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CEDART
    Centro de
Educación Artística




            NOMBRE DE ALUMNA:
              Mahatma Natalie
             Bencomo Sanchez
INDICE
~ Introducción……………………………………………………………..2

~ Operaciones algebraicas
*Suma…………………………………………………………..3
*Resta…………………………………………………………..4
*Multiplicación………………………………………………..5
*División……………………………………………………….8

~ Productos notables…………………………………………………….10

~ Factorización ……………………………………………………………12

~ Fracciones algebraicas…………………………………………………14

~ Ecuaciones lineales……………………………………………………..16

~ Ecuaciones cuadráticas……………………………………………......23




                                                2
INTRODUCCION
ALGEBRA.- Es la parte o rama de las matemáticas que se encarga del estudio
de las relaciones entre los números y las variables para establecer modelos
matemáticos.


APLICACIONES DEL ALGEBRA.- El algebra se puede utilizar para todo.
Por ejemplo en un viaje. Tienes un origen y un destino, conoces la distancia, con
esto puedes sacar Tiempo en que tomara llegar al destino. Puedes sacar a que
velocidad debes de viajar para llegar en un tiempo fijo.

Así como este ejemplo puedes utilizarlo para la vida diaria. Jugar Billar (conociendo
el ángulo apropiado), mover un objeto (conocer la fuerza y punto de equilibrio),
eventos (conocer costos de operación y precio), etc.


TERMINOS ALGEBRAICOS.-Un término algebraico consta de las siguientes
partes:

   •   Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-).
   •   Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede
       llamarse coeficiente de los otros factores
   •   Variable (o parte literal). Cantidad generalizada.


EXPONENTES.- Es el número de veces que se multiplicará la cantidad
generalizada o variable, por sí misma. Pueden ser negativos o positivos, incluso
pueden ser fraccionarios.


GRADO.- Este se mide dependiendo del número del exponente:

   •   1er Grado también llamada lineal. Su exponente es 1.
   •   2do Grado llamada también cuadrática. Su exponente es 2.
   •   3er Grado también llamada cúbica. Su exponente es 3.
   •   4to, 5to, 6to Grado... Sus exponentes son mayores del 3.




                                                                                    3
OPERACIONES ALGEBRAICAS
SUMA
En la suma los coeficientes de los términos semejantes se suman: signos iguales se
suman y signos diferentes se restan. (Se queda el signo de mayor).




APLICACIÓN.
Para saber el perímetro de una figura con forma de triangulo escaleno.


                                           a= (3x^2y^2 – 4xy – 5)
                                    b      b= (4x^2y^2 + 6xy + 6)
                    a
                                           c= (6x^2y^2 – xy + 7)
                             c



           (3x^2y^2 – 4xy – 5) + (4x^2y^2 + 6xy + 6) + (6x^2y^2 – xy + 7)
                                 13x^2y^2 + xy + 8


EJERCICIOS:

1~ (5a^2 – 2a^3 + a) + (4a +3a^2) + (5a^3 – 2a + 7)
3a^3 + 8a^2 + 3a +7

2~ (3/4x^2 – 4/3x + 2) + (1/6x – 5/2x^2 + 7/8)
3/10x^2 – 7/6x + 23/8

3~ (4y – 5z + 3) + (4z –y +2) + (3y – 2z – 1)
6y - 3z + 4

4~ (1/2m^2 + 3/5m – 4/7) + (3/8m – 5/4) + (5/3m – 3/10m^2)
1/5x^2 + 317/120m – 51/28

5~ (2pq – 3p^2q + 4pq^2) + (pq – 5pq^2 – 7p^2q) + (-4pq^2 + 3pq – p^2q)
-11p^2q – 5pq^2 + 6pq




                                                                                 4
RESTA
Se restan los coeficientes de los términos semejantes, es algo demasiado parecido
en el caso de la suma, pues no en sí es una resta pues todo depende del signo.


APLICACIÓN.

Para saber la cantidad de agua que se tenia inicialmente (a) menos la ocupada para
llenar una alberca (b), restándole también el agua ocupada en un chapoteadero (c).




       a
                                                             c
                                                 a= (50x^2y^2 + 12xy + 15)
                                          b       b= (15x^2y^2 + 6xy + 7)
                                                  c= (16x^2y^2 + xy + 3)

    (50x^2y^2 + 12xy + 15) - (15x^2y^2 + 6xy + 7) - (16x^2y^2 + xy + 3)
                        19x^2y^2 + 5xy + 5

EJERCICIOS.

1~ (5m + 4n – 7) – (8n – 7) + (4m – 3n + 5) – (-6m + 4n – 3)
15m – 11n + 8

2~ (4m^4 – 3m^3 + 6m^2 + 5m – 4) – (6m^3 – 8m^2 – 2x + 4)
4m^4 – 9m^3 + 14 m^2 + 8m - 5

3~ (6x^5 + 3x^2 – 7x + 2) – (10x^5 + 6x^3 – 5x^2 – 2x + 4)
-4x^5 – 6x^3 + 8x^2 – 5x - 2

4~ (-xy^4 – 7y^3 +xy^2) + (-2xy^4 + 5y – 2) – (-6y^3 + xy^2 + 5)
-3xy^4 – y^3 + 5y + 3

5~ (1/6x + 3/8y – 5) – (8/3y – 5/4) + (3/2x + 2/3)
5/3x – 55/24y -127/36




                                                                                    5
MULTIPLICACION
 A) Ley de los signos:
 Cuando se multiplican signos iguales el resultado va ser signo positivo.
 Cuando se multiplican signos diferentes el resultado va ser signo negativo.
                                    (-) (-) = (+)
                                    (-) (+) = (-)
                                   (+) (+) = (+)
                                    (+) (-) = (-)


 B) Ley Distributiva
 Esta Ley expresa que no importa si al multiplicar sumas varios numeros y el
 resultado lo multiplicas por x número ó si se hace cada multiplicación por
 separado y luego suman los resultados. Ejemplo:
                            5 * 7x + 6 * 7x = 11 * 7x = 77x
                          5 * 7x + 6 * 7x = 35x + 42 x = 77x



 C) Ley de los exponentes en la multiplicación, división, radical,
    potencia.

 Multiplicación de exponentes de igual base, se suman los exponentes
 División de exponentes de igual base, se restan los exponentes.
 Potencia de una potencia se multiplican los exponentes
 Potencia de una raíz se restan los exponentes

 Multiplicación de raíces de igual índice, se junta todo bajo la misma raíz
 División de raíces de igual índice, se junta todo bajo la misma raíz
 Multiplicación de raíces se une todo y se suman los índices.
 División de raíces, se une todo y se restan los índices.
 Raíz de una potencia se dividen los exponentes
 Raíz de una raíz se multiplican los exponentes



 D) Pasos de la multiplicación algebraica.
 Los a seguir de la multiplicación algebraica son:

 1.- Los coeficientes se multiplican aplicando la ley de los signos.
  (2x + 2) ( x + 2) = 2x + 4x + 2x + 4
 2.- Los exponentes de las misma literales se suman.
  (2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 4x + 2x + 4
 3.- Se aplica la Ley Distributiva.
                                                                               6
(2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 4x + 2x + 4
2x * x = 2x^2
3x * 2 = 6x
2*2=4

4.- Simplificar términos semejantes.
(2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 6x + 4
5.- Ordenar y nombrar.
(2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 6x + 4 Trinomio cuadrático



E) Ejercicios:

* (2x^2 – x – 3) (2x^2 – 5x – 2) = 4x^4 – 12x^3 – 5x^2 + 17x + 6
                                  POLINOMIO DE CUARTO GRADO

*(3x – 1) (4x^2 – 2x – 1) = 12x^3 – 10x^2 – x + 1
                             POLINOMIO CUBICO

*(4/3a^2 – 5/4a – 1/2) (2/5a + 3/2) = 8/15a^3 – 3/2a^2 – 83/40a – 3/4
                                         POLINOMIO CUBICO

*(9xy – 4x^2y) (2xy^2 + 6x^2y^2) = - 24x^4y^3 + 46x^3y^3 + 18 x^2y^3
                                      TRINOMIO DE SEPTIMO GRADO

*(5m^1/2 – 3m^2/3) (4m^-3/4 – 2m^5) = 6m^17/3 – 10m^11/2 + 20m^-1/4 –
12m^1/12       POLINOMIO

*(3y – 5) ( 2y + 4) = 6y^2 + 2y – 20
                   TRINOMIO CUADRATICO

*(3x^2 – x + 7) ( 5x + 2) = 15x^3 + x^2 + 33x + 14
                             POLINOMIO CUBICO

*(4ab + 3b) (6a^2b – 2ab^2) = 24a^3b^2 – 8a^2b^3 +18a^2b^2 – 6ab^3
                                POLINOMIO DE QUINTO GRADO




F) Un terreno rectangular mide 2x – 4 metros de largo y 5x + 3
   metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su
   área? (Agrega la figura)




                                                                        7
2x – 4 m     A =10x^2 – 14x – 12
                                                   (2x – 4) (5x + 3) =
                                                   10x^2 – 14x – 12

                            5x + 3 m


G) En una tienda se compran tres diferentes artículos A, B y C. A
   cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2
   por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta 3/4 x por unidad
   y se compraron 7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del
   costo total de la compra?
                                  A = (3x) (5) = 15x
                               B = (4x + 2) (3) = 12x + 6
                               C = (3/4x) (7) = 21/28 x

                      COSTO TOTAL DE LA COMPRA = A + B + C
                             (15x) + (12x + 6) + (21/28x)




                                                                         8
DIVISIÓN
1.- La división algebraica.
       Es la operación que tiene por objeto, repartir un número, en tantas partes
iguales, como unidades tiene el otro o hallar las veces que un número contiene otro.

2.- Propiedades de la división
1. División exacta
2. División entera
3. No es una operación interna en los números naturales y enteros: El resultado de
dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero.
4. No es Conmutativa
5. Cero dividido entre cualquier número da cero
6. No se puede dividir por 0. Porque no existe ningún cociente que multiplicado por
0 sea igual al dividendo.

3.- Elementos (partes) de la división.

División: Dividendo, divisor, cociente y resto.




4.- Resolver:

   8m^9n^2 – 10m^7n^4 – 20m^5n^6 + 12m^3n^8                           4m^7
   ----------------------------------------------------------- = ------- - 10m^3n^3 + 6mn^5
                 2m^2n^3                                            n


   20x^4 – 5x^3 – 10x^2 + 15x
   ------------------------------------ =   -4x^3 + x^2 + 2x - 3
              5x

   4a^8 – 10a^6 – 5a^4
   -------------------------- = 2a^5 – 5a^3 – 5/2a
             2a^3
                                                                                              9
2x^2y + 6xy^2 – 8xy + 10x^2y^2
   ----------------------------------------- = 5xy + 3y + x - 4
                    2xy

   3x^2 + 2x – 8
   ----------------- = 3x - 4
        x+2

   2x^3 – 4x – 2
   ----------------- = x^2 – x - 1
        2x + 2

   2a^4 – a^3 + 7a – 3
   ------------------------ = a^3 – 2a^2 + 6
          2a + 3

   14y^2 – 71y – 33
   ---------------------- = 2y - 11
           7y +3


5.- Si un espacio rectangular tiene un área de 6x^2 – 19x + 15 y la
anchura es 3x – 5 ¿Cuánto mide la base?

                                                   6x^2 – 19x +15
        3x – 5      A =6x^2 – 19x + 15           --------------------- =   2x – 3
                                                         3x - 5


                                ?


6.- Expresar conclusiones personales sobre la 1era unidad
“operaciones algebraicas”

       Es importante saber sobre este tipo de operaciones, como para sacar datos
sobre cosas que no se saben, representándolas en expresiones algebraicas, con
las cuales se hacen este tipo de operaciones.
       Pero también puede haber para muchos que les sea inservible y quizá si lo
sea para ellos, pero para muchos otros que están en el ámbito científico les sirve
demasiado.
       Esta es mi conclusión sobre las operaciones algebraicas.




                                                                                    10
PRODUCTOS NOTABLES
1.- Los productos notables.
 Son multiplicaciones de expresiones algebraicas que se realizan utilizando reglas,
para poder obtener

2.- Las reglas para la resolución de cada uno de los productos
notables
      - BINOMIOS AL CUADRADO
            * Cuadrado del primer término.
            * Doble producto del primer término por el segundo.
            * Cuadrado del segundo término.

      - BINOMIOS AL CUBO
            * Cubo del primer término.
            * Triple producto del cuadrado del primer término por el segundo.
            * Triple producto del cuadrado del segundo término por el primero.
            * Cubo del segundo término.

      - BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR
             A base de un esquema llamado triángulo de Pascal.
      Se realizan los productos. Multiplicando los números correspondientes del
      triángulo con los del término, alternando también con los exponentes que en
      el primer término, se inicia con el número del exponente y se va
      disminuyendo hasta llegar a cero, y en el segundo término este exponente
      empieza de cero hasta llegar al número del exponente indicado (de menor a
      mayor).

      - BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN
            * Cuadrado del común.
            * Suma o resta de los no comunes por el común.
            * Producto de los no comunes.

      - BINOMIOS CONJUGADOS
            * Cuadrado del primer término
            * Menos cuadrado del segundo término.

3.- Desarrollar los siguientes productos notables:

( 3a + 4)^2 = 9a^2 + 24a + 16

(2x^2 - 5) ^2 = 4x^4 – 20x^2 + 25

(4a + 5) ^3 = 27a^3 + 240a^2 + 300a +125

(2a^3 - 7) ^3 = 8a^9 – 84a^6 + 294a^3 - 343

                                                                                  11
(5m + 4) ^3 = 125m^3 + 300m^2 + 240m + 64

(3x + 2) ^4 = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 93x + 16

(2x^2 – 4) ^5 = 32x^10 +320x^8 + 1280x^6 – 2560x^4 + 2560x^2 - 1024

(4y^3 + 3) ^6 = 4096y^18 + 18432y^15 + 34560y^12 + 34560y^9 + 19440y^6 +
5832y^3 + 729

(2x + 3) (2x + 5) = 4x^2 + 16x + 15

(x^2 – 1) (x^2 + 1) = x^4 – 1

(m + 4) (m – 2) = m^2 + 2m - 8

(3a – 7) (3a + 7) = 9a^2 – 49

(5a +3b) (5a – 2b) = 25a^2 + 5ab – 6b^2

(4x^3 + 3) (4x^3 – 3) = 16x^6 - 9

(a^2 – 1) (a^2 – 4) = a^4 – 5a^2 +4


4.- Aplicación de los binomios conjugados en otras áreas.

       Los binomios conjugados se pueden aplicar también en ramas como la
informática, pero son muy utilizados en la ingeniera, en la física, en biología.

       Así como una aplicación práctica, no los son, sin embargo son la base para
estudios superiores de matemáticas, esto es para aplicaciones desde el punto de
vista de Ingeniería.


5.- Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad
“Productos Notables”
      Los productos notables la verdad no les encuentro ningún uso o aplicación
verdadera, pero sé que es importante aprenderlos a hacer.




                                                                                    12
FACTORIZACIÓN
1.- Define qué es factorización.
Es el proceso que se usa para expresar un polinomio como un producto de factores.
Para distintos usos.


2.- Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos de
factorización.

                                     Métodos



  Factor        Agrupación                         Diferencia      Diferencia
  Común                                                de          o suma de
                                                   cuadrados       cubos

                      Se
                   agrupan                          Se factoriza
 Se buscan                                                          Se factoriza
                   en pareja                        en binomios
     los                                                            en binomios
                  y se aplica                       conjugados
  términos                                                          conjugados
                  el método                        con expresión
 comunes                              Trinomios                      pero con a
                   de factor                         igual, pero
                                     cuadráticos                    base de tipo
                    común.                             signos
                                                                       cubo.
                                                      contrario

            T.C.P. (trinomio                       ax² + bx +c
           cuadrado perfecto)        x² + mx + n




3.- Factoriza las siguientes expresiones:

a) 25a² - 64b² = (5a – 8b) (5a + 8b)

b) 8m² - 14m – 15 = (4m – 3) (2m + 5)

c) x² - 15x + 54 = (x – 6) (x – 9)

d) 5x² - 13x + 6 = (5x -3) (x – 2)

e) 27a9 - b³ = (3a³ - b) (9a6 + 3a³b + b²)

f) 5a² + 10a = 5a (a + 2)

                                                                                   13
g) n² - 14n + 49 = (n – 7)²

h) x² - 20x – 300 = (x – 30) (x + 30)

i) 9x6 – 1 = (3x³ - 1)(3x³ + 1)


j) 64x³ + 125 = (4x + 5) (16x² - 20x + 25)

k) x² - 144 = (x - 12) (x + 12)

l) 2x² + 11x + 12 = (2x + 3) (x + 4)

m) 4x²y -12xy² = 4xy (x – 3y)

n) xw – yw + xz – yz = (w + z) (x - y)

o) x² + 14x + 45 = (x + 9) (x +5)

p) 6y² - y – 2 = (2y + 1) (3y -2)

q) 4m² - 49 = (2m - 7) (2m +7)

r) x² - x – 42 = (x - 7) (x + 6)

s) 2m² + 3m – 35 = (2m - 7) (m + 5)

t) a² - 24a + 119 = (a - 7) (a -17)



4.- Investiga la aplicación de la factorización en la solución de
ecuaciones cuadráticas.
Se utiliza para resolver las ecuaciones. Así como para simplicarlas. Dependiendo de
la ecuación cuadrática.



5.- Conclusiones personales sobre la unidad de factorización.
La factorización es muy útil para diversos tipos de problemas, especialmente para
sacar el valor de una o más incógnitas, para hacer operaciones con fracciones
algebraicas. En fin la factorización además de ser no tan difícil ayuda para múltiples
problemas.




                                                                                    14
FRACCIONES ALGEBRAICAS
1.- Realiza las operaciones con fracciones algebraicas.

         x² - 16              x-4
a)
      x² + 8x + 16    =       x+4

       4x² - 20x               4x
b)                    =
       x² - 4x - 5            x +1

         3a - 9b                3
 c)
        6a - 18b      =         6

       x² - 6x + 9        x² + 6x + 5          (x - 3) (x + 5)
d)                    *                    =
       x² - 7x +12        3x² + 2x - 1         (x - 4) (3x - 1)

        7x + 21           x² - 5xy + 4y²            7(x -y)
e)
        x² - 16y²     *   4x² + 11x - 3    =   (x + 4y) (4x - 1)

       x² - 3x - 10          2x + 10              2 (x + 2)
 f)                   *                    =
          x² - 25            6x + 12              6 (x - 2)

          x-4                4x + 8               4(x + 2)
g)                                         =
         2x + 8       *      x² - 16              2(x + 4)²

         3x - 15            12x + 18              12(x - 5)
h)                    /                    =
          x+3               4x + 12               6(2x + 3)

         4x² - 9              2x - 3              2(2x + 3)
 i)                   /                    =
         x + 3y              2x + 6y                  1

      x² - 14x -15        x² - 12x - 45             x +1
 j)                   /                    =
      x² - 4x - 45         x² - 6x - 27             x+5

          a-3                   9                   2a + 9
 k)                   /                    =
       a² - 3a + 2         a² - 4a + 3          (a - 2) (a - 3)

           m                  3m                 3m² - 2m
 l)
          m² - 1      +      3m + 1        =   (m - 1) (m + 2)

            2a                  4                2a² - 4a - 16
m)                    -
        a² - a - 6        a² - 7a + 12     =    (a + 2) (a - 4)

            2                  1                     1                    2m + 12
n)                                         +                       =
      m² - 11m +30    -      m² - 36               m² - 25             (m + 6) (m + 5)


                                                                                         15
x                2                   3x + 4
 ñ)                   +
       x² - 5x - 14          x-7         =    (x - 7) (x + 2)


2.- Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo.
Una fracción compleja es aquella que en su denominador o numerador tiene una
fracción. Ejemplo:
                              x + 1/2x             6
                                 2              y + 1/4y




3.- Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones
algebraicas.
Este tipo de operaciones casi no se ven, o yo no sé de algún tipo de problemas en
las cuales se utilicen, pero para un ingeniero deben ser muy útiles. En fin no se me
hizo un tema muy útil, incluso se me hizo un poco difícil.




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ECUACIONES LINEALES
1.- Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que existen y
cuáles son los principales métodos de resolución.
Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera
potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una
ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera
potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de
ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c
determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las
ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son
consideradas lineales.
Al conjunto de este tipo de ecuaciones se le llaman sistemas.
Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus solución es:
1. Incompatible. No tiene solución.
2. Compatible. Tiene solución.
a. Compatible determinado. Única solución.
b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones.
        -compatible determinado. Única solución.
        -compatible indeterminado. Infinitas soluciones.
Tienen diferentes metódos de resolución:
*Igualación.
*Suma- resta.
*Determinantes.
*Gráficamente, por función.

2.- Resolver las siguientes ecuaciones:

a) 4(2x – 3) + 5 (x – 1) = 7(x + 2) – (3x + 4)
               x= 3

      5x - 3           2x         x+1
b)              +             =
        4              3            2
               x=     11
                      21
 c) 3(4x + 3) + 2x – 3(2 – x) = 2 + 3(x – 4) + 5x – 2
                        -15                  x=
                         24
       2x + 5           3x         x+2
 d)                 -         =           + 3x
         7               5          2
                x=      23
                        18

                                    2x - 3        x
  e) 5 (2x – 3) + 4(x + 1) – 5 =             +
                                      2           3

                                                                                17
7
                                x=
                                            6

3.- Graficar.
a)
        y = 5x - 1
      x          y
     -3        -16
     -2        -11
     -1         -6
      0         -1
      1          4
      2          9
      3         14

                                          y = 5x - 1
                                                  y
                                            20

                                            15                                          3, 14

                                            10
                                                                             2, 9

                                             5                    1, 4

                                             0                                                      x
                                                      0, -1
      -4      -3         -2         -1            0           1          2          3           4
                                         -1, -5
                                             -6

                                           -10
                              -2, -11

                                           -15
                   -3, -16

                                           -20




b)
       y = 2x + 3
       x         y
      -3        -3
      -2        -1
      -1         1
       0         3
       1         5
       2         7
       3         9




                                                                                                        18
y = 2x + 3

                                                 y
                                           10
                                                                                      3, 9
                                            8
                                                                           2, 7
                                            6
                                                                1, 5
                                            4
                                                     0, 3
                                             2
                                         -1, 1
                                             0                                                   x
     -4     -3            -2 -2, -1 -1           0          1          2          3          4
                                            -2
                 -3, -3
                                            -4



c)
     y = -1/2x + 2
      x        y
     -3       3.5
     -2        3
     -1       2.5
      0        2
              1.5
      2        1
      3       0.5




                                                                                                     19
y = -1/2x + 2
                                                        y
                                                   4

                  -3, 3.5                        3.5

                                 -2, 3             3

                                              -1, 2.5
                                                  2.5

                                                   2        0, 2

                                                 1.5                   1, 1.5

                                                   1                                2, 1

                                                 0.5                                           3, 0.5

                                                   0                                                        x
      -4     -3             -2           -1             0          1            2          3            4




4.- Dos automóviles viajan por la misma carretera, uno se
encuentra delante del otro. El que va adelante viaja a 60 km/h,
mientras que el otro lo hace a 70 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el
segundo automóvil en rebasar al primero?
                                                                                                    c
                                                                                                                d2
                                                                                                                d1
d2= carrito a 70 km/h
d1= carrito de 60 km/h
c= diferencia de distancia entre el carrito y el otro carrito
Si d2 = d1 + c
v2t = v1 + c     v2t – v1t = c
t= c/ v2 – v1 = 1/10 c (km/h)
Resultado: El tiempo es 1/10 de la distancia diferencial entre los dos carritos.

5.- Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si
vende un anillo de diamantes en $1500, ¿Qué precio pagó el
proveedor?
Si x + 50%x
1500 + 1500(0.50) = 1500 + 750 = 2250
Resultado: El proveedor pagó 2250 pesos por el anillo.

6.- Resolver los sistemas de ecuaciones:
           2x - 3y = 4                        x=5
 a)
           x - 4y = 7                         y=2



                                                                                                                     20
4a + b = 6      a = 20/17
b)
       3a + 5b = 10     b = 22/17

        m-n=3           m=3
c)
       3m + 4n = 9      n=0

       5p + 2q = - 3    p = 1/3
d)
        2p - q = 3      q = -21/9

        x + 2y = 8      x = -16
e)
       3x + 5y = 12     y = 12

                        m=
 f)    3m + 2n = 7      31/17
       m - 5n = - 2     n = 13/17

        2h - i = - 5    h = -18/5
g)
       3h - 4i = - 2    i= -11/5

7.- Graficar los incisos a,c,e y g de los sistemas anteriores.
               4 - 2x             7 -x
  a)     y=             y2 =
                 3                 4
          x       y      y2
         -3     3.33    2.5
         -2     2.67    2.25
         -1      2        2
          0     1.33    1.75
          1     0.67    1.5
          2      0      1.25
          3    -0.67      1




                                                                 21
y= 4 - 2x / 3           y2= 7 - x / 4
                                                   y
                                            4.00

                                            3.50
                    -3, 3.33
                                            3.00
                               -2, 2.67
                    -3, 2.5                 2.50
                               -2, 2.25
                                           -1, 2
                                            2.00
                                                       0, 1.75
                                            1.50                   1, 1.5
                                                       0, 1.33                  2, 1.25
                                            1.00                                           3, 1
                                                                   1, 0.67
                                            0.50
                                            0.00                                2, 0                  x
     -4        -3         -2          -1           0           1            2          3          4
                                           -0.50
                                                                                           3, -0.67
                                           -1.00



                                               y          y2


               3-m                    9 - 3m
c)        n=                   n2=
                1                       -4
          m     n               n2
          -3    6              4.5
          -2    5              3.75
          -1    4                3
           0    3              2.25
           1    2              1.5
           2    1              0.75
           3    0                0




                                                                                                          22
n= 3-m           n2= 9-3m/-4
                                            n(y)
                                           7

           -3, 6                           6

                          -2, 5            5
           -3, 4.5
                          -2, 3.75 -1, 4 4
                                   -1, 3 3         0, 3

                                           2       0, 2.25       1, 2
                                                                 1, 1.5
                                           1                                  2, 1
                                                                              2, 0.75
                                           0                                                3, 0       m(x)
-4    -3             -2            -1          0             1            2             3          4



                                                   n      n2



               8-x                       12 - 3x
 e)   y=                          y2=
                -2                         -5
       x         y                 y2
      -3        -6                10.2
      -2        -5                10.8
      -1        -5                11.4
       0        -4                 12
       1        -4                12.6
       2        -3                13.2
       3        -3                13.8




                                                                                                              23
y= 8 - x/ -2                        y2= 12- 3x / -5
                                                 y
                                         15
                                                                           2, 13.2 3, 13.8
                                                     0, 12     1, 12.6
                                 -1, 11.4
                -3, 10.2 -2, 10.8 10



                                             5


                                                                                             x
                                             0
     -4                  -2                      0                     2           3, -3 4
                                                               1, -4       2, -3
                                        -1,-5
                                            -5       0, -4
                -3, -6        -2, -5



                                         -10
          y
          y2



               ,- 5 - 2h                             ,- 2 - 3h
g)        i=                           i2=
                    1                                    4
          h         i                i2
          -3        1               1.75
          -2       -1                 1
          -1       -3               0.25
           0       -5               -0.5
           1       -7              -1.25
           2       -9                -2
           3      -11              -2.75




                                                                                                 24
i= -5-2h            i2= -2-3h / 4
                                      i (y)
                                     4

                 -3, 1.75            2
                 -3, 1    -2, 1
                                  -1, 0
                                      0.25
                                           0, -0.5                          h (x)
      -4    -3        -2 -2, -1-1        0       1 1, -1.25
                                                         2        3       4
                                     -2                     2, -2
                                  -1, -3                            3, -2.75
                                                                                    i
                                     -4
                                           0, -5                                    i2
                                     -6
                                                   1, -7
                                     -8
                                                            2, -9
                                    -10
                                                                    3, -11
                                    -12




8.- Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para
adultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando
$3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
  x = boleto de adulto      4x + 1.5y = 3500    x = 800
   y = boleto de niño         x + y = 1000      y = 200
    Resultado: Se vendieron 200 boletos de niño y 800
                     boletos de adulto.

9.- Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que
contiene 55% del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al
40% ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?
 x = la solución del 30%
          con Ag                  0.3x + 0.55y = 0.4 (800)            x = 480
 y= la solución del 55%
          con Ag                         x + y = 800                  y = 320

Resultado: 480 kg de la solución con 30% de Ag y 320 kg de la solución con el 55% de Ag

       ECUACIONES DE 2DO GRADO O
             CUADRATICAS.
1.- Definición de ecuación cuadrática.
Es un tipo de ecuación que a diferencia de la ecuación de primer grado
tiene una de sus incógnitas elevadas al cuadrado por lo que no se
puede usar un método común para las ecuaciones de primer grado y se


                                                                                         25
utilizan otras técnicas. A base de sus soluciones llamadas raíces,
pueden salir resultados reales, imaginarios y complejos.

2.- Definición de un número real y un número imaginario.
Un número real es aquel resultado de la raíz cuadrada de algún número
con un signo positivo. Mientras que un número imaginario es aquel
resultado de la raíz cuadrada de cualquier número que desde el inicio
del proceso de la raíz y en el resultado tiene signo negativo, el cual se
representa con una “i” minúscula. Ejemplo:
            Número real = √25 = 5                                      i
                                          Número imaginario = √-25 = - 5

3.- Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas:

 1)        7x² + 21x = 0      x=-3

 2)        4x² - 16 = 0        x=2

 3)    a² - 3a + 2 = 0        x1 = 2           x2 = 1

       9m² + 2m - 5 =
 4)          0             x1 = 0.642      x2 = 0.864

 5)         x² - 3x = 0        x=3

 6)        5x² + 10 = 0    x = √-2 = - 1.41i

       7y² - 3y + 10 =
 7)           0             x1 = 1.39i     x2 = -0.96i

 8)    2t² + t + 1 = 0      x1 = 0.41i     x2 = - 0.91i

 9)        8x² - 7x = 0     x = 0.875

10
 )          a² - 25 = 0       x = 25


4.-Graficar las siguientes funciones cuadráticas:

      y=       x² - 1



                                                                           26
x      y
-3      8
-2      3
-1      0
 0     -1
 1      0
 2      3
 3      8



y= x² + 5x + 6


 x      y
-7     20
-6     12
-5      6
-4      2
-3      0
-2      0
-1      2
 0      6
 1     12
 2     20

y=   -x² - 4


 x      y
-3    -13
-2     -8
-1     -5
 0     -4
 1     -5
 2     -8
 3    -13




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  • 1. CEDART Centro de Educación Artística NOMBRE DE ALUMNA: Mahatma Natalie Bencomo Sanchez
  • 2. INDICE ~ Introducción……………………………………………………………..2 ~ Operaciones algebraicas *Suma…………………………………………………………..3 *Resta…………………………………………………………..4 *Multiplicación………………………………………………..5 *División……………………………………………………….8 ~ Productos notables…………………………………………………….10 ~ Factorización ……………………………………………………………12 ~ Fracciones algebraicas…………………………………………………14 ~ Ecuaciones lineales……………………………………………………..16 ~ Ecuaciones cuadráticas……………………………………………......23 2
  • 3. INTRODUCCION ALGEBRA.- Es la parte o rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las relaciones entre los números y las variables para establecer modelos matemáticos. APLICACIONES DEL ALGEBRA.- El algebra se puede utilizar para todo. Por ejemplo en un viaje. Tienes un origen y un destino, conoces la distancia, con esto puedes sacar Tiempo en que tomara llegar al destino. Puedes sacar a que velocidad debes de viajar para llegar en un tiempo fijo. Así como este ejemplo puedes utilizarlo para la vida diaria. Jugar Billar (conociendo el ángulo apropiado), mover un objeto (conocer la fuerza y punto de equilibrio), eventos (conocer costos de operación y precio), etc. TERMINOS ALGEBRAICOS.-Un término algebraico consta de las siguientes partes: • Signo. Puede ser positivo (+), o negativo (-). • Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede llamarse coeficiente de los otros factores • Variable (o parte literal). Cantidad generalizada. EXPONENTES.- Es el número de veces que se multiplicará la cantidad generalizada o variable, por sí misma. Pueden ser negativos o positivos, incluso pueden ser fraccionarios. GRADO.- Este se mide dependiendo del número del exponente: • 1er Grado también llamada lineal. Su exponente es 1. • 2do Grado llamada también cuadrática. Su exponente es 2. • 3er Grado también llamada cúbica. Su exponente es 3. • 4to, 5to, 6to Grado... Sus exponentes son mayores del 3. 3
  • 4. OPERACIONES ALGEBRAICAS SUMA En la suma los coeficientes de los términos semejantes se suman: signos iguales se suman y signos diferentes se restan. (Se queda el signo de mayor). APLICACIÓN. Para saber el perímetro de una figura con forma de triangulo escaleno. a= (3x^2y^2 – 4xy – 5) b b= (4x^2y^2 + 6xy + 6) a c= (6x^2y^2 – xy + 7) c (3x^2y^2 – 4xy – 5) + (4x^2y^2 + 6xy + 6) + (6x^2y^2 – xy + 7) 13x^2y^2 + xy + 8 EJERCICIOS: 1~ (5a^2 – 2a^3 + a) + (4a +3a^2) + (5a^3 – 2a + 7) 3a^3 + 8a^2 + 3a +7 2~ (3/4x^2 – 4/3x + 2) + (1/6x – 5/2x^2 + 7/8) 3/10x^2 – 7/6x + 23/8 3~ (4y – 5z + 3) + (4z –y +2) + (3y – 2z – 1) 6y - 3z + 4 4~ (1/2m^2 + 3/5m – 4/7) + (3/8m – 5/4) + (5/3m – 3/10m^2) 1/5x^2 + 317/120m – 51/28 5~ (2pq – 3p^2q + 4pq^2) + (pq – 5pq^2 – 7p^2q) + (-4pq^2 + 3pq – p^2q) -11p^2q – 5pq^2 + 6pq 4
  • 5. RESTA Se restan los coeficientes de los términos semejantes, es algo demasiado parecido en el caso de la suma, pues no en sí es una resta pues todo depende del signo. APLICACIÓN. Para saber la cantidad de agua que se tenia inicialmente (a) menos la ocupada para llenar una alberca (b), restándole también el agua ocupada en un chapoteadero (c). a c a= (50x^2y^2 + 12xy + 15) b b= (15x^2y^2 + 6xy + 7) c= (16x^2y^2 + xy + 3) (50x^2y^2 + 12xy + 15) - (15x^2y^2 + 6xy + 7) - (16x^2y^2 + xy + 3) 19x^2y^2 + 5xy + 5 EJERCICIOS. 1~ (5m + 4n – 7) – (8n – 7) + (4m – 3n + 5) – (-6m + 4n – 3) 15m – 11n + 8 2~ (4m^4 – 3m^3 + 6m^2 + 5m – 4) – (6m^3 – 8m^2 – 2x + 4) 4m^4 – 9m^3 + 14 m^2 + 8m - 5 3~ (6x^5 + 3x^2 – 7x + 2) – (10x^5 + 6x^3 – 5x^2 – 2x + 4) -4x^5 – 6x^3 + 8x^2 – 5x - 2 4~ (-xy^4 – 7y^3 +xy^2) + (-2xy^4 + 5y – 2) – (-6y^3 + xy^2 + 5) -3xy^4 – y^3 + 5y + 3 5~ (1/6x + 3/8y – 5) – (8/3y – 5/4) + (3/2x + 2/3) 5/3x – 55/24y -127/36 5
  • 6. MULTIPLICACION A) Ley de los signos: Cuando se multiplican signos iguales el resultado va ser signo positivo. Cuando se multiplican signos diferentes el resultado va ser signo negativo. (-) (-) = (+) (-) (+) = (-) (+) (+) = (+) (+) (-) = (-) B) Ley Distributiva Esta Ley expresa que no importa si al multiplicar sumas varios numeros y el resultado lo multiplicas por x número ó si se hace cada multiplicación por separado y luego suman los resultados. Ejemplo: 5 * 7x + 6 * 7x = 11 * 7x = 77x 5 * 7x + 6 * 7x = 35x + 42 x = 77x C) Ley de los exponentes en la multiplicación, división, radical, potencia. Multiplicación de exponentes de igual base, se suman los exponentes División de exponentes de igual base, se restan los exponentes. Potencia de una potencia se multiplican los exponentes Potencia de una raíz se restan los exponentes Multiplicación de raíces de igual índice, se junta todo bajo la misma raíz División de raíces de igual índice, se junta todo bajo la misma raíz Multiplicación de raíces se une todo y se suman los índices. División de raíces, se une todo y se restan los índices. Raíz de una potencia se dividen los exponentes Raíz de una raíz se multiplican los exponentes D) Pasos de la multiplicación algebraica. Los a seguir de la multiplicación algebraica son: 1.- Los coeficientes se multiplican aplicando la ley de los signos. (2x + 2) ( x + 2) = 2x + 4x + 2x + 4 2.- Los exponentes de las misma literales se suman. (2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 4x + 2x + 4 3.- Se aplica la Ley Distributiva. 6
  • 7. (2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 4x + 2x + 4 2x * x = 2x^2 3x * 2 = 6x 2*2=4 4.- Simplificar términos semejantes. (2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 6x + 4 5.- Ordenar y nombrar. (2x + 2) ( x + 2) = 2x^2 + 6x + 4 Trinomio cuadrático E) Ejercicios: * (2x^2 – x – 3) (2x^2 – 5x – 2) = 4x^4 – 12x^3 – 5x^2 + 17x + 6 POLINOMIO DE CUARTO GRADO *(3x – 1) (4x^2 – 2x – 1) = 12x^3 – 10x^2 – x + 1 POLINOMIO CUBICO *(4/3a^2 – 5/4a – 1/2) (2/5a + 3/2) = 8/15a^3 – 3/2a^2 – 83/40a – 3/4 POLINOMIO CUBICO *(9xy – 4x^2y) (2xy^2 + 6x^2y^2) = - 24x^4y^3 + 46x^3y^3 + 18 x^2y^3 TRINOMIO DE SEPTIMO GRADO *(5m^1/2 – 3m^2/3) (4m^-3/4 – 2m^5) = 6m^17/3 – 10m^11/2 + 20m^-1/4 – 12m^1/12 POLINOMIO *(3y – 5) ( 2y + 4) = 6y^2 + 2y – 20 TRINOMIO CUADRATICO *(3x^2 – x + 7) ( 5x + 2) = 15x^3 + x^2 + 33x + 14 POLINOMIO CUBICO *(4ab + 3b) (6a^2b – 2ab^2) = 24a^3b^2 – 8a^2b^3 +18a^2b^2 – 6ab^3 POLINOMIO DE QUINTO GRADO F) Un terreno rectangular mide 2x – 4 metros de largo y 5x + 3 metros de ancho ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su área? (Agrega la figura) 7
  • 8. 2x – 4 m A =10x^2 – 14x – 12 (2x – 4) (5x + 3) = 10x^2 – 14x – 12 5x + 3 m G) En una tienda se compran tres diferentes artículos A, B y C. A cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades, B cuesta 4x + 2 por unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta 3/4 x por unidad y se compraron 7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo total de la compra? A = (3x) (5) = 15x B = (4x + 2) (3) = 12x + 6 C = (3/4x) (7) = 21/28 x COSTO TOTAL DE LA COMPRA = A + B + C (15x) + (12x + 6) + (21/28x) 8
  • 9. DIVISIÓN 1.- La división algebraica. Es la operación que tiene por objeto, repartir un número, en tantas partes iguales, como unidades tiene el otro o hallar las veces que un número contiene otro. 2.- Propiedades de la división 1. División exacta 2. División entera 3. No es una operación interna en los números naturales y enteros: El resultado de dividir dos números naturales o enteros no siempre es otro número natural o entero. 4. No es Conmutativa 5. Cero dividido entre cualquier número da cero 6. No se puede dividir por 0. Porque no existe ningún cociente que multiplicado por 0 sea igual al dividendo. 3.- Elementos (partes) de la división. División: Dividendo, divisor, cociente y resto. 4.- Resolver: 8m^9n^2 – 10m^7n^4 – 20m^5n^6 + 12m^3n^8 4m^7 ----------------------------------------------------------- = ------- - 10m^3n^3 + 6mn^5 2m^2n^3 n 20x^4 – 5x^3 – 10x^2 + 15x ------------------------------------ = -4x^3 + x^2 + 2x - 3 5x 4a^8 – 10a^6 – 5a^4 -------------------------- = 2a^5 – 5a^3 – 5/2a 2a^3 9
  • 10. 2x^2y + 6xy^2 – 8xy + 10x^2y^2 ----------------------------------------- = 5xy + 3y + x - 4 2xy 3x^2 + 2x – 8 ----------------- = 3x - 4 x+2 2x^3 – 4x – 2 ----------------- = x^2 – x - 1 2x + 2 2a^4 – a^3 + 7a – 3 ------------------------ = a^3 – 2a^2 + 6 2a + 3 14y^2 – 71y – 33 ---------------------- = 2y - 11 7y +3 5.- Si un espacio rectangular tiene un área de 6x^2 – 19x + 15 y la anchura es 3x – 5 ¿Cuánto mide la base? 6x^2 – 19x +15 3x – 5 A =6x^2 – 19x + 15 --------------------- = 2x – 3 3x - 5 ? 6.- Expresar conclusiones personales sobre la 1era unidad “operaciones algebraicas” Es importante saber sobre este tipo de operaciones, como para sacar datos sobre cosas que no se saben, representándolas en expresiones algebraicas, con las cuales se hacen este tipo de operaciones. Pero también puede haber para muchos que les sea inservible y quizá si lo sea para ellos, pero para muchos otros que están en el ámbito científico les sirve demasiado. Esta es mi conclusión sobre las operaciones algebraicas. 10
  • 11. PRODUCTOS NOTABLES 1.- Los productos notables. Son multiplicaciones de expresiones algebraicas que se realizan utilizando reglas, para poder obtener 2.- Las reglas para la resolución de cada uno de los productos notables - BINOMIOS AL CUADRADO * Cuadrado del primer término. * Doble producto del primer término por el segundo. * Cuadrado del segundo término. - BINOMIOS AL CUBO * Cubo del primer término. * Triple producto del cuadrado del primer término por el segundo. * Triple producto del cuadrado del segundo término por el primero. * Cubo del segundo término. - BINOMIOS A UNA POTENCIA SUPERIOR A base de un esquema llamado triángulo de Pascal. Se realizan los productos. Multiplicando los números correspondientes del triángulo con los del término, alternando también con los exponentes que en el primer término, se inicia con el número del exponente y se va disminuyendo hasta llegar a cero, y en el segundo término este exponente empieza de cero hasta llegar al número del exponente indicado (de menor a mayor). - BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN * Cuadrado del común. * Suma o resta de los no comunes por el común. * Producto de los no comunes. - BINOMIOS CONJUGADOS * Cuadrado del primer término * Menos cuadrado del segundo término. 3.- Desarrollar los siguientes productos notables: ( 3a + 4)^2 = 9a^2 + 24a + 16 (2x^2 - 5) ^2 = 4x^4 – 20x^2 + 25 (4a + 5) ^3 = 27a^3 + 240a^2 + 300a +125 (2a^3 - 7) ^3 = 8a^9 – 84a^6 + 294a^3 - 343 11
  • 12. (5m + 4) ^3 = 125m^3 + 300m^2 + 240m + 64 (3x + 2) ^4 = 81x^4 + 216x^3 + 216x^2 + 93x + 16 (2x^2 – 4) ^5 = 32x^10 +320x^8 + 1280x^6 – 2560x^4 + 2560x^2 - 1024 (4y^3 + 3) ^6 = 4096y^18 + 18432y^15 + 34560y^12 + 34560y^9 + 19440y^6 + 5832y^3 + 729 (2x + 3) (2x + 5) = 4x^2 + 16x + 15 (x^2 – 1) (x^2 + 1) = x^4 – 1 (m + 4) (m – 2) = m^2 + 2m - 8 (3a – 7) (3a + 7) = 9a^2 – 49 (5a +3b) (5a – 2b) = 25a^2 + 5ab – 6b^2 (4x^3 + 3) (4x^3 – 3) = 16x^6 - 9 (a^2 – 1) (a^2 – 4) = a^4 – 5a^2 +4 4.- Aplicación de los binomios conjugados en otras áreas. Los binomios conjugados se pueden aplicar también en ramas como la informática, pero son muy utilizados en la ingeniera, en la física, en biología. Así como una aplicación práctica, no los son, sin embargo son la base para estudios superiores de matemáticas, esto es para aplicaciones desde el punto de vista de Ingeniería. 5.- Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad “Productos Notables” Los productos notables la verdad no les encuentro ningún uso o aplicación verdadera, pero sé que es importante aprenderlos a hacer. 12
  • 13. FACTORIZACIÓN 1.- Define qué es factorización. Es el proceso que se usa para expresar un polinomio como un producto de factores. Para distintos usos. 2.- Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos de factorización. Métodos Factor Agrupación Diferencia Diferencia Común de o suma de cuadrados cubos Se agrupan Se factoriza Se buscan Se factoriza en pareja en binomios los en binomios y se aplica conjugados términos conjugados el método con expresión comunes Trinomios pero con a de factor igual, pero cuadráticos base de tipo común. signos cubo. contrario T.C.P. (trinomio ax² + bx +c cuadrado perfecto) x² + mx + n 3.- Factoriza las siguientes expresiones: a) 25a² - 64b² = (5a – 8b) (5a + 8b) b) 8m² - 14m – 15 = (4m – 3) (2m + 5) c) x² - 15x + 54 = (x – 6) (x – 9) d) 5x² - 13x + 6 = (5x -3) (x – 2) e) 27a9 - b³ = (3a³ - b) (9a6 + 3a³b + b²) f) 5a² + 10a = 5a (a + 2) 13
  • 14. g) n² - 14n + 49 = (n – 7)² h) x² - 20x – 300 = (x – 30) (x + 30) i) 9x6 – 1 = (3x³ - 1)(3x³ + 1) j) 64x³ + 125 = (4x + 5) (16x² - 20x + 25) k) x² - 144 = (x - 12) (x + 12) l) 2x² + 11x + 12 = (2x + 3) (x + 4) m) 4x²y -12xy² = 4xy (x – 3y) n) xw – yw + xz – yz = (w + z) (x - y) o) x² + 14x + 45 = (x + 9) (x +5) p) 6y² - y – 2 = (2y + 1) (3y -2) q) 4m² - 49 = (2m - 7) (2m +7) r) x² - x – 42 = (x - 7) (x + 6) s) 2m² + 3m – 35 = (2m - 7) (m + 5) t) a² - 24a + 119 = (a - 7) (a -17) 4.- Investiga la aplicación de la factorización en la solución de ecuaciones cuadráticas. Se utiliza para resolver las ecuaciones. Así como para simplicarlas. Dependiendo de la ecuación cuadrática. 5.- Conclusiones personales sobre la unidad de factorización. La factorización es muy útil para diversos tipos de problemas, especialmente para sacar el valor de una o más incógnitas, para hacer operaciones con fracciones algebraicas. En fin la factorización además de ser no tan difícil ayuda para múltiples problemas. 14
  • 15. FRACCIONES ALGEBRAICAS 1.- Realiza las operaciones con fracciones algebraicas. x² - 16 x-4 a) x² + 8x + 16 = x+4 4x² - 20x 4x b) = x² - 4x - 5 x +1 3a - 9b 3 c) 6a - 18b = 6 x² - 6x + 9 x² + 6x + 5 (x - 3) (x + 5) d) * = x² - 7x +12 3x² + 2x - 1 (x - 4) (3x - 1) 7x + 21 x² - 5xy + 4y² 7(x -y) e) x² - 16y² * 4x² + 11x - 3 = (x + 4y) (4x - 1) x² - 3x - 10 2x + 10 2 (x + 2) f) * = x² - 25 6x + 12 6 (x - 2) x-4 4x + 8 4(x + 2) g) = 2x + 8 * x² - 16 2(x + 4)² 3x - 15 12x + 18 12(x - 5) h) / = x+3 4x + 12 6(2x + 3) 4x² - 9 2x - 3 2(2x + 3) i) / = x + 3y 2x + 6y 1 x² - 14x -15 x² - 12x - 45 x +1 j) / = x² - 4x - 45 x² - 6x - 27 x+5 a-3 9 2a + 9 k) / = a² - 3a + 2 a² - 4a + 3 (a - 2) (a - 3) m 3m 3m² - 2m l) m² - 1 + 3m + 1 = (m - 1) (m + 2) 2a 4 2a² - 4a - 16 m) - a² - a - 6 a² - 7a + 12 = (a + 2) (a - 4) 2 1 1 2m + 12 n) + = m² - 11m +30 - m² - 36 m² - 25 (m + 6) (m + 5) 15
  • 16. x 2 3x + 4 ñ) + x² - 5x - 14 x-7 = (x - 7) (x + 2) 2.- Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo. Una fracción compleja es aquella que en su denominador o numerador tiene una fracción. Ejemplo: x + 1/2x 6 2 y + 1/4y 3.- Conclusiones personales sobre la unidad de fracciones algebraicas. Este tipo de operaciones casi no se ven, o yo no sé de algún tipo de problemas en las cuales se utilicen, pero para un ingeniero deben ser muy útiles. En fin no se me hizo un tema muy útil, incluso se me hizo un poco difícil. 16
  • 17. ECUACIONES LINEALES 1.- Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuáles son los principales métodos de resolución. Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, o mejor dicho, es una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de ecuaciones lineales es y = mx + c Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones en las que aparece el término x*y (llamado rectangular) no son consideradas lineales. Al conjunto de este tipo de ecuaciones se le llaman sistemas. Podemos clasificar los sistemas atendiendo al número de sus solución es: 1. Incompatible. No tiene solución. 2. Compatible. Tiene solución. a. Compatible determinado. Única solución. b. Compatible indeterminado. Infinitas soluciones. -compatible determinado. Única solución. -compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Tienen diferentes metódos de resolución: *Igualación. *Suma- resta. *Determinantes. *Gráficamente, por función. 2.- Resolver las siguientes ecuaciones: a) 4(2x – 3) + 5 (x – 1) = 7(x + 2) – (3x + 4) x= 3 5x - 3 2x x+1 b) + = 4 3 2 x= 11 21 c) 3(4x + 3) + 2x – 3(2 – x) = 2 + 3(x – 4) + 5x – 2 -15 x= 24 2x + 5 3x x+2 d) - = + 3x 7 5 2 x= 23 18 2x - 3 x e) 5 (2x – 3) + 4(x + 1) – 5 = + 2 3 17
  • 18. 7 x= 6 3.- Graficar. a) y = 5x - 1 x y -3 -16 -2 -11 -1 -6 0 -1 1 4 2 9 3 14 y = 5x - 1 y 20 15 3, 14 10 2, 9 5 1, 4 0 x 0, -1 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -1, -5 -6 -10 -2, -11 -15 -3, -16 -20 b) y = 2x + 3 x y -3 -3 -2 -1 -1 1 0 3 1 5 2 7 3 9 18
  • 19. y = 2x + 3 y 10 3, 9 8 2, 7 6 1, 5 4 0, 3 2 -1, 1 0 x -4 -3 -2 -2, -1 -1 0 1 2 3 4 -2 -3, -3 -4 c) y = -1/2x + 2 x y -3 3.5 -2 3 -1 2.5 0 2 1.5 2 1 3 0.5 19
  • 20. y = -1/2x + 2 y 4 -3, 3.5 3.5 -2, 3 3 -1, 2.5 2.5 2 0, 2 1.5 1, 1.5 1 2, 1 0.5 3, 0.5 0 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4.- Dos automóviles viajan por la misma carretera, uno se encuentra delante del otro. El que va adelante viaja a 60 km/h, mientras que el otro lo hace a 70 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el segundo automóvil en rebasar al primero? c d2 d1 d2= carrito a 70 km/h d1= carrito de 60 km/h c= diferencia de distancia entre el carrito y el otro carrito Si d2 = d1 + c v2t = v1 + c v2t – v1t = c t= c/ v2 – v1 = 1/10 c (km/h) Resultado: El tiempo es 1/10 de la distancia diferencial entre los dos carritos. 5.- Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si vende un anillo de diamantes en $1500, ¿Qué precio pagó el proveedor? Si x + 50%x 1500 + 1500(0.50) = 1500 + 750 = 2250 Resultado: El proveedor pagó 2250 pesos por el anillo. 6.- Resolver los sistemas de ecuaciones: 2x - 3y = 4 x=5 a) x - 4y = 7 y=2 20
  • 21. 4a + b = 6 a = 20/17 b) 3a + 5b = 10 b = 22/17 m-n=3 m=3 c) 3m + 4n = 9 n=0 5p + 2q = - 3 p = 1/3 d) 2p - q = 3 q = -21/9 x + 2y = 8 x = -16 e) 3x + 5y = 12 y = 12 m= f) 3m + 2n = 7 31/17 m - 5n = - 2 n = 13/17 2h - i = - 5 h = -18/5 g) 3h - 4i = - 2 i= -11/5 7.- Graficar los incisos a,c,e y g de los sistemas anteriores. 4 - 2x 7 -x a) y= y2 = 3 4 x y y2 -3 3.33 2.5 -2 2.67 2.25 -1 2 2 0 1.33 1.75 1 0.67 1.5 2 0 1.25 3 -0.67 1 21
  • 22. y= 4 - 2x / 3 y2= 7 - x / 4 y 4.00 3.50 -3, 3.33 3.00 -2, 2.67 -3, 2.5 2.50 -2, 2.25 -1, 2 2.00 0, 1.75 1.50 1, 1.5 0, 1.33 2, 1.25 1.00 3, 1 1, 0.67 0.50 0.00 2, 0 x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -0.50 3, -0.67 -1.00 y y2 3-m 9 - 3m c) n= n2= 1 -4 m n n2 -3 6 4.5 -2 5 3.75 -1 4 3 0 3 2.25 1 2 1.5 2 1 0.75 3 0 0 22
  • 23. n= 3-m n2= 9-3m/-4 n(y) 7 -3, 6 6 -2, 5 5 -3, 4.5 -2, 3.75 -1, 4 4 -1, 3 3 0, 3 2 0, 2.25 1, 2 1, 1.5 1 2, 1 2, 0.75 0 3, 0 m(x) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 n n2 8-x 12 - 3x e) y= y2= -2 -5 x y y2 -3 -6 10.2 -2 -5 10.8 -1 -5 11.4 0 -4 12 1 -4 12.6 2 -3 13.2 3 -3 13.8 23
  • 24. y= 8 - x/ -2 y2= 12- 3x / -5 y 15 2, 13.2 3, 13.8 0, 12 1, 12.6 -1, 11.4 -3, 10.2 -2, 10.8 10 5 x 0 -4 -2 0 2 3, -3 4 1, -4 2, -3 -1,-5 -5 0, -4 -3, -6 -2, -5 -10 y y2 ,- 5 - 2h ,- 2 - 3h g) i= i2= 1 4 h i i2 -3 1 1.75 -2 -1 1 -1 -3 0.25 0 -5 -0.5 1 -7 -1.25 2 -9 -2 3 -11 -2.75 24
  • 25. i= -5-2h i2= -2-3h / 4 i (y) 4 -3, 1.75 2 -3, 1 -2, 1 -1, 0 0.25 0, -0.5 h (x) -4 -3 -2 -2, -1-1 0 1 1, -1.25 2 3 4 -2 2, -2 -1, -3 3, -2.75 i -4 0, -5 i2 -6 1, -7 -8 2, -9 -10 3, -11 -12 8.- Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4 para adultos y $1.50 niños. Si se vendieron 1,000 boletos recaudando $3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron? x = boleto de adulto 4x + 1.5y = 3500 x = 800 y = boleto de niño x + y = 1000 y = 200 Resultado: Se vendieron 200 boletos de niño y 800 boletos de adulto. 9.- Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que contiene 55% del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al 40% ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse? x = la solución del 30% con Ag 0.3x + 0.55y = 0.4 (800) x = 480 y= la solución del 55% con Ag x + y = 800 y = 320 Resultado: 480 kg de la solución con 30% de Ag y 320 kg de la solución con el 55% de Ag ECUACIONES DE 2DO GRADO O CUADRATICAS. 1.- Definición de ecuación cuadrática. Es un tipo de ecuación que a diferencia de la ecuación de primer grado tiene una de sus incógnitas elevadas al cuadrado por lo que no se puede usar un método común para las ecuaciones de primer grado y se 25
  • 26. utilizan otras técnicas. A base de sus soluciones llamadas raíces, pueden salir resultados reales, imaginarios y complejos. 2.- Definición de un número real y un número imaginario. Un número real es aquel resultado de la raíz cuadrada de algún número con un signo positivo. Mientras que un número imaginario es aquel resultado de la raíz cuadrada de cualquier número que desde el inicio del proceso de la raíz y en el resultado tiene signo negativo, el cual se representa con una “i” minúscula. Ejemplo: Número real = √25 = 5 i Número imaginario = √-25 = - 5 3.- Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas: 1) 7x² + 21x = 0 x=-3 2) 4x² - 16 = 0 x=2 3) a² - 3a + 2 = 0 x1 = 2 x2 = 1 9m² + 2m - 5 = 4) 0 x1 = 0.642 x2 = 0.864 5) x² - 3x = 0 x=3 6) 5x² + 10 = 0 x = √-2 = - 1.41i 7y² - 3y + 10 = 7) 0 x1 = 1.39i x2 = -0.96i 8) 2t² + t + 1 = 0 x1 = 0.41i x2 = - 0.91i 9) 8x² - 7x = 0 x = 0.875 10 ) a² - 25 = 0 x = 25 4.-Graficar las siguientes funciones cuadráticas: y= x² - 1 26
  • 27. x y -3 8 -2 3 -1 0 0 -1 1 0 2 3 3 8 y= x² + 5x + 6 x y -7 20 -6 12 -5 6 -4 2 -3 0 -2 0 -1 2 0 6 1 12 2 20 y= -x² - 4 x y -3 -13 -2 -8 -1 -5 0 -4 1 -5 2 -8 3 -13 27