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TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS
Rentas Variables en Progresión
Geométrica (teoría)
www.clasesuniversitarias.com
Departamento Métodos Cuantitativos
Universidad Pablo de Olavide
Profesor: Juan Antonio González Díaz
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “q” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
a1 a2 a3 …... an-1 an
0 1 2 3 n-1 n
Siendo,
n
n
n
n iaiaiaiaiaA −−−
−
−−−
+⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1( )1(
1
3
3
2
2
1
1 K
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iqaiqaiqaiqaiaA −−−−−−−−
+⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅++⋅= )1()1()1()1()1( 1)1(23221
K
aa =1
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2
3 qaa ⋅=
1−
⋅= k
k qaa
1−
⋅= n
n qaa
nnnn
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K
Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v
1
)1( −
+i 1
)1( −
+= iv
www.clasesuniversitarias.com
Sacando factor común…
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
( )112222
1 −−−−
⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅= nnnn
vqvqvqvqvaA K
Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores:
Primer Término (PT)
Último Término (UT)
Razón (R)
Ya que la suma de la progresión geométrica es:
∑ −
−×
=
1R
PTRUT
PG
1=PT
11 −−
⋅= nn
vqUT
vqR ⋅=
=
−⋅
−⋅⋅⋅
=∑
−−
1
111
vq
vqvq
PG
nn
∑ −⋅
−⋅
=
1
1
vq
vq
PG
nn
www.clasesuniversitarias.com
Por lo tanto,
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
−⋅
−⋅
⋅⋅=
vq
vq
vaA
nn
Siempre que 1≠⋅vq
)1(1
)1(
1)1(1 1
iq
i
q
iqvq +≠⇔≠
+
⇔≠+⋅⇔≠⋅ −
)1( iq +≠
Si ocurre lo contrario, es decir, si volvemos a la fórmula anterior:1=⋅vq
( )112222
1 −−−−
⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅= nnnn
vqvqvqvqvaA K
( ) nvavaA nn
⋅⋅=+++++⋅⋅= −− 122
11111 K
www.clasesuniversitarias.com
Tenemos, por tanto, dos fórmulas distintas para el valor actual de una renta variable en progresión
geométrica
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
1
1
−⋅
−⋅
⋅⋅
vq
vq
va
nn
Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
nva ⋅⋅ Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
=A
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión geométrica de razón q a un período antes de
efectuar el primer pago, en este caso, el año 0
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables
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Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual
hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta.
Por tanto…
1
)1(
)1(
1
1
)1(
−⋅
+−
⋅⋅=+⋅
−⋅
−⋅
⋅⋅=+⋅=
vq
iq
vai
vq
vq
vaiAS
nn
n
nn
n
Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que
vence el último término, en este caso, al momento n
Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y
a las diferidas postpagables y prepagables
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
Siempre que )1( iq +≠
nn
invaiAS )1()1( +⋅⋅⋅=+⋅= Siempre que )1( iq +≠
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL
d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1
........
RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA
2−n
aq 1−n
aqaqa
d
nn
i
vq
vq
va −
+⋅
−⋅
−⋅
⋅⋅ )1(
1
1 Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
d
inva −
+⋅⋅⋅ )1(
Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
=A
n
iAS )1( +⋅=
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL
.......
0 1 2 nn-1
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2−n
aq 1−n
aqaqa
)1(
1
1
i
vq
vq
va
nn
+⋅
−⋅
−⋅
⋅⋅ Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
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Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
=A
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iAS )1( +⋅=
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aq 1−n
aqaqa
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−⋅
−⋅
⋅⋅ d
nn
i
vq
vq
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)1(
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inva
Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
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iAS )1( +⋅=
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VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y
PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA
0 1 2 3
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aqa 2
aq
1
1
−⋅
−⋅
⋅⋅∞→
vq
vq
vaLim
nn
n
Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠
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Siempre que 1=⋅vq )1( iq +=
ALimA n ∞→∞ =
∞=⋅⋅∞→ nvaLimn
1
1
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1
1
1
1
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−
+
⋅⋅=
−⋅
−⋅
⋅⋅=
−⋅
−⋅
⋅⋅
∞→
∞→
∞→
vq
i
q
Lim
va
vq
vqLim
va
vq
vq
vaLim
n
n
nnn
n
nn
n
=
+
∞→ n
n
n
i
q
Lim
)1(
Si ∞=
+
→+ ∞→ n
n
n
i
q
Limiq
)1(
)1(f
Si 0
)1(
)1( =
+
→+ ∞→ n
n
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q
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∞= Siempre que )1( iq +f
∞=
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ALimA n ∞→∞ =
Por tanto,
qi
a
iq
a
i
iq
i
a
i
q
i
a
vq
av
vq
va
vq
i
q
Lim
vaLim
n
n
n
n
−+
=
+−
−
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+
+−
+
−
=
−
+
+
−
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−⋅
−
=
−⋅
−
⋅⋅=
−⋅
−
+
⋅⋅=
∞→
∞→
1)1(
)1(
)1(
)1(
1
)1(
)1(
11
10
1
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)1(
qi
a
−+
=
1
Siempre que )1( iq +p
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Si la renta perpetua es además prepagable…..
Por tanto…
)1(
1
i
qi
a
A +⋅
−+
=∞
Si la renta perpetua es además diferida…..
d
i
qi
a
A −
∞ +⋅
−+
= )1(
1
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qi
a
A
−+
=∞
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Si )1( iq +p
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Matematicas Financieras. Teoria de rentas anuales variables en progresion geometrica

  • 1. TEORÍA DE RENTAS DISCRETAS Rentas Variables en Progresión Geométrica (teoría) www.clasesuniversitarias.com Departamento Métodos Cuantitativos Universidad Pablo de Olavide Profesor: Juan Antonio González Díaz
  • 2. RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “q” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL a1 a2 a3 …... an-1 an 0 1 2 3 n-1 n Siendo, n n n n iaiaiaiaiaA −−− − −−− +⋅++⋅+++⋅++⋅++⋅= )1()1()1()1()1( )1( 1 3 3 2 2 1 1 K nnnn iqaiqaiqaiqaiaA −−−−−−−− +⋅⋅++⋅⋅+++⋅⋅++⋅⋅++⋅= )1()1()1()1()1( 1)1(23221 K aa =1 qaa ⋅=2 2 3 qaa ⋅= 1− ⋅= k k qaa 1− ⋅= n n qaa nnnn vqavqavqavqavaA ⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+⋅= −−− 112322 K Por simplificar, sustituyo (muy importante) por v 1 )1( − +i 1 )1( − += iv www.clasesuniversitarias.com
  • 3. Sacando factor común… RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL ( )112222 1 −−−− ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅= nnnn vqvqvqvqvaA K Se trata de una progresión geométrica, para cuya suma necesitamos conocer los siguientes valores: Primer Término (PT) Último Término (UT) Razón (R) Ya que la suma de la progresión geométrica es: ∑ − −× = 1R PTRUT PG 1=PT 11 −− ⋅= nn vqUT vqR ⋅= = −⋅ −⋅⋅⋅ =∑ −− 1 111 vq vqvq PG nn ∑ −⋅ −⋅ = 1 1 vq vq PG nn www.clasesuniversitarias.com
  • 4. Por lo tanto, RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL 1 1 −⋅ −⋅ ⋅⋅= vq vq vaA nn Siempre que 1≠⋅vq )1(1 )1( 1)1(1 1 iq i q iqvq +≠⇔≠ + ⇔≠+⋅⇔≠⋅ − )1( iq +≠ Si ocurre lo contrario, es decir, si volvemos a la fórmula anterior:1=⋅vq ( )112222 1 −−−− ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅= nnnn vqvqvqvqvaA K ( ) nvavaA nn ⋅⋅=+++++⋅⋅= −− 122 11111 K www.clasesuniversitarias.com
  • 5. Tenemos, por tanto, dos fórmulas distintas para el valor actual de una renta variable en progresión geométrica RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL 1 1 −⋅ −⋅ ⋅⋅ vq vq va nn Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠ nva ⋅⋅ Siempre que 1=⋅vq )1( iq += =A Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión geométrica de razón q a un período antes de efectuar el primer pago, en este caso, el año 0 Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y a las diferidas postpagables y prepagables www.clasesuniversitarias.com
  • 6. Respecto al valor final, no vamos a estudiar una segunda fórmula, sino que capitalizaremos el valor actual hasta el momento n para calcular el valor final de esta renta. Por tanto… 1 )1( )1( 1 1 )1( −⋅ +− ⋅⋅=+⋅ −⋅ −⋅ ⋅⋅=+⋅= vq iq vai vq vq vaiAS nn n nn n Esta fórmula traslada el valor de n términos anuales variables en progresión aritmética de razón p al momento en el que vence el último término, en este caso, al momento n Teniendo en cuenta esta interpretación, podemos aplicar esta fórmula a las rentas inmediatas prepagables y a las diferidas postpagables y prepagables RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL Siempre que )1( iq +≠ nn invaiAS )1()1( +⋅⋅⋅=+⋅= Siempre que )1( iq +≠ www.clasesuniversitarias.com
  • 7. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, POSTPAGABLE Y TEMPORAL d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1 ........ RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA 2−n aq 1−n aqaqa d nn i vq vq va − +⋅ −⋅ −⋅ ⋅⋅ )1( 1 1 Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠ d inva − +⋅⋅⋅ )1( Siempre que 1=⋅vq )1( iq += =A n iAS )1( +⋅= www.clasesuniversitarias.com
  • 8. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, PREPAGABLE Y TEMPORAL ....... 0 1 2 nn-1 RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA 2−n aq 1−n aqaqa )1( 1 1 i vq vq va nn +⋅ −⋅ −⋅ ⋅⋅ Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠ )1( inva +⋅⋅⋅ Siempre que 1=⋅vq )1( iq += =A n iAS )1( +⋅= www.clasesuniversitarias.com
  • 9. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, DIFERIDA, PREPAGABLEY TEMPORAL d d+1 d+2 ......... d+n-1 d+n0 d-1 ........ RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA 2−n aq 1−n aqaqa )1( )1( 1 1 −− +⋅ −⋅ −⋅ ⋅⋅ d nn i vq vq va Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠ )1( )1( −− +⋅⋅⋅ d inva Siempre que 1=⋅vq )1( iq += =A n iAS )1( +⋅= www.clasesuniversitarias.com
  • 10. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA 0 1 2 3 RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA aqa 2 aq 1 1 −⋅ −⋅ ⋅⋅∞→ vq vq vaLim nn n Siempre que 1≠⋅vq )1( iq +≠ nvaLimn ⋅⋅∞→ Siempre que 1=⋅vq )1( iq += ALimA n ∞→∞ = ∞=⋅⋅∞→ nvaLimn 1 1 )1( 1 1 1 1 −⋅ − + ⋅⋅= −⋅ −⋅ ⋅⋅= −⋅ −⋅ ⋅⋅ ∞→ ∞→ ∞→ vq i q Lim va vq vqLim va vq vq vaLim n n nnn n nn n = + ∞→ n n n i q Lim )1( Si ∞= + →+ ∞→ n n n i q Limiq )1( )1(f Si 0 )1( )1( = + →+ ∞→ n n n i q Limiq p www.clasesuniversitarias.com
  • 11. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA ∞= Siempre que )1( iq +f ∞= Siempre que )1( iq += ALimA n ∞→∞ = Por tanto, qi a iq a i iq i a i q i a vq av vq va vq i q Lim vaLim n n n n −+ = +− − = + +− + − = − + + − = −⋅ − = −⋅ − ⋅⋅= −⋅ − + ⋅⋅= ∞→ ∞→ 1)1( )1( )1( )1( 1 )1( )1( 11 10 1 1 )1( qi a −+ = 1 Siempre que )1( iq +p www.clasesuniversitarias.com
  • 12. VALORACIÓN DE UNA RENTA VARIABLE EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, DE RAZÓN “P” Y PRIMER TÉRMINO “a”, ANUAL, INMEDIATA, POSTPAGABLE Y PERPETUA Si la renta perpetua es además prepagable….. Por tanto… )1( 1 i qi a A +⋅ −+ =∞ Si la renta perpetua es además diferida….. d i qi a A − ∞ +⋅ −+ = )1( 1 RENTAS VARIABLES EN PROG. GEOMÉTRICA qi a A −+ =∞ 1 Si )1( iq +p www.clasesuniversitarias.com