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Alumno: Solis Rebaza Jhosver Robinson
Instructor: Vargas Alva Ylder Heli
Trabajo de investigación: Integración numérica.
Método de Trapecios y Simpson. Ejemplo y/o
Problemas de aplicación.
TRUJILLO – PERÚ
2023
INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA
1
INDICE
1 INTRODUCCION........................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
2 CUERPO ...................................................................................................................................... 2
2.1 Integración numérica. ........................................................................................................ 2
2.2 Método de trapecios.......................................................................................................... 2
2.3 Método de Simpson........................................................................................................... 3
2.4 Ejemplos de la aplicación ................................................................................................... 4
3 CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 8
4 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 9
5 ANEXOS ........................................................................................................................................... 9
2
1. INTRODUCCIÓN
La presente monografía se enfoca en el estudio de dos métodos fundamentales en el ámbito del
cálculo numérico: el Método de Trapecios y el Método de Simpson, ambos ampliamente
utilizados para la aproximación de integrales definidas, los cuales desempeñan un papel crucial en
la resolución de problemas prácticos que involucran cálculos integrales, proporcionando
herramientas eficaces y precisas para abordar una variedad de situaciones. El propósito principal
de este trabajo es sumergirse en una comprensión profunda de los fundamentos teóricos y
aplicaciones prácticas de los mencionados métodos de integración numérica, con el objetivo de
explorar la esencia matemática que sustenta estos procedimientos, permitiendo así utilizar estas
técnicas con destreza y comprender su relevancia en el panorama matemático más amplio.
La importancia actual de la integración numérica trasciende disciplinas, ya que, su aplicación en la
física, la ingeniería, la economía y la biología demuestra su versatilidad, dado que, ofrecen
herramientas prácticas para abordar problemas complejos en un mundo cada vez más impulsado
por la tecnología. En la era contemporánea, donde la eficiencia computacional es crucial, la
integración numérica destaca como una herramienta valiosa, por la capacidad para proporcionar
resultados precisos en situaciones donde las soluciones analíticas son difíciles o costosas
computacionalmente la convierte en un elemento esencial en la caja de herramientas
matemáticas y científicas.
A lo largo del informe, desentrañaremos los principios subyacentes de los Métodos de Trapecios y
Simpson, destacando su utilidad en la aproximación de áreas bajo curvas y la evaluación de
integrales definidas. Se abordarán ejemplos específicos para ilustrar la aplicación práctica de estos
métodos, brindando al lector un enfoque práctico y una comprensión sólida de la lógica
matemática involucrada. Al finalizar este recorrido, se espera que los lectores no solo adquieran
habilidades técnicas para implementar los Métodos de Trapecios y Simpson, sino que también
desarrollen una apreciación más profunda de la importancia y versatilidad de estas técnicas en la
resolución de problemas matemáticos y científicos.
La integración numérica se consolida como un pilar esencial en la solución de problemas
matemáticos y científicos, respondiendo a la complejidad de funciones que carecen de primitivas
alcanzables de manera analítica. Esta disciplina se revela crucial en campos donde las soluciones
analíticas convencionales resultarán ineficaces, como la física, la ingeniería, la economía y la
biología. Dentro de este contexto, los métodos numéricos, en particular el Método de Trapecios y
el Método de Simpson, ocuparán un lugar destacado, por lo que, abordaremos los fundamentos
de la integración numérica, destacando la necesidad teórica de los métodos numéricos en
situaciones desafiantes. Posteriormente, exploraremos detalladamente el Método de Trapecios,
desde su formulación matemática hasta su aplicación práctica mediante ejemplos y ejercicios
numéricos. Continuaremos con el Método de Simpson, examinando su descripción teórica,
formulación matemática y proporcionando casos concretos de aplicación. Este análisis profundo
buscará impartir conocimientos técnicos y promover una comprensión más profunda de la
relevancia y versatilidad de estos métodos en la resolución de problemas matemáticos y
científicos contemporáneos.
3
1. CUERPO
1.1.Integración numérica: El Método de Trapecios también tiene una historia
interesante, vinculada a la aproximación de áreas bajo curvas. En el contexto de la
regla del tonel, la aproximación del área bajo una curva se realizaba mediante la
subdivisión del área en segmentos trapezoidales, la cual fue retomada y
perfeccionada a lo largo del tiempo.
En el siglo XVIII, Thomas Simpson, el mismo matemático inglés asociado con la fórmula de
Simpson, también contribuyó al desarrollo del Método de Trapecios. Simpson trabajó en el campo
de la integración numérica y proporcionó una formulación matemática más sistemática del
método, estableciendo la base para su aplicación en la aproximación de integrales definidas. ()
La integración numérica constituye un fundamento esencial en la resolución de problemas
matemáticos y científicos al abordar la complejidad de funciones para las cuales no es viable
encontrar primitivas de manera algebraica o cuando estas primitivas son extremadamente
complicadas. Este enfoque se vuelve crucial en situaciones donde las soluciones analíticas
convencionales resultan limitadas, permitiendo así obtener resultados precisos y eficientes
mediante la adaptabilidad a la complejidad de las funciones y la división de intervalos de
integración.
Explicación teórica de la necesidad de métodos numéricos
Los métodos numéricos de integración desempeñan un papel crucial en diversas disciplinas
debido a la complejidad de muchas funciones y la falta de soluciones analíticas directas. La teoría
del cálculo integral, a menudo se enfrenta a limitaciones cuando se trata de evaluar integrales
definidas en situaciones prácticas, su necesidad se fundamenta en la realidad de encontrarnos
con funciones para las cuales no es posible encontrar primitivas de manera algebraica o en casos
donde las primitivas son extremadamente complicadas. Estas situaciones son comunes en campos
como la física, la ingeniería, la economía y la biología, donde las funciones que describen
fenómenos reales pueden ser intrincadas y no seguir patrones simples.
Situaciones Problemáticas en la práctica, existen numerosas situaciones donde las soluciones
analíticas para integrales definidas son altamente desafiantes o incluso imposibles de obtener.
Estas circunstancias se presentan en diversos campos científicos y técnicos, donde la complejidad
de los fenómenos estudiados conduce a funciones que no pueden expresarse de manera simple o
que involucran operaciones matemáticas intrincadas. A continuación, se destacan algunas de
estas situaciones:
1.2.Método de trapecios: El método de trapecios es una técnica de integración numérica
que aproxima el valor de una integral definida dividiendo el área bajo la curva de una
función en segmentos trapezoidales, en el cual se utiliza polinomios de primer grado
para conectar los puntos extremos de cada subintervalo, generando trapezoides cuyas
áreas se suman para estimar la integral definida.
4
La fórmula básica del método de trapecios se basa en promediar las alturas de la función en los
extremos de cada intervalo y multiplicar por la longitud del intervalo. Aunque simple, el método de
trapecios es efectivo para aproximar integrales definidas en situaciones donde las soluciones
analíticas son difíciles de obtener o cuando se requiere una aproximación numérica rápida y fácil de
implementar.
Formulación matemática el método de los trapecios es un enfoque esencial en integración numérica
para evaluar aproximadamente el área bajo una curva en un intervalo específico. Consideremos una
función f(x) en el intervalo [a,b]. La formulación matemática del método de trapecios se expresa
como:
Este método se basa en la idea de aproximar la función original por un polinomio de primer grado
(una recta) que conecta los puntos (a; f(a)) y (b; f(b)). La integral bajo esta recta proporciona una
estimación del área bajo la curva.
Ejemplo práctico de aplicación:
Imaginemos que deseamos aproximar la siguiente integral definida, mediante el método de
trapecios.
Aplicamos
1.3.Método de Simpson: La fórmula de Simpson, utilizada en integración numérica, se
atribuye inicialmente a Torricelli, aunque lleva el nombre del matemático inglés Thomas
5
Simpson, quien la popularizó en el siglo XVIII. La historia de su surgimiento se da con la
necesidad práctica de medir volúmenes, específicamente en el contexto de calcular el
contenido de barriles de vino de formas irregulares.
En 1615, Johannes Kepler propuso la "regla del tonel" para medir el contenido de barriles
de vino, introduciendo una vara diagonalmente a través de la piquera. Sin embargo, Kepler
cuestionó la precisión de este método al notar que un barril más bajo con una base más ancha
podría tener el mismo radio aparente. Este cuestionamiento motivó a Kepler a buscar métodos
más precisos. En el mismo año, publicó "Nuevo cálculo del contenido de barriles de vino", donde
describió métodos verificables, incluyendo el uso de parábolas para aproximar la curvatura del
barril. (Padilla, 2008)
La fórmula de Simpson se destacó en este contexto, ya que permitía calcular el volumen de barriles
con formas irregulares mediante la aproximación con parábolas, así, el método de Simpson
encuentra sus raíces en la necesidad práctica de resolver problemas de medición en el ámbito
vinícola, destacando la conexión entre la geometría y el cálculo en la aproximación de volúmenes
El método de Simpson es una técnica avanzada de integración numérica que mejora la precisión
en comparación con el método de trapecios. En lugar de aproximar la función con segmentos
lineales, el método de Simpson utiliza polinomios de segundo grado para conectar puntos
sucesivos en pares de subintervalos.
Esta estrategia permite una mejor adaptación a las curvas de la función, generando una
aproximación más precisa de la integral definida. La idea clave radica en utilizar polinomios
cuadráticos para modelar cada par de subintervalos, proporcionando una mejor aproximación a la
forma de la función original.
Formulación Matemática dado una función f(x) y un intervalo (a,b) dividido en “n” subintervalos
de igual longitud “h”, la formula del método de Simpson para aproximar la integral definida es:
6
Donde:
1.4.Ejemplos de la aplicación:
Ejemplo 01.
Sea la función f(x) mostrada en la figura. Encuentre una fórmula que dé, en forma aproximada, la
integral definida de dicha función en el intervalo [a, b], tomando en cuenta que la suma del área
de los trapecios allí representados es numéricamente cercana al valor del área bajo la curva de la
función.
7
8
Ejemplo 02
9
Ejemplo 03
10
2. CONCLUSIONES
• En conclusión, los métodos de Trapecios y Simpson son herramientas
fundamentales para la aproximación precisa de integrales definidas, destacando
por su versatilidad y eficacia en la resolución de problemas matemáticos
complejos. Su aplicabilidad práctica y su importancia en diversas disciplinas
subrayan su relevancia continua en la era contemporánea de la investigación
científica y el análisis numérico.
• Los métodos de Trapecios y Simpson han demostrado su vital aplicabilidad en la
aproximación de integrales definidas. A través de ejemplos prácticos, se evidencia
la versatilidad de estas técnicas para resolver problemas matemáticos de manera
eficiente y precisa.
• La investigación aporta significativamente al campo de la integración numérica al
profundizar en los fundamentos teóricos y aplicaciones prácticas de los métodos
de Trapecios y Simpson. Los resultados concretos destacan la utilidad de estas
técnicas como herramientas matemáticas robustas.
11
• La sistemática recapitulación de datos revela la capacidad de los métodos
estudiados para abordar situaciones donde las soluciones analíticas son
desafiantes. La aplicación práctica de los métodos en ejercicios numéricos
subraya su eficacia en la obtención de resultados precisos.
• La investigación refuerza la importancia contemporánea de la integración
numérica, destacando su relevancia en disciplinas como la física, la ingeniería, la
economía y la biología. Los métodos de Trapecios y Simpson emergen como
herramientas esenciales en la resolución de problemas complejos.
• La comprensión profunda de los principios subyacentes de los métodos de
Trapecios y Simpson proporciona a los practicantes no solo habilidades técnicas
para implementar estas técnicas, sino también una apreciación más profunda de
su importancia y versatilidad en la resolución de problemas matemáticos y
científicos.
3. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
Allan, C., Parra, S., & Martins, A. (2017). Objetos de aprendizaje para la interpretación
geométrica de métodos numéricos: uso de GeoGebra. Revista Iberoamericana de
Tecnología en Educación y Educación en Tecnología, (20), 51-56.
http://www.scielo.org.ar/scielo.php?pid=S1850-99592017000200006&script=sci_arttext
Ansola, E., Rodríguez, E. C., Hernández, N., Gómez, P. I., Alfonso, D. O., & Sánchez, D.
(2008). Aproximaciones al valor de la integral definida utilizando una calculadora
graficadora. http://funes.uniandes.edu.co/5088/
Padilla, D. P. A., & Mumañ, F. C. (2008). Métodos de identificación dinámica. Facultad de
Ingeniería Eléctrica. Universidad de Oriente.
https://www.academia.edu/download/35539463/metodos-identificacion-dinamica.pdf
4. ANEXOS
2
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  • 1. 0 Alumno: Solis Rebaza Jhosver Robinson Instructor: Vargas Alva Ylder Heli Trabajo de investigación: Integración numérica. Método de Trapecios y Simpson. Ejemplo y/o Problemas de aplicación. TRUJILLO – PERÚ 2023 INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA
  • 2. 1 INDICE 1 INTRODUCCION........................................................................... ¡Error! Marcador no definido. 2 CUERPO ...................................................................................................................................... 2 2.1 Integración numérica. ........................................................................................................ 2 2.2 Método de trapecios.......................................................................................................... 2 2.3 Método de Simpson........................................................................................................... 3 2.4 Ejemplos de la aplicación ................................................................................................... 4 3 CONCLUSIONES .......................................................................................................................... 8 4 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 9 5 ANEXOS ........................................................................................................................................... 9
  • 3. 2 1. INTRODUCCIÓN La presente monografía se enfoca en el estudio de dos métodos fundamentales en el ámbito del cálculo numérico: el Método de Trapecios y el Método de Simpson, ambos ampliamente utilizados para la aproximación de integrales definidas, los cuales desempeñan un papel crucial en la resolución de problemas prácticos que involucran cálculos integrales, proporcionando herramientas eficaces y precisas para abordar una variedad de situaciones. El propósito principal de este trabajo es sumergirse en una comprensión profunda de los fundamentos teóricos y aplicaciones prácticas de los mencionados métodos de integración numérica, con el objetivo de explorar la esencia matemática que sustenta estos procedimientos, permitiendo así utilizar estas técnicas con destreza y comprender su relevancia en el panorama matemático más amplio. La importancia actual de la integración numérica trasciende disciplinas, ya que, su aplicación en la física, la ingeniería, la economía y la biología demuestra su versatilidad, dado que, ofrecen herramientas prácticas para abordar problemas complejos en un mundo cada vez más impulsado por la tecnología. En la era contemporánea, donde la eficiencia computacional es crucial, la integración numérica destaca como una herramienta valiosa, por la capacidad para proporcionar resultados precisos en situaciones donde las soluciones analíticas son difíciles o costosas computacionalmente la convierte en un elemento esencial en la caja de herramientas matemáticas y científicas. A lo largo del informe, desentrañaremos los principios subyacentes de los Métodos de Trapecios y Simpson, destacando su utilidad en la aproximación de áreas bajo curvas y la evaluación de integrales definidas. Se abordarán ejemplos específicos para ilustrar la aplicación práctica de estos métodos, brindando al lector un enfoque práctico y una comprensión sólida de la lógica matemática involucrada. Al finalizar este recorrido, se espera que los lectores no solo adquieran habilidades técnicas para implementar los Métodos de Trapecios y Simpson, sino que también desarrollen una apreciación más profunda de la importancia y versatilidad de estas técnicas en la resolución de problemas matemáticos y científicos. La integración numérica se consolida como un pilar esencial en la solución de problemas matemáticos y científicos, respondiendo a la complejidad de funciones que carecen de primitivas alcanzables de manera analítica. Esta disciplina se revela crucial en campos donde las soluciones analíticas convencionales resultarán ineficaces, como la física, la ingeniería, la economía y la biología. Dentro de este contexto, los métodos numéricos, en particular el Método de Trapecios y el Método de Simpson, ocuparán un lugar destacado, por lo que, abordaremos los fundamentos de la integración numérica, destacando la necesidad teórica de los métodos numéricos en situaciones desafiantes. Posteriormente, exploraremos detalladamente el Método de Trapecios, desde su formulación matemática hasta su aplicación práctica mediante ejemplos y ejercicios numéricos. Continuaremos con el Método de Simpson, examinando su descripción teórica, formulación matemática y proporcionando casos concretos de aplicación. Este análisis profundo buscará impartir conocimientos técnicos y promover una comprensión más profunda de la relevancia y versatilidad de estos métodos en la resolución de problemas matemáticos y científicos contemporáneos.
  • 4. 3 1. CUERPO 1.1.Integración numérica: El Método de Trapecios también tiene una historia interesante, vinculada a la aproximación de áreas bajo curvas. En el contexto de la regla del tonel, la aproximación del área bajo una curva se realizaba mediante la subdivisión del área en segmentos trapezoidales, la cual fue retomada y perfeccionada a lo largo del tiempo. En el siglo XVIII, Thomas Simpson, el mismo matemático inglés asociado con la fórmula de Simpson, también contribuyó al desarrollo del Método de Trapecios. Simpson trabajó en el campo de la integración numérica y proporcionó una formulación matemática más sistemática del método, estableciendo la base para su aplicación en la aproximación de integrales definidas. () La integración numérica constituye un fundamento esencial en la resolución de problemas matemáticos y científicos al abordar la complejidad de funciones para las cuales no es viable encontrar primitivas de manera algebraica o cuando estas primitivas son extremadamente complicadas. Este enfoque se vuelve crucial en situaciones donde las soluciones analíticas convencionales resultan limitadas, permitiendo así obtener resultados precisos y eficientes mediante la adaptabilidad a la complejidad de las funciones y la división de intervalos de integración. Explicación teórica de la necesidad de métodos numéricos Los métodos numéricos de integración desempeñan un papel crucial en diversas disciplinas debido a la complejidad de muchas funciones y la falta de soluciones analíticas directas. La teoría del cálculo integral, a menudo se enfrenta a limitaciones cuando se trata de evaluar integrales definidas en situaciones prácticas, su necesidad se fundamenta en la realidad de encontrarnos con funciones para las cuales no es posible encontrar primitivas de manera algebraica o en casos donde las primitivas son extremadamente complicadas. Estas situaciones son comunes en campos como la física, la ingeniería, la economía y la biología, donde las funciones que describen fenómenos reales pueden ser intrincadas y no seguir patrones simples. Situaciones Problemáticas en la práctica, existen numerosas situaciones donde las soluciones analíticas para integrales definidas son altamente desafiantes o incluso imposibles de obtener. Estas circunstancias se presentan en diversos campos científicos y técnicos, donde la complejidad de los fenómenos estudiados conduce a funciones que no pueden expresarse de manera simple o que involucran operaciones matemáticas intrincadas. A continuación, se destacan algunas de estas situaciones: 1.2.Método de trapecios: El método de trapecios es una técnica de integración numérica que aproxima el valor de una integral definida dividiendo el área bajo la curva de una función en segmentos trapezoidales, en el cual se utiliza polinomios de primer grado para conectar los puntos extremos de cada subintervalo, generando trapezoides cuyas áreas se suman para estimar la integral definida.
  • 5. 4 La fórmula básica del método de trapecios se basa en promediar las alturas de la función en los extremos de cada intervalo y multiplicar por la longitud del intervalo. Aunque simple, el método de trapecios es efectivo para aproximar integrales definidas en situaciones donde las soluciones analíticas son difíciles de obtener o cuando se requiere una aproximación numérica rápida y fácil de implementar. Formulación matemática el método de los trapecios es un enfoque esencial en integración numérica para evaluar aproximadamente el área bajo una curva en un intervalo específico. Consideremos una función f(x) en el intervalo [a,b]. La formulación matemática del método de trapecios se expresa como: Este método se basa en la idea de aproximar la función original por un polinomio de primer grado (una recta) que conecta los puntos (a; f(a)) y (b; f(b)). La integral bajo esta recta proporciona una estimación del área bajo la curva. Ejemplo práctico de aplicación: Imaginemos que deseamos aproximar la siguiente integral definida, mediante el método de trapecios. Aplicamos 1.3.Método de Simpson: La fórmula de Simpson, utilizada en integración numérica, se atribuye inicialmente a Torricelli, aunque lleva el nombre del matemático inglés Thomas
  • 6. 5 Simpson, quien la popularizó en el siglo XVIII. La historia de su surgimiento se da con la necesidad práctica de medir volúmenes, específicamente en el contexto de calcular el contenido de barriles de vino de formas irregulares. En 1615, Johannes Kepler propuso la "regla del tonel" para medir el contenido de barriles de vino, introduciendo una vara diagonalmente a través de la piquera. Sin embargo, Kepler cuestionó la precisión de este método al notar que un barril más bajo con una base más ancha podría tener el mismo radio aparente. Este cuestionamiento motivó a Kepler a buscar métodos más precisos. En el mismo año, publicó "Nuevo cálculo del contenido de barriles de vino", donde describió métodos verificables, incluyendo el uso de parábolas para aproximar la curvatura del barril. (Padilla, 2008) La fórmula de Simpson se destacó en este contexto, ya que permitía calcular el volumen de barriles con formas irregulares mediante la aproximación con parábolas, así, el método de Simpson encuentra sus raíces en la necesidad práctica de resolver problemas de medición en el ámbito vinícola, destacando la conexión entre la geometría y el cálculo en la aproximación de volúmenes El método de Simpson es una técnica avanzada de integración numérica que mejora la precisión en comparación con el método de trapecios. En lugar de aproximar la función con segmentos lineales, el método de Simpson utiliza polinomios de segundo grado para conectar puntos sucesivos en pares de subintervalos. Esta estrategia permite una mejor adaptación a las curvas de la función, generando una aproximación más precisa de la integral definida. La idea clave radica en utilizar polinomios cuadráticos para modelar cada par de subintervalos, proporcionando una mejor aproximación a la forma de la función original. Formulación Matemática dado una función f(x) y un intervalo (a,b) dividido en “n” subintervalos de igual longitud “h”, la formula del método de Simpson para aproximar la integral definida es:
  • 7. 6 Donde: 1.4.Ejemplos de la aplicación: Ejemplo 01. Sea la función f(x) mostrada en la figura. Encuentre una fórmula que dé, en forma aproximada, la integral definida de dicha función en el intervalo [a, b], tomando en cuenta que la suma del área de los trapecios allí representados es numéricamente cercana al valor del área bajo la curva de la función.
  • 8. 7
  • 11. 10 2. CONCLUSIONES • En conclusión, los métodos de Trapecios y Simpson son herramientas fundamentales para la aproximación precisa de integrales definidas, destacando por su versatilidad y eficacia en la resolución de problemas matemáticos complejos. Su aplicabilidad práctica y su importancia en diversas disciplinas subrayan su relevancia continua en la era contemporánea de la investigación científica y el análisis numérico. • Los métodos de Trapecios y Simpson han demostrado su vital aplicabilidad en la aproximación de integrales definidas. A través de ejemplos prácticos, se evidencia la versatilidad de estas técnicas para resolver problemas matemáticos de manera eficiente y precisa. • La investigación aporta significativamente al campo de la integración numérica al profundizar en los fundamentos teóricos y aplicaciones prácticas de los métodos de Trapecios y Simpson. Los resultados concretos destacan la utilidad de estas técnicas como herramientas matemáticas robustas.
  • 12. 11 • La sistemática recapitulación de datos revela la capacidad de los métodos estudiados para abordar situaciones donde las soluciones analíticas son desafiantes. La aplicación práctica de los métodos en ejercicios numéricos subraya su eficacia en la obtención de resultados precisos. • La investigación refuerza la importancia contemporánea de la integración numérica, destacando su relevancia en disciplinas como la física, la ingeniería, la economía y la biología. Los métodos de Trapecios y Simpson emergen como herramientas esenciales en la resolución de problemas complejos. • La comprensión profunda de los principios subyacentes de los métodos de Trapecios y Simpson proporciona a los practicantes no solo habilidades técnicas para implementar estas técnicas, sino también una apreciación más profunda de su importancia y versatilidad en la resolución de problemas matemáticos y científicos. 3. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS Allan, C., Parra, S., & Martins, A. (2017). Objetos de aprendizaje para la interpretación geométrica de métodos numéricos: uso de GeoGebra. Revista Iberoamericana de Tecnología en Educación y Educación en Tecnología, (20), 51-56. http://www.scielo.org.ar/scielo.php?pid=S1850-99592017000200006&script=sci_arttext Ansola, E., Rodríguez, E. C., Hernández, N., Gómez, P. I., Alfonso, D. O., & Sánchez, D. (2008). Aproximaciones al valor de la integral definida utilizando una calculadora graficadora. http://funes.uniandes.edu.co/5088/ Padilla, D. P. A., & Mumañ, F. C. (2008). Métodos de identificación dinámica. Facultad de Ingeniería Eléctrica. Universidad de Oriente. https://www.academia.edu/download/35539463/metodos-identificacion-dinamica.pdf 4. ANEXOS
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