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Subido porSabina Sosa
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Matemática 2°ciclo-2015

El documento ofrece una propuesta educativa para mejorar la enseñanza de matemáticas en la educación primaria, destacando la importancia de la resolución de problemas y la gestión del aula. Se busca activar el aprendizaje de los alumnos a través de la discusión y el uso de distintos procedimientos, promoviendo la diversidad en los estilos de aprendizaje. Además, presenta secuencias didácticas y conceptos clave que facilitan la reflexión sobre las prácticas docentes y la necesidad de adaptarse a las necesidades individuales de los estudiantes.

Educación◦
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DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN PRIMARIADirección de Educación Primaria
AUTORIDADES PROVINCIALES Gobernador de Mendoza Francisco Pérez Vicegobernador de Mendoza Carlos Ciurca Directora General de Escuelas María Inés Abrile de Vollmer Jefe de Gabinete Andres Cazaban Subsecretaria de Educación Mónica Soto Subsecretaría de Gestión Educativa Walter Berenguel Subsecretario de Planeamiento y Evaluación de la Calidad Educativa Livia Sández Director de Educación Primaria Carlos González Subdirectora de Educación Primaria Alicia Lena Inspectora General María Elena Becerra EQUIPO TÉCNICO DE MATEMÁTICA 2° CICLO Referente Provincial María Fernanda Selva Capacitadoras María Beatriz Calderón Sabina del Carmen Sosa Acompañantes didácticos Darío Hernán Bagorda Gabriela Entz Julieta Infante Marcela Bunster Alberto Fernández Alicia Rapacioli Adriana Andino Mirtha Encinas Tania Cruz Patricia Rodriguez Mónica Romero Patricia Galán
INDICE NUESTRA PROPUESTA: Carta a nuestros colegas 7 PRIMERA PARTE CAPÍTULO 1 9 GESTIÓN DE LA CLASE 11 Enfrentar a los alumnos a la resolución de problemas Habilitar en la clase momentos de discusión Coexistencia de diferentes procedimientos de resolución en el aula, representaciones y significados LOS PROBLEMAS 12 LOS CONTEXTOS 14 LAS REPRESENTACIONES 15 EL DOCENTE COMO MEDIADOR 16 ¿Qué alternativas se pueden pensar para plantear la consigna?
3 ¿Qué alternativas se podrían plantear para la organización del grupo? ¿Cómo seleccionar los materiales para la realización de la propuesta, qué uso darle y cómo repartirla? LA PRODUCCIÓN DE SOLUCIONES LA VALIDACIÓN 19 ¿Qué tipo de intervenciones en la producción de soluciones? EL DEBATE SOBRE LAS PRODUCCIONES Y LAS CONCLUSIONES MATEMÁTICAS 20 ¿Qué preguntas podrán orientar el análisis de producciones? ¿Cuáles serían en general buenas intervenciones de docentes? ¿Qué actitud asumir para organizar el intercambio? ¿Cómo y por qué arribar a conclusiones y a una sistematización de las conclusiones? (Institucionalizaciones) CAPÍTULO 2 23 TRABAJO MATEMÁTICO 23 Dimensiones de Análisis de Secuencia 25 CAPÍTULO 3 LA EVALUACIÓN 28
4 TIPOS DE EVALUACIÓN 30 CRITERIOS DE EVALUACIÓN 32 SEGUNDA PARTE CAPÍTULO 4 DISTRIBUCIÓN ANUAL DE LOS SABERES DE MATEMÁTICA SEGUNDO CICLO 35 4to Grado 1º Trimestre 35 2º Trimestre 36 3º Trimestre 36 5to Grado 1º Trimestre 37 2º Trimestre 38 3º Trimestre 38 6to Grado 1º Trimestre 39 2º Trimestre 39 3º Trimestre 40 CAPÍTULO 5 43 Nociones Didácticas Para avanzar en el conocimiento del Sistema de Numeración 44 Secuencia de 4to Propósitos de las actividades de la secuencia de Números naturales 46 Secuencia de Actividades de 4to 50 Propósitos de las actividades de la 61
5 LOS NÚMEROS NATURALES 5.1 Secuencia de 5to secuencia de Números naturales Secuencia de Actividades de 5to 65 Secuencia de 6to Propósitos de las actividades de la secuencia de Números naturales 75 Secuencia de Actividades de 6to 78 CÁLCULOS MENTALES 5.2 Nociones Didácticas “Cálculo Mental y Cálculo Algorítmico 89 La actividad Matemática en el Aula a propósito del Cálculo Mental 91 La gestión docente en el Cálculo Mental 92 El uso de la calculadora 92 Actividades de cálculo mental para 2 do ciclo 94 Cálculo mental de adición y sustracción 94 Cálculo mental de multiplicación y división 102 Nociones Didácticas Para avanzar en el conocimiento de la Multiplicación 129 Secuencia de multiplicación por dos cifras 4 to grado Propósitos de las actividades de la secuencia de 133
6 MULTIPLICACIÓN 5.3 Multip licación Secuencia de Actividades de 4to 139 Secuencia de multiplicación por dos cifras 5 to grado Propósitos de las actividades de la secuencia de Multiplicación c 150 Secuencia de Actividades de 5to 155 Secuencia de multiplicación por dos cifras 6 to grado Propósitos de las actividades de la secuencia de Multiplicación 164 Secuencia de Actividades de 6to 168 DIVISIÓN 5.4 Nociones Didácticas La Enseñanza de la División en Naturales en la Escuela Primaria 178 Secuencia de división con números naturales Secuencia de actividades de 4º 198 SISTEMA DE REFERENCIA Nociones Didácticas Para avanzar en el conocimiento del Sistema de Referencia 207 Sistema de Referencias de 4to Propósitos de las actividades de la secuencia de Sistema de Referencia 211 Secuencia de Actividades de 6to 215
7 5.4 Sistema de Referencias de 5to Propósitos de las actividades de la secuencia de Sistema de Referencia 225 Secuencia de Actividades de 6to 231 Sistema de Referencias de 6to Propósitos de las actividades de la secuencia de Sistema de Referencia 244 Secuencia de Actividades de 6to 247 PERÍMETRO Y ÁREA DE FIGURAS 5. 5 Nociones Didácticas Para avanzar en el conocimiento de Perímetro y Área de Figuras 264 Qué relación existe entre el perímetro y el área de figuras Propósitos de las actividades de la secuencia de Perímetro y Área para 4to grado 267 Secuencia de 4to 269 Propósitos de las actividades de la secuencia de Perímetro y Área para 5to grado 274 Secuencia de 5to 276 Secuencia de 6to 282 ANEXOS 286
8 NUESTRA PROPUESTA Queridos colegas: Inclusión, heterogeneidad, diversidad son términos que recorren nuestras aulas de manera cotidiana, sin embargo suele verse una uniformidad de los contenidos y procedimientos, y la búsqueda de la homogeneidad de los ritmos de aprendizaje. Si bien se han probado distintas estrategias para atender a todos y cada uno de nuestros niños y niñas, es muy difícil encontrar el modo de dar respuesta a la amplia variedad de capacidades y de estilos de aprendizaje que hallamos en el aula. “Preguntarse qué significa aprender Matemática; qué se entiende por enseñar mediante la resolución de problemas y qué se concibe como problema; analizar cómo influye la gestión de la clase en el tipo de aprendizaje que logren los alumnos; estar actualizado respecto de algunos avances de las investigaciones didácticas; todo ello puede ayudarnos a realizar una relectura de las prácticas habituales, encontrar nuevos sentidos para lo que hacemos y reinventar así nuestras propuestas. (…) En síntesis, “cómo” se hace Matemática en el aula define, al mismo tiempo, “qué” Matemática se hace, y “para qué” y “para quiénes” se la enseña, lo que plantea una disyuntiva central en relación con la construcción de las condiciones que posibilitan el acceso a la Matemática de unos pocos o de todos.” (Cuadernos para el aula, Matemática 4: 2007) El Plan Matemática para Todos se enmarca en la consolidación de políticas de enseñanza llevadas adelante por el Estado Nacional y provincial , teniendo como propósito general promover un mejoramiento de la enseñanza de la matemática en la escuela primaria. De este modo también tender al mejoramiento de los aprendizajes en el área mencionada. Comenzamos nuestro camino en esta apasionante aventura en búsqueda de una matemática desafiante y con sentido. Siendo al principio, algunos aventureros
9 cuyo entusiasmo impulsó a atreverse a recorrerla en forma apasionada y comprometidos con la educación. Hoy llegamos de diferentes maneras a cada una de las escuelas de nuestra amada provincia, hoy no es casual que los niños compartan un juego de cartas y argumenten sobre sus estrategias de juego, debatiendo con sus compañeros y docentes las nociones matemáticas puestas en juego. Muchos cuadernos han dejado de lado las actividades aisladas para dar paso a secuencias organizadas y muestran a modo de bitácora todo lo trabajado en el aula. El libro está diseñado en dos grandes apartados: por un lado ofrece diversas nociones trabajadas en los encuentros zonales y de núcleo sobre didáctica de la matemática y por otro, una serie de actividades organizadas en secuencias didácticas. Recalcamos la importancia de precisar ciertos términos para alcanzar una mejor comprensión de la propuesta. Términos como “problema”, “contextos”, “evaluación”, “secuencia didáctica”, “gestión de la clase”, han sido detallados en el primer apartado. Por otro lado se ofrecen secuencias de enseñanza pensadas para alumnos y alumnas de segundo ciclo dentro del enfoque que proponemos desde el Plan MPT. Las actividades, en su mayoría, han sido extraídas o modificadas de documentos de trabajo y libros que han llegado en diferentes momentos a las bibliotecas escolares, por ejemplo los Cuadernos para el aula, la serie Piedra Libre, los cuadernillos sobre el juego como recurso para la enseñanza, Aportes para la enseñanza, entre otros. Aún falta mucho para hacer, los esperamos en el camino. Equipo de Matemática de Segundo Ciclo ‘
10 GESTIÓN DE LA CLASE El desafío actual en la enseñanza de la matemática es colocar a los alumnos como protagonistas de su aprendizaje. “Se trata de que los alumnos entren en el juego matemático, es decir, que se ocupen de producir conocimientos nuevos (para ellos) frente a los problemas que se le planteen, y que debatan para validarlos.” (Ministerio de Ed., Ciencia y Tecnología de la Nación, 2007). Luego a través de la intervención docente se los reconocerá como conocimientos matemáticos. Se busca promover cambios en las prácticas matemáticas poniendo el foco en una gestión de la clase que permita un alumno constructor de saberes. Mencionamos tres aspectos que consideramos fundamentales que estén presentes en la gestión de la clase: a) Se debe enfrentar a los alumnos a la resolución de problemas: entendidos como desafíos que debe resolver a partir de los saberes que posee pero que al mismo tiempo estos le sean insuficientes y deba evolucionar hacia nuevos conocimientos. No se queda sólo en la resolución sino que se debe reflexionar sobre ellos. Este punto marca una ruptura con la concepción clásica, que aún hoy perdura en algunas escuelas, donde los problemas son utilizados como un medio para aplicar un único algoritmo y la presencia de ciertas palabras clave facilitan al alumno la identificación de la operación a aplicar (total, faltan, repartir, etc.). La dificultad que surge ante esta concepción de problema es que el alumno al encontrarse con nuevas situaciones no sabe cómo resolverlas y si olvida el algoritmo aprendido no cuenta con otros procedimientos de resolución.
11 b) Habilitar en la clase momentos de discusión: Esto se da en la práctica a través de las puestas en común, entendidas como espacios de interacción de los alumnos con sus pares, conducidos por el docente. Instancia que debe ser planificada con el propósito de reflexionar sobre lo realizado. Es necesario que previamente haya habido un verdadero trabajo autónomo por parte del alumno, o grupo de alumnos, con el problema presentado para que el momento de discusión habilite la explicitación de los procedimientos utilizados, la argumentación y un lenguaje que pueda ser comprendido por los otros. Esto le permitirá adoptar una actitud reflexiva sobre sus conocimientos individuales. El papel del docente en estos momentos es fundamental ya que es el que invita a los alumnos a exponer sus procedimientos, no sólo los acertados, sino también los erróneos. Además reformula las producciones de ellos y realiza síntesis parciales y generalizaciones. Es un desafío llevar a cabo una efectiva puesta en común ya que representa un quiebre con respecto a la concepción que históricamente hemos tenido de ella. Muchas veces corremos el riesgo de que la puesta en común sea entendida como corrección o resolución colectiva. Se presenta un problema y luego se le da la voz sólo a aquellos alumnos que aplican el algoritmo “correcto”, el esperado por el maestro. El resto de los procedimientos se consideran erróneos, aun cuando se hubiera llegado a la respuesta correcta. Como podemos ver, en este caso la palabra la tienen algunos niños y el docente es el encargado de señalar los procedimientos acertados y los que tienen error, legitimando una única forma de resolución que de allí en más se debe reproducir mecánicamente para resolver situaciones similares. c) Coexistencia de diferentes procedimientos de resolución en el aula, representaciones y significados. En este aspecto, debemos en tener cuenta alternar contextos intramatemáticos y extramatemáticos. Para que esto ocurra es fundamental la selección de problemas. Al momento de producir una solución a un
12 problema planteado los alumnos pueden utilizar distintos procedimientos de resolución y representaciones: icónicas, simbólicas numéricas, simbólicas geométricas o expresiones lingüísticas. Aquí es importante marcar una primera ruptura, cuando surgen los procedimientos estos no irán necesariamente de lo concreto a lo abstracto, de lo fácil a lo difícil. El alumno no tiene obligadamente que realizar una representación gráfica primero para después pasar a las simbólicas numéricas, como tampoco tiene como paso obligado resolver primero con material concreto para luego hacer una resolución con mayor grado de abstracción. “Si el aprendizaje de las matemáticas es actualmente difícil, no es porque las matemáticas son abstractas, sino porque este aprendizaje no está basado en la actividad intelectual del alumno sino en la memorización y aplicación de saberes de los que el alumno no ha comprendido realmente el sentido. La solución a las dificultades actuales de los profesores y de los alumnos no está en buscar del lado de la dupla abstracto/concreto, que no es más que una coartada ideológica en la selección, sino del lado de un aprendizaje de las matemáticas fundado en la actividad intelectual de aquél que aprende.” (B. Charlot, 1986.) LOS PROBLEMAS “Un concepto no puede ser reducido a su definición, al menos si se está interesado en su aprendizaje y enseñanza. A través de las situaciones y de los problemas que se pretenden resolver es como un concepto adquiere sentido para el niño” (Vergnaud) Como dijimos anteriormente no entendemos el problema como el momento de aplicar lo aprendido, lo que el maestro enseñó. Se pretende que el alumno pueda reflexionar a partir de la situación planteada. Hablamos de problemas en el sentido enunciado en la serie “Cuadernos para el aula”:
13 “…cada actividad constituye un problema matemático para un alumno en la medida en que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos matemáticos, es decir, si estos le permiten iniciar la resolución del problema y para hacerlo, elabora un cierto procedimiento y pone en juego las nociones que tiene disponibles, modificándolas y estableciendo nuevas relaciones…” El problema debe permitir al alumno construir conocimiento. Al momento de seleccionar las situaciones que presentaremos a nuestros alumnos podemos tener en cuenta los siguientes criterios:  Por ejemplo, en algunos textos escolares se propone, para el caso de la longitud, medir el largo del banco o de un libro, usando gomas o lápices con el propósito de descubrir que las medidas obtenidas son distintas y la convención resulta necesaria. En este caso, cabría preguntarnos, ¿cuál es la verosimilitud de esa situación? ¿Quién necesita ese dato? ¿Para qué? Si, en cambio, se trata de determinar si en el patio o el terreno de la escuela es posible delimitar una cancha para realizar un deporte, cabría la necesidad de realizar algunas mediciones para analizar si se pueden respetar las medidas que figuran en los reglamentos.  La posibilidad de dominar una noción matemática con suficiente nivel de generalidad como para poder utilizarla en distintas situaciones dependerá de que la variedad de problemas considerados al estudiarla sea representativa de la diversidad de contextos de uso, de significados y de representaciones asociados a la noción.  La noción que se quiere enseñar es necesario que surja como una “herramienta necesaria” para resolver el problema y no como una definición que hay que aplicar. La presentación de la información no debe fomentar ideas estereotipadas acerca de los modos de resolución.  Cada actividad constituye un problema matemático en la medida que involucra un enigma, un desafío a sus conocimientos matemáticos.
14  Para atender a la heterogeneidad respecto de sus conocimientos iniciales y dar a todos la posibilidad de construir una solución es necesario plantear buenas preguntas, confiar en que todos pueden responderlas de algún modo, admitir diferentes procedimientos y luego, trabajar con los conocimientos que surjan para avanzar hacia los que se quiere enseñar por medio del planteo de nuevas preguntas.  La propuesta no implica dejar de lado instancias tendientes a la consolidación de lo que se está aprendiendo.
15 LAS REPRESENTACIONES La posibilidad de avanzar en la comprensión de una noción implica reconocerla en sus distintas representaciones pudiendo pasar de una a otra y elegir la más conveniente en función del problema a resolver. Por ejemplo en el caso de los racionales para representar un mismo número se pueden escribir las siguientes expresiones: 1 + 1/2; 1 1/2; 3/2; 3 x 1/2; 1,5 y 1,50, utilizar la recta numérica, establecer equivalencias con otras expresiones fraccionarias y decimales o expresiones como: 1 + 5 x 1/10 o 150%. Sin embargo, y aunque podrían ser usadas indistintamente en tanto refieren al mismo número, los contextos de uso y las estrategias de cálculo suelen determinar la conveniencia de utilizar una u otra representación.
16 EL DOCENTE COMO MEDIADOR Desde un enfoque constructivista, no se piensa al maestro como alguien que sólo “acompaña los descubrimientos de los niños”. Reflexionemos….  ¿Cómo es esa intervención que plantea al alumno un problema para que “resuelva por sí mismo”?  ¿Qué recaudos tener al presentar el problema a los alumnos?  ¿Cómo intervenir de forma de no resolver nosotros, los maestros, pero si darles pistas para invitarlos a que ellos entren en la tarea de resolverlo?  ¿Qué dificultades pueden aparecer en la gestión del momento en que se quiere hacer circular en la clase el conocimiento producido en cada grupo, comparar las distintas resoluciones y formular una síntesis significativa para todos los alumnos y adecuada en términos del saber al que apuntó la clase? Veamos algunas estrategias que intentan dar respuesta a preguntas que formulan los maestros.  ¿Qué alternativas se pueden pensar para plantear la consigna? Una cuestión central al presentar el problema es que los alumnos “entren” en él y se “hagan cargo” de su resolución. Una alternativa es que cada alumno lea la consigna de manera individual y luego el docente pregunte si alguien no entendió. A partir de la cantidad de dudas que surjan, verá si es necesario explicarla para todos, o reunir solamente a los que no la entendieron, mientras los otros empiezan a trabajar. Si hay muchos que no entendieron, se podría pedir a un alumno que explicara en qué consiste la actividad, con la aclaración de que no hay que decir “cómo se resuelve”, sino contar “qué dice el enunciado”.
17 Lo fundamental al dar la consigna, es que el maestro no dé pistas de “lo que conviene hacer”, para no validar ningún procedimiento en voz alta. En cambio, sí podrán plantear reglas del trabajo en el aula, como “cada uno piense cómo resolver, recuerden que hay distintas formas de hacerlo”, o “anoten en las hojas para que después entendamos cómo lo pensaron.” Así, estas reglas irán formando parte del nuevo contrato didáctico, en el que el alumno esperará que el docente le presente situaciones que pueda resolver solo y luego tenga que “explicar cómo lo hizo y por qué”, sabiendo que cada solución, errónea o no, será de igual valor para el maestro cuando el foco esté puesto en que todos produzcan soluciones. Si se trata de un juego, el docente puede presentarlo con una explicación general a la clase y jugando con un alumno para que todos observen cómo se hace. En estos casos, no es necesario terminar la partida, ya que una vez entendida la dinámica del juego, es posible reconocer “quién gana”. Si el juego es simple, es conveniente plantear la lectura del instructivo y que comiencen a jugar. Cuando se trata de un juego ya conocido, pero con un cambio del material o de las reglas, el docente puede solamente señalar estas diferencias.  ¿Qué alternativas se podrían plantear para la organización del grupo? La forma de organizar el grupo se vincula con la decisión didáctica respecto de las interacciones que se pretenden establecer y cómo maximizar los intercambios entre de cada alumno con el “medio”, el problema y sus pares. La interacción con los pares favorece la confrontación y el intercambio entre diferentes perspectivas, diferentes formas de interpretar el problema y la comunicación de procedimientos y resultados entre los integrantes. En este intercambio es importante tener en cuenta que las primeras respuestas de unos alumnos pueden funcionar como punto de apoyo para otros, es decir, que algunos
18 niños tengan en cuenta el problema y también las primeras respuestas dadas por sus compañeros. De esta manera, se fomenta la descentración y la coordinación de distintos puntos de vista. El trabajo en pequeños grupos ofrece mayores posibilidades de interacción, ya que en ese interjuego, a partir de errores y sucesivas reconstrucciones, se arriba a mejores resultados. Cabe destacar que en el trabajo grupal a veces los alumnos pueden asumir diferentes roles. Por ejemplo, mientras algunos participan de un juego, otro es el encargado de registrar las respuestas, o bien de “cantar” mientras otros marcan en sus tableros. Se trata de reconocer que, en cada rol se realiza una actividad matemática diferente, y, por lo tanto, convendrá ir alternando los roles entre los integrantes de los equipos. Si bien a veces los grupos se forman espontáneamente, en ciertas ocasiones la decisión debe ser tomada por el maestro. Los grupos más heterogéneos pueden ser fértiles, por ejemplo, para que aparezcan variados procedimientos. Otro tema a pensar es el de la cantidad de niños por grupo. Si bien no se trata de dar normas generales -pues el criterio para decidir depende de cada situación-, es importante que cada alumno no tenga que esperar mucho para intervenir, porque esto da lugar a la desconexión con la tarea.  ¿Cómo seleccionar los materiales necesarios para la realización de la propuesta, qué uso darles y cómo repartirlos? En el caso de que sea necesario, se aconseja utilizar un material que complemente el enunciado. La selección del material no será un tema menor, pues determinará los conocimientos que se pondrán en juego en los procedimientos que realizarán los alumnos. La elección de utilizar o no materiales como parte del problema y, en caso de que se decida utilizarlos, sus características, dan lugar al empleo de diferentes conocimientos. Y, por ello, también a diferentes aprendizajes. Esto constituye una variable didáctica del problema.
19 LA PRODUCCIÓN DE SOLUCIONES, VALIDACIÓN Una vez iniciada la clase, ¿Qué papel jugarán los alumnos, el docente y los materiales?, ¿Qué interacciones se pueden producir a propósito del conocimiento en juego? ¿Qué características de la situación y de su gestión en el aula posibilitan estas interacciones? ¿Cómo sostener desde el maestro la “devolución” durante la resolución?  ¿Qué tipo de intervenciones en la producción de soluciones? Según venimos planteando, la intención es que los alumnos produzcan soluciones propias; no se trata de que busquen una respuesta para atender al “deseo del docente”, como una obligación impuesta arbitrariamente desde afuera. Se trata de que “entren en el juego”, vivencien la situación y se involucren en una búsqueda propia de una solución que a ellos les parezca adecuada. Una vez involucrados, podrán iniciar una resolución y controlar si han llegado a una conclusión que responde la pregunta planteada. Mientras los alumnos están enfrentando estas situaciones, desarrollando verdadera “actividad matemática”, son diversas las posibles intervenciones de los docentes. Esto nos lleva a pensar: ¿qué hace el docente mientras circula? Puede releer y explicar el enunciado a un chico o grupo de chicos que no hayan comenzado la tarea o se hayan detenido, para aclararles las dudas. Si algunos están “bloqueados”, puede sugerirles cómo empezar a hacer algo, por ejemplo, animándolos a realizar un dibujo o recordándoles lo realizado en alguna actividad anterior relacionada con esa. Otra forma de mediar un problema cuando un grupo se ha “estancado” en su resolución es jugar al “detective”. Este juego propone que durante un minuto (contralado por reloj), un alumno de cada grupo (elegido por sus propios compañeros) “espíe” qué están haciendo el resto de los grupos. El alumno debe observar,
20 comprender y luego comunicar al resto del grupo cómo están resolviendo la actividad los otros grupos de compañeros. Asimismo el docente buscará animar a los alumnos a preguntarse ¿Cómo pensaron su respuesta? ¿Pueden asegurar que es adecuada? ¿Por qué? ¿Qué razones pueden ofrecer? Se trata de que cada alumno, o cada grupo si han trabajado con esa organización, pueda pensar y explicitar argumentos que apoyen su trabajo. EL DEBATE SOBRE LAS PRODUCCIONES Y LAS CONCLUSIONES MATEMÁTICAS  ¿Qué preguntas podrían orientar el análisis de las producciones? La descripción y explicitación de lo sucedido durante la resolución permite hacer circular los conocimientos en forma pública en la clase, identificar los conocimientos utilizados y vincularlos con otros anteriores, y relacionar el conocimiento de esas producciones con los se esperaba ver aparecer, aquellos a los que apuntó la clase: los objetos de enseñanza. La puesta en común implica también la organización y conducción de un debate. Es tal vez este momento el más difícil para el docente. Se trata de crear un espacio de intercambio donde además de la explicitar lo producido habrá que discutir sobre su validez para obtener conclusiones a propósito de lo realizado avanzando hacia la descontextualización del contenido.  ¿Cuáles serían, en general, “buenas intervenciones del docente”? y ¿Qué actitud debería asumir para organizar el intercambio? En principio, podemos decir que buenas intervenciones serían aquellas que ayudaran a hacer explícito lo implícito y a establecer relaciones entre las diversas producciones.
21 Por ejemplo, ¿Cómo creen que pensó? ¿Por qué creen que…? ¿Dónde encuentran… en ese procedimiento? La organización del intercambio debe procurar el debate entre diferentes puntos de vista de los alumnos, dar lugar a que expliquen cómo lo pensaron, a que pregunten a otro cómo lo hizo o por qué lo hizo de tal modo. Debe, además promover el diálogo entre ellos, de manera que dirijan la explicación a sus compañeros y no solo a sí mismo, y que no consideren el error como ausencia de conocimiento. Es conveniente que el docente no valore los procedimientos en términos de mejor o peor. Con relación a los alumnos, podemos esperar que se involucren en la discusión, expliciten cómo pensaron y avancen en la necesidad de validar lo producido, que se preocupen por hacerse entender y convencer a sus interlocutores y no solo al docente, que no sientan la necesidad de esconder el error por temor a las posibles burlas de sus compañeros.  ¿Cómo y por qué arribar a conclusiones y a una sistematización de los conocimientos? (Institucionalizaciones) Realizar esta síntesis no es una tarea sencilla. En algunos casos, el docente propone a la clase una conclusión que implica un “salto” respecto de los conocimientos que muchos alumnos utilizaron en sus resoluciones. Esto no les permite establecer relaciones entre lo trabajado y lo nuevo. Realizar una síntesis y registrarla, preguntar para obtener sistematizaciones, son oportunidades de dejar establecido en la clase, qué conocimientos se han aprendido, con cuál representación, bajo qué formulación, cómo se relacionan entre sí. Es una manera de indicar, de dejar establecido que ellos pueden ser reutilizados. No se trata de pensar en la institucionalización como un momento que ocurre al final de la clase, sino como aquellas instancias en las que el docente se refiere al
22 saber culturalmente reconocido (a los objetos matemáticos tal como se conocen en la ciencia), en el que el conocimiento pasa a ser “aquello que habrá que recordar a futuro”. Podrán hacerse institucionalizaciones parciales o bien, si la resolución llevó más tiempo que el esperado, podrá plantearse al comienzo de la clase siguiente. Esos nuevos conocimientos, considerados “oficiales” por parte de ese grupo de alumnos, se convertirán en conocimientos de base para nuevas situaciones. BIBLIOGRAFÍA - Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Silvia Chara y Analía Crippa (Equipo Áreas curriculares del Ministerio de Educación) Clases varias, ciclo formativo Plan Matemática para Todos (2012-2013)
23 TRABAJO MATEMÁTICO El trabajo matemático propuesto a partir de este enfoque sugiere la planificación de los saberes de cada año a través de secuencias didácticas. Las secuencias propuestas se han organizado partiendo de saberes incluidos en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios para 4to, 5to y 6to grado, incluyendo algunas actividades de los Cuadernos para el Aula, elaborados por el Ministerio de Educación de la Nación. Las actividades apuntan a que se produzcan y analicen diferentes representaciones y procedimientos en diferentes contextos y tipos de tareas. Además se intenta brindar a todos los niños la posibilidad de participar activamente en la clase. “Por otra parte, sostener el foco de trabajo durante varias actividades brinda más tiempo para que todos puedan sumarse, volver sobre algo que se hizo para revisarlo o para usarlo en un nuevo problema, permite que los niños encuentren una nueva oportunidad para incluirse, si no lo hicieron antes, o para descubrir nuevas relaciones.”(Notas para la enseñanza 1, 2012) Estas secuencias no se presentan como actividades cerradas, sino que se brindan como una alternativa posible para organizar la enseñanza y se propone a los maestros ir analizándolas, resignificarlas para luego ponerlas a prueba e ir realizando los ajustes necesarios para su grupo.
24 Las secuencias didácticas se organizan con propósitos definidos teniendo en cuenta las características del tipo de trabajo matemático que se quiere promover. Cada actividad de una secuencia se apoya en algún saber elaborado en la actividad anterior y, a la vez, plantea alguna diferencia. Se realiza así un trabajo articulado en clases sucesivas sobre un mismo contenido. Las secuencias presentan, en su mayoría, la siguiente estructura: La actividad 0/11, tiene doble finalidad, al inicio como 0, permite diagnosticar el estado de esos saberes en cada alumno y, al final como actividad 11, permite conocer el nuevo estado de los saberes para analizar la distancia con los del inicio. Con la actividad 1 se busca recuperar el trabajo realizado en años anteriores con actividades que pongan de manifiesto lo antes visto con respecto al tema. Las actividades, de la 2 a la 8, pretenden trabajar los saberes específicos e ir realizando las institucionalizaciones parciales. Con la actividad 9 se busca recuperar las institucionalizaciones parciales y realizar las institucionalizaciones finales.
25 Con la actividad 10 se espera que el alumno revise su proceso de aprendizaje, que identifique lo que aprendió y lo que le queda pendiente. En este sentido, las preguntas apuntan a reafirmar esta identificación y a “subrayar” aquello que debe recordar a futuro. Por último, como se expuso al comienzo la actividad 0/11, como 11 implica un recorrido sobre los saberes centrales de la secuencia. “Volver sobre una tarea que se hizo el día anterior para revisarla o sobre una noción abordada para usarla en un nuevo problema, manteniendo el foco de trabajo, permite que los alumnos encuentren sucesivas y variadas oportunidades de acercarse a la noción en estudio. A la vez, posibilita que los niños afiancen lo aprendido o descubran nuevas relaciones. Este trabajo por aproximaciones sucesivas da lugar a que más alumnos avancen en el logro del propósito al que se apunta.”(Notas para la enseñanza 1, 2012) En la elaboración de las secuencias es importante tener en cuenta además de los propósitos las características del tipo de trabajo matemático que interesa promover. “En cuanto a las formas de interacción del alumno con el problema, por un lado, y con sus compañeros y el maestro, por el otro, toda secuencia tendría que incluir situaciones de acción sobre un medio (material o simbólico), situaciones de interacción con conocimientos que se han comunicado y que han sido formulados por otros, y situaciones de producción y discusión de argumentos que sostengan las afirmaciones realizadas.” (Notas para la enseñanza 1, 2012) Dimensiones de Análisis de Secuencia Al analizar una secuencia didáctica podemos encontrar con respecto a los contextos que sean distintos, que las representaciones sean variadas o bien que se presenten todos los significados del concepto trabajado, si nos encontramos con esta
26 situación no podríamos asegurar la consistencia interna de la secuencia analizada, el propósito no estaría claro. Si por el contrario se presentaran actividades con el mismo contexto, el mismo repertorio numérico, el mismo tipo de interacción, seguramente la propuesta sería repetitiva y no enriquecería el trabajo propuesto a los alumnos. Por lo tanto será necesario tener en cuenta que las actividades que propongamos aborden un significado que permita establecer un claro propósito a la secuencia. Presentar contextos intramatemáticos y extramatemáticos. Debemos tener en cuenta que la secuencia debe habilitar la construcción de conocimiento por parte del alumno y no ser un conjunto de actividades que sólo tienen el propósito de aplicar lo enseñado.
27 Como se ha mencionado en la Introducción, las actividades propuestas se han extraído de bibliografía que ha llegado a las escuelas en diferentes instancias, por ejemplo los Cuadernos para el aula de 4°, 5° y 6°; la Serie Piedra Libre, los Aportes para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza. Las secuencias elaboradas, y que han sido organizadas de acuerdo a los ejes de los NAP, pueden visualizarse en el siguiente esquema:
28 LA EVALUACIÓN El concepto de evaluación se ha ido transformando. En la actualidad se hace visible una divergencia entre los conceptos de evaluación que se manejan a nivel teórico y la práctica real en las aulas. Una buena parte de los profesionales dedicados a la educación acuerdan en la necesidad de incorporar a los procesos de enseñanza un modelo de evaluación cualitativo, que sea capaz de ofrecer datos enriquecedores acerca del desarrollo del alumno y no sólo de los resultados que obtiene. El problema de su incorporación al quehacer en el aula proviene, precisamente, de que no supone sólo adoptar un nuevo concepto de evaluación, estar de acuerdo con él en un plano meramente intelectual, sino que implica cambiar las prácticas que se llevan a cabo en las aulas e invertir, en muchos casos, sus valores. Los alumnos estudian para aprobar. Los profesores enseñan para que sus alumnos superen las evaluaciones. La evaluación es importante, pero no como instrumento para la promoción u obtención de un título, no como exclusivo factor de comprobación de lo que se “aprende”, nunca como fin de la educación (que es lo que resulta ser en muchos casos para demasiados alumnos, profesores, padres o directivos). No se enseña para “aprobar”. Se enseña y se aprende para alcanzar una plena e integral formación como persona. Algunos autores definen a la evaluación como: -“La evaluación es el proceso mediante el cual se hace un balance objetivo, válido, confiable, comprometido, integral y significativo de los logros obtenidos por los alumnos, así como también de los obstáculos, retos y desafíos que presentan con vista a tomar decisiones de cambio para mejorar dicho proceso”( Rubio , 2008)
29 - “Desde la perspectiva constructivista, es dialogar y reflexionar sobre el proceso de enseñanza-aprendizaje. Consiste en poner en primer término las decisiones pedagógicas, para promover una enseñanza verdaderamente adaptativa que atienda a la diversidad del alumnado; en promover (…) aprendizajes con sentido y con valor funcional para los alumnos; en ocuparse de los problemas de la enseñanza y el aprendizaje; en favorecer el traspaso de la heteroregulación evaluativa hacia la a autorregulación de los alumnos en materia de aprendizaje y evaluación”. (Frida Díaz- Barriga Arceo-Hernández Rojas.) La evaluación constructivista posee las siguientes características:  Considera todos los recursos cognitivos y afectivos que utilizan los alumnos.  Valora todo el proceso, de lo contrario al considerar sólo una fase, se ve limitada.  Tiene en cuenta las acciones docentes como: la planificación, actividades de enseñanza y factores contextuales del aula.  Pone énfasis en la evaluación de los procesos de aprendizaje. La evaluación no solo tiene sentido en relación con la acreditación de los alumnos, que es la finalidad más corriente asociada a esta práctica, sino también respecto de la detección del “estado de los saberes” puestos en juego por los alumnos durante el proceso de aprendizaje. Algunos puntos de partida respecto de la evaluación El tipo de saberes a evaluar debe ser consistente con el tipo de práctica matemática realizada durante las clases; si en ellas se han propuesto actividades en las que los alumnos deben resolver problemas, interpretar consignas, comunicar procedimientos, interpretar otros, explicitar razones que les permiten afirmar la Coherencia con el proyecto de enseñanza impartida
30 validez de una afirmación, será necesario tomar información acerca de los logros de los alumnos al realizar actividades de estos mismos tipos. Si bien el docente está atento en todo momento a las respuestas que van dando los chicos frente a las distintas propuestas, es necesario incluir actividades específicas, con un tiempo previsto para tomar y registrar información sobre los saberes alcanzados, a fin de tomar decisiones respecto de la continuidad de la enseñanza. Debe ser claro para los niños cuál es la valoración que se realizará de las producciones, para dedicar el tiempo necesario al desarrollo de aquellos aspectos que permiten mostrar mejor los aprendizajes realizados. La identificación de los saberes que los niños dominan y cuáles les quedan pendientes para seguir trabajando, permite a los docentes proponer nuevas tareas para todos o para algunos alumnos, y a éstos conocer qué tareas deberían realizar para avanzar; de este modo la evaluación se puede constituir en una herramienta para mejorar la enseñanza y el aprendizaje. TIPOS DE EVALUACIÓN La necesidad de concebirla como un proceso continuo e interactivo, con momentos específicos de toma de información. Conocimiento por parte de los alumnos, tanto de los objetivos como los criterios con los que serán evaluados Autoevaluación del docente y de los alumnos permite modificar las acciones a partir de la información que provee la evaluación DIAGNÓSTICA Se realiza previamente al desarrollo de un proceso educativo, cualquiera que éste sea.
31 Un aspecto importante a considerar es la Evaluación por competencias tal como lo expresa Laura Frade Rubio: "es el proceso mediante el cual se hace un balance objetivo, válido, confiable, integral, significativo y transparente de los logros obtenidos por los y las estudiantes en si aprendizaje, tomando en cuenta como base el nivel de desempeño logrado y estableciendo los retos y obstáculos que se encuentran, con miras a tomar decisiones y diseñar estrategias para que el estudiante mejore de manera continua”. Por otra la evaluación puede hacerse en base a una norma o en base a un criterio. La evaluación normativa significa valorar con respecto a una “norma” definida por el docente en base a los resultados obtenidos por sus mejores alumnos, se comparan los aprendizajes de los alumnos con el aprendizaje del grupo más avanzado, profundizando las diferencias entre los alumnos con más y con menos posibilidades. La evaluación así aparece como una probabilidad de determinar en qué medida las acciones realizadas se ajustan o no a ese patrón normativo, no se plantea con un sentido constructivo, como una opción para revisar el proceso de enseñanza y aprendizaje, tampoco plantea buscar alternativas de enseñanza para superar las dificultades detectadas FORMATIVA Se realiza en concomitante con el proceso de enseñanza - aprendizaje por lo que debe considerarse como una parte reguladora y consustancial del proceso. SUMATIVA Se realiza al término de un proceso instruccional o ciclo educativo cualquiera. También se le denomina evaluación final.
32 La evaluación criterial significa valorar aprendizajes que logra cada alumno con respecto a los saberes que se establecen como fundamentales, hoy serían los NAP. Esta evaluación exige el análisis de los procesos que el niño utiliza para resolver una situación planteada, incluye analizar los errores y la búsqueda de alternativas de enseñanza para superar las dificultades detectadas. La evaluación para ser justa debe ser en base a un criterio, no en base a norma. CRITERIOS DE EVALUACIÓN Los criterios para analizar las producciones de los niños, permiten elaborar tablas para registrar los avances de cada niño. Por ejemplo, al considerar “qué mirar” cuando resuelven un problema, podemos usar como criterios:  Si identifican y usan los datos adecuados  Si usan un procedimiento que permite arribar a la respuesta correcta.  Si el procedimiento que usan es económico en relación con los trabajados en clase En el siguiente cuadro aparecen todos los alumnos y sus logros y dificultades, con un código que indique, por ejemplo:  NR (no responde): No escribe nada  PNA (no adecuado): Elige un procedimiento o información no adecuada.  EP (en proceso): Utiliza información y un procedimiento adecuado, pero resuelve incorrectamente.  RA (resolución adecuada): Utiliza información y resuelve mediante algún procedimiento correcto.  PE (procedimiento económico): Utiliza información adecuada y resuelve mediante el procedimiento más económico analizado en clase.
33 Con esta organización de la información, los docentes pueden evaluar cuál fue el desempeño de cada alumno mirando las filas, y lo que ocurrió en relación con el ítem en todo el grado observando las columnas ¿Qué criterios podemos considerar para las formas de calcular? - Resuelve utilizando cálculos memorizados adecuados con procedimientos inadecuados. - Resuelve utilizando cálculos memorizados con procedimientos adecuados. - Puede controlar el resultado - Realiza estimaciones Si el trabajo matemático en la clase se realiza según el enfoque planteado, también habrá que analizar cómo son los procesos de comunicación en lenguaje matemático y coloquial, y las formas de validación que utilizan. Por ejemplo: - Escribe la respuesta en forma incompleta - Usa el vocabulario adecuado - Las justificaciones son válidas, en el marco de lo aceptado en la clase. En cuanto a las actividades de remediación es posible presentar diversas propuestas según lo que debamos evaluar. Es común presentar un problema similar en otro contexto pero también podríamos:  Mostrar diversas respuestas para un mismo ítem (correctas y erradas), solicitando a los alumnos que las comparen, encuentren similitudes y
34 diferencias, y formulen una nueva respuesta que resulte correcta, a juicio del grupo.  Mostrar distintas justificaciones correctas para analizar cuáles les parecen “más apropiadas” y explicar el por qué. Luego se les puede pedir que redacten en pequeños grupos una nueva justificación. Frente a los “errores” descubiertos será necesario analizarlos, intentar comprender cómo y por qué se producen y plantear actividades de distinto tipo. Tanto en el caso de cuestiones presentes en las producciones de muchos alumnos del grupo como respecto de algunas ideas provisorias, habrá que volver sobre la noción involucrada en ese momento, cuestionándolos con ejemplos que contradigan sus ideas. BIBLIOGRAFÍA - Graciela Chemello, Mónica Agrasar, Silvia Chara y Analía Crippa. (2013) Buenos Aires. Módulo 3: Los desafíos de la enseñanza de las operaciones con fracciones y decimales. Clase Nº 9: La evaluación de los aprendizajes de los alumnos. Ministerio de Educación. (pp. 1-2) - Casanova. M. A. (1998), La evaluación educativa, México, Biblioteca para la Actualización del Maestro, SEP-Muralla, (pp.67-102). - Chevallard, Y. et al. (1997), Estudiar Matemáticas. El eslabón perdido entre enseñanza y aprendizaje. ICE-HORSORI, Barcelona - Ministerio de Educación Ciencia y Tecnología Presidencia de la Nación NAP Núcleos de Aprendizajes Prioritarios, Serie Cuadernos para el Aula. Matemática Segundo Ciclo EGB Nivel Primario. (2007). - Esther Sánchez de Concatti, Sandra Intelisano, “Evaluación como aprendizaje y para el aprendizaje” 2012 primer documento para docentes de nivel primario, nivel secundario y adultos - Laura Frade Rubio, “La evaluación por competencias”, Mediación Inteligente, S. A. de C. V., Febrero del 2008.
35 DISTRIBUCIÓN ANUAL DE SABERES DE MATEMÁTICA PARA SEGUNDO CICLO SEGÚN NAP CUARTO GRADO En relación con el número y las operaciones: Números Naturales El reconocimiento y uso de los números naturales, de la organización del sistema decimal de numeración y la explicitación de sus características, en situaciones problemáticas que requieran: • Interpretar, registrar, comunicar y comparar escrituras equivalentes para un mismo número. • Argumentar sobre la equivalencia de distintas descomposiciones de un número (aditivas, multiplicativas) usando unidades de distintos órdenes. Cuadernos para el aula: 4°: página 38 a 48 En relación con el número y las operaciones: SECUENCIA I: Operaciones con números naturales (Notas para la enseñanza I) • multiplicar con distintos significados, utilizando distintos procedimientos y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • elaborar y comparar distintos procedimientos de cálculo-, mental, escrito - de multiplicaciones por una cifra o más, analizando su pertinencia y economía en función de los números involucrados.  analizar relaciones numéricas para formular reglas de cálculo, producir enunciados sobre las propiedades de las operaciones y argumentar sobre su validez En relación con la geometría y la medida: Sistemas de referencia El reconocimiento y uso de relaciones espaciales y de sistemas de referencia en situaciones problemáticas que requieran:  ubicar objetos en el espacio y/o sus representaciones en el plano en función de distintas referencias  Interpretar y elaborar representaciones del espacio. Cuadernos para el aula: 4° página 121 hasta 134 1°TRIMESTRE
36 En relación con el número y las operaciones: SECUENCIA IV: Operaciones con fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza II) • Sumar y restar cantidades expresadas con fracciones y decimales, utilizando distintos procedimientos y representaciones y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • Elaborar estrategias de cálculo utilizando progresivamente resultados memorizados relativos a fracciones y expresiones decimales de uso corriente (½ + ½; ¼ +1 ½; ½ + ¾; 0,25 + 0,25; 0,50 + 1,50; dobles; etc.) En relación con la geometría y la medida: La medida La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes expresiones posibles para una misma cantidad, en situaciones problemáticas que requieran:  estimar y medir efectivamente cantidades eligiendo el instrumento y la unidad en función de la situación  comparar diferentes formas de escribir una misma cantidad utilizando distintas expresiones Cuadernos para el aula: 4° Medidas de tiempo: desde página 170. En relación con la geometría y la medida: Propiedades de cuerpos geométricos  describir, reconocer y comparar cuerpos según la forma y el número de caras, y representarlos con diferentes recursos. Cuadernos para el aula: 4°: página 140 a 153 2°TRIMESTRE En relación con la geometría y la medida: SECUENCIA III: Propiedades de las figuras geométricas (Notas para la enseñanza II) • Describir, reconocer y comparar triángulos, cuadriláteros y otras figuras teniendo en cuenta el número de lados o vértices, la longitud de los lados, el tipo de ángulos. • Copiar y construir figuras utilizando las propiedades conocidas mediante el uso de regla y escuadra evaluando la adecuación de la figura obtenida a la información dada. • Componer y descomponer figuras estableciendo relaciones entre las propiedades de sus elementos. • Analizar afirmaciones acerca de propiedades de figuras dadas y argumentar sobre su validez. En relación con el número y las operaciones: SECUENCIA II: Fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza I) • Interpretar, registrar o comparar el resultado de una partición a través de distintas escrituras con fracciones. • Interpretar la equivalencia entre expresiones fraccionarias de uso frecuente para una misma cantidad. • Comparar, entre sí y con números naturales, fracciones de uso frecuente a través de distintos procedimientos En relación con la geometría y la medida: Perímetro y superficie El análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas que requieran:  calcular cantidades evaluando la razonabilidad del resultado y la pertinencia de la unidad elegida para expresarlo  elaborar y comparar procedimientos para calcular áreas y perímetros de figuras  comparar figuras analizando cómo varían sus formas, perímetros y áreas cuando se mantienen alguna o algunas de estas características y se modifica/n otra/s. Cuadernos para el aula: 4°: página 165 a 167 3°TRIMESTRE
37 QUINTO GRADO 1°TRIMESTRE En relación con el número y las operaciones: Números Naturales El reconocimiento y uso de los números naturales, de la organización del sistema decimal de numeración y la explicitación de sus características, en situaciones problemáticas que requieran: • Interpretar, registrar, comunicar y comparar escrituras equivalentes para un mismo número. • Argumentar sobre la equivalencia de distintas descomposiciones de un número (aditivas, multiplicativas) usando unidades de distintos órdenes. Cuadernos para el aula: 5°: página 38 a 47 En relación con el número y las operaciones: SECUENCIA I: Operaciones con números naturales (Notas para la enseñanza I) • dividir con significado de partición evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • elaborar y comparar procedimientos de cálculo - exacto, mental, escrito y con calculadora- de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones por una o dos cifras, analizando su pertinencia y economía en función de los números involucrados.  argumentar sobre la validez de un procedimiento o el resultado de un cálculo usando relaciones entre números naturales y propiedades de las operaciones.  explicitar relaciones numéricas vinculadas a la división y la multiplicación (múltiplo, divisor, D = d x c+r) En relación con la geometría y la medida: Sistemas de referencia El reconocimiento y uso de relaciones espaciales y de sistemas de referencia en situaciones problemáticas que requieran:  ubicar objetos en el espacio y/o sus representaciones en el plano en función de distintas referencias  Interpretar y elaborar representaciones del espacio. Cuadernos para el aula: 5° GRADO: página 121 a 135.
38 2°TRIMESTRE En relación con la geometría y la medida: SECUENCIA III: Propiedades de las figuras geométricas (Notas para la enseñanza II)  Describir, reconocer y comparar cuadriláteros teniendo en cuenta la longitud y posición relativa de sus lados, la amplitud de sus ángulos.  Clasificar figuras de diferentes formas explicitando los criterios utilizados.  Construir cuadriláteros a partir de distintas informaciones mediante el uso de regla y escuadra evaluando la adecuación de la figura obtenida a la información dada. • Componer y descomponer figuras utilizando propiedades conocidas de las figuras iniciales para argumentar sobre las de las figuras obtenidas. • Analizar afirmaciones acerca de propiedades de las figuras y argumentar sobre su validez. En relación con el número y las operaciones: SECUENCIA II: Fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza I)  Interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades (resultados de distintos repartos) usando fracciones usuales, y ampliando el repertorio para establecer nuevas relaciones.  Interpretar la equivalencia entre expresiones fraccionarias para una misma cantidad. • Comparar fracciones entre sí y con el entero a través de distintos procedimientos (relaciones numéricas, expresiones equivalentes, representaciones gráficas). En relación con la geometría y la medida: Perímetro y superficie El análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas que requieran:  calcular cantidades evaluando la razonabilidad del resultado y la pertinencia de la unidad elegida para expresarlo  elaborar y comparar procedimientos para calcular áreas y perímetros de figuras  comparar figuras analizando cómo varían sus formas, perímetros y áreas cuando se mantienen alguna o algunas de estas características y se modifica/n otra/s. Cuadernos para el aula: 5°: página 168 a 173 3°TRIMESTRE En relación con el número y las operaciones: SECUENCIA IV: Operaciones con fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza II) • Multiplicar y dividir cantidades expresadas con fracciones o decimales, utilizando distintos procedimientos y representaciones y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • Explicitar procedimientos de cálculo mental que puedan utilizarse para facilitar otros cálculos (la mitad de la mitad es la cuarta parte, 0,25 x 3 = 0,75 = ¾) y para argumentar sobre la validez de los resultados obtenidos En relación con la geometría y la medida: La medida La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes expresiones posibles para una misma cantidad, en situaciones problemáticas que requieran:  Estimar y medir efectivamente cantidades eligiendo el instrumento y la unidad en función de la situación  Comparar diferentes formas de escribir una misma cantidad utilizando distintas expresiones Cuadernos para el aula: 5°: página 152 a 168 En relación con la geometría y la medida: Propiedades de cuerpos geométricos  Describir, reconocer, comparar y representar cuerpos identifican-do la forma y el número de caras. Cuadernos para el aula: 5° página 135 a 152
39 SEXTO GRADO En relación con la geometría y la medida: SECUENCIA III: Propiedades de las figuras geométricas (Notas para la enseñanza II) • Describir, comparar y clasificar triángulos y cuadriláteros en base a las propiedades conocidas. • Copiar y construir figuras a partir de diferentes informaciones sobre propiedades y medidas utilizando compás, regla y escuadra, evaluando la adecuación de la figura obtenida. • Analizar afirmaciones acerca de propiedades de las figuras y argumentar sobre su validez. En relación con el número y las operaciones: SECUENCIA II: Fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza I) • Argumentar sobre la equivalencia de distintas representaciones y descomposiciones de un número. •Comparar fracciones y/o expresiones decimales a través de distintos procedimientos, incluyendo la representación en la recta numérica e intercalando fracciones y decimales entre otros números. • Analizar afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que diferencian a los números naturales de las fracciones y las expresiones decimales. En relación con la geometría y la medida: Perímetro y superficie El análisis y uso reflexivo de distintos procedimientos para estimar y calcular medidas en situaciones problemáticas que requieran:  calcular cantidades evaluando la razonabilidad del resultado y la pertinencia de la unidad elegida para expresarlo  elaborar y comparar procedimientos para calcular áreas y perímetros de figuras  comparar figuras analizando cómo varían sus formas, perímetros y áreas cuando se mantienen alguna o algunas de estas características y se modifica/n otra/s. Cuadernos para el aula: 6° grado: página 170 a 178 1°TRIMESTRE En relación con el número y las operaciones: Números Naturales El reconocimiento y uso de los números naturales, de la organización del sistema decimal de numeración y la explicitación de sus características, en situaciones problemáticas que requieran: • interpretar, registrar, comunicar y comparar cantidades y números tanto para los números naturales como para fracciones y/o expresiones decimales y eligiendo la representación más adecuada en función del problema a resolver. En relación con el número y las operaciones: SECUENCIA I: Operaciones con números naturales (Notas para la enseñanza I) • argumentar sobre la validez de un procedimiento o el resultado de un cálculo usando propiedades de las operaciones con números naturales. • producir y analizar afirmaciones sobre relaciones numéricas vinculadas a la división y argumentar sobre su validez. • sistematizar resultados y estrategias de cálculo mental para operar con números naturales. En relación con la geometría y la medida: Sistemas de referencia El reconocimiento y uso de relaciones espaciales y de sistemas de referencia en situaciones problemáticas que requieran:  ubicar objetos en el espacio y/o sus representaciones en el plano en función de distintas referencias  Interpretar y elaborar representaciones del espacio. Cuadernos para el aula: 6° GRADO: página 124 a 135. 2°TRIMESTRE
40 En relación con el número y las operaciones: SECUENCIA III: Operaciones con fracciones y números decimales (Notas para la enseñanza II) • Operar seleccionando el tipo de cálculo y la forma de expresar los números involucrados que resulte más conveniente en función de la situación y evaluando la razonabilidad del resultado obtenido. • Elaborar y comparar procedimientos de cálculo —exacto y aproximado, mental, escrito y con calculadora—de divisiones de expresiones decimales, incluyendo el encuadramiento de los resultados entre naturales y analizando la pertinencia y economía del procedimiento en relación con los números involucrados En relación con la geometría y la medida: La medida La comprensión del proceso de medir, considerando diferentes expresiones posibles para una misma cantidad, en situaciones problemáticas que requieran:  Estimar y medir efectivamente cantidades eligiendo el instrumento y la unidad en función de la situación  Comparar diferentes formas de escribir una misma cantidad utilizando distintas expresiones Cuadernos para el aula: 6° grado: página153 a 169, 179 a 182 En relación con la geometría y la medida: Propiedades de cuerpos geométricos  describir, reconocer, comparar y representar cuerpos identificando la forma y el número de caras Cuadernos para el aula: 6° grado: página 136 a 153 3°TRIMESTRE
41 ORGANIZACIÓN DE LA PROPUESTA La planificación del trabajo áulico en base a secuencias revaloriza la enseñanza de los contenidos y garantiza, justo con una adecuada gestión de la clase una progresión de los aprendizajes. “Es necesario disminuir fuertemente en la escuela la organización de la tarea por medio de actividades sueltas. El desarrollo de una secuencia conjuga la extensión en el tiempo con la posibilidad de ingresar a los temas desde diferentes propuestas(…) es un modo de permitir que todos cobren conciencia acerca de lo que se está estudiando, se formulen preguntas, descubran relaciones entre distintas informaciones; hagan propios de algún modo, los propósitos de la tarea. La secuencia o el proyecto ayudan a que el tiempo escolar juegue a favor de la profundización del acercamiento de los niños a los contenidos. Los saberes que se van adquiriendo no se agotan en una única instancia de acercamiento a ellos; las situaciones sucesivas que se proponen en una secuencia o un proyecto van ayudando a los niños a anticipar cómo puede seguir.” (Torre, Mirtha; 2012, p 25) El material elaborado en base a la bibliografía mencionada, se encuentra organizado de la siguiente manera:  Marco téorico de la secuencia propuesta: poniendo el foco en la gestión de la clase.  Propósitos de cada una de las actividades que conforman la secuencia.  Propuesta de secuencia didáctica: elaborada a partir de las actividades presentadas en la bibliografía consultada. Esta propuesta no pretende ser una
42 “receta” a seguir en nuestras clases de matemática, sino que a partir de ella se pueda llevar al aula un cambio en la gestión de la clase.
43 Números naturales
44 NOCIONES DIDÁCTICAS: PARA AVANZAR EN EL CONOCIMIENTO DEL SISTEMA DE NUMERACIÓN A lo largo de toda la escolaridad, los niños se van aproximando y van conociendo el sistema de numeración a partir de situaciones variadas y cada vez más complejas. En el Primer Ciclo se favoreció el uso implícito de las reglas del sistema de numeración mientras que en el Segundo Ciclo es fundamental su explicitación para avanzar en la reflexión sobre las mismas. Aumentar el tamaño de los números implica que los niños extiendan las regularidades ya descubiertas tanto en la serie oral como en la escrita en situaciones problemáticas que involucren contextos extramatemáticos como intramatemáticos. La elección de contextos extramatemáticos donde se presenten las cantidades puede estar asociada con proyectos de otras áreas. También es necesario que presentemos problemas de contexto intramatemático en los cuales se trabaje con números y no con cantidades. Para ello, es necesario apoyarse en la expresión de un número con diferentes descomposiciones: la aditiva, donde se explicita el valor posicional de cada cifra y la multiplicativa, donde se explicitan los órdenes de agrupación. Explicitar las relaciones de recursividad (cada 10 elementos de un orden se obtiene 1 del orden superior) y de equivalencia entre órdenes (10 unidades forman 1 decena, 10 decenas forman 1 centena o 100 unidades, etc.) permitirá reutilizarlas en las argumentaciones y poder establecer vínculos entre descomposiciones aditivas y multiplicativas de un número (1234 = 1000 + 200 + 30 + 4 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1). Las actividades en las que los alumnos pueden realizar y analizar diferentes escrituras de los números incluyen, por una parte, aquellas en las que realizan composiciones y descomposiciones; esto les permite avanzar en el reconocimiento
45 de las reglas del sistema de numeración. Por otra parte algunas escrituras involucran el uso de distintas operaciones. Si damos la oportunidad de trabajar con formas diferentes de escribir un mismo número, haremos posible que los alumnos avancen en el uso de variadas estrategias de cálculo en función de los números involucrados y de lo que la situación pida, así como también en las posibilidades de comprender los distintos pasos de los algoritmos de cada operación. La comparación entre dos números permite establecer entre ellos las relaciones de mayor, menor o igual. La posibilidad de indagar acerca de semejanzas y diferencias entre algunos números, como la presencia de las mismas cifras en distinta posición, o buscar aquellos números que cumplan determinadas condiciones, como terminar en cero y/o estar entre, o de redondearlos, cuando tenga sentido hacerlo, permite avanzar en la argumentación oral y escrita respecto del orden y el valor posicional demandando tener disponible estas nociones en las instancias de validación sobre las comparaciones. Es importante destacar que la complejidad de las actividades no depende solamente de la cantidad de cifras de los números, sino del tipo de tarea que involucra su uso. En este sentido, la explicitación de conocimientos requeridos en las tareas de elaboración de formulaciones y argumentaciones implica una nueva reflexión sobre las relaciones establecidas cuando se resolvieron los problemas. Durante la puesta en común nuestras intervenciones apuntarán a que los niños expliquen cómo lo pensaron, lo que nos permitirá conocer el estado de sus conocimientos sobre las nociones utilizadas, así como la interpretación que hacen de términos como: cifra, decena, centena, ceros intermedios, etc. En consecuencia, será necesario compartir el significado de estas expresiones. BIBLIOGRAFÍA Ministerio De Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación. NAP. Serie Cuadernos para el Aula. Matemática, Segundo Ciclo / Nivel Primario. (2007).
46 PRÓPOSITOS DE LAS ACTIVIDADES DE LA SECUENCIA DE NÚMEROS DE 4° grado En 4° grado nos proponemos que los alumnos puedan resolver problemas que impliquen usar, leer, escribir y comparar números hasta el orden de los millones. Explorar las regularidades de las series numéricas oral y escrita, resolver problemas que exijan descomponer aditiva y multiplicativamente los números y analizar el valor posicional de las cifras. Actividad 1: Los mundiales de fútbol Se propone trabajar con series numéricas, apoyados en un contexto extramatemático, apuntando así a avanzar en el conocimiento de las regularidades del sistema de numeración. Se usan escalas tanto ascendentes como descendentes con lo que avanzamos en el conocimiento acerca de orden y comparación. Se trabaja con distintas representaciones del número: cifrada y literal. En el punto c) donde se solicita que los alumnos ubiquen números en una recta numérica, se deberá tener presente que si los niños no han trabajado antes esta forma de representación, será necesario explicitar la forma de construcción y representación de los números en la recta numérica. Para la Tarea, los niños, inicialmente podrán apoyarse en el cuadro de numeración con el que han trabajado hasta 3° grado, para luego establecer las relaciones y reglas que harán que puedan reconocer fácilmente el orden de los números.
47 Actividad 2: En busca de la regularidad Se ofrece a los alumnos, cuadros de numeración donde se pueden visualizar fácilmente las regularidades del sistema. En la primera la escala es de uno en uno con lo que reforzamos la idea de anterior y posterior, qué cambia y qué continúa. En las tablas siguientes se hace hincapié en cambios y continuidades cuando se utilizan otros intervalos (de 100 en 100, de 1000 en 1000) para seguir avanzando en el conocimiento del sistema y principalmente del valor posicional de las cifras, su escritura cifrada y literal. Las actividades planteadas son en contexto intramatemático. Actividad 3: Juego armando y desarmando Seguramente en el primer ciclo los niños han trabajado en la composición y descomposición de cantidades usando monedas y billetes. Ya en el segundo ciclo es necesario avanzar hacia números más grandes, por lo tanto los billetes no serán suficientes, por lo que se propone un juego con tarjetas que abre las posibilidades de composición y descomposición. Este juego no sólo permite avanzar en el reconocimiento de las reglas del sistema de numeración, sino que también involucra algunas escrituras que requieren el uso de operaciones (3 tarjetas de 1000 forman el 3000, 3 x 1000 ó1000 + 1000 + 1000) planteando así las descomposiciones aditivas y las multiplicativas. También se plantean otras formas de descomposiciones al poner reglas como “sin usar papeles de 100 formar el número 2340” con lo que se abre el debate acerca de distintas formas de descomponer un número, equivalencias entre unidades de distinto orden, cálculos mentales, problemas que pueden tener más de una solución, o que no tengan solución (solamente usando papeles de 100 formar el número 675)
48 Actividad 4: A seguir las pistas Se plantea una actividad en contexto intramatemático, donde se propone analizar las condiciones que cumplen ciertos números, para que los niños establezcan relaciones de comparación y orden y consideren el valor posicional de las cifras. Otra vez se plantean problemas de respuesta única y de más de una respuesta En la Tarea se trabaja sobre distintas descomposiciones de un número y sobre la validación y argumentación. Actividad 5: Con la calculadora El uso de la calculadora es altamente motivacional, por lo que es muy conveniente utilizar este recurso, que por otra parte, es un recurso tecnológico con el que los niños tienen que estar familiarizados. Las actividades con calculadora no deben remitirse a la obtención de un resultado, en este caso las actividades planteadas apuntan a la reflexión sobre distintas descomposiciones aditivas de un número y entre ellas las relacionadas con la posicionalidad de nuestro sistema de numeración. Actividad 6: Juego “Adivinando números” (encuadramientos, recta numérica) En este juego el foco está puesto en los encuadramientos y en la ubicación de los números en la recta numérica. Al tener que elaborar las preguntas para adivinar el número se avanza en los procesos de argumentación, de validación, de escritura de mensajes, que además deberán ser reformulados luego de las respuestas del docente a cada pregunta. Plantea situaciones en las que la respuesta está dentro de un rango de soluciones posibles, si bien dicha respuesta es única.
49 Actividad 7: Después del juego El “después del juego” tiene como finalidad descontextualizar el objeto de enseñanza y profundizar haciendo reflexiones que permitan que el conocimiento adquirido sea aplicable a otras situaciones. En este caso se vuelve sobre los encuadramientos y sobre la ubicación correcta de los números en una recta numérica, instando a la argumentación mediante el análisis de casos. Actividad 8: Problemas El propósito de esta actividad es que los niños puedan verbalizar distintas situaciones y así avanzar en la comprensión de consignas y problemas, ya que esta es una de las dificultades que los docentes encontramos en nuestra aulas. Al tener que elaborar parte de la situación problemática y luego poner en común lo elaborado validando la razonabilidad de lo trabajado para la discusión se amplía el repertorio del que dispondrá en adelante. Actividad 9: ¿Vale o no vale? Es una actividad que tiene como finalidad de sistematizar y concluir los saberes abordados. Actividad 10: Mirá lo que aprendimos El propósito de esta actividad es que el alumno pueda realizar una autoevaluación sobre lo aprendido, reflexionando así sobre su propio proceso de aprendizaje.
50 Secuencia de Numeración con números naturales para 4° grado Actividad 1 LOS MUNDIALES DE FÚTBOL Identificar los años con números sirve para saber, por ejemplo, cuándo será el próximo mundial o cuándo fue el anterior, porque los campeonatos mundiales de fútbol se juegan cada 4 años. En el año 2012 fue en Brasil, el anterior se hizo en Sudáfrica ¿en qué año fue? El primer mundial fue en Uruguay en mil novecientos treinta, en Argentina se hizo en mil novecientos setenta y ocho, en México fue en mil novecientos setenta. Ordená los años de estos mundiales de menor a mayor y escribilos en números. En los carteles aparecen los años y los países en los que se jugaron algunos mundiales. En esta recta, indiquen con la letra de la inicial de cada país aproximadamente donde tendría que estar cada uno. Observen el ejemplo Brasil 1950 Italia 1934 Uruguay 1930 Chile 1962 Francia 1938 Suecia 1958 1.930 1.940 1.950 1.960 1.970 a) ¿Tomando en cuenta que los mundiales se hacen cada cuatro años, ¿en qué años se jugaron los últimos? a) ¿En qué años serán los tres próximos mundiales luego del de Brasil 2014? País sede México Italia Estados Unidos Francia Corea- Japón Alemania Sudáfrica Brasil Año 1986 C
51 Actividad 2 EN BUSCA DE LA REGULARIDAD a) En el siguiente cuadro están representados los números desde el treinta mil cincuenta hasta el treinta mil cien. Completen los números que faltan  ¿Qué número es uno menos que 30.060?.........................................................  ¿Qué número es uno más que 30.099?.............................................................  ¿Qué números están en la fila del 30.080? Escribílos a continuación…………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………....  ¿Qué números están en la columna del 30.055? Escribílos a continuación………………………………………..………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………....... b) En este otro cuadro los números van de 100 en 100. Completá todos los números que faltan 30.050 30.051 30.052 30.054 30.055 30.057 30.059 30.060 30.063 30.064 30.066 30.069 30.070 30.071 30.075 30.078 30.081 30.084 30.087 30.090 30.093 30.096 30.099 30.100
52 20.000 20.100 20.200 20.300 20.400 20.500 20.600 20.700 20.800 20.900 21.000 22.000 23.000  ¿Qué cifra cambia cuando al 22.100 le agregás 100?  ¿Y cuándo pasás del 20.900 al 21.000, o del 21.900 al 22.000 pasa lo mismo que con el 22.100? ¿Por qué? c) En este los números van de 1.000 en 1.000. Ubicá el 45.000; 56.000; 61.000 y 79.000 40.000 41.000 42.000 47.000 50.000 69.000 70.000 80.000 84.000  ¿Qué cifra cambia cuando a un número le sumás 1000?  ¿Pasa lo mismo con cualquier número? ¿Por qué? Actividad 3 JUEGO: ARMANDO Y DESARMANDO En una caja se colocan tarjetas con números de hasta 5 cifras. Se distribuyen a los chicos papeles con los valores 1; 10; 100; 1.000; 10.000 (10 papeles de cada valor para cada niño)
53 El docente saca de la caja un número y lo lee en voz alta (puede pegarlo en el pizarrón), cada chico deberá formar ese número con los valores que recibió y escribir cómo lo hizo. Después de haber extraído de la caja cinco tarjetas se puede hacer una puesta en común para discutir las diferentes maneras de formar los números y también las diferentes formas de registrarlo. Al hacer la puesta en común, podemos proponer a los alumnos que anoten lo realizado en una tabla como la siguiente Variable didáctica: nos reunimos en grupos de 4, juntamos todos los valores y armamos los números, pero con ciertas condiciones y lo registramos en la tabla  Formar el número sin usar papeles de 1.000  Formar el número sin usar papeles de 100 Tarea Escribí cómo armar el número 35.728 a) Usando todos los valores b) Sin usar papeles de 10 c) Sin usar papeles de 10.000 Número de 10.000 de 1.000 de 100 de 10 de 1 …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… …………… ……………
54 Actividad 4 A SEGUIR LAS PISTAS a) Completá el cuadro colocando una X cuando el número cumpla con la condición planteada. El primero es un ejemplo. b) Buscá números que cumplan las condiciones El número Tiene una cifra par en el lugar de las decenas Está entre 40.000 y 41.000 Tiene menos de 3 unidades de mil Tiene más de 50 decenas x x X x x x X  ¿Existe una única posibilidad para cada caso?¿Por qué? (puesta en común) Tarea En 4° grado de una escuela, tres amigos discuten sobre la forma correcta de escribir un número - Damián dice que en 587 hay 5 veces 100; 8 veces 10 y 7 veces 1. - Ana opina que Damián está equivocado. Que en 587 hay 58 veces 10 y 7 veces 1. -Juan dice que en 587 hay 5 centenas, 8 decenas y 7 unidades. El número Tiene una cifra par en el lugar de las decenas Está entre 40.000 y 50.000 Tiene menos de 40 unidades de mil Tiene más de 4 decenas de mil 40.780 x x x 32.830 47.765 50429
55 En la puesta en común podemos promover que los chicos respondan a cuestiones tales como: ¿Cuál es la forma más fácil de lograrlo para cada uno? ¿Por qué? Se verán así las distintas estrategias utilizadas, y podrán ser compartidas por todos. Al finalizar el debate se puede proponer que escriban un mensaje explicando, para cualquier número, el procedimiento para hacer que aparezca el 0 en el lugar de las decenas y centenas haciendo restas. - ¿Creés que alguno tiene razón? ¿Por qué? Actividad 5 CON LA CALCULADORA a) Escribí el número 5.837 en la calculadora. Luego, haciendo dos restas, conseguí que aparezca en el visor 5.007. ¿Hay una única forma de lograrlo? b) Escribí en el visor 23.456. Después, con cinco restas, hay que lograr que aparezca el 0 (cero) en el visor. ¿Hay una única forma de lograrlo? c) Escribí en el visor de la calculadora el 33.333. Anticipá qué aparecerá en el visor si sumás 3, mil veces. Luego, verificalo en la calculadora. Actividad 6 JUEGO: “ADIVINANDO NÚMEROS” (ENCUADRAMIENTOS, RECTA NUMÉRICA) Se divide la clase en grupos. El maestro tiene una pila de sobres con un número de cuatro cifras en su interior y cada grupo saca un sobre y se lo entrega al docente quien informa que cada grupo tiene 5 preguntas para adivinar el número a las que el maestro podrá responder por sí o por no. El maestro dirá a cada grupo en su turno, el intervalo entre el que está el número del sobre elegido que será suficientemente amplio como para dar lugar a las cinco preguntas. Los alumnos harán las preguntas y
56 el docente puede dibujar una recta numérica con el intervalo dado y preguntar a los niños cómo se puede indicar en el dibujo la información de cada respuesta. Si aciertan el número son 100 puntos, si sólo aciertan una cifra obtienen 25 puntos, si aciertan 2 cifras 50 puntos y si aciertan 3 cifras 75 puntos. Es conveniente hacer una jugada de prueba con todo el grupo para que queden claras las reglas del juego. Actividad 7 DESPUÉS DEL JUEGO a) Un equipo recibió como dato que el número del sobre elegido se encuentra entre 1000 y 2000 y realizó estas cuatro preguntas: ¿Es mayor que 1.300? ¿Es menor que 1.400? ¿Es menor que 1350? Y obtuvo un sí por cada pregunta. Si estuvieras jugando ¿qué pregunta harías? ¿Qué números pueden ser? b) Dos chicos que estaban jugando marcaban así en sus rectas numéricas ¿Coincidís con lo que marcó cada chico? ¿Por qué? c) Ubicá los números 2902; 3408; 3616; 3545 y 2503 de manera que queden ordenados en una lista de menor a mayor con los siguientes números: 2706 3418 3629 Tarea Completá el siguiente cuadro, luego elegí un número de cada fila y escribílo en letras. 1.000 2.0001.300 1.350 1.000 1.100 1.300 1.500
57 Anterior (menos 1) Número Posterior (más 1) 65.769 20.000 35.090 51.999 Actividad 8 PROBLEMAS PARA ARMAR a) Agregale una pregunta a este problema, de manera que se usen todos los datos del enunciado. Después resolvélo. Un cajero automático tiene billetes de $10, de $50 y de $ 100. Una persona fue y sacó $4.800. ………………………………………………………………………………………………………………………… b) Inventá un enunciado a partir de cada una de las siguientes preguntas ¿Cuántos billetes de $10 necesito? ¿Cuántos billetes de $100 necesito? c) En un papel en un bar, quedó escrito éste cálculo 2 x 100 + 5 x 10 ¿Podrías inventar un problema que se resuelva con ese cálculo? Actividad 9 ¿VALE O NO VALE? Respondé V o F y justificá tu respuesta (podés dar ejemplos para explicar) a) Para escribir un número con sumas, o con sumas y multiplicaciones sólo hay una forma de hacerlo. b) Si un número es mayor que 999 seguro tiene más de tres cifras. c) Si un número está entre 30.000 y 40.000 la cifra de la decena de mil es 4. d) Si a un número le sumo 100, las cifras de la unidad y la decena no cambian. Actividad 10 MIRÁ LO QUE APRENDIMOS a) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b) ¿Cuáles te costaron más? ¿Por qué?
58 c) ¿Cómo te das cuenta cuándo un número es mayor que otro? d) ¿Cómo le explicarías a un compañero las distintas formas de escribir un número? Actividad 0/11 1) Jugando a los dardos a) Esta es la jugada de un jugador. Escribí el puntaje obtenido b) En el partido siguiente cada uno tiró 10 dardos y anotaron el puntaje en una tabla. Algunos no embocaron en el tablero todos los dardos Nombres Dardos embocados Puntaje total Vero 3 dardos en 10.000, 2 en mil, 4 en 100 Esteban 5 en 1000, 3 en 100, 2 en 10 Diego 4 en 10.000, 1 en 100 2) ¿Qué cálculo harías para transformar el 56.789 en 50.789? ¿Y en 57.789? ¿Y en 50.009? Anotalo y luego verificalo en la calculadora. 3) Para escribir de otra forma el 35.840 tres amigos los hicieron así María: 3 x 10.000 + 5 x 1.000 8 x 100 + 4 x 10
59 Pedro: 35 x 1000 + 84 x 10 Vale: 30.000 + 5.000 + 800 + 40  ¿Alguno tiene razón? ¿Por qué? 4) Para registrar lo que aprendiste a) Podrías explicar qué tenés en cuenta para ordenar números de menor a mayor? b) ¿Cómo ubicás aproximadamente los siguientes números en una recta numérica? 52.480; 52.140 y 52.250 c) Si tenés que escribir en letras el número 20.058 ¿de cuál de estas formas lo hacés?  Veinte mil quinientos ocho  Doscientos cincuenta y ocho  Veinte mil cincuenta y ocho REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 52.000 52.100 52.200 52.300 52.400 52.500 - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 4 - 1a ed. – Buenos Aires, (2007) - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Aportes para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza 4°, 5° y 6° años, (2007) - Ministerio de Educación de la Nación, Serie Piedra Libre para todos. ¿Hay un lugar para los números?, (2010)
60 LINK RELACIONADOS CON LA SECUENCIA http://www.juegoseducativosvindel.com/ En este juego especificando hasta que número se quiere trabajar los ejercicios respetarán este rango. Recuperado el 22 de agosto de 2014 en http://www.juegoseducativosvindel.com/
61 Propósitos de la secuencia de Números naturales de 5° grado En 5° grado nos proponemos que los alumnos resuelvan problemas que impliquen usar, leer, escribir y comparar números sin límite, con recursos como la recta numérica para representarlos, avanzar en la exploración de las regularidades del sistema de numeración para ordenar y realizar escalas para cualquier número, que sean capaces de resolver problemas más complejos sobre descomposiciones aditivas y multiplicativas, analizar la información que brinda la escritura de un número para resolver situaciones como la anticipación de resultados de sumas y restas de números redondos a cualquier número y el uso de la calculadora para explorar el comportamiento de los números. Actividad 1 LOS CENSOS Se propone un problema en contexto extramatemático para empezar a trabajar con “números más grandes”, su escritura cifrada y literal. Se centra en el uso de estrategias de comparación y el establecimiento de las relaciones de orden con números de 5 o 6 cifras, como “el mayor es el que tiene más cifras” o “el que manda es el de la izquierda” de las que se tomará registro para ser fácilmente reutilizadas. Se utiliza como recurso la recta numérica para establecer orden y encuadramientos. En el último ítem se hace foco en la reflexión acerca del valor posicional, las variaciones que sufre cada cifra de acuerdo al lugar que ocupa en el número, de un modo en el que el alumno es el que descubre esas variaciones en lugar de ser reglas impuestas.
62 Actividad 2 NÚMEROS DESUBICADOS En esta actividad, en contexto intramatemático, se ofrece a los alumnos información sobre los nombres de los números y sobre las escrituras de números formados por unidades seguidas de ceros para explorar las regularidades de la serie numérica oral y escrita que utilizarán para leer y escribir números convencionalmente. El hecho de que tengan que subsanar errores hace que el análisis deba ser más exhaustivo. Actividad 3 COMPRANDO TORNILLOS El propósito de esta actividad es avanzar en el uso de escalas ascendentes y descendentes de 1.000 en 1.000, de 2.500 en2.500 etc. analizando las regularidades que se presentan para basarse más en esas regularidades del sistema de numeración que en recurrir a cuentas. Actividad 4 JUEGO DE LAS PISTAS En esta actividad se propone, además de la comparación de números, la identificación de un número por la conjunción de varias características, algunas que tienen que ver con el uso de términos que hacen referencia a las posiciones de las cifras (ocupa el lugar de las centenas), otras con las relaciones de mayor y menor, otras con los encuadramientos. A las tarjetas sugeridas se podrán agregar otras o modificar las dadas de acuerdo a los conocimientos de que disponga el grupo, además podrían hacerse grupos de tarjetas para los distintos grupos del grado si hubiera niños integrados o con distintos niveles de aprendizajes. En este juego se plantean situaciones con solución única y otras con más de una respuesta posible, lo que abre el debate sobre las distintas posibilidades de solución de algunas situaciones.
63 Actividad 5 DESPUÉS DEL JUEGO En el “Después del juego” se plantea la reflexión sobre los cambios que deberían hacerse a una situación para que deje de tener varias respuestas posibles y pase a tener sólo una respuesta, los alumnos deberán hacer un análisis de condiciones y elaborar un mensaje con lo que avanzan en la verbalización y argumentación. Actividad 6 MULTIPLICO Y SUMO Esta actividad promueve la explicitación de las reglas del sistema de numeración, que en el primer ciclo se trabajaron en forma implícita, para avanzar en la reflexión sobre las mismas. Se apoya en la expresión de un número con diferentes descomposiciones: la aditiva, donde se explicita el valor posicional de cada cifra (279= 200+70+9) y la multiplicativa donde se explicitan los órdenes de agrupación (279= 2x100+7x10+9 ó 2 grupos de 100, 7 grupos de 10 y 9 sin agrupar). El dar la posibilidad de que los alumnos puedan escribir un mismo número de diferentes formas favorece el avance en las estrategias de cálculo y las posibilidades de comprender los pasos de los algoritmos de cada operación. La actividad también promueve la argumentación acerca de las descomposiciones numéricas y el uso de la calculadora como herramienta para controlar la estrategia de cálculo mental de otro. Luego de jugar se sugieren una serie de preguntas que, en la puesta en común, favorecerán el arribo a conclusiones sobre las transformaciones de un número al multiplicarlo por 10, 100 ó 1000, y también el discutir el modo de indicar, en un cálculo con más de una operación, cuál cálculo debo hacer primero, es decir el uso del paréntesis, la jerarquía de las operaciones y el uso de propiedades de la suma y de la multiplicación (asociativa, conmutativa, distributiva)
64 Actividad 7 CON CALCULADORA En esta actividad se continúa trabajando con los mismos saberes de las actividades anteriores, pero aparece el uso de la calculadora con una función diferente de la de encontrar un resultado. Se promueve la anticipación de resultados, para lo cual deberán realizar cálculos mentales, ya que para escribir un número en la calculadora se tiene que tomar la decisión de qué número va a utilizar. Actividad 8 MUCHAS ESCRITURAS PARA EL MISMO NÚMERO Se continúa avanzando en distintas descomposiciones y representaciones de un número, con el análisis de casos para validar las respuestas, y la posterior argumentación para apoyar las decisiones tomadas. También se propone reflexionar sobre la forma de leer los números y las operaciones que quedan implícitas en esta lectura. Actividad 9 ¿VALE O NO VALE? En esta actividad se favorece el proceso de institucionalizaciones de saberes trabajados, la verbalización y la argumentación. Actividad 10 MIRAR LO QUE APRENDIMOS Es una actividad de autoevaluación necesaria para reflexionar sobre los propios aprendizajes.
65 Secuencia didáctica para 5° grado “Números naturales” Actividad 1 LOS CENSOS Un censo de población es el recuento de la cantidad de habitantes de una zona. El primer censo en nuestro país se realizó en 1869 y el último en 2010. En este mapa se muestra la cantidad de habitantes de algunas de las provincias según el censo 2010. d) Ubicá aproximadamente en la siguiente recta numérica los números que corresponden a los habitantes de La Pampa, Neuquén, Chubut y Catamarca que tiene trescientos treinta y cuatro mil quinientos sesenta y ocho habitantes. e) ¿Cómo te das cuenta cuándo un número es más grande que otro? f) La provincia de Jujuy tiene 611.888 habitantes. Consultá con los integrantes de tu grupo y respondan: a) ¿En qué provincia de las señaladas hay mayor cantidad de habitantes?……………… …………………. b) ¿En cuál hay menor cantidad?.................. ………………………………… ………….. c) ¿Cuál tiene más población Chaco o Corrientes? ….…………… ………………… 200.000 300.000 400.000 500.000 .
66 -¿Cada cifra 8 del número 611.888 tiene el mismo valor? ¿Por qué? -¿Cuál es el valor de la cifra 6? -¿Conocen el nombre que recibe cada posición en un número? Expliquen lo que saben. -¿Cómo se escribe en letras ese número? Tarea Averiguá en internet cuál es la provincia de menor cantidad de habitantes, cuál la de mayor cantidad y cuál la población de Mendoza, según el censo de 2010. Escribí esos números en letras. Actividad 2 NÚMEROS DESUBICADOS a) En este cuadro los números van de 10.000 en 10.000, hay algunos están mal ubicados ¿podrías ubicarlos correctamente? 0 10.000 20.000 60.000 80.000 90.000 100.000 170.000 200.000 210.000 310.000 360.000 470.000 500.000 550.000 600.000 640.000 700.000 720.000 830.000 870.000 900.000 b) ¿Cuál de los siguientes números es trescientos tres mil treinta y tres? 330.303 303.033 303.330 330.330 303.303 Tarea ¿Cuál es el mayor número de 6 cifras que podés escribir con los dígitos 3; 6 ; 1 ; 4 ; 9 y 5 sin repetir? Escribilo con números y en letras.
67 Actividad 3 COMPRANDO TORNILLOS En un taller tienen 350.000 tornillos. Si compran 1.000 por semana, ¿cuántos tendrán en cada una de las siguientes semanas? Completá la tabla En el mes de abril aumentaron las ventas por lo que tuvieron que comprar 2.500 por semana. Si vuelven a tener para empezar 350.000 tornillos, ¿cuántos tendrán en cada semana? 1° semana 2° semana 3° semana 4° semana 5° semana 350.000 Actividad 4 JUEGO DE LAS PISTAS Se forman grupos, cada grupo recibe dos tarjetas con pistas para formar un número. Cada grupo debe escribir los números que cumplan las condiciones de cada tarjeta. Las tarjetas pueden tener condiciones que cumple un único número o condiciones que cumplen varios números, a cada grupo le dará una de cada una. Los puntajes: si es tarjeta de número único se obtienen 1000 puntos por el acierto, sino 200 puntos por cada dígito acertado. Si hay más de un número como solución se obtienen 500 puntos por cada número correcto y 500 más por escribir todas las respuestas posibles. 1° semana 2° semana 3° semana 4° semana 5° semana 350.000
68 1 -Está entre 10.000 y 20.000 -Tiene exactamente 132 centenas -La cifra de las decenas es un número mayor que 3 y menor que 7 2 -La cifra de las unidades coincide con la de las decenas -Tiene exactamente 11 centenas -La cifra de las decenas supera en 2 a la de las centenas -Todas sus cifras son impares 3 -Tiene más de 98 centenas -Tiene cuatro cifras -Si le agregáramos 5 decenas pasaría a tener 5 cifras -La cifra de las unidades es cero 4 -Tiene una docena de decenas -Sus cifras son una serie ordenada (números consecutivos) -Tiene tres cifras 5 -Está entre 10.000 y 30.000 -Tiene una decena de unidades de mil -Si le agregáramos 5 centenas aumentaría una unidad de mil -Termina en doble cero 6 -La cifra de las unidades triplica a la de las unidades de mil -Tiene cuatro cifras -Tiene 300 decenas -Tiene dos ceros intermedios 7 -No es mayor que media decena de mil -Las cifras de las unidades, decenas y centenas son ceros -Comienza en una cifra par mayor que 3 -La suma de sus cifras es 4 8 -Está entre 4000 y 5000 -Tiene 47 centenas -La cifra de las unidades es igual a la diferencia entre la cifra de las centenas y la de las unidades de mil La cifra de las decenas es menor que la de las unidades 9 -Tiene 5 cifras -Son todas cifras consecutivas de mayor a menor -La unidad es mayor que 1 -La decena de mil es menor que 9 10 -Tiene 4 cifras Tiene más que 985 decenas y menos que 9870 unidades - Es un número impar
69 Actividad 5 DESPUÉS DEL JUEGO a) ¿Qué le agregarías al mensaje de la siguiente tarjeta para que la respuesta sea un único número? -Tiene 3 cifras -Está entre 800 y 900 -Las cifras de unidad y decena son iguales y mayores que 7. -Es un número par b) Inventá con tu grupo 2 tarjetas para números de 6 cifras: una con respuesta única y otra que admita más de un número. Intercambien las tarjetas entre los grupos. Tarea (requiere puesta en común) Escribí una tarjeta de mensajes para el número doscientos cuatro mil ochocientos veinte. Actividad 6 MULTIPLICO Y SUMO Juego: Multiplico y sumo (calcular productos y adiciones con potencias de diez) Para jugar se necesitan: tarjetas con +10 +100 +1.000 x10 x100 x1.000 (Ver ANEXO) (Un juego para cada grupo). Cada dos niños una calculadora y una tabla de 4 columnas como la siguiente (con todas las filas necesarias para jugar varias veces) Número x…………….. +………………. Resultado 34 X10 + 100 440 Se colocan las tarjetas en 2 pilas, una con las multiplicaciones, la otra con las sumas, boca abajo. Uno de los niños dice un número de dos cifras, el otro deberá
70 sacar una tarjeta de cada pila y primero multiplicar el número por lo que dice la tarjeta y luego sumar al resultado de esa multiplicación lo que dice su tarjeta de suma (todo esto mentalmente). Anota todo esto en la tabla y el que dijo el número controla en la calculadora la exactitud del resultado. Si es correcto le anota un punto. Luego invierten los roles. Luego de 10 jugadas se puede proponer la siguiente actividad a) ¿Qué transformación se produce en un número como el 34 al multiplicarlo por 10? ¿por 100? ¿y por 1000? ¿Por qué? b) ¿Qué transformación se produce en un número como el 34 al sumarle 10, ó 100 ó 1000? ¿Por qué? c) Si tengo el 34,¿da lo mismo primero multiplicar por 100 y después sumarle 100 que hacer al revés, primero sumarle 100 y después multiplicarlo por 100? ¿Por qué? d) Si quiero obtener el número más grande posible ¿qué me conviene hacer primero, multiplicar por 100 y después sumar 100 o al revés? ¿Por qué? Actividad 7 CON CALCULADORA a) Colocá en tu calculadora el número 3627 ¿cómo hacés para que, con una sola cuenta, en el lugar del 6 quede un 4 y los otros números no se modifiquen? b) Con el mismo número ¿cómo harías para que, también con una sola cuenta, en el lugar del 2 aparezca un 0 y en el del 7 aparezca un 4. ¿Lo lograste? Explicá cómo lo hiciste. c) ¿Cómo harías para que con una sola cuenta el 3627 se transforme en 36.270? d) ¿Y para que el 3627 se transforme en 8627? Tarea
71 Hacé tres restas en la calculadora para pasar de 444.444 a 0 usando sólo las teclas 4 y 0. Registrá los cálculos en tu carpeta. Actividad 8 MUCHAS ESCRITURAS PARA EL MISMO NÚMERO 1) Indiquen cuáles de estos cálculos representan el número 362.849. a) (3 x 100 + 6 x 10 + 2 ) x 1000 + 800 + 40 + 9 b) 3 x 100 + 6 x 10 + 2 x 1000 + 8 x 100 + 6 x 10 + 9 c) 362 x 100.000 + 849 d) (300 + 60 + 2 ) x 1000 + 8 x 100 + 4 x 10 + 9 e) 300.000 + 60.000 + 2.000 + 800 + 40 + 9 f) 3 x 100.000 + 6 x 10.000 + 2 x 1.000 + 8 x 100 + 4 x 10 + 9 2) Completen los espacios vacíos para que las equivalencias sean verdaderas 541.758= 54 x………………+ 1 x ………………..+ 75 x ……………….+ 8 702.327= 7 x …………………+2 x……………..+ 3 x …………………. + 2 x……………. + 7 3) Ana dice que el número 2.346 tiene 2 unidades de mil, tiene 23 centenas, tiene 234 decenas Y 2.346 unidades. ¿Tiene razón? ¿Por qué? Me di cuenta de que en el nombre de los números puedo descubrir operaciones: cuando digo trece mil, pienso en 13 x 1000, o si digo 112 pienso en 100 + 12
72 Entonces el 43.278 tiene………………………… decenas de mil …………………………unidades de mil ………………………….centenas ………………………….decena ……………………………unidades Actividad 9 ¿VALE O NO VALE? Es cierto que… (siempre justificá tus respuestas) a) ¿Cuánto más grande es un número más palabras se usan para nombrarlo? b) ¿Para escribir el mayor número de cuatro cifras uso cuatro nueves y para escribir el menor de cuatro cifras uso cuatro unos? c) ¿Para saber cuántas decenas tiene un número puedo dividirlo por 10 y el resultado son las decenas, y si quiero saber las centenas que tiene divido por 100? Actividad 10 MIRAR LO QUE APRENDIMOS a) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b) ¿Cuáles te costaron más y por qué creés que te pasó? c) ¿Cómo le explicarías a un compañero qué tenés en cuenta cuando querés escribir un número con sumas y multiplicaciones? d) ¿Cómo te das cuenta cuando un número es mayor que otro? Actividad 0 /11 1) a) ¿Es o no es el mismo número? ¿Por qué? 70.345 = 7000 + 300 + 45 = 70 x 1000 + 34 x 10 + 5
73 = 7 x 10.000 + 3 x 100 + 4 x 10 + 5 b) En un juego hay tarjetas con diferentes puntajes: 100.000; 10.000; 1.000; 100; 10 y 1 ¿Cómo harías para formar los números 245.726 y 807.395 con la menor cantidad de tarjetas de cada valor? c) ¿Qué cálculo harías para transformar el 333.333 en 303.333? ¿Y en 333.033? 2) ¿Qué número es? ¿Hay una sola respuesta? La centena de mil es el anterior a 8. No tiene cifras pares. La unidad de mil y la decena son ceros. Tiene 6 cifras. La suma de sus cifras da 16. Las únicas cifras repetidas son los ceros. 3) Para explicar a) Si un número de 6 cifras tiene como centena de mil la cifra 8 ¿podés estar seguro, sin mirar las otras cifras que va a ser mayor que otro que en la centena de mil tiene al 7? ¿Por qué? b) ¿Qué cuenta hacés para que 75 unidades se transformen en 75 centenas? Explicá tu respuesta 4) Para registrar lo que aprendiste ¿De cuáles formas podés escribir un número? ¿Podrías dar ejemplos? REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Cuadernos para el aula, matemática 5 - 1a ed. – Buenos Aires, (2007) - Ministerio de Educación, Ciencia y Tecnología de la Nación, Aportes para el seguimiento del aprendizaje en procesos de enseñanza 4°, 5° y 6° años, (2007) - Ministerio de Educación de la Nación, Serie Piedra Libre para todos. ¿Hay un lugar para los números?, (2010) -
74 LINK RELACIONADOS CON LA SECUENCIA http://www.educapeques.com/los-juegos-educativos/juegos-de-matematicas-numeros- multiplicacion-para-ninos/portal.php?contid=32&accion=listo Cada botón ofrece distintas actividades de numeración. Seleccionas las que trabaja números naturales para ordenar, ordenar y serial entre otras.
75 Propósitos de la secuencia de Números Naturales para 6° grado Si bien se supone que los saberes involucrados en la secuencia se han trabajado en los grados anteriores, tal vez no hayan sido tratados desde este punto de vista del análisis, la reflexión, la argumentación, la validación, por lo tanto consideramos que nunca está demás reforzar lo que se tiene o avanzar en los procesos de cada grupo. En esta secuencia se propone abordar problemas que impliquen usar, leer, escribir, comparar números sin límite, descomponer aditiva y multiplicativamente y, a partir de analizar la información que brinda la escritura del número según el valor posicional, poder resolver cálculos, anticipar resultados. Actividad 1 LOS CENSOS Se propone un trabajo sobre comparación, orden, distintas escrituras (cifrada, literal), distintas descomposiciones para afianzar lo trabajado en años anteriores ampliando el rango numérico, en contexto extramatemático articulando con un contenido de las Ciencias Sociales. En la Tarea se presentan problemas que involucran los encuadramientos y resultados múltiples. Actividad 2 Juego UN NÚMERO CON CONDICIONES En este juego se trabaja nuevamente con los encuadramientos, las relaciones de mayor y menor, las validaciones y la argumentación ya que los participantes pueden objetar los números formados por los demás. Actividad 3 DESPUÉS DEL JUEGO El Después del juego busca afianzar lo trabajado en el juego, proponiendo un análisis de caso para validar una respuesta.
76 En la Tarea se analiza una regla de regularidad con respecto al posterior de un número natural, regla que deberán tener muy clara al momento de abordar posteriormente las reglas entre los números racionales. Actividad 4 LA RECTA NUMÉRICA La propuesta es trabajar fuertemente con representaciones en la recta numérica, para lo que deberán afianzar las reglas para estas representaciones (espacios entre intervalos, ubicación aproximada de los números). Los saberes abordados se refieren a encuadramientos, representaciones de los números, relaciones de orden. También se propone una actividad de validación entre compañeros para la misma tarea, volviendo sobre los problemas con soluciones múltiples y de argumentación de las decisiones tomadas. En la Tarea se trabaja sobre orden y se podrán analizar las modificaciones que se producen en los números cuando nos referimos al antecesor o al sucesor de un cierto número. Actividad 5 ANALIZANDO POSICIONES En esta actividad el foco está puesto en el valor posicional de las cifras de un número, las regularidades, los cambios y las permanencias cuando se realiza una operación de suma o de resta. También al solicitar que expliquen y que formulen reglas que se puedan utilizar para cualquier número con ciertas condiciones, se avanza en los procesos de argumentación y generalización que podrán ser reutilizados en otras situaciones. Actividad 6 CLAVES PARA ARMAR NÚMEROS En esta actividad se propone identificar números que cumplen con varias características que tienen que ver con el uso de términos que denominan las posiciones de las cifras y otras con las relaciones de mayor y menor. Es un
77 problema de respuesta única al que se podría agregar una variable en la que se solicite anular una de las consignas para que la respuesta deje de ser única y la explicitación de la respuesta. En el segundo ítem se presenta un problema en el que puede haber una solución, muchas o ninguna, siempre haciendo foco en las relaciones que se pueden establecer entre un número y algunas pistas. En la Tarea se propone otra forma de escritura de los números, haciendo uso del nombre que reciben las distintas posiciones en las que puede ubicarse cada cifra y el pasaje a escritura cifrada. Actividad 7 DISTINTAS FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO Se propone trabajar con las diferentes formas de expresar un número haciendo uso de valor posicional y distintas formas de descomposición. En la puesta en común se hará hincapié en las diversas formas de representación de los números. Actividad 8 ¿VALE O NO VALE? Es una actividad de sistematización de los saberes trabajados en la secuencia. Actividad 9 MIRAR LO QUE APRENDIMOS Se propone que los alumnos se autoevalúen y se hagan cargo de sus propios procesos de aprendizaje.
78 Secuencia para 6° grado Numeración con números naturales Actividad 1 LOS CENSOS A. a) Esta tabla muestra la población de la Argentina entre 1869, año en que se realizó el primer censo de población y 2010. Año Población 1869 1.800.000 1895 4.000.000 1914 7.900.000 1947 15.800.000 1960 20.000.000 1970 23.300.000 1980 27.800.000 1991 32.600.000 2001 36.200.000 2010 40.100.000 a) Escriban en letras el número de habitantes del censo de 1914; 2001 y 2010 b) ¿En qué período creció más la población de Argentina? ¿Cómo se dieron cuenta? c) Este crecimiento tan grande en esos años tiene un motivo, averígualo y lo comentan entre todos B. Ariel buscó información sobre el uso de internet en Argentina y encontró estos datos: En 2008 el país tenía 2.557.413 conexiones a banda ancha de acuerdo con un estudio, basado en el censo nacional y en los proveedores del servicio, en 2008, de los 10,07 millones de hogares existentes, había 2,37 millones conectados por la banda ancha. Los expertos esperan que para 2015 se hayan superado los 4,2 millones de usuarios.
79 a) Escriban usando sólo números, los datos que registró Ariel con números y letras b) ¿Por qué piensan que se usó esa forma de escribir los números? c) Escriban en cada caso de qué número se trata Diez menos que cien mil………………………………………………….. Cien menos que un millón…………………………………………………… Diez millones más que cien mil……………………………………………… El triple de trescientos mil………………………………………………………. Uno menos que diez millones………………………………………………… Un millón más que tres millones doscientos mil cuarenta y tres………………………………………… Tarea (requiere puesta en común)  Escriban tres números que estén entre 10.000.000 y 10.000.054  Escriban 4 números que estén entre 100.000.000 y 100.000.100  Compará con tus compañeros ¿todos pusieron los mismos números? ¿Por qué? Actividad 2 Juego UN NÚMERO CON CONDICIONES Se necesitan cinco tarjetas con intervalos que pueden ir de 100.000 a 250.000; de 250.000 a 400.000; de 400.000 a 650.000; de 650.000 a 800.000 y de 800.000 a 999.999 y un mazo de cartas para cada grupo con los números del 0 al 9 (Ver ANEXO) tres veces cada uno. Reglas del juego  Pueden jugar entre 2 y 5 jugadores.
80  Se colocan las tarjetas con los intervalos en la mesa, boca abajo Se reparten 6 cartas a cada jugador. Cada uno toma de la mesa una tarjeta de intervalos. Cada jugador deberá ordenar sus cartas para obtener el mayor número posible comprendido dentro del intervalo que le marca su tarjeta. El que forme correctamente el mayor número posible, de acuerdo a sus cartas, del intervalo que le tocó recibe un punto. Si hubiera error en la formación del número, por ejemplo que no estuviera en el intervalo o no fuera el mayor posible, resta un punto, si no pudiera formar un número dentro del intervalo no suma puntos ni resta. Se juegan aproximadamente 6 rondas. Actividad 3 Después del juego a) A Juan le salieron las siguientes cartas 3 ; 3 ; 5 ; 8 ; 0 ; 1 y el intervalo que le tocó fue : de 250.000 a 400.000. dice que el mayor número que puede formar con sus cartas es 380.531. ¿Tiene razón? ¿Por qué? b) Con las cartas de Juan y armando el mayor número posible ¿en qué intervalo estaría ese número? Tarea ¿Cuál es?  El mayor número de 7 cifras y cuál el menor.  Matías dice que a un número de 6 cifras le sumó 1 y obtuvo un número de 7 cifras. ¿De qué número habla y cuál es el de 7 cifras que obtuvo? Actividad 4 LA RECTA NUMÉRICA a) Ubiquen en la recta los siguientes números: 400.000 450.000 300.000 600.000 575.000
81 b) Ubiquen en la recta cinco números que ustedes elijan y luego comparen con otros compañeros las coincidencias y diferencias c) Decidan el intervalo más conveniente para ubicar los siguientes números en una recta y ubíquenlos 780.000 789.000 795.000 810.000 d) Comparen con otros grupos. ¿Todos hicieron las mismas rectas? ¿En qué se parecen y en qué se diferencian? Copien en sus carpetas dos rectas de otros compañeros distintas a las de ustedes y expliquen cómo es posible que para ubicar los mismos números los intervalos sean diferentes. Tarea Completá el cuadro de anteriores y posteriores Anterior Número Posterior 67.000.000 30.000.100 254.500.999 Actividad 5 ANALIZANDO POSICIONES a) Escriban un cálculo de suma para que se modifique solamente la cifra marcada en negrita 2.563.187 + ……………………=……………………………………. 812.709.122 + ……………….=…………………………………… 0 100.000 200.000 500.000 60 millones 70 millones 80 millones
82 95.037.548 + ……………………=…………………………………….. 47.890.013 +………………………….=……………………………………… 840.002.329 + …………………………= ……………………………………. b) Para conversar y responder entre todos ¿En todos los casos de la actividad anterior es posible hacer que, al sumar, sólo cambie la cifra marcada? ¿Por qué? Indiquen en cuáles y usen un ejemplo. ¿En algunos casos hay más de una posibilidad de cálculo de sumar para que cambie sólo la cifra marcada? ¿Por qué? Indiquen en cuáles y usen un ejemplo. ¿En algunos casos hay una única posibilidad de cálculo de sumar para que cambie sólo la cifra marcada? ¿Por qué? Indiquen en cuáles y usen un ejemplo. Escriban en la carpeta una regla posible para generalizar, en el caso de los cálculos de sumar, cuándo hay una posibilidad de que se modifique una sola cifra, cuándo hay más de una y cuándo no hay ninguna. c) Escriban un cálculo de restar para que se modifique solamente la cifra marcada en negrita 2.563.187 - ……………….. =………………………………….. 812.709.122 - ……………………….= ………………………………… 47.091.346 - …………………………..= ………………………………… Tarea Teniendo en cuenta lo que respondiste para los casos de cálculos de sumar, respondé los mismos cuatro puntos, pero para los cálculos de restar. En el grado compará tus respuestas con las de tus compañeros.
83 Actividad 6 CLAVES PARA ARMAR NÚMEROS a) ¡Un planeta súper poblado! En junio de 2005 las Naciones Unidas y el Instituto Nacional de Francia estimaron el número de habitantes aproximado del Mundo Las claves te guían para conocer ese número  La cifra de la centena de millón y la cifra de la unidad de mil de millón no son iguales.  La cifra de la centena de millón es par.  La cifra de la unidad de millón es mayor que la cifra de la unidad de mil de millón.  Las cifras de la unidad de millón y de la decena de millón son iguales. Elegí la respuesta entre los siguientes números 7.746.000.000 6.477.000.000 7.578.000.000 5.889.000.000 9.075.000.000 b) ¿Cuál de estos números? Unilos con flechas 12.415.098.115 ¿tiene igual cifra en la centena y en la centena de millón? 75.240.827 ¿está entre el 483.900.000 y el 500.000.000? 295.604.238 ¿es 1 u. de millón menor que 431.945.029? 430.945.029 ¿es un número par? 483.751.267 ¿no tiene centena de mil? 496.841.000 ¿es menor que 295.500.000? 431.945.029 ¿tiene cifras pares en la c. de millón, d. de millón, c. y d.?
84 Tarea Más números sobre la población mundial  Hacia el año 1.900 el número de habitantes del planeta era de……………………… (96 decenas de millón, 8.000 unidades de mil)  El aumento diario de la población actual es de………………………………………………. ( 2 centenas de mil, 1.000 decenas)  Para el 2050 se proyecta una población mundial de………………………………………. (9 u. de mil de millón, 7 d. de millón, 60.000 centenas) Actividad 7 DISTINTAS FORMAS DE EXPRESAR UN NÚMERO a) ¿Podrías decir cuál o cuáles de estas formas de escribir el 230.405.789 es correcta? Después discutilo con tus compañeros de grupo y expliquen por qué decidieron que algunos están incorrectos 2 x 100.000.000 + 3 x 10.000.000 +4 x 100.000 + 5 x 1.000 + 7 x 100 +8 x 10 +x 9 230 x 1.000.000 + 405 x 1.000 + 789 Doscientos treinta mil cuatrocientos cinco mil setecientos ochenta y nueve 230 + 405 + 789 230.000.000 + 405.000 + 789 b) Completen el cuadro de descomposiciones con tu grupo, luego comparen si otros grupos hicieron lo mismo que ustedes. Número valor posicional (u., d., c…..) Con sumas Con multiplicaciones y sumas 145.068 34.409.003 680.205.040
85 Tarea Una o más de estas descomposiciones no corresponden al número 718.600. Descubrí cuál o cuáles y tachalas  71 d. de mil, 85 c., 10 d  5 c de mil, 20 d de mil, 17 u de mil, 16 c  5 c de mil, 11 d de mil, 86 c  7 c de mil, 14 u de mil, 460 d  70 d de mil, 18 d de mil, 6 c Actividad 8 ¿VALE O NO VALE? Decidí si las siguientes afirmaciones son ciertas y justificá tus respuestas a) En nuestro sistema de numeración 10 unidades de un orden forman 1 unidad del orden siguiente. b) El valor de cada cifra no depende de la posición que ocupa en el número c) Todos los números naturales, exceptuando al cero, tienen un anterior y un posterior d) Para componer y/o descomponer un número se debe tener en cuenta el valor posicional de sus cifras. Actividad 9 MIRAR LO QUE APRENDIMOS a) ¿Qué actividades te resultaron más fáciles? b) ¿Cuáles ejercicios te costaron más y por qué? c) ¿Por qué creés que decimos que nuestro sistema de numeración es decimal y posicional? d) ¿Cómo hacés para saber cuándo un número es mayor que otro?
86 Actividad 0/10 1) El censo de población realizado en nuestro país en 2010, dio como resultado aproximadamente 40.100.000. Los chicos de 6° de una escuela dicen que ese número se puede escribir de muchas formas:  Juan lo escribió así: 40,1 millones  Ana así: 4d de millón, 1 c de mil  Sabrina : 4 x 10.000.000 + 1 x 100.000  Elías escribió : 40 u de millón, 100 u de mil  Pedro : 401 x 100.000 ¿Con quién o quiénes estás de acuerdo? ¿Por qué? 2) Claves para armar números Señalá el o los números que se forman con todas las claves  No tiene decena de millón  Es mayor que 1.300.000  El valor de posición o relativo de la cifra 2 es 2000 unidades  La cifra de la u de mil es mayor que la cifra de la u de millón 8.683.285 1.392.500 23.392.600 1.298.116 3.152.090 1.582.000 3) Para explicar Estas son las poblaciones de algunas provincias según el censo 2010. Chaco 1.053.466 Entre Ríos 1.236.300 Mendoza 1.741.610 Tucumán 1.448.200
87 Observá la recta numérica dibujada y respondé a) ¿Cuántas provincias ubicarías en el 1° intervalo? b) Juan dice que ubicaría a Mendoza entre 1,75 millones y 2 millones. ¿Estás de acuerdo? ¿Por qué? 4) Para registrar lo que aprendimos a) Varias expresiones y/o cálculos pueden expresar el mismo número. ¿Podrías dar algunos ejemplos con números de 7 u 8 cifras. b) ¿Cómo te das cuenta cuando un número es mayor que otro? 1.000.000 1.250.000 1.500.000 1.750.000 2.000.000 2.250.000
88 Cálculos mentales
89 NOCIONES DIDÁCTICAS: Cálculo mental y cálculo algorítmico El cálculo ha ocupado y ocupa un lugar importante en la escuela, su inclusión no es discutida. Pero surgen los siguientes interrogantes: ¿qué tipo de cálculo trabajamos? ¿Los algoritmos convencionales ya no deben enseñarse? ¿El cálculo mental debemos enseñarlo? A lo largo de este documento intentaremos responder a estos interrogantes. En primer lugar debemos tener claro a que nos referimos cuando hablamos de cálculo mental y algorítmico. Según Parra “cuando nos referimos a los cálculos mentales estamos tomando la idea de cálculos reflexionados.” Es decir que son aquellos que nos permiten tomar decisiones respecto de la descomposición de los números que intervienen en el cálculo y los cálculos parciales que debemos hacer. Además este tipo de cálculos no necesariamente deben ser orales, pueden ser escritos, ni tampoco ser resueltos con rapidez. Se caracterizan por la presencia de una diversidad de técnicas que se adaptan a los números en juego y a los conocimientos del sujeto que las despliega. El cálculo mental permite, a su vez, un trabajo sobre los números de manera descontextualizada ya que familiariza a los alumnos con una actividad matemática que también encuentra sentido en sí misma: hallar un procedimiento, confrontarlo con otros y analizar su validez. El cálculo algorítmico, en cambio, consiste en una serie de reglas aplicables en un orden determinado, siempre del mismo modo, independientemente de los datos que garantizan alcanzar el resultado buscado en un número finito de pasos. Las cuentas convencionales que se utilizan para resolver las operaciones constituyen procedimientos de este tipo: en ellas se recurre a una única técnica para una
90 operación dada, siempre la misma, independientemente de cuáles sean los números en juego. El hecho de que el cálculo mental se distinga del cálculo algorítmico no supone que se oponga a él. Todo cálculo algorítmico contempla momentos de apelación al cálculo mental y se enriquece con sus aportes, tanto para anticipar y controlar la magnitud del resultado como para comprender el sentido de los pasos del algoritmo convencional. Dentro de las estrategias de cálculo mental, también se espera que los alumnos desarrollen, basándose en los cálculos más sencillos, estrategias de estimación y de cálculo aproximado. El cálculo mental -incluyendo la construcción de procedimientos más personales y de repertorios de resultados memorizados – propone una ocasión privilegiada de hacer funcionar las propiedades de las operaciones en relación con las características del sistema de numeración posicional y decimal. Permite, una profundización en los conocimientos sobre las operaciones y sobre nuestro sistema de numeración.
91 LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA EN EL AULA A PROPÓSITO DEL CÁLCULO MENTAL Las decisiones a cargo del alumno que resuelve, los análisis que puede hacer mientras trabaja y las discusiones acerca de la validez de sus razonamientos con sus pares y con el docente van tejiendo una red de conocimientos que fundamentan el funcionamiento de los números y de las operaciones. Abrir el juego de la clase a la búsqueda de estrategias, a su explicitación y confrontación, a su circulación y difusión en momentos de intercambio permite a los alumnos –ayudados por el docente- identificar los conocimientos retener relativos a los números y a los cálculos. Al mismo tiempo, los niños participan en la construcción de criterios de validación de los procedimientos elaborados y de criterios de elección de procedimientos adecuados en función de la tarea. De este modo, a través de este tipo de práctica se está comunicando a la clase que se espera que las producciones sean validadas y que puede haber varios modos de hacerlo, que hay razones que hacen a la corrección o incorrección de las resoluciones, que hay criterios para la selección de formas de resolver más o menos adaptadas en función de las situaciones particulares y que no se trata de hechos azarosos. Estos aspectos podrán ser objeto de reflexión en la clase para que los alumnos puedan identificarlos. Se apunta a posicionar a los alumnos desde cierta actitud intelectual frente a los problemas para que se animen a abordar la tarea con los conocimientos disponibles, a explorar, buscar por diferentes vías, equivocarse, comunicar a otros, analizar la validez de procedimientos, etc. A veces se cree que este posicionamiento depende de aptitudes o voluntades particulares de los niños; desde nuestra perspectiva, constituye un aprendizaje que se logra con un tipo de práctica sostenida en el tiempo.
92 LA GESTIÓN DOCENTE EN LAS CLASES DE CÁLCULO MENTAL La enseñanza del cálculo se enmarca, pues, en el mismo “clima” de trabajo matemático que queremos instalar en las clases: búsquedas, reflexiones, discusiones, argumentaciones, producción y análisis de escrituras matemáticas e identificación de nuevos conocimientos. La intervención del docente es fundamental: hacer explicitar y comparar los procedimientos para llevar a los alumnos a analizarlos y explicarlos, constituyen condiciones esenciales para promover avances en los conocimientos producidos en este espacio. Si bien los avances en los recursos del cálculo mental resultan beneficiosos para todos, lo son, en particular, para aquellos alumnos que presentan mayor grado de dificultad porque les permiten acceder a estrategias que, a veces, otros niños elaboran por su cuenta, estrategias que los posicionan mejor ante las situaciones, ya sea porque les abren diferentes posibilidades de solución o porque les permiten realizar anticipaciones y un control sobre las soluciones más convencionales. EL USO DE LA CALCULADORA El uso de la calculadora resulta esencial. Se ha convertido en una herramienta de cálculo muy extendida en la sociedad, se sostiene que la formación matemática de los alumnos debe incluir el aprender a decidir cuando utilizarla, y para ello, su uso, en términos generales, debe estar plenamente autorizado. Otro uso de la calculadora sumamente relevante. Con frecuencia, las situaciones planteadas requieren usos particulares de este recurso que no necesariamente están en función de obtener un resultado. Es así como, en ciertas situaciones, la calculadora será una herramienta para explorar propiedades , para encontrar una regularidad, para validar un procedimiento. La calculadora es un
93 soporte sobre el cual proponer problemas y una dinámica de trabajo muy fructíferos, desde el punto de vista de los conocimientos que pone en escena. La reflexión sobre las actividades que se realizan permitirá ir construyendo tanto una actitud de control sobre la utilización de la calculadora como la elaboración de conocimientos que permitan hacer efectivo este control. Por esa razón, el trabajo con la calculadora no degrada ni reemplaza el tratamiento de los cálculos convencionales con lápiz y papel u otros cálculos mentales, sino que los enriquece. BIBLIOGRAFÍA - Claudia Broitman. Estrategias de cálculo con números naturales. Segundo ciclo primaria. Ed. Santillana. - Ponce, Sadosky, Cálculo mental con números naturales. Apuntes para la enseñanza.
94 Actividades de cálculo mental para 2° ciclo Las actividades planteadas no corresponden a un grado determinado, ni a la estructura del tipo de las secuencias que se han venido trabajando, el docente evaluará cuáles son aplicables a su grado y a su grupo teniendo en cuenta sus saberes previos. Las estrategias de Cálculo Mental se apoyan en propiedades de las operaciones y de los números. Vamos a dividirlas en:  Cálculo mental de adiciones y sustracciones.  Cálculo mental de multiplicaciones y divisiones.  Para enseñar a hacer cálculos estimativos.  Cálculos para el uso de calculadora. 1- Cálculo mental de adiciones y sustracciones a) Actividades para favorecer la construcción de un conjunto de resultados memorizados Se propone que en cada año se presente un conjunto de cálculos sencillos para que formen el repertorio que los niños utilizarán para resolver otros. Durante un tiempo los niños podrán consultar esos resultados confeccionando carteles con los resultados que se van obteniendo, para finalmente memorizarlos. Para favorecer esta memorización se podrán realizar actividades como las siguientes. Los docentes acordarán los alcances de cada tipo de actividades con sus pares de grado anterior y posterior.
95  Registrar sumas ya conocidas en grupos pequeños y luego completar la lista en forma colectiva. Sumas que dan 10 Sumas que dan 100 Sumas que dan 1000 Dobles Sumas de números “redondos” Sumas sencillas o muy usadas 6 + 4 30 +70 200 + 800 2 +2 = 4 100 + 20 = 120 150 + 150 = 300 30 + 30 = 60 300 + 50 = 350 75 + 25 = 100 300 + 300 = 600 400 + 20 +3 = 423 125 + 125 = 250  Registrar restas ya conocidas en grupos pequeños y luego completar la lista en forma colectiva. Restas de números chicos Restas que dan números “redondos” Restas fáciles Restas que sabemos por los dobles Restar 10 o 100 15 – 8 = 7 456 – 56 = 400 100 – 25 = 75 800 – 400 = 400 34 – 10 = 24 13 – 6 = 7 29 – 9 = 20 150 – 25 = 125 20 – 10 = 10 340 – 100 = 240 75 – 25 = 50 50 – 25 = 25 1456 – 100 = 1356
96 Sumas de números “redondos” (el docente elegirá un grupo de cálculos acorde a su grupo y a los saberes previos y avances que se esperan) 100 + 100 = 4 000 + 600 +30 + 6 = 100 000 + 600 + 1 = 1 000 + 1 000 = 8 000 + 400 +10 + 4 = 200 000 + 5 000 + 50 = 200 + 300 = 7 000 + 300 + 70 + 2 = 10 000 + 10 000 = 2 000 + 3 000 = 500 + 500 + 500 + 500 = 20 000 + 20 000 = 150 + 150 = 350 + 350 + 350 = 50 000 + 20 000 = 1 500 + 1 500 = 4 000 + 4 000 + 4 000 + 4 000 = 2 400 + 2 300 = 250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 3 300 + 2 700 = 30 000 + 4 000 + 500 + 70 + 4 = 2 000 + 300 + 50 + 2 = 20 000 + 5 000 + 600 + 30 + 2 = ¿Podrías explicar cuál es tu forma de resolver estos cálculos? Compartimos los procedimientos y analizamos en qué se parecen y en qué se diferencian Sumas y restas con algunos números “particulares” CONTENIDO Sumas y restas de 10, 100 y 1.000, a partir del análisis de las escrituras numéricas, relaciones entre la organización del sistema de numeración y los cálculos de sumas y restas.
97 Sumas y restas de números particulares (90, 900, 110, 80, 120, etc.) a partir de las sumas y restas de 10, 100 y 1.000 SUMAS Y RESTAS CON ALGUNOS NÚMEROS “PARTICULARES” 1) Calcula: a) 1.900 + 100 = b) 990 + 10 = c) 3.900 + 1.100 = d) 790 + 110 = 2) Cuando hayas encontrado los resultados, explica si hay alguna forma rápida de hacer estas sumas. 3) Busca un modo de obtener rápidamente el resultado de: a) 86 + 11 = b) 529 + 11 = c) 894 + 101 = d) 963 + 101 = e) 7.305 + 11 = f) 7.305 + 101 = g) 7.305 + 1.001 = 4) Busca una manera de conocer rápidamente el resultado de: a) 43 + 99 = b) 1.362 + 99 = c) 2.240 + 900 = d) 3.572 + 990 = e) 368 + 9 = f) 262 – 90 = g) 5.639 – 900 = h) 1.970 – 99 = 5) Busca una manera de saber rápidamente el resultado de: a) 26 + 59 = b) 108 + 79 = c) 463 + 41 = d) 579 + 21 = Escribí cómo hacés para : - Sumar rápido 90; 99; 900; 990; 999
98 - Sumar rápido 11; 101; 1001 - Restar rápido 90; 99; 900; 990; 999 Compará tu forma de resolver con la de tus compañeros y analizá en qué se parecen y en qué se diferencian. Sumas y restas con múltiplos de 25 Contenidos  Sistematización y práctica de sumas y restas con múltiplos de 25.  Utilización de sumas y restas conocidas que involucran múltiplos de 25. Se trata de identificar que: 25+25 = 50 50+ 50=100 50+25=75 A partir de los cálculos anteriores, establecer también que: 25 + 25 + 25 + 25 = 100 25 + 25 + 25 = 75 75 + 25 = 100 Se plantearán además restas asociadas a estos cálculos, por ejemplo: 100 – 25 = 75 75 – 25 = 50, etc.
99 SUMAS Y RESTAS CON MÚLTIPLOS DE 25 1) Suma mentalmente: 2) Resta mentalmente: 150 + 25 = 375 – 175 = 350 + 125 = 125 – 75 = 425 + 150 = 125 – 50 = 1.025 + 350 = 450 – 125 = 1.325 + 350 = 475 – 125 = 175 + 125 = 450 – 75 = 425 + 275 = 675 – 150 = 375 + 425 = 1.075 + 125 = 1.025 + 175 = Cálculo de distancias entre números CONTENIDOS Cálculo de complementos a unida des de mil o decenas de mil, a partir del análisis de las escrituras numéricas. Relaciones entre suma y resta. 1- ¿Cuánto hay que sumarle a … para obtener…?