SlideShare una empresa de Scribd logo
Matriz
DEFINICIÓN DE MATRIZY CLASIFICACIÓN
Una matriz de orden m x n a todo conjunto de m x n elementos aij
dispuestos en m líneas horizontales (llamadas filas) y en n líneas
verticales (llamadas columnas).
Se define a De la forma
Matriz fila: es aquella que solo tiene una fila, por ejemplo:
Matriz columna: es aquella que solo tiene una columna, , por ejemplo:
Matriz cuadrada: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas. En este caso diremos que la matriz es de orden
n, donde n es el número de filas y columnas.
Matriz rectangular: es aquella en que el número de filas es diferente al número de columnas, es decir, m≠n.
Matriz nula: que se denota por O y cuyos elementos son todos cero.
Matriz identidad: es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los restantes elementos
son nulos, por ejemplo:
Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Es
importante destacar que los elementos de la diagonal principal pueden tomar el valor que se desee, nulo o no.
Matriz escalar: es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales y el resto son nulos.
Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son
nulos.
Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son
nulos.
Matriz traspuesta: llamamos traspuesta de A, y se denota por At, a la matriz de orden nxm que se obtiene cambiando filas por
columnas en A, es decir, At = (bij) donde bij = aji. Obsérvese que dada cualquier matriz A se verifica que (At)t = A.
Matriz simétrica: es toda matriz cuadrada A = (aij) tal que aij = aji, es decir, si A = At . Por ejemplo;
Matriz antisimétrica: es toda matriz cuadrada A = (aij) tal que aij =-aji, es decir, si A = - At. Por ejemplo;
Su forma
Las propiedades de sus
elementos
Se
pueden
clasificar
según
Realizado por: Ing. Giovanna Tremont. Prof.(a) de la cátedra Algebra Lineal
OPERACIONES CON MATRICES
Suma de Matrices Dos matrices A = (aij) y B = (bij), del mismo orden mxn, se define la suma de A y B, y se denota A + B, como la matriz
(aij + bij)
Dadas
1. Propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C.
2. Propiedad conmutativa: A + B = B + A.
3. A + O = O + A = A.
4. (A + B)t = At + Bt.
Cumple con las siguientes
propiedades
Diferencia de Matrices
A;B;C son matrices cualesquiera del mismo orden y
O es la matriz nula de dicho orden
Donde
Dos matrices A, B del mismo orden llamamos diferencia de A y B, que escribimos A-B, a la suma de A con la matriz
opuesta de B, es decir A - B = A + (-B).
Dadas
Producto Escalar Una matriz A = (aij) por un número real k es la matriz (kaij), que denotamos kA, es decir, es la matriz del mismo orden
que A cuyos elementos se obtienen multiplicando los elementos de A por el número k
El producto de
1. k(A + B) = kA + kB.
2. (k + h)A = kA + hA.
3. k(hA) = (kh)A.
4. 1.A = A.
5. (k.A)t = k.At.
A y B son matrices cualesquiera del mismo orden y
h; k son números reales.
Donde
Cumple con las siguientes
propiedades
Producto de Matrices El número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz
Se realiza si
Dadas dos matrices A = (aij) de orden mxn y B = (bij) de orden nxp, la matriz A.B = (cij) es una nueva matriz de orden
mxp, donde el término cij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de A por la columna j de B
Se define como
1. Si A;B;C son matrices tales que A:B y B:C esta definidas, entonces A.(B.C) y (A.B).C también están definidas y A.(B.C) =
(A.B).C.
2. Si A;B;C son matrices tales que A.B y B + C están definidas, entonces A.(B + C) y A.B + A.C también están definidas y
A.(B + C) = A.B + A.C.
3. Si A;B;C son matrices tales que A + B y A.C están definidas, entonces (A + B).C y A.C + B.C también están definidas y (A
+ B).C = A.C + B.C.
4. Si A;B son matrices tales que A.B está definida, entonces Bt.At también está definida y(A.B)t = Bt.At.
5. Si A es una matriz cuadrada de orden n e In es la matriz identidad de orden n entonces A.In = In.A = A.
Cumple con las siguientes
propiedades
1.La propiedad conmutativa
2.Si A.B = A.C, no podemos
deducir que B = C
3.Si A.B = 0, no tiene por
qué ocurrir que A o B sean
iguales a la matriz nula
No
verifica
Realizado por: Ing. Giovanna Tremont. Prof.(a) de la cátedra Algebra Lineal
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ecuación Define como la igualdad que se satisface para determinados valores de la variable. Esta compuesta por variables, coeficientes, signos y el
símbolo de la igualdad.
Ecuación Lineal Aquella que presenta la forma ax + b = 0 con a ≠ 0 . Observese que el exponente de la incognita es 1 y graficamente su
representación es una linea recta.
Sistema de Ecuaciones Lineales
Un conjunto finito de ecuaciones lineales de la forma: cuya solución
s1,s2,…,sn al sustituirse por las variables x1,x2,…,xn satisfacen todas y cada una de las igualdades
presentes en el sistema.
Solución Única (es decir, el sistema es
compatible determinado), es cuando para
cada incógnita del sistema se obtiene un
único valor numérico.
Infinitas soluciones (es decir, el
sistema es compatible indeterminado), es
cuando para cada incógnita del sistema se
obtiene mas de un valor numérico.
No tener solución (es decir, el sistema
es incompatible), es cuando para cada
incógnita del sistema no se obtienen
resultados que satisfagan por igual a todas
las igualdades.
Realizado por: Ing. Giovanna Tremont. Prof.(a) de la cátedra Algebra Lineal
Se
Es
Es
Gráficamente
se representa
Gráficamente
se representa
Gráficamente
se representa
Puede
tener
RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistema de Ecuaciones Lineales
Matriz de coeficientes, donde los elementos que conforman a la matriz son los coeficientes que
acompañan a las variables en el sistema .
Realizado por: Ing. Giovanna Tremont. Prof.(a) de la cátedra Algebra Lineal
Matriz Ampliada del sistema, la cual es la matriz de coeficiente pero se le anexa una columna
con los términos independientes del sistema o bien una matriz identidad del mismo orden que la
matriz de coeficientes.
A.X = B ; donde A representa la matriz de coeficientes, X la matriz de variables y B la matriz de
términos independientes.
Se representa en forma de
Método de Gauss: Consiste en transformar un SEL en forma de matriz ampliada a la forma de
matriz escalonada mediante operaciones elementales entre filas, para luego obtener la solución del
SEL mediante la sustitución en reversa. Se aplica a matrices de cualquier orden.
Método de Gauss-Jordan: Consiste en transformar un SEL en forma de matriz ampliada a la
forma de matriz escalonada reducida, es decir, obtener la matriz identidad mediante operaciones
elementales entre filas, dando la solución del SEL en forma directa. Se aplica a matrices cuadradas.
Regla de Cramer: Se aplica a SEL que poseen solución única. (este tópico será estudiado a
posteriori, requiere de conocimientos para el calculo de determinantes)
Se resuelve mediante
Operaciones elementales
Aquellas que pueden realizarse entre filas y permiten que las matrices resultantes sean equivalentes a
la matriz inicial . Son conocidas como permutación, multiplicación por un escalar y pivotación
Son
1. La permutación de la i-ésima ecuación por la ecuación j-ésima como Fi ↔ Fj ,
2. La multiplicación de la i-ésima ecuación por el escalar no nulo α como αFi,
3. La pivotación de la i-ésima ecuación mediante el escalar α y la j-esima ecuación por Fi+αFj.
Que se realizan son

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Capitulo 4
Capitulo 4Capitulo 4
Matrices y determinantes
Matrices y determinantes Matrices y determinantes
Matrices y determinantes
Yoselyn caripa
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
froilanaldama
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
HUGO VASQUEZ
 
Matrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantesMatrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantes
roberth rivas manay
 
Matrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantesMatrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantes
patito35
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
joselosoriano
 
Fundamentos matrices y determinantes
Fundamentos matrices y determinantes     Fundamentos matrices y determinantes
Fundamentos matrices y determinantes
ReybertS
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
ujgh
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
Guille Gallegos
 
Investigacion unidad 2
Investigacion unidad 2Investigacion unidad 2
Investigacion unidad 2
Angélica Jiménez
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
washingtonna
 
Algebra y-geometria
Algebra y-geometriaAlgebra y-geometria
Algebra y-geometria
UlissesRomero1
 
Teoria De Matrices Y Determinantes
Teoria De Matrices Y DeterminantesTeoria De Matrices Y Determinantes
Teoria De Matrices Y Determinantes
Fco Alejandro
 
Matrices matemáticas
Matrices matemáticasMatrices matemáticas
Matrices matemáticas
katherinvalla
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
Alejandro Machado Colina
 
Matrices matemáticas
Matrices matemáticasMatrices matemáticas
Matrices matemáticas
Walter Gadvay
 
Matrices matemáticas
Matrices matemáticasMatrices matemáticas
Matrices matemáticas
waltergadvay1992
 

La actualidad más candente (18)

Capitulo 4
Capitulo 4Capitulo 4
Capitulo 4
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantes Matrices y determinantes
Matrices y determinantes
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
 
Matrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantesMatrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantes
 
Matrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantesMatrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantes
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
 
Fundamentos matrices y determinantes
Fundamentos matrices y determinantes     Fundamentos matrices y determinantes
Fundamentos matrices y determinantes
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
 
Investigacion unidad 2
Investigacion unidad 2Investigacion unidad 2
Investigacion unidad 2
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
 
Algebra y-geometria
Algebra y-geometriaAlgebra y-geometria
Algebra y-geometria
 
Teoria De Matrices Y Determinantes
Teoria De Matrices Y DeterminantesTeoria De Matrices Y Determinantes
Teoria De Matrices Y Determinantes
 
Matrices matemáticas
Matrices matemáticasMatrices matemáticas
Matrices matemáticas
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
 
Matrices matemáticas
Matrices matemáticasMatrices matemáticas
Matrices matemáticas
 
Matrices matemáticas
Matrices matemáticasMatrices matemáticas
Matrices matemáticas
 

Similar a Matrices

Matematica ii
Matematica iiMatematica ii
Matrices pdf
Matrices pdfMatrices pdf
Matrices pdf
DUBAN CASTRO
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
HUGO VASQUEZ
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
Maythe18_Flores
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
galactico69
 
matrices determinanates y sistema de ecuaciones lineales
matrices determinanates y sistema de ecuaciones linealesmatrices determinanates y sistema de ecuaciones lineales
matrices determinanates y sistema de ecuaciones lineales
Hanz Seymour
 
Curso cero de matemáticas autor Mónica Cortés Molina, Fernando García Alonso,...
Curso cero de matemáticas autor Mónica Cortés Molina, Fernando García Alonso,...Curso cero de matemáticas autor Mónica Cortés Molina, Fernando García Alonso,...
Curso cero de matemáticas autor Mónica Cortés Molina, Fernando García Alonso,...
RosaLuciaBazanCandue
 
Matrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantesMatrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantes
Vladimir Viera
 
Matrices y Determinantes
Matrices y DeterminantesMatrices y Determinantes
Matrices y Determinantes
Victor Hugo Choque Barrero
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
Cristiprui
 
Matrices
MatricesMatrices
Metodos numericos3
Metodos numericos3Metodos numericos3
Metodos numericos3
monica
 
Metodos numericos3
Metodos numericos3Metodos numericos3
Metodos numericos3
monica
 
Metodos numericos3
Metodos numericos3Metodos numericos3
Metodos numericos3
monica
 
Matrices_y_determinantes REGLA DE CRAMER.pptx
Matrices_y_determinantes  REGLA DE CRAMER.pptxMatrices_y_determinantes  REGLA DE CRAMER.pptx
Matrices_y_determinantes REGLA DE CRAMER.pptx
BaquedanoMarbaro
 
Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)
Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)
Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)
diego_suarez
 
Trabajo Practico
Trabajo Practico Trabajo Practico
Trabajo Practico
diego_suarez
 
Unidad 2 matrices
Unidad 2 matricesUnidad 2 matrices
Unidad 2 matrices
joder
 
Unidad 2 matrices
Unidad 2 matricesUnidad 2 matrices
Unidad 2 matrices
joder
 
Matrices
MatricesMatrices

Similar a Matrices (20)

Matematica ii
Matematica iiMatematica ii
Matematica ii
 
Matrices pdf
Matrices pdfMatrices pdf
Matrices pdf
 
Matrices y determinantes
Matrices y determinantesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
 
matrices determinanates y sistema de ecuaciones lineales
matrices determinanates y sistema de ecuaciones linealesmatrices determinanates y sistema de ecuaciones lineales
matrices determinanates y sistema de ecuaciones lineales
 
Curso cero de matemáticas autor Mónica Cortés Molina, Fernando García Alonso,...
Curso cero de matemáticas autor Mónica Cortés Molina, Fernando García Alonso,...Curso cero de matemáticas autor Mónica Cortés Molina, Fernando García Alonso,...
Curso cero de matemáticas autor Mónica Cortés Molina, Fernando García Alonso,...
 
Matrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantesMatrices+y+determinantes
Matrices+y+determinantes
 
Matrices y Determinantes
Matrices y DeterminantesMatrices y Determinantes
Matrices y Determinantes
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
 
Metodos numericos3
Metodos numericos3Metodos numericos3
Metodos numericos3
 
Metodos numericos3
Metodos numericos3Metodos numericos3
Metodos numericos3
 
Metodos numericos3
Metodos numericos3Metodos numericos3
Metodos numericos3
 
Matrices_y_determinantes REGLA DE CRAMER.pptx
Matrices_y_determinantes  REGLA DE CRAMER.pptxMatrices_y_determinantes  REGLA DE CRAMER.pptx
Matrices_y_determinantes REGLA DE CRAMER.pptx
 
Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)
Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)
Trabajo Teórico Practico 1 (Algebra Lineal)
 
Trabajo Practico
Trabajo Practico Trabajo Practico
Trabajo Practico
 
Unidad 2 matrices
Unidad 2 matricesUnidad 2 matrices
Unidad 2 matrices
 
Unidad 2 matrices
Unidad 2 matricesUnidad 2 matrices
Unidad 2 matrices
 
Matrices
MatricesMatrices
Matrices
 

Más de SistemadeEstudiosMed

Metodologia Aprendizaje Multicanal - ADI22.pdf
Metodologia Aprendizaje Multicanal - ADI22.pdfMetodologia Aprendizaje Multicanal - ADI22.pdf
Metodologia Aprendizaje Multicanal - ADI22.pdf
SistemadeEstudiosMed
 
DE-04-COMPRESORES-2022.pdf
DE-04-COMPRESORES-2022.pdfDE-04-COMPRESORES-2022.pdf
DE-04-COMPRESORES-2022.pdf
SistemadeEstudiosMed
 
DE-03-BOMBAS Y SISTEMAS DE BOMBEO-2022.pdf
DE-03-BOMBAS Y SISTEMAS DE BOMBEO-2022.pdfDE-03-BOMBAS Y SISTEMAS DE BOMBEO-2022.pdf
DE-03-BOMBAS Y SISTEMAS DE BOMBEO-2022.pdf
SistemadeEstudiosMed
 
DE-02-FLUJO DE FLUIDOS-2022.pdf
DE-02-FLUJO DE FLUIDOS-2022.pdfDE-02-FLUJO DE FLUIDOS-2022.pdf
DE-02-FLUJO DE FLUIDOS-2022.pdf
SistemadeEstudiosMed
 
DE-01-INTRODUCCION-2022.pdf
DE-01-INTRODUCCION-2022.pdfDE-01-INTRODUCCION-2022.pdf
DE-01-INTRODUCCION-2022.pdf
SistemadeEstudiosMed
 
Clase 3 Correlación.ppt
Clase 3 Correlación.pptClase 3 Correlación.ppt
Clase 3 Correlación.ppt
SistemadeEstudiosMed
 
Clase 2 Medidas Estadisticas.ppt
Clase 2 Medidas Estadisticas.pptClase 2 Medidas Estadisticas.ppt
Clase 2 Medidas Estadisticas.ppt
SistemadeEstudiosMed
 
Clase 1 Estadistica Generalidades.pptx
Clase 1 Estadistica Generalidades.pptxClase 1 Estadistica Generalidades.pptx
Clase 1 Estadistica Generalidades.pptx
SistemadeEstudiosMed
 
nociones básicas de la comunicación.pdf
nociones básicas de la comunicación.pdfnociones básicas de la comunicación.pdf
nociones básicas de la comunicación.pdf
SistemadeEstudiosMed
 
¿Cómo elaborar un Mapa Mental?
¿Cómo  elaborar un  Mapa Mental?¿Cómo  elaborar un  Mapa Mental?
¿Cómo elaborar un Mapa Mental?
SistemadeEstudiosMed
 
Unidad 1 Planificación Docente
Unidad 1 Planificación Docente Unidad 1 Planificación Docente
Unidad 1 Planificación Docente
SistemadeEstudiosMed
 
hablemos_pp2_inf.pptx
hablemos_pp2_inf.pptxhablemos_pp2_inf.pptx
hablemos_pp2_inf.pptx
SistemadeEstudiosMed
 
UNIDAD 3 FASE METODOLOGICA.pptx
UNIDAD 3 FASE METODOLOGICA.pptxUNIDAD 3 FASE METODOLOGICA.pptx
UNIDAD 3 FASE METODOLOGICA.pptx
SistemadeEstudiosMed
 
UNIDAD 2 FASE PLANTEAMIENTO ANTECEDENTES Y BASES TEORICAS.ppt
UNIDAD 2 FASE PLANTEAMIENTO ANTECEDENTES Y BASES TEORICAS.pptUNIDAD 2 FASE PLANTEAMIENTO ANTECEDENTES Y BASES TEORICAS.ppt
UNIDAD 2 FASE PLANTEAMIENTO ANTECEDENTES Y BASES TEORICAS.ppt
SistemadeEstudiosMed
 
Unidad I SEMINARIO DE INVESTIGACION DE TRABAJO DE GRADO.ppt
Unidad I SEMINARIO DE INVESTIGACION DE TRABAJO DE GRADO.pptUnidad I SEMINARIO DE INVESTIGACION DE TRABAJO DE GRADO.ppt
Unidad I SEMINARIO DE INVESTIGACION DE TRABAJO DE GRADO.ppt
SistemadeEstudiosMed
 
Lineamientos_Trabajos de Grado_UNEFM-nov-2009.pdf
Lineamientos_Trabajos de Grado_UNEFM-nov-2009.pdfLineamientos_Trabajos de Grado_UNEFM-nov-2009.pdf
Lineamientos_Trabajos de Grado_UNEFM-nov-2009.pdf
SistemadeEstudiosMed
 
unidad quirurgica.pdf
unidad quirurgica.pdfunidad quirurgica.pdf
unidad quirurgica.pdf
SistemadeEstudiosMed
 
Cuidados preoperatorios.pdf
Cuidados preoperatorios.pdfCuidados preoperatorios.pdf
Cuidados preoperatorios.pdf
SistemadeEstudiosMed
 
Cirugía..pdf
Cirugía..pdfCirugía..pdf
Cirugía..pdf
SistemadeEstudiosMed
 
Cirugía Ambulatoria2.pdf
Cirugía Ambulatoria2.pdfCirugía Ambulatoria2.pdf
Cirugía Ambulatoria2.pdf
SistemadeEstudiosMed
 

Más de SistemadeEstudiosMed (20)

Metodologia Aprendizaje Multicanal - ADI22.pdf
Metodologia Aprendizaje Multicanal - ADI22.pdfMetodologia Aprendizaje Multicanal - ADI22.pdf
Metodologia Aprendizaje Multicanal - ADI22.pdf
 
DE-04-COMPRESORES-2022.pdf
DE-04-COMPRESORES-2022.pdfDE-04-COMPRESORES-2022.pdf
DE-04-COMPRESORES-2022.pdf
 
DE-03-BOMBAS Y SISTEMAS DE BOMBEO-2022.pdf
DE-03-BOMBAS Y SISTEMAS DE BOMBEO-2022.pdfDE-03-BOMBAS Y SISTEMAS DE BOMBEO-2022.pdf
DE-03-BOMBAS Y SISTEMAS DE BOMBEO-2022.pdf
 
DE-02-FLUJO DE FLUIDOS-2022.pdf
DE-02-FLUJO DE FLUIDOS-2022.pdfDE-02-FLUJO DE FLUIDOS-2022.pdf
DE-02-FLUJO DE FLUIDOS-2022.pdf
 
DE-01-INTRODUCCION-2022.pdf
DE-01-INTRODUCCION-2022.pdfDE-01-INTRODUCCION-2022.pdf
DE-01-INTRODUCCION-2022.pdf
 
Clase 3 Correlación.ppt
Clase 3 Correlación.pptClase 3 Correlación.ppt
Clase 3 Correlación.ppt
 
Clase 2 Medidas Estadisticas.ppt
Clase 2 Medidas Estadisticas.pptClase 2 Medidas Estadisticas.ppt
Clase 2 Medidas Estadisticas.ppt
 
Clase 1 Estadistica Generalidades.pptx
Clase 1 Estadistica Generalidades.pptxClase 1 Estadistica Generalidades.pptx
Clase 1 Estadistica Generalidades.pptx
 
nociones básicas de la comunicación.pdf
nociones básicas de la comunicación.pdfnociones básicas de la comunicación.pdf
nociones básicas de la comunicación.pdf
 
¿Cómo elaborar un Mapa Mental?
¿Cómo  elaborar un  Mapa Mental?¿Cómo  elaborar un  Mapa Mental?
¿Cómo elaborar un Mapa Mental?
 
Unidad 1 Planificación Docente
Unidad 1 Planificación Docente Unidad 1 Planificación Docente
Unidad 1 Planificación Docente
 
hablemos_pp2_inf.pptx
hablemos_pp2_inf.pptxhablemos_pp2_inf.pptx
hablemos_pp2_inf.pptx
 
UNIDAD 3 FASE METODOLOGICA.pptx
UNIDAD 3 FASE METODOLOGICA.pptxUNIDAD 3 FASE METODOLOGICA.pptx
UNIDAD 3 FASE METODOLOGICA.pptx
 
UNIDAD 2 FASE PLANTEAMIENTO ANTECEDENTES Y BASES TEORICAS.ppt
UNIDAD 2 FASE PLANTEAMIENTO ANTECEDENTES Y BASES TEORICAS.pptUNIDAD 2 FASE PLANTEAMIENTO ANTECEDENTES Y BASES TEORICAS.ppt
UNIDAD 2 FASE PLANTEAMIENTO ANTECEDENTES Y BASES TEORICAS.ppt
 
Unidad I SEMINARIO DE INVESTIGACION DE TRABAJO DE GRADO.ppt
Unidad I SEMINARIO DE INVESTIGACION DE TRABAJO DE GRADO.pptUnidad I SEMINARIO DE INVESTIGACION DE TRABAJO DE GRADO.ppt
Unidad I SEMINARIO DE INVESTIGACION DE TRABAJO DE GRADO.ppt
 
Lineamientos_Trabajos de Grado_UNEFM-nov-2009.pdf
Lineamientos_Trabajos de Grado_UNEFM-nov-2009.pdfLineamientos_Trabajos de Grado_UNEFM-nov-2009.pdf
Lineamientos_Trabajos de Grado_UNEFM-nov-2009.pdf
 
unidad quirurgica.pdf
unidad quirurgica.pdfunidad quirurgica.pdf
unidad quirurgica.pdf
 
Cuidados preoperatorios.pdf
Cuidados preoperatorios.pdfCuidados preoperatorios.pdf
Cuidados preoperatorios.pdf
 
Cirugía..pdf
Cirugía..pdfCirugía..pdf
Cirugía..pdf
 
Cirugía Ambulatoria2.pdf
Cirugía Ambulatoria2.pdfCirugía Ambulatoria2.pdf
Cirugía Ambulatoria2.pdf
 

Último

Tipos de organigramas de una empresa.pdf
Tipos de organigramas de una empresa.pdfTipos de organigramas de una empresa.pdf
Tipos de organigramas de una empresa.pdf
jhonleon55
 
BBW Girls Call Noida 9873940964 Provide Best And Top Girl Service And No1 in ...
BBW Girls Call Noida 9873940964 Provide Best And Top Girl Service And No1 in ...BBW Girls Call Noida 9873940964 Provide Best And Top Girl Service And No1 in ...
BBW Girls Call Noida 9873940964 Provide Best And Top Girl Service And No1 in ...
AK47
 
bosque relicto altoandino ecosistemas del peru
bosque relicto altoandino ecosistemas del perubosque relicto altoandino ecosistemas del peru
bosque relicto altoandino ecosistemas del peru
CristhianAguirre15
 
Metodo_de_Evaluacion_de_Pavimentos_PCI_P.pdf
Metodo_de_Evaluacion_de_Pavimentos_PCI_P.pdfMetodo_de_Evaluacion_de_Pavimentos_PCI_P.pdf
Metodo_de_Evaluacion_de_Pavimentos_PCI_P.pdf
renzovalverdet
 
SUBLEVEL CAVING ROBOCON SERVICIOS SAC.pptx
SUBLEVEL CAVING ROBOCON SERVICIOS SAC.pptxSUBLEVEL CAVING ROBOCON SERVICIOS SAC.pptx
SUBLEVEL CAVING ROBOCON SERVICIOS SAC.pptx
JuanCarlosHuaccePrad
 
ALGAE TORCH INFORMEcon datos de los rios.pdf
ALGAE TORCH INFORMEcon datos de los rios.pdfALGAE TORCH INFORMEcon datos de los rios.pdf
ALGAE TORCH INFORMEcon datos de los rios.pdf
marlonA4
 
Manual de matemáticas para mecanica industrial
Manual de matemáticas para mecanica industrialManual de matemáticas para mecanica industrial
Manual de matemáticas para mecanica industrial
JESUSENAMORADO6
 
ELECTROFORESIS DE ADN (POLYQUETOS Y BACTERIAS).pdf
ELECTROFORESIS DE ADN (POLYQUETOS Y BACTERIAS).pdfELECTROFORESIS DE ADN (POLYQUETOS Y BACTERIAS).pdf
ELECTROFORESIS DE ADN (POLYQUETOS Y BACTERIAS).pdf
ANGGELA ESCOBAR
 
Ejemplos de selección de turbinas en maquinas termicas
Ejemplos de selección de turbinas en maquinas termicasEjemplos de selección de turbinas en maquinas termicas
Ejemplos de selección de turbinas en maquinas termicas
CONSORCIO DELTA - HOSPITAL REGIONAL LAMBAYEQUE
 
PROPIEDADES FÍSICAS Y QUÍMICAS ALDEHÍDOS Y CETONAS.pptx
PROPIEDADES FÍSICAS Y QUÍMICAS ALDEHÍDOS Y CETONAS.pptxPROPIEDADES FÍSICAS Y QUÍMICAS ALDEHÍDOS Y CETONAS.pptx
PROPIEDADES FÍSICAS Y QUÍMICAS ALDEHÍDOS Y CETONAS.pptx
SimonGarragateNavarr
 
Electrotecnia: Introducción a Circuitos magneticos.pdf
Electrotecnia: Introducción a Circuitos magneticos.pdfElectrotecnia: Introducción a Circuitos magneticos.pdf
Electrotecnia: Introducción a Circuitos magneticos.pdf
adrian01jms
 
Aneurisma aorta abdominal. Reparación endovascular
Aneurisma aorta abdominal. Reparación endovascularAneurisma aorta abdominal. Reparación endovascular
Aneurisma aorta abdominal. Reparación endovascular
EduUrciaDiaz
 
Teorema de divergencia de Gauss SEMANA 17 SESION 2.pdf
Teorema de divergencia de Gauss SEMANA 17 SESION 2.pdfTeorema de divergencia de Gauss SEMANA 17 SESION 2.pdf
Teorema de divergencia de Gauss SEMANA 17 SESION 2.pdf
ssuserc3ef96
 
INFORME DE VARIACION DE COSTOS DE LA INSTITUCION EDUCATIVA
INFORME DE VARIACION DE COSTOS DE LA INSTITUCION EDUCATIVAINFORME DE VARIACION DE COSTOS DE LA INSTITUCION EDUCATIVA
INFORME DE VARIACION DE COSTOS DE LA INSTITUCION EDUCATIVA
erickhuatucolizano
 
10 Momentos de inercia, para secciones de
10 Momentos de inercia, para secciones de10 Momentos de inercia, para secciones de
10 Momentos de inercia, para secciones de
PieroGuerrero3
 
Estudio de suelos para la construcción de un hospital de primer nivel..pdf
Estudio de suelos para la  construcción de un hospital de primer nivel..pdfEstudio de suelos para la  construcción de un hospital de primer nivel..pdf
Estudio de suelos para la construcción de un hospital de primer nivel..pdf
JACKSON DANIEL MOSQUERA PEREA
 
CONTIENE UNA PRESENTACION PARA CONOCIMIENTO DE LOS TANQUE EVAPORIMETRO
CONTIENE UNA PRESENTACION PARA CONOCIMIENTO DE LOS TANQUE EVAPORIMETROCONTIENE UNA PRESENTACION PARA CONOCIMIENTO DE LOS TANQUE EVAPORIMETRO
CONTIENE UNA PRESENTACION PARA CONOCIMIENTO DE LOS TANQUE EVAPORIMETRO
OSMARANCO
 
Modelos de dispersión y distribución de contaminantes en el ambiente.pdf
Modelos de dispersión y distribución de contaminantes en el ambiente.pdfModelos de dispersión y distribución de contaminantes en el ambiente.pdf
Modelos de dispersión y distribución de contaminantes en el ambiente.pdf
arbuenolazo
 
Operaciones con funciones y composicion de funciones.pdf
Operaciones con funciones y composicion de funciones.pdfOperaciones con funciones y composicion de funciones.pdf
Operaciones con funciones y composicion de funciones.pdf
ArturoBecerril7
 
Arquitecto Colina - Chacabuco - Los Andes
Arquitecto Colina - Chacabuco - Los AndesArquitecto Colina - Chacabuco - Los Andes
Arquitecto Colina - Chacabuco - Los Andes
Juan Luis Menares, Arquitecto
 

Último (20)

Tipos de organigramas de una empresa.pdf
Tipos de organigramas de una empresa.pdfTipos de organigramas de una empresa.pdf
Tipos de organigramas de una empresa.pdf
 
BBW Girls Call Noida 9873940964 Provide Best And Top Girl Service And No1 in ...
BBW Girls Call Noida 9873940964 Provide Best And Top Girl Service And No1 in ...BBW Girls Call Noida 9873940964 Provide Best And Top Girl Service And No1 in ...
BBW Girls Call Noida 9873940964 Provide Best And Top Girl Service And No1 in ...
 
bosque relicto altoandino ecosistemas del peru
bosque relicto altoandino ecosistemas del perubosque relicto altoandino ecosistemas del peru
bosque relicto altoandino ecosistemas del peru
 
Metodo_de_Evaluacion_de_Pavimentos_PCI_P.pdf
Metodo_de_Evaluacion_de_Pavimentos_PCI_P.pdfMetodo_de_Evaluacion_de_Pavimentos_PCI_P.pdf
Metodo_de_Evaluacion_de_Pavimentos_PCI_P.pdf
 
SUBLEVEL CAVING ROBOCON SERVICIOS SAC.pptx
SUBLEVEL CAVING ROBOCON SERVICIOS SAC.pptxSUBLEVEL CAVING ROBOCON SERVICIOS SAC.pptx
SUBLEVEL CAVING ROBOCON SERVICIOS SAC.pptx
 
ALGAE TORCH INFORMEcon datos de los rios.pdf
ALGAE TORCH INFORMEcon datos de los rios.pdfALGAE TORCH INFORMEcon datos de los rios.pdf
ALGAE TORCH INFORMEcon datos de los rios.pdf
 
Manual de matemáticas para mecanica industrial
Manual de matemáticas para mecanica industrialManual de matemáticas para mecanica industrial
Manual de matemáticas para mecanica industrial
 
ELECTROFORESIS DE ADN (POLYQUETOS Y BACTERIAS).pdf
ELECTROFORESIS DE ADN (POLYQUETOS Y BACTERIAS).pdfELECTROFORESIS DE ADN (POLYQUETOS Y BACTERIAS).pdf
ELECTROFORESIS DE ADN (POLYQUETOS Y BACTERIAS).pdf
 
Ejemplos de selección de turbinas en maquinas termicas
Ejemplos de selección de turbinas en maquinas termicasEjemplos de selección de turbinas en maquinas termicas
Ejemplos de selección de turbinas en maquinas termicas
 
PROPIEDADES FÍSICAS Y QUÍMICAS ALDEHÍDOS Y CETONAS.pptx
PROPIEDADES FÍSICAS Y QUÍMICAS ALDEHÍDOS Y CETONAS.pptxPROPIEDADES FÍSICAS Y QUÍMICAS ALDEHÍDOS Y CETONAS.pptx
PROPIEDADES FÍSICAS Y QUÍMICAS ALDEHÍDOS Y CETONAS.pptx
 
Electrotecnia: Introducción a Circuitos magneticos.pdf
Electrotecnia: Introducción a Circuitos magneticos.pdfElectrotecnia: Introducción a Circuitos magneticos.pdf
Electrotecnia: Introducción a Circuitos magneticos.pdf
 
Aneurisma aorta abdominal. Reparación endovascular
Aneurisma aorta abdominal. Reparación endovascularAneurisma aorta abdominal. Reparación endovascular
Aneurisma aorta abdominal. Reparación endovascular
 
Teorema de divergencia de Gauss SEMANA 17 SESION 2.pdf
Teorema de divergencia de Gauss SEMANA 17 SESION 2.pdfTeorema de divergencia de Gauss SEMANA 17 SESION 2.pdf
Teorema de divergencia de Gauss SEMANA 17 SESION 2.pdf
 
INFORME DE VARIACION DE COSTOS DE LA INSTITUCION EDUCATIVA
INFORME DE VARIACION DE COSTOS DE LA INSTITUCION EDUCATIVAINFORME DE VARIACION DE COSTOS DE LA INSTITUCION EDUCATIVA
INFORME DE VARIACION DE COSTOS DE LA INSTITUCION EDUCATIVA
 
10 Momentos de inercia, para secciones de
10 Momentos de inercia, para secciones de10 Momentos de inercia, para secciones de
10 Momentos de inercia, para secciones de
 
Estudio de suelos para la construcción de un hospital de primer nivel..pdf
Estudio de suelos para la  construcción de un hospital de primer nivel..pdfEstudio de suelos para la  construcción de un hospital de primer nivel..pdf
Estudio de suelos para la construcción de un hospital de primer nivel..pdf
 
CONTIENE UNA PRESENTACION PARA CONOCIMIENTO DE LOS TANQUE EVAPORIMETRO
CONTIENE UNA PRESENTACION PARA CONOCIMIENTO DE LOS TANQUE EVAPORIMETROCONTIENE UNA PRESENTACION PARA CONOCIMIENTO DE LOS TANQUE EVAPORIMETRO
CONTIENE UNA PRESENTACION PARA CONOCIMIENTO DE LOS TANQUE EVAPORIMETRO
 
Modelos de dispersión y distribución de contaminantes en el ambiente.pdf
Modelos de dispersión y distribución de contaminantes en el ambiente.pdfModelos de dispersión y distribución de contaminantes en el ambiente.pdf
Modelos de dispersión y distribución de contaminantes en el ambiente.pdf
 
Operaciones con funciones y composicion de funciones.pdf
Operaciones con funciones y composicion de funciones.pdfOperaciones con funciones y composicion de funciones.pdf
Operaciones con funciones y composicion de funciones.pdf
 
Arquitecto Colina - Chacabuco - Los Andes
Arquitecto Colina - Chacabuco - Los AndesArquitecto Colina - Chacabuco - Los Andes
Arquitecto Colina - Chacabuco - Los Andes
 

Matrices

  • 1. Matriz DEFINICIÓN DE MATRIZY CLASIFICACIÓN Una matriz de orden m x n a todo conjunto de m x n elementos aij dispuestos en m líneas horizontales (llamadas filas) y en n líneas verticales (llamadas columnas). Se define a De la forma Matriz fila: es aquella que solo tiene una fila, por ejemplo: Matriz columna: es aquella que solo tiene una columna, , por ejemplo: Matriz cuadrada: es aquella que tiene igual número de filas que de columnas. En este caso diremos que la matriz es de orden n, donde n es el número de filas y columnas. Matriz rectangular: es aquella en que el número de filas es diferente al número de columnas, es decir, m≠n. Matriz nula: que se denota por O y cuyos elementos son todos cero. Matriz identidad: es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a uno y los restantes elementos son nulos, por ejemplo: Matriz diagonal: es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Es importante destacar que los elementos de la diagonal principal pueden tomar el valor que se desee, nulo o no. Matriz escalar: es una matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son todos iguales y el resto son nulos. Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos. Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos por encima de la diagonal principal son nulos. Matriz traspuesta: llamamos traspuesta de A, y se denota por At, a la matriz de orden nxm que se obtiene cambiando filas por columnas en A, es decir, At = (bij) donde bij = aji. Obsérvese que dada cualquier matriz A se verifica que (At)t = A. Matriz simétrica: es toda matriz cuadrada A = (aij) tal que aij = aji, es decir, si A = At . Por ejemplo; Matriz antisimétrica: es toda matriz cuadrada A = (aij) tal que aij =-aji, es decir, si A = - At. Por ejemplo; Su forma Las propiedades de sus elementos Se pueden clasificar según Realizado por: Ing. Giovanna Tremont. Prof.(a) de la cátedra Algebra Lineal
  • 2. OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices Dos matrices A = (aij) y B = (bij), del mismo orden mxn, se define la suma de A y B, y se denota A + B, como la matriz (aij + bij) Dadas 1. Propiedad asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C. 2. Propiedad conmutativa: A + B = B + A. 3. A + O = O + A = A. 4. (A + B)t = At + Bt. Cumple con las siguientes propiedades Diferencia de Matrices A;B;C son matrices cualesquiera del mismo orden y O es la matriz nula de dicho orden Donde Dos matrices A, B del mismo orden llamamos diferencia de A y B, que escribimos A-B, a la suma de A con la matriz opuesta de B, es decir A - B = A + (-B). Dadas Producto Escalar Una matriz A = (aij) por un número real k es la matriz (kaij), que denotamos kA, es decir, es la matriz del mismo orden que A cuyos elementos se obtienen multiplicando los elementos de A por el número k El producto de 1. k(A + B) = kA + kB. 2. (k + h)A = kA + hA. 3. k(hA) = (kh)A. 4. 1.A = A. 5. (k.A)t = k.At. A y B son matrices cualesquiera del mismo orden y h; k son números reales. Donde Cumple con las siguientes propiedades Producto de Matrices El número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda matriz Se realiza si Dadas dos matrices A = (aij) de orden mxn y B = (bij) de orden nxp, la matriz A.B = (cij) es una nueva matriz de orden mxp, donde el término cij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de A por la columna j de B Se define como 1. Si A;B;C son matrices tales que A:B y B:C esta definidas, entonces A.(B.C) y (A.B).C también están definidas y A.(B.C) = (A.B).C. 2. Si A;B;C son matrices tales que A.B y B + C están definidas, entonces A.(B + C) y A.B + A.C también están definidas y A.(B + C) = A.B + A.C. 3. Si A;B;C son matrices tales que A + B y A.C están definidas, entonces (A + B).C y A.C + B.C también están definidas y (A + B).C = A.C + B.C. 4. Si A;B son matrices tales que A.B está definida, entonces Bt.At también está definida y(A.B)t = Bt.At. 5. Si A es una matriz cuadrada de orden n e In es la matriz identidad de orden n entonces A.In = In.A = A. Cumple con las siguientes propiedades 1.La propiedad conmutativa 2.Si A.B = A.C, no podemos deducir que B = C 3.Si A.B = 0, no tiene por qué ocurrir que A o B sean iguales a la matriz nula No verifica Realizado por: Ing. Giovanna Tremont. Prof.(a) de la cátedra Algebra Lineal
  • 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Ecuación Define como la igualdad que se satisface para determinados valores de la variable. Esta compuesta por variables, coeficientes, signos y el símbolo de la igualdad. Ecuación Lineal Aquella que presenta la forma ax + b = 0 con a ≠ 0 . Observese que el exponente de la incognita es 1 y graficamente su representación es una linea recta. Sistema de Ecuaciones Lineales Un conjunto finito de ecuaciones lineales de la forma: cuya solución s1,s2,…,sn al sustituirse por las variables x1,x2,…,xn satisfacen todas y cada una de las igualdades presentes en el sistema. Solución Única (es decir, el sistema es compatible determinado), es cuando para cada incógnita del sistema se obtiene un único valor numérico. Infinitas soluciones (es decir, el sistema es compatible indeterminado), es cuando para cada incógnita del sistema se obtiene mas de un valor numérico. No tener solución (es decir, el sistema es incompatible), es cuando para cada incógnita del sistema no se obtienen resultados que satisfagan por igual a todas las igualdades. Realizado por: Ing. Giovanna Tremont. Prof.(a) de la cátedra Algebra Lineal Se Es Es Gráficamente se representa Gráficamente se representa Gráficamente se representa Puede tener
  • 4. RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Sistema de Ecuaciones Lineales Matriz de coeficientes, donde los elementos que conforman a la matriz son los coeficientes que acompañan a las variables en el sistema . Realizado por: Ing. Giovanna Tremont. Prof.(a) de la cátedra Algebra Lineal Matriz Ampliada del sistema, la cual es la matriz de coeficiente pero se le anexa una columna con los términos independientes del sistema o bien una matriz identidad del mismo orden que la matriz de coeficientes. A.X = B ; donde A representa la matriz de coeficientes, X la matriz de variables y B la matriz de términos independientes. Se representa en forma de Método de Gauss: Consiste en transformar un SEL en forma de matriz ampliada a la forma de matriz escalonada mediante operaciones elementales entre filas, para luego obtener la solución del SEL mediante la sustitución en reversa. Se aplica a matrices de cualquier orden. Método de Gauss-Jordan: Consiste en transformar un SEL en forma de matriz ampliada a la forma de matriz escalonada reducida, es decir, obtener la matriz identidad mediante operaciones elementales entre filas, dando la solución del SEL en forma directa. Se aplica a matrices cuadradas. Regla de Cramer: Se aplica a SEL que poseen solución única. (este tópico será estudiado a posteriori, requiere de conocimientos para el calculo de determinantes) Se resuelve mediante Operaciones elementales Aquellas que pueden realizarse entre filas y permiten que las matrices resultantes sean equivalentes a la matriz inicial . Son conocidas como permutación, multiplicación por un escalar y pivotación Son 1. La permutación de la i-ésima ecuación por la ecuación j-ésima como Fi ↔ Fj , 2. La multiplicación de la i-ésima ecuación por el escalar no nulo α como αFi, 3. La pivotación de la i-ésima ecuación mediante el escalar α y la j-esima ecuación por Fi+αFj. Que se realizan son