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1° UNIDAD



             Tema:   ÁNGULOS


Profesora: CRISTINA CARDENAS

Curso: 3° Medio
TALLER PSU MATEMÁTICA
ÁNGULO:   Es la unión de dos rayos que tienen un extremo
          común que se denomina vértice.

                                        O = vértice
Elementos de un ángulo:
                                A       OA ; OB = lados
                                         AOB = ángulo AOB
                                          = medida del ángulo


     O




                                    B
1.- CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA

A) ÁNGULO NULO


                                         = 0º


B) ÁNGULO CONVEXO


                           0º <   < 180º
b.1) ÁNGULO AGUDO
                      0º <      < 90º




b.2) ÁNGULO RECTO
                             = 90º




b.3) ÁNGULO OBTUSO
                     90º <      < 180º
C) ÁNGULO EXTENDIDO


                               = 180°
               o


D) ÁNGULO CÓNCAVO
                      180º <   < 360º

               o
E) ÁNGULO COMPLETO
                     = 360º

              o
2.- CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA

a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS


                                = 90º




b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

                               + = 180º
3.- CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN
a) ÁNGULOS ADYACENTES          b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS




         Un lado común             Puede formar más ángulos



c) ÁNGULOS ADYACENTES         d)ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
….SUPLEMENTARIOS




 Un lado común y suman 180°            Son congruentes
ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
                    Y UNA RECTA SECANTE


                                     1        2
                                     4       3
                                 5   6
                             8       7

01. Ángulos alternos internos:           04. Ángulos conjugados externos:
    m 3 = m 5; m 4 = m 6                     m 1+m 8=m 2+m 7=180°

02. Ángulos alternos externos:           05. Ángulos correspondientes:
    m 1 = m 7; m 2 = m 8                     m 1 = m 5; m 4 = m 8
                                             m 2 = m 6; m 3 = m 7
03. Ángulos conjugados internos:
    m 3+m 6=m 4+m 5=180°
áNgulos.
Problema Nº 01
El complemento de la diferencia entre el suplemento
y el complemento de un ángulo “X” es igual al
duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la
medida del ángulo “X”.
RESOLUCIÓN
La estructura según el enunciado:
 90 - { ( 180° - X ) - ( 90° - X    ) } = 2(   90° - X   )
 Desarrollando se obtiene:
 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X
                         90° - 90° = 180° - 2X
        Luego se reduce a:
          2X = 180°                 X = 90°
Problema Nº 02
La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el
complemento del primer ángulo es el doble de la medida
del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de
dichos ángulos.
RESOLUCIÓN
Sean los ángulos: y
Dato:      + = 80°               = 80° -                 (1)

Dato:      ( 90° -   )=2          (2)
                                                      = 70°
                                   Resolviendo
 Reemplazando (1) en (2):                             = 10°
                                    Diferencia de las medidas
 ( 90° -     ) = 2 ( 80° -   )          - = 70°-10°
     90° -     = 160° -2                   = 60°
Problema Nº 03
La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la
diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es
10°.Calcule la medida dichos ángulos.
RESOLUCIÓN
  Sean los ángulos:    y
  Del enunciado:
 ( 90° - ) + ( 90° - ) = 130°    + = 50° (+)
                                 - = 10°
    + = 50°        (1)            2 = 60°
 Del enunciado:
 ( 180° - ) - ( 180° - ) = 10°         = 30°
    -   = 10°         (2)
                                       = 20°
  Resolviendo: (1) y (2)
Problema Nº 04
Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se
traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y
BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida
del ángulo AOB.
RESOLUCIÓN
                            De la figura:
A       B
                    M         = 60° - 20°
                              = 40°
    X       20°
                            Luego:
              60°            X = 40° - 20°

                                       X = 20°
    O
                        C
Problema Nº 05
La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB
y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la
bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.
RESOLUCIÓN                                 Del enunciado:
    Construcción de la gráfica según el
    enunciado                              AOB - OBC = 30°
A
                           M              ( + X) - ( - X) = 30º

                                     B             2X=30º
                                          Luego se reemplaza por lo que
                  X                       Se observa en la gráfica

                      ( - X)                              X = 15°
      O                               C
Problema Nº 06
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que
la m AOC = m BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo
formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
RESOLUCIÓN
Construcción de la gráfica según el enunciado
                                                De la figura:
         M
                         B                        2 +    = 90°
                                                                (+)
                                                   +2    = 90°
A                    X                          2 +2    + 2 = 180°
                                                    +    + = 90°
                                 C                X=    + +
                                     N
                                                            X = 90°

                             D

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  • 1. 1° UNIDAD Tema: ÁNGULOS Profesora: CRISTINA CARDENAS Curso: 3° Medio TALLER PSU MATEMÁTICA
  • 2. ÁNGULO: Es la unión de dos rayos que tienen un extremo común que se denomina vértice. O = vértice Elementos de un ángulo: A OA ; OB = lados AOB = ángulo AOB = medida del ángulo O B
  • 3. 1.- CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA A) ÁNGULO NULO = 0º B) ÁNGULO CONVEXO 0º < < 180º
  • 4. b.1) ÁNGULO AGUDO 0º < < 90º b.2) ÁNGULO RECTO = 90º b.3) ÁNGULO OBTUSO 90º < < 180º
  • 5. C) ÁNGULO EXTENDIDO = 180° o D) ÁNGULO CÓNCAVO 180º < < 360º o
  • 7. 2.- CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA a) ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS = 90º b) ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS + = 180º
  • 8. 3.- CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN a) ÁNGULOS ADYACENTES b) ÁNGULOS CONSECUTIVOS Un lado común Puede formar más ángulos c) ÁNGULOS ADYACENTES d)ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE ….SUPLEMENTARIOS Un lado común y suman 180° Son congruentes
  • 9. ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE 1 2 4 3 5 6 8 7 01. Ángulos alternos internos: 04. Ángulos conjugados externos: m 3 = m 5; m 4 = m 6 m 1+m 8=m 2+m 7=180° 02. Ángulos alternos externos: 05. Ángulos correspondientes: m 1 = m 7; m 2 = m 8 m 1 = m 5; m 4 = m 8 m 2 = m 6; m 3 = m 7 03. Ángulos conjugados internos: m 3+m 6=m 4+m 5=180°
  • 11. Problema Nº 01 El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al duplo del complemento del ángulo “X”. Calcule la medida del ángulo “X”.
  • 12. RESOLUCIÓN La estructura según el enunciado: 90 - { ( 180° - X ) - ( 90° - X ) } = 2( 90° - X ) Desarrollando se obtiene: 90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X 90° - 90° = 180° - 2X Luego se reduce a: 2X = 180° X = 90°
  • 13. Problema Nº 02 La suma de las medidas de dos ángulos es 80° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida del segundo ángulo. Calcule la diferencia de las medidas de dichos ángulos.
  • 14. RESOLUCIÓN Sean los ángulos: y Dato: + = 80° = 80° - (1) Dato: ( 90° - )=2 (2) = 70° Resolviendo Reemplazando (1) en (2): = 10° Diferencia de las medidas ( 90° - ) = 2 ( 80° - ) - = 70°-10° 90° - = 160° -2 = 60°
  • 15. Problema Nº 03 La suma de sus complementos de dos ángulos es 130° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos es 10°.Calcule la medida dichos ángulos.
  • 16. RESOLUCIÓN Sean los ángulos: y Del enunciado: ( 90° - ) + ( 90° - ) = 130° + = 50° (+) - = 10° + = 50° (1) 2 = 60° Del enunciado: ( 180° - ) - ( 180° - ) = 10° = 30° - = 10° (2) = 20° Resolviendo: (1) y (2)
  • 17. Problema Nº 04 Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC (AOB<BOC), se traza la bisectriz OM del ángulo AOC; si los ángulos BOC y BOM miden 60° y 20° respectivamente. Calcule la medida del ángulo AOB.
  • 18. RESOLUCIÓN De la figura: A B M = 60° - 20° = 40° X 20° Luego: 60° X = 40° - 20° X = 20° O C
  • 19. Problema Nº 05 La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes AOB y BOC es 30°. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB.
  • 20. RESOLUCIÓN Del enunciado: Construcción de la gráfica según el enunciado AOB - OBC = 30° A M ( + X) - ( - X) = 30º B 2X=30º Luego se reemplaza por lo que X Se observa en la gráfica ( - X) X = 15° O C
  • 21. Problema Nº 06 Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD tal que la m AOC = m BOD = 90°. Calcule la medida del ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y COD.
  • 22. RESOLUCIÓN Construcción de la gráfica según el enunciado De la figura: M B 2 + = 90° (+) +2 = 90° A X 2 +2 + 2 = 180° + + = 90° C X= + + N X = 90° D