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Departamento de Educación de Puerto Rico
Escuela Superior Vocacional República de Costa Rica
             Distrito Escolar: Caguas I
             Facultad de Matemáticas
              Prof. Carlos E. Martínez
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                                                                  Información
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                                                                   conceptos




 Creado por: Prof. Carlos Martínez   Derechos Reservados - 2008        2
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¿Qué pasa cuando no son triángulos rectos?




          ?                                                               ?
                                                                                            3
               PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
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LAW OF SINES

                      B


           c                        a




  A                                                C
                     b

      Sin A           Sin B
               =
       a                  b




                                                                                     4
                   PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
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LAW OF SINES

                      B


           c                        a




  A                                                C
                     b

      Sin A           Sin C
               =
       a                  c




                                                                                     5
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LAW OF SINES

                      B


           c                        a




  A                                                C
                     b

      Sin C           Sin B
               =
       c                  b




                                                                                     6
                   PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
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LAW OF SINES

                      B


           c                        a




  A                                                C
                     b

      Sin A           Sin B                      Sin C
               =                        =
       a                  b                         c




                                                                                     7
                   PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
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    SOLVE: m A = 67°, a=14,                                    Sin A                  Sin B
           b=9                                                                =
               B                                                 a                     b

                                                        (9)     Sin 67°                Sin B
                                                                               =                 (9)
       c                       a=14                               1                     9
                 36.3°                                            4
                                                                 Sin 67°
                                                        (9)                         = Sin B
           67°                                                       1
                              76.7°
                                                                     4
A                                             C
                 b=9
                                                                  .9205
                                                         (9)                        = Sin B
                                                                     1
                                                                     4

                                                          Sin B = .591
                                                                  7 -1
                                                          m B = Sin( .5917
                                                          )
                                                          m B = 36.3°
                                                         m C = 180°-67°-36.3°=76.7°
                                                                                                       8
                         PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
STANDARD 19
        SOLVE:      m A = 67°, a=14,                                Sin A                    Sin B
                    b=9                                                            =
                     B                                                 a                      b

                                                             (9)      Sin 67°                 Sin B
                                                                                       =                  (9)
    14.79=c                       a=14
                    36.3°                                              1                       9
                                                                       4
                                                                      Sin 67°
              67°           76.7°                             (9)                          = Sin B
                                                                           1
A                                                C                         4
                    b=9
                                                                       .9205
    Sin 67°         Sin76.7                                   (9)                          = Sin B
               =    °                                                      1
      1                c                                                   4
      4
    c Sin 67°= 1 Sin76.7
                4 °                                            Sin B = .591
    c Sin 67° = 1 Sin76.7
                                                                       8 -1
    Sin            °
                4 Sin 67°                                      m B = Sin( .5918
    67°                                                        )
             1 (.9731)                                         m B = 36.3°
         c=
             4 (.9205)
                                                          m C = 180°-67°-36.3°=76.7°
                                                                                                             9
         c=
         14.79              PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
STANDARD 19
    SOLVE:    m A = 58°, a=11,                            Sin A                  Sin B
              b=8                                                        =
              B                                             a                     b

                                                   (8)     Sin 58°                Sin B
                                                                          =                     (8)
    c                     a=11                               11                    8
              38°
                                                            Sin 58°
                                                   (8)                         = Sin B
        58°                                                     11
                         84°
A                                        C
              b=8
                                                             .8480
                                                    (8)                        = Sin B
                                                                11


                                                     Sin B = .616
                                                             7 -1
                                                     m B = Sin( .6167
                                                     )
                                                     m B = 38°
                                                    m C = 180°-58°-                    84°
                                                                38°=                                  10
                    PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
STANDARD 19
           SOLVE:     m A = 58°, a=11,                            Sin A                  Sin B
                      b=8                                                        =
                      B                                             a                     b
                                                                   Sin 58°                Sin B
                                                           (8)                    =                     (8)
     12.9=c                       a=11                               11                    8
                      38°
                                                                    Sin 58°
                                                           (8)                         = Sin B
              58°            84°                                        11
A                                                C
                      b=8
                                                                     .8480
    Sin 58°           Sin 84°                               (8)                        = Sin B
                  =                                                     11
      11             c
    c Sin 58°= 11 Sin 84°                                    Sin B = .616
    c Sin 58° = 11 Sin 84°                                           7 -1
                                                             m B = Sin( .6167
    Sin           Sin 58°                                    )
    58°                                                      m B = 38°
             11 (.9945)
         c=
               (.8480)                                      m C = 180°-58°-                    84°
                                                                        38°=                                  11
           c=
           12.9             PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
STANDARD 19
         SOLVE:      a=15, m B = 63°, m C = 38°
                                                               m A = 180°-63°-38°= 79°
                      B
                                                                  Sin A                Sin C
                                                                                 =
    9.40 = c         63°         a=15                                a                   c

                                                                 Sin 79°              Sin 38°
                                                                               =
               79°         38°                                   1                c
A                                               C                5
                                                               c Sin 79°= 1 Sin 38°
                     b
                                                                           5
                                                               c Sin 79° 1 Sin 38°
                                                                        =
                                                               Sin         5 Sin 79°
                                                               79°      1 (.6157)
                                                                    c=
                                                                        5 (.9816)
                                                                         c = 9.40




                                                                                                      12
                           PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
SOLVE:     a=15, m B = 63°, m C = 38°                                                   STANDARD 19

                          B
                                                                     m A = 180°-63°-38°= 79°
                                                                         Sin A               Sin C
    9.4 = c              63°             a=15                                          =
                                                                           a                   c

                 79°               38°                                 Sin 79°              Sin 38°
                                                                                     =
A                                                       C            15               c
                          b =13.61
                                                                     c Sin 79°= 15 Sin 38°
 Sin A                 Sin B
                =                                                    c Sin 79°
                                                                              = 15 Sin 38°
     a                   b                                            Sin 79°    Sin 79°
Sin 79°                Sin 63°                                                    15 (.6157)
                =                                                           c=
    15                                                                             (.9816)
                 b
b Sin 79°= 15 Sin 63°                                                          c = 9.4

b Sin 79°
        = 15 Sin 63°
Sin 79°    Sin 79°
              15 (.8910)
         b=                         b = 13.61                                                              13
               (.9816)
                                 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
¡Éxito!
Creado por: Prof. Carlos Martínez   Derechos Reservados - 2008   14
1] Nos indican que el ángulo A del ∆ABC mide 58 grados.
   También señalan que a=11 y b=8. Encuentra las
   medidas de    B ,    C y c.


                                                                     Haz clic
                 (A) 39, 43 y 28                                    aquí para
                                                                    repasar el
                  (B) 38, 84 y 15                                    tutorial.
                                                                    Aprieta el
                                                                     botón de
                  (C) 38, 75 y 12.9                                  ESC para
                                                                     salir del
                  (D) 38, 84 y 12.9                                   mismo.




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      Creado por: Prof. Carlos Martínez   Derechos Reservados - 2008   17
2] Si el ángulo C del ∆ABC mide 70 grados. De
   igual forma, indican que a=30 y b=40.
   Encuentra las medidas de A ,       B y c.


                                                                     Haz clic
                                                                    aquí para
                 (A) 39, 43 y 28                                    repasar el
                                                                     tutorial.
                  (B) 43.5, 66.5 y 41                               Aprieta el
                                                                     botón de
                  (C) 38, 75 y 12.9                                  ESC para
                                                                     salir del
                                                                      mismo.
                  (D) 43.5, 60.5 y 41


   Creado por: Prof. Carlos Martínez   Derechos Reservados - 2008         18
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      Creado por: Prof. Carlos Martínez   Derechos Reservados - 2008   19
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Creado por: Prof. Carlos Martínez   Derechos Reservados - 2008   20
3] En esta ocasión nos señalan que los lados de
   un triángulo miden 21, 30 y 16. Encuentra las
   medidas de los ángulos.
                                                                     Haz clic aquí para
                                                                     repasar el tutorial.
                                                                     Aprieta el botón de
                  (A) 39, 43 y 28                                     ESC para salir del
                                                                           mismo.
                   (B) 41.5, 66.5 y 107.6
                   (C) 41.8, 75 y 12.9
                   (D) 41.8, 30.6 y 107.6


    Creado por: Prof. Carlos Martínez   Derechos Reservados - 2008                 21
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Módulo Leyes Del Seno Y Coseno

  • 1. Departamento de Educación de Puerto Rico Escuela Superior Vocacional República de Costa Rica Distrito Escolar: Caguas I Facultad de Matemáticas Prof. Carlos E. Martínez
  • 2. Por favor, haz un clic en el siguiente enlace: Información sobre los conceptos Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 2
  • 3. STANDARD 19 ¿Qué pasa cuando no son triángulos rectos? ? ? 3 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 4. STANDARD 19 LAW OF SINES B c a A C b Sin A Sin B = a b 4 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 5. STANDARD 19 LAW OF SINES B c a A C b Sin A Sin C = a c 5 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 6. STANDARD 19 LAW OF SINES B c a A C b Sin C Sin B = c b 6 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 7. STANDARD 19 LAW OF SINES B c a A C b Sin A Sin B Sin C = = a b c 7 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 8. STANDARD 19 SOLVE: m A = 67°, a=14, Sin A Sin B b=9 = B a b (9) Sin 67° Sin B = (9) c a=14 1 9 36.3° 4 Sin 67° (9) = Sin B 67° 1 76.7° 4 A C b=9 .9205 (9) = Sin B 1 4 Sin B = .591 7 -1 m B = Sin( .5917 ) m B = 36.3° m C = 180°-67°-36.3°=76.7° 8 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 9. STANDARD 19 SOLVE: m A = 67°, a=14, Sin A Sin B b=9 = B a b (9) Sin 67° Sin B = (9) 14.79=c a=14 36.3° 1 9 4 Sin 67° 67° 76.7° (9) = Sin B 1 A C 4 b=9 .9205 Sin 67° Sin76.7 (9) = Sin B = ° 1 1 c 4 4 c Sin 67°= 1 Sin76.7 4 ° Sin B = .591 c Sin 67° = 1 Sin76.7 8 -1 Sin ° 4 Sin 67° m B = Sin( .5918 67° ) 1 (.9731) m B = 36.3° c= 4 (.9205) m C = 180°-67°-36.3°=76.7° 9 c= 14.79 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 10. STANDARD 19 SOLVE: m A = 58°, a=11, Sin A Sin B b=8 = B a b (8) Sin 58° Sin B = (8) c a=11 11 8 38° Sin 58° (8) = Sin B 58° 11 84° A C b=8 .8480 (8) = Sin B 11 Sin B = .616 7 -1 m B = Sin( .6167 ) m B = 38° m C = 180°-58°- 84° 38°= 10 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 11. STANDARD 19 SOLVE: m A = 58°, a=11, Sin A Sin B b=8 = B a b Sin 58° Sin B (8) = (8) 12.9=c a=11 11 8 38° Sin 58° (8) = Sin B 58° 84° 11 A C b=8 .8480 Sin 58° Sin 84° (8) = Sin B = 11 11 c c Sin 58°= 11 Sin 84° Sin B = .616 c Sin 58° = 11 Sin 84° 7 -1 m B = Sin( .6167 Sin Sin 58° ) 58° m B = 38° 11 (.9945) c= (.8480) m C = 180°-58°- 84° 38°= 11 c= 12.9 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 12. STANDARD 19 SOLVE: a=15, m B = 63°, m C = 38° m A = 180°-63°-38°= 79° B Sin A Sin C = 9.40 = c 63° a=15 a c Sin 79° Sin 38° = 79° 38° 1 c A C 5 c Sin 79°= 1 Sin 38° b 5 c Sin 79° 1 Sin 38° = Sin 5 Sin 79° 79° 1 (.6157) c= 5 (.9816) c = 9.40 12 PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 13. SOLVE: a=15, m B = 63°, m C = 38° STANDARD 19 B m A = 180°-63°-38°= 79° Sin A Sin C 9.4 = c 63° a=15 = a c 79° 38° Sin 79° Sin 38° = A C 15 c b =13.61 c Sin 79°= 15 Sin 38° Sin A Sin B = c Sin 79° = 15 Sin 38° a b Sin 79° Sin 79° Sin 79° Sin 63° 15 (.6157) = c= 15 (.9816) b b Sin 79°= 15 Sin 63° c = 9.4 b Sin 79° = 15 Sin 63° Sin 79° Sin 79° 15 (.8910) b= b = 13.61 13 (.9816) PRESENTATION CREATED BY SIMON PEREZ. All rights reserved
  • 14. ¡Éxito! Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 14
  • 15. 1] Nos indican que el ángulo A del ∆ABC mide 58 grados. También señalan que a=11 y b=8. Encuentra las medidas de B , C y c. Haz clic (A) 39, 43 y 28 aquí para repasar el (B) 38, 84 y 15 tutorial. Aprieta el botón de (C) 38, 75 y 12.9 ESC para salir del (D) 38, 84 y 12.9 mismo. Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 15
  • 16. ¡Adelante! Haz clic en el botón. Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 16
  • 17. ¡ Inténtalo de nuevo! Por favor, da un clic en el botón. Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 17
  • 18. 2] Si el ángulo C del ∆ABC mide 70 grados. De igual forma, indican que a=30 y b=40. Encuentra las medidas de A , B y c. Haz clic aquí para (A) 39, 43 y 28 repasar el tutorial. (B) 43.5, 66.5 y 41 Aprieta el botón de (C) 38, 75 y 12.9 ESC para salir del mismo. (D) 43.5, 60.5 y 41 Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 18
  • 19. ¡ Inténtalo de nuevo! Por favor, da un clic en el botón. Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 19
  • 20. ¡Adelante! Haz clic en el botón. Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 20
  • 21. 3] En esta ocasión nos señalan que los lados de un triángulo miden 21, 30 y 16. Encuentra las medidas de los ángulos. Haz clic aquí para repasar el tutorial. Aprieta el botón de (A) 39, 43 y 28 ESC para salir del mismo. (B) 41.5, 66.5 y 107.6 (C) 41.8, 75 y 12.9 (D) 41.8, 30.6 y 107.6 Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 21
  • 22. ¡ Inténtalo de nuevo! Por favor, da un clic en el botón. Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 22
  • 23. ¡Adelante, haz clic en el botón y hasta pronto! Creado por: Prof. Carlos Martínez Derechos Reservados - 2008 23