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República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario de Tecnología
“Coronel Agustín Codazzi”
Barinas – Edo Barinas
Autora: Wilenny Saez
C.I: 28.106.469
Profesor(a): Pedro Guedez
Barinas, Noviembre 2022
Momento de Inercia
En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la forma ∫ y2 dA, donde y es
la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano del elemento
(ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z). y dA 2 Resulta conveniente desarrollar dicha integral para
las superficies de formas más corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular
los resultados a fin de tenerlos a mano
Momento de Inercia de un área por integración
En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia. De
una área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy. Del área A con
respecto al eje y, se define como:
Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA dIx = y2dA dIy = x2dA
Momento Polar de Inercia
El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a
la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos
en el plano del área y que se intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran
importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los
problemas relacionados con la rotación de placas.
𝐽𝑜 = ∫ 𝑟2
𝑑𝐴
Donde r es la distancia es la distancia desde O hasta el área elemental dA. Esta integral es el
momento polar de inercia del área A con respecto al “polo” O.
Radio de giro de un área
Representa la distancia K, perpendicular respecto al eje L, a la cual habría que colocarse el área
concentrada de tal manera que produzca el mismo momento de inercia del área total. El radio
de giro expresa una medida de la distribución del área respecto al eje.
Teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner
Momento de inercia de un área respecto a un eje cualquiera, es igual al momento de inercia
respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad, más el producto del área por el
cuadrado de la distancia entre los dos ejes. Ix, Iy: Momentos de inercia respecto a los ejes del
centro de gravedad. (X e Y). Lx Iy: Momentos de inercia respecto a los ejes X e Y.
Momento de inercia de área compuesta
Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más simples” conectadas como
rectángulos, triángulos y círculos. Siempre que el momento de inercia de cada una de esas
partes se conoce o puede determinarse con respecto a un eje común, entonces el momento
de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de
todas sus partes.
Si un área compuesta A, está formada por varios componentes A1 , A2 … el momento de
inercia de A respecto a un eje dado, se obtendrá sumando los momentos de inercia de las
áreas A1 , A2 … etc., respecto al mismo eje. El momento de inercia de un área compuesta es la
suma de los momentos de inercia de los componentes que forman el total.
lx = ∑ 𝐿𝑖𝑥
𝑛
𝑙
Producto de inercia
Otra integral de aparición frecuente en análisis ingenieriles es la integral de la forma:
Ixy =∫ xydA
Ésta integral es considerada como el producto de inercia del área A respecto a los ejes
coordenados XY. Contrario a lo que sucede con el momento de Inercia puede ser positiva,
negativa o cero. Cuando uno o ambos de los ejes (x ∧ y) es un eje de simetría el producto de
inercia será nulo. Lxy = ∫ 𝑥𝑦𝑑𝐴 = 0
Ejes principales y momentos principales de inercia
Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formados por vectores
propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira
libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si
el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo
con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y
nutación.
Si consideramos una sección transversal plana Σ y la parametrizamos mediante coordenadas
rectangulares (x,y), entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexión
según X o según Y. Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si Ixy = 0, y en ese caso
podemos escribir la tensión perpendicular asociada a la flexión desviada simple del elemento
estructural sobre cada punto de la sección Σ estudiada.
V= y*cos𝜃 – x*sin𝜃 U= x*cos𝜃 + y*sin𝜃
Circulo de Mohr para momentos y productos de inercia
El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar
gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia,
deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia
(radio, centro, etc.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la
deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil
alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).
Para sólidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de
Mohr que se usa para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario
calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la
circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible
obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del
momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia
son análogas a las del cálculo de esfuerzos:
 Centro de la circunferencia:
C :=( Imed, 0) = (
𝒍𝒙+𝒍𝒚
𝟐
, 𝟎)
 Radio de la circunferencia:
r :=√(
𝑙𝑥−𝑙𝑦
2
)2
+ lx2
y
Momento de inercia de masas
El momento de inercia es, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto.
Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de
inercia. Inercia del sistema, es la resistencia que el sistema (o cuerpo) opone cuando se intenta
ponerle en movimiento.
Momento de inercia de áreas planas
El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es igual a
la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén contenidos en el plano de la figura,
corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre sí.

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  • 1. República Bolivariana de Venezuela Instituto Universitario de Tecnología “Coronel Agustín Codazzi” Barinas – Edo Barinas Autora: Wilenny Saez C.I: 28.106.469 Profesor(a): Pedro Guedez Barinas, Noviembre 2022
  • 2. Momento de Inercia En muchos problemas técnicos figura el cálculo de una integral de la forma ∫ y2 dA, donde y es la distancia de un elemento de superficie (dA) a un eje contenido en el plano del elemento (ejes x ó Y) o normal a éste (eje Z). y dA 2 Resulta conveniente desarrollar dicha integral para las superficies de formas más corrientes (círculo, rectángulo, triangulo, entre otras) y tabular los resultados a fin de tenerlos a mano Momento de Inercia de un área por integración En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia. De una área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy. Del área A con respecto al eje y, se define como: Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA dIx = y2dA dIy = x2dA Momento Polar de Inercia El momento de inercia de un área respecto al eje polar, momento polar de inercia Jo, es igual a la suma de los momentos de inercia respecto a dos ejes perpendiculares entre sí, contenidos en el plano del área y que se intercepta en el eje polar. El momento polar de inercia es de gran importancia en los problemas relacionados con la torsión de barras cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación de placas. 𝐽𝑜 = ∫ 𝑟2 𝑑𝐴 Donde r es la distancia es la distancia desde O hasta el área elemental dA. Esta integral es el momento polar de inercia del área A con respecto al “polo” O. Radio de giro de un área Representa la distancia K, perpendicular respecto al eje L, a la cual habría que colocarse el área concentrada de tal manera que produzca el mismo momento de inercia del área total. El radio de giro expresa una medida de la distribución del área respecto al eje. Teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner Momento de inercia de un área respecto a un eje cualquiera, es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad, más el producto del área por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes. Ix, Iy: Momentos de inercia respecto a los ejes del centro de gravedad. (X e Y). Lx Iy: Momentos de inercia respecto a los ejes X e Y. Momento de inercia de área compuesta Un área compuesta consiste en una serie de partes o formas “más simples” conectadas como rectángulos, triángulos y círculos. Siempre que el momento de inercia de cada una de esas partes se conoce o puede determinarse con respecto a un eje común, entonces el momento de inercia del área compuesta es igual a la suma algebraica de los momentos de inercia de todas sus partes.
  • 3. Si un área compuesta A, está formada por varios componentes A1 , A2 … el momento de inercia de A respecto a un eje dado, se obtendrá sumando los momentos de inercia de las áreas A1 , A2 … etc., respecto al mismo eje. El momento de inercia de un área compuesta es la suma de los momentos de inercia de los componentes que forman el total. lx = ∑ 𝐿𝑖𝑥 𝑛 𝑙 Producto de inercia Otra integral de aparición frecuente en análisis ingenieriles es la integral de la forma: Ixy =∫ xydA Ésta integral es considerada como el producto de inercia del área A respecto a los ejes coordenados XY. Contrario a lo que sucede con el momento de Inercia puede ser positiva, negativa o cero. Cuando uno o ambos de los ejes (x ∧ y) es un eje de simetría el producto de inercia será nulo. Lxy = ∫ 𝑥𝑦𝑑𝐴 = 0 Ejes principales y momentos principales de inercia Los ejes principales de inercia son precisamente las rectas o ejes formados por vectores propios del tensor de inercia. Tienen la propiedad interesante de que un sólido que gira libremente alrededor de uno de estos ejes no varía su orientación en el espacio. En cambio, si el cuerpo gira alrededor de un eje arbitrario que no sea principal, el movimiento de acuerdo con las ecuaciones de Euler presentará cambios de orientación en forma de precesión y nutación. Si consideramos una sección transversal plana Σ y la parametrizamos mediante coordenadas rectangulares (x,y), entonces podemos definir dos momentos de inercia asociados a la flexión según X o según Y. Los ejes se dice que son ejes principales de inercia si Ixy = 0, y en ese caso podemos escribir la tensión perpendicular asociada a la flexión desviada simple del elemento estructural sobre cada punto de la sección Σ estudiada. V= y*cos𝜃 – x*sin𝜃 U= x*cos𝜃 + y*sin𝜃 Circulo de Mohr para momentos y productos de inercia El círculo de Mohr es una técnica usada en ingeniería y geofísica para representar gráficamente un tensor simétrico (de 2x2 o de 3x3) y calcular con ella momentos de inercia, deformaciones y tensiones, adaptando los mismos a las características de una circunferencia (radio, centro, etc.). También es posible el cálculo del esfuerzo cortante máximo absoluto y la deformación máxima absoluta. Este método fue desarrollado hacia 1882 por el ingeniero civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918). Para sólidos planos y casi-planos, puede aplicarse la misma técnica de la circunferencia de Mohr que se usa para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, la circunferencia de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del
  • 4. momento de inercia medio y el radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:  Centro de la circunferencia: C :=( Imed, 0) = ( 𝒍𝒙+𝒍𝒚 𝟐 , 𝟎)  Radio de la circunferencia: r :=√( 𝑙𝑥−𝑙𝑦 2 )2 + lx2 y Momento de inercia de masas El momento de inercia es, masa rotacional y depende de la distribución de masa en un objeto. Cuanta mayor distancia hay entre la masa y el centro de rotación, mayor es el momento de inercia. Inercia del sistema, es la resistencia que el sistema (o cuerpo) opone cuando se intenta ponerle en movimiento. Momento de inercia de áreas planas El momento de inercia de una figura plana respecto a un eje perpendicular a la figura es igual a la suma de los momentos de inercia de dos ejes que estén contenidos en el plano de la figura, corten al eje perpendicular y sean todos perpendiculares entre sí.