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Matematica -ED primer ciclo-Alex-Imbaquingo
Matemática III –Primer Ciclo
UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
UNIDAD 3 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2DO ORDEN
UNIDAD 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
UNIDAD 5 : RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN SERIES DE
POTENCIAS
UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
Definicion: ”llamamos ecuación diferencial a una ecuación que relaciona una o mas funciones (variables dependientes), su
variable o variables (variable independiente) y sus derivadas.”
Ejemplo : Solución:
𝑦′
+ 5𝑦 = 0 𝑦 = 𝐶𝑒5𝑥
Clasificación de las ecuaciones diferenciales
Según el tipo:
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): presenta una sola variable dependiente.
𝑦′′
− 𝑦 = 1
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 −
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 1
Ecuaciones diferenciales parciales (EDP): presenta 2 o mas variables dependientes.
𝜕2
𝑦
𝜕𝑥2
−
𝜕2
𝑧
𝜕𝑡2
= 1 + 𝑡 − 𝑦
Orden: el orden de una (ED)esta dado por la mayor derivada presente. Orden Superior:
1er orden: 𝑦′
+5𝑦 = 6𝑥 n Orden: 𝑦(𝑛)
+5𝑦 = 6𝑥
2do orden: 𝑦′′+5𝑦 = 6𝑥
3er orden: 𝑦′′
+5𝑦 = 6𝑥
4to orden: 𝑦4
+5𝑦 = 6𝑥
Linealidad: una (EDO)es lineal si tiene la siguiente forma.
𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛
𝑦
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑥
𝑑 𝑛−1
𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1
+ ⋯ = 𝑎1 𝑥
𝑑 𝑛
𝑦
𝑑𝑥 𝑛
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥
(EDO)no lineal si tiene la siguiente forma
2𝑥4
𝑑3
𝑦
𝑑𝑥3
+ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥3
𝑑2
𝑦
𝑑𝑥2
+ (3𝑥5
+ ln 𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑥3
𝑦 = 4𝑒5𝑦
Intervalo de solución de una ecuación diferencial
Si f es una solución definida en algún intervalo tal que al sustituirla en una (ED) la satisface, se dice entonces que f es una solución de la
(ED).
Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones
Solución implícita: se dice que una relación G(x,y)=0 es una sol. Implícita de una ED en el intervalo I si define una o mas soluciones
explicitas en I.
Ejm. Muestre que 𝑦2
+ 𝑥 − 3 = 0 es una solución implícita de
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
2𝑦
en el intervalo (-∞,3)
𝑦2 + 𝑥 − 3 = 0 y = ± 3 − 𝑥 , dominio(-∞,3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
1
2𝑦
(1)
𝑦2
+ 𝑥 − 3 = 0 (2)
𝑑
𝑑𝑥
𝑦2
+ 𝑥 − 3 =
𝑑
𝑑𝑥
0 ; 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 1 − 0 = 0 ;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=−
1
2𝑦
(3)
Sustituimos (3) en (1):
−
1
2𝑦
=−
1
2𝑦
http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/tag/intervalo-de-solucion-de-una-ecuacion-diferencial
Solucion explicita: una solución esta de formas explicita si se puede expresar en la forma y=f(x) ,o bien gracias x= 𝑔 𝑦 .
Ejm. Verificar la función de y = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
es una solución de la ecuación diferencial
𝑦′′′
− 3𝑦′′
+ 3𝑦′ − 𝑦 = 0
Solución. Si derivamos sucesivamente la función y = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
, tenemos.
y′ = (𝑐1+𝑐2)𝑒 𝑥
+ (𝑐2+2𝑐3)𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
y′′
= (𝑐1+2𝑐2 + 2𝑐3)𝑒 𝑥
+ (𝑐2+4𝑐3)𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
y′′ = (𝑐1+3𝑐2 + 6𝑐3)𝑒 𝑥
+ (𝑐2+6𝑐3)𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
De esta manera,
𝑦′′′
− 3𝑦′′
+ 3𝑦′ − 𝑦 = (𝑐1+3𝑐2 + 6𝑐3)𝑒 𝑥
+ (𝑐2+6𝑐3)𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
−3((𝑐1+2𝑐2 + 2𝑐3)𝑒 𝑥
+ (𝑐2+4𝑐3)𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
)
3((𝑐1+𝑐2)𝑒 𝑥
+ (𝑐2+2𝑐3)𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
)
−(𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥
+ 𝑐3 𝑥2
𝑒 𝑥
)𝑒 𝑥
= 0
La función 𝑦′′′
− 3𝑦′′
+ 3𝑦′ − 𝑦 = 0 es una solución explicita de la ecuación 𝑦′′′
− 3𝑦′′
+ 3𝑦′
− 𝑦 = 0
Familia de soluciones
Dada la EDO. F(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … . . , 𝑦 𝑛−1, 𝑦 𝑛 =0, se dice que una solución de la forma , 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑐1, 𝑐2 … … … , 𝑐 𝑛 = 0 es una familia
de soluciones con n-parámetros arbitrarios. Si una solución no contiene parámetros arbitrarios, se dice que es una solución
particular.
Solución Particular
Si fijando cualquier punto P por donde debe pasar la solución de la ED, hay un valor único de la constante, y de la curva integral que
satisface la ecuación, recibe el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P, que recibe el nombre de condición inicial. Es
un caso particular de la solución general, en donde la o las constantes reciben un valor específico.
Ejm. 𝑥2
𝑦′
= 𝑦 − 𝑦𝑥 y(−1) = −1
𝑥2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦(1 − 𝑥) 𝑙𝑛 −1 +
1
−1
+ 𝑙𝑛 −1 = 𝑐
𝑑𝑦
𝑦
=
1−𝑥
𝑥2 𝑑𝑥 𝑜 − 1 + 0 = 𝑐
𝑑𝑦
𝑦
=
1−𝑥
𝑥2 𝑑𝑥 c = −1
ln(𝑦) =
1
𝑥2 −
𝑥
𝑥2 𝑑𝑥 Remplazar en sol. General.
ln 𝑦 = −
1
𝑥
− ln 𝑥 + 𝑐
sol. Particular
Sol. General
𝒍𝒏 𝒚 +
𝟏
𝒙
+ 𝒍𝒏 𝒙 = −𝟏
𝒍𝒏 𝒚 +
𝟏
𝒙
+ 𝒍𝒏 𝒙 = 𝒄
Problemas de valores iniciales
Se conoce como un problema del valor inicial al problema de resolver la ED 𝑦 𝑛
= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦′
, … . 𝑦 𝑛−1
sujeto a las condiciones
𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦′(𝑥0) = 𝑦1, … … 𝑦 𝑛−1
(𝑥0) = 𝑦 𝑛−1
Ejm. y′′ − 𝑦 = 0 y 0 = 4 𝑌 𝑦′ 0 = 2
Solución . se puede verificar que y = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥 es una familia de soluciones de la ecuación y′′ − 𝑦 = 0.
Tenemos:
y′
= 𝑐1 𝑒 𝑥
− 𝑐2 𝑒−𝑥
𝑦′
0 = 2 4 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑐1 = 3 4 = 𝑐1 + 𝑐2
y 0 = 4 2 = 𝑐1 𝑒0 − 𝑐2 𝑒−0 2 = 𝑐1 − 𝑐2 4 − 3 = 𝑐2
4 = 𝑐1 𝑒0
+ 𝑐2 𝑒−0
2 = 𝑐1 − 𝑐2 6 = 2𝑐1 𝑐2 = 1
4 = 𝑐1 + 𝑐2
Campos de dirección
campo de direcciones o campo de pendientes de la ecuación diferencial dy/dx = f (x, y). Visualmente, el campo de direcciones
señala la apariencia o forma de una familia de curvas solución para la ecuación diferencial y, en consecuencia, es posible
visualizar de manera rápida ciertos aspectos cualitativos de las soluciones —regiones dentro del plano
𝐲 = 𝟑𝒆 𝒙 + 𝒆−𝒙
UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Una ED de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓 𝑥, 𝑦 , si 𝑓(𝑥, 𝑦 ) se puede separar en dos factores, 𝑔 𝑥 𝑌 ℎ 𝑦 .
Ejm. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 4𝑦
𝑑𝑦
𝑦
= 4
1
𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑦
= 4
1
𝑥
𝑑𝑥
ln(𝑦) = 4ln(𝑥) + 𝑐
𝑒ln(𝑦) = 𝑒ln 𝑥4 +𝑐
𝒚 = 𝒄𝒙 𝟒
Factor de integrante.
es una función de una ED dada, al cual se lo utiliza para hallar una solución exacta de una ED lineal y esta dad por la formula
𝑒 𝑃 𝑋 𝑑𝑥
, donde P(x) se la obtiene de forma estándar de una ecuación lineal.
Ejm.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = 𝑒3𝑥
𝑃 𝑥 = −1 𝑢 = 𝑒 −1𝑑𝑥
𝑒 −1𝑑𝑥
. y = 𝒆 −1𝑑𝑥
. 𝑒3𝑥
𝑑𝑥
𝑒−𝑥. y = (𝒆−𝑥 . 𝑒3𝑥)𝑑𝑥
𝑒−𝑥
. y = (𝒆2𝑥
)𝑑𝑥
𝑒−𝑥
. y =
1
2
𝑒2𝑥
+ 𝑐
y =
1
2
𝑒2𝑥
𝑒−𝑥
+
𝑐
𝑒−𝑥
𝐲 =
𝟏
𝟐
𝒆 𝟑𝒙
+𝑪𝒆 𝒙
Ecuaciones diferenciales exactas
La forma diferencial M(x, y)dx +N(x, y)dy es exacta en una región R del plano (x,y) si corresponde a la diferencial de alguna
función F(x, y) definida en R.
si M(x, y) y N(x, y) sean continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región R del plano X, entonces
la condición necesaria y suficiente para que la forma diferencial
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦
Sean una diferencial exacta en que
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
Ejm. 2𝑥𝑦 + 3 𝑑𝑥 +(𝑥2 − 1)𝑑𝑦=0
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 + 3
𝜕𝑀
𝜕𝑦
2𝑥𝑦 + 3 = 2𝑥 𝑔 𝑥 = −1 d𝒚
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 1
𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑥2 − 1 = 2𝑥 𝑔 𝑥 = −𝑦 + 𝑐
𝑓 𝑥, 𝑦 = (2𝑥𝑦 + 𝟑)𝑑𝑥 + g(y) f 𝑥, 𝑦 = 𝑐
= 𝑥2
𝑦 + 3𝑥 + 𝑔(𝑦) 𝑥2
𝑦 + 3𝑥 − 𝑦 + 𝑐 = 𝑐
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 𝑥2
+ 𝑔′
(𝑦) 𝑥2
𝑦 − 𝑦 = −3𝑥 + 𝑐
𝑔′
𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
− 𝑥2
y(𝑥2
− 1) = 𝑐 − 3𝑥
𝑔′
𝑦 = 𝑥2
− 𝟏 − 𝑥2
𝑔′
𝑦 = −𝟏 𝒚 =
𝒄 − 𝟑𝒙
𝒙 𝟐 − 𝟏
Variacion de una constantes
el coefiiente de los coeficientes variables consiste en suponer que la sol. Particular que estamos buscando de la forma
𝑦𝑝 𝑥 = 𝑐1 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 𝑦2 𝑥 , donde 𝑐1(𝑥) y 𝑐2(𝑥) son funciones a determinar
Ejm.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 = 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 2𝑦 = 0 ec.(1)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑥. 𝑒2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= c′
x. . 𝑒2𝑥
+2𝑒2𝑥
. 𝑐𝑥
1
𝑦
𝒅𝒚 = 2 𝑑𝑥 remplazo en la Ec. 1y 2
ln 𝑦 = 2𝑥 + 𝑐 c′x. . 𝑒2𝑥 +2𝑒2𝑥. 𝑐𝑥 − 2𝑒2𝑥. 𝑐𝑥 = 5
𝑒ln(y) = 𝑒2𝑥+𝑐 c′x. . 𝑒2𝑥 = 5
𝑦 = 𝑐𝑒2𝑥
sol. Homogenea c′
x = 5𝑒−2𝑥
𝑐 = 𝑐(𝑥) 𝑐(x) = 𝟓 𝑒−2𝑥
𝑑𝑥
y= 𝑐(𝑥)𝑒2𝑥
ec. (2) 𝑐 𝑥 = −
5
2
𝑒−2𝑥
+ 𝑐
𝑓 𝑥, 𝑦 = (2𝑥𝑦 + 𝟑)𝑑𝑥 + g(y) 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 en y
𝑦 = −
5
2
𝑒−2𝑥
+ 𝑐 𝑒2𝑥
sol. general𝑦 = −
5
2
+ 𝑐𝑒2𝑥
Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º orden(crecimiento y decrecimiento)
Las ecuaciones diferenciales que se plantean para resolver problemas de la vida real, no necesariamente son resolubles
directamente, es decir, sus soluciones no tienen una expresión en forma cerrada. Cuando sucede esto, las soluciones se pueden
aproximar usando métodos numéricos
Ejm. Desintegración radiactiva
Suponer que 10 g del isotopo 239Pu se liberaron en el accidente nuclear de Chernobyl
¿Cuánto tiempo tomara a los10 g disminuir a 1 gramo?
Solución
.t=años t0=0 (años) 10 = C𝑒 𝑘𝑡
para encontrar el tiempo en que
10 = C𝑒 𝑘(0)
10g decrece se puede despejar t.
y= masa en (gramos) 10 = C 1= 10𝑒−2,876.10 −5 𝑡
y1=10g y2=1g y =
10
2
= 5 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 24100
1
10
= 𝑒−2,876.10 −5 𝑡
La razón de cambio será
𝑑𝑦
𝑑𝑡
será proporcional a (y) 5 = 10𝑒 𝑘(24100) ln
1
10
= 𝑒 𝑙𝑛−2,876.10 −5 𝑡
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 𝑘. 𝑦
1
2
= 𝑒24100𝑘
ln
1
10
= −2,876. 10 −5 . 𝑡
Aplicamos el método de separación de variables ln
1
2
= 𝑒 𝑙𝑛24100𝑘
𝑡 =
1
−2,876.10 −5 . ln
1
10
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑘. 𝑑𝑡 ln
1
2
= 24100𝑘
𝑑𝑦
𝑦
= 𝑘. 𝑑𝑡 k =
1
24100
. ln
1
2
ln 𝑦 = 𝑘. 𝑡 +C 𝑒ln(𝑦)
= 𝑒 𝑘𝑡+𝐶
k = −2,876. 10−5
𝑦 = C𝑒 𝑘𝑡
𝑦 = C𝑒 𝑘𝑡
𝑦 = C𝑒−2,876.10−5
𝒕 = 𝟖𝟎𝟎𝟓𝟗𝐚ñ𝐨𝐬
Sustituciones y transformaciones
• Ecuaciones homogéneas
Ecuaciones diferenciales homogéneas involucrar sólo los derivados de (y) y las condiciones que implica (y), y están ajustados a 0
Ejm. 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + x𝑑𝑦=0
1
𝑢
.
𝑑𝑢
2
= − ln 𝑥 + ln 𝑐
𝑥𝑑𝑦 = − 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥
1
2
ln 𝑢 = − ln 𝑥 + ln 𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥+𝑦
𝑥
ln 2𝑧 + 1 = −2 ln 𝑥 + ln 𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= − 1 +
𝑦
𝑥
ln 2𝑧 + 1 = − ln 𝑥2
+ ln 𝑐
𝑧 =
𝑦
𝑥
;
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= x
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 2𝑧 + 1 =
𝑐
𝑥2
x
𝑑𝑧
𝑑𝑥
+ 𝑧 = − 1 + 𝑧 2𝑧 =
𝑐
𝑥2 − 1
x
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= −(2𝑧 + 1)
𝑦
𝑥
=
1
2
𝑐
𝑥2 − 1
1
2𝑧+1
𝑑𝑧 = −
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 2𝑧 + 1 y =
1
2
𝑐
𝑥2 − 1 𝑥
1
𝑢
𝑑𝑧 = − ln 𝑥 + ln 𝑐 d𝑢 = 2𝑑𝑧 ; 𝑑𝑧 =
𝑑𝑢
2
𝐲 =
𝟏
𝟐
𝒄𝒙−𝟏
− 𝒙
Ecuaciones de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐆(𝐚𝐱 + 𝐛𝐲)
Consideramos la ED de la forma Ecuaciones de la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝐆(𝐚𝐱 + 𝐛𝐲). no tiene una clasificación especifica, porque solo
depende de la función f(x) que se compone.
Ejm.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑥 + 𝑦 − 1 𝑒ln(𝑧)
= 𝑒0+𝑐
𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ; y = 𝑧 − 𝑥 𝑧 = 𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
𝑥 + 𝑦 =1 𝑥 + 𝑦 = 𝑐
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 1=0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 1
𝑑𝑧
𝑑𝑥
− 1 = 𝑧 − 1 ;
𝑑𝑧
𝑑𝑥
= 𝑧
𝑑𝑧
𝑧
= 𝑑𝑥
1
𝑧
𝑑𝑧 = 𝑑𝑥
ln(𝑧) = 𝑜 + 𝑐
𝒚 = 𝒄 − 𝒙
Ecuaciones de Bernoulli
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ P 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 . 𝑦 𝑛
donde P(x) y Q(x) son funciones reales
y continuas en un intervalo (a,b) y n es una constante real diferente de 0 y 1 se conoce como ecuación de Bernoulli
Ejm.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 7𝑦 = 2𝑦2 v = −
2𝑒−7𝑥
7𝑒−7𝑥 + c𝑒7𝑥 ; v = −
2
7
+ c𝑒7𝑥
𝑛 = 2 ; u = 𝑦1−2 ; 𝑢 = 𝑦−1 remplazo v = 𝑦−1
𝑣 = 𝑦1−2
; v = 𝑦−1
𝑦−1
= −
2
7
+ c𝑒7𝑥
𝑣′
= −𝑦−2
. 𝑦′ ; −𝑣′
= 𝑦−2
. 𝑦′
𝑦 = (
−2+7c𝑒7𝑥
7
)−1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 7𝑦 = 2𝑦2
𝑦−2
𝑦−2 𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 7𝑦−1
= 2
𝑣′ − 7𝑣 = 2 ; 𝑃 𝑥 = −7 ; 𝑓 𝑥 = 2
u = 𝑒 −7𝑑𝑥
; 𝑢 = 𝑒−7𝑥
𝑒−7𝑥
. v = 𝑒−7𝑥
. 2 𝑑𝑥
𝑒−7𝑥
. v = −
2
7
𝑒−7𝑥
+ c ;
𝒚 = −
𝟕
𝟐 + 𝟕𝐜𝒆 𝟕𝒙
Ecuaciones de Riccati
es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden y no caen bajo categoría de cualesquiera de las ecuaciones clásicas. Para
solucionar una ecuación de Riccati, una necesitaría una solución particular. Sin saber por lo menos una solución, no hay absolutamente
ocasión de encontrar ningunas soluciones a tal ecuación. De hecho, deje y 1 ser una solución particular de:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= P 𝑥 𝑄 𝑥 𝑦𝑅 𝑥 . 𝑦2
Ejm. 𝑦′
+ 2𝑥𝑦 = 1 + 𝑥2
+ 𝑦2
; 𝑦′
= 1 + 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥𝑦 ; y1=x
𝑦 = 𝑥 + 𝑢 ; u = 𝑦 − 𝑥 aplicamos la ec. De variables separables
𝑦′ = 1 + 𝑢′
𝑑𝑣
𝜕𝑥
= −1
1 + 𝑢′ = 1 + 𝑥2
+ (𝑥 + 𝑢)2
− 2𝑥 𝑥 + 𝑢 𝑑𝑣 = −𝑑𝑥
1 + 𝑢′ = 1 + 𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥𝑢 + 𝑢2 − 2𝑥2 − 2𝑥𝑢 𝑑𝑣 = − 𝑑𝑥
𝑢′ = 1 + 𝑥2
+ 𝑥2
+ 2𝑥𝑢 + 𝑢2
− 2𝑥2
− 2𝑥𝑢-1 𝑣 = −𝑥 + 𝑐
𝑢′ = 𝑢2 Ec. Bernoulli como 𝑣 = 𝑢−1 remplazo
𝑣 = 𝑢1−2
; 𝑣 = 𝑢−1
𝑢−1
= −𝑥 + 𝑐
𝑣′ = −𝑢−2. 𝑢′ ; −𝑣′ = 𝑢−2. 𝑢′ 𝑢 = (−𝑥 + 𝑐)−1
Remplazo en la ec, de B. 𝑢 =
1
−𝑥+𝑐
(𝑢′
= 𝑢2
)𝑢−2
como u = 𝑦 − 𝑥 remplazo
𝑢−2
. 𝑢′=1 𝑦 − 𝑥 =
1
−𝑥+𝑐
−𝑣′ = 1 ;
𝑣′
= −1
𝒚 =
𝟏
−𝒙 + 𝒄
+ 𝒙
UNIDAD 3 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2DO
ORDEN
Problemas con valores iniciales
Resolver:𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 𝑎 𝑛−1
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 +. . +𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) ; Sujeto a: 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦′(𝑥0) = 𝑦′0 … 𝑦 𝑛−1 (𝑥0) = 𝑦0
(𝑛−1)
:
condiciones iniciales
donde 𝑦0, 𝑦′0, . . 𝑦′′0
(𝑛−1)
0
son valores arbitraria, y deben cumplirse para un valor particular 𝑥0 en un intervalo I, donde 𝑥0 ∈ 𝐼
Ejm. y = 𝑐1 𝑒4𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥; −∞, ∞ ; 𝑦′′ − 3𝑦′ − 4𝑦 = 0 𝑦 0 = 1; 𝑦′ 0 = 2
𝑦′
= 4𝑐1 𝑒4𝑥
− 𝑒−𝑥
𝑦 0 = 1
1 = 𝑐1 𝑒(4)0
+ 𝑐2 𝑒−0
1 = 𝑐1 + 𝑐2
𝑦′ 0 =2
2 = 4𝑐1 𝑒 4 0
− 𝑐2 𝑒−0
2 = 4𝑐1 − 𝑐2
1 = 𝑐1 + 𝑐2 1 − 𝑐1 = 𝑐2
2 = 4𝑐1 − 𝑐2 1 −
3
5
= 𝑐2
3 = 5𝑐1
3
5
= 𝑐1
2
5
= 𝑐2
UNIDAD 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
𝒚 =
𝟑
𝟓
𝒆 𝟒𝒙
+
𝟐
𝟓
𝒆−𝒙
Problemas con valores en la frontera
un problema de valores en la frontera para una ED lineal de orden dos se enuncia como:
Resolver: 𝑎2 𝑥
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 +𝑎1 (𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+. . +𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Sujeto a: 𝑦 𝑎 = 𝑦1, 𝑦 𝑏 = 𝑦2
ó: 𝑦´ 𝑎 = 𝑦′1, 𝑦 𝑏 = 𝑦2 condiciones en la frontera
ó: 𝑦 𝑎 = 𝑦1, 𝑦′ 𝑏 = 𝑦′2
ó: 𝑦′ 𝑎 = 𝑦′
1
, 𝑦′ 𝑏 = 𝑦′2
El teorema de existencia y unicidad dado para un problema de condiciones iniciales no es valido para un problema con valores en
la frontera, es decir aunque se cumpla las hipótesis de dicho teorema con valores en la frontera, es decir, aunque se cumpla la
hipótesis de dicho teorema en un problema con valores en la frontera puede ocurrir una de las tres situaciones siguientes:
i. Que no exista solución
ii. que exista una solución única
iii. que exista un numero infinito de soluciones.
Ejm. y = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥; −∞, ∞ ; 𝑦′′ − 𝑦 = 0 𝑦 0 = 0; 𝑦 1 = 1
𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥
+ 𝑐2 𝑒−𝑥
𝑦 0 = 0 𝑦 1 = 1 igualamos para obtener −𝑐1= 𝑐2
0 = 𝑐1 𝑒0
+ 𝑐2 𝑒−0
1 = 𝑐1 𝑒1
− 𝑐2 𝑒−1
𝑐1 𝑒2
− 𝑐1 = 𝑒 −
𝑒
𝑒2−1
= 𝑐2
−𝑐1= 𝑐2 𝑐2 = 𝑐1 𝑒2 − 𝑒 𝑐1 =
𝑒
𝑒2−1
𝒚 =
𝒆
𝒆 𝟐 − 𝟏
𝒆 𝒙
−
𝒆
𝒆 𝟐 − 𝟏
𝒆−𝒙
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso
del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los
términos constantes.
𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛
𝑦
𝑑𝑥 𝑛 𝑎 𝑛−1
𝑑 𝑛−1
𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 +. . +𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0
si 𝑔 𝑥 ≠ 0 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑛𝑜 ℎomogenea
Ejm. 𝑦′′
− 5𝑦′
+ 6𝑦 = 0 dada la solución . 𝑦 = 𝒆 𝟐𝒙
𝑦′
= 2𝑒2𝑥
; 𝑦′′
= 4𝑒2𝑥
4𝑒2𝑥 − 5 2𝑒2𝑥 + 6 𝑒2𝑥 = 0
4𝑒2𝑥 − 10𝑒2𝑥 + 6𝑒2𝑥 = 0
𝟎 = 𝟎
Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano
Sea: 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 ; 𝑐1 𝑓1 𝑥 + 𝑐2 𝑓2 𝑥 +, , 𝑐 𝑛 𝑓𝑛 𝑥 = 0
Si a excepción de 𝑐𝑖 = 0 i = 1,2, , , n𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖 para los cuales (1) es cero entonces 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … 𝑓𝑛 𝑥
son funciones linealmente independiente. Caso contrario 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … 𝑓𝑛 𝑥 son linealmente dependientes.
Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente
independiente.
El Wronskiano es una función, especialmente importante en el estudio de las EDO.
Dado un conjunto de n funciones, f1, ..., fn, el Wronskiano W(f1, ..., fn) está dado por:
Ejm. 𝑓1 𝑥 = 𝑥 + 3; 𝑓2 𝑥 = 𝑥 + 3x; 𝑓3 𝑥 = 𝑥 − 1; 𝑓4 𝑥 = x2
𝑓1 𝑥 − 𝑓2 𝑥 + 3 𝑓3 𝑥 + 0 𝑓4 𝑥 = 0 Wronskiano
𝑥 + 3 − 𝑥 + 3x + 3 𝑥 − 1 + 0x2 = 0 Ejm. Demuestre que 𝑦1 = 𝑒2𝑥; 𝑦2 = 𝑒4𝑥; 𝑦3 = 𝑒6𝑥
𝑒2𝑥
𝑒4𝑥
𝑒6𝑥
𝑤 𝑦1, 𝑦2 , 𝑦3 = 2𝑒2𝑥 4𝑒4𝑥 6𝑒6𝑥
𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , 𝑓3 𝑥 , 𝑓𝑛 𝑥 = 0 4𝑒2𝑥
16𝑒4𝑥
36𝑒6𝑥
son linealmente dependientes 𝑒2𝑥 𝑒4𝑥 𝑒6𝑥
2𝑒2𝑥
4𝑒4𝑥
6𝑒6𝑥
= 144𝑒12𝑥
+ 32𝑒12𝑥
+ 24𝑒12𝑥
− (16𝑒12𝑥
+ 96𝑒12𝑥
+ 72𝑒12𝑥
)
16𝑒12𝑥
≠ 0
sol. General
𝟎 = 𝟎
𝒚 = 𝒄 𝟏 𝒆 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟐 𝒆 𝟒𝒙 + 𝒄 𝟑 𝒆 𝟔𝒙
Ecuaciones diferenciales no homogéneas
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:𝑎 𝑛 𝑥
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛 𝑎 𝑛−1
𝑑 𝑛−1 𝑦
𝑑𝑥 𝑛−1 +. . +𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥)
si 𝑔 𝑥 ≠ 0 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑛𝑜 ℎomogenea
Ejm. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 donde. 𝑦 = 𝑥2
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙 + 𝑐2 𝒆 𝒙
Dividir para 𝑦 = 𝑥2
𝑦𝑝 =
1
2
𝑥2
−
3
2
𝑥2
+
7
4
𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝
𝑦 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙 + 𝑐2 𝒆 𝒙 +
1
2
𝑥2 −
3
2
𝑥2 +
7
4
Ecuaciones homogéneas coeficientes constantes
Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:𝑎 𝑛 𝑦 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎2 𝑦′′
+ 𝑎1 𝑦′
+ 𝑎0 𝑦 = 0 y
tiene como solución general la función 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥
, por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por:
𝑎 𝑛 𝑚 𝑛
+ 𝑎 𝑛−1 𝑚 𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎2 𝑚2
+ 𝑎1 𝑚 + 𝑎0 = 0 , estas ecuaciones pueden generar muchas combinaciones, sin embargo se
presentan tres casos para la resolución de la misma.(raíces reales diferentes, raíces reales iguales, rices complejas conjugadas.)
Caso 1
caso 3
Ejm. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 donde. 𝑦 = 𝑥2 2𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝟎
𝑚2
− 3𝑚 + 2 = 0 2𝑚2
− 3𝑚 + 2 = 0
𝑚 − 2 𝑚 − 1 = 0 𝑚 =
3± −𝟑 𝟐−𝟒(𝟐)(𝟐)
2(2)
𝑚 = 2; 𝑚 = 1 𝑚 =
3± (−𝟕)
4
𝑚 =
3± 𝟕𝒊
4
𝑚 =
3
4
±
𝟕 𝒊
4
𝛼 =
3
4
; 𝛽=
𝟕 𝒊
4
Caso 2
𝑦′′ − 2𝑦′ + 4𝑦 = 𝟎
𝑚2
− 2𝑚 + 4 = 0
(𝑚 − 2) 𝟐
= 𝟎
𝑚 = 2 ; 𝑚 = 2
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙
+ 𝑐2 𝒆 𝒙
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙 + 𝑐2 𝑥𝒆 𝟐𝒙
𝑦𝑐 = 𝒆
3
4
𝒙
(𝑐1 𝒄𝒐𝒔
𝟕 𝒊
4
𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛
𝟕 𝒊
4
𝑥
Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes
Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:
𝑎 𝑛(𝑥)𝑦 𝑛+𝑎 𝑛−1(𝑥)𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2(𝑥)𝑦′′ + 𝑎1(𝑥)𝑦′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) en donde si f 𝑥 ≠ 0
𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑛𝑜 ℎomogenea. La solución general es la combinación lineal de dos tipos: sol. Complementaria 𝑌𝐶 y sol.
Particular 𝑌𝑃. (𝑌𝐺 = 𝑌𝐶 + 𝑌𝑃)
Coeficientes indeterminados –método de superposición
𝑎 𝑛 𝑦 𝑛
+ ⋯ + 𝑎1 𝑦′
+ 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥)
Ejm. 𝑦′′
− 3𝑦′
+ 2𝑦 = 𝑥2
+ 𝑥 2𝐴 − 3 2𝐴𝒙 + 𝐵 + 2 𝐴𝒙 𝟐
+ 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑥2
+ 𝑥
𝑦′′
− 3𝑦′
+ 2𝑦 = 0 2𝐴 − 6𝐴𝒙 − 3𝐵 + 2𝐴𝒙 𝟐
+ 2𝐵𝑥 + 2𝐶 = 𝑥2
+ 𝑥
𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0 2𝐴𝒙 𝟐 + −6𝐴 + 2𝐵 𝑥 + 2𝐴 + 2𝐶 = 𝑥2 + 𝑥
𝑚 − 2 𝑚 − 1 = 0 2𝐴 = 1 ; 𝐀 =
𝟏
𝟐
𝑚 = 2; 𝑚 = 1 2𝐵 = 1 + 6
1
2
=4; B=2
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙
+ 𝑐2 𝑥𝒆 𝒙
2A + 2𝐶 = 0
2𝐶 = −2𝐴
𝑦𝑝 = 𝐴𝒙 𝟐
+ 𝐵𝑥 + 𝐶 2𝐶 = −2
𝟏
𝟐
=-1
𝑦′ 𝑝 = 2𝐴𝒙 + 𝐵 𝑪 = −
𝟏
𝟐
𝑦′′ 𝑝 = 2𝐴
𝑦 𝐺 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙
+ 𝑐2 𝑥𝒆 𝒙
+
𝟏
𝟐
𝒙 𝟐
+ 2x −
𝟏
𝟐
coeficientes indeterminados- Método del anulador
𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝐷2 𝑦 + 𝑃 𝑥 𝐷𝑦 + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)
(𝐷2
+𝑃 𝑥 𝐷 + 𝑄(𝑥))𝑦 = 𝑔(𝑥)
Anulador 𝑔 𝑥
𝐿 𝑔 𝑥 = 0; 𝑳 = 𝒂𝒏𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓
Ejm. 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑒 𝑥 operador D + 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑥 𝐷𝑒 𝑎𝑥; 𝑚 = 𝒎 𝟐 − 1; 𝑚1 = 𝟏; 𝑚2 = −1 ; 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝒙 + 𝑐2 𝒆−𝒙
(𝐷2
−1) (𝑦) = 𝑒 𝑥
𝑒 𝑥
(y) = x𝑒 2𝑥
sea u:x ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆 𝟐𝒙
; 𝒗 =
𝟏
𝟐
𝒆 𝟐 𝒙
(𝐷 − 1)(𝐷 + 1)(𝑦) = 𝑒 𝑥
𝑒 𝑥
(y) =
1
2
𝑒 𝑥
x −
1
2
𝑒 2𝑥
𝑑𝑢 =
1
2
𝑒2𝑥
𝑥 −
1
𝟒
𝑒2𝑥
(𝑒 𝑥 𝐷𝑒 −𝑥 𝑒 −𝑥 𝐷𝑒 𝑥 𝑦 = 𝑒 𝑥 y =
1
2
𝑒 𝑥x−
1
2
𝑒 2𝑥 𝑑𝑢=
1
2
𝑒2𝑥 𝑥−
1
𝟒
𝑒2𝑥
𝑒 𝑥
𝐷𝑒 −2𝑥
𝐷𝑒 𝑥
(𝑦) =
𝑒 𝑥
𝑒 𝑥 𝑦𝑝 =
1
2
𝒙𝑒 𝑥
−
1
𝟒
𝑒 𝑥
𝐷𝑒 −2𝑥
𝐷𝑒 𝑥
(𝑦) = 1
𝑒 −2𝑥
𝐷𝑒 𝑥
(y) = 1𝑑𝑥
𝑒 −2𝑥
𝐷𝑒 𝑥
(y) = 𝑥
𝐷𝑒 𝑥(y) =
𝑥
𝑒 −2𝑥
𝐷𝑒 𝑥
(y) = x𝑒 2𝑥
𝑦 𝐺 = 𝑐1 𝒆 𝒙 + 𝑐2 𝒆−𝒙 +
𝟏
𝟐
𝒙𝒆 𝒙 −
𝟏
𝟒
𝒆 𝒙
Variacion de parámetros
Es un método general para determinar una solución particular de una ED diferencial lineal. Sin perdida de generalidad,
consideremos la ecuación lineal de segundo orden
𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦1 𝑦2
𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 𝑐1 𝑦𝑐2 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝒖 𝟐 𝒚 𝒖 𝟐 ; 𝑤 𝑦1, 𝑦2 = 𝑦′1 𝑦′2
𝑤(𝑦2 , 𝑦2) ≠ 0 ; 𝒖′ 𝟏 =
−𝒚 𝟐 𝒇(𝒙)
𝒘
𝒚 𝒖′ 𝟐 =
𝒚 𝟏 𝒇(𝒙)
𝒘
Ejm. 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝒖′ 𝟏 = −
𝒄𝒐𝒔𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙
−𝟏
𝒅𝒙 𝒖′ 𝟐 =
𝒔𝒆𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙
−𝟏
𝒅𝒙
𝑦′′ + 𝑦 = 0 𝒖 𝟏 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝒖 𝟐 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑑𝑥
𝑚 2
+ 1 = 0 𝒖 𝟏 = 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝒔𝒆𝒏𝒙
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑑𝑥 𝒖 𝟐 = −
𝑠𝑒𝑛 2 𝑥
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑑𝑥
𝑚 2
= −1 𝒖 𝟏 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝒖 𝟐 = −
1−𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑑𝑥
𝑚 = ±𝑖 ; ∞ = 0; 𝛽 = 1 𝒖 𝟏 = −cosx 𝒖 𝟐 = −
1
𝒄𝒐𝒔𝒙
−
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
𝒄𝒐𝒔𝒙
𝑑𝑥
𝑦𝑐 = 𝒆 𝟎
(𝑐1 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐2 cos 𝑥) 𝒖 𝟐 = − 𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑑𝑥
𝑦𝑐 = (𝑐1 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐2 cos 𝑥) 𝒖 𝟐 = − 𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑑𝑥
𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝒖 𝟐 = −𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑦2 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑝 = (−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + −𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑝 = (−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + −cosx𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑤 𝑦1, 𝑦2 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑝 = −cosx𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑤 = −(𝑠𝑒𝑛 2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2
𝑥)
𝑤 = −1 ; ; 𝑦𝑝 = (𝑢1 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑢2 cos 𝑥) 𝒚 𝑮 = 𝒄 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬𝐱𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙

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Matematica -ED primer ciclo-Alex-Imbaquingo

  • 2. Matemática III –Primer Ciclo UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN UNIDAD 3 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2DO ORDEN UNIDAD 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR UNIDAD 5 : RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES EN SERIES DE POTENCIAS
  • 3. UNIDAD 1: INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Definicion: ”llamamos ecuación diferencial a una ecuación que relaciona una o mas funciones (variables dependientes), su variable o variables (variable independiente) y sus derivadas.” Ejemplo : Solución: 𝑦′ + 5𝑦 = 0 𝑦 = 𝐶𝑒5𝑥 Clasificación de las ecuaciones diferenciales Según el tipo: Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO): presenta una sola variable dependiente. 𝑦′′ − 𝑦 = 1 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 Ecuaciones diferenciales parciales (EDP): presenta 2 o mas variables dependientes. 𝜕2 𝑦 𝜕𝑥2 − 𝜕2 𝑧 𝜕𝑡2 = 1 + 𝑡 − 𝑦 Orden: el orden de una (ED)esta dado por la mayor derivada presente. Orden Superior: 1er orden: 𝑦′ +5𝑦 = 6𝑥 n Orden: 𝑦(𝑛) +5𝑦 = 6𝑥 2do orden: 𝑦′′+5𝑦 = 6𝑥 3er orden: 𝑦′′ +5𝑦 = 6𝑥 4to orden: 𝑦4 +5𝑦 = 6𝑥
  • 4. Linealidad: una (EDO)es lineal si tiene la siguiente forma. 𝑎 𝑛 𝑥 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑥 𝑛−1 + ⋯ = 𝑎1 𝑥 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 (EDO)no lineal si tiene la siguiente forma 2𝑥4 𝑑3 𝑦 𝑑𝑥3 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥3 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 + (3𝑥5 + ln 𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥3 𝑦 = 4𝑒5𝑦 Intervalo de solución de una ecuación diferencial Si f es una solución definida en algún intervalo tal que al sustituirla en una (ED) la satisface, se dice entonces que f es una solución de la (ED). Soluciones explicitas e implícitas. Familia de soluciones Solución implícita: se dice que una relación G(x,y)=0 es una sol. Implícita de una ED en el intervalo I si define una o mas soluciones explicitas en I. Ejm. Muestre que 𝑦2 + 𝑥 − 3 = 0 es una solución implícita de 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 1 2𝑦 en el intervalo (-∞,3) 𝑦2 + 𝑥 − 3 = 0 y = ± 3 − 𝑥 , dominio(-∞,3) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 1 2𝑦 (1) 𝑦2 + 𝑥 − 3 = 0 (2) 𝑑 𝑑𝑥 𝑦2 + 𝑥 − 3 = 𝑑 𝑑𝑥 0 ; 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 1 − 0 = 0 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =− 1 2𝑦 (3) Sustituimos (3) en (1): − 1 2𝑦 =− 1 2𝑦 http://ecuaciondiferencialejerciciosresueltos.com/tag/intervalo-de-solucion-de-una-ecuacion-diferencial
  • 5. Solucion explicita: una solución esta de formas explicita si se puede expresar en la forma y=f(x) ,o bien gracias x= 𝑔 𝑦 . Ejm. Verificar la función de y = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥2 𝑒 𝑥 es una solución de la ecuación diferencial 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 0 Solución. Si derivamos sucesivamente la función y = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥2 𝑒 𝑥 , tenemos. y′ = (𝑐1+𝑐2)𝑒 𝑥 + (𝑐2+2𝑐3)𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥2 𝑒 𝑥 y′′ = (𝑐1+2𝑐2 + 2𝑐3)𝑒 𝑥 + (𝑐2+4𝑐3)𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥2 𝑒 𝑥 y′′ = (𝑐1+3𝑐2 + 6𝑐3)𝑒 𝑥 + (𝑐2+6𝑐3)𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥2 𝑒 𝑥 De esta manera, 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = (𝑐1+3𝑐2 + 6𝑐3)𝑒 𝑥 + (𝑐2+6𝑐3)𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥2 𝑒 𝑥 −3((𝑐1+2𝑐2 + 2𝑐3)𝑒 𝑥 + (𝑐2+4𝑐3)𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥2 𝑒 𝑥 ) 3((𝑐1+𝑐2)𝑒 𝑥 + (𝑐2+2𝑐3)𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥2 𝑒 𝑥 ) −(𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑐3 𝑥2 𝑒 𝑥 )𝑒 𝑥 = 0 La función 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 0 es una solución explicita de la ecuación 𝑦′′′ − 3𝑦′′ + 3𝑦′ − 𝑦 = 0 Familia de soluciones Dada la EDO. F(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … . . , 𝑦 𝑛−1, 𝑦 𝑛 =0, se dice que una solución de la forma , 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑐1, 𝑐2 … … … , 𝑐 𝑛 = 0 es una familia de soluciones con n-parámetros arbitrarios. Si una solución no contiene parámetros arbitrarios, se dice que es una solución particular.
  • 6. Solución Particular Si fijando cualquier punto P por donde debe pasar la solución de la ED, hay un valor único de la constante, y de la curva integral que satisface la ecuación, recibe el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P, que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la o las constantes reciben un valor específico. Ejm. 𝑥2 𝑦′ = 𝑦 − 𝑦𝑥 y(−1) = −1 𝑥2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦(1 − 𝑥) 𝑙𝑛 −1 + 1 −1 + 𝑙𝑛 −1 = 𝑐 𝑑𝑦 𝑦 = 1−𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 𝑜 − 1 + 0 = 𝑐 𝑑𝑦 𝑦 = 1−𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 c = −1 ln(𝑦) = 1 𝑥2 − 𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 Remplazar en sol. General. ln 𝑦 = − 1 𝑥 − ln 𝑥 + 𝑐 sol. Particular Sol. General 𝒍𝒏 𝒚 + 𝟏 𝒙 + 𝒍𝒏 𝒙 = −𝟏 𝒍𝒏 𝒚 + 𝟏 𝒙 + 𝒍𝒏 𝒙 = 𝒄
  • 7. Problemas de valores iniciales Se conoce como un problema del valor inicial al problema de resolver la ED 𝑦 𝑛 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦′ , … . 𝑦 𝑛−1 sujeto a las condiciones 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦′(𝑥0) = 𝑦1, … … 𝑦 𝑛−1 (𝑥0) = 𝑦 𝑛−1 Ejm. y′′ − 𝑦 = 0 y 0 = 4 𝑌 𝑦′ 0 = 2 Solución . se puede verificar que y = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥 es una familia de soluciones de la ecuación y′′ − 𝑦 = 0. Tenemos: y′ = 𝑐1 𝑒 𝑥 − 𝑐2 𝑒−𝑥 𝑦′ 0 = 2 4 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑐1 = 3 4 = 𝑐1 + 𝑐2 y 0 = 4 2 = 𝑐1 𝑒0 − 𝑐2 𝑒−0 2 = 𝑐1 − 𝑐2 4 − 3 = 𝑐2 4 = 𝑐1 𝑒0 + 𝑐2 𝑒−0 2 = 𝑐1 − 𝑐2 6 = 2𝑐1 𝑐2 = 1 4 = 𝑐1 + 𝑐2 Campos de dirección campo de direcciones o campo de pendientes de la ecuación diferencial dy/dx = f (x, y). Visualmente, el campo de direcciones señala la apariencia o forma de una familia de curvas solución para la ecuación diferencial y, en consecuencia, es posible visualizar de manera rápida ciertos aspectos cualitativos de las soluciones —regiones dentro del plano 𝐲 = 𝟑𝒆 𝒙 + 𝒆−𝒙
  • 8. UNIDAD 2: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Ecuaciones diferenciales de variables separables Una ED de la forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥, 𝑦 , si 𝑓(𝑥, 𝑦 ) se puede separar en dos factores, 𝑔 𝑥 𝑌 ℎ 𝑦 . Ejm. 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 4𝑦 𝑑𝑦 𝑦 = 4 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑦 = 4 1 𝑥 𝑑𝑥 ln(𝑦) = 4ln(𝑥) + 𝑐 𝑒ln(𝑦) = 𝑒ln 𝑥4 +𝑐 𝒚 = 𝒄𝒙 𝟒
  • 9. Factor de integrante. es una función de una ED dada, al cual se lo utiliza para hallar una solución exacta de una ED lineal y esta dad por la formula 𝑒 𝑃 𝑋 𝑑𝑥 , donde P(x) se la obtiene de forma estándar de una ecuación lineal. Ejm. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 𝑦 = 𝑒3𝑥 𝑃 𝑥 = −1 𝑢 = 𝑒 −1𝑑𝑥 𝑒 −1𝑑𝑥 . y = 𝒆 −1𝑑𝑥 . 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 𝑒−𝑥. y = (𝒆−𝑥 . 𝑒3𝑥)𝑑𝑥 𝑒−𝑥 . y = (𝒆2𝑥 )𝑑𝑥 𝑒−𝑥 . y = 1 2 𝑒2𝑥 + 𝑐 y = 1 2 𝑒2𝑥 𝑒−𝑥 + 𝑐 𝑒−𝑥 𝐲 = 𝟏 𝟐 𝒆 𝟑𝒙 +𝑪𝒆 𝒙
  • 10. Ecuaciones diferenciales exactas La forma diferencial M(x, y)dx +N(x, y)dy es exacta en una región R del plano (x,y) si corresponde a la diferencial de alguna función F(x, y) definida en R. si M(x, y) y N(x, y) sean continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en una región R del plano X, entonces la condición necesaria y suficiente para que la forma diferencial 𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 Sean una diferencial exacta en que 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = 𝜕𝑁 𝜕𝑥 Ejm. 2𝑥𝑦 + 3 𝑑𝑥 +(𝑥2 − 1)𝑑𝑦=0 𝜕𝑓 𝜕𝑥 = 𝑀 𝑥, 𝑦 = 2𝑥𝑦 + 3 𝜕𝑀 𝜕𝑦 2𝑥𝑦 + 3 = 2𝑥 𝑔 𝑥 = −1 d𝒚 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑁 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 − 1 𝜕𝑁 𝜕𝑥 𝑥2 − 1 = 2𝑥 𝑔 𝑥 = −𝑦 + 𝑐 𝑓 𝑥, 𝑦 = (2𝑥𝑦 + 𝟑)𝑑𝑥 + g(y) f 𝑥, 𝑦 = 𝑐 = 𝑥2 𝑦 + 3𝑥 + 𝑔(𝑦) 𝑥2 𝑦 + 3𝑥 − 𝑦 + 𝑐 = 𝑐 𝜕𝑓 𝜕𝑦 = 𝑥2 + 𝑔′ (𝑦) 𝑥2 𝑦 − 𝑦 = −3𝑥 + 𝑐 𝑔′ 𝑦 = 𝜕𝑓 𝜕𝑦 − 𝑥2 y(𝑥2 − 1) = 𝑐 − 3𝑥 𝑔′ 𝑦 = 𝑥2 − 𝟏 − 𝑥2 𝑔′ 𝑦 = −𝟏 𝒚 = 𝒄 − 𝟑𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟏
  • 11. Variacion de una constantes el coefiiente de los coeficientes variables consiste en suponer que la sol. Particular que estamos buscando de la forma 𝑦𝑝 𝑥 = 𝑐1 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝑐2 𝑥 𝑦2 𝑥 , donde 𝑐1(𝑥) y 𝑐2(𝑥) son funciones a determinar Ejm. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 5 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 2𝑦 = 0 ec.(1) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑥. 𝑒2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = c′ x. . 𝑒2𝑥 +2𝑒2𝑥 . 𝑐𝑥 1 𝑦 𝒅𝒚 = 2 𝑑𝑥 remplazo en la Ec. 1y 2 ln 𝑦 = 2𝑥 + 𝑐 c′x. . 𝑒2𝑥 +2𝑒2𝑥. 𝑐𝑥 − 2𝑒2𝑥. 𝑐𝑥 = 5 𝑒ln(y) = 𝑒2𝑥+𝑐 c′x. . 𝑒2𝑥 = 5 𝑦 = 𝑐𝑒2𝑥 sol. Homogenea c′ x = 5𝑒−2𝑥 𝑐 = 𝑐(𝑥) 𝑐(x) = 𝟓 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥 y= 𝑐(𝑥)𝑒2𝑥 ec. (2) 𝑐 𝑥 = − 5 2 𝑒−2𝑥 + 𝑐 𝑓 𝑥, 𝑦 = (2𝑥𝑦 + 𝟑)𝑑𝑥 + g(y) 𝑟𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 en y 𝑦 = − 5 2 𝑒−2𝑥 + 𝑐 𝑒2𝑥 sol. general𝑦 = − 5 2 + 𝑐𝑒2𝑥
  • 12. Aplicaciones. Modelado con ecuaciones diferenciales de 1º orden(crecimiento y decrecimiento) Las ecuaciones diferenciales que se plantean para resolver problemas de la vida real, no necesariamente son resolubles directamente, es decir, sus soluciones no tienen una expresión en forma cerrada. Cuando sucede esto, las soluciones se pueden aproximar usando métodos numéricos Ejm. Desintegración radiactiva Suponer que 10 g del isotopo 239Pu se liberaron en el accidente nuclear de Chernobyl ¿Cuánto tiempo tomara a los10 g disminuir a 1 gramo? Solución .t=años t0=0 (años) 10 = C𝑒 𝑘𝑡 para encontrar el tiempo en que 10 = C𝑒 𝑘(0) 10g decrece se puede despejar t. y= masa en (gramos) 10 = C 1= 10𝑒−2,876.10 −5 𝑡 y1=10g y2=1g y = 10 2 = 5 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡 = 24100 1 10 = 𝑒−2,876.10 −5 𝑡 La razón de cambio será 𝑑𝑦 𝑑𝑡 será proporcional a (y) 5 = 10𝑒 𝑘(24100) ln 1 10 = 𝑒 𝑙𝑛−2,876.10 −5 𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 𝑘. 𝑦 1 2 = 𝑒24100𝑘 ln 1 10 = −2,876. 10 −5 . 𝑡 Aplicamos el método de separación de variables ln 1 2 = 𝑒 𝑙𝑛24100𝑘 𝑡 = 1 −2,876.10 −5 . ln 1 10 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑘. 𝑑𝑡 ln 1 2 = 24100𝑘 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑘. 𝑑𝑡 k = 1 24100 . ln 1 2 ln 𝑦 = 𝑘. 𝑡 +C 𝑒ln(𝑦) = 𝑒 𝑘𝑡+𝐶 k = −2,876. 10−5 𝑦 = C𝑒 𝑘𝑡 𝑦 = C𝑒 𝑘𝑡 𝑦 = C𝑒−2,876.10−5 𝒕 = 𝟖𝟎𝟎𝟓𝟗𝐚ñ𝐨𝐬
  • 13. Sustituciones y transformaciones • Ecuaciones homogéneas Ecuaciones diferenciales homogéneas involucrar sólo los derivados de (y) y las condiciones que implica (y), y están ajustados a 0 Ejm. 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + x𝑑𝑦=0 1 𝑢 . 𝑑𝑢 2 = − ln 𝑥 + ln 𝑐 𝑥𝑑𝑦 = − 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 1 2 ln 𝑢 = − ln 𝑥 + ln 𝑐 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑥+𝑦 𝑥 ln 2𝑧 + 1 = −2 ln 𝑥 + ln 𝑐 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 1 + 𝑦 𝑥 ln 2𝑧 + 1 = − ln 𝑥2 + ln 𝑐 𝑧 = 𝑦 𝑥 ; 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = x 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 2𝑧 + 1 = 𝑐 𝑥2 x 𝑑𝑧 𝑑𝑥 + 𝑧 = − 1 + 𝑧 2𝑧 = 𝑐 𝑥2 − 1 x 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = −(2𝑧 + 1) 𝑦 𝑥 = 1 2 𝑐 𝑥2 − 1 1 2𝑧+1 𝑑𝑧 = − 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑎 𝑢 = 2𝑧 + 1 y = 1 2 𝑐 𝑥2 − 1 𝑥 1 𝑢 𝑑𝑧 = − ln 𝑥 + ln 𝑐 d𝑢 = 2𝑑𝑧 ; 𝑑𝑧 = 𝑑𝑢 2 𝐲 = 𝟏 𝟐 𝒄𝒙−𝟏 − 𝒙
  • 14. Ecuaciones de la forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐆(𝐚𝐱 + 𝐛𝐲) Consideramos la ED de la forma Ecuaciones de la forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝐆(𝐚𝐱 + 𝐛𝐲). no tiene una clasificación especifica, porque solo depende de la función f(x) que se compone. Ejm. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑦 − 1 𝑒ln(𝑧) = 𝑒0+𝑐 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ; y = 𝑧 − 𝑥 𝑧 = 𝑐 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑦 =1 𝑥 + 𝑦 = 𝑐 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 1=0 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 1 𝑑𝑧 𝑑𝑥 − 1 = 𝑧 − 1 ; 𝑑𝑧 𝑑𝑥 = 𝑧 𝑑𝑧 𝑧 = 𝑑𝑥 1 𝑧 𝑑𝑧 = 𝑑𝑥 ln(𝑧) = 𝑜 + 𝑐 𝒚 = 𝒄 − 𝒙
  • 15. Ecuaciones de Bernoulli Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + P 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 . 𝑦 𝑛 donde P(x) y Q(x) son funciones reales y continuas en un intervalo (a,b) y n es una constante real diferente de 0 y 1 se conoce como ecuación de Bernoulli Ejm. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 7𝑦 = 2𝑦2 v = − 2𝑒−7𝑥 7𝑒−7𝑥 + c𝑒7𝑥 ; v = − 2 7 + c𝑒7𝑥 𝑛 = 2 ; u = 𝑦1−2 ; 𝑢 = 𝑦−1 remplazo v = 𝑦−1 𝑣 = 𝑦1−2 ; v = 𝑦−1 𝑦−1 = − 2 7 + c𝑒7𝑥 𝑣′ = −𝑦−2 . 𝑦′ ; −𝑣′ = 𝑦−2 . 𝑦′ 𝑦 = ( −2+7c𝑒7𝑥 7 )−1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 7𝑦 = 2𝑦2 𝑦−2 𝑦−2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 − 7𝑦−1 = 2 𝑣′ − 7𝑣 = 2 ; 𝑃 𝑥 = −7 ; 𝑓 𝑥 = 2 u = 𝑒 −7𝑑𝑥 ; 𝑢 = 𝑒−7𝑥 𝑒−7𝑥 . v = 𝑒−7𝑥 . 2 𝑑𝑥 𝑒−7𝑥 . v = − 2 7 𝑒−7𝑥 + c ; 𝒚 = − 𝟕 𝟐 + 𝟕𝐜𝒆 𝟕𝒙
  • 16. Ecuaciones de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden y no caen bajo categoría de cualesquiera de las ecuaciones clásicas. Para solucionar una ecuación de Riccati, una necesitaría una solución particular. Sin saber por lo menos una solución, no hay absolutamente ocasión de encontrar ningunas soluciones a tal ecuación. De hecho, deje y 1 ser una solución particular de: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = P 𝑥 𝑄 𝑥 𝑦𝑅 𝑥 . 𝑦2 Ejm. 𝑦′ + 2𝑥𝑦 = 1 + 𝑥2 + 𝑦2 ; 𝑦′ = 1 + 𝑥2 + 𝑦2 − 2𝑥𝑦 ; y1=x 𝑦 = 𝑥 + 𝑢 ; u = 𝑦 − 𝑥 aplicamos la ec. De variables separables 𝑦′ = 1 + 𝑢′ 𝑑𝑣 𝜕𝑥 = −1 1 + 𝑢′ = 1 + 𝑥2 + (𝑥 + 𝑢)2 − 2𝑥 𝑥 + 𝑢 𝑑𝑣 = −𝑑𝑥 1 + 𝑢′ = 1 + 𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥𝑢 + 𝑢2 − 2𝑥2 − 2𝑥𝑢 𝑑𝑣 = − 𝑑𝑥 𝑢′ = 1 + 𝑥2 + 𝑥2 + 2𝑥𝑢 + 𝑢2 − 2𝑥2 − 2𝑥𝑢-1 𝑣 = −𝑥 + 𝑐 𝑢′ = 𝑢2 Ec. Bernoulli como 𝑣 = 𝑢−1 remplazo 𝑣 = 𝑢1−2 ; 𝑣 = 𝑢−1 𝑢−1 = −𝑥 + 𝑐 𝑣′ = −𝑢−2. 𝑢′ ; −𝑣′ = 𝑢−2. 𝑢′ 𝑢 = (−𝑥 + 𝑐)−1 Remplazo en la ec, de B. 𝑢 = 1 −𝑥+𝑐 (𝑢′ = 𝑢2 )𝑢−2 como u = 𝑦 − 𝑥 remplazo 𝑢−2 . 𝑢′=1 𝑦 − 𝑥 = 1 −𝑥+𝑐 −𝑣′ = 1 ; 𝑣′ = −1 𝒚 = 𝟏 −𝒙 + 𝒄 + 𝒙
  • 17. UNIDAD 3 : ECUACIONES DIFERENCIALES DE 2DO ORDEN Problemas con valores iniciales Resolver:𝑎 𝑛 𝑥 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 𝑎 𝑛−1 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑥 𝑛−1 +. . +𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) ; Sujeto a: 𝑦(𝑥0) = 𝑦0, 𝑦′(𝑥0) = 𝑦′0 … 𝑦 𝑛−1 (𝑥0) = 𝑦0 (𝑛−1) : condiciones iniciales donde 𝑦0, 𝑦′0, . . 𝑦′′0 (𝑛−1) 0 son valores arbitraria, y deben cumplirse para un valor particular 𝑥0 en un intervalo I, donde 𝑥0 ∈ 𝐼 Ejm. y = 𝑐1 𝑒4𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥; −∞, ∞ ; 𝑦′′ − 3𝑦′ − 4𝑦 = 0 𝑦 0 = 1; 𝑦′ 0 = 2 𝑦′ = 4𝑐1 𝑒4𝑥 − 𝑒−𝑥 𝑦 0 = 1 1 = 𝑐1 𝑒(4)0 + 𝑐2 𝑒−0 1 = 𝑐1 + 𝑐2 𝑦′ 0 =2 2 = 4𝑐1 𝑒 4 0 − 𝑐2 𝑒−0 2 = 4𝑐1 − 𝑐2 1 = 𝑐1 + 𝑐2 1 − 𝑐1 = 𝑐2 2 = 4𝑐1 − 𝑐2 1 − 3 5 = 𝑐2 3 = 5𝑐1 3 5 = 𝑐1 2 5 = 𝑐2 UNIDAD 4: ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 𝒚 = 𝟑 𝟓 𝒆 𝟒𝒙 + 𝟐 𝟓 𝒆−𝒙
  • 18. Problemas con valores en la frontera un problema de valores en la frontera para una ED lineal de orden dos se enuncia como: Resolver: 𝑎2 𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 +𝑎1 (𝑥) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 +. . +𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) Sujeto a: 𝑦 𝑎 = 𝑦1, 𝑦 𝑏 = 𝑦2 ó: 𝑦´ 𝑎 = 𝑦′1, 𝑦 𝑏 = 𝑦2 condiciones en la frontera ó: 𝑦 𝑎 = 𝑦1, 𝑦′ 𝑏 = 𝑦′2 ó: 𝑦′ 𝑎 = 𝑦′ 1 , 𝑦′ 𝑏 = 𝑦′2 El teorema de existencia y unicidad dado para un problema de condiciones iniciales no es valido para un problema con valores en la frontera, es decir aunque se cumpla las hipótesis de dicho teorema con valores en la frontera, es decir, aunque se cumpla la hipótesis de dicho teorema en un problema con valores en la frontera puede ocurrir una de las tres situaciones siguientes: i. Que no exista solución ii. que exista una solución única iii. que exista un numero infinito de soluciones. Ejm. y = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥; −∞, ∞ ; 𝑦′′ − 𝑦 = 0 𝑦 0 = 0; 𝑦 1 = 1 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒−𝑥 𝑦 0 = 0 𝑦 1 = 1 igualamos para obtener −𝑐1= 𝑐2 0 = 𝑐1 𝑒0 + 𝑐2 𝑒−0 1 = 𝑐1 𝑒1 − 𝑐2 𝑒−1 𝑐1 𝑒2 − 𝑐1 = 𝑒 − 𝑒 𝑒2−1 = 𝑐2 −𝑐1= 𝑐2 𝑐2 = 𝑐1 𝑒2 − 𝑒 𝑐1 = 𝑒 𝑒2−1 𝒚 = 𝒆 𝒆 𝟐 − 𝟏 𝒆 𝒙 − 𝒆 𝒆 𝟐 − 𝟏 𝒆−𝒙
  • 19. Ecuaciones diferenciales homogéneas Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes. 𝑎 𝑛 𝑥 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 𝑎 𝑛−1 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑥 𝑛−1 +. . +𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0 si 𝑔 𝑥 ≠ 0 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑛𝑜 ℎomogenea Ejm. 𝑦′′ − 5𝑦′ + 6𝑦 = 0 dada la solución . 𝑦 = 𝒆 𝟐𝒙 𝑦′ = 2𝑒2𝑥 ; 𝑦′′ = 4𝑒2𝑥 4𝑒2𝑥 − 5 2𝑒2𝑥 + 6 𝑒2𝑥 = 0 4𝑒2𝑥 − 10𝑒2𝑥 + 6𝑒2𝑥 = 0 𝟎 = 𝟎
  • 20. Funciones Linealmente independientes y dependientes. El Wronskiano Sea: 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … , 𝑓 𝑥 , 𝑠𝑖 ; 𝑐1 𝑓1 𝑥 + 𝑐2 𝑓2 𝑥 +, , 𝑐 𝑛 𝑓𝑛 𝑥 = 0 Si a excepción de 𝑐𝑖 = 0 i = 1,2, , , n𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖 para los cuales (1) es cero entonces 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … 𝑓𝑛 𝑥 son funciones linealmente independiente. Caso contrario 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , … 𝑓𝑛 𝑥 son linealmente dependientes. Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente. El Wronskiano es una función, especialmente importante en el estudio de las EDO. Dado un conjunto de n funciones, f1, ..., fn, el Wronskiano W(f1, ..., fn) está dado por: Ejm. 𝑓1 𝑥 = 𝑥 + 3; 𝑓2 𝑥 = 𝑥 + 3x; 𝑓3 𝑥 = 𝑥 − 1; 𝑓4 𝑥 = x2 𝑓1 𝑥 − 𝑓2 𝑥 + 3 𝑓3 𝑥 + 0 𝑓4 𝑥 = 0 Wronskiano 𝑥 + 3 − 𝑥 + 3x + 3 𝑥 − 1 + 0x2 = 0 Ejm. Demuestre que 𝑦1 = 𝑒2𝑥; 𝑦2 = 𝑒4𝑥; 𝑦3 = 𝑒6𝑥 𝑒2𝑥 𝑒4𝑥 𝑒6𝑥 𝑤 𝑦1, 𝑦2 , 𝑦3 = 2𝑒2𝑥 4𝑒4𝑥 6𝑒6𝑥 𝑓1 𝑥 , 𝑓2 𝑥 , 𝑓3 𝑥 , 𝑓𝑛 𝑥 = 0 4𝑒2𝑥 16𝑒4𝑥 36𝑒6𝑥 son linealmente dependientes 𝑒2𝑥 𝑒4𝑥 𝑒6𝑥 2𝑒2𝑥 4𝑒4𝑥 6𝑒6𝑥 = 144𝑒12𝑥 + 32𝑒12𝑥 + 24𝑒12𝑥 − (16𝑒12𝑥 + 96𝑒12𝑥 + 72𝑒12𝑥 ) 16𝑒12𝑥 ≠ 0 sol. General 𝟎 = 𝟎 𝒚 = 𝒄 𝟏 𝒆 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟐 𝒆 𝟒𝒙 + 𝒄 𝟑 𝒆 𝟔𝒙
  • 21. Ecuaciones diferenciales no homogéneas Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma:𝑎 𝑛 𝑥 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 𝑎 𝑛−1 𝑑 𝑛−1 𝑦 𝑑𝑥 𝑛−1 +. . +𝑎1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑔(𝑥) si 𝑔 𝑥 ≠ 0 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑛𝑜 ℎomogenea Ejm. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 donde. 𝑦 = 𝑥2 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙 + 𝑐2 𝒆 𝒙 Dividir para 𝑦 = 𝑥2 𝑦𝑝 = 1 2 𝑥2 − 3 2 𝑥2 + 7 4 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝑦 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙 + 𝑐2 𝒆 𝒙 + 1 2 𝑥2 − 3 2 𝑥2 + 7 4
  • 22. Ecuaciones homogéneas coeficientes constantes Una ecuación diferencial homogénea de orden superior tiene la forma:𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑦′′ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 0 y tiene como solución general la función 𝑦 = 𝑒 𝑚𝑥 , por lo tanto su ecuación auxiliar viene dada por: 𝑎 𝑛 𝑚 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑚 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2 𝑚2 + 𝑎1 𝑚 + 𝑎0 = 0 , estas ecuaciones pueden generar muchas combinaciones, sin embargo se presentan tres casos para la resolución de la misma.(raíces reales diferentes, raíces reales iguales, rices complejas conjugadas.) Caso 1 caso 3 Ejm. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 donde. 𝑦 = 𝑥2 2𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝟎 𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0 2𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0 𝑚 − 2 𝑚 − 1 = 0 𝑚 = 3± −𝟑 𝟐−𝟒(𝟐)(𝟐) 2(2) 𝑚 = 2; 𝑚 = 1 𝑚 = 3± (−𝟕) 4 𝑚 = 3± 𝟕𝒊 4 𝑚 = 3 4 ± 𝟕 𝒊 4 𝛼 = 3 4 ; 𝛽= 𝟕 𝒊 4 Caso 2 𝑦′′ − 2𝑦′ + 4𝑦 = 𝟎 𝑚2 − 2𝑚 + 4 = 0 (𝑚 − 2) 𝟐 = 𝟎 𝑚 = 2 ; 𝑚 = 2 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙 + 𝑐2 𝒆 𝒙 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙 + 𝑐2 𝑥𝒆 𝟐𝒙 𝑦𝑐 = 𝒆 3 4 𝒙 (𝑐1 𝒄𝒐𝒔 𝟕 𝒊 4 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 𝟕 𝒊 4 𝑥
  • 23. Ecuaciones no homogéneas con coeficientes constantes Una ecuación diferencial de orden superior que tiene la forma: 𝑎 𝑛(𝑥)𝑦 𝑛+𝑎 𝑛−1(𝑥)𝑦 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎2(𝑥)𝑦′′ + 𝑎1(𝑥)𝑦′ + 𝑎0(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) en donde si f 𝑥 ≠ 0 𝑙𝑎 𝐸𝐷 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑛𝑜 ℎomogenea. La solución general es la combinación lineal de dos tipos: sol. Complementaria 𝑌𝐶 y sol. Particular 𝑌𝑃. (𝑌𝐺 = 𝑌𝐶 + 𝑌𝑃) Coeficientes indeterminados –método de superposición 𝑎 𝑛 𝑦 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑦′ + 𝑎0 𝑦 = 𝑔(𝑥) Ejm. 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 𝑥2 + 𝑥 2𝐴 − 3 2𝐴𝒙 + 𝐵 + 2 𝐴𝒙 𝟐 + 𝐵𝑥 + 𝐶 = 𝑥2 + 𝑥 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 2𝐴 − 6𝐴𝒙 − 3𝐵 + 2𝐴𝒙 𝟐 + 2𝐵𝑥 + 2𝐶 = 𝑥2 + 𝑥 𝑚2 − 3𝑚 + 2 = 0 2𝐴𝒙 𝟐 + −6𝐴 + 2𝐵 𝑥 + 2𝐴 + 2𝐶 = 𝑥2 + 𝑥 𝑚 − 2 𝑚 − 1 = 0 2𝐴 = 1 ; 𝐀 = 𝟏 𝟐 𝑚 = 2; 𝑚 = 1 2𝐵 = 1 + 6 1 2 =4; B=2 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙 + 𝑐2 𝑥𝒆 𝒙 2A + 2𝐶 = 0 2𝐶 = −2𝐴 𝑦𝑝 = 𝐴𝒙 𝟐 + 𝐵𝑥 + 𝐶 2𝐶 = −2 𝟏 𝟐 =-1 𝑦′ 𝑝 = 2𝐴𝒙 + 𝐵 𝑪 = − 𝟏 𝟐 𝑦′′ 𝑝 = 2𝐴 𝑦 𝐺 = 𝑐1 𝒆 𝟐𝒙 + 𝑐2 𝑥𝒆 𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒙 𝟐 + 2x − 𝟏 𝟐
  • 24. coeficientes indeterminados- Método del anulador 𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝐷2 𝑦 + 𝑃 𝑥 𝐷𝑦 + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) (𝐷2 +𝑃 𝑥 𝐷 + 𝑄(𝑥))𝑦 = 𝑔(𝑥) Anulador 𝑔 𝑥 𝐿 𝑔 𝑥 = 0; 𝑳 = 𝒂𝒏𝒖𝒍𝒂𝒅𝒐𝒓 Ejm. 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑒 𝑥 operador D + 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑥 𝐷𝑒 𝑎𝑥; 𝑚 = 𝒎 𝟐 − 1; 𝑚1 = 𝟏; 𝑚2 = −1 ; 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝒆 𝒙 + 𝑐2 𝒆−𝒙 (𝐷2 −1) (𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 (y) = x𝑒 2𝑥 sea u:x ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆 𝟐𝒙 ; 𝒗 = 𝟏 𝟐 𝒆 𝟐 𝒙 (𝐷 − 1)(𝐷 + 1)(𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 (y) = 1 2 𝑒 𝑥 x − 1 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑢 = 1 2 𝑒2𝑥 𝑥 − 1 𝟒 𝑒2𝑥 (𝑒 𝑥 𝐷𝑒 −𝑥 𝑒 −𝑥 𝐷𝑒 𝑥 𝑦 = 𝑒 𝑥 y = 1 2 𝑒 𝑥x− 1 2 𝑒 2𝑥 𝑑𝑢= 1 2 𝑒2𝑥 𝑥− 1 𝟒 𝑒2𝑥 𝑒 𝑥 𝐷𝑒 −2𝑥 𝐷𝑒 𝑥 (𝑦) = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦𝑝 = 1 2 𝒙𝑒 𝑥 − 1 𝟒 𝑒 𝑥 𝐷𝑒 −2𝑥 𝐷𝑒 𝑥 (𝑦) = 1 𝑒 −2𝑥 𝐷𝑒 𝑥 (y) = 1𝑑𝑥 𝑒 −2𝑥 𝐷𝑒 𝑥 (y) = 𝑥 𝐷𝑒 𝑥(y) = 𝑥 𝑒 −2𝑥 𝐷𝑒 𝑥 (y) = x𝑒 2𝑥 𝑦 𝐺 = 𝑐1 𝒆 𝒙 + 𝑐2 𝒆−𝒙 + 𝟏 𝟐 𝒙𝒆 𝒙 − 𝟏 𝟒 𝒆 𝒙
  • 25. Variacion de parámetros Es un método general para determinar una solución particular de una ED diferencial lineal. Sin perdida de generalidad, consideremos la ecuación lineal de segundo orden 𝑦′′ + 𝑃 𝑥 𝑦′ + 𝑄(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 𝑐1 𝑦𝑐2 𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛 𝑎 𝑠𝑒𝑟 𝒖 𝟐 𝒚 𝒖 𝟐 ; 𝑤 𝑦1, 𝑦2 = 𝑦′1 𝑦′2 𝑤(𝑦2 , 𝑦2) ≠ 0 ; 𝒖′ 𝟏 = −𝒚 𝟐 𝒇(𝒙) 𝒘 𝒚 𝒖′ 𝟐 = 𝒚 𝟏 𝒇(𝒙) 𝒘 Ejm. 𝑦′′ − 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝒖′ 𝟏 = − 𝒄𝒐𝒔𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙 −𝟏 𝒅𝒙 𝒖′ 𝟐 = 𝒔𝒆𝒏𝒙𝒕𝒂𝒏𝒙 −𝟏 𝒅𝒙 𝑦′′ + 𝑦 = 0 𝒖 𝟏 = 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝒖 𝟐 = − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑑𝑥 𝑚 2 + 1 = 0 𝒖 𝟏 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑑𝑥 𝒖 𝟐 = − 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑑𝑥 𝑚 2 = −1 𝒖 𝟏 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝒖 𝟐 = − 1−𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑑𝑥 𝑚 = ±𝑖 ; ∞ = 0; 𝛽 = 1 𝒖 𝟏 = −cosx 𝒖 𝟐 = − 1 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑑𝑥 𝑦𝑐 = 𝒆 𝟎 (𝑐1 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐2 cos 𝑥) 𝒖 𝟐 = − 𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑑𝑥 𝑦𝑐 = (𝑐1 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐2 cos 𝑥) 𝒖 𝟐 = − 𝒔𝒆𝒄𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 𝑑𝑥 𝑦1 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝒖 𝟐 = −𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦2 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑝 = (−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + −𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑦𝑝 = (−𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + −cosx𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑤 𝑦1, 𝑦2 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑦𝑝 = −cosx𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 𝑤 = −(𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥) 𝑤 = −1 ; ; 𝑦𝑝 = (𝑢1 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑢2 cos 𝑥) 𝒚 𝑮 = 𝒄 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝒙 + 𝒄 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬𝐱𝒍𝒏 𝒔𝒆𝒄𝒙 + 𝒕𝒂𝒏𝒙