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MODELOS PARA ANALISIS DE INCERTIDUMBRE
Y TOMA DE DECISIONES ANTE RIESGO SISMICO
L Esteva *
1. lflLOdLL'2Ct6'l
Muchos problemas en ingeniería se relacionan con condiciones en que el ries
go es una variable importante. El riesgo se origina naturalmente por la in
teracción de sistemas de ingeniería con personas y con el medio ambiente, y
en general no puede ser anulado, sino únicamente reducido, aunque a cierto
costo. Es objetivo de un proyecto sano de ingeniería balancear beneficios,
riesgos e inversiones. Esto puede lograrse mejor si pueden formularse des-
cripciones cuantitativas del riesgo y definirse claramente reglas de deci-
sión congruentes. El análisis de riesgo tiene que basarse en un marco con-
gruente que permita describir y evaluar incertidumbres de distintos tipos y
amplitudes, así como integrarlas en medidas adecuadas de riesgo. Así, las
reglas de decisión deben tomar en cuenta un gran número de variables y par
metros interactuantes,y por tanto seÍalan la necesidad de desarrollar esca-
las adecuadas de valores y criterios para aceptación de riesgo.
Un modelo de riesgo que pretenda emplearse en ingeniería sísmica bajo el en
foque descrito debe conducir a criterios cuantitativos para describir las
posibles formas e intensidades de la respuesta de un sistema a la actividad
sísmica y para determinar sus correspondientes probabilidades. La respuesta
del sistema conduce a consecuencias que afectan a personas, sus propiedades
y sus intereses, y la escala de valores traduce las consecuencias en núme-
ros que sirven de base a las decisiones.
El desarrollo de métodos probabilsticos para análisis de seguridad de es-
tructuras ha dado a investigadores, redactores de especificaciones e inge-
nieros practicantes un marco racional para describir las incertidumbres
asociadas con las propiedades de los sistemas estructurales y de las car-
gas que pueden actuar sobre ellos. Este marco incluye también definicio-
nes de medidas de seguridad y criterios cuantitativos para relacionar di-
chas medidas con los factores de seguridad y con los valores nominales de
las variables de diseño. Tanto investigadores como redactores de normas
han reconocido la capacidad de tales modelos para producir criterios de
diseño que conduzcan a seguridad congruente (1-7), y por tanto los mode-
los en cuestión han encontrado un lugar en los criterios codificados para
medir la seguridad y para adoptar valores de diseño y factores de seguri-
dad. A pesar de estas aplicaciones, los métodos probabilTsticos se en-
cuentran aún en una etapa primitiva de desarrollo; en la mayor parte de
los casos proporcionan únicamente medidas vagas y poco claras de la segu-
ridad y su aplicación se ha limitado a casos con incertidumbres relativa-
mente pequeñas: no se entienden bien sus posibilidades y limitaciones y
las primeras distan de haber sido explotadas suficientemente.
Los modelos probabilsticos se consideran en ocasiones inadecuados para
manejar algunos de los problemas précticos ms significativos: un ejemplo
es el de expresar en forma cuantitativa el impacto en la seguridad de los
errores humanos (de hecho la causa ms frecuente de comportamiento estruc
tural inadecuado), en contraste con las llamadas desviaciones naturales
en cargas y resistencias; otro es la dificultad para traducir conocimien-
to incierto en modelos probabiHsticos y sus parámetros.
No existe dificultad conceptual en tratar de representar los errores huma-
nos por medio de modelos probabiUsticos: tal vez.los problemas prácticos
ms importantes en relación con esto se presentan al tratar de describir
el espacio de eventos que cubre la gran variedad de errores que pueden co-
meter los humanos como consecuencia de descuido, negligencia, ignorancia,
avaricia y actitudes similares. Aun si se contara con un modelo razonable
para representar el espacio de eventos mencionado y su correspondiente carn
po de probabilidad nos faltaría evaluar el impacto de tales eventos en la
seguridad de miembros y sistemas estructurales, as como la economía de me
didas alternativas de control de calidad orientadas a reducir la probabili
dad de errores y su impacto en la seguridad estructural. Esto no sólo es
posible, sino también prometedor y deseable. Por supuesto que nunca sere-
mos capaces de integrar (ni estaremos nunca convencidos de que lo hemos lo
grado) un espacio comprensivo de eventos de error, pero no hay mucha duda
sobre la posibilidad de tomar en cuenta aquellas que serian responsables
de la mayor parte de las fallas bajo condiciones normales. Así se disipa
una antigua controversia entre los partidarios y los detractores de los mé
todos probabil ísticos.
Cuando se trata con incertidumbres asociadas con nuestro conocimiento acer
ca de fenómenos o estados de la naturaleza no repetitivos (o que se repi-
ten con poca frecuencia), los modelos probabilísticos y la inferencia del
mismo tipo pierden su apoyo estadístico,tanto bajo el punto de vista prác-
tico como bajo el conceptual. estas situaciones son típicas del análisis
de riesgo sísmico para los intervalores de magnitudes e intensidades extre
mas: la información estadística puede ser escasa o inexistente y no pode-
mos pretender más que escuchar la opinión de un geólogo (normalmente ses-
gada a los valores más elevados) de los máximos tamaños (magnitudes o mo-
mentos sísmicos) de los temblores que pueden generarse en una fuente dada.
Entonces aún tendremos que estimar la máxima intensidad posible, lo que lo
graremos normalmente mediante expresiones de atenuación de intensidad semi-
empíricas caracterizadas por las grandes desviaciones estadísticas de sus
predicciones (8-12). Si empleamos datos registrados en distintas regiones
de la tierra consideradas con características de mecanismos sísmicos y ra-
zones de atenuación de intensidad semejantes a las típicas de una región
de interés, podremos obtener un modelo probabilístico de las intensidades
que pueden tenerse en un sitio dada la ocurrencia de una magnitud máxima
posible determinada intuitivamente en el lugar más desfavorable (también
determinado intuitivamente) con respecto al sitio. Esto puede conducirnos
a la incongruente situación de discutir sobre el nivel de probabilidad al
que deberíamos determinar la intensidad de diseño a partir de la distribu-
ción de las relaciones de valores medidos a observados, a pesar de que el
margen de incertidumbre asociado con la cota superior a las magnitudes pa-
ra las que se predicen las intensidades pueda sobrepasar por mucho al que
se debe a las desviaciones estadísticas involucradas en la distribución pro-
babilística citada. Esta situación demanda un tratamiento unificado.
La formulación de modelos estocásticos de la sismicidad orientados a la to-
ma de decisiones ante riesgo se ve obstaculizada no sólo por la falta de es-
3
tadísticas significativas sobre tasas de recurrencia de magnitudes e inten
sidades, sino también por la imposibilidad virtual para definir un tipo da
do de modelo de proceso estocástico que represente a la actividad sísmica
en una región de tamaño moderado (alrededor de 500-800 km de diámetro) con
base exclusiva en la información estadística. Durante las últimas décadas
se ha dado algo de importancia a modelos estocásticos de sismicidad dife-
rentes del de Poisson (13-16), y se han reconocido y señalado como carac-
terísticos de muchas regiones del mundo los patrones de correlación espa-
cial y temporal típicos de las brechas o lagunas sísmicas (seismic gaps).
Con pocas excepciones, el ajuste de parámetros de modelos no poissonianos
a poblaciones estadísticas se ha llevado a cabo únicamente para registros
que incluyen grandes números de temblores de magnitud pequeña (arriba de
4) ocurridos durante lapsos relativamente breves (10 a 20 años), y sólo
han llegado a entenderse en cierto grado los patrones de quietud y activi-
dad alternantes en lapsos de alrededor de 20 a 40 años (17); pero hay cla-
ra evidencia de que los ciclos de agrupación de temblores o migración de
actividad pueden ser mucho más largos que los de las brechas sísmicas con-
vencionales, de que algunas regiones que han permanecido inactivasdurante
varios siglos se han tornado súbitamente en fuentes de actividad intensa,
y por tanto de que la mayor parte de los registros sísmicos pueden ser de-
sorientadores si se toman como únicas fuentes de información.
Frente a tantas dificultades conceptuales y prácticas, el tratar de for-
mular e implantar modelos probabilísticos de sisniicidad para toma de de-
cisiones parecería como nadar contra la corriente, pero la necesidad de
encontrar formas para medir y manejar la incertidumbre constituyen fuer-
tes incentivos, ya que la posición convencional de confiar en la intui-
ción y el juicio ingenieril y hacer decisiones tan seguras como sea posi-
ble pueden ser incongruentes con la apremiante necesidad de las socieda-
des modernas de usar sus recursos de manera óptima. Los modelos probabi-
lísticos propuestos en este trabajo no pretenden remplazar la experiencia
y el juicio ingenieril, sino tratar de complementarlos al proporcionar al
decisor medidas cuantitativas de la incertidumbre, aun si antes hemos de
convencerlo de adoptar un marco determinado para medir las incertidumbres
asociadas con opiniones y eventos no repetitivos: el marco que aquí se
propone para tal propósito es un tratamiento probabilístico unificado, ba-
sado en información objetiva y subjetiva.
Cabe poca duda de que las decisiones actuales relacionadas con requisitos
de dise?io sísmico para control y mitigación de riesgo se basan en gran par-
te en opiniones subjetivas y que los decisores se sentirían ms cómodos si
la parte objetiva de la información fuera mayor que lo usual. Como se da
atención prioritaria a que las decisiones sean suficientemente seguras, en
particular cuando se busca protección contra eventos con muy severas con-
secuencias esperadas, todas las decisiones individuales que se toman se-
cuencialmente con respecto a los valores que deben suponerse para las di-
versas variables resultan fuertemente sesgadas hacia el lado conservador,
lo que sería perfectamente razonable si se efectuaran evaluaciones de las
consecuencias de adoptar sfmultneamente los valores ms desfavorables so-
bre seguridad y costo del sistema para las variables correspondientes; pe-
ro no pueden hacerse evaluaciones cuantitativas de seguridad de un sistema
a menos de que se cuente con un marco adecuado de referencia.
Nuestro problema no es sólo el medir y describir la incertidumbre, sino
también el de establecer criterios de decisión, y este último problema no
puede resolverse sin estudiar los valores e incertidumbres implícitos en
las decisiones que toman intuitivamente los individuos, los comités y las
sociedades.
Los modelos racionales teóricos para toma de decisiones sólo pueden implan-
tarse después de calibrarlos con las decisiones de la practica real, basa-
das en experiencia y juicio; pero una vez que se logra la calibración el
papel de los modelos no es pasivo: se desarrolla una interacción entre mo-
delos y práctica, que propicia el aprendizaje por parte del modelo, hace
patentes algunas incongruencias de la toma de decisiones en la práctica,
y seiala los conceptos en los que más rendiría mejorar el modelo, la in-
formación o los criterios. Los intentos recientes por aplicar la teoría
de conjuntos difusos (fuzzy sets) a problemas de seguridad estructural
(18-20) son un indicio del interés por encontrar formas congruentes de
procesar información vagamente definida y opiniones subjetivas. El éxito
o la falla eventual de esta clase de modelos dependerá de su calibración
con la practica así como de su posibilidad de interactuar con ella. Esto
vale también para los modelos probabilísticos que se proponen en lo que
sigue.
No se pretende que los modelos descritos en este trabajo proporcionen las
soluciones, sino que ayuden a formular las preguntas correctas; se conci-
ben como sistemas interactivos capaces de aprender, y su utilidad está li-
gada con estas características. Su intención es describir las incertidum-
bres de diversas clases, mostrar el lugar que ocupan en el problema global
de la decisión, y estudiar su influencia en las medidas del riesgo y en
las decisiones. Su aplicación debe proporcionar orientación para estable-
cer jerarquías de incertidumbres, facilitar su evaluación y permitir la ca-
libración y la interacción con la practica convencional. A pesar de que
nuestro conocimiento y comprensión de las reglas de decisión son aún em-
brionarias, se asigna aquí un valor importante a la obtención de estima-
ciones cuantitativas de riesgo congruentes con los modelos propuestos: es-
tas estimaciones constituyen el punto de partida del proceso interactivo
de aprendizaje propuesto antes.
2. Incextídwnbte, pwbabÁLLdctde- y e&go
La necesidad de tomar decisiones en donde debe aceptarse algún riesgo nos
obliga a medir este último, lo que podemos lograr dentro del marco de teo-
ría de probabilidades. Bajo el punto de vista de toma de decisiones, las
probabilidades sólo en ciertos casos pueden considerarse como propiedades
del mundo real; con frecuencia deben tomarse como medidas del grado en
que creemos en hipótesis alternativas sobre las condiciones del mundo real
y las leyes naturales. La utilidad de los modelos probabilísticos de la
naturaleza para toma de decisiones se encuentra en su capacidad para des-
cribir y procesar la incertidumbre en forma congruente, asimilando tanto
la que puede atribuirse principalmente a la variabilidad de los procesos
naturales como la que proviene de nuestro conocimiento imperfecto de ellos.
* La ref 21 contiene una discusión más detallada de los conceptos de esta
sección.
Las llamadas pwbctbí.LLdade4 objetivu se califican a veces como piwbctbí..U-
dctde.4 Aealu, para reforzar la suposición de que son propiedades del mun-
do real, cuantificables únicamente bajo un enfoque frecuencista. Una con
secuencia implicada de llamar probabilidades vvda.dc.il.a4 sólo a las que
pueden deducirse de valores de frecuencias relativas es que las probabili-
dades bje_tcvas no son verdaderas, y por tanto que no juegan ningún papel
en la toma de decisiones. Esta actitud también implica no reconocer las
hipótesis subjetivas implícitas que a veces se ocultan bajo los criterios
estadísticos convencionales para estimar parámetros de las probabilidades
"objetivas" a partir de muestras observadas.
Si las probabilidades pueden tomarse en ocasiones como propiedades del mun-
do real -- al menos, tal como lo conocemos -- y en otras como medidas de
la verosimilitud de un evento dado o de nuestro grado de creencia, lo que
todas estas interpretaciones tienen en común es que decidimos aplicar a
ellas la misma teoría axiomática. Decidimos manejar las diferentes cla-
ses de incertidumbre "objetiva" y "subjetiva" con la misma teoría axiomá-
tica por la misma razón que decidimos medir la posible respuesta sísmica de
un edificio mediante un sistema de fuerzas laterales "equivalentes": porque
el modelo adoptado es útil y congruente; fuera del intervalo en donde son
válidos estos atributos se emplean otros modelos. El marco probabilístico
para medir diversas clases de incertidumbre conduce a resultados congruen-
tes en el sentido de que incertidumbres amplias se reflejan en distribucio-
nes difusas y de que a medida que crece la información las probabilidades
se concentran hacia los valores e hipótesis reales; es útil porque nos per-
mite asimilar toda la información y expresarla en términos de medidas cuan-
titativas de riesgo, considerado como una variable imperfectamente conoci-
da.
3. Fanconeó de wtLUdctd y tomct de decísíonu pata condícíones de. ieógo
Los modelos de decisiones para diseño estructural que se basan enla opti-
mización de una función objetivo constituida por las contribuciones de
costos iniciales y valores esperados de costos de mantenimiento y conse-
cuencias de fallas han sido propuestos desde algunos de los primeros tra-
71
bajos importantes en el área de análisis probabilístico de la seguridad
estructural (22). La ref 23 presenta un tratamiento detallado que cubre
el caso de cargas aleatorias esporádicas, incluyendo el análisis de los
varios tipos de incertidumbre, así como expresiones algebraicas para los
valores presentes de las consecuencias esperadas de daño y falla. El es-
tudio supone que las perturbaciones ocurren concentradas en el tiempo co-
mo los eventos de un proceso estocástico de renovación (24), que las in-
tensidades de las diferentes perturbaciones son variables aleatorias in-
dependientes con idéntica distribución, y que el valor esperado de las
consecuencias dada la ocurrencia de un evento es una transformación lineal
de los valores numéricos de las componentes del vector de pérdidas (costos
directos del daño, reparación o reconstrucción; equipo y otros contenidos;
pérdidas producidas por interrupción de actividades en fábricas y plantas
de energía; vidas humanas, etc). Si una estructura con propiedades alea-
torias se ve expuesta a sufrir daño parcial o falla total (colapso) duran-
te cada evento y se reconstruye con especificaciones idénticas (y por tan-
to con idéntica distribución de sus propiedades) después de cada colapso,
el valor presente de las consecuencias esperadas de falla puede expresarse
como sigue (21):
E(g (y))
UD = E (6g (y)) + E (óg*(y)) 1_E(g*(y)) (1)
En esta ecuación, E denota valor esperado con respecto a la distribución
de las propiedades del sistema estructural ; 6 = D c + d/p, D es el costo
esperado de daño excluyendo el colapso y la probabilidad de colapso para
cada evento; g(y) y g* (y) son respectivamente las transformadas de La-
place de los tiempos de espera al primer colapso y entre colapsos consecu-
tivos, y g1* , g* se relacionan con las transformadas de Laplace f y f*
de las densidades de probabilidad f 1 (t) y f(t) de los tiempos de espera al
primer evento de carga y entre eventos consecutivos a través de las ecua-
ciones siguientes:
pf1* (o) f*()
g (o) f*(o) g* (o) = 1-q f*(o)
(2)
r41
en donde q = 1 - p.
Si 6 es estocásticamente independiente de g y g*, la ec 1 se transforma
en la siguiente:
E(g (y))
UD = E(6) iE(g*y)) (3)
Si sólo se toman en cuenta las consecuencias de colapso y se emplean f y
f1 para describir los tiempos de espera a intensidades iguales a la reque-
rida para ocasionar colapso, p resulta igual a 1 y q a cero, por lo que
puede escribirse, en vez de la ec 3
E(fR(y))
UD = D 1-E(f (y))
(4)
en donde
IR y f son respectivamente las transofrmadas de Laplace de los
tiempos de espera a la ocurrencia de intensidades mayores que la capacidad
estructural R. Igual que antes, los valores esperados de las ecs 3 y 4 se
toman con respecto a la función de densidad de probabilidades de R.
Como se demostrará después, en muchos casos f 1 (t) y f(t) son ellas mismas
inciertas debido al conocimiento imperfecto sobre el modelo del proceso es-
tocástico que describe la actividad sísmica. Bajo la hipótesis
,L
que las de-
¿
cisiones sobre reconstrucción no se afectarán por el nuevo conomiento que
se obtenga con respecto a f1 y f después de tomar la decisión original, la
incertidumbre en estas funciones se incluye tomando los valores esperados
de los segundos miembros de las ecs 1-4 con respecto a las distribuciones
probabilísticas de las posibles formas y parámetros que determinan a di-
chas funciones. Más adelante se ilustra este concepto.
Difícilmente pueden formularse las decisiones humanas en condiciones de
riesgo según los criterios convencionales de análisis de utilidad óptima
propuestos antes. En realidad se presentan muchas dificultades al tratar
de traducir a una escala única de utilidades las varias componentes de
naturaleza diversa del vector de pérdidas de un sistema estructural bajo
la acción de temblores, en particular porque los valores asignados implí-
citamente a algunas de tales componentes en decisiones intuitivas no son
independientes del riesgo afrontado (25-27), o porque la utilidad de una
rd
pérdida puede ser una función no lineal del valor numérico de dicha pér-
dida. Entre los criterios alternativos de decisión son especialmente los
que optimizan una función de utilidad bajo restricciones de n ximo riesgo
aceptable y aquellos que optimizan una función de objetivo que toma en
cuenta las pérdidas que pueden traducirse fácilmente a utilidades y a con-
tinuación establecen las inversiones adicionales que pueden hacerse a fin
de reducir el riesgo relacionado con consecuencias no cubiertas por la
función de objetivo, tales como pérdidas de vidas humanas, prestigio de
un gobierno o pánico (28, 29). Estos criterios representan mejor que los
modelos costo-beneficio las actitudes humanas reales ante riesgo. Su apli-
cación en la practica esta condicionada a la posibilidad de obtener esti-
maciones numéricas del riesgo así como de definir los riesgos aceptables
o las inversiones marginales adecuadas que se destinen a la reducción del
riesgo. Así, independientemente del modelo de decisión que propongamos
adoptar, debe darse atención a entender la naturaleza de las incertidum-
bres que entran en las evaluaciones de riesgo, así como a desarrollar mo-
delos para procesar tales incertidumbres de manera congruente.
Algunas limitaciones de los criterios convencionales de utilidad óptima
pueden eliminarse si se adoptan funciones no lineales de utilidad o si
se cubren la tendencia o la adversión al riesgo mediante una escala de
utilidades que toma la utilidad de un estado de respuesta del sistema co-
mo función de la probabilidad de alcanzar dicho estado. Por ejemplo, en
las decisiones sobre aceptación de riesgos mayores a cambio de remunera-
ción adicional se halla implícito un valor de la vida humana que depende
del riesgo (25, 30). Los valores dependientes del riesgo que emanan de
tales decisiones hacen ver que los humanos asignan valor constante a sus
vidas siempre que el riesgo se encuentre bien por debajo de una cierta
cota. Cerca de esta cota el valor implícito de una vida humana crece
muy rápidamente, según muestra la fig 1. Esta actitud sería congruente
con el modelo de optimización de la utilidad bajo restricciones de mxi-
mo riesgo aceptable.
Como corolario del párrafo anterior podemos concluir la factibilidad de
formular criterios de optimización basados en escalas de utilidades de-
/,
pendientes del riesgo. Enseguida surgen algunas limitaciones (que no son
exclusivas de tales criterios): la información disponible no basta para apo
yar ninguna cota superior al riesgo definida con precisión, las decisiones
pueden ser muy sensibles a las variaciones locales de la función utilidad-
risgo cerca del máximo riesgo aceptable supuesto, y la relación entre ries
go real y percibido dista de haber sido plenamente comprendida, como se ve
rá más tarde, al tratar de estimaciones de riesgo sísmico. He aquí otra
área que amerita más estudio.
4. Modelos de. 4Jnucidad
Para fines de tomar decisiones conviene describir la sismicidad en un sitio
dado por medio de la distribución de probabilidades de la intensidad máxima
que puede ocurrir en dicho sitio durante un lapso dado; aquí el término ín~
tendctd se emplea para designar cualquier medida del movimiento del terre-
no que puede servir para estimar la máxima respuesta del sistema. Alterna-
tivamente, la información contenida en la distribución probabilstica que
se menciona puede expresarse por medio de una función intensidad-recurren-
cia v(y) (tasa media de excedencia y de una intensidad y por unidad de
tiempo) y una distribución condicional, variable en el tiempo, de los tiem
pos de espera para nuevos eventos y de las intensidades de dichos eventos,
dada la hístoria previa. La escasez de información directa sobre tiempos
e intensidades de eventos previos ha conducido a criterios para estimar
a partir de datos indirectos, en general a partir de magnitudes y
coordenadas focales de temblores generados en fuentes sismicas cercanas.
Esto ha propiciado el desarrollo de modelos de 4Lntc.Ldctd Local descritos
por relaciones magnitud-recurrencia X(M) (tasa media Xde generación de
temblores con magnitud mayor que M por unidad de tiempo en un volumen uni-
tario de una fuente sísmica) y por funciones adecuadas de correlación pro-
babi1stica temporal y espacial. Dada X(M) cerca de un sitio como función
de las coordenadas puede estimarse (y) mediante el uso de relaciones de
atenuación de intensidades que ligan y con M y con la distancia R entre el
foco y el sitio (31, 32).
Los modelos más simples de sismicidad desprecian las correlaciones tempo-
rales y espaciales y definen el riesgo con base exclusivamente en las fun-
ciones de recurrencia: la ocurrencia de temblores es representada median-
te un proceso homogéneo de Poisson. Estos modelos han jugado un papel muy
importante al permitir la formulación y la implantación de modelos cuanti-
tativos sobre riesgo y decisiones, pero la necesidad de tomar en cuenta en
dichas decisiones funciones de descuento de beneficios, gastos y pérdidas
demanda la calibración de los modelos simples con otros més completos, y
eventualmente su remplazo por ellos. Se han desarrollado diversos modelos
de sismicidad que representan la tendencia de los sismos a ocurrir en gru-
pos, según se menciona en la sección 1. Sin embargo, en el análisis que
sigue se ignora dicha tendencia y la atención se centra en el estudio de
modelos estocsticos de sismicidad del tipo de procesos de renovación (24)
con funciones de riesgo (probabilidad condicional de experimentarun temblor
durante un intervalo elemental de tiempo dado que no han ocurrido temblo-
res desde un cierto origen del tiempo) crecientes (24,33). Este es un pa-
so previo al anélisis de modelos que consideran que pueden ocurrir grupos
de temblores que incluyen números aleatorios de eventos con intensidades
aleatorias y que el conjunto de los instantes en que se inician dichos gru
pos constituye un proceso de renovación con función de riesgo creciente.
Las funciones magnitud-recurrencia se expresan aquí como sigue:
X(M) = e M(l_e 4u1)),para MM u (5)
= O ,para M>M
En esta ecuación, c, 0, y y M u son parámetros que deben estimarse a par-
tir de información geológica y datos estadísticos. Obviamente, M es una
cota superior a las magnitudes que pueden generarse en una fuente. Esta
expresión difiere de propuestas previas (10) en que se ha introducido un
nuevo parámetro, y, a fin de controlar las ordenadas X (M) en un interva-
lo de valores de M muy significativo para el diseño stsmico de estructuras
importantes: los próximos a M u (ver fig 2).
Las relaciones de atenuación de intensidades son normalmente de la forma
y = b1 eb2M (R + R0)-b3 (6)
en donde b 1 , b2 , b3 y R0 son parámetros constantes, obtenidos mediante ajus-
te de curvas a conjuntos de datos experimentales. La mayor parte de los da-
tos empleados para obtener dichos parámetros corresponden a registros obte-
nidos a distancias mayores de 50 km. La forma del segundo miembro de la ec
6 no es congruente con nuestros conocimientos actuales sobre fuentes y meca
nismos sísmicos : a pesar de que sabemos que en el campo cercano las acelera
clones máximas del terreno no son muy sensibles a la magnitud, la ec 6 im-
plica variación exponencial con ella. Debe evaluarse la posible trascenden-
cia de esta incongruencia en el riesgo sísmico.
Puede obtenerse una variación más lenta de y con M para valores pequeños
de R si se toma b2 como sigue:
b2 = A + BR! (c+R) (7)
Tomar A igual a cero equivale a imponer una cota superior a y, independien-
temente de M. Si y se emplea para representar desplazamientos máximos del
terreno o cantidades fuertemente correlacionadas con las componentes de pe-
riodo largo del movimiento del terreno, la influencia de la magnitud a dis-
tandas muy pequeñas es mucho más pronunciada que para aceleraciones, y la
ec 6 no parece objetable bajo este punto de vista. Para velocidades o can-
tidades correlacionadas con las componentes del movimiento del terreno sig-
nificativas en el intervalo de frecuencias moderadas (0.3 a 3 hertz) la si-
tuación es intermedia.
De las ecs 5 y 6, la contribución de una fuente sísmica de volumen AV a la
función () en un sitio que dista R de la fuente es igual a A(y) dado
por la ecuación siguiente:
A)c(Y) = ab1' ( +R) - AVY_r (1-( ) ), (8)
y1
0 3
y>y1
Aqui, r = c = y/b2 , q = b3r, y1 es la intensidad dada por la ec 6
cuando M = y c, 0,y son parámetros de la ec 5. El subíndice c que
afecta a la ' señala el hecho de que las intensidades cuya función de re-
currencia está dada por esta ecuación no son intensidades reales, sino va-
lores calculados a partir de magnitudes y distancias, despreciando los erro
res de predicción de la ec 6.
Cuando v(y) resulta de las contribuciones de más de una fuent.e sísmica ele
mental, es necesario integrar ambos miembros de la ec 8 con respecto a V.
Por lo general, la expresión que resulte para (y) no variará con y como
se muestra en dicha ecuación, pero por razones prácticas puede representar-
se mediante una expresión semejante al segundo miembro de la ec 9:
= KY-r (1 - () C
), y
y'
y1 (9)
y>y'
En esta ecuación, y 1 es el máximo valor de y que puede calcularse con la
ec 6, adoptando para y R la combinación más desfavorableque sea posi-
ble en cada fuente ssniica, y K, r, E se obtienen mediante ajuste con la
curva que resulte de integrar la ec 8 para diversos valores de y.
Las discrepancias de las intensidades reales con respecto a los valores
determinados con la ec 6 conducen a curvas intensidad-recurrencia (v(y) =
tasa de recurrencia de intensidades reales mayores que y) que difieren de
las dadas porla ec 9 (vc(y))• Las primeras pueden obtenerse aplicando a
una función correctiva que puede determinarse mediante el criterio
que se presenta en la ref 10. Si se adopta la ec 9 para representar a
se obtiene la siguiente v(y):
2 (10)v(y) = 1 KY- r (1 -
en esta ecuación,
(
log u -a.
= ei (1 -
1 1))
e
122= ci r +mr
= r , = r- c
u1 = y/y1
a = m +
m y son respectivamente la media y la desviación estándar del logaritmo
natural del error de predicción de la ec 6 y es la función normal de dis-
tribución de probabilidades con media nula y variancia unitaria. La fig 3
muestra gráficas de uc(y) y (y) para m = 0,a = 0.6, r = 2 y e = 2. Se ob-
serva que la incertidumbre en las predicciones de la ec 6 es responsable de
un incremento de varias veces en las tasas de excedencia de valores dados
de la intensidad.
5. Cotto.6 espe.itadoi de daño4 cc.u.6adc. po)r.. SJJmo
En esta sección se trata de mostrar la influencia de la incertidumbre res-
pecto a los parámetros estructurales y al tipo de función de distribución
de tiempos de espera entre eventos sísmicos sobre el valor presente de los
costos esperados de daños. Se supone que sólo puede presentarse un modo
de falla (el colapso), y por tanto que UD esta dado por la ec 4. Si los
bemblores con intensidades mayores que la capacidad estructural R ocurren
de acuerdo con un proceso de Poisson con tasa (R), se obtiene
f* f = (R) (12)(.y) = i *( r)
Si, por el contrario, los eventos ocurren de acuerdo con un proceso de re-
novación en que los tiempos de espera siguen una distribución gamma con
parámetros X y k (valor medio = k/) , coeficiente de variación
f*(y) y f1*(y) están dados por las siguientes ecuaciones:
'k )k
(13)
f* () = Çk+y
f
vk+
r(k1 (k+y) t0 )
r(k, kt0 )
(14)
Aquí, v= X/k, r (.) y r (.,.) son respectivamente las funciones gamma y
gamma incompleta (34), y t0 es el lapso entre el último evento y el ori-
gen del tiempo para los eventos futuros (tiempo de construcción). Estas
funciones se sustituyen en la ec 4, a fin de obtener valores de UD norma-
lizados con respecto a los de UD, obtenidos bajo la hipótesis de estruc-
tura determinstica con propiedades iguales a los valores esperados de
las de los sistemas inciertos.
La tabla 1 resume los resultados de un análisis de la influencia de k en
la relación entre los valores de UD para procesos gamma y Poisson. Las
estructuras consideradas son deterministicas. Como se menciona arriba,
el coeficiente de variación del tiempo de espera entre eventos es igual
al recírpoco de la raíz cuadrada de k; por tanto, a mayor k menor incer-
tidumbre respecto al tiempo de espera al siguiente evento. El caso parti-
cular k = 1 corresponde al proceso de Poisson. Es bien sabido que la fun
ción de riesgo de un proceso de Poisson es independiente de la historia
previa, mientras que es una función creciente del tiempo transcurrido des
de el último evento para k > 1 (33). Este tiempo se toma como una de las
variables en el análisis, y aparece en la Tabla 1 como t 0 , normalizado con
respecto a [, el valor esperado de los tiempos entre eventos. Las tenden-
cias que muestran los valores numéricos de la tabla concuerdan con los con-
ceptos citados antes: la relación en estudio es menor que la unidad para
valores pequeños de t 0/1 y crece con este último valor. Mientras mayor
es k más pronunciadas son estas variaciones.
Las tablas 2 y 3 tienen que vercon la influencia del coeficiente de varia-
ción VR de la capacidad estructural en la relación UD/UD. Las variables
de estas tablas que no se han definido previamente son O = KpR'Iy
= R'1 , en donde K, r y y 1 significan lo mismo que en la ec 10 y PR
es el valor esperado de la cacidad estructural , expresado en las mismas
unidades de y. Ambas tablas muestran que la influencia de VR sobre UD es
sensible a e y z, y que para el proceso de Poisson pueden esperarse incre
mentos del orden de 50 por ciento en UD para valores de VR aproximadamente
iguales a 0.30. Estos incrementos son mayores para z mayor que la uni-
dad, como consecuencia de la rápida variaci6n de con y en dicho
intervalo.
La influencia de VR en UD es sensible también a k y a t 0/i, como muestra
la tabla 3. Los máximos valores de UD/UD corresponden a los mínimos de
para los cuales la relación de UD para procesos gamma y Poisson es
mínima. Para valores de t
0
/T para los que la última relación no es mucho
menor que la unidad, la influencia de VR sobre UD/UD para procesos gamma
es cuando mucho tan pronunciada como para los procesos de Poisson.
6. An"í,6 bctye&ano de. .ea síámícidad
El hecho de que queremos contar con descripciones cuantitativas de la in-
certidumbre nos lleva a adoptar métodos 'bayesianos de inferencia estadís-
tica. En aquellos casos en que no se cuenta con suficiente informadón
estadística directa sobre las variables importantes en los intervalos de
valores significativos para una decisión dada, estos métodos nos permiten
procesar opiniones subjetivas, conclusiones deducidas a partir de modelos
físicos, e información indirecta proporcionada por fenómenos o eventos re-
lacionados más fácil o frecuentemente observables que los que interesan.
La mayoría de estos conceptos están involucrados en las estimaciones or-
dinarias no piobabi sUca ( a menudo llamadas de.te.'unn stLaa4), pero
mientras en estas el énfasis cae en proporcionar las estimaciones más des-
favorables, en las estimaciones bayesianas el interés se centra en asignar
medidas de verosimilitud a conjuntos comprensivos de hipótesis sobre los
estados de la naturaleza así como modelos y parámetros de fenómenos y pro-
cesos naturales.
La ref 21 afirma lo siguiente:
"A menudo se critica la aplicación del análisis bayesiano a la toma
de decisiones en ingeniería con base en que constituye un escape del
problema de recopilar suficiente información "sólida". Sin duda es-
tas críticas a veces se justifican, en especial porque el decisor
puede proponer distribuciones iniciales subjetivas de probabilidades
'2
de las variables importantes que no son congruentes con el conoci-
miento disponible, sea porque suponen márgenes de incertidumbre más
estrechos que los que pueden apoyarse en la naturaleza y amplitud de
tal conocimiento, o porque se encuentran sesgados por deseos cons-
cientes o inconscientes por minimizar los gastos iniciales o por ser
sobreconservadores.
"Las limitaciones anteriores pueden probablemente evitarse estable-
ciendo un conjunto de principios y requisitos para la adopción de
distribuciones probabilsticas subjetivas o llevando a cabo reunio-
nes Delphos. Empleados adecuadamente, los métodos bayesianos cons-
tituyen instrumentos poderosos para decidir sobre la conveniencia de
emprender estudios encaminados a recopilar información adicional (y
"mas sólida"), mediante el desarrollo coordinado de análisis t~nal
y p'te-po4-te'Lon. (35); el primero se refiere a la toma de decisiones
sobre la base de información dada, mientras que el segundo tiene que
ver con la determinación del impacto esperado de estudios adicionales
en la función de utilidad global. As1, la magnitud del esfuerzo para
reunir información se decide comparando su costo esperado con su con-
tribución esperada a la utilidad de la decisión global."
En problemas de sismicidad, el análisis bayesiano puede emplearse para asi
nar grados relativos de credibilidad o verosimilitud a suposiciones alterna
tivas sobre los modelos que mejor representan a la actividad sísmica para
fines de decisiones de ingeniería (por ejemplo,modelos de Poisson vs reno-
vación vs agrupamiento; dependencia vs independencia espacial), o sobre los
parámetros de dichos modelos. Puede aplicarse a la actividad en la fuente
(7(M)) o a las excitaciones en un sitio ((y), v(y)), o secuencialmente a
ambos tipos de curvas, a condición de no emplear más de una vez ninguna par
te de la información, sea directa o indirectamente. Los párrafos siguien-
tes cubren sólo algunos casos en que se adopta cierto tipo de modelo y la
inferencia bayesiana trata sólo con sus parámetros.
Los parámetros de la curva X(M) para una fuente dada son a, ,y y M (ver
ec 5). La distribución inicial de Mu puede establecerse a partir de la
ix
geología (33) y la de 0 sobre la base de los valores que se sabe son apli-
cables a fuentes semejantes en la tierra; no hay información en que basar
algo más que una distribución inicial muy difusa de y, y no puede decirse
mucho a priori con respecto a a, a menos que se parta de valores medios de
x(M) para valores pequeños de M sobre regiones sísmicas de grandes dimen-
siones, o que un especialista en geofísica considere que puede hacer esti-
maciones razonables de la tasa de disipación de energía en regiones de di-
mensiones moderadas. Una vez que se asigna una distribución marginal a prio
ria cada parámetro, debe suponerse una matriz de correlación. Esta matriz
puede calibrarse evaluando la incertidumbre que resulta en los valores pre-
dichos de 2(M) para diversos valores de M. Este punto se trata con cierto
detalle en la sección 7 de este trabajo. En la ref 36 se presenta una
aplicación detallada de este criterio a la estimación de la función k(M)
media y de su variación espacial en una zona de subducción.
El análisis bayesiano de los parámetros de 'c(y) o '(y) sigue lineamientos
iguales a los descritos para (M). Las distribuciones iniciales de a, ,
y Mu en las fuentes sísmicas vecinas determinan las de K, r,e y y 1 , res-
pectivamente. A falta de información geo-tectónica significativa en la ve-
cindad de un sitio, puede decidirse asignar a los últimos parámetros dis-
tribuciones casi uniformes dentro de intervalos muy amplios. Si la forma
y los parámetros de las funciones 4i. y
2 en la ec 10 son conocidas (lo que
supondremos en lo que sigue), estimar v(y) equivale a estimar v() y por
ello restringiremos nuestra atención a la primera función. La información
estadística empleada en la actualización bayesiana de probabilidades cons-
tará de los valores de y calculados a partir de las magnitudes y coordena-
das focales reportadas.
Por 10 general, los catálogos de temblores que contienen la información es-
tadística mencionada en el párrafo anterior está incompleta; esto es, no
incluyen todos los eventos que podrían dar lugar a intensidades del movi-
miento del terreno capaces de dañar a las construcciones que hayan de cons-
truirse en el sitio de interés. Aun si un catálogo está completo para mag-
nitudes por encima de un cierto umbral y sólo se trabaja con valores en di-
cho intervalo, se estará despreciando la contribución al riesgo de las mag-
nitudes menores que el umbral citado, las que podrán ser muy frecuentes y
podrán dar lugar a intensidades considerables en sitios localizados cerca
de las fuentes sísmicas; por ello resulta necesario introducir una funci6n
correctiva, (()Ç' por la que deberia multiplicarse la tasa '(y) obtenida
del catálogo. La fig 4b ilustra este problema: muestra valores de
obtenidos a partir de los valores de y en el sitio mostrado en la fig 4a,
calculados a partir de las magnitudes y coordenadas reportadas en las refs
37-40. Se muestran tres grupos distintos de puntos, correspondientes res-
pectivamente a los umbrales de 4.5, 5.0 y 6.0. El primer grupo cubre el
lapso 1932-1980, y los otros dos abarcan 1932 a 1976. La contribución de
los eventos de pequeña magnitud a la ordenada y) para valores pequeños
y moderados de y puede apreciarse comparando los diversos conjuntos de pun-
tos de la figura. Se cree que los catálogos empleados estan completos para
magnitudes mayores que 6 para el lapso citado antes, pero probablemente fal
ta un número considerable de eventos con. magnitudes en el intervalo 4.5 a
6.0. Así, la diferencia entre la curva determinada a partir de eventos con
M > 6 y la Hnea sólida se debe exclusivamente a haber ignorado los eventos
menores muy próximos al sitio, mientras que la diferencia entre la última
curva y las determinadas por los eventos con M . 45 y M 5.0 pueden en
parte explicarsepor la incompletez del catálogo. La Hnea sólida se estimó
después de aplicar a los puntos que corresponden a M > 6 una función correc-
tiva((y)jlegún se discute más adelante. Esta corrección es necesaria a pe-
sar de que las discrepancias son significativas sólo para valores pequeños y
moderados de L porque los valores de v(y) correspondientes influyen consi-
derablemente en las estimaciones de costos esperados de daños sísmicos por
unidad ¿e tiempo y porque la pendiente de la línea sólida afecta las extra-
polaciones de v(y) hacia la derecha.
La función correctiva q(y) depende de los parámetros de X(M) y de los de
las expresiones de atenuación de intensidades; también depende de la distri-
bución espacial de actividad en la vecindad del sitio. Como ilustración,
en el Apéndice A se obtiene 4(y) para el caso de sisniicidad uniformemente
distribuida, con =.a exp(-M).
Bajo la hipótesis de que los temblores ocurren como los eventos de un pro-
ceso de Poisson, de que la muestra con la que tratamos cubre intensidades
calculadas arriba de un umbral y0 , y de que las intensidades de los even-
tos son variables independientecon idéntica distribución, la verosimili-
tud de la muestra de valores observados •• YN durante un lapso
de duración t es proporcional a la funcioñ Cque se difine a continuación:
$1
-vt N
tIK, r,, y.) e o ir (-v(Y)) (15)
Aquí, K, r, son valores posibles de los parámetros de la ec. 9,
='
K, r, c, y 1 ), v es la derivada de con respecto a y,
Vo = 3'0T0 (-'c (y)
, y q(y) es la función correctiva que se
discute antes y que puede representarse en forma aproximada como
)=1-b(1-/ 1 ) 5 (16)
en donde s > 1 y O < b < 1. De lo anterior,
= + (t)(Y)) ; (y.) (17)
en donde
(y) = - r K
-r-1 (1+(E-1) (y_)e) (18)
y1
y
y ) s-1
(19)
Designemos ahora con Y el vector de N valores observados de y., con W
al vector de parámetros K,r,c, y1, y con f y r respectivamenfe a las
distribuciones bayesianas iniciTy posterior de W. Entonces es aplica-
ble la siguiente relación:
fil (wIYN;t) f'(w) L tlw ) (20)
Una vez que se tiene f, debe usarse para obtener descripciones probabi-
lsticas (funciones de distribución o momentos probabilsticos) de varia-
bles tales como UD , Vc () y v(), dadas respectivamente por las ecs. 3, 4,
9 y 10. Esto requiere llevar a cabo una integración cuádruple con respec-
to a dw = dw 1dw2dw3dw4 de la función de interés pesada por f, y puede lo
grarse por procedimientos convencionales de diferencias finitas o de in-
crementos finitos, as como mediante concentración de las probabilidades
bayesianas en valores pre-determinados de los parámetros. Sin embargo,
aun si se elige un número relativamente pequeño de valores de cada pará-
metro para definir f, el número resultante de combinaciones de paráme-
tros para los que debe evaluarse f, puede resultar inadmisiblemente gran-
de, en particular si se tiene en mente la muy significativa longitud de
los cálculos necesarios para evaluar L(YN;tlw) en cada punto. Esto sugie-
re el empleo de métodos de Monte Carlo para integración numérica: se si-
mula una muestra de tamaño n de realizaciones del vector w de parámetros,
a partir de la distribución inicial f(w), se calcula la función L para ca-
da w1 y se estima el valor esperado de cualquier función G(w) de los men-
cionados parámetros con respecto a la distribución posterior f(w):
ns
E"(G(w)IYN;t) = c'E G(w1 ) L tlw.) (21)
i=1
Aqui, c es una constante normalizadora:
n
c = EsL tlw.) (22)
i =1
La fig. 5 muestra los resultados de aplicar la ec. 20 a una muestra fic-
ticia de intensidades de 10 temblores supuestamente observados durante
un lapso de 10 años. El espacio de valores posibles de los parámetros
fue K > 0, r > 0, c > O y p= Mu_Mui > 0, en donde Mu es una cota supe-
rior a las magnitudes que pueden generarse en una fuente (usada para esti-
mar y1 a partir de la ec. 6, tomando R = 30 km) y Mi es una cota inferior
a MuTLa distribución de estos parámetros se supuso concentrada en una
malla en cuatro dimensiones determinada por cinco valores uniformemente
espaciados en cada dirección. Estos valores se escogieron de manera de
22
incluir intervalos determinados por inspección del trazo de valores de
calculados a partir del registro uestadsticoh. La figura incluye
las esperanzas y los coeficientes de variación de '(y) para diferentes
valores de y bajo la hipótesis de que (y) = 1. Puede verse que el coefi-
ciente de variación crece con y y que puede alcanzar valores muy grançles
para intensidades mayores que el máximo valor registrado. Esta incerti-
dumbre sólo puede reducirse cuando la información geotectónica disponible
permite la adopción de distribuciones iniciales angostas de M(o
En aquellos casos en que la muestra estadística contiene información su-
ficiente como para producir distribuciones posteriores angostas de uno o
varios parámetros, el método de probabilidades concentradas puede conducir
a distribuciones posteriores de dichos parámetros irrealistamente extendi-
das, a menos que la malla de puntos discretos adoptada incluya valores pr6-
ximos a aquellos en que la función de verosimilitud tiene un máximo. En
algunos casos el valor más probable de uno o más parámetros puede estimarse
por inspección de la muestra, proporcionando así puntos nodales adecuados
para la malla; en caso contrario, será preferible llevar a cabo la inte-
gración numérica para obtener momentos de vc() o UD (ecs. 1-4) mediante
simulación de Monte Carlo, empleando la ec. 21 (41).
7. Re.sgo 4fmLe.o con 4mcdad ¡ncea
Se demuestra en secciones anteriores que UD, el valor presente de las con-
secuencias esperadas de falla, es funcion de v(), la tasa media de exce-
dencia de un valor dado de la intensidad, así como de otros parámetros que
toman en cuenta la correlación temporal, en caso de que la actividad sss-
mica se represente por modelos estocásticos diferentes del modelo de Poisson.
A pesar de la significativa influencia que las funciones de correlación tem-
poral puedan tener sobre UD, nuestra atención en esta sección se centrará
en los modelos de Poisson, y por ende el riesgo sísmico quedará descrito
completamente por Hacemos esto por simplicidad y porque se sabe muy
poco sobre lo adecuado de otros modelos para representar procesos sísmicos
reales.
De acuerdo con las ecs. 1-4, UD es sensible a la incertidumbre respecto a
v(y), y no sólo a su valor esperado. Además, bajo ciertas cincustancias
las decisiones pueden estar gobernadas por cotas máximas a los niveles to-
lerables de riesgo (tasas reales de falla) y no sólo por valores esperados
de costos y beneficios. De aquí la importancia de tratar con v(y) como
función incierta.
Las tablas 4-6 se presentan con fines ilustrativos. Muestran la influen-
cia en el riesgo de la incertidumbre respecto a los parámetros que lo des-
criben. En las tablas 4 y 5 el riesgo se expresa por las ordenadas de la
función X(M), mientras que la tabla 6 corresponde al caso en que el riesgo
se mide por medio de UD. En todos los casos las variables independientes
son los valores esperados y las matrices de covariancias de los parámetros
que definen el riesgo.
La tabla 4 corresponde al caso en que x(M) está dado por la ecuación
X(M) = a exp (-AM); 3. es el valor de X determinado cona= Zi y = 1 , VOC
y V son respectivamente los coeficientes de variación de los parámetros
mencionados y p el coeficiente de correlación de su distribución bayesia-
na. Los valores de esta tabla se obtuvieron después de representar la
distribución probabilística conjunta de a y 0 por el modelo de probabili-
dades concentradas que se propone en la ref 42. Las partes a y b de la
tabla corresponden a DI = 10; por tanto, para = 2, que no dista de los
valores usuales de en muchas zonas sísmicas, M = S. es evidente la am-
plia influencia de V en E(X) y V(X), así como la influencia de valores
positivos grandes de pen reducir V.
La tabla 5 trata con una expresión más refinada para X(M): la ec. 5. En
ella se presentan valores esperados y coeficientes de variación de
X(6.0)/X(7.0) como funciones de los coeficientes de variación de ,y y M,
así como de los coeficientes de correlación entre ellos. Los índices 1-3
identifican a los parámetros w1 = , w2 = y, w3 = M. Como muestran las
partes a y b de la tabla, p 12 y p23 tienen muy poca influencia en los re-
sultados. La poca sensibilidad a P 12 puede tal vez explicarse por lo pe-
queño del coeficiente de variación de w 1 = 0.
La tabla 6 se obtuvo mediante simulación de Monte Carlo a partir de una
distribución conjunta de los parámetros K, r, e y p =- Mi (ver sección
6). Otras variables en esta tabla son = XPE_r/Y , Z E = valor
medio de la capacidad estructural RE expresada en las mismas iñiidades que
y19 VR = coeficiente de variación de RE , UD = valor de UD obtenido tomando
R[ = RE como función determinstica de i, F, E y , y y ,aior d
que resulta de la ec. 6 con R = 30 km y M = = Mi + iT. Todos los coe-
ficientes de correlación se consideraron nulos. De nuevo los resultados
muestran una sensibilidad muy pronunciada a V, y la influencia de este pa-
rámetro crece al crecer z. Puede tenerse una idea de la posible importancia
de Vr si se comparan las partes a y b de la tabla.
El gran número de las posibles combinaciones que pueden hacerse con las va-
riables que se han estudiado superficialmente en los párrafos anteriores
hacen difícil presentar un análisis suficientemente amplio en este trabajo.
Se presentan algunos resultados, con la esperanza de que darán idea de las
posibles interacciones entre las diversas variables. Son deseables estu-
dios más sistemáticos, entre cuyas principales aplicaciones se encontraria
la de orientar al juicio ingenieril cuando se traten de estipular distribu-
ciones bayesianas iniciales conjuntas de parámetros de procesos sísmicos.
8. Toma de de.cJ.Lone con eaa de wtíL&1ad qae de.pende.n del itego
Si se quiere que un criterio formal para toma de decisiones logre acepta-
ción debe calibrarse contra las decisiones intuitivas, ya que estas últi-
mas serán las preferidas en cada caso particular, a menos que se haga ver
que son incongruentes. Es difícil representar mediante modelos simples
las complejas interacciones entre los razonamientos y sentimientos cons-
cientes e inconscientes que sirven de apoyo a los procesos intuitivos de
decisión, y la pregunta sobre hasta qué punto deberán los modelos forma-
les para toma de decisiones modificar dichos procesos es materia digna de
violentos debates. En otras palabras: ¿Deberían ser los criterios forma-
les de decisión nada más que algoritmos desarrollados con objeto de tomar
automáticamente decisiones que estuvieran de acuerdo con las que se toman
con base en intuición, experiencia y juicio, o deberíamos cuestionar la
validez de estas últimas y tratar de apoyar plenamente los modelos forma-
les? Si una decisión dada puede tener una influencia signficativa en la
probabilidad de sufrir un evento de consecuencias muy graves, cualquier
decisor experimentado que se enfrente a un conflicto entre las acciones
recomendadas por el análisis formal o por su intuición arraigada, proba-
blemente obrará de acuerdo con la última, en particular si lo conduce al
lado más seguro.
La toma formal de decisiones probablemente no remplazará a la intuición en
unos cuantos años, pero puede ayudar a orientar a esta última, mejorando
su base. Esta justificación es más que suficiente para el desarrollo de
métodos formables, susceptibles de calibración.
Las decisiones relacionadas con el riesgo que proviene de eventos alea-
torios pero frecuentes, cuyas posibles consecuencias en todos los casos
sean probablemente del mismo orden de magnitud, no ofrecen dificultad:
se manejan en el marco del análisis de costos y beneficios esperados, ya
que es muy pequeña la probabilidad de grandes desviaciones con respecto
a la media. Tal es la situación cuando se establecen primas de seguro
de vida. El tratamiento de eventos excepcionales es materia distinta.
La situación se vuelve aun más confusa cuando se reconocen las dificul-
tades para decidir si un evento debería considerarse raro o excepcional:
los temblores que ocurran en cualquier lugar en un país dado pueden cali-
ficarse como eventos comunes, pero pueden considerarse como suficientemen-
te raros bajo el punto de vista del riesgo de naturaleza diferente de la
económica que afronte una comunidad dada. La conclusión es que las deci-
siones de ingeniería relacionadas con riesgo sísmico deben basarse en con
sideraciones más amplias que los criterios costo-beneficio.
Tal vez el planteamiento más realista de la toma de decisiones ante ries-
go sTsmico sea la propuesta en las refs. 28 y 29: optimizamos con respecto
a las consecuencias materiales tangibles y luego decidimos sobre los gas-
tos marginales que hemos de hacer para lograr protección contra consecuen-
cias que no puedan cuantificarse en términos monetarios. Asi, la decisión
sobre la suma que deberia invertirse por cada vida humana salvada por año
debería dejarse al decisor, pero el ingeniero debería ser capaz de decirle
cuantas vidas podrían salvarse mediante cada acción alternativa; probable-
mente la decisión seria sensible respecto a la incertidumbre en el número
de vidas, y no únicamente a su valor esperado. He aquí otra justificación
para tratar de obtener estimaciones probabilsticos de riesgo y consecuen-
cias.
El autor considera que el planteamiento que se sugiere en el párrafo ante-
rior da lugar a una interacción saludable entre intuición, juicio e incer-
tidumbre cuantificada: el decisor recibiría información respecto a los ni-
veles de riesgo más probables, junto con el correspondiente juego de valo-
res de la probabilidad que se le asigne a cada nivel y una descripción pro
babilstica de las consecuencias condicionales a la validez de cada modelo
de sismicidad. Entonces tomaría decisiones por separado para cada una de
las alternativas y llegaría a una decisión final tras tomar en cuenta las
probabilidades asociadas a las diversas hipótesis descritas arriba. Des-
pués de observar varias veces este proceso estaríamos en
posibilidad de establecer reglas formales precisas.
En la ref 21 se presenta un enfoque diferente, que involucra a dos de los
elementos más importantes en cuanto a decisiones relacionadas con riesgo:
se toman decisiones preliminares bajo el criterio de estudios costo-bene-
ficio en que todas las consecuencias y pérdidas se expresan en las mismas
unidades y luego se modifican estas decisiones de manera de satisfacer
restricciones relativas a cotas máximas a los riesgos tolerables. Esto
proviene de los estudios (25) que muestran que muechas decisiones indivi-
duales ante riesgo equivalen en realidad a suponer que algunos conceptos
incuantificables, tales como el valor de la vida humana, se manejan de he-
cho como si se les asignaran valores que son casi independientes del ries-
go para valores muy bajos de esta última variable, pero que crecen a gran
velocidad en la vecindad de valores que por esta razón se toman como las
cotas superiores mencionadas anteriormente. Antes de llevar este crite-
rio a la practica deben resolverse algunos problemas: cómo manejar situa-
ciones como las descritas antes que e 1 riesgo sísmico (expresado, por ejem-
plo, como v(y)) es en sí incierto; cuan bien definidas están las cotas su-
periores al riesgo tolerable; qué relaciones existen entre riesgo percibi-
do y tolerado y cuál de estos dos debería tomarse como base para las deci-
siones. Una vez que respondamos a estas preguntas quedaremos tal vez en
posibilidad de establecer escalas adecuadas de utilidad dependientes del
riesgo en la forma de curvas como las de la fig 1.
Los siguientes párrafos muestran el empleo de las escalas de utilidad que
se proponen y dan cierta idea sobre la sensibilidad de las deciciones a
dichas escalas, as como a la incertidumbre respecto al riesgo.
Supóngase que la sismicidad en un sitio puede representarse mediante un
proceso de Poisson. Tómese (y) igual a Kr, en donde K es incierto, y
supóngase que se conocen en forma determinstica las propiedades de un sis-
tema estructural que se proyecta construir. Se trata de determinar el
valor óptimo
D
de la intensidad de diseño con base en un anélisis costo
beneficio tomando en cuenta una escala de utilidad dependiente del riesgo
dada por la ecuación siguiente:
U(y)
= w (1 + cw) (23)
UDO
Aquí, UD(y) = D0 (y), U 0 (y0 ) = D0 (y0 ), D0 es el costo esperado de la
falla en caso de que esta ourra,,= kyt, = •jy_r, w = '( y)/(y0 ), Yo
es una intensidad que se toma como base para normalizar y, y c,n son pa-
rmetros especificados. Para la presente ilustración se elegirá y tal
que ) = 1O.(y0 Si se designa por u al primer miembro de la ec. 23, y
se tomn k = K/R y r = y1y 0 , la ec. 22 toma la siguiente forma:
u = k_r -rn+1
n +c(kn )
(24)
/
Para fines de tomar decisiones con base en utilidad esperada óptima es ne-
cesario obtener el valor esperado de u. Si se supone que k es aleatoria
con distribución logarftmico-normal, con media igual a 1 y coeficiente de
variación igual a Vk, la ec. 24 conduce a
n(n+1)
' 2
2
E(u) = -r +
-r'n+
" (l+Vk ) (25)
La ec. 23 implica la adopción de la politica de reconstruir inmediatamente
después de cada falla; por tanto los beneficios esperados que resulten de
la operación de la estructura no cambian con el nivel de seguridad, y la
utilidad por optimizar es
= UD + Al + A2
'D
(26)
en donde
'D es la intensidad de diseño, y los dos últimos ténninos repre-
sentan el costo inicial de construcción. La ec. 26 puede escribirse como
UD)
UDO(yo) = E(u) + a 1 + a2 D (27)
en donde n D D y0 , a1 = Al/UD0 (y 0 ) y a 2 = A2/(D0K
y_(r+1)3
De la
ec. 27 se obtuvTr1T valores óptimosde fl0 para varios valores de c, n y
Vk. Para este fin se sustituyó, en la ec. 27 el valor de E(u) dado por
la ec. 24 y se igualó con cero la primera derivada del segundo miembro
con respecto a riD.
En la tabla 7 se muestran algunos resultados. Para ambos casos se tómo
c igual a 0.01 y por tanto la influencia del nivel de riesgo en el valor
efectivo de las consecuencias no es mayor que 1 por ciento mientras '(y )
no sea mayor que 10 . Para n=2, u(yD) es igual a 1.01, 2 y 101 para -
VO) iguales respectivamente a 1, 10, 100; para n = 4 las relacio-
ne
YD)í
necorrespondientes son 1.01, 101 y 106 . De momento es difícil relacio-
nar estas curvas con hipótesis relativas a riesgos tolerables. Si y 0 se
expresa como fracción de la aceleración de la gravedad, es razonable tomar
A2/D0 = 0.1, y0 = 0.3; estas hipótesis, junto con la de que ()
= 10
conducen a a 2 0.1 x 0.3 x 103 = 30.
La tabla muestra claramente la sensibilidad de los resultados a Vk y • C6-
mo determinar Vk ha sido tema de una parte importante de este trabajo. El
establecimiento de escalas de utilidad dependientes del riesgo sísmico pa-
ra toma de decisiones probablemente no podrá lograrse por simple extrapola-
ción de las decisiones que emanan de estudios sobre ajustes entre compen-
sación económica e incremento de riesgo a la vida. Tal vez la mejor mane-
ra de establecer estas escalas será por calibración con respecto a decisio-
nes tomadas bajo el planteamiento de gastos marginales por cada vida humana
salvada.
9. ComentcJíos Jínales
Los modelos probabilsticos son más que representaciones matemáticas de las
frecuencias relativas esperadas de eventos repetitivos. La misma teoría
axiomática que se acepta universalmente nara tratar con estos problemas
proporciona también herramientas y criterios congruentes para medir cre-
dibilidades e incertidumbres asociadas con conocimiento imperfecto y opi-
niones subjetivas. Su principal virtud es la de proporcionar un marco for-
mal para procesar tales credibilidades e incertidumbres a fin de tomar de-
cisiones.
Como consecuencia del deseo de reducir al mínimo la posible amenaza a la
seguridad y a la economía que ofrecen los eventos sTsmicos, la toma in-
formal de decisiones es a menudo un proceso subjetivo de iteraciones que
consiste en adoptar, una tras otra, hipótesis conservadoras en qué basar
la definición de valores y criterios especificados para diseño, y luego
relajar tales requisitos hasta que la economía parece estar en equilibrio
con un nivel de riesgo definido de manera muy vaga. La introducción de
modelos probabilsticos para representar el estado del conocimiento de un
decisor servirá para estimular la búsqueda de reglas racionales de deci-
sión, así como para desarrollar los modelos y planear los estudios nece-
sarios para obtener la información que tenga el máximo valor para la de-
cisión considerada.
El análisis bayesiano proporciona a un decisor la posibilidad de estable-
cer reglas de decisión claramente definidas, suponer un conjunto de mode-
los estocásticos factibles de la naturaleza, obtener sus probabilidades
bayesianas posteriores, que involucren sus opiniones previas y la eviden-
cia histórica, y tomar decisiones racionales a la luz de tales probabili-
dades y de las reglas de decisión establecidas al principio. Los métodos
bayesianos no son sustitutos de la información "sólida"; por el contrario,
pueden ser muy útiles para estimar el valor de recopilar más información.
para tomar las decisiones respectivas.
Durante los últimos a?os se han desarollado diversos criterios para la to-
ma formal de decisiones ante riesgo sísmico. Estos criterios hacen uso de
conceptos relacionados con estudios costo-beneficio, máximo riesgo tolera-
ble y gastos marginales para protección de vidas. Todos requieren modelos
probabilsticos del riesgo que tomen en cuenta incertidumbre objetiva y
subjetiva, y todos suponen la disponibilidad de escalas adecuadas para ex-
presar las consecuencias de da?io o falla estructural. Dado que las esca-
las mencionadas distan mucho de estar bien desarrolladas, probablemente
en el futuro inmediato las decisiones en problemas de riesgo sísmico no
se tomarán exclusivamente sobre la base de los criterios formales propues-
tos en este trabajo. Pero lo inadecuado de las decisiones informales, ca-
rentes de toda descripción cuantitativa de los riesgos, apoya la recomen-
dación de que los métodos informales no deberían aplicarse sin la orienta-
ción que proporcionen medidas probabilísticas de credibilidad e incerti-
dumbre. Es seguro que la interacción entre criterios formales e informa-
les mejorará nuestro conocimiento y comprensión acerca de las escalas de
valores y reglas de decisi6n que mejor sirven a las metas e intereses de
los grupos humanos afectados por las decisiones en cuestión.
lo. Reconocíin-vto
Mario Chávez leyó el manuscrito e hizo sugerencias muy valiosas. El au-
tor reconoce su ayuda con agradecimiento.
APENDICE A. CORRECCION DE CURVAS v (y) OBTENIDAS DE
CATALOGOS DE MAGNITUDES MAYORES QUE UN
CIERTO VALOR.
Consideremos la actividad sísmica como uniformemente distribuida en la vecin-
dad de un st1o. Supongamos que X(M) es igual a a exp (-SM) y que es aplica-
ble la ec. 6. Despejando M en la ec. 6 se obtiene
(m(, R)) = aw r(R + R0)- (A.l)
en donde w = b, r = 8/b 2 , y M(y, R) es la magnitud que produce la intensidad
,y a la distancia R, de acuerdo con la ec. 6. La función v(y) puede obtener-
se como sigue
v(.) = J.
y
R))dy (A.2)
Si "m es el valor de v(y) que resulta, de considerar sólo aquellos temblo-
res con M > m, la relación es la funcjón correctiva descrita en
la seccIón 6. Podernos obtener ''m- corno sigue
= 1 X(.m)dV + 1 aMdV (A.3)
R<R* R>R*
En esta ecuacjón, R* es una distancIa tal que la magnitud m da lugar a la in-
tensidad y de acuerdo con la ec. 6. Las ecs. Al .y A2 conducen a lo siguien-
te:
-4iraw'
y) = (l-q) ( 2-q) (3-q)
q > 3 (A.4)
A partir de la ec. 6 puede obtenerse una expresión para R*.
R* = (b1 eb2m y1) 1ib3 - R0 (A.5)
Una vez que se conoce R*, puede emplearse la ec. A.3 para obtener
vmi() V () (A.6)
en donde
v i () x 1 7rc R*3 e_Om (Ai)
3
2R* R*2 2
vm2(Y) = 2w (i-q)(-q) - (i-q) - (1-q)(2-q)(3-q (A.8)
endondeq>3yR =R*1R1 o
Las ecs. A.4 - A.8 contienen la información necesaria para determinar
/ -i j
11. Retcúvs
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G.00C.
5.000.
Y = 2.400.
DE MUERTE
a) COMPENSACION REQUERIDA
100.'
10
DE MUERTE
io io io2 . . -
b) VALOR DE VIDA . .
10-7 io 6 10 10'3 - 102
FIG 1 COf'1PENSACION RE!UERIDA PARA RIESGO INCREE'i1ENTADO Y VALOR
RESULTANTE DE LA VIDt
(de laref 25)
7MIT
to
U 
1 It
-
r
1 - - --- - -
L - - -
1
7 8
FIG 2. INFLUENCIA DE Y Y M EN x(M) PARA = 2
CURVA
1 co
2 10 6.5
3 5 6.5
4 2 6.5
5 0.5 6,5
6 10 8.5
7 5 8.5
oo ¿
1)
0
o,
9 05 8.5
.1
LO v
o
o
2.0
1—
10.0
20.0
100.0
200.0
- nññl
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E _ _
1
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- '-.-'-. 1000.0
•I0.0
5.0
•10
o
0.5
c
0.
0.05
0.01
0.005
0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 lOOfl
• .. V1 en cm/s
• -- Curva de ajuste a datos originales
- Primera correccidn ..
Curva final .
• FIG 3 RELACION ENTRE LAS CURVAS (y) Y -(y)
1(
.4.4
.4
.4
1414
II
14 *.4
xx
>4 .4
>41(14
14
xx
.4.4
11)4
>4
.4.
>4
.4 .4
II.4 >4 14
14>4.4)4
* )1 1) II
•('4)( wxxx
'1 14
14.4)4)4
>4 )4
14)4)414
14
>4)41414
>4>4
>4 >414 1414
.4.
>41414 >1
'414 >4 14
'4
It >4
>4
'4 >1
•14 It
>4 It
It >4.4 -
>4
.4
'4
14
1<
'4
14
It >414
>4
>4
14
14
o
o
o
4$
o
4
II
o
a
pi
rl
e
o
o
pl
.
a
(1,
o 35.0
•.,• 20.40
• 24.00
30.80
a.00
1 .xl 1 x •I 1
xxx xx
XXX(X XX
xxx •x.
x
X x •
x Xx
x
xxxx x
xx x x x
- .x x -
XX X .•
x x
x
x xx x
xXxX x xxxxx x X
xx X XXX XXX XXX
x • • xxx x xxxxxx xx
X XX X • ,- Planta Geote'rmlcoX X x xx
/ de Cerro Prieto
XXXXXX J
X XXX X_X. . X
x x - - xx - X
XX XX
X X XXXx X
x • xx x x
• • x xx x xxx• . xx xxxxx xCO
• . • • X xxxxxx x- •. . X .< xXxXxX X • -• • ...•
XX XX
X X X XXxQ(
XXXxXxxx X
• X X>XXX
• . X XXXXXX
• •• xx x
XX X X
xxx
X
. XXx -
x
X XX
• x XX X
X X XX
xx
• XXX x
x lt
x Xxx XXX,X
• . -k
X XXXX
.,
4.-
4-
33,20
4
o o o o o1.00 iL9.j . 3tO.0 117.4C U4.23 t1,)Q .HO Ui.40 1O.20 •10?.0 u o o o 0 c
Lonitud (Qrados) rl •o -
FIG 14A TEMBLORES CON M > 4,5 DE 1932 A 1980
0.1
0.2
1.0
o
lc
a
2.0 c
4)
1-
10.0
20.0
100.0
200.0
. 1
10.0
5.0
1.0
a Q•5
a)
0.1
0.05
0.01
0.00
0.001
1
E0
- 0o -
o
-
lxx '(X
O
0
OA A
-
Á
x)
Xo
ox
- 0 -
- o o -
FIG 14B
III 1 1 1 1 1 I 1 II! 1000.0
5 10 50 100 500 1000
a,., en cm/s 2
O Catcilogo con M.k 4.5
t CatIogo con M k
X Cafdloqo con M > 6
Curvo de ajuste -
AJUSTE DE CURVAS A VALORES OBERVADOS DE '(y)
EN CERRO PRIETO, B. C,, ÍIEXICO
a r = ACELERACION MAXIMA DEL TERRENO
FIG 5 VALORES POSTERIORES DE E(v) Y V
c
u,
.2
c.
Y )crl/sej
1,4
1,6
1.8
4
TABLA 1. RELACIONES ENTRE UD PARA PROCESOS GAMMA Y POISSON*
t /T
/y k
0.1 0.5 1 2 10 20
0,001 1.1 0.82 0,91 0.9'4 0.97 0,99 1.00
2 0.3'4 1.00 1.33 1.60 1.90 1.95
5 0.003 0.76 2,00 3,24 4,58 4.78
0,005 1.1 0,32 0.91 0,9'4 0.96 0.99 1.00
2 0.35 1,00 1,3 1.59 1.89 1.93
4 0.009 0.77 1.99 3.19 4.51 4.70
0.010 1.1 0.83 0,91 0,9'4 0.96 099 0.99
2 0,36 1100 1.32 1.58 187 1,92
5 0.011 0.78 1.98 3,14 4.42 4.58
0.100 1.1 0.86 0,92 0,9'4 0.96 0.99 0.99
2 0.56 1.06 1.31 1.51 1.7'4 1.83
5 0.14 1,11 2.17 3.05 3.89 4.10
* )/y ES IGUAL EN AMBOS
1 ES EL VALOR ESPERADO DE LOS TIEMPOS DE ESPERA
ESTRUCTURA DETERMIÑÍSTICA
TABLA 2. INFLUENCIA DE VR EN EL DAÑO ESPERADO.
PROCESO DE POISSON
Valores de UD/UD
e z
VD
0,05 0.10 0,15 0,20 0.25 0.30
0,2 0.1 1.005 1.020 1.044 1.076 1.120 1.169
0.5 1.005 1.021 1,01 6 1.082 1.126 1.178
1.0 1.007 1.027 1.060 1.106 1.163 1.231
1.5 1.010 1,039 1.083 1.154 1.235 1329
1,0 0,1 0.999 0.997 0.99 0,991 0.989 0.990
0.5 0,999 0,995 0.990 0.98 0.979 0,977
1,0 0.998 0.993 0,933 0.977 0.972 0.971
1.5 0.999 0,995 0.991 0,991 0,996 1.011
)
TABLA 3. INFLUENCIA DE VR EN EL DA0 ESPERADO,
PROCESO GAMMA
Valores de UD/D para O = 0.02
- VR
t 0 /T Z
0,05 0,10 0.15 0.20 0,25 0.30
0.1 0.1 1.00 1.02 1,05 1.10 1.114 1.20
0,5 1,01 1,03 1,06 1.10 1.16 1.22
1.0 1.01 1.014 1,03 1.114 1.22 1.30
1.5 1.01 1.06 1.13 1.22 1.33 1.145
1.0 0,1 1.00 1.02 1.014 1,06 1.10 1.13
0,5 1,00 1.02 1,014 1.07 1.10 1.114
1.0 1.01 1,02 1.05 1.03 1.13 1.18
1,5 1.01 1,03 1.07 1.12 1.18 1.25
10.0 0,1 1.00 1.01 1.03 1.05 1.08 1.11
05 1,00 1.01 1.03 1,05 1.08 1.11
1.0 1.02 1.02 1.014 1.06 1.10 1.114
1.5 1.01 1,02 1.05 1,09 1.14 1.19
6.1 0.1 1.01 1.03 1.06 1.11 1.17 1.22
0.5 1.01 1.03 107 112 1.13 1.25
1.0 1.01 1.05 1.11 1.19 1.29 1.40
1.5 1.03 1.10 1.22 1.33 1.55 1.73
1.0 0.1 1.00 1.00 1,01 1.02 1.03 1,05
0.5 1.00 1.00 1.01 1.02 1.03 1.014
1.0 1.00 1.01 1.01 1.02 1.014 1,06
1.5 1.00 1.01 1.03 1.05 1.07 1.11
10,0 0.1 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.02
0,5 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01
1.0 1,00 1.00 1.00 1.00 1,00 1,01
1.5 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01
L
TABLA 4, INCERTIDUNBRE EN LA EXPRESION
X = o. exp (-SM) Ver nota abajo
a) Valores d
p
0.10 -0.5
-0.2
0
0,2
0.5
0.30 -0.5
-0.2
0
0.2
0.5
0.50 -0.5
-0,2
O
- 0.2
0.5
E)15 para M = lo
O 0.05 0110 0.20 0.30
- 1.15 1.60 3.94 10.6
- 1.114 157 3.83 10.3
1.00 1.13 1.514 3.76 10.1
- 1.12 1.52 3,69 9.87
- 1.10 1.148 3,58 9.57
- 1.21 1.72 14.31 116
- 1,16 1.61 3.98 107
1.00 1.13 1.514 3,76 10.1
- 1.10 1.47 3.54 9,147
- 1.05 1.37 3.22 8.56
- 1.26 1.84 1467 12.6
- 1.18 1.66 14.12 11.1
1.00 1.13 1.514 3.76 10.1
- 1.08 1,143 3,40 9.07
- 9.97 1.25 2.86 7.56
b) Valores de V para 10
0 0.05 0.10 0.20 0.30
0,30 0.51 0.79 0.92
0.28 0.49 0.78 0.92
0.10 0.27 0, 117 0.77 0,92
- 0.25 0,46 0.76 0.91
- 0.22 0.43 0,75 0,90
- 0, 146 0.63 0.87 0.93
- 0.42 0.60 0.86 0.99
0.30 0.39 0,57 0.85 0.99
- 0.36 0.53 0.83 0.98
- 0.29 0, 146 0.79 0,97
- 0.63 0.77 0.96 1.06
- 0.59 0.75 0.98 1.10
0.50 0.57 0.72 0,93 1.13
- 0.54 0.68 0.98 1.114
- 0.48 0,59 0.93 1.111
cI
c) Valores de E(X)/X para V = 0.30 d) Valores de y para y c. = 0.30
y y
p
0 0.05 0.10 0,20 0.30 0 0.05 0.10 0.20 0.30
5 -015 - 1.07 1.21 1.72 2.67 - 0,146 0.63 0.87 0,98
-0.2 - 1.05 1.16 1.61 2.148 - 0.142 0.60 0.36 0.99
O 1.00 1.03 1.13 1.514 2.35 0.30 0.39 0.57 0.85 0.99.
0.2 - 1.02 1.10 1,147 2.22 - 0.36 0.53 0.83 0.98
0.5 - 0.99 1.05 1.37 2.03 - 0.29 0.46 0.78 0.96
10 -0.5 - 1.21 1.72 4.31 11.6 - 0, 146 0.63 0.87 0.98
-0.2 - 1.16 1.61 3.93 10.7 - 0, 142 0.60 0.86 0.99
0 1.00 1.13 1.54 3.76 10.1 0.30 0.39 0.57 0.85 0.99
0.2 - 1.10 1,47 3,514 9,147 - 0.36 0.53 0.83 0.93
0.5 - 1,05 1.37 3.22 8.56 - 0.29 0, 146 0.79 0.97
15 -0.5 - 1,142 2,67 11.6 51.8 - 0,77 0.98 1.05 1.05
-0.2 - 1.34 2.14810.7 147.7 - 0.75 0,99 1.07 1.08
0 1.00 1.29 2.35 10.1 145.0 0.30 0,73 0.99 1.08 1.09
0.2 - 1.25 2.22 9.147142.3 - 0.70 0.98 1.09 1.09
0.5 - 1.17 2.03 8.56 38.3 - 0.63 0.96 1.09 1.09
NOTA ESTA TABLA PUEDE TAMBIÉN USARSE PARA OBTENER VALORES DE
E(X)/ y V DE LA EXPRESION
= X
exp (-(M-M 0 ))
DEBE EMPLEARSE LA SIGUIENTE EOUIVALENCIAE
a __30
-- M-M0
-0.5 -0.2 0 0.2 0.5 0.8
0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21
0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20
0.20 0,20 0.20 0,20 0.20 0.20
0,19 0.19 0.19 0.19 0.19 0.19
0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.13
TABLA 5, VALORES DE ['(x1/x2) Y V(x1/x2) EN LA EXPRESION
X(M) = a eM (1-e (M-M))
-y(M -M1-e u= eMi_M2) 1eMuM2)
a) VALORES DE E( 1 /x 2 )
PARA M0 = 7.5, M 1 = 6.0, M 2 = 7.0
= 2.0, w = 2.0, W 3 = 1.0
y 1 = 0.1, y 2 = 0.3, y 3 = 0.5
pl3 = O
p l2
-0.5 -0.2 0 0,2 0.5 0.8
-0.5 8.07. 8.17 3,214 8.31 8. 141 8.51
-0.2 8.05 8.15 8.22. 3.29 8.39 8.149
0 8.014 8.114 8.21 8.28 8.38 8.148
0.2 3.03 8.13 3.20 3.27 8.37 8.147
0.5 8.01 8.11 3.18 8.25 8.35 8.145
b) VALORES DE V(x 1 /x 2 )
rl
c) INFLUENCIA DE VARIACIONES EN
V1, y21 V 3 para Pij = O
y
y y
1 2
0.1 0.3 0.5 0.1 0.3
0.1 0,1 7.90
0.3 8.03
0.5 8.214 8.31
0.3 0.1 9.114
0.3 9.25 9.32 9.144
0.5 9,67
0.5
0.20
0.20
0.20O rU ,L
0.51
0.50 0.50 0.149
0.148
TABLA 6. VALORES DE [(UD) Y V(UD) PARA PARAMETROS NO
CORRELACIONADOS K' r, e, p
a) e = 0.05, Mi = 6.5, r = 2.5, c= 3, p= 0.75, VR - 0.05
E(UD)/IJD V(UD)
y y
r r
VK 0,05 0.10 0.20 0.05 0.10 0,20
0.1 0.05 0.05 0.05 1,07 1.27 2.23 0,34 0,69 1.314
0,05 0.30 1.01 1.21 2.18 0,143 0,79 1.49
0,30 0,05 1.07 1.27 2.23 0.314 0.69 1,34
0.30 0.30 1.01 1.21 2.17 0.143 0.79 1.149
0.0 0,05 0.0 1,07 1,27 2,23 034 0.69 1.314
0.05 0.30 1.01 1.21 2,10* 0,43 0.79 1,31*
0.30 0.05 1.07 1,27 2.23 0.314 0.69 1.314
0.30 0.30 1.01 1.21 2,10* 0,143 0,79 1,31*
1.0 0.05 0,05 0,05 1.22 2.01 8.39 0.64 1.31 2.31
0.05 0.30 1.16 1.96 8.57 0.714 1.147 2.149
0.30 0105 1.20 1.97 8.21 0,614 1.32 2.32
0.30 0.30 1.15 193 8.140 0.74 1, 148 2.51
0.30 0,05 0.05 1.21 1.99 8,33 0.614 1.33 2.35
0.05 0.30 1.15 1.914 8.53 0.75 1.50 2.53
0.30 0.05 1.19 1.95 8.114 0.614 1.314 2.37
0.30 0.30 1.114 1.91 8.35 0.75 1.50 2.56
1.5 0.05 0.05 0.05 1,25 2,15 9.85 0.67 1.39 2.39
0.05 0.30 1.19 2.10 10.11 0,78 1.55 2.57
0.30 0,05 1.22 2.10 9,59 067 1. 140 2.143
0.30 0.30 1.17 2.05 9.86 0.78 1.56 2.61
0.30 0.05 0.05 1.23 2.12 9.86 0.70 1. 1111 2.48
0.05 0,0 1.18 2.08 7.92* 0.80 1.61 2,40*
0.30 0,05 1.21 2.07 9.63 0.70 1.46 2.55
0.30 0.30 1.16 2.04 7,714* 0,81 1.64 2,45*
*
ESTOS VALORES SE OBTUVIERON DE UNA MUESTRA DE TAMAÑO 100, EN
VEZ DE 30, EMPLEADA PARA LOS OTROS CASOS
5/
b) ALGUNOS VALORES PARA VR = 0.30
K
y
r y
r
0,10 0.20 0.05 0.10
0,1 0.05 0.05 0.05 1.33 0.31
0,30 0.05 1.33 0.31
0.30 0.05 0.05 1,33 0.31
0,05 0,30 2,37
0.30 0,03 1.33 0.31
1.5 0.05 0,05 0.05 1.70 0.62
0.30 0.05 1.63 0.62
0,30 0,03 0.05 1.69 0.63
0.30 0.05 1.66 0.63
0.20
1.21
TABLA 7, VALORES OPTIMOS DE n PARA
ESCALAS DE UTILIDADES DE-
PENDIENTES DEL RIESGO
LOG a 2
CASO VK 0.5 1.0 1.5
0.05 0.95 0.72 0.55
c = 0,01 0.30 0195 0.72 0.55
n - 2 0,50 0.96 0.73 0,56
1,00 100 0.81 0.67
2 0.05 0,97 0.80 0.70
c - 0.01 0.30 0.99 0.82 0.72
n - 4 050 1.00 0.814 0,74
1.00 1.35 1.20 1.09
1.0
0,43
0.1414
0.146
0.56
0.62
0,64
0.66
1.01
t7c' fl: 1
EJ ACADEMIA DE INGENIERIA
México
Ciudad de México, 24 de septiembre de 2004.
FJSS/09.2004/037
Sr. Dr. Luts Esteva Mrabto,
admico de Hop.et
—Ácademia de ljgéniería, A.C.
Muy estimado colega y fino amigo:
Con la presente envío a usted, a nombre propio y de los integrantes de nuestra
Academia, una muy sincera felicitación el Premio Nacional de Protección Civil
2004, otorgado por el Gobierno Federal.
Es para la Academia de Ingeniería muy importante contar entre sus miembros con
un profesional de su valía y dedicación que busca con sus conocimientos y sus
actividades el beneficio de la sociedad.
Reciba un cordial abrazo,
Dr. Franciso3osé Sánchez-Sesma
Presidente.
c.c.p. Expediente y minutario.
Tacuba 5, ChtoHistórico, 06000 México,D.F. Telfax 5521 4404, 5521 6790, 5518 4918
www.ai.org.mx aingenieria@prodigy.net.mx

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Modelos para análisis de incertidumbre y toma de decisiones ante riesgo sismico

  • 1. •6 v ir7L / MODELOS PARA ANALISIS DE INCERTIDUMBRE Y TOMA DE DECISIONES ANTE RIESGO SISMICO L Esteva * 1. lflLOdLL'2Ct6'l Muchos problemas en ingeniería se relacionan con condiciones en que el ries go es una variable importante. El riesgo se origina naturalmente por la in teracción de sistemas de ingeniería con personas y con el medio ambiente, y en general no puede ser anulado, sino únicamente reducido, aunque a cierto costo. Es objetivo de un proyecto sano de ingeniería balancear beneficios, riesgos e inversiones. Esto puede lograrse mejor si pueden formularse des- cripciones cuantitativas del riesgo y definirse claramente reglas de deci- sión congruentes. El análisis de riesgo tiene que basarse en un marco con- gruente que permita describir y evaluar incertidumbres de distintos tipos y amplitudes, así como integrarlas en medidas adecuadas de riesgo. Así, las reglas de decisión deben tomar en cuenta un gran número de variables y par metros interactuantes,y por tanto seÍalan la necesidad de desarrollar esca- las adecuadas de valores y criterios para aceptación de riesgo. Un modelo de riesgo que pretenda emplearse en ingeniería sísmica bajo el en foque descrito debe conducir a criterios cuantitativos para describir las posibles formas e intensidades de la respuesta de un sistema a la actividad sísmica y para determinar sus correspondientes probabilidades. La respuesta del sistema conduce a consecuencias que afectan a personas, sus propiedades y sus intereses, y la escala de valores traduce las consecuencias en núme- ros que sirven de base a las decisiones. El desarrollo de métodos probabilsticos para análisis de seguridad de es- tructuras ha dado a investigadores, redactores de especificaciones e inge- nieros practicantes un marco racional para describir las incertidumbres asociadas con las propiedades de los sistemas estructurales y de las car- gas que pueden actuar sobre ellos. Este marco incluye también definicio- nes de medidas de seguridad y criterios cuantitativos para relacionar di-
  • 2. chas medidas con los factores de seguridad y con los valores nominales de las variables de diseño. Tanto investigadores como redactores de normas han reconocido la capacidad de tales modelos para producir criterios de diseño que conduzcan a seguridad congruente (1-7), y por tanto los mode- los en cuestión han encontrado un lugar en los criterios codificados para medir la seguridad y para adoptar valores de diseño y factores de seguri- dad. A pesar de estas aplicaciones, los métodos probabilTsticos se en- cuentran aún en una etapa primitiva de desarrollo; en la mayor parte de los casos proporcionan únicamente medidas vagas y poco claras de la segu- ridad y su aplicación se ha limitado a casos con incertidumbres relativa- mente pequeñas: no se entienden bien sus posibilidades y limitaciones y las primeras distan de haber sido explotadas suficientemente. Los modelos probabilsticos se consideran en ocasiones inadecuados para manejar algunos de los problemas précticos ms significativos: un ejemplo es el de expresar en forma cuantitativa el impacto en la seguridad de los errores humanos (de hecho la causa ms frecuente de comportamiento estruc tural inadecuado), en contraste con las llamadas desviaciones naturales en cargas y resistencias; otro es la dificultad para traducir conocimien- to incierto en modelos probabiHsticos y sus parámetros. No existe dificultad conceptual en tratar de representar los errores huma- nos por medio de modelos probabiUsticos: tal vez.los problemas prácticos ms importantes en relación con esto se presentan al tratar de describir el espacio de eventos que cubre la gran variedad de errores que pueden co- meter los humanos como consecuencia de descuido, negligencia, ignorancia, avaricia y actitudes similares. Aun si se contara con un modelo razonable para representar el espacio de eventos mencionado y su correspondiente carn po de probabilidad nos faltaría evaluar el impacto de tales eventos en la seguridad de miembros y sistemas estructurales, as como la economía de me didas alternativas de control de calidad orientadas a reducir la probabili dad de errores y su impacto en la seguridad estructural. Esto no sólo es posible, sino también prometedor y deseable. Por supuesto que nunca sere- mos capaces de integrar (ni estaremos nunca convencidos de que lo hemos lo grado) un espacio comprensivo de eventos de error, pero no hay mucha duda sobre la posibilidad de tomar en cuenta aquellas que serian responsables
  • 3. de la mayor parte de las fallas bajo condiciones normales. Así se disipa una antigua controversia entre los partidarios y los detractores de los mé todos probabil ísticos. Cuando se trata con incertidumbres asociadas con nuestro conocimiento acer ca de fenómenos o estados de la naturaleza no repetitivos (o que se repi- ten con poca frecuencia), los modelos probabilísticos y la inferencia del mismo tipo pierden su apoyo estadístico,tanto bajo el punto de vista prác- tico como bajo el conceptual. estas situaciones son típicas del análisis de riesgo sísmico para los intervalores de magnitudes e intensidades extre mas: la información estadística puede ser escasa o inexistente y no pode- mos pretender más que escuchar la opinión de un geólogo (normalmente ses- gada a los valores más elevados) de los máximos tamaños (magnitudes o mo- mentos sísmicos) de los temblores que pueden generarse en una fuente dada. Entonces aún tendremos que estimar la máxima intensidad posible, lo que lo graremos normalmente mediante expresiones de atenuación de intensidad semi- empíricas caracterizadas por las grandes desviaciones estadísticas de sus predicciones (8-12). Si empleamos datos registrados en distintas regiones de la tierra consideradas con características de mecanismos sísmicos y ra- zones de atenuación de intensidad semejantes a las típicas de una región de interés, podremos obtener un modelo probabilístico de las intensidades que pueden tenerse en un sitio dada la ocurrencia de una magnitud máxima posible determinada intuitivamente en el lugar más desfavorable (también determinado intuitivamente) con respecto al sitio. Esto puede conducirnos a la incongruente situación de discutir sobre el nivel de probabilidad al que deberíamos determinar la intensidad de diseño a partir de la distribu- ción de las relaciones de valores medidos a observados, a pesar de que el margen de incertidumbre asociado con la cota superior a las magnitudes pa- ra las que se predicen las intensidades pueda sobrepasar por mucho al que se debe a las desviaciones estadísticas involucradas en la distribución pro- babilística citada. Esta situación demanda un tratamiento unificado. La formulación de modelos estocásticos de la sismicidad orientados a la to- ma de decisiones ante riesgo se ve obstaculizada no sólo por la falta de es- 3
  • 4. tadísticas significativas sobre tasas de recurrencia de magnitudes e inten sidades, sino también por la imposibilidad virtual para definir un tipo da do de modelo de proceso estocástico que represente a la actividad sísmica en una región de tamaño moderado (alrededor de 500-800 km de diámetro) con base exclusiva en la información estadística. Durante las últimas décadas se ha dado algo de importancia a modelos estocásticos de sismicidad dife- rentes del de Poisson (13-16), y se han reconocido y señalado como carac- terísticos de muchas regiones del mundo los patrones de correlación espa- cial y temporal típicos de las brechas o lagunas sísmicas (seismic gaps). Con pocas excepciones, el ajuste de parámetros de modelos no poissonianos a poblaciones estadísticas se ha llevado a cabo únicamente para registros que incluyen grandes números de temblores de magnitud pequeña (arriba de 4) ocurridos durante lapsos relativamente breves (10 a 20 años), y sólo han llegado a entenderse en cierto grado los patrones de quietud y activi- dad alternantes en lapsos de alrededor de 20 a 40 años (17); pero hay cla- ra evidencia de que los ciclos de agrupación de temblores o migración de actividad pueden ser mucho más largos que los de las brechas sísmicas con- vencionales, de que algunas regiones que han permanecido inactivasdurante varios siglos se han tornado súbitamente en fuentes de actividad intensa, y por tanto de que la mayor parte de los registros sísmicos pueden ser de- sorientadores si se toman como únicas fuentes de información. Frente a tantas dificultades conceptuales y prácticas, el tratar de for- mular e implantar modelos probabilísticos de sisniicidad para toma de de- cisiones parecería como nadar contra la corriente, pero la necesidad de encontrar formas para medir y manejar la incertidumbre constituyen fuer- tes incentivos, ya que la posición convencional de confiar en la intui- ción y el juicio ingenieril y hacer decisiones tan seguras como sea posi- ble pueden ser incongruentes con la apremiante necesidad de las socieda- des modernas de usar sus recursos de manera óptima. Los modelos probabi- lísticos propuestos en este trabajo no pretenden remplazar la experiencia y el juicio ingenieril, sino tratar de complementarlos al proporcionar al decisor medidas cuantitativas de la incertidumbre, aun si antes hemos de convencerlo de adoptar un marco determinado para medir las incertidumbres asociadas con opiniones y eventos no repetitivos: el marco que aquí se
  • 5. propone para tal propósito es un tratamiento probabilístico unificado, ba- sado en información objetiva y subjetiva. Cabe poca duda de que las decisiones actuales relacionadas con requisitos de dise?io sísmico para control y mitigación de riesgo se basan en gran par- te en opiniones subjetivas y que los decisores se sentirían ms cómodos si la parte objetiva de la información fuera mayor que lo usual. Como se da atención prioritaria a que las decisiones sean suficientemente seguras, en particular cuando se busca protección contra eventos con muy severas con- secuencias esperadas, todas las decisiones individuales que se toman se- cuencialmente con respecto a los valores que deben suponerse para las di- versas variables resultan fuertemente sesgadas hacia el lado conservador, lo que sería perfectamente razonable si se efectuaran evaluaciones de las consecuencias de adoptar sfmultneamente los valores ms desfavorables so- bre seguridad y costo del sistema para las variables correspondientes; pe- ro no pueden hacerse evaluaciones cuantitativas de seguridad de un sistema a menos de que se cuente con un marco adecuado de referencia. Nuestro problema no es sólo el medir y describir la incertidumbre, sino también el de establecer criterios de decisión, y este último problema no puede resolverse sin estudiar los valores e incertidumbres implícitos en las decisiones que toman intuitivamente los individuos, los comités y las sociedades. Los modelos racionales teóricos para toma de decisiones sólo pueden implan- tarse después de calibrarlos con las decisiones de la practica real, basa- das en experiencia y juicio; pero una vez que se logra la calibración el papel de los modelos no es pasivo: se desarrolla una interacción entre mo- delos y práctica, que propicia el aprendizaje por parte del modelo, hace patentes algunas incongruencias de la toma de decisiones en la práctica, y seiala los conceptos en los que más rendiría mejorar el modelo, la in- formación o los criterios. Los intentos recientes por aplicar la teoría de conjuntos difusos (fuzzy sets) a problemas de seguridad estructural (18-20) son un indicio del interés por encontrar formas congruentes de procesar información vagamente definida y opiniones subjetivas. El éxito
  • 6. o la falla eventual de esta clase de modelos dependerá de su calibración con la practica así como de su posibilidad de interactuar con ella. Esto vale también para los modelos probabilísticos que se proponen en lo que sigue. No se pretende que los modelos descritos en este trabajo proporcionen las soluciones, sino que ayuden a formular las preguntas correctas; se conci- ben como sistemas interactivos capaces de aprender, y su utilidad está li- gada con estas características. Su intención es describir las incertidum- bres de diversas clases, mostrar el lugar que ocupan en el problema global de la decisión, y estudiar su influencia en las medidas del riesgo y en las decisiones. Su aplicación debe proporcionar orientación para estable- cer jerarquías de incertidumbres, facilitar su evaluación y permitir la ca- libración y la interacción con la practica convencional. A pesar de que nuestro conocimiento y comprensión de las reglas de decisión son aún em- brionarias, se asigna aquí un valor importante a la obtención de estima- ciones cuantitativas de riesgo congruentes con los modelos propuestos: es- tas estimaciones constituyen el punto de partida del proceso interactivo de aprendizaje propuesto antes. 2. Incextídwnbte, pwbabÁLLdctde- y e&go La necesidad de tomar decisiones en donde debe aceptarse algún riesgo nos obliga a medir este último, lo que podemos lograr dentro del marco de teo- ría de probabilidades. Bajo el punto de vista de toma de decisiones, las probabilidades sólo en ciertos casos pueden considerarse como propiedades del mundo real; con frecuencia deben tomarse como medidas del grado en que creemos en hipótesis alternativas sobre las condiciones del mundo real y las leyes naturales. La utilidad de los modelos probabilísticos de la naturaleza para toma de decisiones se encuentra en su capacidad para des- cribir y procesar la incertidumbre en forma congruente, asimilando tanto la que puede atribuirse principalmente a la variabilidad de los procesos naturales como la que proviene de nuestro conocimiento imperfecto de ellos. * La ref 21 contiene una discusión más detallada de los conceptos de esta sección.
  • 7. Las llamadas pwbctbí.LLdade4 objetivu se califican a veces como piwbctbí..U- dctde.4 Aealu, para reforzar la suposición de que son propiedades del mun- do real, cuantificables únicamente bajo un enfoque frecuencista. Una con secuencia implicada de llamar probabilidades vvda.dc.il.a4 sólo a las que pueden deducirse de valores de frecuencias relativas es que las probabili- dades bje_tcvas no son verdaderas, y por tanto que no juegan ningún papel en la toma de decisiones. Esta actitud también implica no reconocer las hipótesis subjetivas implícitas que a veces se ocultan bajo los criterios estadísticos convencionales para estimar parámetros de las probabilidades "objetivas" a partir de muestras observadas. Si las probabilidades pueden tomarse en ocasiones como propiedades del mun- do real -- al menos, tal como lo conocemos -- y en otras como medidas de la verosimilitud de un evento dado o de nuestro grado de creencia, lo que todas estas interpretaciones tienen en común es que decidimos aplicar a ellas la misma teoría axiomática. Decidimos manejar las diferentes cla- ses de incertidumbre "objetiva" y "subjetiva" con la misma teoría axiomá- tica por la misma razón que decidimos medir la posible respuesta sísmica de un edificio mediante un sistema de fuerzas laterales "equivalentes": porque el modelo adoptado es útil y congruente; fuera del intervalo en donde son válidos estos atributos se emplean otros modelos. El marco probabilístico para medir diversas clases de incertidumbre conduce a resultados congruen- tes en el sentido de que incertidumbres amplias se reflejan en distribucio- nes difusas y de que a medida que crece la información las probabilidades se concentran hacia los valores e hipótesis reales; es útil porque nos per- mite asimilar toda la información y expresarla en términos de medidas cuan- titativas de riesgo, considerado como una variable imperfectamente conoci- da. 3. Fanconeó de wtLUdctd y tomct de decísíonu pata condícíones de. ieógo Los modelos de decisiones para diseño estructural que se basan enla opti- mización de una función objetivo constituida por las contribuciones de costos iniciales y valores esperados de costos de mantenimiento y conse- cuencias de fallas han sido propuestos desde algunos de los primeros tra- 71
  • 8. bajos importantes en el área de análisis probabilístico de la seguridad estructural (22). La ref 23 presenta un tratamiento detallado que cubre el caso de cargas aleatorias esporádicas, incluyendo el análisis de los varios tipos de incertidumbre, así como expresiones algebraicas para los valores presentes de las consecuencias esperadas de daño y falla. El es- tudio supone que las perturbaciones ocurren concentradas en el tiempo co- mo los eventos de un proceso estocástico de renovación (24), que las in- tensidades de las diferentes perturbaciones son variables aleatorias in- dependientes con idéntica distribución, y que el valor esperado de las consecuencias dada la ocurrencia de un evento es una transformación lineal de los valores numéricos de las componentes del vector de pérdidas (costos directos del daño, reparación o reconstrucción; equipo y otros contenidos; pérdidas producidas por interrupción de actividades en fábricas y plantas de energía; vidas humanas, etc). Si una estructura con propiedades alea- torias se ve expuesta a sufrir daño parcial o falla total (colapso) duran- te cada evento y se reconstruye con especificaciones idénticas (y por tan- to con idéntica distribución de sus propiedades) después de cada colapso, el valor presente de las consecuencias esperadas de falla puede expresarse como sigue (21): E(g (y)) UD = E (6g (y)) + E (óg*(y)) 1_E(g*(y)) (1) En esta ecuación, E denota valor esperado con respecto a la distribución de las propiedades del sistema estructural ; 6 = D c + d/p, D es el costo esperado de daño excluyendo el colapso y la probabilidad de colapso para cada evento; g(y) y g* (y) son respectivamente las transformadas de La- place de los tiempos de espera al primer colapso y entre colapsos consecu- tivos, y g1* , g* se relacionan con las transformadas de Laplace f y f* de las densidades de probabilidad f 1 (t) y f(t) de los tiempos de espera al primer evento de carga y entre eventos consecutivos a través de las ecua- ciones siguientes: pf1* (o) f*() g (o) f*(o) g* (o) = 1-q f*(o) (2) r41 en donde q = 1 - p.
  • 9. Si 6 es estocásticamente independiente de g y g*, la ec 1 se transforma en la siguiente: E(g (y)) UD = E(6) iE(g*y)) (3) Si sólo se toman en cuenta las consecuencias de colapso y se emplean f y f1 para describir los tiempos de espera a intensidades iguales a la reque- rida para ocasionar colapso, p resulta igual a 1 y q a cero, por lo que puede escribirse, en vez de la ec 3 E(fR(y)) UD = D 1-E(f (y)) (4) en donde IR y f son respectivamente las transofrmadas de Laplace de los tiempos de espera a la ocurrencia de intensidades mayores que la capacidad estructural R. Igual que antes, los valores esperados de las ecs 3 y 4 se toman con respecto a la función de densidad de probabilidades de R. Como se demostrará después, en muchos casos f 1 (t) y f(t) son ellas mismas inciertas debido al conocimiento imperfecto sobre el modelo del proceso es- tocástico que describe la actividad sísmica. Bajo la hipótesis ,L que las de- ¿ cisiones sobre reconstrucción no se afectarán por el nuevo conomiento que se obtenga con respecto a f1 y f después de tomar la decisión original, la incertidumbre en estas funciones se incluye tomando los valores esperados de los segundos miembros de las ecs 1-4 con respecto a las distribuciones probabilísticas de las posibles formas y parámetros que determinan a di- chas funciones. Más adelante se ilustra este concepto. Difícilmente pueden formularse las decisiones humanas en condiciones de riesgo según los criterios convencionales de análisis de utilidad óptima propuestos antes. En realidad se presentan muchas dificultades al tratar de traducir a una escala única de utilidades las varias componentes de naturaleza diversa del vector de pérdidas de un sistema estructural bajo la acción de temblores, en particular porque los valores asignados implí- citamente a algunas de tales componentes en decisiones intuitivas no son independientes del riesgo afrontado (25-27), o porque la utilidad de una rd
  • 10. pérdida puede ser una función no lineal del valor numérico de dicha pér- dida. Entre los criterios alternativos de decisión son especialmente los que optimizan una función de utilidad bajo restricciones de n ximo riesgo aceptable y aquellos que optimizan una función de objetivo que toma en cuenta las pérdidas que pueden traducirse fácilmente a utilidades y a con- tinuación establecen las inversiones adicionales que pueden hacerse a fin de reducir el riesgo relacionado con consecuencias no cubiertas por la función de objetivo, tales como pérdidas de vidas humanas, prestigio de un gobierno o pánico (28, 29). Estos criterios representan mejor que los modelos costo-beneficio las actitudes humanas reales ante riesgo. Su apli- cación en la practica esta condicionada a la posibilidad de obtener esti- maciones numéricas del riesgo así como de definir los riesgos aceptables o las inversiones marginales adecuadas que se destinen a la reducción del riesgo. Así, independientemente del modelo de decisión que propongamos adoptar, debe darse atención a entender la naturaleza de las incertidum- bres que entran en las evaluaciones de riesgo, así como a desarrollar mo- delos para procesar tales incertidumbres de manera congruente. Algunas limitaciones de los criterios convencionales de utilidad óptima pueden eliminarse si se adoptan funciones no lineales de utilidad o si se cubren la tendencia o la adversión al riesgo mediante una escala de utilidades que toma la utilidad de un estado de respuesta del sistema co- mo función de la probabilidad de alcanzar dicho estado. Por ejemplo, en las decisiones sobre aceptación de riesgos mayores a cambio de remunera- ción adicional se halla implícito un valor de la vida humana que depende del riesgo (25, 30). Los valores dependientes del riesgo que emanan de tales decisiones hacen ver que los humanos asignan valor constante a sus vidas siempre que el riesgo se encuentre bien por debajo de una cierta cota. Cerca de esta cota el valor implícito de una vida humana crece muy rápidamente, según muestra la fig 1. Esta actitud sería congruente con el modelo de optimización de la utilidad bajo restricciones de mxi- mo riesgo aceptable. Como corolario del párrafo anterior podemos concluir la factibilidad de formular criterios de optimización basados en escalas de utilidades de- /,
  • 11. pendientes del riesgo. Enseguida surgen algunas limitaciones (que no son exclusivas de tales criterios): la información disponible no basta para apo yar ninguna cota superior al riesgo definida con precisión, las decisiones pueden ser muy sensibles a las variaciones locales de la función utilidad- risgo cerca del máximo riesgo aceptable supuesto, y la relación entre ries go real y percibido dista de haber sido plenamente comprendida, como se ve rá más tarde, al tratar de estimaciones de riesgo sísmico. He aquí otra área que amerita más estudio. 4. Modelos de. 4Jnucidad Para fines de tomar decisiones conviene describir la sismicidad en un sitio dado por medio de la distribución de probabilidades de la intensidad máxima que puede ocurrir en dicho sitio durante un lapso dado; aquí el término ín~ tendctd se emplea para designar cualquier medida del movimiento del terre- no que puede servir para estimar la máxima respuesta del sistema. Alterna- tivamente, la información contenida en la distribución probabilstica que se menciona puede expresarse por medio de una función intensidad-recurren- cia v(y) (tasa media de excedencia y de una intensidad y por unidad de tiempo) y una distribución condicional, variable en el tiempo, de los tiem pos de espera para nuevos eventos y de las intensidades de dichos eventos, dada la hístoria previa. La escasez de información directa sobre tiempos e intensidades de eventos previos ha conducido a criterios para estimar a partir de datos indirectos, en general a partir de magnitudes y coordenadas focales de temblores generados en fuentes sismicas cercanas. Esto ha propiciado el desarrollo de modelos de 4Lntc.Ldctd Local descritos por relaciones magnitud-recurrencia X(M) (tasa media Xde generación de temblores con magnitud mayor que M por unidad de tiempo en un volumen uni- tario de una fuente sísmica) y por funciones adecuadas de correlación pro- babi1stica temporal y espacial. Dada X(M) cerca de un sitio como función de las coordenadas puede estimarse (y) mediante el uso de relaciones de atenuación de intensidades que ligan y con M y con la distancia R entre el foco y el sitio (31, 32). Los modelos más simples de sismicidad desprecian las correlaciones tempo- rales y espaciales y definen el riesgo con base exclusivamente en las fun-
  • 12. ciones de recurrencia: la ocurrencia de temblores es representada median- te un proceso homogéneo de Poisson. Estos modelos han jugado un papel muy importante al permitir la formulación y la implantación de modelos cuanti- tativos sobre riesgo y decisiones, pero la necesidad de tomar en cuenta en dichas decisiones funciones de descuento de beneficios, gastos y pérdidas demanda la calibración de los modelos simples con otros més completos, y eventualmente su remplazo por ellos. Se han desarrollado diversos modelos de sismicidad que representan la tendencia de los sismos a ocurrir en gru- pos, según se menciona en la sección 1. Sin embargo, en el análisis que sigue se ignora dicha tendencia y la atención se centra en el estudio de modelos estocsticos de sismicidad del tipo de procesos de renovación (24) con funciones de riesgo (probabilidad condicional de experimentarun temblor durante un intervalo elemental de tiempo dado que no han ocurrido temblo- res desde un cierto origen del tiempo) crecientes (24,33). Este es un pa- so previo al anélisis de modelos que consideran que pueden ocurrir grupos de temblores que incluyen números aleatorios de eventos con intensidades aleatorias y que el conjunto de los instantes en que se inician dichos gru pos constituye un proceso de renovación con función de riesgo creciente. Las funciones magnitud-recurrencia se expresan aquí como sigue: X(M) = e M(l_e 4u1)),para MM u (5) = O ,para M>M En esta ecuación, c, 0, y y M u son parámetros que deben estimarse a par- tir de información geológica y datos estadísticos. Obviamente, M es una cota superior a las magnitudes que pueden generarse en una fuente. Esta expresión difiere de propuestas previas (10) en que se ha introducido un nuevo parámetro, y, a fin de controlar las ordenadas X (M) en un interva- lo de valores de M muy significativo para el diseño stsmico de estructuras importantes: los próximos a M u (ver fig 2). Las relaciones de atenuación de intensidades son normalmente de la forma
  • 13. y = b1 eb2M (R + R0)-b3 (6) en donde b 1 , b2 , b3 y R0 son parámetros constantes, obtenidos mediante ajus- te de curvas a conjuntos de datos experimentales. La mayor parte de los da- tos empleados para obtener dichos parámetros corresponden a registros obte- nidos a distancias mayores de 50 km. La forma del segundo miembro de la ec 6 no es congruente con nuestros conocimientos actuales sobre fuentes y meca nismos sísmicos : a pesar de que sabemos que en el campo cercano las acelera clones máximas del terreno no son muy sensibles a la magnitud, la ec 6 im- plica variación exponencial con ella. Debe evaluarse la posible trascenden- cia de esta incongruencia en el riesgo sísmico. Puede obtenerse una variación más lenta de y con M para valores pequeños de R si se toma b2 como sigue: b2 = A + BR! (c+R) (7) Tomar A igual a cero equivale a imponer una cota superior a y, independien- temente de M. Si y se emplea para representar desplazamientos máximos del terreno o cantidades fuertemente correlacionadas con las componentes de pe- riodo largo del movimiento del terreno, la influencia de la magnitud a dis- tandas muy pequeñas es mucho más pronunciada que para aceleraciones, y la ec 6 no parece objetable bajo este punto de vista. Para velocidades o can- tidades correlacionadas con las componentes del movimiento del terreno sig- nificativas en el intervalo de frecuencias moderadas (0.3 a 3 hertz) la si- tuación es intermedia. De las ecs 5 y 6, la contribución de una fuente sísmica de volumen AV a la función () en un sitio que dista R de la fuente es igual a A(y) dado por la ecuación siguiente: A)c(Y) = ab1' ( +R) - AVY_r (1-( ) ), (8) y1 0 3 y>y1
  • 14. Aqui, r = c = y/b2 , q = b3r, y1 es la intensidad dada por la ec 6 cuando M = y c, 0,y son parámetros de la ec 5. El subíndice c que afecta a la ' señala el hecho de que las intensidades cuya función de re- currencia está dada por esta ecuación no son intensidades reales, sino va- lores calculados a partir de magnitudes y distancias, despreciando los erro res de predicción de la ec 6. Cuando v(y) resulta de las contribuciones de más de una fuent.e sísmica ele mental, es necesario integrar ambos miembros de la ec 8 con respecto a V. Por lo general, la expresión que resulte para (y) no variará con y como se muestra en dicha ecuación, pero por razones prácticas puede representar- se mediante una expresión semejante al segundo miembro de la ec 9: = KY-r (1 - () C ), y y' y1 (9) y>y' En esta ecuación, y 1 es el máximo valor de y que puede calcularse con la ec 6, adoptando para y R la combinación más desfavorableque sea posi- ble en cada fuente ssniica, y K, r, E se obtienen mediante ajuste con la curva que resulte de integrar la ec 8 para diversos valores de y. Las discrepancias de las intensidades reales con respecto a los valores determinados con la ec 6 conducen a curvas intensidad-recurrencia (v(y) = tasa de recurrencia de intensidades reales mayores que y) que difieren de las dadas porla ec 9 (vc(y))• Las primeras pueden obtenerse aplicando a una función correctiva que puede determinarse mediante el criterio que se presenta en la ref 10. Si se adopta la ec 9 para representar a se obtiene la siguiente v(y): 2 (10)v(y) = 1 KY- r (1 - en esta ecuación, ( log u -a. = ei (1 - 1 1)) e
  • 15. 122= ci r +mr = r , = r- c u1 = y/y1 a = m + m y son respectivamente la media y la desviación estándar del logaritmo natural del error de predicción de la ec 6 y es la función normal de dis- tribución de probabilidades con media nula y variancia unitaria. La fig 3 muestra gráficas de uc(y) y (y) para m = 0,a = 0.6, r = 2 y e = 2. Se ob- serva que la incertidumbre en las predicciones de la ec 6 es responsable de un incremento de varias veces en las tasas de excedencia de valores dados de la intensidad. 5. Cotto.6 espe.itadoi de daño4 cc.u.6adc. po)r.. SJJmo En esta sección se trata de mostrar la influencia de la incertidumbre res- pecto a los parámetros estructurales y al tipo de función de distribución de tiempos de espera entre eventos sísmicos sobre el valor presente de los costos esperados de daños. Se supone que sólo puede presentarse un modo de falla (el colapso), y por tanto que UD esta dado por la ec 4. Si los bemblores con intensidades mayores que la capacidad estructural R ocurren de acuerdo con un proceso de Poisson con tasa (R), se obtiene f* f = (R) (12)(.y) = i *( r) Si, por el contrario, los eventos ocurren de acuerdo con un proceso de re- novación en que los tiempos de espera siguen una distribución gamma con parámetros X y k (valor medio = k/) , coeficiente de variación f*(y) y f1*(y) están dados por las siguientes ecuaciones: 'k )k (13) f* () = Çk+y
  • 16. f vk+ r(k1 (k+y) t0 ) r(k, kt0 ) (14) Aquí, v= X/k, r (.) y r (.,.) son respectivamente las funciones gamma y gamma incompleta (34), y t0 es el lapso entre el último evento y el ori- gen del tiempo para los eventos futuros (tiempo de construcción). Estas funciones se sustituyen en la ec 4, a fin de obtener valores de UD norma- lizados con respecto a los de UD, obtenidos bajo la hipótesis de estruc- tura determinstica con propiedades iguales a los valores esperados de las de los sistemas inciertos. La tabla 1 resume los resultados de un análisis de la influencia de k en la relación entre los valores de UD para procesos gamma y Poisson. Las estructuras consideradas son deterministicas. Como se menciona arriba, el coeficiente de variación del tiempo de espera entre eventos es igual al recírpoco de la raíz cuadrada de k; por tanto, a mayor k menor incer- tidumbre respecto al tiempo de espera al siguiente evento. El caso parti- cular k = 1 corresponde al proceso de Poisson. Es bien sabido que la fun ción de riesgo de un proceso de Poisson es independiente de la historia previa, mientras que es una función creciente del tiempo transcurrido des de el último evento para k > 1 (33). Este tiempo se toma como una de las variables en el análisis, y aparece en la Tabla 1 como t 0 , normalizado con respecto a [, el valor esperado de los tiempos entre eventos. Las tenden- cias que muestran los valores numéricos de la tabla concuerdan con los con- ceptos citados antes: la relación en estudio es menor que la unidad para valores pequeños de t 0/1 y crece con este último valor. Mientras mayor es k más pronunciadas son estas variaciones. Las tablas 2 y 3 tienen que vercon la influencia del coeficiente de varia- ción VR de la capacidad estructural en la relación UD/UD. Las variables de estas tablas que no se han definido previamente son O = KpR'Iy = R'1 , en donde K, r y y 1 significan lo mismo que en la ec 10 y PR es el valor esperado de la cacidad estructural , expresado en las mismas unidades de y. Ambas tablas muestran que la influencia de VR sobre UD es sensible a e y z, y que para el proceso de Poisson pueden esperarse incre mentos del orden de 50 por ciento en UD para valores de VR aproximadamente
  • 17. iguales a 0.30. Estos incrementos son mayores para z mayor que la uni- dad, como consecuencia de la rápida variaci6n de con y en dicho intervalo. La influencia de VR en UD es sensible también a k y a t 0/i, como muestra la tabla 3. Los máximos valores de UD/UD corresponden a los mínimos de para los cuales la relación de UD para procesos gamma y Poisson es mínima. Para valores de t 0 /T para los que la última relación no es mucho menor que la unidad, la influencia de VR sobre UD/UD para procesos gamma es cuando mucho tan pronunciada como para los procesos de Poisson. 6. An"í,6 bctye&ano de. .ea síámícidad El hecho de que queremos contar con descripciones cuantitativas de la in- certidumbre nos lleva a adoptar métodos 'bayesianos de inferencia estadís- tica. En aquellos casos en que no se cuenta con suficiente informadón estadística directa sobre las variables importantes en los intervalos de valores significativos para una decisión dada, estos métodos nos permiten procesar opiniones subjetivas, conclusiones deducidas a partir de modelos físicos, e información indirecta proporcionada por fenómenos o eventos re- lacionados más fácil o frecuentemente observables que los que interesan. La mayoría de estos conceptos están involucrados en las estimaciones or- dinarias no piobabi sUca ( a menudo llamadas de.te.'unn stLaa4), pero mientras en estas el énfasis cae en proporcionar las estimaciones más des- favorables, en las estimaciones bayesianas el interés se centra en asignar medidas de verosimilitud a conjuntos comprensivos de hipótesis sobre los estados de la naturaleza así como modelos y parámetros de fenómenos y pro- cesos naturales. La ref 21 afirma lo siguiente: "A menudo se critica la aplicación del análisis bayesiano a la toma de decisiones en ingeniería con base en que constituye un escape del problema de recopilar suficiente información "sólida". Sin duda es- tas críticas a veces se justifican, en especial porque el decisor puede proponer distribuciones iniciales subjetivas de probabilidades '2
  • 18. de las variables importantes que no son congruentes con el conoci- miento disponible, sea porque suponen márgenes de incertidumbre más estrechos que los que pueden apoyarse en la naturaleza y amplitud de tal conocimiento, o porque se encuentran sesgados por deseos cons- cientes o inconscientes por minimizar los gastos iniciales o por ser sobreconservadores. "Las limitaciones anteriores pueden probablemente evitarse estable- ciendo un conjunto de principios y requisitos para la adopción de distribuciones probabilsticas subjetivas o llevando a cabo reunio- nes Delphos. Empleados adecuadamente, los métodos bayesianos cons- tituyen instrumentos poderosos para decidir sobre la conveniencia de emprender estudios encaminados a recopilar información adicional (y "mas sólida"), mediante el desarrollo coordinado de análisis t~nal y p'te-po4-te'Lon. (35); el primero se refiere a la toma de decisiones sobre la base de información dada, mientras que el segundo tiene que ver con la determinación del impacto esperado de estudios adicionales en la función de utilidad global. As1, la magnitud del esfuerzo para reunir información se decide comparando su costo esperado con su con- tribución esperada a la utilidad de la decisión global." En problemas de sismicidad, el análisis bayesiano puede emplearse para asi nar grados relativos de credibilidad o verosimilitud a suposiciones alterna tivas sobre los modelos que mejor representan a la actividad sísmica para fines de decisiones de ingeniería (por ejemplo,modelos de Poisson vs reno- vación vs agrupamiento; dependencia vs independencia espacial), o sobre los parámetros de dichos modelos. Puede aplicarse a la actividad en la fuente (7(M)) o a las excitaciones en un sitio ((y), v(y)), o secuencialmente a ambos tipos de curvas, a condición de no emplear más de una vez ninguna par te de la información, sea directa o indirectamente. Los párrafos siguien- tes cubren sólo algunos casos en que se adopta cierto tipo de modelo y la inferencia bayesiana trata sólo con sus parámetros. Los parámetros de la curva X(M) para una fuente dada son a, ,y y M (ver ec 5). La distribución inicial de Mu puede establecerse a partir de la ix
  • 19. geología (33) y la de 0 sobre la base de los valores que se sabe son apli- cables a fuentes semejantes en la tierra; no hay información en que basar algo más que una distribución inicial muy difusa de y, y no puede decirse mucho a priori con respecto a a, a menos que se parta de valores medios de x(M) para valores pequeños de M sobre regiones sísmicas de grandes dimen- siones, o que un especialista en geofísica considere que puede hacer esti- maciones razonables de la tasa de disipación de energía en regiones de di- mensiones moderadas. Una vez que se asigna una distribución marginal a prio ria cada parámetro, debe suponerse una matriz de correlación. Esta matriz puede calibrarse evaluando la incertidumbre que resulta en los valores pre- dichos de 2(M) para diversos valores de M. Este punto se trata con cierto detalle en la sección 7 de este trabajo. En la ref 36 se presenta una aplicación detallada de este criterio a la estimación de la función k(M) media y de su variación espacial en una zona de subducción. El análisis bayesiano de los parámetros de 'c(y) o '(y) sigue lineamientos iguales a los descritos para (M). Las distribuciones iniciales de a, , y Mu en las fuentes sísmicas vecinas determinan las de K, r,e y y 1 , res- pectivamente. A falta de información geo-tectónica significativa en la ve- cindad de un sitio, puede decidirse asignar a los últimos parámetros dis- tribuciones casi uniformes dentro de intervalos muy amplios. Si la forma y los parámetros de las funciones 4i. y 2 en la ec 10 son conocidas (lo que supondremos en lo que sigue), estimar v(y) equivale a estimar v() y por ello restringiremos nuestra atención a la primera función. La información estadística empleada en la actualización bayesiana de probabilidades cons- tará de los valores de y calculados a partir de las magnitudes y coordena- das focales reportadas. Por 10 general, los catálogos de temblores que contienen la información es- tadística mencionada en el párrafo anterior está incompleta; esto es, no incluyen todos los eventos que podrían dar lugar a intensidades del movi- miento del terreno capaces de dañar a las construcciones que hayan de cons- truirse en el sitio de interés. Aun si un catálogo está completo para mag- nitudes por encima de un cierto umbral y sólo se trabaja con valores en di- cho intervalo, se estará despreciando la contribución al riesgo de las mag-
  • 20. nitudes menores que el umbral citado, las que podrán ser muy frecuentes y podrán dar lugar a intensidades considerables en sitios localizados cerca de las fuentes sísmicas; por ello resulta necesario introducir una funci6n correctiva, (()Ç' por la que deberia multiplicarse la tasa '(y) obtenida del catálogo. La fig 4b ilustra este problema: muestra valores de obtenidos a partir de los valores de y en el sitio mostrado en la fig 4a, calculados a partir de las magnitudes y coordenadas reportadas en las refs 37-40. Se muestran tres grupos distintos de puntos, correspondientes res- pectivamente a los umbrales de 4.5, 5.0 y 6.0. El primer grupo cubre el lapso 1932-1980, y los otros dos abarcan 1932 a 1976. La contribución de los eventos de pequeña magnitud a la ordenada y) para valores pequeños y moderados de y puede apreciarse comparando los diversos conjuntos de pun- tos de la figura. Se cree que los catálogos empleados estan completos para magnitudes mayores que 6 para el lapso citado antes, pero probablemente fal ta un número considerable de eventos con. magnitudes en el intervalo 4.5 a 6.0. Así, la diferencia entre la curva determinada a partir de eventos con M > 6 y la Hnea sólida se debe exclusivamente a haber ignorado los eventos menores muy próximos al sitio, mientras que la diferencia entre la última curva y las determinadas por los eventos con M . 45 y M 5.0 pueden en parte explicarsepor la incompletez del catálogo. La Hnea sólida se estimó después de aplicar a los puntos que corresponden a M > 6 una función correc- tiva((y)jlegún se discute más adelante. Esta corrección es necesaria a pe- sar de que las discrepancias son significativas sólo para valores pequeños y moderados de L porque los valores de v(y) correspondientes influyen consi- derablemente en las estimaciones de costos esperados de daños sísmicos por unidad ¿e tiempo y porque la pendiente de la línea sólida afecta las extra- polaciones de v(y) hacia la derecha. La función correctiva q(y) depende de los parámetros de X(M) y de los de las expresiones de atenuación de intensidades; también depende de la distri- bución espacial de actividad en la vecindad del sitio. Como ilustración, en el Apéndice A se obtiene 4(y) para el caso de sisniicidad uniformemente distribuida, con =.a exp(-M).
  • 21. Bajo la hipótesis de que los temblores ocurren como los eventos de un pro- ceso de Poisson, de que la muestra con la que tratamos cubre intensidades calculadas arriba de un umbral y0 , y de que las intensidades de los even- tos son variables independientecon idéntica distribución, la verosimili- tud de la muestra de valores observados •• YN durante un lapso de duración t es proporcional a la funcioñ Cque se difine a continuación: $1 -vt N tIK, r,, y.) e o ir (-v(Y)) (15) Aquí, K, r, son valores posibles de los parámetros de la ec. 9, =' K, r, c, y 1 ), v es la derivada de con respecto a y, Vo = 3'0T0 (-'c (y) , y q(y) es la función correctiva que se discute antes y que puede representarse en forma aproximada como )=1-b(1-/ 1 ) 5 (16) en donde s > 1 y O < b < 1. De lo anterior, = + (t)(Y)) ; (y.) (17) en donde (y) = - r K -r-1 (1+(E-1) (y_)e) (18) y1 y y ) s-1 (19) Designemos ahora con Y el vector de N valores observados de y., con W al vector de parámetros K,r,c, y1, y con f y r respectivamenfe a las distribuciones bayesianas iniciTy posterior de W. Entonces es aplica- ble la siguiente relación: fil (wIYN;t) f'(w) L tlw ) (20)
  • 22. Una vez que se tiene f, debe usarse para obtener descripciones probabi- lsticas (funciones de distribución o momentos probabilsticos) de varia- bles tales como UD , Vc () y v(), dadas respectivamente por las ecs. 3, 4, 9 y 10. Esto requiere llevar a cabo una integración cuádruple con respec- to a dw = dw 1dw2dw3dw4 de la función de interés pesada por f, y puede lo grarse por procedimientos convencionales de diferencias finitas o de in- crementos finitos, as como mediante concentración de las probabilidades bayesianas en valores pre-determinados de los parámetros. Sin embargo, aun si se elige un número relativamente pequeño de valores de cada pará- metro para definir f, el número resultante de combinaciones de paráme- tros para los que debe evaluarse f, puede resultar inadmisiblemente gran- de, en particular si se tiene en mente la muy significativa longitud de los cálculos necesarios para evaluar L(YN;tlw) en cada punto. Esto sugie- re el empleo de métodos de Monte Carlo para integración numérica: se si- mula una muestra de tamaño n de realizaciones del vector w de parámetros, a partir de la distribución inicial f(w), se calcula la función L para ca- da w1 y se estima el valor esperado de cualquier función G(w) de los men- cionados parámetros con respecto a la distribución posterior f(w): ns E"(G(w)IYN;t) = c'E G(w1 ) L tlw.) (21) i=1 Aqui, c es una constante normalizadora: n c = EsL tlw.) (22) i =1 La fig. 5 muestra los resultados de aplicar la ec. 20 a una muestra fic- ticia de intensidades de 10 temblores supuestamente observados durante un lapso de 10 años. El espacio de valores posibles de los parámetros fue K > 0, r > 0, c > O y p= Mu_Mui > 0, en donde Mu es una cota supe- rior a las magnitudes que pueden generarse en una fuente (usada para esti- mar y1 a partir de la ec. 6, tomando R = 30 km) y Mi es una cota inferior a MuTLa distribución de estos parámetros se supuso concentrada en una malla en cuatro dimensiones determinada por cinco valores uniformemente espaciados en cada dirección. Estos valores se escogieron de manera de 22
  • 23. incluir intervalos determinados por inspección del trazo de valores de calculados a partir del registro uestadsticoh. La figura incluye las esperanzas y los coeficientes de variación de '(y) para diferentes valores de y bajo la hipótesis de que (y) = 1. Puede verse que el coefi- ciente de variación crece con y y que puede alcanzar valores muy grançles para intensidades mayores que el máximo valor registrado. Esta incerti- dumbre sólo puede reducirse cuando la información geotectónica disponible permite la adopción de distribuciones iniciales angostas de M(o En aquellos casos en que la muestra estadística contiene información su- ficiente como para producir distribuciones posteriores angostas de uno o varios parámetros, el método de probabilidades concentradas puede conducir a distribuciones posteriores de dichos parámetros irrealistamente extendi- das, a menos que la malla de puntos discretos adoptada incluya valores pr6- ximos a aquellos en que la función de verosimilitud tiene un máximo. En algunos casos el valor más probable de uno o más parámetros puede estimarse por inspección de la muestra, proporcionando así puntos nodales adecuados para la malla; en caso contrario, será preferible llevar a cabo la inte- gración numérica para obtener momentos de vc() o UD (ecs. 1-4) mediante simulación de Monte Carlo, empleando la ec. 21 (41). 7. Re.sgo 4fmLe.o con 4mcdad ¡ncea Se demuestra en secciones anteriores que UD, el valor presente de las con- secuencias esperadas de falla, es funcion de v(), la tasa media de exce- dencia de un valor dado de la intensidad, así como de otros parámetros que toman en cuenta la correlación temporal, en caso de que la actividad sss- mica se represente por modelos estocásticos diferentes del modelo de Poisson. A pesar de la significativa influencia que las funciones de correlación tem- poral puedan tener sobre UD, nuestra atención en esta sección se centrará en los modelos de Poisson, y por ende el riesgo sísmico quedará descrito completamente por Hacemos esto por simplicidad y porque se sabe muy poco sobre lo adecuado de otros modelos para representar procesos sísmicos reales.
  • 24. De acuerdo con las ecs. 1-4, UD es sensible a la incertidumbre respecto a v(y), y no sólo a su valor esperado. Además, bajo ciertas cincustancias las decisiones pueden estar gobernadas por cotas máximas a los niveles to- lerables de riesgo (tasas reales de falla) y no sólo por valores esperados de costos y beneficios. De aquí la importancia de tratar con v(y) como función incierta. Las tablas 4-6 se presentan con fines ilustrativos. Muestran la influen- cia en el riesgo de la incertidumbre respecto a los parámetros que lo des- criben. En las tablas 4 y 5 el riesgo se expresa por las ordenadas de la función X(M), mientras que la tabla 6 corresponde al caso en que el riesgo se mide por medio de UD. En todos los casos las variables independientes son los valores esperados y las matrices de covariancias de los parámetros que definen el riesgo. La tabla 4 corresponde al caso en que x(M) está dado por la ecuación X(M) = a exp (-AM); 3. es el valor de X determinado cona= Zi y = 1 , VOC y V son respectivamente los coeficientes de variación de los parámetros mencionados y p el coeficiente de correlación de su distribución bayesia- na. Los valores de esta tabla se obtuvieron después de representar la distribución probabilística conjunta de a y 0 por el modelo de probabili- dades concentradas que se propone en la ref 42. Las partes a y b de la tabla corresponden a DI = 10; por tanto, para = 2, que no dista de los valores usuales de en muchas zonas sísmicas, M = S. es evidente la am- plia influencia de V en E(X) y V(X), así como la influencia de valores positivos grandes de pen reducir V. La tabla 5 trata con una expresión más refinada para X(M): la ec. 5. En ella se presentan valores esperados y coeficientes de variación de X(6.0)/X(7.0) como funciones de los coeficientes de variación de ,y y M, así como de los coeficientes de correlación entre ellos. Los índices 1-3 identifican a los parámetros w1 = , w2 = y, w3 = M. Como muestran las partes a y b de la tabla, p 12 y p23 tienen muy poca influencia en los re- sultados. La poca sensibilidad a P 12 puede tal vez explicarse por lo pe-
  • 25. queño del coeficiente de variación de w 1 = 0. La tabla 6 se obtuvo mediante simulación de Monte Carlo a partir de una distribución conjunta de los parámetros K, r, e y p =- Mi (ver sección 6). Otras variables en esta tabla son = XPE_r/Y , Z E = valor medio de la capacidad estructural RE expresada en las mismas iñiidades que y19 VR = coeficiente de variación de RE , UD = valor de UD obtenido tomando R[ = RE como función determinstica de i, F, E y , y y ,aior d que resulta de la ec. 6 con R = 30 km y M = = Mi + iT. Todos los coe- ficientes de correlación se consideraron nulos. De nuevo los resultados muestran una sensibilidad muy pronunciada a V, y la influencia de este pa- rámetro crece al crecer z. Puede tenerse una idea de la posible importancia de Vr si se comparan las partes a y b de la tabla. El gran número de las posibles combinaciones que pueden hacerse con las va- riables que se han estudiado superficialmente en los párrafos anteriores hacen difícil presentar un análisis suficientemente amplio en este trabajo. Se presentan algunos resultados, con la esperanza de que darán idea de las posibles interacciones entre las diversas variables. Son deseables estu- dios más sistemáticos, entre cuyas principales aplicaciones se encontraria la de orientar al juicio ingenieril cuando se traten de estipular distribu- ciones bayesianas iniciales conjuntas de parámetros de procesos sísmicos. 8. Toma de de.cJ.Lone con eaa de wtíL&1ad qae de.pende.n del itego Si se quiere que un criterio formal para toma de decisiones logre acepta- ción debe calibrarse contra las decisiones intuitivas, ya que estas últi- mas serán las preferidas en cada caso particular, a menos que se haga ver que son incongruentes. Es difícil representar mediante modelos simples las complejas interacciones entre los razonamientos y sentimientos cons- cientes e inconscientes que sirven de apoyo a los procesos intuitivos de decisión, y la pregunta sobre hasta qué punto deberán los modelos forma- les para toma de decisiones modificar dichos procesos es materia digna de violentos debates. En otras palabras: ¿Deberían ser los criterios forma- les de decisión nada más que algoritmos desarrollados con objeto de tomar
  • 26. automáticamente decisiones que estuvieran de acuerdo con las que se toman con base en intuición, experiencia y juicio, o deberíamos cuestionar la validez de estas últimas y tratar de apoyar plenamente los modelos forma- les? Si una decisión dada puede tener una influencia signficativa en la probabilidad de sufrir un evento de consecuencias muy graves, cualquier decisor experimentado que se enfrente a un conflicto entre las acciones recomendadas por el análisis formal o por su intuición arraigada, proba- blemente obrará de acuerdo con la última, en particular si lo conduce al lado más seguro. La toma formal de decisiones probablemente no remplazará a la intuición en unos cuantos años, pero puede ayudar a orientar a esta última, mejorando su base. Esta justificación es más que suficiente para el desarrollo de métodos formables, susceptibles de calibración. Las decisiones relacionadas con el riesgo que proviene de eventos alea- torios pero frecuentes, cuyas posibles consecuencias en todos los casos sean probablemente del mismo orden de magnitud, no ofrecen dificultad: se manejan en el marco del análisis de costos y beneficios esperados, ya que es muy pequeña la probabilidad de grandes desviaciones con respecto a la media. Tal es la situación cuando se establecen primas de seguro de vida. El tratamiento de eventos excepcionales es materia distinta. La situación se vuelve aun más confusa cuando se reconocen las dificul- tades para decidir si un evento debería considerarse raro o excepcional: los temblores que ocurran en cualquier lugar en un país dado pueden cali- ficarse como eventos comunes, pero pueden considerarse como suficientemen- te raros bajo el punto de vista del riesgo de naturaleza diferente de la económica que afronte una comunidad dada. La conclusión es que las deci- siones de ingeniería relacionadas con riesgo sísmico deben basarse en con sideraciones más amplias que los criterios costo-beneficio. Tal vez el planteamiento más realista de la toma de decisiones ante ries- go sTsmico sea la propuesta en las refs. 28 y 29: optimizamos con respecto a las consecuencias materiales tangibles y luego decidimos sobre los gas-
  • 27. tos marginales que hemos de hacer para lograr protección contra consecuen- cias que no puedan cuantificarse en términos monetarios. Asi, la decisión sobre la suma que deberia invertirse por cada vida humana salvada por año debería dejarse al decisor, pero el ingeniero debería ser capaz de decirle cuantas vidas podrían salvarse mediante cada acción alternativa; probable- mente la decisión seria sensible respecto a la incertidumbre en el número de vidas, y no únicamente a su valor esperado. He aquí otra justificación para tratar de obtener estimaciones probabilsticos de riesgo y consecuen- cias. El autor considera que el planteamiento que se sugiere en el párrafo ante- rior da lugar a una interacción saludable entre intuición, juicio e incer- tidumbre cuantificada: el decisor recibiría información respecto a los ni- veles de riesgo más probables, junto con el correspondiente juego de valo- res de la probabilidad que se le asigne a cada nivel y una descripción pro babilstica de las consecuencias condicionales a la validez de cada modelo de sismicidad. Entonces tomaría decisiones por separado para cada una de las alternativas y llegaría a una decisión final tras tomar en cuenta las probabilidades asociadas a las diversas hipótesis descritas arriba. Des- pués de observar varias veces este proceso estaríamos en posibilidad de establecer reglas formales precisas. En la ref 21 se presenta un enfoque diferente, que involucra a dos de los elementos más importantes en cuanto a decisiones relacionadas con riesgo: se toman decisiones preliminares bajo el criterio de estudios costo-bene- ficio en que todas las consecuencias y pérdidas se expresan en las mismas unidades y luego se modifican estas decisiones de manera de satisfacer restricciones relativas a cotas máximas a los riesgos tolerables. Esto proviene de los estudios (25) que muestran que muechas decisiones indivi- duales ante riesgo equivalen en realidad a suponer que algunos conceptos incuantificables, tales como el valor de la vida humana, se manejan de he- cho como si se les asignaran valores que son casi independientes del ries- go para valores muy bajos de esta última variable, pero que crecen a gran
  • 28. velocidad en la vecindad de valores que por esta razón se toman como las cotas superiores mencionadas anteriormente. Antes de llevar este crite- rio a la practica deben resolverse algunos problemas: cómo manejar situa- ciones como las descritas antes que e 1 riesgo sísmico (expresado, por ejem- plo, como v(y)) es en sí incierto; cuan bien definidas están las cotas su- periores al riesgo tolerable; qué relaciones existen entre riesgo percibi- do y tolerado y cuál de estos dos debería tomarse como base para las deci- siones. Una vez que respondamos a estas preguntas quedaremos tal vez en posibilidad de establecer escalas adecuadas de utilidad dependientes del riesgo en la forma de curvas como las de la fig 1. Los siguientes párrafos muestran el empleo de las escalas de utilidad que se proponen y dan cierta idea sobre la sensibilidad de las deciciones a dichas escalas, as como a la incertidumbre respecto al riesgo. Supóngase que la sismicidad en un sitio puede representarse mediante un proceso de Poisson. Tómese (y) igual a Kr, en donde K es incierto, y supóngase que se conocen en forma determinstica las propiedades de un sis- tema estructural que se proyecta construir. Se trata de determinar el valor óptimo D de la intensidad de diseño con base en un anélisis costo beneficio tomando en cuenta una escala de utilidad dependiente del riesgo dada por la ecuación siguiente: U(y) = w (1 + cw) (23) UDO Aquí, UD(y) = D0 (y), U 0 (y0 ) = D0 (y0 ), D0 es el costo esperado de la falla en caso de que esta ourra,,= kyt, = •jy_r, w = '( y)/(y0 ), Yo es una intensidad que se toma como base para normalizar y, y c,n son pa- rmetros especificados. Para la presente ilustración se elegirá y tal que ) = 1O.(y0 Si se designa por u al primer miembro de la ec. 23, y se tomn k = K/R y r = y1y 0 , la ec. 22 toma la siguiente forma: u = k_r -rn+1 n +c(kn ) (24) /
  • 29. Para fines de tomar decisiones con base en utilidad esperada óptima es ne- cesario obtener el valor esperado de u. Si se supone que k es aleatoria con distribución logarftmico-normal, con media igual a 1 y coeficiente de variación igual a Vk, la ec. 24 conduce a n(n+1) ' 2 2 E(u) = -r + -r'n+ " (l+Vk ) (25) La ec. 23 implica la adopción de la politica de reconstruir inmediatamente después de cada falla; por tanto los beneficios esperados que resulten de la operación de la estructura no cambian con el nivel de seguridad, y la utilidad por optimizar es = UD + Al + A2 'D (26) en donde 'D es la intensidad de diseño, y los dos últimos ténninos repre- sentan el costo inicial de construcción. La ec. 26 puede escribirse como UD) UDO(yo) = E(u) + a 1 + a2 D (27) en donde n D D y0 , a1 = Al/UD0 (y 0 ) y a 2 = A2/(D0K y_(r+1)3 De la ec. 27 se obtuvTr1T valores óptimosde fl0 para varios valores de c, n y Vk. Para este fin se sustituyó, en la ec. 27 el valor de E(u) dado por la ec. 24 y se igualó con cero la primera derivada del segundo miembro con respecto a riD. En la tabla 7 se muestran algunos resultados. Para ambos casos se tómo c igual a 0.01 y por tanto la influencia del nivel de riesgo en el valor efectivo de las consecuencias no es mayor que 1 por ciento mientras '(y ) no sea mayor que 10 . Para n=2, u(yD) es igual a 1.01, 2 y 101 para - VO) iguales respectivamente a 1, 10, 100; para n = 4 las relacio- ne YD)í necorrespondientes son 1.01, 101 y 106 . De momento es difícil relacio- nar estas curvas con hipótesis relativas a riesgos tolerables. Si y 0 se
  • 30. expresa como fracción de la aceleración de la gravedad, es razonable tomar A2/D0 = 0.1, y0 = 0.3; estas hipótesis, junto con la de que () = 10 conducen a a 2 0.1 x 0.3 x 103 = 30. La tabla muestra claramente la sensibilidad de los resultados a Vk y • C6- mo determinar Vk ha sido tema de una parte importante de este trabajo. El establecimiento de escalas de utilidad dependientes del riesgo sísmico pa- ra toma de decisiones probablemente no podrá lograrse por simple extrapola- ción de las decisiones que emanan de estudios sobre ajustes entre compen- sación económica e incremento de riesgo a la vida. Tal vez la mejor mane- ra de establecer estas escalas será por calibración con respecto a decisio- nes tomadas bajo el planteamiento de gastos marginales por cada vida humana salvada. 9. ComentcJíos Jínales Los modelos probabilsticos son más que representaciones matemáticas de las frecuencias relativas esperadas de eventos repetitivos. La misma teoría axiomática que se acepta universalmente nara tratar con estos problemas proporciona también herramientas y criterios congruentes para medir cre- dibilidades e incertidumbres asociadas con conocimiento imperfecto y opi- niones subjetivas. Su principal virtud es la de proporcionar un marco for- mal para procesar tales credibilidades e incertidumbres a fin de tomar de- cisiones. Como consecuencia del deseo de reducir al mínimo la posible amenaza a la seguridad y a la economía que ofrecen los eventos sTsmicos, la toma in- formal de decisiones es a menudo un proceso subjetivo de iteraciones que consiste en adoptar, una tras otra, hipótesis conservadoras en qué basar la definición de valores y criterios especificados para diseño, y luego relajar tales requisitos hasta que la economía parece estar en equilibrio con un nivel de riesgo definido de manera muy vaga. La introducción de modelos probabilsticos para representar el estado del conocimiento de un decisor servirá para estimular la búsqueda de reglas racionales de deci-
  • 31. sión, así como para desarrollar los modelos y planear los estudios nece- sarios para obtener la información que tenga el máximo valor para la de- cisión considerada. El análisis bayesiano proporciona a un decisor la posibilidad de estable- cer reglas de decisión claramente definidas, suponer un conjunto de mode- los estocásticos factibles de la naturaleza, obtener sus probabilidades bayesianas posteriores, que involucren sus opiniones previas y la eviden- cia histórica, y tomar decisiones racionales a la luz de tales probabili- dades y de las reglas de decisión establecidas al principio. Los métodos bayesianos no son sustitutos de la información "sólida"; por el contrario, pueden ser muy útiles para estimar el valor de recopilar más información. para tomar las decisiones respectivas. Durante los últimos a?os se han desarollado diversos criterios para la to- ma formal de decisiones ante riesgo sísmico. Estos criterios hacen uso de conceptos relacionados con estudios costo-beneficio, máximo riesgo tolera- ble y gastos marginales para protección de vidas. Todos requieren modelos probabilsticos del riesgo que tomen en cuenta incertidumbre objetiva y subjetiva, y todos suponen la disponibilidad de escalas adecuadas para ex- presar las consecuencias de da?io o falla estructural. Dado que las esca- las mencionadas distan mucho de estar bien desarrolladas, probablemente en el futuro inmediato las decisiones en problemas de riesgo sísmico no se tomarán exclusivamente sobre la base de los criterios formales propues- tos en este trabajo. Pero lo inadecuado de las decisiones informales, ca- rentes de toda descripción cuantitativa de los riesgos, apoya la recomen- dación de que los métodos informales no deberían aplicarse sin la orienta- ción que proporcionen medidas probabilísticas de credibilidad e incerti- dumbre. Es seguro que la interacción entre criterios formales e informa- les mejorará nuestro conocimiento y comprensión acerca de las escalas de valores y reglas de decisi6n que mejor sirven a las metas e intereses de los grupos humanos afectados por las decisiones en cuestión.
  • 32. lo. Reconocíin-vto Mario Chávez leyó el manuscrito e hizo sugerencias muy valiosas. El au- tor reconoce su ayuda con agradecimiento.
  • 33. APENDICE A. CORRECCION DE CURVAS v (y) OBTENIDAS DE CATALOGOS DE MAGNITUDES MAYORES QUE UN CIERTO VALOR. Consideremos la actividad sísmica como uniformemente distribuida en la vecin- dad de un st1o. Supongamos que X(M) es igual a a exp (-SM) y que es aplica- ble la ec. 6. Despejando M en la ec. 6 se obtiene (m(, R)) = aw r(R + R0)- (A.l) en donde w = b, r = 8/b 2 , y M(y, R) es la magnitud que produce la intensidad ,y a la distancia R, de acuerdo con la ec. 6. La función v(y) puede obtener- se como sigue v(.) = J. y R))dy (A.2) Si "m es el valor de v(y) que resulta, de considerar sólo aquellos temblo- res con M > m, la relación es la funcjón correctiva descrita en la seccIón 6. Podernos obtener ''m- corno sigue = 1 X(.m)dV + 1 aMdV (A.3) R<R* R>R* En esta ecuacjón, R* es una distancIa tal que la magnitud m da lugar a la in- tensidad y de acuerdo con la ec. 6. Las ecs. Al .y A2 conducen a lo siguien- te: -4iraw' y) = (l-q) ( 2-q) (3-q) q > 3 (A.4) A partir de la ec. 6 puede obtenerse una expresión para R*. R* = (b1 eb2m y1) 1ib3 - R0 (A.5)
  • 34. Una vez que se conoce R*, puede emplearse la ec. A.3 para obtener vmi() V () (A.6) en donde v i () x 1 7rc R*3 e_Om (Ai) 3 2R* R*2 2 vm2(Y) = 2w (i-q)(-q) - (i-q) - (1-q)(2-q)(3-q (A.8) endondeq>3yR =R*1R1 o Las ecs. A.4 - A.8 contienen la información necesaria para determinar
  • 35. / -i j 11. Retcúvs Corneli, C.A., Structural safety specifications based on second mornent reliability analysis", IABSE Cymposiurn on Concepts of Safety of Struc- tures arid Methods of Design, London (1969) Rzhanitzyn, A.E. "It is ncessary to irnprove the standards of design of building structures" (1957); translated by D.E. Allen in A statistical rnethod of design of building structures, National Research Council of Canada, Technical Transiation 1360, Ottawa (1969) Galambos, T.V., and Ravindra, M.K., "Tentative load and resistance fac- tor design criteria for steel buildings", Civil and Environmental Engineering Department, Washington University School of Engineering and Applied Science, St. Louis, Mo. (1973). Rosenblueth, E., and Esteva, L., "Reliability basis for sorne Mexican codes", ACI Syrnposiurn on Structural Reliability, Denver, Colo. (1971). Lind, N.C., "Consistent partial safety factors", Journal of the Struc- tural Division, ASCE, 97, No. ST6, pp 1651-1669 (1971). CIRIA, "Rationalisation of safety and serviceability factors in struc- tural codes", Report 63, London (1967). Joint Cornrnittee on Structural Safety, "General principles on reliability for structural desiqn", IABSE Periodica (1981). Esteva, L., "Seisrnic risk and seisrnic design decisions", Serninar ori Seisrnic Design of Nuclear Power Plants, MIT Press, Carnbridge, Mass. (1969). Esteva, L., and Villaverde, R., "Seismic risk, design spectra and structural reliability", Proc. 5WCEE, Rorne (1973). Esteva, L., "Desigri: General", Chapter 3 of Desi9n of earthguake resistant structures, edited by E. Rosenblueth, Pentech Press, London (1978). Mc Guire, R.K., "Seisrnic structural response risk analysis incorporating peak response regressions on earthguake rnagnitude and distances", MIT, Departrnent of Civil Engineering, R74-51 (1974). Donovan, N.C., "Earthquake hazards for buildings", in Building practices for disaster rnitigation, Building Science Series 46, US Departrnent of Comrnerce, Washington, D.C. (1973). Vere Jones, D., "Stochastic models for earthquake occurrences", Journal Royal Statistical Society, B32, 1-62 (1970). Schlien, 5., and Toksoz, M.N., "A clustering model for earthquake occurrences", Bull. Siesmol. Soc. Am., 60, pp 1765-1787 (1970).
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  • 38. G.00C. 5.000. Y = 2.400. DE MUERTE a) COMPENSACION REQUERIDA 100.' 10 DE MUERTE io io io2 . . - b) VALOR DE VIDA . . 10-7 io 6 10 10'3 - 102 FIG 1 COf'1PENSACION RE!UERIDA PARA RIESGO INCREE'i1ENTADO Y VALOR RESULTANTE DE LA VIDt (de laref 25)
  • 39. 7MIT to U 1 It - r 1 - - --- - - L - - - 1 7 8 FIG 2. INFLUENCIA DE Y Y M EN x(M) PARA = 2 CURVA 1 co 2 10 6.5 3 5 6.5 4 2 6.5 5 0.5 6,5 6 10 8.5 7 5 8.5 oo ¿ 1) 0 o, 9 05 8.5
  • 40. .1 LO v o o 2.0 1— 10.0 20.0 100.0 200.0 - nññl = E _ _ 1 , , 1:1 •• t It III! 1 It ___ - '-.-'-. 1000.0 •I0.0 5.0 •10 o 0.5 c 0. 0.05 0.01 0.005 0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 50.0 lOOfl • .. V1 en cm/s • -- Curva de ajuste a datos originales - Primera correccidn .. Curva final . • FIG 3 RELACION ENTRE LAS CURVAS (y) Y -(y)
  • 41. 1( .4.4 .4 .4 1414 II 14 *.4 xx >4 .4 >41(14 14 xx .4.4 11)4 >4 .4. >4 .4 .4 II.4 >4 14 14>4.4)4 * )1 1) II •('4)( wxxx '1 14 14.4)4)4 >4 )4 14)4)414 14 >4)41414 >4>4 >4 >414 1414 .4. >41414 >1 '414 >4 14 '4 It >4 >4 '4 >1 •14 It >4 It It >4.4 - >4 .4 '4 14 1< '4 14 It >414 >4 >4 14 14 o o o 4$ o 4 II o a pi rl e o o pl . a (1, o 35.0 •.,• 20.40 • 24.00 30.80 a.00 1 .xl 1 x •I 1 xxx xx XXX(X XX xxx •x. x X x • x Xx x xxxx x xx x x x - .x x - XX X .• x x x x xx x xXxX x xxxxx x X xx X XXX XXX XXX x • • xxx x xxxxxx xx X XX X • ,- Planta Geote'rmlcoX X x xx / de Cerro Prieto XXXXXX J X XXX X_X. . X x x - - xx - X XX XX X X XXXx X x • xx x x • • x xx x xxx• . xx xxxxx xCO • . • • X xxxxxx x- •. . X .< xXxXxX X • -• • ...• XX XX X X X XXxQ( XXXxXxxx X • X X>XXX • . X XXXXXX • •• xx x XX X X xxx X . XXx - x X XX • x XX X X X XX xx • XXX x x lt x Xxx XXX,X • . -k X XXXX ., 4.- 4- 33,20 4 o o o o o1.00 iL9.j . 3tO.0 117.4C U4.23 t1,)Q .HO Ui.40 1O.20 •10?.0 u o o o 0 c Lonitud (Qrados) rl •o - FIG 14A TEMBLORES CON M > 4,5 DE 1932 A 1980
  • 42. 0.1 0.2 1.0 o lc a 2.0 c 4) 1- 10.0 20.0 100.0 200.0 . 1 10.0 5.0 1.0 a Q•5 a) 0.1 0.05 0.01 0.00 0.001 1 E0 - 0o - o - lxx '(X O 0 OA A - Á x) Xo ox - 0 - - o o - FIG 14B III 1 1 1 1 1 I 1 II! 1000.0 5 10 50 100 500 1000 a,., en cm/s 2 O Catcilogo con M.k 4.5 t CatIogo con M k X Cafdloqo con M > 6 Curvo de ajuste - AJUSTE DE CURVAS A VALORES OBERVADOS DE '(y) EN CERRO PRIETO, B. C,, ÍIEXICO a r = ACELERACION MAXIMA DEL TERRENO
  • 43. FIG 5 VALORES POSTERIORES DE E(v) Y V c u, .2 c. Y )crl/sej 1,4 1,6 1.8
  • 44. 4 TABLA 1. RELACIONES ENTRE UD PARA PROCESOS GAMMA Y POISSON* t /T /y k 0.1 0.5 1 2 10 20 0,001 1.1 0.82 0,91 0.9'4 0.97 0,99 1.00 2 0.3'4 1.00 1.33 1.60 1.90 1.95 5 0.003 0.76 2,00 3,24 4,58 4.78 0,005 1.1 0,32 0.91 0,9'4 0.96 0.99 1.00 2 0.35 1,00 1,3 1.59 1.89 1.93 4 0.009 0.77 1.99 3.19 4.51 4.70 0.010 1.1 0.83 0,91 0,9'4 0.96 099 0.99 2 0,36 1100 1.32 1.58 187 1,92 5 0.011 0.78 1.98 3,14 4.42 4.58 0.100 1.1 0.86 0,92 0,9'4 0.96 0.99 0.99 2 0.56 1.06 1.31 1.51 1.7'4 1.83 5 0.14 1,11 2.17 3.05 3.89 4.10 * )/y ES IGUAL EN AMBOS 1 ES EL VALOR ESPERADO DE LOS TIEMPOS DE ESPERA ESTRUCTURA DETERMIÑÍSTICA
  • 45. TABLA 2. INFLUENCIA DE VR EN EL DAÑO ESPERADO. PROCESO DE POISSON Valores de UD/UD e z VD 0,05 0.10 0,15 0,20 0.25 0.30 0,2 0.1 1.005 1.020 1.044 1.076 1.120 1.169 0.5 1.005 1.021 1,01 6 1.082 1.126 1.178 1.0 1.007 1.027 1.060 1.106 1.163 1.231 1.5 1.010 1,039 1.083 1.154 1.235 1329 1,0 0,1 0.999 0.997 0.99 0,991 0.989 0.990 0.5 0,999 0,995 0.990 0.98 0.979 0,977 1,0 0.998 0.993 0,933 0.977 0.972 0.971 1.5 0.999 0,995 0.991 0,991 0,996 1.011
  • 46. ) TABLA 3. INFLUENCIA DE VR EN EL DA0 ESPERADO, PROCESO GAMMA Valores de UD/D para O = 0.02 - VR t 0 /T Z 0,05 0,10 0.15 0.20 0,25 0.30 0.1 0.1 1.00 1.02 1,05 1.10 1.114 1.20 0,5 1,01 1,03 1,06 1.10 1.16 1.22 1.0 1.01 1.014 1,03 1.114 1.22 1.30 1.5 1.01 1.06 1.13 1.22 1.33 1.145 1.0 0,1 1.00 1.02 1.014 1,06 1.10 1.13 0,5 1,00 1.02 1,014 1.07 1.10 1.114 1.0 1.01 1,02 1.05 1.03 1.13 1.18 1,5 1.01 1,03 1.07 1.12 1.18 1.25 10.0 0,1 1.00 1.01 1.03 1.05 1.08 1.11 05 1,00 1.01 1.03 1,05 1.08 1.11 1.0 1.02 1.02 1.014 1.06 1.10 1.114 1.5 1.01 1,02 1.05 1,09 1.14 1.19 6.1 0.1 1.01 1.03 1.06 1.11 1.17 1.22 0.5 1.01 1.03 107 112 1.13 1.25 1.0 1.01 1.05 1.11 1.19 1.29 1.40 1.5 1.03 1.10 1.22 1.33 1.55 1.73 1.0 0.1 1.00 1.00 1,01 1.02 1.03 1,05 0.5 1.00 1.00 1.01 1.02 1.03 1.014 1.0 1.00 1.01 1.01 1.02 1.014 1,06 1.5 1.00 1.01 1.03 1.05 1.07 1.11 10,0 0.1 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.02 0,5 1.00 1.00 1.00 1.01 1.01 1.01 1.0 1,00 1.00 1.00 1.00 1,00 1,01 1.5 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.01 L
  • 47. TABLA 4, INCERTIDUNBRE EN LA EXPRESION X = o. exp (-SM) Ver nota abajo a) Valores d p 0.10 -0.5 -0.2 0 0,2 0.5 0.30 -0.5 -0.2 0 0.2 0.5 0.50 -0.5 -0,2 O - 0.2 0.5 E)15 para M = lo O 0.05 0110 0.20 0.30 - 1.15 1.60 3.94 10.6 - 1.114 157 3.83 10.3 1.00 1.13 1.514 3.76 10.1 - 1.12 1.52 3,69 9.87 - 1.10 1.148 3,58 9.57 - 1.21 1.72 14.31 116 - 1,16 1.61 3.98 107 1.00 1.13 1.514 3,76 10.1 - 1.10 1.47 3.54 9,147 - 1.05 1.37 3.22 8.56 - 1.26 1.84 1467 12.6 - 1.18 1.66 14.12 11.1 1.00 1.13 1.514 3.76 10.1 - 1.08 1,143 3,40 9.07 - 9.97 1.25 2.86 7.56 b) Valores de V para 10 0 0.05 0.10 0.20 0.30 0,30 0.51 0.79 0.92 0.28 0.49 0.78 0.92 0.10 0.27 0, 117 0.77 0,92 - 0.25 0,46 0.76 0.91 - 0.22 0.43 0,75 0,90 - 0, 146 0.63 0.87 0.93 - 0.42 0.60 0.86 0.99 0.30 0.39 0,57 0.85 0.99 - 0.36 0.53 0.83 0.98 - 0.29 0, 146 0.79 0,97 - 0.63 0.77 0.96 1.06 - 0.59 0.75 0.98 1.10 0.50 0.57 0.72 0,93 1.13 - 0.54 0.68 0.98 1.114 - 0.48 0,59 0.93 1.111
  • 48. cI c) Valores de E(X)/X para V = 0.30 d) Valores de y para y c. = 0.30 y y p 0 0.05 0.10 0,20 0.30 0 0.05 0.10 0.20 0.30 5 -015 - 1.07 1.21 1.72 2.67 - 0,146 0.63 0.87 0,98 -0.2 - 1.05 1.16 1.61 2.148 - 0.142 0.60 0.36 0.99 O 1.00 1.03 1.13 1.514 2.35 0.30 0.39 0.57 0.85 0.99. 0.2 - 1.02 1.10 1,147 2.22 - 0.36 0.53 0.83 0.98 0.5 - 0.99 1.05 1.37 2.03 - 0.29 0.46 0.78 0.96 10 -0.5 - 1.21 1.72 4.31 11.6 - 0, 146 0.63 0.87 0.98 -0.2 - 1.16 1.61 3.93 10.7 - 0, 142 0.60 0.86 0.99 0 1.00 1.13 1.54 3.76 10.1 0.30 0.39 0.57 0.85 0.99 0.2 - 1.10 1,47 3,514 9,147 - 0.36 0.53 0.83 0.93 0.5 - 1,05 1.37 3.22 8.56 - 0.29 0, 146 0.79 0.97 15 -0.5 - 1,142 2,67 11.6 51.8 - 0,77 0.98 1.05 1.05 -0.2 - 1.34 2.14810.7 147.7 - 0.75 0,99 1.07 1.08 0 1.00 1.29 2.35 10.1 145.0 0.30 0,73 0.99 1.08 1.09 0.2 - 1.25 2.22 9.147142.3 - 0.70 0.98 1.09 1.09 0.5 - 1.17 2.03 8.56 38.3 - 0.63 0.96 1.09 1.09 NOTA ESTA TABLA PUEDE TAMBIÉN USARSE PARA OBTENER VALORES DE E(X)/ y V DE LA EXPRESION = X exp (-(M-M 0 )) DEBE EMPLEARSE LA SIGUIENTE EOUIVALENCIAE a __30 -- M-M0
  • 49. -0.5 -0.2 0 0.2 0.5 0.8 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.21 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0.20 0,20 0.20 0,20 0.20 0.20 0,19 0.19 0.19 0.19 0.19 0.19 0.18 0.18 0.18 0.18 0.18 0.13 TABLA 5, VALORES DE ['(x1/x2) Y V(x1/x2) EN LA EXPRESION X(M) = a eM (1-e (M-M)) -y(M -M1-e u= eMi_M2) 1eMuM2) a) VALORES DE E( 1 /x 2 ) PARA M0 = 7.5, M 1 = 6.0, M 2 = 7.0 = 2.0, w = 2.0, W 3 = 1.0 y 1 = 0.1, y 2 = 0.3, y 3 = 0.5 pl3 = O p l2 -0.5 -0.2 0 0,2 0.5 0.8 -0.5 8.07. 8.17 3,214 8.31 8. 141 8.51 -0.2 8.05 8.15 8.22. 3.29 8.39 8.149 0 8.014 8.114 8.21 8.28 8.38 8.148 0.2 3.03 8.13 3.20 3.27 8.37 8.147 0.5 8.01 8.11 3.18 8.25 8.35 8.145 b) VALORES DE V(x 1 /x 2 ) rl
  • 50. c) INFLUENCIA DE VARIACIONES EN V1, y21 V 3 para Pij = O y y y 1 2 0.1 0.3 0.5 0.1 0.3 0.1 0,1 7.90 0.3 8.03 0.5 8.214 8.31 0.3 0.1 9.114 0.3 9.25 9.32 9.144 0.5 9,67 0.5 0.20 0.20 0.20O rU ,L 0.51 0.50 0.50 0.149 0.148
  • 51. TABLA 6. VALORES DE [(UD) Y V(UD) PARA PARAMETROS NO CORRELACIONADOS K' r, e, p a) e = 0.05, Mi = 6.5, r = 2.5, c= 3, p= 0.75, VR - 0.05 E(UD)/IJD V(UD) y y r r VK 0,05 0.10 0.20 0.05 0.10 0,20 0.1 0.05 0.05 0.05 1,07 1.27 2.23 0,34 0,69 1.314 0,05 0.30 1.01 1.21 2.18 0,143 0,79 1.49 0,30 0,05 1.07 1.27 2.23 0.314 0.69 1,34 0.30 0.30 1.01 1.21 2.17 0.143 0.79 1.149 0.0 0,05 0.0 1,07 1,27 2,23 034 0.69 1.314 0.05 0.30 1.01 1.21 2,10* 0,43 0.79 1,31* 0.30 0.05 1.07 1,27 2.23 0.314 0.69 1.314 0.30 0.30 1.01 1.21 2,10* 0,143 0,79 1,31* 1.0 0.05 0,05 0,05 1.22 2.01 8.39 0.64 1.31 2.31 0.05 0.30 1.16 1.96 8.57 0.714 1.147 2.149 0.30 0105 1.20 1.97 8.21 0,614 1.32 2.32 0.30 0.30 1.15 193 8.140 0.74 1, 148 2.51 0.30 0,05 0.05 1.21 1.99 8,33 0.614 1.33 2.35 0.05 0.30 1.15 1.914 8.53 0.75 1.50 2.53 0.30 0.05 1.19 1.95 8.114 0.614 1.314 2.37 0.30 0.30 1.114 1.91 8.35 0.75 1.50 2.56 1.5 0.05 0.05 0.05 1,25 2,15 9.85 0.67 1.39 2.39 0.05 0.30 1.19 2.10 10.11 0,78 1.55 2.57 0.30 0,05 1.22 2.10 9,59 067 1. 140 2.143 0.30 0.30 1.17 2.05 9.86 0.78 1.56 2.61 0.30 0.05 0.05 1.23 2.12 9.86 0.70 1. 1111 2.48 0.05 0,0 1.18 2.08 7.92* 0.80 1.61 2,40* 0.30 0,05 1.21 2.07 9.63 0.70 1.46 2.55 0.30 0.30 1.16 2.04 7,714* 0,81 1.64 2,45* * ESTOS VALORES SE OBTUVIERON DE UNA MUESTRA DE TAMAÑO 100, EN VEZ DE 30, EMPLEADA PARA LOS OTROS CASOS 5/
  • 52. b) ALGUNOS VALORES PARA VR = 0.30 K y r y r 0,10 0.20 0.05 0.10 0,1 0.05 0.05 0.05 1.33 0.31 0,30 0.05 1.33 0.31 0.30 0.05 0.05 1,33 0.31 0,05 0,30 2,37 0.30 0,03 1.33 0.31 1.5 0.05 0,05 0.05 1.70 0.62 0.30 0.05 1.63 0.62 0,30 0,03 0.05 1.69 0.63 0.30 0.05 1.66 0.63 0.20 1.21
  • 53. TABLA 7, VALORES OPTIMOS DE n PARA ESCALAS DE UTILIDADES DE- PENDIENTES DEL RIESGO LOG a 2 CASO VK 0.5 1.0 1.5 0.05 0.95 0.72 0.55 c = 0,01 0.30 0195 0.72 0.55 n - 2 0,50 0.96 0.73 0,56 1,00 100 0.81 0.67 2 0.05 0,97 0.80 0.70 c - 0.01 0.30 0.99 0.82 0.72 n - 4 050 1.00 0.814 0,74 1.00 1.35 1.20 1.09 1.0 0,43 0.1414 0.146 0.56 0.62 0,64 0.66 1.01
  • 54. t7c' fl: 1 EJ ACADEMIA DE INGENIERIA México Ciudad de México, 24 de septiembre de 2004. FJSS/09.2004/037 Sr. Dr. Luts Esteva Mrabto, admico de Hop.et —Ácademia de ljgéniería, A.C. Muy estimado colega y fino amigo: Con la presente envío a usted, a nombre propio y de los integrantes de nuestra Academia, una muy sincera felicitación el Premio Nacional de Protección Civil 2004, otorgado por el Gobierno Federal. Es para la Academia de Ingeniería muy importante contar entre sus miembros con un profesional de su valía y dedicación que busca con sus conocimientos y sus actividades el beneficio de la sociedad. Reciba un cordial abrazo, Dr. Franciso3osé Sánchez-Sesma Presidente. c.c.p. Expediente y minutario. Tacuba 5, ChtoHistórico, 06000 México,D.F. Telfax 5521 4404, 5521 6790, 5518 4918 www.ai.org.mx aingenieria@prodigy.net.mx