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Ivan Jímenez CastillaIvan Jímenez Castilla
Lara Tomas CaballeroLara Tomas Caballero
Pablo Muñoz RoviraPablo Muñoz Rovira
1 BAT A
ÍNDICEÍNDICE
• Fenómenos Caóticos en la Naturaleza
• Teoría del Caos
• Dimensión Fractal
• Fractales
• El Efecto Mariposa
• Geometría Fractal
• Fenómenos Lineales y No Lineales
FENÓMENOS CAÓTICOS EN LAFENÓMENOS CAÓTICOS EN LA
NATURALEZANATURALEZA
• Fenómeno caótico: Todo fenómeno real al que se le ha
suprimido el azar, pero que sigue teniendo un
comportamiento aparentemente aleatorio, y que está
regido por leyes precisas.
Los científicos han admitido que el mundo real no
responde fielmente a leyes ideales las cuales atribuimos
a la Naturaleza.
Existen fenómenos "supuestamente caóticos" (la caída
de una hoja, el ondear de una bandera, fluctuaciones
meteorológicas...) considerados así, porque presentan la
aleatoriedad que en muchos casos no lo es, ya que no
se conocen todas las variables que influyen en ellos.
TEORÍA DEL CAOSTEORÍA DEL CAOS
''Teoría del caos'' es la denominación popular de la rama de
las matemáticas, la física y otras ciencias que tratan ciertos
tipos de sistemas dinámicos, muy sensibles a las variaciones en
las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas
condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el
comportamiento futuro. Esto sucede aunque estos sistemas son
en rigor determinísticos, es decir; su comportamiento puede ser
completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.
Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:
-Estables
-Inestables
-Caóticos
 
Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u
órbita, según su dimensión (atractor o sumidero).
Un sistema inestable se escapa de los atractores y un sistema
caótico manifiesta los dos comportamientos.
Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve
atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa
manera, el sistema permanece confinado en una zona de su
espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.
Una de las mayores características de un sistema inestable es
que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un
sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con
unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente
su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas
caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el
sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de
tales sistemas incluyen el Sistema Solar, las placas tectónicas,
los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos
de población. 
DIMENSIÓN FRACTALDIMENSIÓN FRACTAL
• La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.) ha
obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los
conceptos geométricos clásicos. El concepto de longitud no está
claramente definido. La longitud de la línea fractal depende de la
longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la
noción de longitud en estos casos, carece de sentido. Para ello se ha
ideado otro concepto: el de dimensión fractal, que sea una
generalización de la dimensión euclídea. Sabemos que en geometría
clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión
dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo
dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no
llena toda la porción de plano). En general lo que sucede es que la
longitud de la curva fractal es superior a la del segmento de recta que
lo genera, y por lo tanto, en general la dimensión fractal será un
número comprendido entre uno y dos. La dimensión Hausdorff H(X)
de un objeto fractal X mide el número de conjunto de longitud L que
hacen falta para cubrir X por L.
¿PUEDE EXISTIR UNA DIMENSIÓN¿PUEDE EXISTIR UNA DIMENSIÓN
FRACCIONAL?FRACCIONAL?
Para calcular la dimensión de un fractalPara calcular la dimensión de un fractal
se usan los conceptos de límite,se usan los conceptos de límite,
logaritmo, escalas y medidas.  En ellogaritmo, escalas y medidas.  En el
cálculo de la dimensión de fractales muycálculo de la dimensión de fractales muy
complejos como el conjunto Mandelbrot secomplejos como el conjunto Mandelbrot se
usan computadoras, pero para fractalesusan computadoras, pero para fractales
más simples se usan formulasmás simples se usan formulas
matemáticas, una muy común es la dematemáticas, una muy común es la de
Hausdorff-Besicovitch.Hausdorff-Besicovitch.
Ejemplo: el cálculo de la dimensión del
triángulo de Sierpinski, utilizando un método
llamado similitud por duplicación.
Si tomamos un segmento de longitud 1 y lo
duplicamos tendremos 2 segmentos iguales al
original.
Tomamos ahora un cubo de largo, alto y ancho 1 y duplicamos
todas sus medidas, tendremos ahora 8 cubos iguales al
original.
Tomamos ahora un cubo de largo, alto y ancho 1 y duplicamos
todas sus medidas, tendremos ahora 8 cubos iguales al
original.
FIGURA DIMENSIÓN Nº DE COPIAS
Líneas 1 2 = 21
Cuadrado 2 4 = 22
Cubo 3 8 = 23
Similitud al duplicar d n = 2d
Disponemos estos datos en una tabla:Disponemos estos datos en una tabla:
• Un segundo ejemplo podría ser la curva de
Koch. Cada paso en la génesis de la curva
aumenta un tercio su longitud en forma
indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior:
• Así por ejemplo en el caso de la curva
• poligonal de nivel 10, la longitud es 1.
(4/3)^(10-1):
FRACTALESFRACTALES
• Un fractal es un objeto cuya
estructura se repite a diferentes
escalas. Es decir, por mucho que nos
acerquemos o alejemos del objeto,
observaremos siempre la misma
estructura. De hecho, somos incapaces
de afirmar a qué distancia nos
encontramos del objecto, ya que siempre
lo veremos de la misma forma.
El termino fractal (del Latín fractus) fue propuesto por el matemático
Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas
estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu
Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de
construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el
triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla:
dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su
interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso.
Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski:
Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal,
es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin
embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos.
El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no
fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse
gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un
número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:
Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la
sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no,
queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc.
(0, 1=02
+1, 2=12
+1, 5=22
+1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25,
-0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5
pertenece al conjunto y c=1 no.
Si además consideramos números complejos, obtenemos la siguiente
figura:
• Otro fractal interesante es ''La Curva del
Dragon'':
EL EFECTO MARIPOSAEL EFECTO MARIPOSA
• El efecto mariposa es un concepto que hace referencia
a la noción del tiempo y a las condiciones iniciales
dentro del marco de la teoría del caos. La idea es que,
dadas unas condiciones iniciales de un determinado
sistema caótico, la más mínima variación en ellas puede
provocar que el sistema evolucione en ciertas formas
completamente diferentes. Sucediendo así que, una
pequeña perturbación inicial, mediante un proceso de
amplificación, podrá generar un efecto
considerablemente grande a mediano o corto plazo de
tiempo.
GEOMETRÍA FRACTALGEOMETRÍA FRACTAL
Los padres de la ciencia desvelaron el idioma en que está escrito el
Universo y consideraron que sus caracteres eran círculos, esferas y
otras figuras geométricas. Pero esto se complicó cuando pudimos
observar que la naturaleza era más compleja que estas figuras ya que
una montaña no tiene forma de cono, ni las nubes son esferas. Por esta
razón surge la geometría fractal.
La geometría fractal es una forma para estudiar las irregularidades, una
estructura en todas las escalas y el fenómeno de la autosemejanza.
Digamos que es una manera de buscar un parecido de las partes con el
todo.
Las primeras figuras con geometría fractal que se realizaron se
encuentran en las figuras planas. La más conocida es la curva de Koch.
Consiste en ir realizando triángulos
equiláteros
en cada nueva recta que aparece.
-El triángulo de Waclaw Sierpinski
Todos estos ejemplos tienen un mismo
mecanismo: repetir una y otra vez el mismo
proceso. Aplicar la regla a un dato, se
utiliza como dato para la siguiente iteración.
FENÓMENOS NO LINEALESFENÓMENOS NO LINEALES
• A Lo largo de muchos años, en el estudio que varias ciencias han hecho
de diferentes fenómenos se han encontrado situaciones que no ha sido
posible describir de manera satisfactoria. Por ejemplo, en el caso de la
meteorología un problema muy importante es poder predecir el clima que
prevalecerá no sólo al día siguiente, sino una semana, un mes, un año
después. Sin embargo, a pesar de que esta ciencia se ha desarrollado
bastante y mucha gente ha trabajado en ella durante más de un siglo,
este tipo de predicciones no ha podido llevarse a cabo de manera
efectiva.
En la física podemos mencionar el fenómeno de la turbulencia.
Cuando un fluido se mueve a lo largo de un tubo, en ciertas
condiciones el fluido lo hace de manera muy tranquila y regular;
se dice que el flujo es laminar y sus propiedades sí han podido
ser determinadas. Sin embargo, en otras circunstancias, el flujo
se vuelve turbulento: empiezan a aparecer primero pequeños
remolinos, después remolinos más y más grandes y el movimiento
del fluido se vuelve muy irregular. Se dice que el flujo ha
entrado en turbulencia. Este efecto no se había podido entender
en más de cien años de estudio de la hidrodinámica.
Una cuestión muy importante, común a diferentes
fenómenos, es la posibilidad de que se pueda hacer
predicciones. Por ejemplo, si se sabe que hoy está
lloviendo, se quisiera predecir si lloverá mañana o si
lloverá pasado mañana. Es decir, una cuestión es la
posibilidad de poder predecir lo que ocurrirá en el
futuro si sabemos en qué situación nos encontramos
ahora.
FENÓMENOS LINEALESFENÓMENOS LINEALES
Se llama función de proporcionalidad directa o, simplemente,
función lineal a cualquier función que relacione dos
magnitudes directamente proporcionales (x,y). Su ecuación
tiene la forma
y = mx ó f(x) = mx
El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el
nombre de pendiente de la función porque, como veremos en
la siguiente sección, indica la inclinación de la recta que la
representa gráficamente.
FENÓMENO LINEAL FENÓMENO NO LINEAL
-Cmc-mundocomplejo.blogspot.com.es/2011
-Escritoriodocentes.educ.ar
-Wikipedia
-Geometriafractal.com
-Xatakaciencia.com
-Oni.escuelas.edu.ar/olimpi99/fractales/dimen.htm
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Mundo complejo (este es el bueno, hehe)

  • 1. Ivan Jímenez CastillaIvan Jímenez Castilla Lara Tomas CaballeroLara Tomas Caballero Pablo Muñoz RoviraPablo Muñoz Rovira 1 BAT A
  • 2. ÍNDICEÍNDICE • Fenómenos Caóticos en la Naturaleza • Teoría del Caos • Dimensión Fractal • Fractales • El Efecto Mariposa • Geometría Fractal • Fenómenos Lineales y No Lineales
  • 3. FENÓMENOS CAÓTICOS EN LAFENÓMENOS CAÓTICOS EN LA NATURALEZANATURALEZA • Fenómeno caótico: Todo fenómeno real al que se le ha suprimido el azar, pero que sigue teniendo un comportamiento aparentemente aleatorio, y que está regido por leyes precisas. Los científicos han admitido que el mundo real no responde fielmente a leyes ideales las cuales atribuimos a la Naturaleza. Existen fenómenos "supuestamente caóticos" (la caída de una hoja, el ondear de una bandera, fluctuaciones meteorológicas...) considerados así, porque presentan la aleatoriedad que en muchos casos no lo es, ya que no se conocen todas las variables que influyen en ellos.
  • 4. TEORÍA DEL CAOSTEORÍA DEL CAOS ''Teoría del caos'' es la denominación popular de la rama de las matemáticas, la física y otras ciencias que tratan ciertos tipos de sistemas dinámicos, muy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeñas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigor determinísticos, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.
  • 5. Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en: -Estables -Inestables -Caóticos   Un sistema estable tiende a lo largo del tiempo a un punto, u órbita, según su dimensión (atractor o sumidero). Un sistema inestable se escapa de los atractores y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el que el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.
  • 6. Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran dependencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población. 
  • 7. DIMENSIÓN FRACTALDIMENSIÓN FRACTAL • La medición de formas fractales (fronteras, poligonales, etc.) ha obligado a introducir conceptos nuevos que van más allá de los conceptos geométricos clásicos. El concepto de longitud no está claramente definido. La longitud de la línea fractal depende de la longitud de instrumento, o de la unidad de medida que tomemos, la noción de longitud en estos casos, carece de sentido. Para ello se ha ideado otro concepto: el de dimensión fractal, que sea una generalización de la dimensión euclídea. Sabemos que en geometría clásica un segmento tiene dimensión uno, un círculo tiene dimensión dos, y una esfera tiene dimensión tres. Para que sea coherente con lo dicho una línea fractal tiene que tener dimensión menor que dos (no llena toda la porción de plano). En general lo que sucede es que la longitud de la curva fractal es superior a la del segmento de recta que lo genera, y por lo tanto, en general la dimensión fractal será un número comprendido entre uno y dos. La dimensión Hausdorff H(X) de un objeto fractal X mide el número de conjunto de longitud L que hacen falta para cubrir X por L.
  • 8. ¿PUEDE EXISTIR UNA DIMENSIÓN¿PUEDE EXISTIR UNA DIMENSIÓN FRACCIONAL?FRACCIONAL? Para calcular la dimensión de un fractalPara calcular la dimensión de un fractal se usan los conceptos de límite,se usan los conceptos de límite, logaritmo, escalas y medidas.  En ellogaritmo, escalas y medidas.  En el cálculo de la dimensión de fractales muycálculo de la dimensión de fractales muy complejos como el conjunto Mandelbrot secomplejos como el conjunto Mandelbrot se usan computadoras, pero para fractalesusan computadoras, pero para fractales más simples se usan formulasmás simples se usan formulas matemáticas, una muy común es la dematemáticas, una muy común es la de Hausdorff-Besicovitch.Hausdorff-Besicovitch.
  • 9. Ejemplo: el cálculo de la dimensión del triángulo de Sierpinski, utilizando un método llamado similitud por duplicación. Si tomamos un segmento de longitud 1 y lo duplicamos tendremos 2 segmentos iguales al original.
  • 10. Tomamos ahora un cubo de largo, alto y ancho 1 y duplicamos todas sus medidas, tendremos ahora 8 cubos iguales al original. Tomamos ahora un cubo de largo, alto y ancho 1 y duplicamos todas sus medidas, tendremos ahora 8 cubos iguales al original.
  • 11. FIGURA DIMENSIÓN Nº DE COPIAS Líneas 1 2 = 21 Cuadrado 2 4 = 22 Cubo 3 8 = 23 Similitud al duplicar d n = 2d Disponemos estos datos en una tabla:Disponemos estos datos en una tabla:
  • 12. • Un segundo ejemplo podría ser la curva de Koch. Cada paso en la génesis de la curva aumenta un tercio su longitud en forma indefinida. Cada curva es 4/3 de la anterior: • Así por ejemplo en el caso de la curva • poligonal de nivel 10, la longitud es 1. (4/3)^(10-1):
  • 13. FRACTALESFRACTALES • Un fractal es un objeto cuya estructura se repite a diferentes escalas. Es decir, por mucho que nos acerquemos o alejemos del objeto, observaremos siempre la misma estructura. De hecho, somos incapaces de afirmar a qué distancia nos encontramos del objecto, ya que siempre lo veremos de la misma forma.
  • 14. El termino fractal (del Latín fractus) fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En la naturaleza encontramos muchas estructuras con geometría fractal, como por ejemplo, en el romanescu Existen muchísimos fractales, ya que como veremos, son muy fáciles de construir. Los ejemplos más populares son el conjunto “Mandelbrot” o el triángulo “Sierpinski”. Este último se realiza de una forma muy sencilla: dibujamos un triángulo grande, colocamos otros tres triángulos en su interior a partir de sus esquinas, repetimos el último paso. Otro sencillo ejemplo lo constituye la alfombra de Sierpinski: Como puede verse, la estrategia más sencilla para conseguir un fractal, es coger una figura y reproducirla en versiones más pequeñas. Sin embargo, se pueden conseguir objetos muchos más complejos. El conjunto de Mandelbrot fue propuesto en los años setenta, pero no fue hasta una década más tarde cuando pudo representarse gráficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un número “c” cualquiera, que define la siguiente sucesión:
  • 15. Para diferentes valores de “c”, obtenemos diferentes sucesiones. Si la sucesión es acotada, “c” pertenece al conjunto de Mandelbrot, y si no, queda excluido. Por ejemplo, para c=1 se obtiene: 0, 1, 2, 5, 26, 677, etc. (0, 1=02 +1, 2=12 +1, 5=22 +1, etc.) Para c=-0.5 obtenemos 0, -0.5, -0.25, -0.4375, -0.30859375, -0.404769897, etc. De esta forma, c=-0.5 pertenece al conjunto y c=1 no. Si además consideramos números complejos, obtenemos la siguiente figura:
  • 16. • Otro fractal interesante es ''La Curva del Dragon'':
  • 17. EL EFECTO MARIPOSAEL EFECTO MARIPOSA • El efecto mariposa es un concepto que hace referencia a la noción del tiempo y a las condiciones iniciales dentro del marco de la teoría del caos. La idea es que, dadas unas condiciones iniciales de un determinado sistema caótico, la más mínima variación en ellas puede provocar que el sistema evolucione en ciertas formas completamente diferentes. Sucediendo así que, una pequeña perturbación inicial, mediante un proceso de amplificación, podrá generar un efecto considerablemente grande a mediano o corto plazo de tiempo.
  • 18.
  • 19. GEOMETRÍA FRACTALGEOMETRÍA FRACTAL Los padres de la ciencia desvelaron el idioma en que está escrito el Universo y consideraron que sus caracteres eran círculos, esferas y otras figuras geométricas. Pero esto se complicó cuando pudimos observar que la naturaleza era más compleja que estas figuras ya que una montaña no tiene forma de cono, ni las nubes son esferas. Por esta razón surge la geometría fractal. La geometría fractal es una forma para estudiar las irregularidades, una estructura en todas las escalas y el fenómeno de la autosemejanza. Digamos que es una manera de buscar un parecido de las partes con el todo. Las primeras figuras con geometría fractal que se realizaron se encuentran en las figuras planas. La más conocida es la curva de Koch.
  • 20. Consiste en ir realizando triángulos equiláteros en cada nueva recta que aparece.
  • 21. -El triángulo de Waclaw Sierpinski Todos estos ejemplos tienen un mismo mecanismo: repetir una y otra vez el mismo proceso. Aplicar la regla a un dato, se utiliza como dato para la siguiente iteración.
  • 22. FENÓMENOS NO LINEALESFENÓMENOS NO LINEALES • A Lo largo de muchos años, en el estudio que varias ciencias han hecho de diferentes fenómenos se han encontrado situaciones que no ha sido posible describir de manera satisfactoria. Por ejemplo, en el caso de la meteorología un problema muy importante es poder predecir el clima que prevalecerá no sólo al día siguiente, sino una semana, un mes, un año después. Sin embargo, a pesar de que esta ciencia se ha desarrollado bastante y mucha gente ha trabajado en ella durante más de un siglo, este tipo de predicciones no ha podido llevarse a cabo de manera efectiva.
  • 23. En la física podemos mencionar el fenómeno de la turbulencia. Cuando un fluido se mueve a lo largo de un tubo, en ciertas condiciones el fluido lo hace de manera muy tranquila y regular; se dice que el flujo es laminar y sus propiedades sí han podido ser determinadas. Sin embargo, en otras circunstancias, el flujo se vuelve turbulento: empiezan a aparecer primero pequeños remolinos, después remolinos más y más grandes y el movimiento del fluido se vuelve muy irregular. Se dice que el flujo ha entrado en turbulencia. Este efecto no se había podido entender en más de cien años de estudio de la hidrodinámica.
  • 24. Una cuestión muy importante, común a diferentes fenómenos, es la posibilidad de que se pueda hacer predicciones. Por ejemplo, si se sabe que hoy está lloviendo, se quisiera predecir si lloverá mañana o si lloverá pasado mañana. Es decir, una cuestión es la posibilidad de poder predecir lo que ocurrirá en el futuro si sabemos en qué situación nos encontramos ahora.
  • 25. FENÓMENOS LINEALESFENÓMENOS LINEALES Se llama función de proporcionalidad directa o, simplemente, función lineal a cualquier función que relacione dos magnitudes directamente proporcionales (x,y). Su ecuación tiene la forma y = mx ó f(x) = mx El factor m es la constante de proporcionalidad y recibe el nombre de pendiente de la función porque, como veremos en la siguiente sección, indica la inclinación de la recta que la representa gráficamente.