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APUNTES DE MATEMÁTICAS
Alfonso Benito de Valle Galindo
Matemáticas aplicadas a las CCSS
PROB LEM AS RESU E LTOS
MATRICES
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Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
1.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Junio 1996
:RESOLUCIÓN::
2X – A·B = A2
Se trata de una ecuación matricial de primer grado que resolvemos despejando X, para lo cual:
Primero sumamos A·B a los dos miembros:
2X = A2
+ A·B
Y a continuación los multiplicamos por
2
1
:
X =
2
1
(A2
+ A·B)
Sustituyendo A y B por las matrices que representan y efectuando las operaciones indicadas
obtenemos el valor de X:






=





=











+





=
=











−





+











=
323
3215
63
615
2
1
31
08
32
67
2
1
22
31
·
01
32
01
32
·
01
32
2
1
X
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
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Comprobamos que, efectivamente, se cumple que 2X – A·B = A2
2
32
67
31
08
63
615
31
08
323
3215
·2·2 ABAX =





=





−





=





−





=− . Verrificado.
Respuesta:






=
323
3215
X
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MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiembre 1996
:RESOLUCIÓN::






−
=−
41
23
2BA 





−
=+
23
10
2 BA
Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que resolveremos por el
método de reducción, para lo cual:
A la primera ecuación le sumamos el doble de la segunda. Esta combinación lineal de las dos
ecuaciones tiene A como única incógnita.
En efecto:






−
=−
41
23
2BA






−
=+
46
20
24 BA
____________________






=
05
43
5A ⇒ 





=
01
5453
A
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
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Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación y despejando B obtenemos:






−





−
=
01
5453
2
23
10
B ⇒ B 





−
−−
=
21
5356
Comprobamos que estos resultados verifican las dos ecuaciones propuestas:






−
=





+−
+





=





−
−−
−





=−
41
23
42
56512
01
5453
21
5356
2
01
5453
2BA se cumple la 1ª






−
=





−
−−
+





=+
23
10
21
5356
01
5453
22 BA y, también, se cumple la 2ª
Respuesta:
=A 





01
5453
y =B 





−
−−
21
5356
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MATRICES
Selectividad - Extremadura
Junio 1997
:RESOLUCIÓN::
A·B – 2X = A + 3B
Se trata de una ecuación matricial de primer grado que resolvemos despejando X, para lo cual:
Primero restamos A·B a los dos miembros:
–2X = A + 3B – AB
Y, a continuación, los multiplicamos por
2
1−
X = –
2
1
( A + 3B – AB)
Sustituyendo A y B por las matrices que representan y efectuando las operaciones indicadas
obtenemos el valor de X:
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
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











−





−
−





−
+





−
−=
31
12
·
02
13
31
12
3
02
13
2
1
X =






−
−
−=











−−
−





−
+





−
−=
111
24
2
1
24
65
93
36
02
13
2
1
⇒






−
−
=
21121
12
X
Comprobamos que, efectivamente, se cumple que A·B – 2X = A + 3B
A·B – 2X = 





−
=





−
−
−





−− 95
49
21121
12
2
24
65
A + 3B= 





−
=





−
+





− 95
49
93
36
02
13
Verificado.
Respuesta:






−
−
=
21121
12
X
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4.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiemebre 1997
:RESOLUCIÓN::
A2
– X = A·B ⇒ –X = –A2
+ AB ⇒ X = A2
– A·B ⇒ X = A·(A – B)
Sustituyendo A y B por las matrices que representan y efectuando las operaciones indicadas
obtenemos el valor de X:










−−
−
−
=










−
−
−










−
=




















−−










−









−
=
241
502
021
120
211
210
·
211
120
011
111
111
201
211
120
011
·
211
120
011
X
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
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Comprobamos que se cumple A2
– X = A·B










−=










−−
−
−
−










−
=










−
−
−
−










−









−
=−
512
133
112
241
502
021
333
431
131
241
502
021
211
120
011
·
211
120
011
2
XA










−=










−










−
=
512
133
112
111
111
201
·
211
120
011
·BA . Verificado.
Respuesta:










−−
−
−
=
241
502
021
X
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5.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Junio 1998
:RESOLUCIÓN::
2
·3 ABAIX −=+ ⇒ IABAX −−= 2
·3 ⇒ ( )IABAX −−= 2
··
3
1
por tanto:
=




















−









−









−
−










−
−









−
=
100
010
001
213
302
211
·
213
302
211
123
112
201
·
213
302
211
·
3
1
X
=










−
−
−−
=










−
−
−−
=




















−










−









 −
300
300
383431
900
900
841
·
3
1
100
010
001
1355
1057
519
555
167
359
·
3
1
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad.
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
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Comprobación de que se cumple 2
·3 ABAIX −=+
+










−
−
−−
=+
300
300
383431
·33 IX










−
−
−
=










+










−
−
−−
=










800
910
840
100
010
001
900
900
841
100
010
001










−
−
−
=










−









 −
=−
800
910
840
1355
1057
519
555
167
359
· 2
ABA . Comprobado.
Respuesta:
=X










−
−
−−
300
300
383431
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6.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiembre 1998
:RESOLUCIÓN::
a) Para hallar la matriz t
BIA +− 2
)3( efectuamos, ordenadamente, las operaciones:










−
−
−−
=










−










−
−−
=−⇒










=⇒










=
132
240
014
300
030
003
232
210
011
3
300
030
003
3
100
010
001
IAII
=− 2
)3( IA










−
−
−−
132
240
014
·










−
−
−−
132
240
014
=










−−
−
−
71710
10224
2816
y como










−−
−
=
311
220
132
t
B
Sumando estas dos matrices obtenemos la solución:










−−
−
−
=+−
4189
8244
11114
)3( 2 t
BIA
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad.
- Matriz traspuesta
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
· Determinante de una matriz.
· Matriz adjunta.
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b) Existirá 1−
A , inversa de A, si 0≠A
=A 1
040)·1·(2)1·(3·22)·1·(02)·1·(20·3·02)·1)·(1(
232
210
011
−
∃⇒≠=−−−−−−−++−−=−
−−
A
Para hallar 1−
A utilizaremos la fórmula )(·
11 t
AAdj
A
A =−
tt
AAdjA (
220
311
201
⇒










−−
−
= ) = =


















−−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
+−
−−
+
−
−
−
+
11
01
31
21
31
20
20
01
20
21
22
20
20
11
20
31
22
31










−
−+−
112
224
228
Por lo que ·
4
11
=−
A










−
−+−
112
224
228
⇒ A–1
=










−
−−
414121
21211
21212
Podemos comprobar que se verifica IAAAA == −−
·· 11
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PROB LEM AS RESU E LTOS
MATRICES
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7.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Junio 1999
Se pide “determinar las matrices A y B que son soluciones del sistema matricial dado”
:RESOLUCIÓN::
Lo haremos por el método de reducción:










−
−=










−
−=⇒










−−
−+










−
−
=⇒+
025
231
012
01435
14217
0714
·
7
1
2510
766
217
·2
4415
095
450
·72 21 AAEE
Sustituyendo la matriz A en E2 y despejando B obtenemos:
·2
2510
766
217
−










−−
−=B










−
−
025
231
012










−−
−
−
=
210
304
213
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
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Comprobamos los resultados obtenidos sustituyéndolos en las ecuaciones originales:
·323 =− BA










−
−
025
231
012
·2−










−−
−
−
210
304
213
=










−
−
4415
095
450
⇒Se verifica la primera.
·22 =+ BA










−
−
025
231
012
+










−−
−
−
210
304
213
=










−−
−
2510
766
217
⇒También la segunda.
Respuesta:
=A










−
−
025
231
012
y =B










−−
−
−
210
304
213
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1.- Dada la matriz










−=
201
211
011
A determinar la matriz B que verifica:
8.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiembre 1999
:RESOLUCIÓN::
IAABAAIB tt
+=⇒=− −− 11
··
Siendo









 −
=
220
011
111
t
A ; =I










100
010
001
; y 1−
A )(·
1 t
AAdj
A
=










−
−
−
=


















−
+−
−
+
−
−+
−
−
+−+
−
=−
211
224
222
·
6
1
11
11
01
11
01
11
20
11
20
11
22
11
20
11
20
01
22
01
·
201
211
011
11
A
*
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad.
- Matriz traspuesta
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de matrices.
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
· Determinante de una matriz.
· Matriz adjunta.
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Sustituyendo las matrices en la fórmula obtenemos:
IAAB t
+= −1
· =









 −
220
011
111
·










−
−
−
211
224
222
·
6
1
+










100
010
001
=









 −
=










+









 −−
111
011
12121
100
010
001
011
001
12121
Respuesta:
=B









 −
111
011
12121
(*) Comprobamos que A–1
es correcta, es decir, se cumple que IAAAA == −−
·· 11
=−1
·AA










−
201
211
011
·










−
−
−
211
224
222
·
6
1
=










100
010
001
. Bien
=−
AA ·1










−
−
−
211
224
222
·
6
1
·










−
201
211
011
=










100
010
001
. Bien.
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MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiembre 2000
:RESOLUCIÓN::
2A·X = B
Despejamos X multiplicando a los dos miembros por 1/2 y, POR LA IZQUIERDA, por 1−
A y
teniendo en cuenta la propiedad asociativa:
)··(
2
1
·
2
1
··2·
2
1
··2 111
BAXBAXAABXA −−−
=⇒=⇒=
Hallamos A–1
:
( ) =


















−
−
+−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
=










−
−
−
−
−−
==−
10
21
10
01
11
02
01
21
31
01
30
02
01
10
31
10
30
11
·
1
1
301
110
021
·
310
012
101
1
·
11
AdjAAdj
A
A t
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
· Propiedades.
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
· Determinante de una matriz.
· Matriz adjunta.
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









−−−
−−−=
112
236
113
Por tanto
·
2
1
)··(
2
1 1·
== −
BAX










−−−
−−−
112
236
113
· ·
2
1
210
110
012
=










−










−−−
−−−=










−−−
−−−
2312
27256
23233
324
7512
336
Comprobamos que se cumple 2A·X = B:
·
620
024
202
·2










−
−−=XA










−−−
−−−
2312
27256
23233
=










−
210
110
012
=B. Comprobado.
Respuesta:
=X










−−−
−−−
2312
27256
23233
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MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiembre 2001
:RESOLUCIÓN::
Se tiene que cumplir A·X = X·A
Como A tiene tres columnas, X debe tener tres filas para que exista la matriz A·X y como A
tiene tres filas, X ha de tener tres columnas para que exista la matriz X·A. Por tanto X es una matriz
cuadrada de orden 3.
Sea










=
333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
X
·
010
010
001
··










−⇒= AXXA










333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
=










333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
·










−
010
010
001
⇒










+−
+−
+−
=










−−−⇒
0
0
0
333231
232221
131211
232221
232221
131211
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
El criterio de igualdad entre matrices obliga a que se cumpla:
Conocimientos específicos:
- Producto de matrices.
- Criterio de igualdad de matrices.
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









=+−==
=−+−=−=−
=+−==
0
0
0
233332223121
232322222121
131312121111
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
⇒
ℜ∈−==
=ℜ∈=
==ℜ∈
3322333231
232221
131211
0
00
00
xxxxx
xxx
xxx
Es decir, las matrices X que cumplen A·X = X·A, son de la forma:










−
=
cbc
b
a
X
0
00
00
ℜ∈∀ cba ,,
Comprobación:
·
010
010
001
·










−=XA










− cbc
b
a
0
00
00










−=
00
00
00
b
b
a
·
0
00
00
·










−
=
cbc
b
a
AX










−
010
010
001










−=
00
00
00
b
b
a
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11.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Junio 2002
:RESOLUCIÓN::
Para resolver la ecuación IBXA =+ , restamos A a los dos miembros, los multiplicamos
por 1−
B , necesariamente POR LA IZQUIERDA ya que no se cumple la propiedad conmutativa y, por
cumplir el producto de matrices la propiedad asociativa, quedará despejada X…
)·(*)·()··(·· 111
AIBXAIBXBBAIXBIXBA −=⇒⇒−=⇒−=⇒=+ −−−
* XXIXBBXBB === −−
·)··()··( 11
Calcularemos 1−
B por el método de Gauss:
(B | )I =





−
−
231
101
021
|
|
|





100
010
001





−−
 →
 →
→
+
−
250
120
021
13
12
1
FF
FF
F
|
|
|
 →
 →
 →





−
+
−
+
23
2
21
2
5
2
1
101
011
001
FF
F
FF
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad.
- Matriz traspuesta
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
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




−
−
2100
2110
101
|
|
|





 →
 →
 →





−
−
−
+
−
100
010
001
12523
02121
010
3
32
31
2
2
F
FF
FF
|
|
|





−−
−
−−
253
121
243
(I= | )1−
B
Por lo tanto:
)·(1
AIBX −= −
=










−−−=










−−
−
−










−−
−
−−
1414
125
1412
221
002
102
·
253
121
243
Respuesta:
=X










−−−
1414
125
1412
Comprobación de que A + B·X = I
A + B·X = ·
231
101
021
321
012
101










−
−+










−
−










−−−
1414
125
1412
=
=










−
−
321
012
101
+ I=










=










−−
−
−
100
010
001
221
002
102
⇒La solución es correcta
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MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiembre 2002
:RESOLUCIÓN::
( ) ( )BAXBAXBAXBXA −=⇒+−−=⇒+−=−⇒=− 2·
3
1
2·
3
1
2332
=X ·
3
1















−
−
402
246
024










−
−
−−−
=










−
−
+−−
=















−
−
−
−
131
210
213
393
630
639
·
3
1
195
876
655
Respuesta:
=X










−
−
−−−
131
210
213
Conocimientos específicos:
- Operaciones lineales con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz
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Matemáticas aplicadas a las CCSS
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Comprobación:
=− XA 32










−
−
402
246
024
=










−
−
+−−
−
393
630
639










−
−
−
195
876
655
B= ⇒ Cumple
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Selectividad - Extremadura
Junio 2003
:RESOLUCIÓN::
Para determinar la matriz 21
)·( t
BAX −
= necesitamos realizar cuatro pasos para obtener:
1º) 1−
A ; 2º) t
B ; 3º) t
BA ·1−
; 4º) 21
)·( t
BA−
1º) (A | I) =
 →
→
→










−
−
−
 →
→
→












−
−
+
−
− 23
2
1
23
1
2
110|110
001|010
010|101
100|011
010|101
001|010
FF
F
F
FF
F
F
( )1
|
111|100
001|010
101|001
111|100
001|010
010|101
3
2
31
−
+
=










−
−
→
→
 →










−
−
−
AI
F
F
FF
2º)










−
−
=⇒










−
−=
011
310
101
031
110
101
t
BB
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad.
- Matriz traspuesta.
- Producto de matrices.
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3º) ·
111
001
101
·1










−
−=− t
BA










−
−
011
310
101










−
−
−
=
422
101
112
4º) =− 21
)·( t
BA










−
−
−
422
101
112
·










−
−
−
422
101
112










−−
−=
1666
310
301
Respuesta:
X =










−−
−
1666
310
301
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Selectividad - Extremadura
Septiembre 2003
:RESOLUCIÓN::
Para despejar X de la ecuación Bt
– A·X = A, hacemos lo siguiente a los dos miembros:
- Restamos Bt
: –A·X = –Bt
+ A
- Multiplicamos por –1: A·X = Bt
– A
- Multiplicamos por A–1
POR LA IZQUIERDA (el producto de matrices no es conmutativo
aunque si es asociativo): A–1
·(A·X) = A–1
·(Bt
– A)
(A–1
·A)·X = “ “
I · X = “ “
X = A–1
·(Bt
– A)
Conocimientos específicos:
- Matriz unidad o identidad.
- Matriz traspuesta
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
· Determinante de una matriz.
· Matriz adjunta.
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==−
)(·
11 t
AAdj
A
A =


















−
+−
−
+
−
−
−
+−
−
−
+
−
−
−
+
−
=










−
−
−
−
10
01
10
11
11
10
01
01
01
11
00
10
01
10
01
10
00
11
·
1
1
001
110
101
·
011
010
101
1
Adj










−
−=−
111
010
110
1
A y como










=
110
311
102
t
B sustituimos en X = A–1
·(Bt
– A) resultando:
=X










−
−
111
010
110
· =




















−
−
−










011
010
101
110
311
102










−
−
111
010
110
· =










− 101
321
201










−
−−−
221
321
420
Respuesta:
=X










−
−−−
221
321
420
Comprobación de que se cumple Bt
– A·X = A










110
311
102
–










−
−
011
010
101
·










−
−−−
221
321
420
=










110
311
102
– =










− 101
321
201










−
−
011
010
101
Cálculo de A
-1
por el método de Gauss:
( )
 →
→
→










−
−
=
− 13
2
1
100|011
010|010
001|101
|
FF
F
F
IA
 →
→
→










−
−
−
+
−
23
2
1
101|110
010|010
001|101
FF
F
F
→
→
 →










−
−
− +
3
2
31
111|100
010|010
001|101
F
F
FF
( )1
|
111|100
010|010
110|001
−
=










−
− AI
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Selectividad - Extremadura
Septiembre 2004
:RESOLUCIÓN::
Para resolver el sistema:













 −−
=+






−
−
=−
153
423
2
306
714
2
BA
BA
Emplearemos el método de doble reducción:
Eliminamos B haciendo 2E1+E2, 





−
−
=⇒





−
−
=
113
201
5515
1005
5 AA
Para eliminar A hacemos –E1+2E2, 




 −−
=⇒




 −−
=
120
312
5100
15510
5 BB
Comprobamos estos resultados en el sistema inicial:
Conocimientos específicos:
- Operaciones lineales con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
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












 −−
=




 −−
+





−
−






−
−
=




 −−
−





−
−
153
423
120
312
2
113
201
306
714
120
312
113
201
2
Se cumplen ambas igualdades.
Respuesta:
=A 




 −−
=





−
−
120
312
113
201
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Selectividad - Extremadura
Junio 2005
:RESOLUCIÓN::
La matriz










−
−
=
21
330
121
m
A no tiene inversa si su rango es menor que su orden (3 en este
caso) es decir si su filas no son linealmente independientes entre sí, en cuyo caso 0=A
0
21
330
121
=
−
−
m
⇒ –6 + 6m + 3m – 3 = 0 ⇒ 9m – 9 = 0 ⇒ m = 1
Respuesta a):
A no tiene inversa, únicamente, para m = 1
1
1 −
∃⇒≠∀ Am . En concreto, para m = 2:
Conocimientos específicos:
- Concepto de matrices inversas.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
· Determinante de una matriz.
· Matriz adjunta.
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









−
−
=
212
330
121
A y se nos pide hallar )(·
11 t
AAdj
A
A =−
|A| = 9·2 – 9 = 9










−
−
−
=


















+−+
−
−
−−
+
−
−
−
+
−−
−
−
+
=⇒










−−
=
336
306
939
32
01
12
21
13
20
31
01
21
21
23
20
31
32
21
12
23
13
)(
231
132
201
tt
AAdjA
Por lo que: ·
9
11
=−
A










−
−
−
336
306
939
=










−
−
−
313132
31032
1311
Comprobamos que IAAAA == −−
·· 11
Respuesta b):
=−1
·AA










−
−
212
330
121
·










−
−
−
313132
31032
1311
= I=










100
010
001
=−
AA ·1










−
−
−
313132
31032
1311
·










−
−
212
330
121
= I=










100
010
001
=−1
A










−
−
−
313132
31032
1311
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MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiembre 2005
:RESOLUCIÓN::
Podríamos resolver la ecuación despejando X –multiplicaríamos a los dos miembros (por la
izquierda) por A–1
que, obviamente, tendríamos que calcular previamente– pero, como la matriz X es
pequeña, hallaremos los cuatro números que la componen efectuando los productos de ambos
miembros de la ecuación e igualando entre sí los elementos de igual posición:
Consideremos 





=
2221
1211
xx
xx
X ; sustituyendo A, B, C y X por las matrices que representan y
efectuando las multiplicaciones:
·
11
12





 −−






2221
1211
xx
xx






=





++
−−−−
⇒











−
=
11
2522
13
25
·
32
01
22122111
22122111
xxxx
xxxx
El criterio de igualdad entre matrices obliga a que:
11
2252
22122111
22122111
=+=+
=−−=−−
xxxx
xxxx
sistema de ecuaciones cuya solución es:
47
36
2221
1211
==
−=−=
xx
xx
Conocimientos específicos:
- Producto de matrices.
- Igualdad de matrices.
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Por lo tanto:
Respuesta:





 −−
=
47
36
X
Comprobación:
A·X = ·
11
12





 −−





 −−
47
36
= 





11
25
B·C = 











− 13
25
·
32
01
= 





11
25
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Dadas las matrices: A=










−
−
211
301
012
, B=










− z
y
x
23
01
10
y C=










−
−−
−
146
1611
202
determinar
los valores de x, y, z que hacen posible la igualdad matricial A·B = A+C. Justificar la respuesta
18.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Junio 2006
:RESOLUCIÓN::
Para encontrar los valores de x, y, z que aparecen en la matriz B y que hacen que se cumpla la
igualdad A·B = A+C todo lo que hay que hacer es, 1, efectuar las operaciones que aparecen en
los dos miembros, 2, igualar entre sí los elementos que ocupan la misma posición en las matrices
obtenidas y, 3, resolver el sistema resultante.
A·B = A+C
Es decir:










−
−
211
301
012
·










− z
y
x
23
01
10
=










−
−
211
301
012
+










−
−−
−
146
1611
202
Efectuamos las operaciones:










−−
−=










−−+
+−−+−
+
155
2610
210
2156
3169
212
zyx
zx
yx
Conocimientos específicos:
- Suma de matrices.
- Producto de matrices.
- Igualdad de matrices.
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Alfonso Benito de Valle Galindo
Matemáticas aplicadas a las CCSS
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Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
Que las matrices de ambos miembros sean iguales obliga a que:








−=−
−=−+
=+−
=+−
=+
121
56
231
109
02
z
yx
z
x
yx
Sistema cuya solución es:





=
=
−=
1
2
1
z
y
x
Comprobación:
x=–1, y=2, z=1 ⇒ B =










−
−
123
012
101
⇒
A·B =










−
−
211
301
012
·










−
−
123
012
101
=










−−
−
155
2610
210
= A+C
Respuesta:
1
2
1
=
=
−=
z
y
x
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Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida
Determinar la matriz X que verifica la ecuación matricial A·X + B = C donde:
A = 





−− 21
53
, B = 




−
012
101
y C = 




 −
310
211
Justificar la respuesta.
19.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiembre 2006
:RESOLUCIÓN::
La matriz X tiene que tener dimensión 2x3 para que se puedan realizar las operaciones del
primer miembro de la igualdad.
Sea X= 





232221
131211
xxx
xxx
Se tiene que cumplir:
A·X + B = C
Es decir:






−− 21
53
· 





232221
131211
xxx
xxx
+ 




−
012
101
= 




 −
310
211
Efectuando las operaciones del primer miembro:





 −
=





−−+−−+−−
+++−+
310
211
21222
15353153
231322122111
231322122111
xxxxxx
xxxxxx
Para que estas dos matrices sean iguales se tiene que verificar:
Conocimientos específicos:
- Suma de matrices.
- Producto de matrices.
- Igualdad de matrices.
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)(32)(112)(022
)(2153)(153)(1153
623134221222111
523133221212111
ExxExxExx
ExxExxExx
=−−=+−−=+−−
=++−=+=−+
Sistema de tres pares de ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por reducción:
(3E2 + E1): 21x− 15 =+ 421 =⇒ x ⇒ Sustituyendo en (E2): ⇒=+−− 02811x 611 −=x
(3E4 + E3): 22x− 23 =+ 122 =⇒ x ⇒ Sustituyendo en (E4): ⇒=+−− 11212x 212 −=x
(3E6 + E5): 23x− 111 =+ 1023 −=⇒ x ⇒ Sustituyendo en (E6): ⇒=+− 32013x 1713 =x
La matriz X es, por lo tanto, X = 





−
−−
1014
1726
Comprobamos si se cumple que A·X + B = C
A·X + B = 





−− 21
53
· 





−
−−
1014
1726
+ 




−
012
101
=
+





−
−
302
112





−
012
101
= 




 −
310
211
= C. Se cumple.
Respuesta:
X = 





−
−−
1014
1726
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Determinar la matriz X que verifica la ecuación A2
·X – B = A·X donde:
A =










−
−
111
012
101
y B =










−
−
−
110
131
012
Justificar la respuesta
20.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Junio 2007
:RESOLUCIÓN::
Para despejar X en la ecuación A2
·X – B = A·X, tendremos en cuenta que el producto de matrices
cumple la propiedad asociativa y la distributiva respecto a la suma, pero que no cumple la propiedad
conmutativa:
A2
·X – B
A2
·X – A·X
(A2
– A)·X
(A2
– A)–1
·[(A2
– A)·X]
[(A2
– A)–1
· (A2
– A)]·X
I·X
X
=
=
=
=
=
=
=
A·X
B
B
(A2
– A)–1
· B
(A2
– A)–1
· B
(A2
– A)–1
· B
(A2
– A)–1
· B
Hallaremos (A2
– A) para luego obtener su inversa y multiplicarla por B:
A2
=










−
−
111
012
101
·










−
−
111
012
101
=










−
−−
220
214
212
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices. Propiedades.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
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A2
– A =










−
−−
220
214
212
–










−
−
111
012
101
=










−
−−
111
202
111
Su inversa la calcularemos por el método de Gauss (las trasformaciones elementales que
convierten una matriz en la matriz unidad, convierten a ésta, en la inversa de aquella):
 →
→
 →










−
−
−−
 →
 →
→










−
−−
−
+
−
−
23
2
21
13
12
1
2
1
2
1
2
101|220
012|020
001|111
100|111
010|202
001|111
FF
F
FF
FF
FF
F










−
−
→
→
 →










−
−
−
+
212121|100
0211|010
21021|001
111|200
0211|010
0210|101
3
2
31
2
1
2
1
F
F
FF
.
Por lo tanto:
X = (A2
– A)–1
· B= ·
212121
0211
21021










−
−










−
−
−
110
131
012
=










−
−−
−
02321
212523
2101
Respuesta:
X =










−
−−
−
02321
212523
2101
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21.
MATRICES
Selectividad - Extremadura
Septiembre 2008
:RESOLUCIÓN::
IBXA =·· ⇒ 1111
··)····( −−−−
= BIABBXAA →* 11
· −−
= BAX
(*) Por la propiedad asociativa del producto: 11
)····( −−
BBXAA = =−−
)··()··( 11
BBXAA IXI ·· = X
(el producto de dos matrices inversas entre sí es igual a la matriz ,I elemento neutro del producto).
Cálculo de 1−
A por el método de Gauss-Jordan: ( ) ( )1
|| −
→ AIIA





−
10|11
01|21






+
−
→
12
1
FF
F





 −−
11|30
01|21








→
2
1
3
1
F
F





 −−
3/13/1|10
01|21
→





 +
→
2
21 2
F
FF





 −
3/13/1|10
3/23/1|01
⇒ 1−
A = 




−
11
21
·
3
1
Cálculo de 1−
B : ( ) ( )1
|| −
→ BIIB






− 10|21
01|10





−
→
1
2
F
F





 −−
01|10
10|21





 +
→
2
21 2
F
FF





 −
01|10
12|01
⇒
⇒ 1−
B = 




 −
01
12
Conocimientos específicos:
- Producto de matrices. Propiedades.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
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11
· −−
= BAX = 




−
11
21
·
3
1
· 




 −
01
12
= 





−13
10
·
3
1
= 





− 3/11
3/10
Comprobación de que IBXA =·· :
BXA ·· = BXA )··( = 




−
11
21
· 





− 3/11
3/10
· 





− 21
10
= 




 −
01
12
· 





− 21
10
= 





10
01
= I
Solución:
X = 





− 3/11
3/10
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1. Determinar las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema matricial:
3A – 2B =










−
−
4415
095
450
, 2A + B =










−−
−
2510
766
217
Justificar la respuesta.
22.
MATRICES
CONTROL 1 (Curso 07-08)
27 SEP 07
Lo resolveremos por el método de reducción:
Si llamamos E1 a la primera ecuación y E2 a la segunda, tenemos que:










−
−=










−
−=⇒










−−
−+










−
−
=⇒+
025
231
012
01435
14217
0714
·
7
1
2510
766
217
·2
4415
095
450
·72 21 AAEE
Sustituyendo la matriz A en E2 y despejando B obtenemos:
·2
2510
766
217
−










−−
−=B










−
−
025
231
012










−−
−
−
=
210
304
213
Comprobamos los resultados obtenidos sustituyéndolos en las ecuaciones originales:
·323 =− BA










−
−
025
231
012
·2−










−−
−
−
210
304
213
=










−
−
4415
095
450
⇒Se verifica la primera.
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
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·22 =+ BA










−
−
025
231
012
+










−−
−
−
210
304
213
=










−−
−
2510
766
217
⇒También la segunda.
Respuesta:
=A










−
−
025
231
012
y =B










−−
−
−
210
304
213
APUNTES DE MATEMÁTICAS
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2. Halla razonadamente el rango de la matriz A =










−−
−
11113
531
213
e indica lo que significa dicho valor.
23.
MATRICES
CONTROL 1 (Curso 07-08)
27 SEP 07
Hallaremos el rango de la matriz por el método de Gauss, para ello obtendremos una matriz
escalonada equivalente a A haciendo en ésta trasformaciones elementales. El número de filas no nulas
de la matriz escalonada será el rango de A.










−−
−
11113
531
213
 → ↔ 21 FF










−
−−
11113
213
531
 →
 →
−→
−→
133
122
3
3
FFF
FFF









 −−
26200
13100
531
 → −→ 233 2FFF









 −−
000
13100
531
Por lo tanto: Rang (A) = 2
Respuesta:
El rango de la matriz A es 2 lo que
significa que tiene dos filas linealmente
independientes entre sí y la otra es una
combinación lineal de ellas.
Conocimientos específicos:
Rango de una matriz. Concepto y cálculo.
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24.
MATRICES
CONTROL 2 (Curso 07-08)
04 OCT 07
:RESOLUCIÓN::
a) Para hallar la matriz t
BIA +− 2
)3( efectuamos, ordenadamente, las operaciones:










−
−
−−
=










−










−
−−
=−⇒










=⇒










=
132
240
014
300
030
003
232
210
011
3
300
030
003
3
100
010
001
IAII
=− 2
)3( IA










−
−
−−
132
240
014
·










−
−
−−
132
240
014
=










−−
−
−
71710
10224
2816
y como










−−
−
=
311
220
132
t
B
Sumando estas dos matrices obtenemos la solución:










−−
−
−
=+−
4189
8244
11114
)3( 2 t
BIA
Conocimientos específicos:
- Matiz identidad.
- Matriz traspuesta.
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices.
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b) Existirá 1−
A , inversa de A, si 0≠A
=A 1
040)·1·(2)1·(3·22)·1·(02)·1·(20·3·02)·1)·(1(
232
210
011
−
∃⇒≠=−−−−−−−++−−=−
−−
A
Para hallar 1−
A utilizaremos la fórmula )(·
11 t
AAdj
A
A =−
tt
AAdjA (
220
311
201
⇒










−−
−
= ) = =


















−−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
+−
−−
+
−
−
−
+
11
01
31
21
31
20
20
01
20
21
22
20
20
11
20
31
22
31










−
−+−
112
224
228
Por lo que ·
4
11
=−
A










−
−+−
112
224
228
⇒ A–1
=










−
−−
414121
21211
21212
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Halla razonadamente para qué valores de m la matriz M =










−
10
21
101
m
m tiene rango 1, 2 y 3,
respectivamente.
25.
MATRICES
CONTROL 3 (Curso 07-08)
11 OCT 07
:RESPUESTA:
El rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes entre sí
M no puede tener rango 1 para ningún valor de m puesto que la fila 2 es linealmente
independiente de la 1, al no ser proporcional a ella, es decir, no existe un número k para el que F2=
k·F1, por lo tanto el mínimo rango que tiene M es 2, cosa que ocurrirá si F3 es una combinación lineal
de F1 y F2 en cuyo caso |M| = 0;
M tendrá rango 3, es decir, las tres filas serán linealmente independientes entre sí, si |M| ≠ 0
|M| =
10
21
101
m
m − = 122
++ mm y para que 122
++ mm = 0 tiene que ser m = −1 por lo tanto:
Respuesta:
- Rango de M = 1 no se verifica para ningún valor de m.
- Rango de M = 2 para m = −1
- Rango de M = 3 ∀ m ≠ −1
Conocimientos específicos:
- Rango de una matriz. Concepto y cálculo.
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Halla razonadamente la matriz X que verifica A · X = B siendo A =










−−
432
111
253
y B =










2
0
1
26.
MATRICES
CONTROL 3 (Curso 07-08)
11 OCT 07
Se trata de una ecuación matricial que resolveremos despejando X para lo cuál multiplicaremos a
los dos miembros, por la izquierda ya que no se cumple la propiedad conmutativa, por la inversa de A
y en virtud de la propiedad asociativa del producto de matrices y de que el producto de una matriz
por su inversa es la matriz unidad, elemento neutro del producto, quedará despejada la X.
A · X = B ⇒ A-1
· (A · X) = A-1
· B ⇒ (A-1
· A) · X = A-1
· B ⇒ I · X = A-1
· B ⇒ X = A-1
· B
Cálculo de A-1
:
At
=










−
−
412
315
213
y A-1
= )(·
1 t
AAdj
A
=
432
111
253
1
−−
·
























−
+−
−
+
−
−+
−
−
−
−
+−
−
−
+
15
13
35
23
31
21
12
13
42
23
41
21
12
15
42
35
41
31
=
=










−
−
−−−
−
815
586
3141
·
23
1
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices. Propiedades.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
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Por lo tanto:
23
1
·1
−== −
BAX










−
−
−−−
815
586
3141










2
0
1
=
23
1
−










−
−
11
4
7
⇒ X =










−
23/11
23/4
23/7
Comprobación:










−−
432
111
253
·










−
23/11
23/4
23/7
=










2
0
1
Se verifica que A · X = B
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Determina la matriz X para la que se verifica: A2
X =
2
1
(A + B · Ct
)
Siendo: A = 





10
12
, B = 





− 131
211
y C = 




−
213
611
27.
MATRICES
CONTROL 7 (Curso 07-08)
EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN.
28 NOV 07
A2
X =
2
1
(A + B · Ct
) ⇒ X = (A2
)−1
·
2
1
(A + B · Ct
) =
2
1
· (A2
)−1
· (A + B · Ct
)
A2
= 





10
12
· 





10
12
= 





10
34
⇒
(A2
)−1
= t
AAdj
A
)(·
||
1 2
2
= 





13
04
·
4
1
Adj = 




 −
40
31
·
4
1
Además:
Ct
=









−
26
11
31
por lo que B · Ct
= 





− 131
211
·









−
26
11
31
= 





210
812
A + B · Ct
= 





10
12
+ 





210
812
= 





310
914
Por lo tanto:
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices. Propiedades.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
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X =
2
1
· (A2
)−1
· (A + B · Ct
) = 




 −
40
31
·
4
1
·
2
1
· 





310
914
=
8
1
· 




−
1240
016
= 




−
2/35
02
Solución: X = 




−
2/35
02
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Determina, razonadamente, para qué valores de m, la matriz A =










−
10
21
101
m
m tiene inversa y
calcúlala para m = 0
28.
MATRICES
CONTROL 8 (Curso 07-08)
EXAMEN de REPASO de la 1ª EVALUACIÓN
10 ENE 08
La respuesta la encontrarás en tu libro de texto,
“MATEMÁTICAS II aplicadas a las CCSS” – edebé
(Ejemplo resuelto. Pág. 65 / Ej. B.).
Conocimientos específicos:
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
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Resuelve la ecuación 21
2 BCDXBA =−−
, siendo 





=
30
22
A ; 





=
31
21
B ; 





=
1
2
C y ( )31=D
29.
MATRICES
CONTROL 16 (Curso 07-08)
EXAMEN FINAL
20 MAYO 08
Se trata de una ecuación matricial que resolveremos despejando la incógnita, X , teniendo en cuenta que
el producto de matrices cumple la propiedad asociativa, pero NO la conmutativa y que el producto de una
matriz por su inversa da la matriz identidad que es el elemento neutro del producto.
21
2 BCDXBA =−−
⇒ CDBXBA 221
+=−
⇒ )2(· 2
CDBAXB +=
⇒ 12
·)2(· −
+= BCDBAX
Cálculos:
=2
B 





31
21
· 





31
21
= 





114
83
22 =CD · 





1
2
·( )31 = 2 · 





31
62
= 





62
124
=+ CDB 22






114
83
+ 





62
124
= 





176
207
)2(· 2
CDBA + = 





30
22
· 





176
207
= 





5118
7426
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices. Propiedades.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
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Obtención de 1−
B por el método de Gauss:






10|31
01|21
 → −→ !22 FFF 





− 11|10
01|21
 → −→ 2211 FFF






−
−
11|10
23|01
=−1
B 





−
−
11
23
12
·)2(· −
+= BCDBAX = 





5118
7426
· 





−
−
11
23
= 





153
224
Solución:
=X 





153
224
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Dada las matrices A =










−−
−
016
102
211
y B = ( )101 − ,,,, calcula, si es posible:
)a Una matriz X tal que X · A = B.
)b Una matriz Y tal que A · Y = Bt
.
30.
MATRICES
CONTROL 17 (Curso 07-08)
EXAMEN EXTRAORDINARIO
01 SEPT. 08
)a X mxn · A 33x = B 31x .
De existir X , tendrá tantas filas como B (m =1) y
tantas columnas como filas tiene A (n = 3) es decir
la dimensión de X será 1 X 3 de esta manera:
313331 · XXX BAX =
Despejamos X multiplicando a ambos miembros
de la ecuación, POR LA DERECHA, por 1−
A (*),
resultando: 1
· −
= ABX
=X ( )101 − ·










−−−
−−−
252
5126
121
( )131=X
Puedes comprobar que X · A = B
)b A 33x · Y mxn = Bt
x13 .
De existir Y , tendrá tantas columnas como t
B (n
= 1) y tantas filas como columnas tiene A (m =
3), es decir, la dimensión de Y será 3 X 1 así:
t
XXX BYA 131333 · =
Despejamos Y multiplicando a ambos miembros
de la ecuación, POR LA IZQUIERDA, por 1−
A (*),
resultando: t
BAY ·1−
=
Y =










−−−
−−−
252
5126
121
·










−1
0
1
⇒










=
0
1
0
Y
Puedes comprobar que A · Y = Bt
Conocimientos específicos:
- Operaciones con matrices:
· Suma de matrices.
· Producto de número por matriz.
· Producto de matrices. Propiedades.
- Cálculo de la matriz inversa de una dada.
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(*) Cálculo de 1−
A
016
102
211
)(
−−
−== ADetA =1 y t
A =










−
−
−
012
101
621
)( t
AAdj =


















+
−
−
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
−
+
−
−
−
−
+
01
21
11
61
10
62
12
21
02
61
01
62
12
01
02
11
01
10
=










−−−
−−−
252
5126
121
; por lo tanto:
1−
A =
A
1
· )( t
AAdj =










−−−
−−−
252
5126
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  • 1. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 1 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 1. MATRICES Selectividad - Extremadura Junio 1996 :RESOLUCIÓN:: 2X – A·B = A2 Se trata de una ecuación matricial de primer grado que resolvemos despejando X, para lo cual: Primero sumamos A·B a los dos miembros: 2X = A2 + A·B Y a continuación los multiplicamos por 2 1 : X = 2 1 (A2 + A·B) Sustituyendo A y B por las matrices que representan y efectuando las operaciones indicadas obtenemos el valor de X:       =      =            +      = =            −      +            = 323 3215 63 615 2 1 31 08 32 67 2 1 22 31 · 01 32 01 32 · 01 32 2 1 X Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
  • 2. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 2 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobamos que, efectivamente, se cumple que 2X – A·B = A2 2 32 67 31 08 63 615 31 08 323 3215 ·2·2 ABAX =      =      −      =      −      =− . Verrificado. Respuesta:       = 323 3215 X
  • 3. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 3 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 2. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 1996 :RESOLUCIÓN::       − =− 41 23 2BA       − =+ 23 10 2 BA Se trata de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas que resolveremos por el método de reducción, para lo cual: A la primera ecuación le sumamos el doble de la segunda. Esta combinación lineal de las dos ecuaciones tiene A como única incógnita. En efecto:       − =− 41 23 2BA       − =+ 46 20 24 BA ____________________       = 05 43 5A ⇒       = 01 5453 A Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
  • 4. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 4 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Sustituyendo este resultado en la segunda ecuación y despejando B obtenemos:       −      − = 01 5453 2 23 10 B ⇒ B       − −− = 21 5356 Comprobamos que estos resultados verifican las dos ecuaciones propuestas:       − =      +− +      =      − −− −      =− 41 23 42 56512 01 5453 21 5356 2 01 5453 2BA se cumple la 1ª       − =      − −− +      =+ 23 10 21 5356 01 5453 22 BA y, también, se cumple la 2ª Respuesta: =A       01 5453 y =B       − −− 21 5356
  • 5. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 5 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 3. MATRICES Selectividad - Extremadura Junio 1997 :RESOLUCIÓN:: A·B – 2X = A + 3B Se trata de una ecuación matricial de primer grado que resolvemos despejando X, para lo cual: Primero restamos A·B a los dos miembros: –2X = A + 3B – AB Y, a continuación, los multiplicamos por 2 1− X = – 2 1 ( A + 3B – AB) Sustituyendo A y B por las matrices que representan y efectuando las operaciones indicadas obtenemos el valor de X: Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
  • 6. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 6 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida             −      − −      − +      − −= 31 12 · 02 13 31 12 3 02 13 2 1 X =       − − −=            −− −      − +      − −= 111 24 2 1 24 65 93 36 02 13 2 1 ⇒       − − = 21121 12 X Comprobamos que, efectivamente, se cumple que A·B – 2X = A + 3B A·B – 2X =       − =      − − −      −− 95 49 21121 12 2 24 65 A + 3B=       − =      − +      − 95 49 93 36 02 13 Verificado. Respuesta:       − − = 21121 12 X
  • 7. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 7 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 4. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiemebre 1997 :RESOLUCIÓN:: A2 – X = A·B ⇒ –X = –A2 + AB ⇒ X = A2 – A·B ⇒ X = A·(A – B) Sustituyendo A y B por las matrices que representan y efectuando las operaciones indicadas obtenemos el valor de X:           −− − − =           − − −           − =                     −−           −          − = 241 502 021 120 211 210 · 211 120 011 111 111 201 211 120 011 · 211 120 011 X Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
  • 8. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 8 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobamos que se cumple A2 – X = A·B           −=           −− − − −           − =           − − − −           −          − =− 512 133 112 241 502 021 333 431 131 241 502 021 211 120 011 · 211 120 011 2 XA           −=           −           − = 512 133 112 111 111 201 · 211 120 011 ·BA . Verificado. Respuesta:           −− − − = 241 502 021 X
  • 9. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 9 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 5. MATRICES Selectividad - Extremadura Junio 1998 :RESOLUCIÓN:: 2 ·3 ABAIX −=+ ⇒ IABAX −−= 2 ·3 ⇒ ( )IABAX −−= 2 ·· 3 1 por tanto: =                     −          −          − −           − −          − = 100 010 001 213 302 211 · 213 302 211 123 112 201 · 213 302 211 · 3 1 X =           − − −− =           − − −− =                     −           −           − 300 300 383431 900 900 841 · 3 1 100 010 001 1355 1057 519 555 167 359 · 3 1 Conocimientos específicos: - Matriz unidad o identidad. - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
  • 10. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 10 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobación de que se cumple 2 ·3 ABAIX −=+ +           − − −− =+ 300 300 383431 ·33 IX           − − − =           +           − − −− =           800 910 840 100 010 001 900 900 841 100 010 001           − − − =           −           − =− 800 910 840 1355 1057 519 555 167 359 · 2 ABA . Comprobado. Respuesta: =X           − − −− 300 300 383431
  • 11. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 11 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 6. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 1998 :RESOLUCIÓN:: a) Para hallar la matriz t BIA +− 2 )3( efectuamos, ordenadamente, las operaciones:           − − −− =           −           − −− =−⇒           =⇒           = 132 240 014 300 030 003 232 210 011 3 300 030 003 3 100 010 001 IAII =− 2 )3( IA           − − −− 132 240 014 ·           − − −− 132 240 014 =           −− − − 71710 10224 2816 y como           −− − = 311 220 132 t B Sumando estas dos matrices obtenemos la solución:           −− − − =+− 4189 8244 11114 )3( 2 t BIA Conocimientos específicos: - Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices. - Concepto de matrices inversas. - Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz. · Matriz adjunta.
  • 12. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 12 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida b) Existirá 1− A , inversa de A, si 0≠A =A 1 040)·1·(2)1·(3·22)·1·(02)·1·(20·3·02)·1)·(1( 232 210 011 − ∃⇒≠=−−−−−−−++−−=− −− A Para hallar 1− A utilizaremos la fórmula )(· 11 t AAdj A A =− tt AAdjA ( 220 311 201 ⇒           −− − = ) = =                   −− − + − − − − + − − − +− −− + − − − + 11 01 31 21 31 20 20 01 20 21 22 20 20 11 20 31 22 31           − −+− 112 224 228 Por lo que · 4 11 =− A           − −+− 112 224 228 ⇒ A–1 =           − −− 414121 21211 21212 Podemos comprobar que se verifica IAAAA == −− ·· 11
  • 13. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 13 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 7. MATRICES Selectividad - Extremadura Junio 1999 Se pide “determinar las matrices A y B que son soluciones del sistema matricial dado” :RESOLUCIÓN:: Lo haremos por el método de reducción:           − −=           − −=⇒           −− −+           − − =⇒+ 025 231 012 01435 14217 0714 · 7 1 2510 766 217 ·2 4415 095 450 ·72 21 AAEE Sustituyendo la matriz A en E2 y despejando B obtenemos: ·2 2510 766 217 −           −− −=B           − − 025 231 012           −− − − = 210 304 213 Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
  • 14. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 14 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobamos los resultados obtenidos sustituyéndolos en las ecuaciones originales: ·323 =− BA           − − 025 231 012 ·2−           −− − − 210 304 213 =           − − 4415 095 450 ⇒Se verifica la primera. ·22 =+ BA           − − 025 231 012 +           −− − − 210 304 213 =           −− − 2510 766 217 ⇒También la segunda. Respuesta: =A           − − 025 231 012 y =B           −− − − 210 304 213
  • 15. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 15 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 1.- Dada la matriz           −= 201 211 011 A determinar la matriz B que verifica: 8. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 1999 :RESOLUCIÓN:: IAABAAIB tt +=⇒=− −− 11 ·· Siendo           − = 220 011 111 t A ; =I           100 010 001 ; y 1− A )(· 1 t AAdj A =           − − − =                   − +− − + − −+ − − +−+ − =− 211 224 222 · 6 1 11 11 01 11 01 11 20 11 20 11 22 11 20 11 20 01 22 01 · 201 211 011 11 A * Conocimientos específicos: - Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de matrices. - Concepto de matrices inversas. - Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz. · Matriz adjunta.
  • 16. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 16 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Sustituyendo las matrices en la fórmula obtenemos: IAAB t += −1 · =           − 220 011 111 ·           − − − 211 224 222 · 6 1 +           100 010 001 =           − =           +           −− 111 011 12121 100 010 001 011 001 12121 Respuesta: =B           − 111 011 12121 (*) Comprobamos que A–1 es correcta, es decir, se cumple que IAAAA == −− ·· 11 =−1 ·AA           − 201 211 011 ·           − − − 211 224 222 · 6 1 =           100 010 001 . Bien =− AA ·1           − − − 211 224 222 · 6 1 ·           − 201 211 011 =           100 010 001 . Bien.
  • 17. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 17 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 9. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 2000 :RESOLUCIÓN:: 2A·X = B Despejamos X multiplicando a los dos miembros por 1/2 y, POR LA IZQUIERDA, por 1− A y teniendo en cuenta la propiedad asociativa: )··( 2 1 · 2 1 ··2· 2 1 ··2 111 BAXBAXAABXA −−− =⇒=⇒= Hallamos A–1 : ( ) =                   − − +− − − + − − − + − − − − + − − − − + =           − − − − −− ==− 10 21 10 01 11 02 01 21 31 01 30 02 01 10 31 10 30 11 · 1 1 301 110 021 · 310 012 101 1 · 11 AdjAAdj A A t Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Producto de número por matriz. · Producto de matrices. · Propiedades. - Concepto de matrices inversas. - Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz. · Matriz adjunta.
  • 18. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 18 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida           −−− −−−= 112 236 113 Por tanto · 2 1 )··( 2 1 1· == − BAX           −−− −−− 112 236 113 · · 2 1 210 110 012 =           −           −−− −−−=           −−− −−− 2312 27256 23233 324 7512 336 Comprobamos que se cumple 2A·X = B: · 620 024 202 ·2           − −−=XA           −−− −−− 2312 27256 23233 =           − 210 110 012 =B. Comprobado. Respuesta: =X           −−− −−− 2312 27256 23233
  • 19. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 19 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 10. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 2001 :RESOLUCIÓN:: Se tiene que cumplir A·X = X·A Como A tiene tres columnas, X debe tener tres filas para que exista la matriz A·X y como A tiene tres filas, X ha de tener tres columnas para que exista la matriz X·A. Por tanto X es una matriz cuadrada de orden 3. Sea           = 333231 232221 131211 xxx xxx xxx X · 010 010 001 ··           −⇒= AXXA           333231 232221 131211 xxx xxx xxx =           333231 232221 131211 xxx xxx xxx ·           − 010 010 001 ⇒           +− +− +− =           −−−⇒ 0 0 0 333231 232221 131211 232221 232221 131211 xxx xxx xxx xxx xxx xxx El criterio de igualdad entre matrices obliga a que se cumpla: Conocimientos específicos: - Producto de matrices. - Criterio de igualdad de matrices.
  • 20. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 20 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida           =+−== =−+−=−=− =+−== 0 0 0 233332223121 232322222121 131312121111 xxxxxx xxxxxx xxxxxx ⇒ ℜ∈−== =ℜ∈= ==ℜ∈ 3322333231 232221 131211 0 00 00 xxxxx xxx xxx Es decir, las matrices X que cumplen A·X = X·A, son de la forma:           − = cbc b a X 0 00 00 ℜ∈∀ cba ,, Comprobación: · 010 010 001 ·           −=XA           − cbc b a 0 00 00           −= 00 00 00 b b a · 0 00 00 ·           − = cbc b a AX           − 010 010 001           −= 00 00 00 b b a
  • 21. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 21 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 11. MATRICES Selectividad - Extremadura Junio 2002 :RESOLUCIÓN:: Para resolver la ecuación IBXA =+ , restamos A a los dos miembros, los multiplicamos por 1− B , necesariamente POR LA IZQUIERDA ya que no se cumple la propiedad conmutativa y, por cumplir el producto de matrices la propiedad asociativa, quedará despejada X… )·(*)·()··(·· 111 AIBXAIBXBBAIXBIXBA −=⇒⇒−=⇒−=⇒=+ −−− * XXIXBBXBB === −− ·)··()··( 11 Calcularemos 1− B por el método de Gauss: (B | )I =      − − 231 101 021 | | |      100 010 001      −−  →  → → + − 250 120 021 13 12 1 FF FF F | | |  →  →  →      − + − + 23 2 21 2 5 2 1 101 011 001 FF F FF Conocimientos específicos: - Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices. - Concepto de matrices inversas. - Cálculo de la matriz inversa de una dada.
  • 22. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 22 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida      − − 2100 2110 101 | | |       →  →  →      − − − + − 100 010 001 12523 02121 010 3 32 31 2 2 F FF FF | | |      −− − −− 253 121 243 (I= | )1− B Por lo tanto: )·(1 AIBX −= − =           −−−=           −− − −           −− − −− 1414 125 1412 221 002 102 · 253 121 243 Respuesta: =X           −−− 1414 125 1412 Comprobación de que A + B·X = I A + B·X = · 231 101 021 321 012 101           − −+           − −           −−− 1414 125 1412 = =           − − 321 012 101 + I=           =           −− − − 100 010 001 221 002 102 ⇒La solución es correcta
  • 23. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 23 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 12. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 2002 :RESOLUCIÓN:: ( ) ( )BAXBAXBAXBXA −=⇒+−−=⇒+−=−⇒=− 2· 3 1 2· 3 1 2332 =X · 3 1                − − 402 246 024           − − −−− =           − − +−− =                − − − − 131 210 213 393 630 639 · 3 1 195 876 655 Respuesta: =X           − − −−− 131 210 213 Conocimientos específicos: - Operaciones lineales con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz
  • 24. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 24 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Comprobación: =− XA 32           − − 402 246 024 =           − − +−− − 393 630 639           − − − 195 876 655 B= ⇒ Cumple
  • 25. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 25 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 13. MATRICES Selectividad - Extremadura Junio 2003 :RESOLUCIÓN:: Para determinar la matriz 21 )·( t BAX − = necesitamos realizar cuatro pasos para obtener: 1º) 1− A ; 2º) t B ; 3º) t BA ·1− ; 4º) 21 )·( t BA− 1º) (A | I) =  → → →           − − −  → → →             − − + − − 23 2 1 23 1 2 110|110 001|010 010|101 100|011 010|101 001|010 FF F F FF F F ( )1 | 111|100 001|010 101|001 111|100 001|010 010|101 3 2 31 − + =           − − → →  →           − − − AI F F FF 2º)           − − =⇒           − −= 011 310 101 031 110 101 t BB Conocimientos específicos: - Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta. - Producto de matrices.
  • 26. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 26 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 3º) · 111 001 101 ·1           − −=− t BA           − − 011 310 101           − − − = 422 101 112 4º) =− 21 )·( t BA           − − − 422 101 112 ·           − − − 422 101 112           −− −= 1666 310 301 Respuesta: X =           −− − 1666 310 301
  • 27. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 27 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 14. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 2003 :RESOLUCIÓN:: Para despejar X de la ecuación Bt – A·X = A, hacemos lo siguiente a los dos miembros: - Restamos Bt : –A·X = –Bt + A - Multiplicamos por –1: A·X = Bt – A - Multiplicamos por A–1 POR LA IZQUIERDA (el producto de matrices no es conmutativo aunque si es asociativo): A–1 ·(A·X) = A–1 ·(Bt – A) (A–1 ·A)·X = “ “ I · X = “ “ X = A–1 ·(Bt – A) Conocimientos específicos: - Matriz unidad o identidad. - Matriz traspuesta - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices. - Concepto de matrices inversas. - Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz. · Matriz adjunta.
  • 28. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 28 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida ==− )(· 11 t AAdj A A =                   − +− − + − − − +− − − + − − − + − =           − − − − 10 01 10 11 11 10 01 01 01 11 00 10 01 10 01 10 00 11 · 1 1 001 110 101 · 011 010 101 1 Adj           − −=− 111 010 110 1 A y como           = 110 311 102 t B sustituimos en X = A–1 ·(Bt – A) resultando: =X           − − 111 010 110 · =                     − − −           011 010 101 110 311 102           − − 111 010 110 · =           − 101 321 201           − −−− 221 321 420 Respuesta: =X           − −−− 221 321 420 Comprobación de que se cumple Bt – A·X = A           110 311 102 –           − − 011 010 101 ·           − −−− 221 321 420 =           110 311 102 – =           − 101 321 201           − − 011 010 101 Cálculo de A -1 por el método de Gauss: ( )  → → →           − − = − 13 2 1 100|011 010|010 001|101 | FF F F IA  → → →           − − − + − 23 2 1 101|110 010|010 001|101 FF F F → →  →           − − − + 3 2 31 111|100 010|010 001|101 F F FF ( )1 | 111|100 010|010 110|001 − =           − − AI
  • 29. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 29 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 15. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 2004 :RESOLUCIÓN:: Para resolver el sistema:               −− =+       − − =− 153 423 2 306 714 2 BA BA Emplearemos el método de doble reducción: Eliminamos B haciendo 2E1+E2,       − − =⇒      − − = 113 201 5515 1005 5 AA Para eliminar A hacemos –E1+2E2,       −− =⇒      −− = 120 312 5100 15510 5 BB Comprobamos estos resultados en el sistema inicial: Conocimientos específicos: - Operaciones lineales con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz.
  • 30. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 30 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida               −− =      −− +      − −       − − =      −− −      − − 153 423 120 312 2 113 201 306 714 120 312 113 201 2 Se cumplen ambas igualdades. Respuesta: =A       −− =      − − 120 312 113 201 By
  • 31. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 31 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 16. MATRICES Selectividad - Extremadura Junio 2005 :RESOLUCIÓN:: La matriz           − − = 21 330 121 m A no tiene inversa si su rango es menor que su orden (3 en este caso) es decir si su filas no son linealmente independientes entre sí, en cuyo caso 0=A 0 21 330 121 = − − m ⇒ –6 + 6m + 3m – 3 = 0 ⇒ 9m – 9 = 0 ⇒ m = 1 Respuesta a): A no tiene inversa, únicamente, para m = 1 1 1 − ∃⇒≠∀ Am . En concreto, para m = 2: Conocimientos específicos: - Concepto de matrices inversas. - Cálculo de la matriz inversa de una dada. · Determinante de una matriz. · Matriz adjunta.
  • 32. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 32 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida           − − = 212 330 121 A y se nos pide hallar )(· 11 t AAdj A A =− |A| = 9·2 – 9 = 9           − − − =                   +−+ − − −− + − − − + −− − − + =⇒           −− = 336 306 939 32 01 12 21 13 20 31 01 21 21 23 20 31 32 21 12 23 13 )( 231 132 201 tt AAdjA Por lo que: · 9 11 =− A           − − − 336 306 939 =           − − − 313132 31032 1311 Comprobamos que IAAAA == −− ·· 11 Respuesta b): =−1 ·AA           − − 212 330 121 ·           − − − 313132 31032 1311 = I=           100 010 001 =− AA ·1           − − − 313132 31032 1311 ·           − − 212 330 121 = I=           100 010 001 =−1 A           − − − 313132 31032 1311
  • 33. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 33 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 17. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 2005 :RESOLUCIÓN:: Podríamos resolver la ecuación despejando X –multiplicaríamos a los dos miembros (por la izquierda) por A–1 que, obviamente, tendríamos que calcular previamente– pero, como la matriz X es pequeña, hallaremos los cuatro números que la componen efectuando los productos de ambos miembros de la ecuación e igualando entre sí los elementos de igual posición: Consideremos       = 2221 1211 xx xx X ; sustituyendo A, B, C y X por las matrices que representan y efectuando las multiplicaciones: · 11 12       −−       2221 1211 xx xx       =      ++ −−−− ⇒            − = 11 2522 13 25 · 32 01 22122111 22122111 xxxx xxxx El criterio de igualdad entre matrices obliga a que: 11 2252 22122111 22122111 =+=+ =−−=−− xxxx xxxx sistema de ecuaciones cuya solución es: 47 36 2221 1211 == −=−= xx xx Conocimientos específicos: - Producto de matrices. - Igualdad de matrices.
  • 34. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 34 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Por lo tanto: Respuesta:       −− = 47 36 X Comprobación: A·X = · 11 12       −−       −− 47 36 =       11 25 B·C =             − 13 25 · 32 01 =       11 25
  • 35. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 35 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Dadas las matrices: A=           − − 211 301 012 , B=           − z y x 23 01 10 y C=           − −− − 146 1611 202 determinar los valores de x, y, z que hacen posible la igualdad matricial A·B = A+C. Justificar la respuesta 18. MATRICES Selectividad - Extremadura Junio 2006 :RESOLUCIÓN:: Para encontrar los valores de x, y, z que aparecen en la matriz B y que hacen que se cumpla la igualdad A·B = A+C todo lo que hay que hacer es, 1, efectuar las operaciones que aparecen en los dos miembros, 2, igualar entre sí los elementos que ocupan la misma posición en las matrices obtenidas y, 3, resolver el sistema resultante. A·B = A+C Es decir:           − − 211 301 012 ·           − z y x 23 01 10 =           − − 211 301 012 +           − −− − 146 1611 202 Efectuamos las operaciones:           −− −=           −−+ +−−+− + 155 2610 210 2156 3169 212 zyx zx yx Conocimientos específicos: - Suma de matrices. - Producto de matrices. - Igualdad de matrices.
  • 36. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 36 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Que las matrices de ambos miembros sean iguales obliga a que:         −=− −=−+ =+− =+− =+ 121 56 231 109 02 z yx z x yx Sistema cuya solución es:      = = −= 1 2 1 z y x Comprobación: x=–1, y=2, z=1 ⇒ B =           − − 123 012 101 ⇒ A·B =           − − 211 301 012 ·           − − 123 012 101 =           −− − 155 2610 210 = A+C Respuesta: 1 2 1 = = −= z y x
  • 37. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 37 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Determinar la matriz X que verifica la ecuación matricial A·X + B = C donde: A =       −− 21 53 , B =      − 012 101 y C =       − 310 211 Justificar la respuesta. 19. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 2006 :RESOLUCIÓN:: La matriz X tiene que tener dimensión 2x3 para que se puedan realizar las operaciones del primer miembro de la igualdad. Sea X=       232221 131211 xxx xxx Se tiene que cumplir: A·X + B = C Es decir:       −− 21 53 ·       232221 131211 xxx xxx +      − 012 101 =       − 310 211 Efectuando las operaciones del primer miembro:       − =      −−+−−+−− +++−+ 310 211 21222 15353153 231322122111 231322122111 xxxxxx xxxxxx Para que estas dos matrices sean iguales se tiene que verificar: Conocimientos específicos: - Suma de matrices. - Producto de matrices. - Igualdad de matrices.
  • 38. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 38 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida )(32)(112)(022 )(2153)(153)(1153 623134221222111 523133221212111 ExxExxExx ExxExxExx =−−=+−−=+−− =++−=+=−+ Sistema de tres pares de ecuaciones con dos incógnitas que resolvemos por reducción: (3E2 + E1): 21x− 15 =+ 421 =⇒ x ⇒ Sustituyendo en (E2): ⇒=+−− 02811x 611 −=x (3E4 + E3): 22x− 23 =+ 122 =⇒ x ⇒ Sustituyendo en (E4): ⇒=+−− 11212x 212 −=x (3E6 + E5): 23x− 111 =+ 1023 −=⇒ x ⇒ Sustituyendo en (E6): ⇒=+− 32013x 1713 =x La matriz X es, por lo tanto, X =       − −− 1014 1726 Comprobamos si se cumple que A·X + B = C A·X + B =       −− 21 53 ·       − −− 1014 1726 +      − 012 101 = +      − − 302 112      − 012 101 =       − 310 211 = C. Se cumple. Respuesta: X =       − −− 1014 1726
  • 39. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 39 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Determinar la matriz X que verifica la ecuación A2 ·X – B = A·X donde: A =           − − 111 012 101 y B =           − − − 110 131 012 Justificar la respuesta 20. MATRICES Selectividad - Extremadura Junio 2007 :RESOLUCIÓN:: Para despejar X en la ecuación A2 ·X – B = A·X, tendremos en cuenta que el producto de matrices cumple la propiedad asociativa y la distributiva respecto a la suma, pero que no cumple la propiedad conmutativa: A2 ·X – B A2 ·X – A·X (A2 – A)·X (A2 – A)–1 ·[(A2 – A)·X] [(A2 – A)–1 · (A2 – A)]·X I·X X = = = = = = = A·X B B (A2 – A)–1 · B (A2 – A)–1 · B (A2 – A)–1 · B (A2 – A)–1 · B Hallaremos (A2 – A) para luego obtener su inversa y multiplicarla por B: A2 =           − − 111 012 101 ·           − − 111 012 101 =           − −− 220 214 212 Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices. Propiedades. - Cálculo de la matriz inversa de una dada.
  • 40. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 40 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida A2 – A =           − −− 220 214 212 –           − − 111 012 101 =           − −− 111 202 111 Su inversa la calcularemos por el método de Gauss (las trasformaciones elementales que convierten una matriz en la matriz unidad, convierten a ésta, en la inversa de aquella):  → →  →           − − −−  →  → →           − −− − + − − 23 2 21 13 12 1 2 1 2 1 2 101|220 012|020 001|111 100|111 010|202 001|111 FF F FF FF FF F           − − → →  →           − − − + 212121|100 0211|010 21021|001 111|200 0211|010 0210|101 3 2 31 2 1 2 1 F F FF . Por lo tanto: X = (A2 – A)–1 · B= · 212121 0211 21021           − −           − − − 110 131 012 =           − −− − 02321 212523 2101 Respuesta: X =           − −− − 02321 212523 2101
  • 41. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 41 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 21. MATRICES Selectividad - Extremadura Septiembre 2008 :RESOLUCIÓN:: IBXA =·· ⇒ 1111 ··)····( −−−− = BIABBXAA →* 11 · −− = BAX (*) Por la propiedad asociativa del producto: 11 )····( −− BBXAA = =−− )··()··( 11 BBXAA IXI ·· = X (el producto de dos matrices inversas entre sí es igual a la matriz ,I elemento neutro del producto). Cálculo de 1− A por el método de Gauss-Jordan: ( ) ( )1 || − → AIIA      − 10|11 01|21       + − → 12 1 FF F       −− 11|30 01|21         → 2 1 3 1 F F       −− 3/13/1|10 01|21 →       + → 2 21 2 F FF       − 3/13/1|10 3/23/1|01 ⇒ 1− A =      − 11 21 · 3 1 Cálculo de 1− B : ( ) ( )1 || − → BIIB       − 10|21 01|10      − → 1 2 F F       −− 01|10 10|21       + → 2 21 2 F FF       − 01|10 12|01 ⇒ ⇒ 1− B =       − 01 12 Conocimientos específicos: - Producto de matrices. Propiedades. - Cálculo de la matriz inversa de una dada.
  • 42. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 42 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 11 · −− = BAX =      − 11 21 · 3 1 ·       − 01 12 =       −13 10 · 3 1 =       − 3/11 3/10 Comprobación de que IBXA =·· : BXA ·· = BXA )··( =      − 11 21 ·       − 3/11 3/10 ·       − 21 10 =       − 01 12 ·       − 21 10 =       10 01 = I Solución: X =       − 3/11 3/10
  • 43. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 43 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 1. Determinar las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema matricial: 3A – 2B =           − − 4415 095 450 , 2A + B =           −− − 2510 766 217 Justificar la respuesta. 22. MATRICES CONTROL 1 (Curso 07-08) 27 SEP 07 Lo resolveremos por el método de reducción: Si llamamos E1 a la primera ecuación y E2 a la segunda, tenemos que:           − −=           − −=⇒           −− −+           − − =⇒+ 025 231 012 01435 14217 0714 · 7 1 2510 766 217 ·2 4415 095 450 ·72 21 AAEE Sustituyendo la matriz A en E2 y despejando B obtenemos: ·2 2510 766 217 −           −− −=B           − − 025 231 012           −− − − = 210 304 213 Comprobamos los resultados obtenidos sustituyéndolos en las ecuaciones originales: ·323 =− BA           − − 025 231 012 ·2−           −− − − 210 304 213 =           − − 4415 095 450 ⇒Se verifica la primera. Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
  • 44. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 44 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida ·22 =+ BA           − − 025 231 012 +           −− − − 210 304 213 =           −− − 2510 766 217 ⇒También la segunda. Respuesta: =A           − − 025 231 012 y =B           −− − − 210 304 213
  • 45. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 45 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 2. Halla razonadamente el rango de la matriz A =           −− − 11113 531 213 e indica lo que significa dicho valor. 23. MATRICES CONTROL 1 (Curso 07-08) 27 SEP 07 Hallaremos el rango de la matriz por el método de Gauss, para ello obtendremos una matriz escalonada equivalente a A haciendo en ésta trasformaciones elementales. El número de filas no nulas de la matriz escalonada será el rango de A.           −− − 11113 531 213  → ↔ 21 FF           − −− 11113 213 531  →  → −→ −→ 133 122 3 3 FFF FFF           −− 26200 13100 531  → −→ 233 2FFF           −− 000 13100 531 Por lo tanto: Rang (A) = 2 Respuesta: El rango de la matriz A es 2 lo que significa que tiene dos filas linealmente independientes entre sí y la otra es una combinación lineal de ellas. Conocimientos específicos: Rango de una matriz. Concepto y cálculo.
  • 46. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 46 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida 24. MATRICES CONTROL 2 (Curso 07-08) 04 OCT 07 :RESOLUCIÓN:: a) Para hallar la matriz t BIA +− 2 )3( efectuamos, ordenadamente, las operaciones:           − − −− =           −           − −− =−⇒           =⇒           = 132 240 014 300 030 003 232 210 011 3 300 030 003 3 100 010 001 IAII =− 2 )3( IA           − − −− 132 240 014 ·           − − −− 132 240 014 =           −− − − 71710 10224 2816 y como           −− − = 311 220 132 t B Sumando estas dos matrices obtenemos la solución:           −− − − =+− 4189 8244 11114 )3( 2 t BIA Conocimientos específicos: - Matiz identidad. - Matriz traspuesta. - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices.
  • 47. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 47 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida b) Existirá 1− A , inversa de A, si 0≠A =A 1 040)·1·(2)1·(3·22)·1·(02)·1·(20·3·02)·1)·(1( 232 210 011 − ∃⇒≠=−−−−−−−++−−=− −− A Para hallar 1− A utilizaremos la fórmula )(· 11 t AAdj A A =− tt AAdjA ( 220 311 201 ⇒           −− − = ) = =                   −− − + − − − − + − − − +− −− + − − − + 11 01 31 21 31 20 20 01 20 21 22 20 20 11 20 31 22 31           − −+− 112 224 228 Por lo que · 4 11 =− A           − −+− 112 224 228 ⇒ A–1 =           − −− 414121 21211 21212
  • 48. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 48 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Halla razonadamente para qué valores de m la matriz M =           − 10 21 101 m m tiene rango 1, 2 y 3, respectivamente. 25. MATRICES CONTROL 3 (Curso 07-08) 11 OCT 07 :RESPUESTA: El rango de una matriz es el número de filas linealmente independientes entre sí M no puede tener rango 1 para ningún valor de m puesto que la fila 2 es linealmente independiente de la 1, al no ser proporcional a ella, es decir, no existe un número k para el que F2= k·F1, por lo tanto el mínimo rango que tiene M es 2, cosa que ocurrirá si F3 es una combinación lineal de F1 y F2 en cuyo caso |M| = 0; M tendrá rango 3, es decir, las tres filas serán linealmente independientes entre sí, si |M| ≠ 0 |M| = 10 21 101 m m − = 122 ++ mm y para que 122 ++ mm = 0 tiene que ser m = −1 por lo tanto: Respuesta: - Rango de M = 1 no se verifica para ningún valor de m. - Rango de M = 2 para m = −1 - Rango de M = 3 ∀ m ≠ −1 Conocimientos específicos: - Rango de una matriz. Concepto y cálculo.
  • 49. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 49 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Halla razonadamente la matriz X que verifica A · X = B siendo A =           −− 432 111 253 y B =           2 0 1 26. MATRICES CONTROL 3 (Curso 07-08) 11 OCT 07 Se trata de una ecuación matricial que resolveremos despejando X para lo cuál multiplicaremos a los dos miembros, por la izquierda ya que no se cumple la propiedad conmutativa, por la inversa de A y en virtud de la propiedad asociativa del producto de matrices y de que el producto de una matriz por su inversa es la matriz unidad, elemento neutro del producto, quedará despejada la X. A · X = B ⇒ A-1 · (A · X) = A-1 · B ⇒ (A-1 · A) · X = A-1 · B ⇒ I · X = A-1 · B ⇒ X = A-1 · B Cálculo de A-1 : At =           − − 412 315 213 y A-1 = )(· 1 t AAdj A = 432 111 253 1 −− ·                         − +− − + − −+ − − − − +− − − + 15 13 35 23 31 21 12 13 42 23 41 21 12 15 42 35 41 31 = =           − − −−− − 815 586 3141 · 23 1 Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices. Propiedades. - Cálculo de la matriz inversa de una dada.
  • 50. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 50 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Por lo tanto: 23 1 ·1 −== − BAX           − − −−− 815 586 3141           2 0 1 = 23 1 −           − − 11 4 7 ⇒ X =           − 23/11 23/4 23/7 Comprobación:           −− 432 111 253 ·           − 23/11 23/4 23/7 =           2 0 1 Se verifica que A · X = B
  • 51. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 51 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Determina la matriz X para la que se verifica: A2 X = 2 1 (A + B · Ct ) Siendo: A =       10 12 , B =       − 131 211 y C =      − 213 611 27. MATRICES CONTROL 7 (Curso 07-08) EXAMEN GLOBAL PRIMERA EVALUACIÓN. 28 NOV 07 A2 X = 2 1 (A + B · Ct ) ⇒ X = (A2 )−1 · 2 1 (A + B · Ct ) = 2 1 · (A2 )−1 · (A + B · Ct ) A2 =       10 12 ·       10 12 =       10 34 ⇒ (A2 )−1 = t AAdj A )(· || 1 2 2 =       13 04 · 4 1 Adj =       − 40 31 · 4 1 Además: Ct =          − 26 11 31 por lo que B · Ct =       − 131 211 ·          − 26 11 31 =       210 812 A + B · Ct =       10 12 +       210 812 =       310 914 Por lo tanto: Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices. Propiedades. - Cálculo de la matriz inversa de una dada.
  • 52. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 52 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida X = 2 1 · (A2 )−1 · (A + B · Ct ) =       − 40 31 · 4 1 · 2 1 ·       310 914 = 8 1 ·      − 1240 016 =      − 2/35 02 Solución: X =      − 2/35 02
  • 53. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 53 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Determina, razonadamente, para qué valores de m, la matriz A =           − 10 21 101 m m tiene inversa y calcúlala para m = 0 28. MATRICES CONTROL 8 (Curso 07-08) EXAMEN de REPASO de la 1ª EVALUACIÓN 10 ENE 08 La respuesta la encontrarás en tu libro de texto, “MATEMÁTICAS II aplicadas a las CCSS” – edebé (Ejemplo resuelto. Pág. 65 / Ej. B.). Conocimientos específicos: - Cálculo de la matriz inversa de una dada.
  • 54. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 54 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Resuelve la ecuación 21 2 BCDXBA =−− , siendo       = 30 22 A ;       = 31 21 B ;       = 1 2 C y ( )31=D 29. MATRICES CONTROL 16 (Curso 07-08) EXAMEN FINAL 20 MAYO 08 Se trata de una ecuación matricial que resolveremos despejando la incógnita, X , teniendo en cuenta que el producto de matrices cumple la propiedad asociativa, pero NO la conmutativa y que el producto de una matriz por su inversa da la matriz identidad que es el elemento neutro del producto. 21 2 BCDXBA =−− ⇒ CDBXBA 221 +=− ⇒ )2(· 2 CDBAXB += ⇒ 12 ·)2(· − += BCDBAX Cálculos: =2 B       31 21 ·       31 21 =       114 83 22 =CD ·       1 2 ·( )31 = 2 ·       31 62 =       62 124 =+ CDB 22       114 83 +       62 124 =       176 207 )2(· 2 CDBA + =       30 22 ·       176 207 =       5118 7426 Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices. Propiedades. - Cálculo de la matriz inversa de una dada.
  • 55. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 55 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Obtención de 1− B por el método de Gauss:       10|31 01|21  → −→ !22 FFF       − 11|10 01|21  → −→ 2211 FFF       − − 11|10 23|01 =−1 B       − − 11 23 12 ·)2(· − += BCDBAX =       5118 7426 ·       − − 11 23 =       153 224 Solución: =X       153 224
  • 56. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 56 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida Dada las matrices A =           −− − 016 102 211 y B = ( )101 − ,,,, calcula, si es posible: )a Una matriz X tal que X · A = B. )b Una matriz Y tal que A · Y = Bt . 30. MATRICES CONTROL 17 (Curso 07-08) EXAMEN EXTRAORDINARIO 01 SEPT. 08 )a X mxn · A 33x = B 31x . De existir X , tendrá tantas filas como B (m =1) y tantas columnas como filas tiene A (n = 3) es decir la dimensión de X será 1 X 3 de esta manera: 313331 · XXX BAX = Despejamos X multiplicando a ambos miembros de la ecuación, POR LA DERECHA, por 1− A (*), resultando: 1 · − = ABX =X ( )101 − ·           −−− −−− 252 5126 121 ( )131=X Puedes comprobar que X · A = B )b A 33x · Y mxn = Bt x13 . De existir Y , tendrá tantas columnas como t B (n = 1) y tantas filas como columnas tiene A (m = 3), es decir, la dimensión de Y será 3 X 1 así: t XXX BYA 131333 · = Despejamos Y multiplicando a ambos miembros de la ecuación, POR LA IZQUIERDA, por 1− A (*), resultando: t BAY ·1− = Y =           −−− −−− 252 5126 121 ·           −1 0 1 ⇒           = 0 1 0 Y Puedes comprobar que A · Y = Bt Conocimientos específicos: - Operaciones con matrices: · Suma de matrices. · Producto de número por matriz. · Producto de matrices. Propiedades. - Cálculo de la matriz inversa de una dada.
  • 57. APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo Matemáticas aplicadas a las CCSS PROB LEM AS RESU E LTOS MATRICES Pág. 57 de 57 Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida (*) Cálculo de 1− A 016 102 211 )( −− −== ADetA =1 y t A =           − − − 012 101 621 )( t AAdj =                   + − − − − − + − − − + − − − − + − − − − + 01 21 11 61 10 62 12 21 02 61 01 62 12 01 02 11 01 10 =           −−− −−− 252 5126 121 ; por lo tanto: 1− A = A 1 · )( t AAdj =           −−− −−− 252 5126 121