf      Rango   ; Ranf ó Ranf      ES CRECIENTE: si a > 0 ES DECRECIENTE: si a < 0
  • 6. De las Ecuaciones de la Recta, usaremos y= f(x) ) Horizontal Recta ( ) (constante k y ) Vertical Recta ( ) (constante k x a) Segmentari o Canónica Ecuación ( b y a x ) Pendiente Punto ( 0 x - (x m 0 y - y ) (implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0 c by ax ) (explícita o ) ón intersecci - Pendiente ( b mx y                 1 ) ) ( Función lineal
  • 7. Función constante Sea la recta de ecuación : .Si se considera , su gráfica es : 0 B y 0 C By Ax     K B C - y : entonces , 0 A    x y=k L 0 (B) (0) - m Pendiente    Recta Horizontal y
  • 8. Si en la ecuación se considera : su gráfica es: 0 A y 0 C By Ax     k A C - x : entonces , 0 B    k 90º x L x=k : Recta Vertical. No es una función. existe No 90º Tg existe No (0) (A) - m Pendiente    
  • 9. Función valor absoluto                0 x si , (x) - 0 x si , 0 0 x si , (x) x +x x y  (0 ,0) 2 (x) x : También    , 0 : Rango Reales : Dominio   Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)
  • 10. Función raíz cuadrada y ( ) x ; x 0 f x            0, : Rango 0, : Dominio +y (0,0) Creciente
  • 11. i) : Corta al eje x en dos puntos (dos raíces reales y diferentes) La ecuación del eje de simetría (recta vertical) , corresponde a : Función cuadrática . y   x=h V : (h ,k)  x1 x2 parábola Ymin= k V= Vértice a > 0  Las raíces son x1 y x2. El valor mínimo de la función: También : h =- (b)/(2a) = ( x1+x2 )/2 ; k = f (h).
  • 12. nte discrimina   x  X =h y No existen soluciones reales Existen dos raíces complejas y conjugadas x
  • 13. Método para graficar funciones a partir de otras TRANSFORMACIONES BÁSICAS Traslaciones Reflexiones Ampliaciones / Contracciones 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4
  • 14. Traslaciones Horizontal Vertical 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 2 ) ( x x f  ) 2 (  x f ) 2 (  x f x x f  ) ( 3 ) (  x f 1 ) (  x f ) ( c x f  ) ( c x f  c x f  ) ( Conclusión Conclusión
  • 15. Reflexiones Sobre el EJE X Sobre el EJE Y 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 2 ) (   x x f 2 ) (     x x f 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 2 ) (   x x f 2 x ) x ( f    Conclusión Conclusión
  • 16. Ampliaciones y Contracciones 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 Grafiquemos: x x f 2 ) (  10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 6 4 2 0 -2 -4 x x f  ) ( Este par es (0; 0) Hacemos: (0; 2x0) Este par es (1; 1) Hacemos: (1; 2x1) Este par es (2; 2) Hacemos: (2; 2x2) x x f 2 ) (  Grafiquemos: x x f 5 , 0 ) (  Este par es (0; 0) Hacemos: (0; 0,5x0) Este par es (1; 1) Hacemos: (1; 0,5x1) Este par es (2; 2) Hacemos: (2; 0,5x2) x x f  ) ( x x f 5 , 0 ) (  Conclusión Conclusión
  • 17. Recuerda: Como transformar la gráfica de y = f(x), cuando c > 0 y = f(x) +c y = f(x) - c y = f(x - c) y = - f(x) y = c f(x), 0< c <1 y = c f(x), c > 1 y = f(x + c) y = f(-x) OPERACIÓN EN LA FUNCIÓN Desplaza c unidades hacia arriba Desplaza c unidades hacia abajo Desplaza c unidades a la derecha Desplaza c unidades a la izquierda Refleja con respecto al eje x Refleja con respecto al eje y Alarga vert., alejándose del eje x Contrae vert., hacia el eje x PROCESO EN LA GRÁFICA
  • 18. Ejercicios 2 x 2 1 ) x ( f . i  2 x ) x ( f . ii   3 1 x ) x ( f . iii    1 2 x 2 ) x ( f . iv   2 | 4 x | ) x ( f . viii    2 x ) x ( f . vi   1 2 ) 2 x ( ) x ( f . vii     2 2 ) 1 x ( ) x ( f . v     Grafique cada una de las siguientes funciones, haciendo uso de las Transformaciones Básicas. Indique los interceptos con los ejes, así como el dominio y rango.
  • 19. Aplicaciones de las Funciones 1 2 Bosqueje la parábola siguiente y determine su vértice y rango de:
  • 20. Aplicaciones y Problemas de Funciones 3 4 + Halle el dominio de la siguiente función:
  • 21. Aplicaciones y Problemas de Funciones 5 6 4 6 3 6 1 2 ) ( 2 2 3        x x x x x x x f
  • 23. Conclusiones • Las funciones matemáticas son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería y de cualquier área social donde haya que relacionar variables. • Logramos escribir una regla de correspondencia en una ecuación de función “x” como el precio y la cantidad del producto como “y”. • Lo mejor es saber combinar los métodos algebraicos con el método gráfico, ya que nos permitirá en forma rápida determinar donde la función es positiva y donde negativa. • Se necesita hallar de forma precisa los puntos de corte de la gráfica con el eje x, resolviendo la ecuación P(x)=0. • Se pudo conocer los diferentes tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas dependiendo del tipo de función.
  • 24. Referencias bibliográficas • Larson, Ron (2016) Cálculo. 10 a ed. México, D.F.: Cengage Learning. Centro de Información: Código 515.15 LARS 2016 • Lazo Quintanilla, Adriana (2008) Álgebra Preuniversitaria. 2a ed. México, D. F.: Limusa. Centro de Información: Código 512 LAZO 2008 • Tellechea, Eduardo (2006) Cálculo Diferencial e Integral I. México, D.F.: Universidad de Sonora. Recuperado de http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo1/ • Stewart, James (2008) Cálculo de una variable: Trascendentes tempranas. 6a ed. México, D.F.: Cengage Learning. Centro de Información: Código 515 STEW/C 2008 • Venero B., Jesús Armando (2008) Matemática básica. 2a ed. Lima: Gemar. Centro de Información: Código 510 VENE 2008