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Subido porWilbert Tapia
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Métodos de Demostración en Matemática

Este documento describe varios métodos de demostración matemática como la demostración directa, indirecta por contrapositiva o reducción al absurdo, inducción matemática y por contraejemplo. Explica cada método con ejemplos y define términos como axioma, teorema, lema y corolario.

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Métodos de Demostración en Matemáticas Lic. Renzo Hubert Osorio Ccoya
En matemáticas no se acepta una proposición como verdadera hasta que se construye su demostración formal, aunque la proposición sea válida para un número finito de casos no significa que sea válida para todo el universo, por ejemplo la conjetura de Goldbach (todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos) se ha verificado utilizando computadoras para millones de casos pero a pesar de ello no se acepta como verdadera.
Veamos el siguiente razonamiento: Si x=y entonces: 3x=3y 2y=2x luego: 3x+2y=3y+2x 3x-3y=2x-2y 3(x-y)=2(x-y) 3=2 ¿qué paso?
Aquí consideraremos los siguientes métodos de demostración: a) Método directo de demostración b) Métodos indirectos de demostración por contrapositiva por reducción al absurdo c) Método de Inducción matemática d) Método por contraejemplo
A) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN DIRECTA Aquí se tiene como hipótesis verdaderas las proposiciones P1, P2,…,Pn procediendo a la deducción de que la conclusión Q es verdadera a través de un proceso lógico deductivo, es decir como una cadena de implicaciones lógicas. El esquema de demostración en el método directo es de la forma: P1 ∧ P2 ∧ … ∧ Pn → Q
El método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de inferencia clásica o esquema argumentativo válido llamado Modus Ponens: [ P∧ (P→Q) ] →Q que significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la conclusión Q entonces la conclusión Q es verdadera.
B) MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN INDIRECTOS Método de demostración por contrapositiva Tiene como fundamento la equivalencia lógica entre las proposiciones P→Q y ~Q→~P) Para realizar una demostración por contrapositiva se toma como hipótesis la negación de la conclusión escrita como
~Q para obtener como conclusión la negación de la hipótesis escrita como ~P, ello se puede generalizar para el caso que se tengan varias premisas.
Método de demostración por reducción al absurdo Se atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la invención del método de reducción al absurdo que utilizaba en sus argumentos y en sus famosas paradojas, desde entonces es un método ampliamente aplicado en matemáticas.
El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al absurdo una proposición de la forma (P1∧P2∧…∧ Pn ) → Q consiste en: 1) Asumimos que la condicional es falsa luego las proposiciones P1, P2,…, Pn y ~Q son verdaderas 2) De lo anterior debemos llegar a una contradicción, por lo que la condicional tiene que ser verdadera.
Aristóteles fundamento lógicamente la demostración por reducción al absurdo en dos principios: principio de no contradicción ~(p∧~p) considerada ley suprema de la lógica según Kant y Aristóteles, que significa que una proposición no es verdadera y falsa simultáneamente y el principio del tercero excluido (p∨~p) que significa que una proposición es verdadera o falsa.
Si no son aceptados los principios anteriores, el método de reducción al absurdo carece de fundamento lógico.
C) MÉTODO DE DEMOSTRACIÓN POR EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA El principio de inducción matemática es un principio universalmente válido en matemáticas y es fundamentalmente uno de los axiomas de los números naturales construidos por el matemático italiano Giuseppe Peano a finales del siglo XIX.
Las demostraciones por el principio de inducción matemática se consideran indirectas. El principio de inducción matemática es utilizado para demostrar la veracidad de proposiciones p(n) donde n es un número natural mayor o igual que un valor inicial no, el principio de inducción matemática consiste en: 1) Inicialmente se verifica que la proposición p(n) es verdadera para n=no, es decir p (no) es verdadera.
ii) Se enuncia la hipótesis de inducción: p(k) es verdadera para el número natural k. iii) Usando la hipótesis de inducción enunciada en (ii) y otras proposiciones verdaderas demostradas anteriormente se demuestra que p (k+1) es verdadera. iv) La conclusión consiste en que p(n) es verdadera para todo n≥no
D) MÉTODO POR CONTRAEJEMPLO Este método se aplica de manera muy particular para demostrar la falsedad de proposiciones cuya hipótesis está construida mediante un "cuantificador universal". Esto es, se aplica para demostrar la falsedad de una proposición que tenga una conclusión referida para "todos los elementos de un cierto conjunto".
“Una demostración consiste en una sucesión de formulas que, o bien son axiomas, o bien son teoremas, o se han obtenido de éstas mediante inferencias admisibles”. Hilbert “Los encantos de esta ciencia sublime, las matemáticas, sólo se le revelan a aquellos que tienen el valor de profundizar en ella”. Carl Friedrich Gauss
Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio al que pueda ser referida.
Un lema es una proposición demostrada, utilizada para establecer un teorema menor o una premisa auxiliar que forma parte de un teorema más general Un teorema es una afirmación que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica y la matemática.
Un corolario es una conclusión obvia o inevitable que se desprende de ciertos antecedentes